ENTRE ELLES
515. D'après une expérience de M. Aubry [î], un barreau de bois de chêne it 1 pouce de largeur, 2 ? pouces de hauteur, posé horizontalement sur appuis distants de 5 pieds, et chargé au milieu, a rompu sous un poids 755 livres produisant une flèche de 2 pouces.
Un autre barreau du même bois, ayant 1 pouce de largeur et 2 pouces de
fauteur, formé de trois pièces entaillées de 3 lignes, de 6 en 6 pouces et serrées
'fardera boulons de 1 i ligne de diamètre ; posé et chargé comme le précédent,
k rompu sous un poids de 475 livres produisant une flèche de 3 pouces 2 lignes.
' D'après cette expérience, le second barreau était à peu près aussi fort que
Vil eût été d'une seule pièce.
' 516. Les expériences de M. Duleau sur des pièces de fer forgé [s] présentent les résultats suivants. Les pièces étaient posées horizontalement sur deux appuis, et chargées au milieu : toutes avaient 0a,06 de largeur. Les boulons de 0",02 de diamètre , au moyen desquels ces pièces étaient assemblées , étaient espacés de 0"»,4. Les résultats sont ramenés par le calcul à présenter la flèche de la courbure affectée par chaque pièce sous une charge de 10 kil.
[t] Hémoires sur différentes questions de la science des constructions publiques et économiques, page 65.
M Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé, page 40.
IHTEtWA.LLE
DAUrïï»
KAUTBUK
nia» 1
INDICATION DES PIÈCES
de*
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millmtlrei.
MiDImttr».
— ttm
Deux pièces rie Ter du Péri-
Rcrd, posées a plat, et su-
perposées tan» boulon). .
Le« mftmei posées A plat, ser-
rées par des boulons. ■
Lu m é m es « ca rt ces d e 0™ ,0 1 1 ,
au moyeu de cale» serrée*
par des boulons. . . .
Les même* écartée* deO™ ,031
par le même moyen. . .
SI
Les mêmes écartfesde0'",033
par le même moyen. . .
Les mêmes écartées de 0~,153
au moyen de pièces en
VA
Deux pièces de fer du Périgord serrées l'une sur l'au-
tre par des nouions. . .
La résistance à la flexion du système formé par des pièces en croix diffère peu de celle que Ton calculerait par la formule du n° 511 . Quant «Atx pièeei simplement serrées par des boulons, la résistance est moindre, et d'autant plus que l'intervalle des pièces est plus grand ; ce qui doit être attribué ah flexion des boulons [i].
DU ÀP.1ATCSFS SERVAIT A fKOLOlGglt LES PIÈCES, OU A ASSUJETTI» RHTU KLLBS SV
[>E LA MÉCiWIQOI, ]-* PAW1E,
être prolongée dans l'encastrement au moyen de dedx armatures en fer u(Fifi. 97), appliquées contre les Faces latérales. o( rétraki en »j, n par faces supérieure et inférieure de la pièce doivent être fcrtritmnil contre ces traverses, avec des uto on des \is de preufon. cite disposition. 1.1 pièce ne penl céder à ud effort exercé verSealeneot
a bas qu'en rompant au-dessus de la traverse ».
mal un: représentée figure 9X pourrait être employée pour prolonger
pièce, à l'extrémité de laquelle un poids devrait être suspendu; i-l eu
int la même armature, on pourrait en former la extrémités d'une
'. ce qui est quelquefois utile quand il s'agit de réparer des [ion 1res dont
mve les portées détériorées.
iliu on pourrait, au moyen de l'armature représentée fijj. 99, assujettir .m bottl de l'autre deux pièces pour en Former une, ou consolider une e que la Charge aurait fait rompre. Mais on n'est pas ISSUTé de réussir bien dans ce dernier cas que dans le précédent, pane que l'armature ivant ici placée dans la partie de la pièce où elle tendrait à prendre la jrande courbure, i! faudrait un contact beaucoup plus parfait entre la L l'armature pour qu'il n'y eût pas de flexion sensible [i]. s ces appareils, la résistance des armatures peut être évaluée d'après i11. II est nécessaire que tes portions de surface sur lesquelles la pres- 'étahlil soient assez grandes pour que le bois ne s'y comprime pas teneur de la pression se calculera toujours facilement. Dans s de la figure 97, par exemple, la pression en m doit faire équilibre m npoini «aux poids dont la pièce est chargée; ta prenioi en » est égale
e de ces poids et de la pression qui a lieu en m. 9>. Les parties d'une pièce expo-.ee à fléchir transversalement de haut eu «cuvent encore être réunies de la manière indiquée fie,. 100, au moyen pteee juxtaposée en dessous, assujettie par des clefs de bois dur insérées > entailles, et serrées par des brides. En effet les fibres, lors de la . Mïnf comprimée-, dans la partie supérieure ni» de la section triuisétendues dans la partie inférieure an. Le joint mn ne nuit pas lance des fibres comprimées n"H2; et la résistance des fibres éten- -c trouvent coupées est suppléée par celle delà pièce appliquée e < 'n peut déterminer la force de cette pièce par la condition que le de la résistance de ses fibres, pris par rapport a l'axe d'équilibre n,
ionien ( des fibres coupées daus l'intervalle an. pris par rap-
•tati même n\e.
■n priii mir un procédé pour consolider tes extrémité* pourrit» de* poulre» d.ins lu w Of Iht toctrtr of arli and manufacture j, ISO*. Voyti auiti ts mirm- ent i, ISH; ou i- i l>ncoiirj>[tcm«Bl, Jjin 1SS5.
338 LEÇONS SL'a L' APPLICATION
519. À l'égard des pièces placées dans le prolongement l'une de l'autre. « exposées à une tension longitudinale, on peut les assembler de la m» indiquée fig. 101, au moyen de pièces juxtaposées, assujetties par des et des brides. On peut aussi employer des tirants de fer , soit en les trant dans le bois, comme l'indique la fig. 102, soit en les plaçant endefaan, et les fixant à des traverses. Dans tous les cas , les pièces réunies sont si cessairement affaiblies au point de jonction , la section transversale étant i minuée par l'effet des entailles. On doit donner aux tirants une force égale celle qui reste au bois ; et il faut que la surface de bois sur laquelle ces lii prennent un appui soit assez grande pour qu'il n'y ait pas écrasement, (( que l'adhésion latérale des fibres qui tendent à se détacher ne puisse Ait rompue.
ARTICLE VIII
HI'F.NTF. LE PLFS S1HPI.ES, BESTINÉS A SUPPORTES H
A KLEVEn »EB poins.
520. Les pièces de charpente sont exposées à divers genres d'effort, et peuvent être soHidlées à fléchir et à rompre d'une infinité de manières. Os a considéré dans les articles précédents les cas le plus simples de l'équilibre d'une seule pièce : on se propose d'examiner, dans cet article et dans lesaùvants, les conditions de l'équilibre des assemblages formés de plusieurs pièces, en se bornant aux systèmes qui se présentent le plus fréqui dans les constructions.
521. La nKiniiTi; lupin* simple île Mipporter un poids au moyen d'
DE I,A MÉCANIQUE, l» PARTIR.
s à l'eilrémité inférieure, et où te poids est simplement supporté. Quand
1 vei te poids, ou pbce ordinairement une poulie se C (F%« 105),
M D, et l'on agit sur lu torde en F. La pièce AB est alors solli-
m sciiJemeDl par le poids H, mais par la tension de la corde DF. Si
■•■- BC, CD, étaient égales, et si les tension* des cordes C B, DF ne
jms l'une de l'antre, la pièce AB se (routerait dans le même cas
supérieure B élart chargée d'un poids égal a la somme de
us, ii;i us la réalité, la tension de la corde DF surpasse celle de la
I el la pièce AU esl sollicitée à plier du colé de la première. On
lire la résultante des deux tensions, et appliquer les résultats des
■ mants, en mettant cette résultante à la place delà Force désignée
■ is ces numéros , el en remplaçant la distance désignée par / par la
ta direction de la résultante à l'axe de ta pièce,
li stabilité de l'équilibre tient uniquement ici à la résistance de la pièce à
h hVnjim . d le déplacement de l'extrémité supérieure augmente le bras de
I i l.i sollicitent. Il est absolument nécessaire de maintenir
éfiiilé par ries cordages. Mais, aussi bien que dans le cas précédent,
■ : : n;si>i,nn'e de ces cordages ne peut pas être évalué exactement d'a-
apparcils de ce genre sont quelquefois disposés de manière que or b corde DF (Fig. 10* ) au moyen d'un treuil nié en E à la pièce es de l'extrémité inférieure de celte pièce. Dans ce cas les déni '■-.. HE se trouvent dans des états d'équilibre différents. La partie AE léeliir par l'action du poids 11, et on peut lui ap- ; s des vr 406 et suivants. La partie BE est soumise à l'action du poids a ci de b tension de b corde DF. On peut, en négligeant b b partie AE, appliquer à la partie BE ce qui a été dit dans te nu- BBéro précédent.
uns l'appareil représenté fig. 105, la pièce horizontale BB', chargée
au milieu C du poids il, est dans l'état d'équilibre considéré dans les n"556
i es pièces verticales AB, A' B' supportent chacune ta moitié du poids
■ i dans les états d 'équilibre considérés dans les n- 383 ou 389 , suivant que les extrémités inférieures de ces pièces sont simplement supportées, on sont encastrées dans leurs appuis. Abstraction faite de la résistance des sstembbgcsnux points B el B'. l'équilibre n'est pas stable, et on doit maintenir l'appareil par des pièces inclinées ou par des cordages.
'..!• D n'était [i;t> simplement suspendu au point C, mais devait être
i mojcn d'une corde passant dans une ou plusieurs poulies fixes at-
s à ce peint, il est évident qu'il faudrait regarder le point C comme
N u augmenté de la tension de la corde sur laquelle on
525. L'appareil représenté fig. 106, si la pièce horizontale BB" était formée de deux parties séparées par un joint placé en B' , présenterait simplt ment la réunion de deux systèmes semblables à celui que l'on vient de dérer. Les pièces verticales AB, A"B" supporteraient chacune la moitié de l'a des poids n, que l'on suppose égaux, et la pièce A'B' supporterait un eftirt égal à l'un de ces poids. Mais si la poutre horizontale BB" est d'une stde pièce , chacune des moitiés BB', B'B" résiste comme une pièce horizontale castrée à une extrémité et supportée à l'antre. Par conséquent en regardait les pièces AB, A'B', A"B" comme des appuis inflexibles, on appliquer) « les résultats ohtenus dans les a" 366 et suivants, résultats qui s'accordât avec ceux de la solution exposée dans les n°* 575 et suivants. On en condnn que l'effort vertical supporté par chacune des pièces extrêmes AB, A"B" est
égal à — n et par conséquent que l'effort supporté par la pièce intennt-
diaire A' B' est égal à — n. L'effet de la liaison des deux parties de la pîèe*
1fl BB" est donc d'augmenter sensiblement la charge du poteau A'B'. en diminuant celle des deux antres.
526. Considérons encore l'appareil représenté fig. 107, ou la poutre horizontale BB"' , chargée des trois poids égaux H, supportée par quatre verticales également espacées, est supposée d'une seule pièce. Si l'on n les pièces verticales comme des appuis inflexibles , on peut apprécier la résistance que doit présenter la pièce BB'" , et les efforts exercés sur chacune des pièces verticales , au moyen d'un calcul semblable à celui des n" 571 fl suivants. En effet, l'une des moitiés BC de la poutre peut être regarda comme une pièce encastrée horizontalement à l'extrémité C, et sollicitée p»
DE LA MÉCANIQUE, I" PARTIE. m
dans les numéros cités, à la moitié BC (Fig. 107) de la pièce BB'" . Dédit par
a la moitié de l'un des intervalles égaux BB', B'B" ;
Q l'effort exercé sur le poteau AB ;
Q' l'effort exercé sur le poteau A'B1 ;
équations conviendront au cas dont il s'agit en écrivant Q au lieu de n ,
au lieu de n", Q au lieu de H", 2a et 3a au lieu de a' et a". Par consé-
t on aura respectivement pour les parties BC, CB' et BC, les équations
• X=V (Ltfx-i a*) - n(fli> - i ««) + 0 (J a ^ - J*»)f
• r = y (i a» or - i a») - ÏÏ (â a'jr- 4 a») + Q (i a ^ - i x*).
^Oaen déduit, en faisant successivement x =a, œ=Za,œ=ZaJ, pour les ; ordonnées des points B', C et B comptées à partir de la ligne horizontale passant par le point C,
• x = (5 Q7 — 10 II -4- 28 Q) £ a5,
• r = (8 Qr - 28 II -+- 54 Q) l a5.
Les ordonnées des points B et B' devant être égales entre elles, on a
eo7— 93II-*- 46Q=0.
Les conditions de l'équilibre entre les poids n et les efforts exercés sur les poteaux donnent de plus
ao'-5n-+-aQ=o.
On déduit de ces deux équations Q== -^ n pour l'effort exercé sur les poteaux eitrémes AB, A"' B'"; et Q' = H n pour les efforts exercés sur les poteaux Intermédiaires A'B' et A"B". L'effet de la liaison des parties de la pièce BB'" est encore ici d'augmenter la charge des poteaux intermédiaires, en diminuant celle des poteaux extrêmes.
537. Quant au degré de résistance que doit présenter la pièce BB'", on remarquera que l'on a respectivement pour les parties B'C BC, et GB de cette pièce,
• = Q,(a — *)-II(9a — jr) + Q(5a-.r),
dx*
• = — II (4a — .r)-f-Q(5a-x),
dx*
363 LEÇONS SOR L'APPLICATtOH
ou , en remplaçai*! Q et 0/ par les valeurs qui viennent d'être obtew
rf** 90 iPy B dx* 90
Les points de maxitm pour la courbure sont C, B' et C : elle est
iPjr 7a grande dans le premier, où l'on a . — —H—, et où la pièce tend à se rc
dx1 30
Les conditions de la rupture de cette pièce sont doue exprimées , conl ment au n"358, par l'équation
On regarde ici les pièces verticales comme des appuis inflexibles. Li tiou serait différente, et plus compliquée, si ces pièces étaient sup flexibles ou compressibles. Mais il n'est pas nécessaire pour les applû de traiter la question de cette manière, et on n'aura point d'erreur i reiisc a craindre, en donnant aux pièces verticales des résistances p: tionnées aux efforts dont les valeurs ont été trouvées ci-dessus.
528. On' peut soutenir un poids au moyen d'une seule pièce inclinée que l'extrémité inférieure de cette pièce est encastrée. On a traité ce e quilibre dans les nM 412 et suivants. La fig. 108 représente un poids ] tenu par deux pièces inclinées, dont on suppose les extrémités infét
539. Si les deux pièces AC, BG forment avec la verticale des angles égaux désignés par a, les efforts exercés dans la direction de ces pièces sont exprimés par
Scos.a
et la pression horizontale par
7 n laog. st.
Dans les appareils dont il s'agit, les pièces inclinées sont dans l'état d'équilibre considéré n° 383, les efforts exercés dans la direction de ces pièces remplaçant la force désignée par Q dans ce numéro.
630. Dans l'appareil représenté fig. 109, la pièce AG est comprimée, et la pièce BC est étendue. La pression exercée suivant AG doit être la résultante des tensions des cordes BG et Gn. Par conséquent, a et 6 désignant les angles formés par AG et BC avec la corde verticale C Q, on aura respectivement
sin. 6 tin. a
n et n
sin. (€ — a) sin. (6 — a)
pour la pression exercée suivant AC, et pour la tension de la corde BC. La pièce AC tend à glisser en A sur son appui, et la pression horizontale qu'elle exerce contre l'obstacle qui doit la retenir est
sin. a. sin. 6
sin. (6 — a)
Les appareils que l'on vient de considérer présentent un équilibre stable, quant aux déplacements qui pourraient avoir lieu dans le plan vertical qui contient les pièces inclinées, et la corde à laquelle le poids est suspendu : mais il est nécessaire de les maintenir dans ce plan par des cordages.
531. Pour donner plus de stabilité au système, on remplace la pièce unique AC par deux pièces inclinées «C, a' C (Fig. 110), ce qui forme l'appareil connu sous le nom de chèvre. La ligne AC étant l'intersection du plan vertical qui contient les cordes BC, Cn avec le plan aCa'qui est perpendiculaire au premier, on désignera par a. 6 les angles BCn, ACn, et par t les angles égaux aCA, a' Ca. L'action du poids n produira dans le sens de chacune des pièces oC, a' C une pression exprimée par
sin. 6
sin. (6— a), 2cos. -y
La force avec laquelle le lien aa! est tendu est
sin. 6. tang. 7
^sin. (€- a)
La tension de la corde BC, et la force horizontale, avec laquelle les extrémités
*f I.EÇOKS SLR L'APPLICATION
inférieure» a, a' des pièces inclinées tendent a glisser parallèlement à AI, sont exprimées par les formules données dans le numéro précédent.
532. Si, dans les appareils dont il vient d'être question, le poids D n'était pas seulement suspendu au point C, mais soulevé au moyen d'une corde pusant dans une ou plusieurs poulies fixées à ce point, on devrait, pour déterminer les efforts exercés dans la direction des pièces, considérer au lieudi poids II la résultante de ce poids et de la tension de la corde à laquelle 11 force serait appliquée. II faut d'ailleurs distinguer le cas représenté fig. 111, où la corde CD qui soulève le poids H s'enroule sur un treuil fixé en D, pris de l'extrémité inférieure de la pièce AC. Dans ce cas, la partie AD de cette pièce est simplement comprimée avec l'effort résultant de l'action du poids IL et exprimé par les formules des numéros précédents. La tension de la corde BC conserve également la valeur donnée dans ces numéros. Mais la partie CD de la pièce principale est comprimée dans lesens de sa longueur avec l'effort résultant de l'action du poids II, augmenté de la tension de la corde CD. L'état d'équilibre de celle partie CD peut élre assimilé sans erreur dangereuse! celui ds la pièce considérée n° 585.
535. Lorsqu'un poids est supporté par plus de deux pièces inclinées contenues dans un même plan vertical , ou par plus de trois pièces inclinées non contenues dans un même plan, les conditions de l'équilibre laissent indéterminés, entre certaines limites, les efforts exercés suivant la direction de chacune des pièces. En effet, quoique le poids paraisse devoir être soutenu par toutes les pièces, rien n'empêche de supposer qu'il est simplement porté dans le premier cas par deux d'entre elles, et dans le second cas par trait d'entre elles seulement. Parmi ces pièces , celles qui sont comprimées se trouvent dans l'état d'équilibre considéré n9 385 ; et l'on est conduit, par ks
V par les Croîs pièces inclinées AC, A' C, A" C contenues dans le même plan vertical, et l'on nommera
a, a', a" les angles formés par la direction des trois pièces avec la corde verticale Cn ;
p, py p" les efforts exercés, par suite de l'action du poids n, dans la direction de chacune des pièces ;
F, F, F' les forces d'élasticité des trois pièces ;
a la hauteur du point C au-dessus de la ligne horizontale A A" ;
h9 /les quantités dont le point G se déplace horizontalement et verticale-
* ment, par l'effet de la compression simultanée des trois pièces.
r (En désignant par F la force d'élasticité de la pièce AC, on entend qu'il fau-
* drait un poids égal à F pour allonger ou accourcir cette pièce d'une quantité " égale à sa longueur actuelle, et ainsi des autres. )
Cela posé, les conditions de l'équilibre entre le poids n et les trois pressions exercées suivant les pièces donneront d'abord
p cos. a -f- p* cos. a' -\- p" cos. a" = II, p sin. a ■+- p' sin. a' •+- p" sin. a" = 0.
De plus, le déplacement du point C étant supposé très-petit, les quantités dont les pièces AC, A' G, A"C se trouvent comprimées seront, à fort peu près, /cos. « — h sin. a, /cos. a — h sin. a ,/cos. a" — h sin. a" ; et comme
les longueurs de ces pièces sont respectivement , , , on aura
COS. a cos. a' cos. a" fCOê. * a — h sin. a cos. a /"cos. * a' — h sin. a' cos. a' f cos. * a" — h sin. a" cos. a"
pour les fractions de ces longueurs représentant leurs accourcisse ments respectifs. On en conclut les trois équations
f cos. * et — h sin. a cos. a p =F .
qui, réunies avec les deux précédentes, donneront les valeurs des déplacements h et f, et des efforts p, p et p"
534. Supposons, par exemple, les forces d'élasticité des trois pièces égales entre elles, la pièce intermédiaire A'C verticale, et les angles *, a" égaux è 4&°. Le déplacement horizontal h du point C sera nul , et l'on pourra
COS
— h sin.
cos.
COS
— /« sin.
COS
supprimer la seconde des deux équations d'équilibre. On aura cm. «'=1,
l'effort supporté par la pièce verticale est double des efforts supportés par les deux autres.
555. Si les trois pièces étaient placées d'un même côté par rapport ■ U corde verticale Cn (Fig. 112), la première AC serait seule comprimée, et tes deux autres seraient étendues. Les équations du numéro 533 conviendraient également à ce cas, en y changeant les signes de p et p".
536. Dans l'appareil représenté fig. 113, où les pièces inclinées AB, A'B', contenues dans un même plan vertical avec la corde C H, supportent le poidi D au moyen de la pièce horizontale BB', il est nécessaire pour que le système soit en équilibre, abstraction faite de la résistance des assemblages, que les pièces AB, A'B' soient également inclinées, a étant l'angle qu'elles forment avec la verticale, ces pièces sont comprimées suivant leur longueur avec It
force , et sont dans le même état d'équilibre que la pièce considérée
SCOt. a
na 583. Les extrémités A, A' tendent à s'écarter l'une de l'autre avec dm force horizontale exprimée par 4 H tang. a-.
Quant à la pièce horizontale BB', chaque moitié BC ou F C est dans It même cas que si elle était encastrée horizontalement en C , et sollicitée i l'extrémité B ouB' parla force dirigée suivant AB ou A'B'. Ces moitiés se trouvent donc dans le même état d'équilibre que la pièce considérée nu41î.
que pièce AC, BG peut être regardée comme sollicitée par cet effort à tourner autour de son extrémité supérieure, et 0 doit s'établir dans le lien EF la tension nécessaire pour prévenir ce mouvement. Cette tension est donc
déterminée par la condition que son moment, pris par rapport au point G,
soit égal au moment de l'effort vertical — agissant en A ou en B, pris par
rapport au même point. Par conséquent la valeur de la tension dont il s'agit est
II tang. a;
et cette formule représente aussi la pression horizontale qu'exercent l'une contre l'autre en G les deux pièces CA, CB. On voit d'après cela que les parties de ces pièces sont dans le même cas que la pièce considérée dans les nr 412 et suivants. La partie AE doit être regardée comme encastrée en E,
et sollicitée en A par l'effort vertical — qui tend à la contracter. La partie CE
doit également être regardée comme encastrée en E, et sollicitée en A par
n a+a' l'effort vertical — et par l'effort horizontal n tang. a qui tendent tous
deux à la contracter,
538. On peut supposer que dans le système considéré n° 528, et représenté flg. 108, on place, outre le lien AB, un autre lien horizontal EF, comme l'indique la fig. 114. Dans ce cas l'effort horizontal \ n tang. a, avec lequel les pièces tendent à s'écarter l'une de l'autre, est encore entièrement supporté par les obstacles placés en A et B, ou par le lien AB. On doit assimiler la pièce AC à celle que Ton a considérée n° 383, mais en admettant qu'un des points de cette pièce a été rendu fixe. Il résulte de l'analyse exposée dans ce numéro, où les pièces sont regardées comme des verges flexibles et non compressibles, que si le point fixe E est placé à l'un des points de division de la pièce en 2, 3, etc., parties égales, la valeur de l'effort capable de faire fléchir cette pièce deviendra 4 fois, 9 fois, etc., plus grande que s'il n'existait aucun point fixe. On doit d'ailleurs avoir égard aux notions exposées n° 403, pour apprécier le plus grand effort auquel la pièce puisse être exposée.
Le lien EF, placé dans un des points de division de la pièce AC en parties égales, ne supporte aucune tension longitudinale. En effet, quoique l'existence d'un point fixe placé de cette manière détermine dans cette pièce un mode de flexion particulier, aucun effort n'est exercé sur ce point.
Les remarques qui viennent d'être faites peuvent être appliquées à l'appareil considéré n° 536, et représenté figure 113, si l'on suppose qu'un lien horizontal soit placé à une certaine hauteur entre les pièces AB, AB'.
639. L'appareil représenté figure 115 est formé du poids n, suspendu à
l'extrémité C de la pièce horizontale BC, qui est consolidée par fiche AD. Les points A, B sont fixes, mais on suppose les pièces tourner sur ces points. On nommera :
1,1 les distances BD, CD; « l'angle BAD.
r Le point fixe B soutient de bas en haut un e*>rt vertical n- qui bit équilibre au poids n autour du point D. Le point D est chargé de la somme du t+r
poids n et de cet effort, qui est n . Cette charge devant être supportée
' i+e parla pièce AD, il s'établit dans le sens de cette pièce la pression n ,et
{.CM. a
i-t-e en même temps dans la direction BD la tension n tang. a, qui est détruite par la résistance du point fixe B. Par conséquent , pour s'assurer que l'appareil est suffisamment Fort pour porter le poids n, il faut d'abord examiner si la contrefiche AD, assimilée à la pièce considérée n" 383, peut suppor-
ter la pression longitudinale n .La pièce BC doit ensuite être regardée
tau. a.
comme étant assujettie à passer en B et D dans des points fixes, comme étant l+r
tendue dans la partie BD par la force n 'tang. «, et sollicitée à rompre
/ en D par une force dont le moment est n f , et qui tend à produire en ce
ue point une courbure dont le rayon a pour valeur inverse — . D'après cela , si,
comme au n" 587. on veut que le plus urand effort excret: sur l'imité de surface
que p»4>C<, DE. Quant à la pièce AB, elle est sollicitée en £ par la force
ner «•*
it dirigée suivant DE, et équivalente à une force horizontale
'cm. a.
/H-f /-f-r n tang. cl, et une force verticale il . La même pièce est sollicitée ,
/n-r en B, par la force horizontale n — tang. a dirigée dans le sens BD, et par la
r force verticale n - dirigée de bas en haut. Pour plus de simplicité , on sup-
posera la courbure de la pièce AB extrêmement petite , en sorte que l'on puisse négliger les déplacements des points B, E par rapport aux longueurs des parties de la pièce (ce que Ton peut faire dans les cas ordinaires des applications). On verra alors 1° que cette pièce, comprimée longitudinalement dans l'intervalle AE par l'effort n, est sollicitée à rompre en un point quelconque de cet intervalle par une force dont le moment est n (/-*- f), et qui tend par conséquent à produire' une courbure dont le rayon a pour valeur
inverse . La limite des valeurs de n, pour que les fibres ne suppor-
tent pas sur l'unité de surface une pression dépassant R', sera donc, conformément à ce qu'on a vu n° 387 , donnée par l'équation
qui devient , lorsque la section de la pièce est rectangulaire ,
bc*
2° Que la même pièce AB, tendue longitudinalement dans l'intervalle BE
par l'effort n -, est sollicitée à rompre en E par une force dont le moment
est n (/h- f). La limite des valeurs de n, pour que les fibres ne supportent pas en ce point sur l'unité de surface une tension dépassant R', sera donc donnée par l'équation
qui devient lorsque la section de la pièce est rectangulaire
n / et
Si le point D est au milieu de BC, la pièce AB tend également à rompre
dans un point quelconque de l'intervalle AE. et en E. La pièce tend à dans l'intervalle AE plutôt qu'en E si BD est < CD. L'état d'équilibre de 11 pièce ne dépend pas de l'inclinaison de la contrefiehe DE.
541. Par suite de la courbure qu'affecte la pièce, et dont les foi précédentes ne tiennent point de compte , les valeurs du poids U données ces formules seront un peu trop grandes; et la pièce tendàrompreen Apli qu'en tout autre point de l'intervalle AE. D'après cela nous examinerons «Tune manière complète l'état d'équilibre de la pièce verticale AB. Nous désignerons par
a la longueur de la partie AE ;
«' la longueur de la partie B E ;
x, y l'abscisse verticale et l'ordonnée horizontale de la courbe affectée par l'aie de la pièce, ces coordonnées étant comptées du point A;
/"l'ordonnée du point E ;
f l'ordonnée du point extrême B.
En remarquant que a' =
ABcst sollicitée 1"
lang.
i E par la force n i+f
on voit d'après ce qui précède que la pièce
droite à gauche, et par la force n bas ; 2" en B par la force n -
agissant horizontalement de
agissant verticalement de haut en
agissant horizontalement de gauche à droite,
et par la force n - agissant verticalement de bas en haut. Par conséquent 1° l'équation exprimant les conditions de l'équilibre de la partie AE de li
11 pour l'équation de la courbe affectée par la partie AE de la pièce,
j (M-of-fy» | /n )
tppelons 7 Hnclinaison de la tangente de la courbe dans le point qui répond
n point £ : cette équation devra donner, quand x = a,y=f et — = tang. <p. onc
tang. 9 = { / -4-
— ï — j jt-cc.«Y/-[,
(/+f)/,r/'J /n /ïï
En opérant également comme dans le n° 415, on a pour l'intégrale de rédation (s), ou pour l'équation de la courbe affectée par la partie BE de la pièce,
étant un coefficient arbitraire. Cette équation devant donner comme la pré-
dy
«dente y =/*et — = tang. ? quand x = a, il vient
/ïïfl a'\/— -«'\/— J '«-+-0
"«•»=AV7rr v .1+. v .< j+-^—
yant donc quatre équations linéaires entre les quantités £ /% tang. 7 et , on éliminera facilement les deux dernières, et Ton déterminera les valeurs ifetf. Ces valeurs étant substituées dans les équations (t) et (*), on coniltra les équations des deux parties de la courbe affectée par la pièce. 542. Comme on ne considère ici que des flexions très-petites, il y aura to-peu d'erreur à négliger fetf dans le second membre des deux premières
m uçohs scb l'ippuuhoii
des quatre éqntiOBtdoolil l'»gîl, rr qui les réduit à
r=ii+r, j i-t«.«y/-j.
L'équation (?) donne pour le point A, qui est celui ou la courbure a plus grande dans la partie AE de la pièce ,
L'équation ft) donne pour le point E, ou ht courbure est la plus gra dans la partie EB de la pièce,
di* .1 \e V ,1 -t V •'/
ou en mettant pour A la valeur précédente
nr tités de l'ordre de — , à
tfly n
Ces derniers résultats s'accordent avec ceux qui ont été présentés n° 540.
543. Quelquefois la pièce ÀB n'est point encastrée à l'extrémité inférieure: die est consolidée par une pièce inclinée ÀF (Fig. 117). Dans ce cas, tout ce qui a été dit dans les numéros précédents doit s'appliquer à la partie de l'appareil située au-dessus du point À. Quant à la partie située au-dessous de ce point, supposons d'abord la pièce ÀF dirigée de manière que le point F soit au delà de la verticale passant par le point de suspension du poids n. Nommons h la distance AA', ? l'angle A'AF, et désignons toujours par /-+-/' la distance BG. Le poids n tend à faire tourner la pièce AB sur le point A', et le moment de ce poids, pris par rapport au point A', est n (l+t). Il est nécessaire, pour que ce mouvement n'ait pas lieu, que la pièce A F oppose dans
le sens de sa longueur une résistance n . Cette force agit au point A
h sin. 9
dans la direction FA, et équivaut à une force horizontale n , et à une force
verticale n dirigée de bas en haut. Ainsi 1° la pièce AF doit être assi-
' h tang. 9
milée à la pièce considérée n°585, la force désignée par Q étant ici n ;
h sin. 9
2° la partie A A' de la pièce verticale n'est plus comprimée suivant sa longueur qu'avec la force n ( 1 1. Mais comme l'effort horizontal n
V h tang. 9 / h
exercé au point A par la pièce AF doit être détruit par un effort égal exercé en sens contraire au point d'appui A', cette partie A A' est dans le même cas qu'une pièce encastrée à une extrémité, et sollicitée à l'autre extrémité par la
force n qui tend à la comprimer dans le sens de sa longueur, et par
h tang. 9
la force n dirigée perpendiculairement à sa longueur.
Si maintenant la pièce inclinée est dirigée de manière que le point F se trouve en deçà de la verticale passant par le point de suspension du poids n, l'appareil tendra à tourner sur le point F. La force comprimant la pièce AF
toujours exprimée par n , et la partie A A' de la pièce verticale sera
h sin. 9
tu
il Dl
ail i iv l'appui.
tendue suivant sa longueur avec la Force n I -1 f. Il serait
V h long, f
saire alors que cette dernière pièce fût attachée en A' à son point d'à)
544. L'appareil représenté fis- 118 est formé du poids n suspendu en C milieu de la pièce horizontale BB', dont les extrémités sont appuyées sur <k points fixes, et qui est consolidée par les contrefielics AD , A'D' assemblée avec cette pièce, et appuyées elles-mêmes contre des points fixes en A et A', La pièce BB' fléchissant sous l'action du poids n, et les contrefiches se c primant, l'action du poids se trouve répartie sur les quatre points fixes, méthode employée dans diverses questions traitées précédemment pourri! faire connaître les conditions de la flexion et de la rupture de cet appareî Mais comme, en général, il s'agit moins dans les applications de connaître! poids capable d'opérer la rupture, qu'une limite au-dessus de laquelle ce poil se trouve nécessairement, on peut ici, el dans des cas semblables, éviter de manière suivante le calcul compliqué auquel on se trouverait conduit.
On distinguera dans l'appareil proposé deux systèmes , dont chacun sq porterait seul le poids II, et dans chacun desquels les conditions de la el de la rupture peuvent être immédiatement connues : savoir 1° la pièce appuyée sur les points B, B', abstraction faite des contrefiches ; 2" la portioa de polygone ADD'A' appuyée sur les points A, A', abstraction faite de U liaison de la partie DD' de la poutre avec les parties BD, B'D'. Chacun de ™ systèmes , considéré à part, élant moins Fort que l'appareil proposé, on assuré que le poids qui romprait cet appareil est plus grand que le poids romprait le plus fort des deux systèmes.
H' = (étang. a-f-Ca).
S. bc'
D'un autre côté, nommant a' la distance BD, on déduirait du n° 122, en considérant l'équilibre de la pièce BB' soutenue sur les points B, B',
Par conséquent, quand il s'agit d'une pièce rectangulaire, il suffit, pour que
Ga'
le système ADD'A' soit plus fort que la pièce BB', que tang. a soit < — ; en
supposant d'ailleurs aux contrefiches AD, A'D' une résistance suffisante.
545. On supposera maintenant la pièce horizontale BB' et les contrefiches DE, DE'fFig. 119) assemblées aux deux pièces verticales AB, A'B'. Si dans cet appareil les extrémités inférieures A, A' de ces pièces étaient simplement supportées, et pouvaient glisser librement sur leurs appuis, les contrefiches donneraient de la stabilité à l'équilibre du système, mais n'en augmenteraient pas la force, et la pièce horizontale BB' serait sollicitée à rompre en C de la même manière que si les contrefiches n'existaient pas. En effet cette pièce est également sollicitée dans les deux cas à rompre en G par la force î n, agissant de bas en haut au point A avec le bras de levier BG.
546. Si l'on suppose au contraire, dans l'appareil représenté fig. 119, que les extrémités inférieures A, A' des poteaux sont fixes, les efforts exercés sur ees points pourront être supposés dirigés obliquement, ce qui diminuera l'action qui tend à rompre en C la pièce BB'. On pourra appliquer à cet appareil le principe employé n° 544, en y distinguant deux systèmes , dont chacun pourrait seul supporter le poids H; savoir 1° la pièce BB' soutenue seulement par les poteaux AB , AB ; et 2° la portion de polygone EDD E' appuyée en E, E' contre ces mêmes poteaux.
Pour que le premier système soutienne le poids n, il faut que ce poids ne paisse rompre la pièce BB' supportée à ses extrémités ; et de plus que les pièces AB, A'B' résistent chacune à une pression longitudinale \ II.
Pour que le second système supporte le même poids, il faut en premier lieu que la portion de pièce DD' et les contrefiches DE, D'E' aient la force suffisante, conformément à ce qu'on a vu n° 544. On remarquera ensuite qu'il
s'exerce en E dans la direction DE un effort , équivalent à une force ho-
2cô«. a H tang. a II
rizontale et une force verticale - . La force verticale est transmise au
point d'appui A. La force horizontale se décompose en deux autres, appli-
Mii LEÇONS SL'll L'APPLICATION
quécs aux points A el B. En nommant h, h' les distances AE, BE, on
II U lang. a
pour la L'<iiiii">-:iulr ;i[ij>l;r|uiïe en A, qui esl détruite par la ré»-
II h lang. a.
tance du point d'appui ; et pour la composante appliquée en B,
produit une tension dans la portion de pièce BD. Par conséquent il faut second lieu que les portions de pièce BD, B'D' puissent résister à ta
D h Un;;, a longitudinale . Troisièmement enfin, quant aux pièces verticales AB,
A'B', on peut regarder la pièce AB comme étant maintenue fixement
point E. et sollicitée a l'extrémité A par une force verticale- , et une forcel»
n hlï tanfi. a
rizontale dont le moment, pour faire fléchir la pièce en E, est ■ .
moment de la force horizontale agissant à l'extrémité B pour faire fléchir b pièce au même point E , a la même valeur. Par conséquent en négligeant, comme on l'a fait dans le n" 540, la considération de la courbure des pièce*, et en se conformant au n" 587, la limite des valeurs de n, pour que les fibra des pièces verticales AB, A'B' ne supportent pas sur l'unité de surface, ai points de rupture E,E', des pressions surpassantR', sera donnée par i'équatioa
.AA'toiig.a
■ (A+A') qui devient, lorsque la section transversale est rectangulaire,
Baient de l'arbre AB, et de la pièce inclinée DC, assemblée à cet arbre de ma- ^ Bière que l'angle des deux pièces ne puisse changer. L'arbre tourne à l'exv trémilé inférieure sur un pivot, et il est maintenu en A par un collier. La | corde qui soulève le poids n passe en G et en B sur des poulies, et s'enroule 4en E sur Taxe d'un treuil fixé à l'arbre AB. La tension R de la partie GB de 4 la corde peut être un peu plus grande, ou plus petite que le poids n, suivant ! que ce poids est soulevé par une poulie simple ou par un palan. Nous indii qnerons par S la résultante du poids n et de la tension R de la portion GB de la corde. La pièce GD doit être regardée comme encastrée en D, et soumise en C à l'action de la force S : on doit donc assimiler cette pièce à celle qui a été considérée n° 412, en prenant S pour la force désignée par n dans ce numéro. En faisant abstraction de la courbure que l'arbre doit affecter. on peut regarder la partie BE de l'arbre comme une pièce encastrée en E, et sollicitée en Bpar la résultante des tensions des deux portions BC, BE de la corde. La partie DE résiste comme une pièce encastrée en D, et sollicitée en B par la tension R. On doit l'assimiler à ta pièce considérée n* 415, en prenant R pour la force désignée par n dans ce numéro , et D B pour la distance désignée par a. La partie AD résiste comme une pièce encastrée en A, et soumise à l'action du poids n : on doit l'assimiler à la pièce | considérée n° 406, en mettant pour a et / la distance AD et la distance hori- ' xontale du pointe au point A. Enfin quant à la partie AA' de l'arbre, on remarquera qu'il doit s'établir en A' contre l'appui un effort horizontal, dont le moment, pris par rapport au point A, soit égal au moment du poids n, pris par rapportai! même point. Ainsi la partie AA' doit être regardée comme encastrée en A, et sollicitée en A' par l'effort horizontal dont il s'agit, et par l'effort vertical n qui tend à la comprimer.
La direction de la force S peut différer très-peu de CD, en sorte que l'assemblage en D soit très-peu fatigué. Les grues de cette espèce peuvent donc présenter une assez grande solidité.
548. On peut maintenir l'extrémité C de la pièce CD par le lien BC (Fig. 121), et alors il n'est plus nécessaire que l'assemblage en D rende invariable l'angle BDC. Dans ce cas, prenant la résultante S du poids n et de la tension R de la portion de corde BC, on décomposera cette force en deux autres, dirigées suivant CD et CB : on connaîtra ainsi la compression exercée suivant CD, et la tension exercée suivant CB. La pièce CD résiste comme celles qui ont été considérées nM 383 ou 589, suivant que cette pièce est libre ou n'est pas libre de tourner sur le point D. En faisant toujours abstraction de la courbure que l'arbre peut affecter, la partie BE doit être regardée comme encastrée en E, et sollicitée en B par la résultante de la tension de la portion de corde BE, de la tension R de la portion de corde BC, et de la tension du lien BC. La partie DE doit être regardée comme encastrée en D, et sollicitée en B par la
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tension R de la portion de corde BC, et par la tension du lien BC. La partie AD et la partie AA sont sollicitées à rompre en A de la manière qui a été indiquée ci-dessus.
La pièce CD, qui est toujours comprimée, doit être faite en bois ou en fondu. Le lien BC, quand il est tendu, peut être formé simplement par barres en fer forgé. Si la résultante S était dirigée daus l'angle BCD, \a pièces CD, CB seraient toutes deux comprimées, et devraient être également capables de résister à ce genre d'effort.
549. Les grues qui reposent sur le sol, et n'y sont point attachées, vent être disposées de manière que la verticale contenant le centre de envite des poids dont elles sont chargées ne sorte jamais de la l>ase. ce qii exige ordinairement l'usage d'un contre-poids.
La figure 122 représente une grue de ce genre portée sur un chariot culaire, ce qui permet de supprimer l'arbre. On réglera la force des pièces CD et CD' d'après le n° 552.
550. La figure 125 représente une grue dans laquelle l'arbre est support* en A sur un pivot, et maintenu en a par un collier : cet arbre peut tourner. Tout le poids de l'appareil est transmis à l'arbre au point D. La pièce CC' un simple lien horizontal qui doit être fixé en B à l'extrémité de l'arbre, (h réglera la force des pièces CD, BC, ou CD, BC, d'après le n° 532. La partie BD de l'arbre résiste comme une pièce encastrée en D, et sollicitée en B par une force égale à la différence des tensions des deux portions BC, BC du tirant. La partie Da résiste comme une pièce encastrée en a, et solliciléepar le poids total de l'appareil : ainsi, ayant cherché la distance à l'axe AB d» centre de gravité de tous les poids qui reposent sur le point D, on assimiler! cette partie Dn à la pièce considérée nD 40G, en prenant n pour la somme de
-4 une autre pression longitudinale égale à la tension de la portion de oorde ^ CE. La partie BD de l'arbre résiste comme une pièce encastrée en D, et sol- > licitée en B par une force égale à la résultante des tensions des liens BC, BC'. •-É Les parties Do et a A sont sollicitées et résistent conformément à ce qu'on a ç vu dans le numéro précédent.
« S52. Nous indiquerons enfin la grue mobile représentée fig. 125 , dans £ laquelle l'extrémité supérieure de l'arbre ÀB est maintenue par des haubans. < Les pièces inclinées CD, CD sont assemblées à l'extrémité inférieure de l'ari, bre, et sont soutenues par les liens BC,BC attachés à l'extrémité supérieure. { On déterminera, comme dans les cas précédents, les pressions longitudinales j exercées sur les pièces CD, CD, et les tensions exercées sur les liens BC, BC. ï L'arbre AB est libre de se déverser d'un côté ou de l'autre, et il est sollicité à se déverser par la différence des composantes horizontales des tensions des tiens BC, BC. Il doit donc toujours s'établir, dans les haubans qui maintiennent l'extrémité supérieure de cet arbre, des tensions déterminées par la ( condition que les composantes horizontales de ces tensions détruisent la difi férence dont on vient de parler. Lorsqu'on a satisfait à cette condition, l'arbre doit être assimilé à la pièce considérée n° 583, en prenant pour la force désignée par Q dans ce numéro la somme des composantes verticales des tensions des liens BC, BC, et des tensions des haubans.
ARTICLE IX
