DES VOUTES

618. L'établissement des cintres exige la connaissance des efforts qu'ils ont à supporter pendant la construction

de la voûte.

On distingue deux espèces principales de cintres : i° ceux qui sont soutenus sur des points d'appui distribués dans l'intervalle des culées ; 2 0 ceux que l'on nomme cintres retroussés, et qui sont entièrement supportés par des points d'appui pris au pied des culées, sous les naissances de la voûte.

Des efforts exercés sur les cintres par Feffit du poids

des voussoirs.

619. Lorsque l'on construit nne voûte r chaque assise ou cours de voussoirs est posé sur une pièce de bois horizontale, nommée couchis, qui s'appuie sur les pièces supérieures des fermes du cintre. Les couchis exercent sur ces pièces des efforts dirigés dans le sens des joints des voussoirs, et dont il s'agit de connaître la valeur.

Considérons la portion de voûte représentée fig. , appuyée sur un cintre. L'un quelconque des voussoirs , tel

que ABDC , supporte de la part du voussoir placé immédiatement au-dessus une pression normale au joint ÀB. De plus , comme ce dernier voussoir tend à glisser le long de AB,etque la force provenant delà résistance du cintre, qui le retient, n'est pas égale à celle qui tend à l'entraîner le long de AB, mais est diminuée par l'effet du frottement et de la cohésion qui ont lieu sur ce joint , il s'ensuit que le voussoir ABDC est encore sollicité , dans la direction BA, par une force égale à ces résistances. Enfin ce même voussoir est sollicité verticalement par son propre poids/Nous pouvons le considérer comme un corps appuyé contre le plan incliné CD , sollicité par les trois forces dont on vient de parler, et retenu par une force provenant de la résistance du cintre , que nous supposerons parallèle au joint CD. D'après cela , nommant

G,, G a , Gs,... G. les poids des i- r , 2% 3%... n' voussoirs, en comptant du voussoir supérieur, pour une unité de longueur de la voûte ;

«.,«., «3,.... «.les angles formés par les joints inférieurs des mêmes voussoirs avec une ligne verticale;

z z z m les longueurs des joints inférieurs des voussoirs;

T,, T,, Ta,.... T. les pressions normales qui ont lieu sur ces joints inférieurs;

R,, R,, Rs,.... R, les eflforts exercés sur le cintre parallèlement aux joints inférieurs de chaque voussoir ;

/et 7 ayant les significations indiquées n° 290;

et remarquant f que la force T.,, perpendiculaire a AB , se décompose perpendiculairement et parallèlement à CD dans les deux forces T—.cos. («. — «.-1), et — T..sin. («,— «.,); 3° que la résistance provenant du frottement et de la cohésion sur le joint AB est

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 4°9

J T,4-y^.-i, et que cette force, dirigée suivant BA, se décompose perpendiculairement et parallèlement à* CD dans les deux forces (/T.-, -f-yz^,) ain. («„ — a—,), et (/T B ,-f-yz.. l ) cos. (a. — «.,); 3 B que le poids G. du voussoir ABDC se décompose perpendiculairement et parallèlement* à CD dans les deux forces G.sin.*. et G. cos. et, : on voit d'abord que la pression normale exercée par le voussoir ABDC sur le joint inférieur CD est

T H =T m ^ t [cos. (a, — fl£..,)-f/sin. (a, — a—,)] + sin. (a n — «.-,) 4-G.sin. «„;

et Ton a de plus , pour l'équation exprimant les conditions de 1 équilibre de ce voussoir ,

R. = — T.-, ( i + /» ) sin. ( — }

+7Z., [cos. (et, — <*;.,) — /sin. ( a, — ««, ) ] -h G. ( cos. a, — y* sin. a. ) — 72».

630. Au moyen de ces équations on calculera facilement les pressions désignées par R , en commençant par le voussoir supérieur, et remarquant que T,=o > et yz 0 =o, en sorte que Ton a pour ce voussoir T, = G, sin.a , ,

R, = G, ( cos. a, — /sin. a, ) — y.z t .

621. Si 1 on suppose nulle la force de cohésion , comme il convient de le faire dans la plupart des applications , les équations du n° 619 deviennent

T. = T.-, [ cos. (ou —a—,) +/««• («« —*—.)] + G. sin. et, , R» = — T.-, ( i-f"/' (a n — «.-,) -+-G, (COS. a» — /sin. a. );

et l'on a pour le voussoir supérieur

• T, = Gi sin. a t ,

R, = Gi ( cos. ai — /"sin. a, ).

622. On voit par ces formules que la pression normale exercée sur le cintre par un même cours de vous-

4lO LEÇONS SUR .LAFPL1CATIOX

soirs varie continuellement à mesure que la construction de la voûte fait des progrès. Le premier cours de voussoirs qui commence à charger le cintre , est celui dont l'inclinaison est telle que Ton atang. a ,<y (Voyez pour les

valeurs de y les n*' 280 et suivans, et 3i5)% Quand on vient à poser de nouveaux cours de voussoirs, la pression exercée sur le cintre par celui-ci diminue, et peut même devenir nulle , ou négative. Il en est de même à l'égard des voussoirs suivans; et c'est par cette raison que, lorsqu'on abaisse le cintre d'une voûte avant qu elle ne soit fermée , on voit quelquefois se soutenir en Fair un certain nombre de voussoirs , qui portaient sur le cintre lorsqu'on les avait posés (a). Chaque cours de voussoirs exerce la plus grande pression possible lorsqu'il n'est pas encore recouvert par l'assise suivante. La pression qu'il exerce diminue après la pose de cette assise; elle diminue de nouveau après la pose de l'assise qui recouvre celle-ci ; et ainsi de suite.

6a3. Pour avoir une connaissance complète des ac^ tions exercées sur un cintre, et des divers états d'équilibre par lesquels cette construction doit passer pendant la pose des voussoirs , il est donc nécessaire de calculer, par les formules des n" 6 1 9 ou 1 , les diverses valeurs que prend successivement la pression normale exercée par chaque cours de voussoirs, h mesure que ce cours est recouvert d'un plus grand nombre d'autres. Mais si Ton vent se borner à connaître, pour chaque point de la courbe du cintre, une limite que la pression normale exercée en ce point ne puisse dépasser, il suffira de calculer la pression

(a) Voyez ci-dessus n° 3ia et suivants, ainsi que les ouvrages cités dmib l«s notes.

DE LA MECANIQUE, l r \ PAATIE. 4 IE

exercée par chaque cours de voussoirs , dans l'hypothèse où ce cours est le dernier qui a été posé, c'est-à-dire que Ton emploira la formule

R. ==G» (cos.a* — / sin.a. ) — ys-i

ou , en négligeant la cohésion ,

R. =3= G. ( cot. a n — /sin. a H ).

De Rétablissement des cintres.

624. L'objet que Ion doit se proposer, quand on construit une voûte , est que chaque voussoir placé sur le cintre demeure dans la même situation, jusqu'à ce que la voûte ayant été fermée, et le cintre abaissé , l'ensemble des voussoirs se maintienne de lui-même en équilibre. La voûte, pendant et après le décintrement, peut sans inconvénient subir un léger tassement, produit par l'élasticité de la matière des voussoirs, et par la compression du mortier ou des cales placés dans les joints. Mais un déplacement quelconque des voussoirs, qui aurait lieu avant que la voûte ne fût fermée , ne peut qu'être nuisible. D'après cela les cintres doivent être disposés de manière que pendant la durée de la pose le système ne tende point à changer de figure, et que les pièces ne soient pas sollicitées à tourner sur leurs points d'assemblage.

GaS. La figure 142 représente un cintre porté sur des points d'appui placés dans l'intervalle des culées. Les efforts exercés par les voussoirs, perpendiculairement à la

courbe du cintre, sur les pièces DD,, D,D a , sont

transmis aux pointe d'appui par les poteaux DE,D,E,,

D, E, , dirigés dans le sens de ces efforts. On peut , sans

erreur sensible , assimiler les pièces DD, , D l D a ...... à une

4 12 LEÇONS SUR l' APPLICATION

pièce chargée de poids distribués sur sa longueur , et portée horizontalement sur ses deux extrémités. Il sera facile, d'après ce qu'on a vu ci-dessus , de calculer l'effort exercé sur chacune de ces pièces, ainsi' que les pressions qui en résultent dans la direction des poteaux DE, D, E, ,

626. Ce système demeurera en équilibre et ne tendra point à changer de figure pendant toute la durée de la construction de la voûte. Si les points B , B' sont fixes , et si les trois pièces qui s'assemblent aux points D , D, , D a

y sont attachées les unes aux autres, l'équilibre est stable, lors même que Ton suppose toutes les pièces libres de tourner sur les points d'assemblage. Il serait utile néanmoins de placer quelques écharpes ou entretoises , comme on l'a indiqué sur la figure : ces pièces consolideraient les poteaux , en s'opposant à ce qu'ils ne fléchissent dans le sens du plan de la ferme (a).

627. Lorsque les points d'appui doivent être pris au pied des culées , le cintre peut être disposé de la manière indiquée figure i43. L'effort exercé par les voussoirs, perpendiculairement à la courbe du cintre, est transmis

par les pièces DD, , D, D, , aux points D , D, , D, ,

où ces pièces s'assemblent les uues aux autres. Les efforts normaux exercés au point D se décomposent dans le sens de la contrefiche DA et de l'entretoise horizontale DIX La pression qui en résulte dans le sens de la contrefiche est détruite par la résistance du point d'appui A , et la pression dirigée dans le sens de l'entretoise est détruite par une pression égale provenant de l'effort exercé au point

(a) On trouve le dessin d'un cintre disposé sur ce principe dans les Reports de Smeaton , tome III , page 349-

DE LA MÉCANIQUE, I r \ PARTIE.

D'. Une décomposition semblable a lieu aux points D, ,

D,, Les pièces DD, , D,D a , sont dans le même

état que dans le système considéré n*. 6s5 , et Ton calculera facilement les pressions longitudinales supportées par les contrefiches et les entretoises.

628. Ce système demeurera en équilibre et ne sera point sollicité à changer de figure pendant toute la durée de la construction de la voûte, si Ton pose en même temps les voussoirs des deux côtés. En admettant les suppositions indiquées n° 626 , l'équilibre est stable. Les pièces DE , D, E, , D, E, , indiquées sur la figure , ne sont

utiles que pour consolider les entritoises et les contrefiches, et en reporter le poids sur les points D , D, , D,

629. On peut encore disposer un cintre retroussé de la manière indiquée figure 1 44- Dans ce cas les efforts normaux exercés au point D sont immédiatement transmis aux points d'appui par les contrefiches DA, DA'; et ainsi des autres points D,, D, Les contrefiches ne supportent que des pressions longitudinales qu'il est aisé de calculer.

630. Dans ce dernier système 1 équilibre est stable, et le cintre n'est pas sollicité à changer de figure lors même qu'il y a plus de voussoirs posés d'un côté que de l'autre.

Les pièces DE , D, E, , ont le même objet que dans le

cas précédent (a).

[a) Le principe de cette disposition a été appliqué pour la première fois au pont de Westminster par M. King, en 1740. Il Ta été également au pont de Black-Friars , construit en 1769 par M. Mylne, et dont l'arche du milieu a 100 pieds anglais d'ouverture. A system of mechanical philosophy , par Robison, tome I, page 687. M. Rennie a disposé de la même manière les cintres des

4*4 LEÇONS SUR LAPPL1CATÎON

63 1 . On peut appliquer aux cintres ce qui a été dit a l'égard xles ponts en charpente, n 0fl 6i5 et suivans, sur la nécessité de lier les fermes entre elles.

ARTICLE XII

Des planchers.

63a. Nous distinguerons principalement i» les planchers formés par des solives parallèles, portées sur les murs, ou soutenues par des poutres traversant d'un mur à l'autre; 2° les planchers formés par des pièces qui ne traversent point d'un mur à l'autre, et qui sont assemblées les unes aux autres; 3° les planchers formés de plusieurs couches de planches jointives , assemblées à rainures et languettes, dont les directions se croisent, et qui sont clouées les unes sur les autres.

Les planchers de la première espèce ne comportent pas de recherches spéciales. On pourra toujours, d'après les résultats présentés n°*88 et suivans , i a3 et suivans , comparer la résistance des pièces aux charges qu elles auront à supporter.

633. La disposition des planchers de la deuxième espèce, appelés ordinairement planchers d'assemblage, peut être varice à l'infini. L'objet que Ton se propose est d'exécuter la construction avec des pièces dont la longueur soit moindre que l'intervalle des murs. On considé-

arches du pont de Waterloo , dont l'ouverture est de 120 pieds anglais. Voyez la III e partie des \oyages dans la Grande-Bretagne, de M. Ch. Dupin , Tredgold's Prineiples of carpentry , et les dernières Encyclopédies anglaises. Les voûte* de ces ponts , celles du dernier surtout qui est construit en granit , étaient très-pesantes , les voussoirs ayant plus de 6 pieds de hauteur.

DE LA MÉCANÏQLE, I r# . PAKT1E. 4*$

rera seulement Tune des dispositions le plus simples, indiquée figure Ce système, forme de quatre pièces disposées symétriquement dans un cadre quarré, peut être supposé chargé par des poids distribués uniformément dans toute l'étendue du cadre. On peut aussi le supposer chargé par un seul poids placé au centre, et dont l'action serait transmise aux quatre points désignés par C, C, C',C. Dans tous les cas > si la charge est disposée symétriquement, l'effet de cette charge sera de faire fléchir le système de manière que les quatre points B, B, B', B' s'abaisseront de quantités égales, et demeureront contenus dans un même plan horizontal. Il suit de là que, considérant à part les deux pièces A B, À B et lés poids qu'elles sup* portent, on peut les regarder comme formant un système, dans lequel ces pièces seraient assujetties l'une à l'autre de manière que les points B et B' demeureraient nécessairement au même niveau lors de la flexion. On peut dire la même chose des pièces A'B', A'B'.

Nous supposerons qu'un poids 4 II est placé au centre du cadre, et qu'il en résulte un effort vertical n en chacun des points C, C, C, C. Les extrémités A, A, A', A' des pièces exerceront chacune sur le point du cadre qui les supporte un effort II* On peut donc rechercher les conditions d'équilibre de l'appareil proposé en regardant Je système des deux pièces AB , AB comme étant supporté aux points C, C sur un axe fixe, et chargé aux extrémités A, A de deux poids n.

634. D'après cela on considérera deux pièces égales M/i, mN (fig. i46)> chargées aux extrémités M, m des poids n. Ces pièces se croisent dans l'intervalle N n. L'extrémité de la première est assujettie au point n de la seconde, et l'extrémité de la seconde est assujettie au point N de la première. Les deux pièces portent en C sur

^iô LEÇONS SUR INAPPLICATION

un axe horizontal fixe. Le poids n suspendu en M tend a faire tourner la pièce Mn sur le point C ; mais ce mouvement est empêché , parce qu'un certain effort s'exerce de de haut en bas sur le point N , et qu'un effort égal s'exerce de bas en haut sur le point n de cette pièce , par suite de l'action du poids TI suspendu en m, et de la liaison des deux pièces. Nous pouvons donc regarder la portion C M de la première pièce comme étant encastrée en C suivant une direction qu'il faudra connaître, et sollicitée en M par le poids II , en N par l'effort dont on vient de parler. Nous pouvons regarder également la portion CN de la seconde pièce comme étant encastrée en C , et sollicitée en N par le même effort. Nous nommerons

x , / les coordonnées horizontale et verticale d'un point quelconque de la courbe affectée par les pièces, comptées à partir du point G;

a la distance AC;

a! la distance BC; f l'abaissement AM du point M ; f l'abaissement BN du point N ;

a) l'angle que la tangente de la portion de courbe C M forme en C avec l'axe horizontal Cx;

n' l'effort que l'extrémité de l'une des pièces exerce sur l'autre aux points N, w.

E et p auront les significations indiquées n°* 80 et 1 13.

On aura en premier lieu, pour la partie CN de la première pièce M/î ,

« -£ = 11 (a — jr)—n'(a'—x),

- — —)- u \— - t ;+* wd b- -

On aura ensuite pour la partie MN de la même pièce en déterminant le* constantes de manière que, pour x=a\