Le coefficient ~ et l'ordonnée / devant être

nuls au point M', c'est-à-dire quand œ=a\ on a

o = nf a'—n'i a" -h n"(a'a" — ^) ,

o = n ( \a* a — i a 3 ) — vt \ a' 3 + n" ( fa'' a" — i a' 3 ) ;

d'où Ton tire

a' 3 (a"- a') ' """^(«"-ar

En mettant ces valeurs dans les formules précédentes , on connaîtra la figure de la pièce.

373. Si Ton suppose le poids n placé au milieu de l'intervalle AM', ori a a'=2a 9 et

ia" — 3a „ a n' = Il t—7. , H = H

4(a"— ia)' b{a"—ia)'

En substituant ces valeurs dans les équations précédentes, et écrivant 2P au lieu de n , on aura pour déterminer la figure de la première moitié de la pièce ,

dx \ 2 1 / ->/ax* x*\

On vérifie que les équations appartenant a la seconde moitié indiquent une figure symétrique à celle de la pre-

nrière moitié. L'ordonnée du milieu de la pièce ou la flèche de courbure , est

E il

et en comparant ce résultat à celui du n° 87, on voit que cette flèche de courbure est quatre fois moindre lorsque les extrémités sont encastrées que lorsqu'elles sont posées sur des appuis.

374. En supposant toujours le poids II ou 2P placé au milieu de l'intervalle ÂM', la courbure est le plus grande possible aux deux extrémités et au milieu de la pièce, qui tend à se rompre en même temps en ces trois points. L équilibre relatif à la rupture est exprimé par l'équation.

en sorte que la pièce peut supporter un poids deux fois plus grand que celui qu'elle supporterait si les extrémités étaient simplement posées sur des appuis («).

{a) Ce résultat est généralement admis , bien qu'on l'ait établi d'une autre manière ; mais il a été contredit par M. Barlow , qui , dans son Essay on the strength and stress of timber , page i3a, substitue la raison de 3 à 2 à celle de a à 1. La proposition sur laquelle M. Barlow fonde son raisonnement, et qui est énoncée page 1 15 du même ouvrage, est inexacte et contraire à l'expérience. On peut remarquer qu'il est difficile, dans les expériences, de réaliser rhypoth*èse de l'encastrement aux deux extrémités. Il faut, pour que l'on y parvienne , que la pièce soit prolongée de chaque côté sur une assez grande longueur. Les expressions de u! et 11" indiquent effectivement que les efforts exercés sur les points fixes tendent à devenir infinis quand la longueur sur laquelle la pièce est prolongée devient nulle. On peut voir sur ce sujet les expériences rapportées dans le Traité du mouvement des eaux, Œuvres de Mariottc , tome II , page 466.

DE LA MÉCANIQUE, I r \ PARTIE.

Equilibre (Tune pièce supportée par trois , ou par un plus grand nombre de points d appui.

375. Quand une verge rigide chargée de poids est soutenue sur un nombre de points d'appui plus grand que 2, les efforts que chacun de ces points d'appui doit supporter sont indéterminés entre certaines limites. Ces limites peuvent toujours être fixées par. les principes de la statique. Mais, si Ton suppose la verge élastique, l'indétermination cesse entièrement. On considérera seulement ici une des questions de ce genre le plus simples qui puissent être proposées.

On supposera la pièce MM' (Fig. 5o) posée horizontalement sur trois points d'appui, placés , l'un au milieu A de la longueur de cette pièce, et les deux autres aux extrémités M , M'. Chaque moitié de la pièce est chargée au milieu N, N', d'un poids n, II*. Il s agit de déterminer la figure affectée par la pièce, et les efforts exercés sur chaque point d'appui. On nommera

a la moitié AM ou AM' de la longueur de la pièce; p , q, q[ les efforts exercés en A, M, M'; a> l'angle que fait avec Taxe Ax la tangente à la courbe au point A;

e et p auront les significations indiquées n° 359.

Les principes de la statique exigeant i° que la somme des poids II , n' soit égale à la somme des efforts exercés sur les points d'appui ; a° que la somme des momens des forces, pris par rapport à un point quelconque, par exemple au point A, soit nulle; on a d'abord les deux équations

a 42 leçons sur l'application

376. En regardant ensuite la pièce comme encastrée en A , on aura pour la portion AN

dy fax x % \ / x'\

' Tx ~ n (— 7 )-A ax ~T) +* ttn * -

(ax % x 3 \ fax* x*\

On aura ensuite pour la portion NM , en déterminant les constantes de manière que , pour x= ^, les valeurs

de ^ et y soient égales a celles qui seraient données par les équations précédentes ,

dy / -r'\ a*

t = — qiax — \+ ri -g+« ta °g- »•

(ax* x 3 \ / a* \ a*

— — 6 ) + \ n 8 +f tang - * r -~ n 48-

Les équations qui conviendraient aux parties AN' et N'M' de la pièce se déduiront des précédentes, en y écrivant 11' au lieu de 11 , <j au lieu de q , et changeant le signe de tang. a. En remarquant ensuite que les équations appartenant aux parties NM et N'M' doivent donner ^=0 quand on suppose x—a , on aura les deux équations

a* 5 a' o = — q -+ n — -fetang. w,

,a* , ,5a* o = - 7T + n— -,tang. w .

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE.

377. Au moyen de ces équations , et de celles du n° 375, on trouvera

n— n' a* taog. » =— 3- .

Mn4-aan'

et Ton connaîtra la figure de la pièce en substituant ces valeurs dans les équations précédentes. On voit que le point d'appui A supporte seul les - 3 à très-peu près de la somme des poids dont la pièce est chargée. Les efforts exercés sur les points d'appui sont indépendans de c, en sorte qu'ils demeurent les mêmes pour des pièces plus ou moins flexibles.

378. La pièce tend nécessairement à se rompre dans l'un des points A, N ou N'. On a au point A

.g=nil ? a-(3n + 3„')£; au point N

« ^£ = — 7 — = —( \3 n — 3 il' ^-^ ; dx* * 1 \ /64

et au point N'

La condition de la rupture est exprimée par celle des trois équations

dont le second membre a la plus grande valeur.