J — ~~J< = OÛ
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 4^1
formules qui font connaître la pression horizontale exercée contre les appuis , et le déplacement du point N où le poids ail est suspendu.
609. Quant à l'action de ce poids pour comprimer et faire fléchir la pièce courbe, on remarquera d'abord, conformément au n° , que si cette pièce , en même temps qu'elle est chargée au poiut N du poids aJI, supporte le poids p sur chaque unité de longueur de l'intervalle MM', la valeur de la pression T sera donnée par l'expression du n* 44 1> à laquelle on ajoutera l'expression du n° 449> « n y mettant pour P et Q les valeurs précédentes. On aura
donc pour la partie NM de la pièce, en négligeant tou-
ie^iij
jours le quarré de -
On remarquera ensuite que
formule où Ton devra substituer pour P et Q les valeurs précédentes. Ces deux expressions serviront à déterminer les dimensions de la pièce courbe, conformément à ce qu'on a vu dans le n 4 47^. Elles conviendront à la partie NM' de cette pièce en changeant le signe de a.
6 1 o. On connaîtra l'effet de la flexion produite par le poids 2II dans le point N où ce poids est suspendu , en faisant dans l'expression précédente x=o; ce qui donne
'^-'tK— )+£(—)!■
ou en mettant pour P et Q les valeurs précédentes ,
v' — ^ n (tf a — «') (7g 4 H-3oa'a'— 5a 4 )
ds t 3a a*
Si l'on suppose * = o, c'est-à-dire que le poids a II est placé au sommet C de la pièce courbe, cette formule s'accorde avec celle qui a été donnée n« 476. Mais le point C n'est pas la position dans laquelle le poids a II donnerait lieu a la plus grande flexion possible; car la valeur max imum de l'ex pression précédente répond à
^ a y/ J y/j2,ou a=o,3556a environ. Ainsi
Je poids an produira la plus grande flexion possible à son point de suspension H , lorsque la distance CD sera un peu plus grande que le tiers de la distance AM. La valeur correspondante de la plus grande eitension ou compression des fibres provenant de la flexion au point de suspen sion N , est , à très-peu près ,
di
, f df — d ?
611. Nous remarquerons que l'expression de S — ^ du n° 609 a un maximum positif qui répond a la valeur „ LîL En substituant cette valeur dans Vex-
pression dont il s'agit , il vient
pour la valeur de ce maximum ; ou en remplaçant P et Q par les valeurs données n° 608 ,
j/ n ( 9 a 4 — 1 6 «* « — 30 a% a * + 5 fl4 ^ V ,6ofl 3 (5a*-6a»a' + « 4 )
Cette formule se réduit à ^. lorsque « = o, ou quand le poids an est suspendu au sommet C de la pièce courbe. Sa valeur augmente lorsque « augmente negati-
DE LA MÉCANIQUE, l". PAUtlE. 4°3
vement à partir de zéro. La distance au sommet C du point où il faut placer le poids 2 II peur la rendre le plu6 grande possible, est un peu moindre que les i de l'intervalle AM', et cette plus grande valeur est , à très-peu
près,^p. o, 177 «. Comme elle est moindre que la valeur
qui a été trouvée dans le numéro précédent, on en conclut que le poids an suspendu en N diminue davantage la courbure de la pièce courbe en son point de suspension , qu'il n'augmente cette courbure dans la partie CM'. On ne doit point oublier d'ailleurs qu'il est nécessaire de cousidérer à la fois l'effet du changement de figure de la pièce courbe, et celui de la pression longitudinale à laquelle elle est exposée , pour juger de l'effort supporté par les fibres.
613. Dans la plupart des ponts en bois (Fig. i38) ou en fer ( Fig. 1 3g ) formés par un arc , on emploie des contrefiches qui concourent avec Tare à soutenir le poids des parties du plancher voisines des culées. Ces pièces peuvent être dirigées parallèlement à l'arc , ou vers uû point placé immédiatement au-dessus des naissances de l'arc. Elles seraient peu utiles si la construction devait seulement supporter une charge répartie uniformément dans l'intervalle des points d'appui. Mais comme les ponts sont destinés à supporter des fardeaux qui occupent successivement les diverses parties de cet intervalle , l'usage des contrefiches est avantageux , en ce qu'il diminue l'action exercée sur Tare, dans le cas où cette action tend à le fléchir avec le plus de force. On ne doit point oublier que les actions verticales exercées aux extrémités supérieures des contretiches produisent, conformément à ce qu'on a vu n° 58 1 , das pressions dirigées dans le sens
de la longueur des sommiers, auxquelles ces dernières pièces doivent être capables de résister (a).
6i3. Lorsque les arcs sont formés de plusieurs cours de pièces courbes en bois, on peut regarder la pression longitudinale comme étant également répartie sur toutes ces pièces. Le moment de flexion e doit être évalué conformément aux n°' 5o8 et suivans, en ayant égard à ce que chaque cours de pièces courbes est ordinairement partagé en plusieurs parties dans le sens de sa longueur. Ces cours de pièces étant places en contact les uns sur les autres, serrés par des brides, et les joints étant distribués de manière qu'ils ne se rencontrent pas vis-à-vis les uns des autres, le moment de flexion est partout au moins égal à la somme des momens de flexion de chaque pièce, moins un de ces momens. Si ces pièces ne sont pas simplement posées les unes sur les autres, mais en-
ta) Dans plusieurs ponts en bois ou en fer supportés par un arc, les moises pendantes , ou autres pièces par lesquelles le poids du plancher est transmis à l'arc , sont inclinées suivant des directions normales à la courbe. Il s'établit alors aux extrémités supérieures de ces pièces , des pressions ou des tensions horizontales dirigées dans le sens des sommiers; et aux points où les mêmes pièces portent sur l'arc , des pressions horizontales égales aux premières , et dirigées vers le milieu de l'arche. Ainsi l'arc est alors sollicité % non-seulement par l'action verticale du poids de la construction , mais encore par des actions horizontales qui n'existent pas quand les moises pendantes sont placées verticalement. On peut remarquer aussi que lorsque les pièces qui transmettent à Tare le poids du plancher sont perpendiculaires sur cet arc , ce poids n'est pas réparti uniformément sur l'intervalle compris entre les culées. La partie du milieu de l'arc est plus chargée , et les parties voisines des culées le sont moins , ce qui exige de la part de cet arc une plus grande résistance.
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 4o5
taillées à crémaillères, ou assemblées avec des clefs (comme l'indique la fig. o,3 ), et si les joints sont croisés comme on vient de le dire, le moment de flexion , dans les parties le plus faibles, différera peu de celui d'un solide d'une seule pièce , avant pour hauteur la somme des hauteurs des pièces , moins une.
614. Dans les ponts en fer les arcs sont ordinairement formés par deux cours de pièces courbes , dont les parties sont liées d'un cours à l'autre par des montans normaux et des croix. Les parties placées les unes au bout des autres , dans chaque cours , doivent être réunies par des liens en fer forgé, fortement serrés , qui présentent à la tension une résistance égale à celle de ces parties. Un arc ainsi formé peut être regardé comme un corps d'une seule pièce , dont le moment de flexion c s'évaluera conformément au n° 5i 1 . La pression longitudi^le peut être supposée également répartie sur les deux cours de pièces courbes.
De la liaison des fermes dans les ponts en charpente.
6 1 5. À l'exception des cas*indiqués n° 558 , les constructions dont on s'est occupé ci-dessus présentent un équilibre stable, quant aux changemens de figure qui peuvent avoir lieu dans le plan vertical de chaque ferme. Mais l'équilibre n'est point stable à l'égard des déplacemens des parties de la ferme qui auraient lieu d'un coté ou de l'autre de ce plan. Il faut excepter seulement le cas où les sommiers , dirigés en ligne droite d'une culée à l'autre, seraient formés de pièces attachées les unes au bout des autres, et fixées aux culées.
Cette dernière disposition n'ayant presque jamais lieu il est indispensable de prendre des précautions pour maintenir les fermes dans leurs plans respectifs. On y par-
4q6 leçons sun l'application
viendra en plaçant d'une ferme à l'autre des pièces horizontales , nommées entretoises , et les assemblant à leurs extrémités avec les pièces des fermes, de manière que laogle qu'elles forment avec le plan de ces fermes ne puisse varier. Par cette disposition une ferme ne pourrait se déverser en tournant sur ses points d appui, sans que toutes les autres ne prissent le même mouvement , et sans que toutes les entretoises ne fussent rompues aux deux extrémités (a).
6i6. On maintient les fermes d'une manière encore plus sûre , en ajoutant aux entretoises des pièces dirigées diagonalement dans leurs intervalles. On peut placer ces pièces, nommées contrevents, entre les arcs, dans les plans inclinés qui contiennent les contrefiches , dans le plancher, et dans les plans verticaux ou normaux qui contiennent les moïses fondantes. L'effet des contre* vents tient à ce que les fermes ne peuvent se déverser sans qu'une partie de ces pièces ne s'accourcisse, et que l'autre ne s'allonge. Leurs extrémités doivent être attachées aux pièces des fermes avec des liens de fer fortement serrés. Au moyen des contrevents il n'est plus nécessaire , pour la stabilité de l'équilibre , que les entretoises soient assemblées avec les pièces des fermes de manière que l'angle nç puisse varier au point d'assem-
(a) Cette disposition est princi paiement applicable aux ponts en fer. L'exemple du pont d'Austerlitx , à Paris, dont les arches ont plus de 3a* d'ouverture, prouve que l'emploi des contrevents n'est pas indispensable. On n'avait point placé de contrevents dans la grande arche en fer fondu , de 7 a™ d'où verture , qui forme le pont de Sundcrland , mais on y a ajouté , postérieurement à la coustrucuon , quelques liens dirigés diagonalement.
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 4°7
blage , mais il faut toujours que les extrémités des entretoises soient attachées aux pièces des fermes.
617. Les principales causes du déversement des fermes d'un pont sont Faction du vent , et les secousses qui peuvent être imprimées lors du passage des voitures. On ne peut les apprécier avec assez d'exactitude pour soumettre au calcul rétablissement des pièces destinées à prévenir ce déversement.
ARTICLE XI
