V.a , llrf'H na* , Ra
— + — r tan « a+ 7^7;-
En égalant ces deux momens, on a
^„ P.fl.na'H na 3 , Krt' , ,
Q H = — + — — taog. a + — ( i -f- tang,» a J.
3 12. Si Ton cherche la valeur de tang. a qui rend le second membre un minimum, on connaîtra en même temps la direction suivant laquelle la rupture s'opérerait, si la valeur du moment QH surpassait un peu celle qui convient à l'équilibre, et la plus grande valeur qu'il soit possible de donner à ce moment. La valeur de tang. a qui satisfait à cette condition est
na
tang. « = — ;
et eu la substituant dans l'équation précédente, on a pour la limite cherchée
En résolvant cette dernière équation par rapport à a , on connaîtra la moindre épaisseur qu'il soit possible de donner au mur, pour qu'il résiste à l'action de la, force Q.
21 3. Si la force de cohésion est très-grande, ou a sensiblement
„ P.* , na'H , Ra' tang.a = o, QH = — 1 — + — .
La rupture s'opère alors sur la base AB. Il est supposé que le massif adhère à cette base avec la force exprimée par R.
214. A mesure que R diminue, a augmente, et la ligne de rupture s'écarte de plus en plus de AB. Mais si la valeur de tang. a. du n° (212) était plus grande que
— , c'est-à-dire si la ligue de rupture dépassait AE, on
ne pourrait pas appliquer la formule précédente, parce que Faction de la force Q ne peut pas produire une disjonction dans la partie supérieure CDEF du massif.
2 1 5. Lorsque l'expression de tang. a du n° 2 1 2 est > — ,
on en conclut que la rupture du massif tend a s'opérer suivant une ligne brisée telle que*AUE. L#* résistance à la rupture résulte alors simultanément de la cohésion qui a lieu sur les deux parties de cette ligne. Si la cohésion est supposée nulle, comme on doit le faire le plus souvent dans les applications, on doit supposer la ligne AU presque contiguë à la ligne AF, et par conséquent apprécier la valeur qu'il convient d'attribuer à la force Q d'après l'équation
P a QH = — — ,
qui répond à une limite au-dessous de laquelle la résistance du massif ne peut être estimée , du moins tant que l'on regarde les parties de ce massif comme ne pouvant être écrasées.
l38 LEÇONS SUR L'APPLICATION
ai 6. Si le massif n'adhère pas à sa base avec la même force que les parties du massif adhèrent entre elles, en sorte que la valeur de la force de cohésion dans le plan AB ait une valeur R' plus petite que R, on aura , en posant l'équation
une autre limite , que le moment QH ne pourrait dépasser sans causer le renversement du massif.
217. Si le massif est construit en pierres taillées régulièrement , et posées par assises horizontales , les résultats précédens peuvent être appliqués sans modification sensible, en attribuant à R la valeur qui convient à la matière du mortier qui unit les pierres.
Le mode de rupture dont il vient d'être question est celui qui a lieu le plus fréquemment, la rupture par glissement pouvant être prévenue par divers procédés de construction , et exigeant généralement un effort plus considérable que n^e le fait ]p rupture par renversement.
218. Si les paremens du massif étaient inclinés à l'horizon , ou formés par des lignes discontinues 7 et s'il était sollicité simultanément par plusieurs forces appliquées a divers points, il ne conviendrait pas de chercher à en exprimer la résistance par des formules générales dans la vue d'y appliquer les règles des maxima et minima. On devrait alors, en se guidant par les notions précédentes , évaluer la résistance pour diverses lignes hypothétiques de rupture, afin de distinguer le cas le plus désavantageux, et de s'assurer que dans ce cas même le massif présentera la force nécessaire.
DE LA MÉCAMQUE, I f# . PARTIE. ^9
Des pressions exercées sur les parties du massif , et qui tendent à en causer {écrasement.
219. Considérons le cas traité dans les n oa 21 1 et suivans , dans lequel la rupture du massif est supposée s'opérer par renversement, et supposons la construction tellement disposée qu'il y ait simplement équilibre entre l'action delà force horkontaleQ (Fig. 1 8) d'une part, et d'autre part l'action des résistances provenant du poids des parties du massif qui tendent à être soulevées et de la cohésion. La direction de la résultante unique de toutes ces forces rencontrerait l'arête A qui est l'axe fixe autour duquel le mouvement de rotation tend à se produire. Mais cette arête serait alors exposée à s'écraser. Pour qu'aucun écrasement ne puisse avoir lieu , il faut que les efforts exercés sur cette partie du massif, qui est le plus exposée, se trouvent répartis sur une surface d'une certaine étendue.
Cette condition exige qu'il y ait excès de résistance de la part du massif; en sorte que la direction de la résultante de la force horizontale Q, et des actions qui résistent à cette force , doit passer en un point b situé en dedans de la base du massif, à une distance finie Ai de larête A. Supposons que l'on ait ainsi disposé la construction de manière à obtenir un excès de résistance, et que l'on veuille vérifier si la pierre présentera la force nécessaire. On déterminera la direction de la résultante commune des actions qui tendent à rompre le massif et des forces qui résistent a ces actions, et le point b où la direction dé cette résultante rencontrela base AB. On considérera ensuite que l'effort supporté par la base du massif doit se trouver réparti sur une portion de cetje base plus grande que la portion Ab. Donc si Fort regarde cette portion A* comme supportant seule un eflbrt égal à la résultante dont il s'a-
Iij0 LEÇONS SUR h APPLICATION
gît, on connaîtra ainsi une limite que la pression exercée sur la pierre ne peut dépasser.
De la figure dun massif dégale résistance à la mpture
par renversement.
aao. On cherche la courbe BE ( Fig. 19), suivant laquelle le massif doit être terminé en dessous, pour que la résistance à la rupture , suivant une direction quelconque AT tracée dans l'angle BAE, soit partout la même. On nommera
M le moment de la force Q , moins le moment de la portion ACDE du massif, ces momens étant pris par rapport au point A;
H la hauteurg E du point d application de la force Q ;
c la longueur de la ligne A E ;
A l'angle BAE ;
a langle BAT ;
p le rayon AT ;
Il et R auront les significations indiquées ci-dessus.
Considérant a et p comme des coordonnées auxquelles sont rapportés les points de la courbe BE , et nommant à et p les coordonnées d'un point quelconque T' situé au delà de T , on aura
\ n. do!. cos*a\ p' 3
pour le moment du poids d'un élément triangulaire de l'aire ATE. Par conséquent, supposant que la rupture 6 effectue en AT , l'équation d'équilibre sera
M- i n f A do!, cos. «'. p' 3 «=
Différenciant par rapport à a , on a
n da. cos. «. p 3 = 2 R prfp ,
DE LA MÉCANIQUE, l'\ PARTIR. l^l
d'où
— sin a = h consi. ;
ou , parce que quand «= A , p=c ,
aR.c
p "iR + n ( sin. A — sin. a) c*
ou
^aR + n(H- csin.a)' ce qui est l'équation de la courbe cherchée.
32i. Si l'on suppose la cohésion extrêmement grande, cette équation se réduit à
la courbe devient l'arc de cercle Efc décrit du point A.
222. Lorsque l'on suppose la cohésion très-petite, la courbe se confond sensiblement avec la droite EA. Si , dans ce dernier cas, on avait donné au massif un protil rectangulaire, la partie EA 6 serait inutile à la solidité.
Les considérations précédentes trouvent principalement leur application dans 1 établissement des contreforts employés dans les édifices du style dit Gothique.
Expériences sur la résistance des massifs de maçonnerie à la rupture par renversement.
3a3. M. Séguin aîné (0), et surtout M. Vicat (6) ont fait quelques expériences sur ce genre de résistance. Les
(a) Des ponts en fil de fer, a*, édition, page 110.
{ù) Influence du mode d'attache des chaînes, sur la résistance des piliers des ponts suspendus. Annales des Ponts et Chaussées, tome 3.
1^2 leçons sur l'application
dernières se rapportent principalement au cas où l'effort est exercé par une chaîne qui enveloppe un massif, et qui le sollicite suivant une direction inclinée. Les notions qui ont été exposées ci-dessus sont d'accord avec les résultats de ces observations.
ARTICLE IV
De l'établissement des murs de revêtement qui résistent a la poussée des terres et des eaux.
22$. Cette question comporte deux parties : i° la recherche de la pression que les terres exercent contre une paroi plane 9 par laquelle elles sont revêtues; a° la recherche des dimensions qu'il convient d'attribuer aux murs qui résistent à ces pressions.
Pression exercée par les terres contre une paroi plane.
225. AB (Fig. 20) étaut une paroi plane pressée par un massif de terre, et maintenue par une force Q perpendiculaire à cette paroi , on demande la valeur de la force Q, et le point E de la paroi auquel cette force doit être appliquée.
Supposant que le massif doit se diviser suivant une direction inclinée AT, on nommera
h la hauteur verticale AC du revêtement; e l'angle BAC, formé par la paroi avec la verticale; 6 l'angle BAT, formé par le plan de rupture avec la paroi;
t l'angle CAF, formé avec la verticale par le plan sur lequel les terres se tiendraient en équilibre par l'effet
seul du frottement; en sorte que /"=?—.
^ J SIQ.T
~,fety auront les significations indiquées n° 188.
DE LA MÉCANIQUE, l". P1BTIE. 1 4^
La force qui tend à faire glisser le prisme BAT sur AT est
[tang. — t) -\- tang. »]. cos. (6 — •).
La force qui s oppose à ce glissement est
,S4-yXJcos.S+-- [tang.(6— f)4-tang.i]5in.(Ç— 1)+
a ° co*.(6 — i)
Egalant ces deux forces, et tirant la valeur de Q, on a — [tang.(€— i)4-tang.s][cos.(6 — i)— 3/*sin.(6 — t)] —
cos. (G f)^
v *in.6-^/*co3. 6
