DEUXIEME SECTION
de l'équilibre et de la résistance des massifs formés de matieres adhérentes. de l etablis- SEMENT DES MURS DE REVÊTEMENT DES TERRES.
187. Les massifs , dans les constructions , sont formes par des terres, des sables , de la maçonnerie. Pour établir les lois de l'équilibre et de la résistance de ces massifs , on les regarde en premier lieu comme des masses homogènes, dont les parties adhèrent les unes aux autres , et n'ont pas plus de tendance à se séparer dans une direction que dans une autre. On examine ensuite ce qui doit arriver quand les massifs sont formés de matériaux taillés régulièrement , et posés par assises.
ARTICLE PREMIER
De l'équilibre d'cn massif coi pè latéralement.
188. Considérant un massif dont la surface supérieure est terminée par un plan horizontal CD (fig. i4), et qui est coupé latéralement par un plan AC, on regarde ce corps comme devant se partager suivant une direction rectiligne inclinée quelconque AT, la partie ACT glissant sur AT. Il s'agit de déterminer l'inclinaison que doit avoir le talus AC , pour qu'il ne se fasse aucune disjonction daus le massif. On nommera
h la hauteur AE de la coupure faite dans le massif; m le rapport de la base à la hauteur du talus AC , ou la
tangente de l'angle EAC ; g l'angle E AT; J
Il le poids de l'imité de volume de la matière du massif;
y la force, rapportée à l'unité de surface, nécessaire pour séparer deux portions du massif, en les faisant glisser Tune sur l'autre; f le rapport du frottement à la pression , pour deux portions du massif glissant Tune sur l'autre.
On aura , pour le poids du prisme C AT ,
- — ( tang. 6 — m ) ;
pour la force qui tend à le faire glisser le long de AT,
— ( tang. 6 — m ) cos. S ;
et pour la force qui s'oppose à ce glissement,
f— h —{ tang. 6— m ) sin. 6+ —
L'équation qui exprime l'égalité de ces deux forces est
( tang. e-m ) ( i-/tang. î)= Il ( i+tang.' 6 ), et l'on en déduit
a y i-ftang.'6 Il A i— 3/tang.S
189. Si l'on détermine la valeur de 6, qui rend cette expression un maximum , on connaîtra à la fois la plus petite valeur qu'il soit possible de donner à m, et la direction suivant laquelle le massif se romprait, si l'on donnait à m une valeur un peu au-dessous de celle qui convient à l'équilibre.
DE LA MÉCANIQUE, l r \ PARTIE. ia3
Cette valeur de 6 est donnée par l'équation
et en la substituant dans l'expression de m du n° précédent, on a
pour la limite de l'inclinaison suivant laquelle le massif peut être coupé sans qu'il survienne d cboulement.
Si Ton résout cette équation par rapport a A, on connaîtra la plus grande hauteur sur laquelle le massif peut se soutenir avec l'inclinaison m.
190. Si A est très-petite, cette formule donnera pour m une valeur négative; en sorte qu'on pourrait alors couper le massif, sans qu'il y eût éboulement, suivant un plan tracé à gauche de la verticale AE, et à plus forte raison suivant un plan vertical. En faisant
la formule précédente donnera mr=xo : ainsi , sur la hauteur exprimée par cette formule , le massif tranché verticalement se maintiendra encore en équilibre. Mais , en donnant à h des valeurs plus grandes , on aura pour m des valeurs positives croissantes , jusqu'à une limite que l'on trouve en supposant h infinie, et qui est
Cette limite répond à l'inclinaison que la surface du massif prendrait d'elle-même, en supposant la cohésion des parties détruites, et admettant qu'elles ne se maintiennent que par l'effet seul du frottement.
191. Si Ton suppose y—o , ou que les parties du massif n' aient entre elles aucune cohésion , on a
tang.6=^., m =y
en sorte que le massif doit alors être coupé suivant l'angle du talus naturel.
Si Ton suppose y=o, ou que la force unissant les deux parties du massif soit indépendante de la pression , et seulement proportionnelle à I étendue des surfaces en contact, on a
„ nh ii'k 1 — 167»
«ang.e=, m __ .
192. L'expression de Hu n" 190, en nommant r l'angle dont la tangente est y, peut s'écrire
n.tang. \ x
d'où
7 = i n A. tang. i t.
Elle représente la plus grande hauteur sur laquelle la masse puisse être coupée verticalement , sans qu'il survienne d'éboulement. Si 7 = 0, cette hauteur est nulle.
Si f=o , elle est égale à
La valeur du nombre f se connaît en observant le talus que prend la matière du massif quand la cohésion a été rompue : f est la tangente de l'angle que ce talus fait avec l'horizon , et t l'angle que ce talus fait avec la verticale. En observant ensuite la hauteur sur laquelle le massif peut être coupé verticalement, sans qu'il y ait écoulement , on connaîtra le poids y au moyen de l'équation précédente.
DE LA MECANIQUE, I re . PARTIE. 125
193. Reprenant le calcul du n° i88, conservant les mêmes dénominations, et supposant la surface supérieure CD du massif (fig, i5) chargée uniformément par des matières qui doivent se diviser suivant des plans verticaux correspondans aux extrémités supérieures T des plans de rupture; nommant p la pression qui en résulte sur l'unité de surface du plan CD; on aura pour la force qui tend opérer le glissement le long de AT,
( ph+\ n h* ) { tang. 6— m ) cos. 6 ;
pour celle qui tend à l'empêcher
/{ph+{nh*){ tang. 6 — m ) sin. 6+7 .
En égalant ces deux quantités , il viendra
1 7 (i-4- tang.'S )
{ tang. 6-m ) ( 1 -/tang. 6 ) « \Z+ n l 5
et si l'on compare cette équation à celle du n° 188, on reconnaîtra que les formules trouvées dans le n° 189 s'appliqueront au cas dont il s'agit , en y écrivant 2p -h 11 h à la place de nft.
ARTICLE IL
De l'équilibre d'un massif terminé par deux faces latérales , DONT LA SURFACE SUPÉRIEURE EST CHARGÉE d'un
194. On considérera, pour plus desimplicié, un massif compris entre deux plans verticaux parallèles ( fig. f 6). Supposant que ce massif doit se rompre suivant la direction AT, ou nommera
h la hauteur AC du massif;
a l'épaisseur AB ou CD;
a l'inclinaison sur l'horizon de la ligne de rupture AT; V un poids réparti uniformément sur la surface supérieure CD, pour l'unité de longueur du massif; Il ,y"et y auront les significations indiquées n° 188;
La force qui tend à produire le glissement de la partie supérieure du massif le long de AT est
^P+n ah — — ^- tang. a ^ sin. a ;
celle qui tend à empêcher ce glissement est
/( P+n a h — — taoff. a ) cos. a+ — — .
\ a / cos. a
Si l'on égale ces deux expressions , on aura / n a* \
( P+n ah — tang. a \ (tang.a— -f)=f a ( i+tang.'a) ,
d'où l'ou déduit
, . l\a* i+tang.'a P+n a h = — taog. a T7 a. 0 .
1 tang. a—J
195. En faisant varier a, et déterminant la valeur minimum de P-hlTa/i, on connaîtra en même temps la direction suivant laquelle le massif se romprait, si la charge surpassait un peu la valeur qui convient à l'équilibre, et la plus grande hauteur qu'il soit possible de donner à ce massif, ou le plus grand poids dont ou puisse le charger.
La valeur de tang. a qui répond au minimum du second membre de l'équation précédente est
tang. «=/+ JVÙϱn .
et en la substituai] t clans ce second membre, ou trouve P+n a h—/Q l ~ +2 7 tf^+V/ 27 <z(na J +27a) (i+f)
DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. 127
pour l'expression de la plus grande valeur qu'il soit possible de donner à P II a h , sans causer la rupture du
massif.
196. Si Ton fait abstraction du poids de la partie supérieure ACDT du massif, ces formules deviennent
197. Si de plus on suppose y=o, ou que la résistance au glissement soit indépendante de la pression, et proportionnelle à la surface de rupture, on a
tang. a=i i , P=:2ytf,
résultats donnés par Coulomb (a). La rupture tend alors à s'opérer suivant un plan incliné d'un demi-angle droit; la valeur de P est proportionnelle à l'épaisseur a du massif. Ces formules peuvent donner les lois de l'écrasement d'un prisme de pierre, par un effort exercé sur la face supérieure.
198. Les résultats précédens supposent la composition du massif homogène, comme le serait celle d'une masse de terre, de béton, ou de petits moellons posés irrégulièrement et unis avec du mortier. Dans ce dernier cas, on doit mettre dans les formules, pour f et y, les valeurs qui conviennent à la matière du mortier. Mais si le massif est formé en pierres un peu grandes, taillées régulièrement, et posées par assises horizontales, la lézarde inclinée qui a lieu lors de la rupture devra se former dans les pierres mêmes; et par conséquent les valeurs àef et y devront être celles qui conviennent à la matière de ces pierres. On rend raison de cette manière de la plus grande solidité que Ton obtient en employant le mode de construction dont il s'agit.
{à) Mémoires des savans étrangers , 1773.
LEÇONS SUR LAPPLICATION
ARTICLE III
De l'équilibre d'un massif expose a un effort exercé
