Si l'on suppose égaux les poids n et n', il viendra
380. En adoptant la même supposition , la pièce tend à se rompre au point A, et l'équilibre relatif à la rupture est exprimé par l'équation
Chaque moitié de la pièce est alors dans le même cas que si elle était encastrée horizontalement à une extrémité et supportée à l'autre. Le résultat que l'on vient d'obtenir s accorde effectivement avec celui du n° 370, en écrivant ici aP au lieu de n , et aa au lieu de a.
Remarque sur F us âge qu'on doit faire des résultats précédens dans les applications,
38 1. Les résultats exposés dans cet article serviront à apprécier les flexions des pièces chargées horizontalement. On substituera dans les formules , à la place de e , les valeurs du moment de résistance à la flexion , données n" 81 et suivans. Par exemple, si la section de
la pièce est rectangulaire , on écrira E-^- à la place de e.
La valeur de E se conclut des expériences rappor-
DE LA MÉCANIQUE, l'\ PARTIE. 2^
tées n°* 94 et suivans. On connaîtra ainsi le degré de la flexion de la pièce, en raison des dimensions de la section.
382. Ces résultats serviront également à apprécier les charges qui pourraient causer la rupture des pièces, ou les plus grandes charges que Ton puisse faire supporter à ces pièces dans les constructions. On substituera à la place de p les valeurs du moment de rupture données dans les n°* 1 15 et suivans. Par exemple , si la section de
bc 2
la pièce est rectangulaire, on écrira R-^r-à la place de p.
Quand on voudra connaître les charges capables de causer la rupture, on attribuera à R les valeurs déduites des expériences rapportées dans les n°* i3o et suivans; et quand on voudra connaître les plus grandes charges que Ton puisse faire supporter aux pièces dans les constructions, on emploîra les valeurs de R' indiquées dans les n- 181 , i83et 186.
ARTICLE II
DE LA RÉSISTANCE D*UNE PIÈCE PRISMATIQUE POSEE VERTICA- LEMENT ET CHARGEE SUR LBXTRÉMITÉ SUPÉRIEURE.
383. On considère une pièce AM ( Fig. 5i ) dont l'extrémité inférieure A est posée sur un plan horizontal fixe. L'extrémité supérieure M est placée dans la même verticale que l'extrémité inférieure, et chargée d'un poids Q. Il s'agit de trouver les conditions de la flexion de la pièce causée par l'action de ce poids. On nommera
a la distance AM des extrémités ;
s la longueur AmM de la pièce;
« l'aire de la section transversale de la pièce ;
M^Ù LEÇONS SLR L APPLICATION
x , y l'abscisse Ap et l'ordonnée pm d'un point quelconque de la courbe formée par Taxe de la pièce; £ et p auront les valeurs indiquées n° 35g.
L'équation qui exprime les conditions de l'équilibre est toujours fondée sur ce principe , que le moment de la résistance à la flexion doit être égal , en chaque point de l'axe de la pièce, au moment de la force par laquelle la pièce est sollicitée, pris par rapport à ce point. En remarquant qu'ici la courbe affectée par cet axe présente sa concavité à l'axe des abscisses , cette équation d'équilibre sera
-'lé-**'
dont l'intégrale complète est
y as A sio. y/ 3.. x «+- B cos. y/ x ,
A et B désignant deux constantes arbitraires. Comme on doit avoir ^=o quand x=jo, la coustante B est nulle. La constante A représente évidemment la plus grande ordonnée de la courbe, qui est supposée très-petite, et que nous désignerons par f. Ainsi nous écrirons
y == f sui. y — . x.
384- On doit avoir y=o quand x=a. Il est donc . nécessaire, si f n'est pas nulle, que
lfl = û, d'Où QssPir*.-,
i étant un nombre entier quelconque , et n le rapport de la circonférence au diamètre; ce qui détermine la valeur du poids Q qui peut maintenir la pièce fléchie. Cette valeur est, toutes choses égales d'ailleurs, réciproque au quarré de la longueur de la pièce.
DE LA MÉCANIQLE, l". PARTIE. ify)
385. En substituant la valeur de Q dans l'équation précédente, où la flèche f demeure indéterminée , on a
f = Y Va{s-a).
386. Si l'on donne successivement à i les valeurs entières 1,2, 3, etc. , la courbe représentée par l'équation précédente affectera diverses figures. La fig. 5i répond
au cas où i=\ et Q = tr 2 p • La fig. 52 répond au cas
où i=2 et Q= 4tt 2 ~ : une pièce affecterait cette figure
si le milieu N était maintenu dans la ligne verticale qui en contient les deux extrémités. La fig. 53 répond au
cas où Z=3 et Q=9^ 2 ^- : une pièce affecterait cette
figure si les points situes au tiers et aux deux tiers de la longueur étaient maintenus dans la verticale qui en contient les extrémités. Et ainsi de suite.
38^. Lorsqu'une pièce comprimée dans le sens de sa longueur affecte une flexion très-petite, on doit concevoir i* que les fibres longitudinales supportent, par l'effet de la pression Q supposée uniformément répartie sur
toute la section transversale , un effort ~ sur l'unité de surface, effort qui produit dans ces fibres une diminution de longueur exprimée parla fràction —, E ayant
la signification indiquée n° 77 ; 2° que par l'effet seul de la flexion les fibres seraient allongées du côté de la face
s 48 leçons sur l'application
convexe , et contractées du côté de la face concave d'une quantité exprimée pour une fibre quelconque (conformément à ce qu'on a vu n° 77 ) par la fraction
Les deux effets dont il s'agit ayant lieu simultanément , la plus grande compression à laquelle les fibres soient exposées est
dx* '
en désignant par s/ la distance à l'axe d'équilibre de la fibre placée du côté de la face concave qui est le plus
éloignée de cet axe, et mettant pour ^3 la plus grande
valeur que ce coefficient différentiel puisse prendre dans toute l'étendue de la courbe.
La limite de la charge que l'on peut faire supporter à une pièce étant déterminée par le degré de compression ou d'extension des fibres qui résulte de l'action de cette charge , conformément à ce qui a été dit n° 354> on voit qu'en désignant (comme on l'a fait n° 181 ) par R' le plus grand effort auquel les fibres doivent être exposées sur l'unité de surface, ou doit écrire
E E w ci jt*
équation qui déterminera en général , comme on le verra dans les articles suivans , la valeur du poids dont on peut charger la pièce.
388. Dans le cas particulier dont il s'agit ici cette détermination ne peut être effectuée , parce que la flèche f demeurant indéterminée la solution ne donne aucune
relation entre ^ et Q. Cette indétermination subsiste
DE LA MÉCANIQUE, l'\ PARTIE. 2^9
également pour les cas d'équilibre examinés dans les n°* suivans. On indiquera à la fin de l'article la manière dont on peut se rendre compte de la résistance des pièces dans les applications.
Equilibre dune pièce chargée verticalement, lorsque I extrémité inférieure est encastrée, et F extrémité supérieure libre.
389. Dans ce cas (Fig. 54), en conservant les dénominations du n° 383 , on a
f représentant l'ordonnée BM du point extrême. L'intégrale complète est
y^f+Aùn.^/^. x + B cos.y^.x,
A et B désignant toujours les deux constantes arbitraires.
Comme Ton doit avoir ^=o et = o lorsque xpjo,
la constante A est nulle , et Ba-/. L'équation de la courbe est donc
