partie BC, qui est également comprimée, doit être

assimilée à la même pièce , les forces désignées par

P, Q, II dans le n° 4* 3 étant ici respectivement a sin. a a sin.atang. a atang.a

ARTICLE V

DE LA RÉSISTANCE D'UNE PIÈCE PRISMATIQUE FLÉCHIE , POSÉE HORIZONTALEMENT ENTRE DEUX APPUIS, ET CHARGÉE AU MILIEU.

4^i. On suppose qu'une pièce prismatique M A. M' (Fig. 65), ayant été fléchie, est posée horizontalement entre deux appuis dont l'intervalle est un peu moindre que la longueur de cette pièce , de manière que la convexité est tournée en haut. Un poids aP étant suspendu au milieu À de la longueur de la pièce, il s agit de trouver les conditions de l'équilibre de ce système. Chaque moitié de la pièce est dans le même cas que si , étant encastrée horizontalement en À , elle était sollicitée à l'extrémité M ou M' par une certaine force dont la composante verticale est P. Ainsi nommant

Q la composante horizontale de l'effort exercé contre les appuis M ou M' ;

x , y les coordonnées kp , mp d'un point quelconque de la courbe;

a la moitié AB de l'intervalle des appuis;

2^ LEÇONS SUK L APPLICATION

s la moitié ÀmM de la longueur de la pièce; / l'ordonnée BM du point extrême de la courbe; t ayant la signification indiquée n° 80 :

l'équation d'équilibre sera

ou , faisant pour abréger p » = — , q'= - ,

£Z = - ^ ( a - x) 4- r ( y ) • ai'

L'intégrale de cette équation est

/-^ Asin. ?(.r + B) + £ (a-x), A et B étant deux constantes arbitraires.

422. On a, au point A , xt=o,j=o, ^=0; et au point M, xî=a, i 7 r ==/; ce qui donne les trois conditions

/=Asin.? B + ^a,

o = q A cos. o B — r - ,

o = sin. q (<ï+B), d'où «7 ( rt+B ) = iw , 7T étant le rapport de la circonférence au diamètre , et 1 un nombre entier quelconque. On en déduit

q* cos. q a 1

et il reste l'équation de condition

tang. q a = q a — ïp- OU / = ~ z ( q a — tang. q a).

Ainsi la valeur de la force Q est déterminée par la condition que la tangente de l'arc a y soit moindre que cet

arc de la quantité ; quantité qui doit être fort

petite , parce que la courbure de la pièce est supposée très-petite. 1 1

4^3. D'après les valeurs précédentes, l'équation de la courbe devient

¥ 3 \ cos.qa /'

et Ton en déduit , à fort peu près,

< L ±P* a ('K 3tang. qa \

+ ÎP V~— 7T- + )

Représentant paro, p,,^, p,, etc. la suite de arcs dont la longueur est égale à celle de leur tangente, on satisfera à la condition précédente en donnant successivement à la force Q des valeurs un peu plus petites que

~ZT' "IF* ~' etc - N résultera de ces suppositions des

courbes présentant un nombre de points d'inflexion de plus en plus grand.

En admettant la première de ces valeurs, la question proposée se trouvera résolue : les dernières équations des n 0 ' 422 et 4 2 3 feront connaître Q et/ lorsqu'on se sera donné a, s et P. La forme de la courbe est représentée fig. 65. v

424. Si Ion suppose /=o, l'équation de condition trouvée n° 422 devient

2^6 LEÇONS SLR LAPPL1CATION

On a

d'où

pour l'expression du poids 2P qui , étant suspendu au milieu de la pièce, peut faire abaisser ce point au niveau des appuis. Ce poids doit être regardé comme le plus grand que la pièce puisse supporter. Si Ton supposait, en effet, le point A placé au-dessous du point G (Fig. 66), l'équation d'équilibre devrait être écrite, en supposant les y positives comptées de bas en haut,

t g = P(.*, +Qt /- r ,.

On aurait pour l'équation de condition

tang. qa = qa-\ *LL , 0 u /= \ (tan- q a — q a) ;

et 1 équation de la courbe serait

('sin.oa — si 11. q {il — x ) \ 2 <l x ) cos. qa /

La force Q devrait être supposée un peu plus grande que o, ^7-, ~~T> etc - -^a première de ces suppositions

doit être ici adoptée, et il en résultera que la force Q, ainsi que le poids 2P, prendront des valeurs beaucoup moindres que celles qu'ils avaient lorsque le milieu de la pièce était au-dessus de la ligne passant par les extrémités. La courbe , qui n'offre plus de point d'inflexion, est représentée par îa fig. 66.

Les résultats précédons expliquent l'excès de résistance que peut présenter une pièce lorsque, avant été cour-

DE LA MÉCANIQUE, 1 rc . PARTIE. 277

bée, ses extrémités sont placées entre des obstacles fixes. On voit que cette résistance a une limite que Ton ne peut dépasser sans obliger la pièce à changer aussitôt de figure. Après ce changement la pièce ne supporte qu'un poids beaucoup plus petit , et plus petit même que celui quelle supporterait, à courbure égale, si les extrémités étaient simplement posées sur des appuis.

ARTICLE VI

De la résistance des pièces prismatiques dont l'axe est