La formule du n° 456 donne
T = n ( sin. ? -f \
pour la compression longitudinale supportée par un élément quelconque du demi-cercle.
De la Jlexion d'une pièce courbe dont tous les points
supportent des poids.
460. Considérons la pièce courbe AM (Fig. ^5), encastrée horizontalement à l'extrémité A, et ohargée dans tous ses points par des poids dont l'action oblige cette pièce à prendre la position AM'. En conservant les dénominations du n° 446 > et appelant
p le poids placé au point m dont l'abscisse est x , la valeur de ce poids étant rapportée à l'unité de longueur, et donnée en fonction de l'abcissc x ;
x t l'abcisse Aq d'un point quelconque n compris entre m et M.
p t la valeur dep dans le point n ;
on aura pour exprimer les conditions de l'équilibre, au lieu de l'équation du n° 447 >
d'où l'on déduira , comme dans ce numéro ,
dx'
396 EfeÇONS SUR L APPLICATION
djf-dx = ~<fy jdx \/ 1 + (g)' P> (*. ) ,
*/- *r= 1 dx jdx y/ « + p*r. ^ (x, — a:) ,
formules qui feront connaître le déplacement de chacun des points de la courbe.
46i. En déreloppant le radical en série, ces formules deviendront
i djrjdx^ (X,-*,,
dy> — dy= ï ^Jrfx £1 + 1 (gj)'-- etc. J J^ctr, (x, — x),
463. La pression qui a lieu au point m est égale à la somme des*poids dont la partie mM est chargée, décomposés parallèlement à la direction de la courbe en m. Cette pression est donc
I dx, p,
Cette valeur est négative lorsque ^ est positif: alors la
courbe n est pas comprimée , mais tendue dans le sens de sa longueur.
Application au cas où la charge est uniformément distribuée, et ou la figure de la pièce courbe est une portion de parabole.
4^3. Lorsque la charge est distribuée de manière que des poids égaux répondent à des parties égales de
DE LA MÉCANIQUE, I r \ PARTIE. 297
Taxe horizontal Ax , p est constante, et les formules du n* 461 deviennent
bx*
L'équation de la courbe étant d'ailleurs j= — ,
d où ^f- = ces formules donnent
dx a* 9
pibx* bx* b x* *&/a*x* ax* ff\ e tc 1 I 3 4a i5* a t û 6 \ i5 i» 35/
En supposant x=a , et désignant toujours par h , f les déplacemens horizontaux et verticaux du point extrême M, on aura , en se bornant aux deux premiers termes des séries ,
P (Zcfib ab*\
464. La formule du n° 462 donnera ici , à très-peu près, pour la tension exercée en un point quelconque de la <&qïbe,
465. Considérons une portion de courbe MAM' (Fig. 76 ), formée de deux parties égales de figure parabolique, supportée verticalement sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s écarter, et chargée de poids répartis de la manière indiquée n p 4^3. Chaque moitié
de la pièce est dans le même état d'équilibre que si cette moitié, étant encastrée horizontalement en A, était sollicitée parles poids distribués sur l'intervalle AM ou AM'; et de plus par une force verticale pa agissant de bas en haut au point extrême M ou M', et par une certaine force horizontale Q agissant au même point. Or en supposant une pièce courbe sollicitée à la fois par des poids répartis sur sa longueur, et par des forces appliquées à l'extrémité , on connaîtra les déplacemens des points de cette pièce en ajoutant les résultats obtenus n°* 44$ et 461. Par conséquent, ajoutant ici les résultats des n 0 ' 45o et 463, on aurait pour les déplacemens des points extrêmes :
V{ 5a*b , b*\ { Qf&ab* , 16 b*\ .pf ^^b , ab 3 \
- 7 v~ + ™r « vtt + 7ow + « v~ + i7 y
Mais dans le cas dont il s'agit on a P= — p a, et Q est déterminée par la condition h=o. Les pressions horizontales exercées contre les appuis sont donc
et en mettant cette valeur dans l'expression de f, on trouve y=o. Ces résultats s'accordent avec cq^ # des n°" 44° e * 44 2 - La figure attribuée à la pièce courbe étant ici celle qui convient a l'équilibre , on doit trouver une valeur nulle pour rabaissement du sommet.
466. Si la pièce MAM' (Fig. 76), supposée toujours de figure parabolique , était chargée à la fois du poids zpa , réparti sur sa longueur comme on vient de le supposer, et du poids 2TI suspendu au sommet A , la
DB LA MÉCANIQUE, I r- . PARTIE. 399
poussée ou pression horizontale exercée contre les appuis serait la somme de la valeur précédente de Q, et de la valeur trouvée n° 453, c'est-à-dire
pa* / i5a b \
L'abaissement du sommet serait exprimé par la valeur de/du n° 453.
467. La* pression supportée par les différentes parties de la pièce , dans le sens de la longueur, est représentée ici par la somme des valeurs de T données n 0 ' 44 1 et 454, qui est
pa* pbx* . / i5a b t 2 bx i5 b x*\
~ Tb ^ ^ n \JTb^ ~* 70a*')'
Si la quantité 64 pa — 25n est positive, la plus grande valeur de la pression a lieu aux extrémités M ou M' ; elle est
ib ^ ^ 1 \3ib^ wia )
Si cette quantité est négative, la plus grande valeur de la pression a lieu au point dont labcisse est
Application au cas où la charge est uniformément distribuée, et où la figure de la pièce courbe est un arc de cercle.
468. En supposant la charge distribuée uniformément sur la longueur delà courbe, et nommant p la valeur du poids placé au point quelconque m (fig. 75), cette valeur étant rapportée à l'unité de longueur mesurée sur lare de la courbe , nous aurons , au lieu de l'équation du
t[df — df) =pA*dy fj* ^(sin.y,— sin. y) , OÙ
c {dj—df) =zpA*df [cos.f —cos.*— (* — *) sin.?] ; et en intégrant,
On déduit de cette équation, comme dans le n° cité, t (dx'—dx) = — p A*d*. sin. * [ a «;in. * — « ( cos. *+ cos. *) — * ( i— cos.* )] , « ( «fy 7 — dy ) = f A 4 cos. * [ 2 sin. <? — ♦ ( cos.* +cos. $) — * ( i —cos . ♦ )] ;
et Ton trouve en intégrant , la charge p étant supposée constante,
, A4 H* — 7sin.*cos.$ — cos.* (sin. 4 — <t>cos.?)|
c( — x) p j^ siiiS<f + *(i gin ..^ + COi . t I ) I '
.</-r) = ^(T^^-T^sin^cos^-i^ I " r I— cos.*(*sm.*+cos.*— 1) + *£*-Ksjn .«cos.*— sin.*), !
expressions qui donnent les déplacemens d'un point quelconque de la courbe. En faisant <ç=* , on aura pour les
déplacemens du point extrême
— h=z- — [*(i-hcos.*-^-cos. , *) — Jsin. *cos.* ] ,
v A 4 î /= £ — [cos.*-<:os.'*+i*«-*(sin.*+sin.*cos.*)+^in.»*J.
469. La tension longitudinale exercée en un point quelconque de la courbe est
T = p A( * — *) sin.
470. Si Ton considère un arc d une petite amplitude, les formules du n° 468 donneront , en ne conservant comme ci-dessus que la cinquième puissance de <p ,
DE LA MÉCANIQUE , I r *. PARTIE. 3oi p A 4 3* 5 . pa* 3 a,
qui s accordent avec les expressions du n* 4^3 , en sorte qu'il est indifférent, lorsqu'on peut se borner à ce degré d'approximation , de considérer un arc de cercle chargé uniformément sur sa longueur, ou un arc de parabole portant une charge répartie uniformément sur la projection horizontale de cet arc.
47 1 . Si la pièce courbe est un quart de circonférence, on
fera dans les formules du n° 468 * = ^ , ce qui donnera
pour les déplacemens du point extrême
/>A4 ir
pA 4 ir' — 8*4- ao
472. Dans le cas où la pièce courbée en arc de cercle serait chargée d'un poids distribué uniformément sur sa longueur, et sollicitée en même temps par les deux forces verticale et horizontale P, Q, appliquées au point extrême , il faudrait ajoutér les expressions de h et f des n 0, 455 et 408 pour avoir les déplacemens horizontal et vertical de ce point. D'après cela , si nous considérons une pièce courbée suivant un quart de circonférence , nous aurons
h pk* n PA 3 1 QA 3 n ~~ t 8 t 1 c 4 '
pA* — 8tr + 2o PA 3 3* — 8 , QA 3 1
et si nous supposons qu'une pièce formant une demicirconférence , chargée de la manière qui vient d'être in-
diquée, est posée sur deux appuis qui ne permettent pas
aux extrémités de s écarter, il faudra faire P = — pA-
(puisque cette quantité représente le poids dont chaque appui est chargé) , et h =o , ce qui donnera
Ainsi la ptfussée horizontale d'une pièce courbée en demicercle, posée sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s'écarter, est égale au poids dont chaque moitié de la pièce est chargée, multiplié par la fraction
- ; c'est-à-dire est un peu moins du tiers de ce poids : cette
poussée est la moitié de celle qui aurait lieu si le poids total du demi-cercle était suspendu au sommet. La valeur précédente de f représente la quantité dont s'abaisse le sommet du demi-cercle. Cette quantité est moindre que celle qui aurait lieu si le poids total du demi-cercle çtait suspendu au sommet dans le rapport de 5 u 2 — 8-r
473. La compression longitudinale en un point quelconque de la pièce sera représentée par
T = — p A ( * — 9) sin. * — P sin. * + Q cos. <? ; Cette formule , eu supposant $ =: - , mettant pour P sa
valeur — p A ^ et pour Q la valeur , donne
T = pK (9 sin. ? -f-
DE LA MÉCANIQUE., l'\ PARTIE. 3û3
Usage des résultats précédens dans les applications,
474- Les résultats précédens donnent les moyens de déterminer la limite des poids dont on peut charger une pièce courbe dans les divers cas d'équilibre que Ton a considérés.
Lorsque la figure de la pièce est celle qui convient à l'équilibre des poids dont elle est chargée, cette pièce est simplement pressée dans le sens de sa longueur; et les dimensions de la section transversale étant ordinairement fort petites par rapport a la longueur, on peut supposer cette pression répartie également sur toute l'étendue de la section transversale. Par conséquent, ayant calculé la plus grande valeur de la pression , représentée par T dans les 11" ^26 et suivans, désignant par o> l'aire de la section transversale de la pièce, et (comme dans les n°' 181 et suivans) par R' le plus grand effort que l'on veut faire supporter aux fibres sur une étendue égale à l'unité de surface, on posera l'équation
d'après laquelle on pourra établir le rapport convenable entre la charge qui produit la pression et les dimensions de la pièce.
4^5. Lorsque la figure de la pièce n'étant point «celle qui convient à l'équilibre, cette pièce fléchit par l'action des poids dont elle est chargée, on peut déterminer la limite de ces poids conformément à ce qui a été exposé dans le n° 387. Représentons par o> la section transversale de la pièce, et par v' la distance à Taxe d'équilibre des fibres qui subissent la plus grande compression. En vertu de la pression T, dont les valeurs ont
3o4 LEÇONS SUR l' APPLICATION
été données dans les n*' 449 et suivans, les fibres sont d'abord comprimées , dans toute l'étendue de la section ,
d'une fraction de leur longueur égale à —.De plus, par
l'effet de la flexion, les fibres extrêmes sont comprimées
d'une fraction de leur longueur égale à t/ — ^r-— , comme
on le voit facilement par les n" 77 et 44°- Par conséquent, R' désignant le plus grand effort que l'on veut faire supporter aux fibres sur l'unité desurface, on posera l'équation
R; T . dj — d*
E~E M + ,; ds
qui fera connaître la limite cherchée. On doit remarquer quela valeur de la quantité v' , donnée parles for-
mules précédentes, se trouvera positive ou négative suivant que, dans le point auquel cette valeur appartient, la flexion aura augmenté ou diminué l'angle formé par la normale de la courbe avec Taxe verticale des y. Mais on ne doit pas avoir égard ici au signe de cette quantité, et on doit en ajouter la valeur absolue à la valeur absolue T
de — . Ou se rappellera d'ailleurs que T a été supposé
positif quand il représente une pression ; et par conséquent, lorsque sa valeur se trouvera négative, cela indiquera que la pièce est étendue, et non comprimée. Si la section transversale de cette pièce ne peut être partagée en deux parties symétriques par un axe perpendiculaire au plan de la flexiou, t>' doit représenter la distance à l'axe d'équilibre (déterminé conformément au n° 78 ) de la fibre qui est le plus comprimée, si T est positif; et de la fibre qui est le plus étendue, si T est négatif. Enfin
DE t,A MÉCANIQUE, l". PARITE. 3o5
la somnfe des valeurs absolues des quantités — et
d—d* donnée en fonction de l'abcisse x ; et il v ds
est évident que Ton doit attribuer à x dans cette fonction la valeur qui la rendra le plus grande possible dans toute rétendue de la courbe.
4 7 6. Considérons, par exemple, le cas du n* 473 , où une pièce courbe de figure parabolique, posée verticalement sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s écarter Vune de l'autre, est chargée du 2Ïi suspendu au sommet. On a , par le n* 454,
T n /*5a b *bx a56x' \
Êi - Êi\32& 28a fl a 16a*/'
Le n* 447 donne
où Von doit remplacer P par — n , et Q par la valeur donnée n° 4^3 : on aura donc
La valeur de T est positive dans toute l'étendue de la courbe, en sorte que la pièce est partout comprimée
. , dç — d*
dans le sens de sa longueur. La valeur de v j $
est d'abord négative , devient ensuite positive , et se réduit à zéro quand x = a. Sans avoir égard au signe de
cette quantité , on en ajoutera la valeur à celle de — ; et
réglant les valeurs de ^ et de z conformément à ce qui a été dit n° 475, on déterminera n de manière que , pour
3o6 leçons su ii l'application
toutes les valeurs de x comprises entre o et a , la somme
des valeurs de ✓ — — — et de g- ne surpasse point -g.
477. Le cas du n° 465 , où une pièce courbe semblable est chargée du poids npa , réparti sur la longueur de cette pièce de la manière indiquée a° 463 , est un des cas d'équilibre mentionnés n° 474»
478. En considérant comme dans le n* 455 une pièce courbée en arc de cercle, encastrée horizontalement à l'extrémité supérieure , et sollicitée à l'autre extrémité par les forces verticale et horizontale P et Q , on a , d'après le n 0 456,
et d'après le n* 455 ,
479. Si Ton suppose , comme dans le n* 458 , qu'il s'agit d'un demi-cercle posé sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s'écarter l'une de l'autre r et dont le sommet est chargé du poids 2ÏI , on aura
*= -, P = — n, Q , ce qui donnera
T n / . , a cos. * \
Ces expressions doivent être employées conformément à* ce qui a été dit n° 475.
480- Si , comme on l'a supposé n° 466 , une pièce de figure parabolique, outre le poids ipa réparti sur sa lougueur , supportait encore le poids 2U placé au som-
Dfi LA MÉCANIQUE, I**. PARTIE. 3<>7
met , il faudrait employer la valeur de T donnée dans le n° 4*>7> et l'on aurait
T i tpa* pbx % /*5a b *bx i5bx % \\
Mais comme le poids ail produit seul la flexion de la
pièce , la valeur de t/ — serait la môme qu'au
n° 476 , et devrait être employée de la même manière.
43 1. S'il s'agit, comme dans le n° 47 3 » d'une pièce courbée en arc de cercle encastrée horizontalement à l'extrémité supérieure, chargée uniformément du poids/) sur l'unité ae longueur, et sollicitée à l'extrémité opposée par les forces verticale et horizontale P, Q , la valeur de T sera la somme des valeurs données dans les n" 456 et 469 , en sorte qu'on aura pour la proportion suivant laquelle un élément quelconque de Ja courbe est contracté
T 1 I g- — jg^ | — />A(*— O sm.<* — Psm.* -T-Qco§.* J-
L'expression de — — ^ — sera également la somme
des expressions données dans les n°* 455 et 468, en sorte que l'on a
V •• ^ " = ' ^ j COS. ♦ — COS. « — ( * — <? } SI II. 4 j
+ jp(sio.*— sio.«) + Q (cos. *—«».♦) J.
482. En considérant donc , comme dans le n» fôz , un demi-cercle posé sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s'écarter , et portant le poids ir/?A uniformément sur la longueur de ce demi-
ao.
3û8 LEÇONS SU* LAPPLIGATIOfr
-cercle, on fera 4> = - , P = — , Q =* ^ , cequi donna
' —55— =J rv 5in * * +7 f " ï/
Ces expressions doivent être employées conformément à ce qui a été dit n° 465.
De t effet des pressions ou des tensions exercées dans le sens de la longueur des pièces courbes 9 pour les accourcir ou les allonger, et des changemens de figure qui en résultent.
483. On a indiqué , dans les divers cas d'équilibre considérés ci-dessus, les valeurs des pressions exercées dans le sens de la longueur des élémens des pièces courbes. Ces pressions causent une diminution dans la longueur de ces élémens , longueur supposée invariable dans le n* 44^ dans les numéros sui vans; et cette diminution de longueur concourt avec la flexibilité de la pièce à en ebanger la figure. Comme il ne s'agit ici que de ebangemens trèspetits , on peut les considérer successivement, calculer à part l'effet de chaque changement , et prendre la somme des résultats que Ton aura obtenus.
En conservant les dénominations du n* 44^> et nommant s' la longueur de l'arc Am' (Fig. 73) , que l'on suppose maintenant différente delà longueur de l'arc Am, on aura ds — ds' pour raccourcissement de l'élément placé au point m, résultant de l'effort exercé dans le sens
de cet élément ; et — pour la fraction exprimant
la proportion de cet accourcisscmcnt. Par conséquent,
DE LA MÉCANIQUE, 1 r \ PARTIE. 3 0 g
o* désignant Faire de la section transversale de la pièce, et T représentant, comme ci-dessus, la pression exercée dans le sens de la longueur de cette pièce au point m, on a
d'où
équation qui fera connaître les ebangemens de longueur des parties de la pièce courbe. La figure de cette pièce demeurant d'ailleurs à fort peu près la même, il sera facile d'en conclure les déplacemens des points qui résultent de ces ebangemens.
484. Considérons, par exemple, le cas du n* 453; où une pièce courbe de figure parabolique, posée verticalement sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s'écarter l'une de l'autre, est chargée du poids 2ïl suspendu au sommet En remplacé*' ib X
çaDt dx par "â*" > T par sa valeur du n° 454 , et se
bornant aux termes de Tordre p , l'équation précédente deviendra
ou
, n / *5ax bx t b x* \
Si Ton désigne par c la longueur totale des portions de courbe À M ou AM' (Fig. 74), et par c' la longueur que ces portions de courbe acquièrent par l'effet de ïa pression, on aura, en faisant dans l'équation précédente x=a,
3lO LEÇ0R9 SUR L APPLICATION
pour raccourcissement résultant de Faction du poida
an.
485. Si la même pièce courbe , chargée du poids ipa réparti sur sa longueur, est dans letat d'équilibre considéré n° 44 2 t on remplacer T par l'expression du n* 44 1 - L'équation du n« 483 devient alors
E » ib
ou
' *™E U ib \ X + 3a* ) '
d'où l'on tire
pour raccourcissement total de chaque moitié de la pièce.
486. Supposant enfin, comme dans le n* 4^6, la même pièce chargée à la fois du poids npa réparti sur sa longueur, et du poids 2lT suspendu au sommet, raccourcissement sera la somme de ceux qui viennent d'être calculés. On aura donc
p a* / x*\ • n /*3<ïx bx bx 2 \
~Ei75\ X + T^/ + Ï^V3ÏÏ i1û + ~/'
487. L'abaissement du sommet de la courbe résultant des accourcissemens, se calculera de la manière suivante. Considérant toujours une pièce de figure parabolique, on a (a)
(a) Mémoire sur les ponts suspendus, page 73.
DE LA MÉCANIQUE, l'V PARTIE. 3ll
On déduit de la seconde équation
de ^b L 10 a 175 \ a / J
d'où il suit que c — d étant une petite variation de la longueur c de la moitié de la courbe, et b — V la variation correspondante de la flèche b, on a, à fort peu près , en se bornant toujours aux termes de l'ordre du
. , b quarré de — ,
488. Pour une pièce dont la figure naturelle est un arc de cercle , l'équation du n° 4^3 doit s'écrire
où Ton substituera l'expression de T en fonction de l'angle 9, conformément à ce qui a été exposé précédemment.
489. Pour calculer ensuite l'abaissement du sommet correspondant à un accourcissement donné de la longueur de la courbe , on remarquera que
c = A* = A. arc sin. — f
6»Acoft.« = A^i — \J 1 — ^ ) ;
d'où l'on déduit en diflFérentiant par rapport à A seul , puis remettait pour — sa valeur sin.<î> f
3l2 LEÇONS SUR L1PPLICATIOW
db I — COS. *
de sin. * — * cos. 4» '
et par conséquent ,
b — hl — - (c —
sin. * — 4» cos. 4»
Cette formule s'accorde avec celle du n° 4&7 » lorsque l'angle $ est très-petit.
Expériences sur la résistance des pièces courbes.
490. D'après les expériences de M. Duleau (a) , une pièce de fer forgé ayant o",o6 de largeur et o B ,02 de hauteur, a été courbée à froid, suivant un arc de cercle de 6 m ,32 de corde et o™^ de flèche. Cette pièce étant posée verticalement entre deux appuis qui ne permettaient pas aux extrémités de s'écarter ( Fig. 77 ), Faction de son propre poids n'en changeait pas sensiblement la figure.
La flèche de l'arc étant de o m ,709 , et la pièce étant successivement chargée au milieu (Fig. 75) de 30, 120 , 220, 260 et 280 kil., ce milieu s'est abaissé successivement de 4i 34, 68, 89 et 112 millimètres. La pièce a totalement fléchi sous un poids de 288 kil.
Dans une autre expérience, la flèche de l'arc étant de o'*,6g4, et la pièce étant successivement chargée au milieu de 5o, 100, i5o, 200 et 25okil., ce milieu s'est abaissé successivement de 10, 22, 39, 5j et 92 millimètres. Les poids étant ôtés, le sommet de la courbe est resté de o m ,024 plus bas qu'il n'était avant l'expérience. La pièce a fléchi sous un poids de 270 kil. qui n'avait pas été mis tout-à-fait au milieu.
{a) Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé,
page 44.
DE LA MÉCANIQUE, 1". PARTIE. 3l3
La même pièce était prête à fléchir sous deux poids de 280 et a85 kil., placés de chaque côté au de la longueur à compter des extrémités.
La même pièce ayant été chargée successivement au ~ de la longueur, à partir de Tune des extrémités, d'un poids de 20 et de 100 kil., et la flèche primitive étant de o m ,696 , le point chargé s'est abaissé de 8 et de 45 millimètres. Le sommet de la courbe s'est d'abord un peu soulevé, puis s'est abaissé quand la chargea atteint i5o kil. La pièce a fléchi sous un poids de 177 kil.
49 1 . Dans les cintres en charpente qui supportent le toit du manège de la caserne de Libourne , exécutés d'après les projets de M. le colonel Emy , la pièce principale de chaque ferme est un arc en demi -cercle de io m ,6 de rayon. Ces arcs supportent un poids de 9333 kil. (a). Ils sont formés de cinq cours de madriers en sapin, courbés et maintenus à plat les uns sur les autres, ayant chacun o",i35 de largeur sur o m ,o54 d'épaisseur , et présentant ensemble une section transversale de 3645o millimètres quarrés. Ainsi près des naissances du cintre, où la pression est la plus forte, chaque millimètre quarré de la section transversale supporte un effort
de l£= o '' ,a -
(a) Mémorial du génie, n° 10, page 4a- Voyez aussi l'ouvrage de M. Emy , intitulé : Description d'un nouveau système d'arcs pour les grandes charpentes. L'auteur paraît attribuer au système de charpente dont il s'agit la propriété de ne donner lieu à aucune poussée horiiontalc. Mais cette opinion ne pourrait être admise , bien que , dans certaines circonstances , la poussée étant trèsfaible , elle n'ait pas produit d'ellet sensible.
leçons sur l'application
ARTICLE VII
DES PIÈCES DE DIVERSES FIGURES EMPLOYÉES DANS LES CONSTRUCTIONS. DES PIÈCES FORMÉES DE PLUSIEURS PAR- TIES ASSUJETTIES ENTRE ELLES.
492. On a supposé jusqu'ici la figure des pièces prismatique. La plupart des pièces employées dans les constructions en bois ont effectivement cette figure; niais dans les constructions en fer, et surtout lorsqu'on emploie du fer fondu , on adopte des figures appropriées à la nature des efforts que les pièces supportent. On obtient de cette manière une résistance égale avec un moindre volume de matière , et par conséquent avec une moindre dépense.
Cest principalement d'après la considération de là résistance à la rupture que la figure d'une pièce doit être déterminée. En effet il convient de régler la force des pièces de manière que les extensions et compressions auxquelles les parties sont exposées ne puissent dépasser une limite donnée. Les formules relatives à la résistance à la rupture s'appliquent à cette détermination : il suffit de fixer convenablement, conformément à ce qu'on a vu dans l'article VII de la I r * section , la valeur de la constante qui représente le plus grand effort que les fibres doivent supporter sur l'unité de surface.
Le prisme rectangulaire est la figure la plus simple que Ton puisse donner à une pièce. Cette figure peut être modifiée , soit en changeant la section transversale sans que la pièce cesse d'être prismatique, soit en donnant à la section des dimensions différentes dans les divers points de la longueur de la pièce.
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 3l5
De la fgure de la section transversale.
493. Considérons d'abord une pièce soumise à des efforts qui s'exercent perpendiculairement à sa longueur, de manière que le sens dans lequel cette pièce tend à fléchir soit déterminé ; par exemple , une pièce posée horizontalement , et supportant des poids. £11 donnant à la section transversale la figure d'un rectangle dont les côtés sont horizontaux et verticaux ; nommant
b la largeur,
c la hauteur de la section ,
£ et R ayant les significations indiquées n" 77 et 1 13 ;
le moment de résistance à la flexion sera , d'après le n* 81,
et le moment de la résistance à la rupture, d après le n* 1 15,
L'aire de la section transversale demeurant la même, la résistance à la rupture augmente proportionnellement à la hauteur c. Mais on ne peut , en général , augmenter c et diminuer b au delà d'un certain terme , parce que la pièce n'aurait pas de stabilité, et parce qu'elle présenterai! trop peu de résistance dans le sens horizontal.
494* L'aire de la section transversale et la résistance demeurant les mêmes, on procure à la pièce plus de stabilité , et plus de résistance dans le sens horizontal , en donnant à la section la forme d'un tuyau rectangulaire (Fig. 77), ou celle de deux T opposés l'un à l'autre (Fig. 78). Nommant
3l6 LEÇONS SUR L APPLICATION
b la largeur extérieure AB;
b' la largeur intérieure DE (Fig. 77), ou la somme des
largeurs DE , de ( Fig. 78) ; c la hauteur extérieure A C ; d la hauteur intérieure DF;
le moment de la résistance à la flexion sera
et le moment de la résistance à la rupture,
Pour qu'une section rectangulaire offrît , à surface égale, la même résistance à la rupture, la largeur et la hauteur devraient être respectivement
(bc—b'dyb 6c 3 — 6V»
bc*—UJ* Ct (6c — 6V)6*
Les sections représentées fig. 77 et 78 paraissent être , dans le cas dont il s'agit , les plus convenables qu'il soit possible d'adopter. La première semble devoir offrir plus de solidité que la seconde ; mais , lorsque les pièces sont faites en fer fondu , il est difficile d'obtenir sans défauts les tuyaux rectangulaires ou circulaires (a).
495. Lorsqu'une pièce placée horizontalement et supportant des poids doit présenter successivement ses différentes faces à l'action de la charge , ce qui a lieu , par exemple , pour les axes horizontaux dans les machines
(a) I)ans des pièces semblables en fer fondu , il faut donner des dimensions peu différentes aux diverses parties, afin que > refroidissant en même temps , elles ne tendent pas à se désunir par L'effet de la contraction de la fonte.
DE LA MÉCANIQUE, f\ PARTIE. 3^
de rotation , il est convenable que la figure de la section transversale soit telle que la résistance de la pièce à la flexion soit la même dans tous les sens. Un cylindre plein et un tuyau circulaire offrent évidemment cette propriété. D'après le n° 83 un prisme plein à base quarrée, et un tuyau quarré, lofircnt également (à). Il en est de même des sections représentées figures 79 et 80. En appelant dans la première
b la dimension extérieure AB ou CD, 6 l'épaisseur Aa, Ce de chacun des rectangles qui se croisent à angles droits,
le moment de résistance à la flexion est , dans toutes les directions,
(a) Il est question de la figure Ja plus convenable des axes de rotation dans les Practical essays on mill work , par Buchanan , avec notes de M . T. Tredgold , 1 8a3 , tome I , page 262 ; et dans le Practical essay on the strength qf cast iron, 1824, p. 59. M. Tredgold paraît penser que le cercle est la seule figure qui donne aux axes la propriété d'offrir dans tous les sens la même résistance h la flexion. L'erreur de cet ingénieur provient de ce qu'il regarde la résistance à la flexion comme étant mesurée par l'expression qui mesure la résistance à la rupture. On avait déjà remarqué qu'une section quarrée donnait la même résistance à la flexion dans le sens des cotés et dans le sens des diagonales. Mais de plus cette section donne une résistance égale dans tous les sens, et il en est de même d'un grand nombre de figures, que l'on peut former en combinant d'une manière symétrique le cercle et le quarré. Il en résulte que si les axes renforcés par des côtes saillantes, que les Anglais nomment axes etn plumés {feathered shafts ), réussissent moins bien que les axes quarrés ou cylindriques pleins , cela provient probablement de ce qu'ils ne sont pas aussi bien disposés pour résister à la torsion , et non pas des inégalités de la flexion de ces axes.
3i8 leçoïto svn l'appucatiosi
Le moment de rupture, si la pièce fléchissait dans le sens des côtés des rectangles , serait
et si la pièce fléchissait dans le sens de la diagonale du quarré dans lequel elle est inscrite ,
4 96. En appelant dans la fig. 80
b la dimension extérieure AB ou CD; b' la dimension A'B' ou A'C;
6 l'épaisseur A a, Ce des rectangles placés en saillie sur le quarré ;
le moment de résistance à la flexion est, dans toutes les directions ,
« Xt ■ .
Le moment de rupture , si la pièce fléchissait dans le sens des côtés, serait
û = ti ■ •
et si la pièce fléchissait dans le sens de la diagonale,
497. Considérons maintenant une pièce posée verticalement, et chargée sur l'extrémité supérieure. Le sens de la flexion étant ici indéterminé , il convient de donner a la section transversale la figure d'un tujau rond ou quarré , ou bien l'une des figures symétriques indiquées n° 49^. Cela suppose toutefois que Ton soit assuré que
DB LA MÉCANIQUE, I PARTIE. 3l9
f effort s'exercera toujours exactement dans la direction de Taxe de la pièce. 11 arrive quelquefois , par exemple pour les pièces inclinées servant d'arcs-boutans, que l'effort tend à s exercer sur une des faces de la pièce, et non pas dans la direction de l'axe. Dans ce <?as on peut adopter Tune des sections représentées fig. 81 et 82 , dont la première a été fréquemment employée.
Nommons
b la largeur AB du rectangle dans lequel la figure est
inscrite * r c la hauteur CD de ce rectangle; 6 l'épaisseur C F de la côte; y l'épaisseur A E de la face ;
z la distance DM à la face AB de l'axe d'équilibre contenant les fibres dont la longueur ue varie pas lors de la flexion.
Pour connaître la valeur du moment de résistance à la flexion de la section dont il s'agit, il faut d abord déterminer la situation de l'axe d'équilibre, conformément aux n M 78 et 80. La condition énoncée dans le n° 78 donnera ici
d'où
*~"a' ô 7 — 6 7 + Ce
L'expression du moment de résistance à la flexion f d'après la formule du n° 80, sera
formule où Von devra substituer pour z la valeur précédente.
D après le n° n3, et en remarquant que la distance désignée par s/ dans ce n° est ici CM ou c~z, on aura pour l'expression du moment de rupture
De la Jigure de la section longitudinale.
498. Lorsqu'une pièce est prismatique, il y généralement un des points de la longueur de cette pièce dans lequel elle est plus exposée à rompre que dans tout autre. Si la résistance est suffisante dans ce point, la pièce est partout ailleurs plus forte qu'il n'est nécessaire. On peut déterminer la figure d'une pièce de manière qu'elle présente partout une force suffisante, et nulle part une force excédante : les pièces dont la figure est déterminée de cette manière ont été nommées solides d'égale résistance. D suffit de donner quelques exemples des recherches de ce genre , qui n'offrent aucune difficulté.
Considérons un solide encastré horizontalement a une extrémité (Fig. 83), chargé à l'autre du poids P, dont les faces latérales sont formées par deux plans verticaux parallèles , et la face supérieure par un plan horizontal. Nommant
a la longueur AB du solide;
b la largeur du solide;
c la hauteur AM à l'extrémité encastrée;
x et v l'abscisse Bp et l'ordonnée pm de la courbe BM
formant la face inférieure du solide; R ayant la signification indiquée n° 1 13;
DE LA MÉCANIQUE , l r \ PARTIE. 3a I
On aura d'abord pour déterminer la hauteur du solide en AM,
~6~ ~ ' d0U C = Vlû--
On aura ensuite pour déterminer la figure de la' courbe B/wM,
K^-=Px, d'où *>> .
cette courbe est une parabole dont Taxe est BA.
499. On peut demander la figure affectée par le solide ABM fléchissant sous l'action du poids P. On a ici pour k valeur du moment de résistance à la flexion appartenant
à Tune quelconque des sections pm, t = E — = E^ C x \
L'équation d'équilibre est donc, en désignant comme au n° 85 par jr l'ordonnée de la courbe affectée par le solide,
d'où Ton tire
d* y P lia*
b(TX ;
dy P \ J \
dTx Ë T1F \ x ~ a )>
P8a 3 f ~Ëbc 3 '
Cette valeur de ou de l'abaissement du point extrême B, est double de celle qui aurait lieu si toutes les sections du solide avaient une hauteur égale à b.
ai
500. En supposant le solide chargé d'un poids distribué uniformément sur sa longueur ( Fig. 84), conservant le» dénominations précédentes , et appelant
p le poids porté par l'unité de longueur, on a
R = pa. -, dou c = "Vàji
puis
bv* x , ex
R — - = p x. — , d OU v = — .
La face inférieure du solide est plane.
501. Le solide étant seulement chargé de son propre poids (Fig. 85), et nommant
p le poids de l'unité de volume du solide; x l'abscisse ftp , à laquelle répond l'ordonnée v ; x' l'abscisse ftp d'un point quelconque m' , compris entre B et m , à laquelle répond l'ordonnée v' ;
on aura
Différentiant deux fois de suite par rapport à x r il vient
équation dont l'intégrale est
la courbe B M est une parabole dont Taxe est B*>.
On résout facilement les mêmes questions dans le cas où les sections transversales du solide sont toutes des
DE LA MÉCANIQUE, i". PARTIE. 3a3
cercles ayant leurs centres sur une même droite horizontale; quand ces sections sont toutes des rectangles semblables; quand la loi de leurs largeurs ou hauteurs est donnée; etc.
502. Considérons un solide posé horizontalement sur deux appuis , et chargé en M d'un poids aP ( Fig. 86 ). Nommant
b la largeur du solide ;
c la hauteur A M au point où le poids est suspendu ;
a la moitié CB de l'intervalle des appuis;
z la distance A C ;
on aura
et les deux portions de courbe BM , B' M appartiendront à deux paraboles dont Taxe se confond avec la ligne BB'.
503. Si Ton suppose que le poids aP peut être placé en un point quelconque de l'intervalle BB', et si l'on veut que le solide résiste toujours à l'action de ce poids , l'ordonnée de la courbe de la face supérieure devra satisfaire à l'expression précédente de c. Cette expression repré-
sente une ellipse , ayant pour demi-petit a*e y -g-^ ; et
comme l'ellipse enveloppe les courbes paraboliques qui terminent le solide lorsque l'on donne au poids des situations déterminées, ce solide, si l'on adopte cette courbe, offrira un excès de résistance partout ailleurs qu'au point de suspension du poids.
5o4* Considérons un solide posé horizontalement sur deux appuis, et chargé de poids distribués uniformément sur sa longueur ( Fig. 87 ).
3a4 LEÇONS SUR L APPLICATION
En nommant
p le poids placé sur l'unité de longueur; a la moitié BC de l'intervalle des appuis ; b la largeur constante du solide; c la hauteur CM du solide au milieu de l'intervalle des appuis ;
x,v l'abscisse Cp et l'ordonnée pm de la courbe BM formant la face supérieure du solide ;
et remarquant (comme on Ta fait n°.o,o) que chaque moitié du solide résiste comme une pièce encastrée horizontalement à une extrémité , sollicitée à l'autre extrémité par une force verticale pa, et de plus par une force pa agissant en sens contraire et distribuée dans toute la longueur de la pièce, on aura
K b -£ = ipa i, d'où c a a y/^ -,
R — =pa{a — x) — ±p(a—x) 2 , u = c\/ i — ^ .
La figure de la courbe BMB' doit être une demi-ellipse.
5o5. Si le solide supporte en même temps un poids distribué uniformément sur sa longueur et un poids 2P placé au milieu de l'intervalle des appuis (Fig. 88) , on aura , en conservant les dénominations précédentes,
R iprf + Pa,
R ^ =(/,a + P)(a-x) — ip{a-x)\
<Tou
c V Rb
5o6. Considérons encore un solide posé verticalement ( Fig. 89) , et chargé d'un poids Q sur l'extrémité supérieure, en admettant que toutes les sections transversales de ce solide soient des cercles. Nommons
a la demi-longueur A.Ct>u BC du solide;
x, y l'abscisse Cp et l'ordonnée mp de la courbe
affectée par l'axe du solide; f la flèche CM de cette courbe; r le rayon de la section transversale en m.
Supposant que le solide ne prenne qu'une petite courbure à l'instant où il est prêt à se rompre, on peut simplifier la question en admettant que cette courbure se confond avec un arc de parabole, ayant pour équation
L'équation d'équilibre sera
-wo-sy
Ainsi le solide est d'égale résistance si r est propor-
tionnel à (a 2 — x 2 )\ Le diamètre des sections diminue du milieu aux extrémités, qui sont terminées en pointe.
5on. Il est souvent utile dans les constructions, en consolidant convenablement les extrémités des pièces, de se rapprocher des formes qui rendent les solides d'égale résistance : ces formes conviennent principalement au fer fondu, et aux pièces soumises à des efforts dirigés perpendiculairement à la longueur. Quant aux pièces comprimées dans le sens de la longueur, il est utile, quand la longueur est considérable par rapport à l'épaisseur, d'augmenter cette épaisseur vers le milieu ; mais on doit
3a6 leçons sur l'application
toujours conserver aux extrémités des dimensions telles, que la pression ne puisse les écraser. Il est même avantageux dans beaucoup de cas de donner à ces extrémités la forme d'une embase, qui s'applique contre les plans entre lesquels le solide est contenu. Cette disposition tend à procurer au solide l'excédant de résistance qu'il présenterait si les extrémités étaient encastrées, conformément à ce qu'on a vu n° 393.
Des pièces formées de plusieurs parties assujetties
entre elles,
5o8. Lorsqu'une pièce est composée de plusieurs parties , la résistance qu'elle peut présenter s'évalue différemment suivant la manière dont ces parties sont assujetties les unes aux autres.
Considérons en premier beu un assemblage de plusieurs pièces superposées (Fig. 90), en supposant ces pièces assujetties par des brides qui les maintiennent en contact , mais qui ne s'opposent pas a ce que les points correspondant des faces contiguës ne se déplacent les tins par rapport aux autres lorsque l'assemblage vient à fléchir. La résistance de ce système sera la somme des résistances que chacune des pièces offrirait séparément. Ainsi, la section transversale des pièces étant rectangulaire , et nommant
b la largeur commune des pièces superposées ; c la hauteur de chacune ; n le nombre de ces pièces ;
c et p ayant les significations indiquées n" 80 et 1 13 ; E et R ayant les significations indiquées n 0 ' 77 et 1 13 ;
l'expression du moment de résistance à la flexion sera (n'8i),
DE LA MÉCANIQUE , l r ". PARTIE. 3^
bc 3 t = n E ;
et l'expression du moment de rupture ( n° i 15),
On fait ici abstraction de l'effet du frottement provenant de la force avec laquelle les pièces sont serrées les unes contre les autres. La résistance du système est la même, soit qu'on place les pièces les unes sur les autres dans le sens où la flexion doit s'opérer, soit qu'on les place les unes à côté des autres.
509. Si un assemblage semblable à celui dont on vient de parler était formé de pièces partagées en plusieurs parties dans le sens de la longueur (Fig. 9 1 ), on devrait regarder le moment de résistance à la flexion comme ayant des valeurs différentes dans les diverses parties. Dans la partie mm y le moment de résistance à la flexion est la somme des momens des trois pièces superposées; dans la partie nn , il est seulement la somme des momens de deux de ces pièces. On doit, autant qu'il est possible , disposer les joints de manière qu'ils ne se rencontrent point visà-vis les uus des autres ; et d'après cette condition on pourra regarder la résistance du système à la flexion ou à la rupture , comme étant égale à la somme des résistances des pièces superposées, moins une.
On peut même , dans quelques cas , si les joints sont placés convenablement , regarder la résistance du système comme étant égale à la somme des résistances des pièces superposées. Par exemple, dans le solide représenté fig. 92, encastré à une extrémité , chargé à l'autre, et composé de trois pièces superposées , la résistance est au point d'encastrement la somme des résistances des trois pièces. Aux
points m,n 9 que Ton suppose placés au - et aux } de la longueur , la résistance est seulement les T et le 7 de la précédente : mais comme Faction du poids P pour causer la flexion ou la rupture en ces points est également les î et le 7 de l'action de ce poids au point d'encastrement, l'assemblage offre partout une résistance au moins égale à celle qui a lieu dans ce dernier point. On pourrait évidemment supprimer ici les portions des pièces supérieure et inférieure qui sont au delà du point n , sans altérer la résistance du système à la rupture.
5 10. Considérons maintenant un assemblage formé de pièces superposées (Fig. q3), dont les faces en contact sont entaillées en crémaillère, ou unies par des clefs, et qui sont fortement serrées par des brides. La résistance de cet assemblage à la flexion ou â la rupture ne différera pas sensiblement de celle qu'offrirait une seule pièce des mêmes dimensions.
5 11. Si un assemblage (Fig. 94) était formé de deux pièces séparées , mais assujetties entre elles de manière qu'une ligne tracée avant la flexion perpendiculairement à la longueur, devînt nécessairement après la flexion une normale commune aux deux courbes formées par les deux pièces, la résistance à la flexion s'estimerait en retranchant du moment de résistance à la flexion du solide , regardé comme plein , le moment d'un solide compris entre les deux pièces. Ainsi nommant
b la largeur commune des deux pièces; d la hauteur de l'assemblage;
c" la hauteur de l'intervalle compris entre les deux
pièces ;
on aurait pour le moment de résistance à la flexion
c E Mc' 3 --c'' 3 )
DE LA MÉCANIQUE, l'V PARTIE.
Le moment de rupture serait
L'hypothèse sur laquelle ces formules sont fondées ne peut être réalisée, lorsque les pièces sont placées parallèlement , qu'autant que ces pièces sont assujetties Tune à l'autre par un système de traverses et de croix , ou par des clefs pénétrant dans des entailles, comme on Fa représenté fîg. 94. Mais si Tune des pièces est courbée (Fig. 95), ou si elles le sont toutes les deux, et si ces pièces sont assujetties aux extrémités, de manière à ne pouvoir glisser Tune sur l'autre, il suffit qu'elles soient réuuies par des traverses pour que Ton puisse évaluer la résistance du système d'après les formules précédentes. Il conviendra , dans chaque cas particulier, de régler la courbure des pièces de manière à rendre le système d'égale résistance , conformément aux principes exposés dans l'article précédent.
5ia. Dans les systèmes représentés fig. 94 et 95, la pièce placée du côté qui devient concave lors de la flexion résistant seulement à une compression exercée dans le sens de sa longueur, peut être formée de plusieurs parties posées bout à bout, maintenues dans le prolongement les unes des autres. De même, la pièce placée du côté qui devient convexe lors de la flexion résistant seulement à une tension exercée dans le sens de sa longueur, peut être formée de plusieurs parties, pourvu que ces parties soient attachées les unes aux autres par des assemblages offrant à la tension une résistance égale à celle de la pièce. Une division semblable des pièces supérieure et inférieure u'aU térera pas sensiblement la force du système.
513. Connaissant la nature des efforts auxquels les pièces sont exposées dans les assemblages de ce genre, on peut choisir pour chacune la matière qui convient le mieux. Ce choix est déterminé par la condition d'obtenir une résistance donnée avec la moindre dépense possible. En comparant les résistances respectives du fer fondu et du fer forgé à la compression et à l'extension avec les prix de ces matières , on reconnaîtra qu'il est toujours avantageux d'employer le fer fondu pour les pièces comprimées , et le fer forgé pour les pièces tendues. Cette disposition présente aussi plus de sécurité lorsque la construction est exposée à des secousses, parce que le fer forgé peut souvent se prêter sans rompre à une extension subite, qualité dont le fer fondu est presque entièrement dépourvu.
Le bois de chêue ou de sapin , comprimé ou tendu , coûte beaucoup moins, à résistance égale , que le fer forgé ou fondu , et il est moins exposé à se rompre par l'effet des chocs : mais il n'offre pas la même durée lorsqu'il peut être atteint par l'humidité.
5 14. On a souvent proposé de consolider des pièces en bois avec des armatures en fer. Lorsqu'une pièce est soumise à un eiFort dirigé perpendiculairement à sa longueur, la meilleure disposition consiste à encastrer dans les faces latérales de cette pièce un assemblage formé d'une pièce courbe et d'un tirant recti ligne , dont les extrémités sont assujetties l'une a l'autre (Fig. 96). On peut aussi encastrer un semblable assemblage entre deux pièces de bois posées l'une à côté de l'autre , et serrées par des boulons. Si l'on suppose que le contact établi entre les points du fer et du bois se maintienne exactement lors de la flexion ; ou si , pour plus de sûreté, on a
DE LA MÉCANIQUE, I r \ PARTIE. 53 1
consolidé l'assemblage en fer par des traverses , comme on le voit fig. 95 , la résistance du système est égale à celle de la pièce de bois, plus celle de l'assemblage en fer évaluée conformément au n° 5n. Le tirant rectiligne doit toujours être en fer forgé; mais il est avantageux d'employer le fer fondu pour la courbe.
Expériences sur la résistance des pièces formées de plusieurs parties assujetties entre elles,
515. D'après une expérience de M. Aubry (a), un barreau de bois de chêne ayant 1 pouce de largeur, 2 { pouces de hauteur, posé horizontalement sur deux appuis distans de 5 pieds , et chargé au milieu , a rompu sous un poids de h55 livres produisant une flèche de 2 pouces.
Un autre barreau du même bois , ayant 1 pouce de largeur et 2 pouces de hauteur, formé de trois pièces entaillées de 3 lignes, de ô en 6 pouces, et serrées par deux boulons de 1 ^ ligne de diamètre; posé et chargé comme le précédent, a rompu sous un poids de ^5 liv. produisant une flèche de 3 pouces 2 lignes.
D'après cette expérience , le second barreau était à peu près aussi fort que s'il eût été d'une seule pièce.
5 16. Les expériences de M. Duleau sur des pièces de fer forgé (b) présentent les résultats suivans. Les pièces étaient posées horizontalement sur deux appuis, et chargées au milieu : toutes avaient o m ,o6 de largeur. Les
{a) Mémoire sur différentes questions de la science des constructions publique» et économiques, page 65.
{b) Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé, page 4o.
boulons de o m ,02 de diamètre, au moyen desquels ces pièces étaient assemblées, étaient espacés de o m ,$. "Les résultats sont ramenés par le calcul à présenter la flècbe de la courbure affectée par chaque pièce sous une charge de 10 kil.
INDICATION
des pifecta.
Deux pièces de fer du Périgord, posées à plat , et superposées sans boulons
Les .mêmes posées à plat , serrées par des boulons. . . .
Les mêmes écartées de o m ,oi i, au moyen de cales serrées par des boulons
Les mêmes écartées de o m ,0'Ji par le même moyen
Les mêmes écartées de o",o3i par le même moyen
Les mêmes écartées de o m ,i53 au moyen de pièces en croix.
Deux pièces de 1er du Périgord serrées l une sur l'autre par des boulons
IXrTIftVALLB
des
innu ic 3 PP U1S "
HAOTIOIl
totale.
