AUTEUR
du
vide.
FLECRE
de
courbure.
mil titi ictr»*i.
■iilliimclrrs.
millimètres.
ai
ai
La résistance à la flexion du système formé par des pièces en croix diffère peu de celle que Ton calculerait par la formule du n° 5n. Quant aux pièces simplement serrées par des boulons, la résistance est moindre, et d'autant plus que l'intervalle des pièces est plus grand ; ce qui doit être attribué à la flexion des boulons (a).
(a) On trouve quelques expériences analogues aux précédentes dans le tome IV de l'Art de bâtir, page 5ig. M. Barlow a aussi donné quelques expériences sur des modèles de poutres armées. Essay on the slrcngth and stress of timber, page 196.
DE LA MÉCANIQUE, I r *. PARTIE. 333
Des armatures servant à prolonger les pièces , ou à assujettir entre elles des pièces placées dans le prolongement tune de [autre.
517. Considérons en premier lieu des pièces exposées à des efforts dirigés perpendiculairement à leur longueur. On peut les prolonger, ou assujettir deux pièces dans le prolongement Tune de l'autre, d'une manière parfaitement solide, en employant une portion de tuyau dans lequel les extrémités des pièces seraient contenues et fortement serrées. Mais comme la paroi intérieure du tuyau ne serait pas pressée dans toute son étendue, on peut en supprimer une partie, et employer des dispositions plus simples, quoique fondées sur le même principe.
Par exemple , une pièce de bois qui doit être encastrée horizontalement peut être prolongée dans l'encastrement au moyen de deux armatures en fer fondu (Fig. 97), appliquées contre les faces latérales, et réunies en m, n par des traverses. Les laces supérieure et inférieure de la pièce doivent être serrées fortement contre ces traverses , avec des cales ou des vis de pression. Par cette disposition , la pièce ne peut céder à un efifprt exercé verticalement de haut en bas qu'en rompant au-dessus de la traverse n.
L'armature représentée figure 98 pourrait être employée pour prolonger une pièce, à l'extrémité de laquelle un poids devrait être suspendu ; et en renversant la même armature, on pourrait en former les extrémités d'une poutre , ce qui est quelquefois utile quand il s'agit de réparer des poutres dont on trouve les portées détériorées.
334 LEÇONS SUR h APPLICATION
Enfin on pourrait , au moyen de l'armature représentée lig. 99, assujettir l'une au bout de l'autre deux pièces pour en former une , ou consolider une poutre que la charge aurait fait rompre. Mais on n'est pas assuré de réussir aussi bien dans ce dernier cas que dans le précédent , parce que l'armature se trouvant ici placée dans la partie de la pièce où elle tendrait à prendre la plus grande courbure, il faudrait un contact beaucoup plus parfait entre la pièçe et l'armature pour qu'il n'y eût pas de flexion sensible («).
Dans ces appareils, la résistance des armatures peut être évaluée d'après le n° 5i i. 11 est nécessaire que les portions de surface sur lesquelles la pression s'établit soient assez grandes pour que le bois ne s'y comprime pas sensiblement. La valeur de la pression se calculera toujours facilement. Dans le cas de la figure 97, par exemple, la pression en m doit faire équilibre autour du point n aux poids dont la pièce est chargée ; la pression en n est égale à la somme de ces poids et de la pression qui a lieu en m.
5 18. Les deux parties d'une pièce exposée à fléchir transversalement de haut en bas peuvent encore être réunies de la manière indiquée fig. 100, au moyen d'une pièce juxtaposée en dessous, assujettie par des clefs de bois dur insérées dans des entailles, et serrées par des brides. En effet les fibres, lors de la flexion, sont comprimées dans la partie supérieure am de la section trans-
{a) On peut voir un procédé pour consolider les extrémités pourries des poutres dans les Transactions ofthe socicty of arts and manufactures , 1802. Voyez aussi la même collection, i8a4» ou le Bulletin de la société d'encouragement, juin i8a5.
DE LA MÉCANIQUE, I re . PARTIE. 335
versale , et étendues dans la partie inférieure an. Le joint mn ne nuit pas à la résistance des fibres comprimées (n° i4 2 )» €t l a résistance des fibres étendues qui se trouvent coupées est suppléée par celle de la pièce appliquée en dessous. On peut déterminer la force de cette pièce par la condition que le moment de la résistance de ses fibres, pris par rapport à Taxe d'équilibre a y soit égal au moment des fibres coupées dans l'intervalle an , pris par rapport au même axe.
519. A l'égard des pièces placées dans le prolongement Tune de l'autre , et exposées à une tension longitudinale, on peut les assembler de la manière indiquée fig. 101 , au moyen de pièces juxtaposées, assujetties par des clefs et des brides. On peut aussi employer des tirans de fer, soit en les encastrant dans le bois, comme l'indique la fig. 102 , soit en les plaçant en dehors, et les fixant à des traverses. Dans tous les cas , les pièces réunies sont nécessairement affaiblies au point de jonction , la section transversale étant diminuée par l'effet des entailles. On doit donner aux tirans une force égale à celle qui reste au bois; et il faut que la surface de bois sur laquelle ces tirans prennent un appui soit assez grande pour qu'il n'y ait pas écrasement , et que l'adhésion latérale des fibres qui tendent à se détacher ne puisse être rompue.
ARTICLE VIII
DES APPAREILS DE CHARPENTE LE PLLS SIMPLES, DESTINÉS A SUPPORTER OO A ÉLEVER DES POIDS.
520. Les pièces de charpente sont exposées à divers genres d'effort, et peuvent être sollicitées à fléchir et a> rompre d'une infinité de manières. On a considéré dans
536 leçons sur l'application
les articles précédens les cas le plus simples de Véquilibre d'une seule pièce : on se propose d'examiner, dans cet article et dans les suivans, les conditions de l'équi~ * libre des assemblages formés de plusieurs pièces , en se bornant aux systèmes qui se présentent le plus fréquemment dans les constructions.
52 1 . La manière le plus simple de supporter un poids au moyen d'une seule pièce , consiste à poser ce poids sur l'extrémité supérieure de cette pièce placée verticalement. Les conditions de l'équilibre ont été recbercbées pour ce cas dans le n° 383. Un semblable appareil n'a pas de stabilité, à moins que la pièce verticale n'ait l'extrémité inférieure encastrée. On peut maintenir cette pièce, soit par des contrefiches ou autres appuis fixes , soit en empêchant, au moyen de cordages attachés à des points fixes , l'extrémité supérieure de se déplacer. Ces cordages n'ayant d'autre objet que d'empêcher la pièce verticale de sortir de la position d'équilibre non stable où elle se trouve placée , le degré de résistance qu'on doit leur pro* curer ne peut , en général , être évalué avec exactitude.
522. On peut aussi supporter un poids au moyen d'une seule pièce verticale, en suspendant ce poids à quelque distance de Taxe de la pièce. C'est ce qu'on est obligé de faire quand il s'agit, non - seulement de supporter le poids, mais de le soulever. On a traité dans le n° 4<>6 le cas où la pièce est encastrée à l'extrémité inférieure , et où le poids est simplement supporté. Quand on veut élever le poids, on place ordinairement une poulie en C (F;g. io3), une autre en D, et l'on agit sur la corde en F. La pièce AB est alors sollicitée , non-seulement par le poids LT, mais par la tension de la corde DF. Si les distances BC, CD, étaient égales, et si les tensions
DE LA MÉCANIQUE , l". PARTIE. 3J-
des cordes Cn, DF ne différaient pas l'une de l'autre , ] a pièce AB se trouverait dans Je même cas que si 1 extrémité supérieure B était chargée d'un poids égal à la somme de ces tensions. Dans la réalité, la tension de la corde DF smrpasse celle de la corde Ctf, et la pièce AB est sollicitée à plier du côté de la première. On doit prendre la résultante des deux tensions, et appliquer les résultats des n" 406 et suirans, en mettant cette résultante à la place de la force désignée par II dans ces numéros, et en remplaçant la distance désignée par / par la distance de la direction de la résultante à Taxe de la pièce.
La stabilité de l'équilibre tient uniquement ici à la résistance de 1» pièce à la flexion, et le déplacement de 1 extrémité supérieure augmente le bras de levier des forces qui la sollicitent. Il est absolument nécessaire de maintenir cette extrémité par des cordages. Mais aussi bien que dans le cas précédent, le degré de résistance de ces cordages ne peut pas être évalué exactement d'avance.
523. Les appareils de ce genre sont quelquefois disposés de manière qae l'on agit sur la corde DF (Fie iod) au moyen d'un treuil fixé en E à la pièce AB, et près de 1 extrémité inférieure de cette pièce. Dans ce cas les deux parties AE, BE se trouvent dans des états d'équilibre difFérens. La partie AE est uniquement solKcitée à fléchir par L'action du poids n, et on peut hii appliquer lés résultats des n 0 ' 406 et suivans. La partie BE est soumise à l'action du poids n et de la tension de la corde DF. On peut, ea négligeant la flexion de la partie AE, appliquer à la partie BE ce qui a été dit dans le numéro précédent.
5*4. Dans l'appareil représenté fig. io5, la pièce horizontale BB', «hargéeau milieu C dnpoidsn, est dans l'état
338 LEÇONS sur l'application
d'équilibre considéré dans les n°* 356 et 357. Les pièces verticales AB, A'B' supportent chacune la moitié du poids II, et sont dans les états d'équilibre considérés dans les n" 383 ou 389, suivant que les extrémités inférieures de ces pièces sont simplement supportées, ou sont encastrées dans leurs appuis. Abstraction faite de la résistance des assemblages aux points B et B' , l'équilibre n'est pas stable, et on doit maintenir l'appareil par des pièces inclinées ou par des cordages.
Si le poids II n'était pas simplement suspendu aupoint G, mais devait être élevé au moyen d'une corde ' passant dans une ou plusieurs poulies fixes attachées à ce point, il est évident qu'il faudrait regarder le point G comme étant chargé du poids n augmenté de la tension de la corde sur laquelle on agirait pour soulever ce poids.
5a5. L'appareil représenté fig. 106, si la pièce horizontale BB" était formée de deux parties séparées par un joint placé en B' , présenterait simplement la réunion de deux systèmes semblables à celui que l'on vient de considérer. Les pièces verticales AB, A"B" supporteraient chacune la moitié de l'un des poids II , que l'on suppose égaux, et la pièce A'B' supporterait un effort égal à l'un de ces poids. Mais si la poutre horizontale BB" est d'une seule pièce, chacune des moitiés BB', B'B" résiste comme une pièce horizontale encastrée à une extrémité et supportée à l'autre. Par conséquent en regardant les pièces AB , A'B' , A"B" comme des appuis inflexibles , on appliquera ici les résultats obtenus dans les n°* 366 et suivans, résultats qui s'accordent avec ceux de la solution exposée dans les n" 375 et suivaus. On en conclura que
l'effort vertical supporté par chacune des pièces extrê-
mes AB, A"B" est égal à —II, et par conséquent que
DE LA MÉCANIQUE, I r ". PARTIE. 33g
l'effort supporte par la pièce intermédiaire A'B' est
égala -n. L'effet de la liaison des deux parties de
la pièce BB' est donc d'augmenter sensiblement la charge du poteau A'B' , en diminuant celle des^ deux aut res.
5a6. Considérons encore l'appareil représenté fig. 107, où la poutre horizontale BB'", chargée des trois poids égaux n, supportée par quatre pièces verticales également espacées, est supposée d'une seule pièce. Si Ton regarde les pièces verticales comme des appuis inflexibles, on peut apprécier la résistance que doit présenter la pièce BB'", et les efforts exercés sur chacune des pièces verticales, au moyen d'un calcul semblable à celui des n°' 371 et sutvans. En effet, Tune des moitiés BC de la poutre peut être regardée comme une pièce encastrée horizontalement à l'extrémité C, et sollicitée par trois forces verticales , agissant de bas en haut aux points B, B' , et de haut en bas au point C, Nous remarquerons d'abord que dans la pièce AMM' (Fig. 49 )> considérée n* 371 , on aurait pour la troisième partie M' M" de cette pièce , en conservant les dénomi stations indiquées dans ce numéro , et déterminant les constantes de manière que, pour x = a! ,
les valeurs de -~ et^ fussentégaîes aux valeurs données
par les équations appartenant à la partie MM', les équations suivantes :
« - " 7*' — îl'îa" +11" (a"j i.r') ,
i y = M (•£ a a x — ^ ) — n' ( - a' J .r — - a' 3 ) +■ II" ( 7 a" ~r s - J x 3 ).
34o LEÇONS SUR INAPPLICATION
Appliquons maintenant ces équations, aussi bien que celles qui ont été données dans les numéros cités, à la moitié BC (Fig. 107) de la pièce BB"'. Désignant par
a la moitié de l'un des intervalles égaux BB' , B'B" ; Q l'effort exercé sur le poteau AB; / Q' TefFort exercé sur le poteau A'B';
les équations conviendront au cas dont il s'agit en écrivant Q' au lieu de n , II au lieu de iT , Q au lieu de II" , aa et 3a au lieu de a' et a". Par conséquent on aura respectivement pour les parties KC, OB' etBC, les équations
«/==<y(iflar»-^)--n((Xx^ij3 ) + Q { i dJ .... J » )|
, r = Q'Ua 1 a:-.ia 3 )^n(aa'x-4û î ) +Q(i * x» -i-r 3 ).
On en déduit , en faisant successivement x=a , x=2a, x=5a, pour les ordonnées des points B', C et B comptées à partir de la ligne horizontale passant par le point
i, r =(2Q'~5n-MQ)î«*,
, >r :»(5Q'— 16U + 28Q)** 3 , c tr = (8Q'-28n + 54Q)ia*.
Les ordonnées des points B et B' devant être égales entre elles , on a
6Q' — 23ll + 46Q = o-
Les conditions de l'équilibre entre les poids n et les efforts exercés sur les poteaux donnent de plus
a Q'3n+aQ=o.
On déduit de ces deux équations Q = £LT pour Veffort exercé sur les poteaux extrêmes AB, A!"T> ; et Q' = fî n pour les efforts exercés sur les poteaux intermédiaires A'B' et A" B". L'eflet de la liaison des par-
lies de la pièce BB" est encore ici d augmenter la charge des poteaux intermédiaires , en diminuant celle des poteaux extrêmes.
527. Quant au degré de résistance que doit présenter la pièce BB'", on remarquera que Ton a respectivement pour les parties B'C, B'C et CB de cette pièce,
.^ = Q f (a~Jr)-n(aa-x) + Q(3a~a),
ou, en remplaçant Q et Q' par les valeurs qui viennent d'être obtenues,
dx* 10 '
Les points de maxima pour la courbure sont C, B' et C : elle est la plus grande dans le premier , où Ton a
t = n ^ , et où la pièce tend à se rompre. Les conditions de la rupture 4e cette pièce sont donc exprimées, conformément au n° 358, par l'équation
r ao
On regarde ici les pièces verticales comme des appuis inflexibles. La question serait différente, et plus compliquée , si ces pièces étaient supposées flexibles ou compressibles. Mais il n'est pas nécessaire pour les appli-
34*2 LEÇONS SIR LAPPUCATlON
cations de traiter la question de cette manière, et on n'aura point d'erreur dangereuse à craindre , en donnant aux pièces verticales des résistances proportionnées aux efforts dont les valeurs ont été trouvées ci-dessus.
528. On peut soutenir un poids au moyen d'une seule pièce inclinée, lorsque l'extrémité inférieure de cette pièce est eucastrée. On a traité ce cas d'équilibre dans les n°' 412 et suivans. La tig. 108 représente un poids II soutenu par deux pièces inclinées, dont on suppose les extrémités inférieures simplement supportées sur des appuis. En désignant par a, 6 les angles que les pièces AC, BC forment avec la corde verticale Cil , les efforts résultant dans les directions des deux pièces de l'action du poids II , sont exprimés respectivement par
siu. € si il. a
sin. (a-|-6) ' sin.
Ces pièces s'appuient l'une contre l'autre en C , et la pression horizontale qui a lieu dans ce point est
sin. a. sin. C
