CONTRE UNE DES FACES LATÉRALES

199. Considérons un massif ABDC (Fig. 17) compris entre deux faces parallèles, soumis à l'action d'une force horizontale appliquée en E. Cette force pourra rompre le massif, en faisant glisser la partie supérieure sur la partie inférieure, ou en renversant la première. Ces deux modes de rupture doivent être examinés à part.

Cas où la rupture du massif s* opère par glissement.

200. La rupture doit s'opérer suivant une direction inclinée quelconque ST dans la partie ABEF du massif, et il s'agit de déterminer la moindre valeur qui puisse être attribuée à la force horizontale appliquée en E , avec la condition d'opérer cette rupture. On nommera

a l'épaisseur AB du massif;

H la hauteur AF ou BE du point d'application de

la force horizontale; P le poids de la partie supérieure CDEF pour une

unité de longueur du massif; Q la valeur de la force horizontale appliquée en E

pour une unité de longueur du massicot l'angle de la ligne de rupture EF avec l'horizon; h la distance SF;

n le poids de l'unité de volume de la matière du massif;

y la force, rapportée à l'unité de surface, nécessaire pour séparer deux portions du massif, en les faisant glisser l'une sur l'autre;

DE LA MÉCANIQUE, I r \ PARTIE. I 29

f le rapport du frottement à la pression pour deux

portions du massif glissant Tune sur l'autre; (s l'angle dont la tangente est f.

La force qui tend à produire le glissement sur ST est

Qcos. a+ (P-fimA— \ n a? tang. « ) sin a; La force qui s'y oppose est

— /<? sin.>-f/(P-r-nrtA — \Tla> tang «) cos. a + y .

cos. a

En égalant ces deux expressions et tirant la valeur de Q, il vient

q^i (iP+n<i&— Ha* tang.a) (/*— tang.ot) -fayg (i-f tang.'g) 2* i-f/ tang. a

Cette expression représente la valeur qu'il faudrait attribuer à la force Q pour qu'il y eût équilibre entre les actions qui tendent à faire rompre le massif, et les résistances qui s'opposent à la rupture. Les quantités h et a sont indéterminées : on ne peut exposer le massif à une action horizontale surpassant la plus petite des valeurs que prendra Q dans l'équation (/), quand on y fera varier dans le second membre h et a.

201. Si l'on avait y=o , il suffirait de prendre tang. a—f pour rendre nulle la valeur de Q. Ainsi lorsque la cohésion est nulle le massif ne peut supporter aucune action horizontale.

202. Nous remarquerons d'ailleurs que le terme qui contient h dags l'expression (/) sera positif ou négatif suivant que tang « sera < ou>y. Par conséquent si l'inclinaison de la ligne de rupture ST sur l'horizon devait être supposée moindre que l'inclinaison du plan sur lequel les parties du massif se tiendraient en équilibre par l'effet du frottement seul (incliuaison désignée par <j et que l'on nomme ordinairement Y angle du frottement),

iZo LEÇONS SUR L APPLICATION

il faudrait prendre h le plus petite possible. Au contraire si l'inclinaison de la ligne de rupture sur l'horizon devait être supposée plus grande que l'angle du frottement, il faudrait prendre h le plus grande possible. On peut donc être obligé d'admettre que la ligne de rupture part du point E, ou bien du point À : ces deux cas doivent être considérés séparément. Quant à l'inclinaison qui doit être attribuée à cette ligne de rupture, on verra tout à l'heure comment elle doit être déterminée.

3o3. Admettons d'abord que la rupture s'opère suivant la ligne AU partant du point A. On fera A=sII dans l'équation (/), et posant pour abréger

À=*(/P-r-/naH+ 7 a), B=/na» + »P-T-anaH,

elle deviendra

v â i-r/taog. «

Supposons la force de cohésion nulle, puis croissant progressivement à partir de zéro : il y aura d'abord des valeurs de tang. « qui rendront Qe=so. Ces valeurs seront données par l'expression

B±:V/B'-4ÀC

taog. « = -g .

Si y n'est pas assez grande pour que ces valeurs soient imaginaires, elles seront toutes deux positives, et toute valeur de tang. a comprise entre les valeurs dont il s'agit donnerait pour Q un résultat négatif. Par conséquent le massif ne peut supporter aucune action horizontale , à moins que les valeurs données par l'expression (n) ne soient imaginaires; ou à moins que, si elles sont réelles,

la plus petite de ces valeurs ne surpasse — , c'est-à-dire

DE LA MÉCANIQUE, l r \ PARTIE. l3l

n'indique une ligne de rupture située au-dessus de AE. En effet, toute ligne de rupture tracée dans l'angle BAE peut être admise : mais on ne peut pas supposer que la rupture s'établisse au delà de cette ligne. Si les valeurs données par l'expression («) sont réelles, et si la plus petite surpasse ?■ ,on fera donc tang.a=5- dans l'expression

(m), et l'on aura dans ce cas la valeur du plus grand effort horizontal que le massif puisse supporter.

204. Si les deux valeurs données par la formule («) étaient imaginaires, on en conclurait qu'il existe une valeur minimum positive de Q, dont il faudrait faire la recherche. La valeur de tang. « qui rend l'expression (m) la moindre possible est

tang. * = --^+ yV c ' {0)

qui donnera pour tang. a des valeurs de plus en plus petites, à mesure que y augmentera. Si la valeur de tang. a

que l'on en déduit était plus grande que — , ce qui

indiquerait une direction de la ligne de rupture placée au delà de ÀE, il faudrait évidemment faire tang. « =2

— dans l'expression (/n), et l'on aurait alors la valeur

cherchée pour Q. Mais si la valeur de tang. a donnée

par la formule (o) est < — , il faudra mettre cette voleur

dans l'expression (m).

ao5. On doit remarquer toutefois que , lorsque y augmente de plus en plus, la valeur de tang. « donnée par la formule (0) diminuant, cette valeur peut être trouvée </. En effet, si Ton suppose y infiniment grande la formule (0) donne

tang. « s t l — — ou tang. a = \ 9 \

i3a leçons sur l'application

en sorte que la direction de la ligne de rupture partagerait alors en deux parties égales l'angle du frottement. Mais d'après ce qui a été dit n° 202, il ne faudrait pas admettre ce dernier résultat : car si tang. a est il convient de supposer la ligne de rupture le plus haut possible , c'est-à-dire partant du point £ : à valeur égale pour « , la formule (m) donnera alors une valeur moindre pour Q. On devra par conséquent, si l'expression (o) donne pour tang. a une valeur <Cf, recourir à d'autres formules, établies dans la supposition que la ligne de rupture part du point E.

206. Admettons donc maintenant que la rupture s'opère suivant la ligne E V partant du point E.

La force qui tend à produire le glissement sera Q cos. a+ (P+t n «' tang. a) sio. a ; et la force qui s'y oppose

— /Q siii. « -f-/( P -f i n a 1 tang. a ) cos. «.

Egalant les expressions de ces deux forces, et tirant la valeur de Q , on trouve

n '(* P+na* tang.oQ tf— tang.«)+2 7 a ( i+tang.'q)

V ~2 i-h/tang. a W

En faisant pour abréger

B =/nû'-3P,

cette formule deviendra

Q A+B tang.q— C tang.» a i-h/ tang.a • *

207. Si l'on suppose d'abord y nulle ou très-petite, il y aura uue valeur de tang.a qui rendra Q nulle. Cette valeur de tang. « est représentée par l'expression

DE LA MÉCANIQUE, 1 PARTIE. l33

qui donnera pour tang. x la valeur /quand y sera = o , et des valeurs de plus en plus grandes à mesure que y augmentera. Si cette valeur donnée par la formule (q)

est < — , c'est-à-dire indique une ligne de rupture comprise dans l'angle BEF, on en conclura évidemment que le massif ne peut supporter aucune action horizon-

taie. Mais si l'expression (?) est > — , ou est imaginaire, ce massif pourra résister à une semblable action. Ainsi , pour que le massif puisse supporter une action horizontale, il faut et il suffît que la valeur donnée par l'expression (q), et la plus petite des valeurs données par l'expression (n), surpassent toutes deux le rap- H

port Mais comme ici l'on considère des valeurs de

tang. a qui sont nécessairement >/, l'expression (n) répond au cas le plus défavorable à la résistance du massif, et par conséquent on pourra examiner seulement si la condition dont il s'agit a lieu pour la plus petite des valeurs données par l'expression (n) : elle aura lieu à plus forte raison pour la valeur donnée par la formule (q ).

208. Quand on aura reconnu que le massif peut supporter une action horizontale, il s'agira de rechercher comme ci-dessus la valeur de tang. a, qui répond à la valeur minimum de cette action. Cette valeur est exprimée par la formule

tang. « = — y +y,y -gi— 1-1 , (r)

qui donnera, à mesure que y augmentera, des valeurs de plus en plus petites. Tant que ces valeurs seront

>— , d'où l'on conclurait que la ligne de rupture EV se

trouverait dirigée au-dessous deEA, ce quinepeutétre ad-

j34 leçons sur l'application

mis, il faudra faire tang. dans l'expression (/>) qui

donnera la valeur cherchée pour Q. Mais si la valeur (r) est < — , ce qui indique une direction de la ligne de

rupture EV comprise dans l'angle AEF, il faudra substituer cette valeur dans l'expression (p).

Il faut remarquer néanmoins que l'expression (r) qui, si y était infinie , donnerait comme l'expression (o) tang. œ = tang. \ <j , peut donner des valeurs de tang. a qui

seraient à la fois < ~ , et > y. Si cela arrivait, on ne

devrait plus, conformément à ce qui a été dit ci-dessus , employer l'expression (/>) : il faudait recourir à l'expression (/), où l'on substituerait pour tang. « la valeur donnée par la formule (o), et qui donnerait alors pour Q la plus petite valeur possible, qui doit être admise dans les applications.

209. En résumé , lorsque l'on considère la rupture par glissement d'un massif, et que l'on veut déterminer le plus grand effort horizontal Q auquel ce massif peut résister, il faut examiner les valeurs de tang. * exprimées par la formule (n). i° Si ces valeurs sont réelles et plus petites

que —, le massif ne pourra supporter aucun effort. 2 0 Si

ces valeurs sont réelles et plus grandes que — , on fera

tang. et = — dans la formule (m), qui donnera pour Q la

valeur cherchée. 3°. Si ces mêmes valeurs sont imaginaires, on calculera la valeur de tang. a par la formule (o) , et on la substituera dans la formule (m); on calculera également la valeur de tang. « par la formule (r) et on la substituera dans la formule (p) : on adoptera ensuite la moindre des deux valeurs de Q obtenues de cette manière.

DE LA MÉCANIQUE , V PARTIE. ï35

2 i o. Les résultats précédens supposent la composition du massif homogène. On peut les appliquer aux massifs construits en terre, en béton , ou en petits moellons posés irrégulièrement, en attribuant aux constantes f et y les valeurs qui conviennent au mortier qui unit lès matériaux.

À l'égard des massifs construits en grandes pierres taillées régulièrement et posées par assises réglées, il y a quelquefois certaines directions suivant lesquelles le massif peut se rompre plus facilement que suivant toute autre. Par exemple, si le massif est construit par assises horizontales, il doit se rompre dans le joint placé immédiatement au-dessous du point d'application £ de la force Q. Dans ce cas l'équilibre exige que

Q=/P4-ya

en mettant pour y la valeur qui convient au mortier.

Si les pierres étaient disposées de manière qu'il n'y eût pas de joints continus dans les directions suivant lesquelles le glissement peut s'opérer, il faudrait examiner l'étendue de la surface des pierres qui doivent être rompues pour que le glissement ait lieu , et évaluer eh conséquence la résistance due à la cohésion.

Cas où la rupture du massif s'opère par renversement.

211. Supposons maintenant que le massif s'étant rompu suivant une direction inclinée AT (Pig. 18), la partie supérieure ACDT se renversé en tournant sur l'arête A. Conservant les dénominations du n* 200, et désignant de plus par

R la cohésion absolue de la matière du massif sur l'unité de surface, ou la force nécessaire pour séparer deux portions du massif, en tirant perpendiculairement au plan de rupture;

l3ft LEÇONS SUR l'aPPLICATION

on aura pour le moment de la force qui tend à faire renverser la partie supérieure ,

QH. ,

Le moment des forces qui s'opposent à ce renversement est, en prenant pour le moment de la résistance à la rupture sur AT, une expression conforme à celle qui est donnée par l'hy po thèse de Ma riotte( voyez n° i5o),