CL V

les valeurs de ~ d ~ et jr soient égales à celles qui seraient données par les équations précédentes,

dy f x*\ -a" ,

t dx ==n \ ax ^TJ" n ~^ + u °8- *•

/ax* x 3 \ ,{d\v a'*\ On aura enfin pour la partie CN de la seconde pièce

• = B 7 ^ a? tt- ~ ^ taag. w , ■«r= n ^— - 6 /~ ^tang.«.

La première et la dernière des valeurs de^- doivent également, en y faisant #r=r=a', donner^ Donc

«/ = n ^— — - ri' + a 'uQg. w ,

t/' = n'— a'tang. «.

L'équilibre de lune et de l'autre pièce autour du point C exige d'ailleurs que I'qh ait

Il a = 1 n' a'.

On déduit de pes trois éqiwtjow

tang

n {Sa — a') a**

4l8 LKÇONS SUR L* APPLICATION

et en substituant les valeurs de n et tang.w dans 1 équation appartenant à la partie MN de la première pièce, puis faisant x=a , on trouvera pour rabaissement À M du point extrême M ,

n a{i a* — i aa! -\-a'*)

Si au lieu des deux pièces Mn, Nm, qui se croisent sur la longueur Nn , on n'avait qu'une seule pièce Mm , supportée en C , et chargée aux deux extrémités du poids II ,

la flèche de courbure serait, d après le n° 87, -.^.L'effet

du croisement des deux pièces est de diminuer la flèche de courbure , et d'autant plus que l'intervalle JSn est plus grand. Si les deux pièces se croisent sur toute leur longueur, c'est-à-dire si a'sa , la formule précédente donne ,

comme cela doit être, /=

On a respectivement, pour les parties CN et MN de la première pièce, et pour la partie BC de la seconde pièce ,

&y (<*> ax \

dx'

(a ax\

Lorsque al =\ a, la valeur de ~p est constante dans tous

les points de la partie CN de la pièce M*,- en sorte que la pièce est courbée dans cette partie suivant un arc de

cercle dont le rajon est ~ • ^ » et < l ue cette pièce est également disposée à rompre dans tous les points de cette même

DE LA MÉCANIQUE, I rt . PARTIE. 4*9

partie. Si a! est < a, la pièce Mn tend à rompre en N , et si a 7 est >^a, elle tend à rompre en C. On connaîtra les conditions de la rupture , conformément au n° 358 , en posant dans le premier cas

et dans le second

Si au lieu des deux pièces qui se croisent , on n'avait qu'une seule pièce Mm supportée en C, et chargée aux extrémités des poids n , on devrait avoir, d après le n° 1 11 , p = ITa. On jugera d'après les équations précédentes dans quel rapport le croisement des pièces rend le système plus solide.

635. Les résultats précédens s'appliqueront immédiatement au système représenté figure 1 45 , chargé de la manière indiquée n° 633, et feront connaître la quantité dont les quatre poids n feront fléchir les pièces, où la valeur qu'il faudrait donner à ces poids pour en opérer la rupture.

Si les points d'appui À , A' sont placés au quart des côtés du cadre, on a a':=-, et

Ainsi le système présente alors une force double de celle de deux pièces ayant une longueur égale à la distance des côtés du cadre , quoique le volume du bois ne soit que de moitié en sus plus grand. Dans la réalité, la force du système dont il s'agit ne serait pas tout-à-fait double de celle des deux pièces , parce que les bois sont affaiblis aux points

4^0 Stm t'uPKtCATTOX

. d'assemblage, qui sont précisément ceux où ils tendent 4 se rompre.

636, Si l'on suppose que la section transversale des pièces est un rectangle dont la largeur soit b , p sera proportionnel à i. D'un autre côté , si la hauteur des pièces est réglée de manière que la relation qui , d'après les formules précédentes , doit exister entre p , a et a! , soit satisfaite, cette relation lésera encore, si Von vient à augmenter dans un même rapport les quantités «, d et b. Donc, si Ton fait varier dans un même rapport toutes les dimensions horizontales de la fïg. i45 , sans changer la hauteur des pièces, la valeur du poids 4 II , capable d'opérer la rupture , demeurera constamment la même.

63^. Si le système de quatre pièces, représenté figure 1 45 , était chargé par des poids répartis dans toute I étendue du cadre, on trouverait par des calculs semblables nu r précédens les conditions de l'équilibre. On ne s'arrêtera pas davantage sur ces recherches , qui n'offrent pas de difficultés, et dont il suffit d'avoir indiqué les principes.

De la flexion et de la rupture des plans élastiques,

638. L'objet que l'on se propose en construisant les planchers de la troisième espèce, indiqués au commencement de cet article , est de former uue masse pleine , comprise entre deux plans parallèles, et dont toutes les parties sont, autant qu'il est possible, liées les unes aux autres. Les lois de la résistance <T un tel corps, en le supposant homogène dans toutes ses parties, ont été recherchées (a) ; mais comme 1 exposition de ces recherches

MO* lois ont été exposées pour la première fois pas l'auteur ,

DB LA MÉCANIQUE, I r \ PARTIE. 42 1

serait très-longue, et supposerait la connaissance de méthodes analytiques qui n ont pas encore passé dams les ouvrages et les cours destinés à l'instruction de& ingénieurs, on rapportera seulement les résultais le plus simples , et qui paraissent le plus utiles.

639. Considérons un plan supporté horizontalement sur un cadre rectangulaire fixe, et supposons un poids U placé au centre de ce plan. Nommons

a , b les <}eux côtés du cadre , h l'épaisseur du plan ,

f l'abaissement du centre du plan, où est placé le poids n ;

E ayant la signification indiquée n° 77.

On aura

(3' +*■)■" + (3" a» + 3»*»)' + etC "

etc.

it représentant le rapport de la circonférence au diamètre. La flèche de courbure est réciproque au cuba de l'épaisseur du plan ; et pour des plans de figures semblables , elle est proportionnelle à la deuxième puissance des côtés.

dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences en 1820. Voyez le Bulletin des Sciences par la société Pbilomatique , année i8a3, page 92.

640. Le plan étant chargé de la même manière /et le côté a étant le plus petit des deux côtés a et b, si l'on veut , comme au n° 38a , que les fibres placées aux faces convexe et concave du plan ne supportent pas sur l'unité de surface , par suite de Faction du poids II, un effort plus grand que R', il faudra poser l'équation

45 Dfl& 3 2^ À*

ta Aa\i "T"

-+- etc.

-+ etc.

(5'a a + 6') a + (5 a a'+3'6T~'" CtC " ietc.

et prendre la valeur de n donnée par cette équation pour la limite des poids dont on peut charger le plan. Cette valeur est proportionnelle au quarré de l'épaisseur dufplan. Elle demeure la même lorsque J on fait 1 varier les côtés a et b dans un même rapport , en sorte qu'elle ne dépend pas de la grandeur absolue des côtés (a).

641. Supposons maintenant le même plan rectangulaire chargé de poids uniformément répartis dans toute son étendue , en désignant par p le poids placé sur l'unité de surface. On aura 180 p a* b* li 1 i

**Bà* i.t(a a + !.3(a' + 3»6") a -'" i.5(a*+5>b>) ^