rr
Elles tendent à s'écarter l'une de l'autre en A et B, et cette même expression représente la pression horizontale qu'elles exercent contre les appuis qui les retiennent , ou la tension d'un lien AB , par le moyen duquel ces pièces seraient maintenues.
529. Si les deux pièces AC, BC forment avec la verticale des angles égaux désignés par «, les efforts exercés dans la direction de ces pièces sont exprimés par
a cos.a '
DE LA MÉCANIQUE, t tm . PARTIE. 343
et la pression horizontale par
■7 n tang. a.
Dans les appareils dont il s'agit , les pièces inclinées sont dans l'état d'équilibre considéré n° 383 , les efforts exercés dans la direction de ces pièces remplaçant la force désignée par Q dans ce numéro.
530. Dans l'appareil représenté fig. 109, la pièce AC est comprimée , et la pièce BC est étendue. La pression exercée suivant AC doit être la résultante des tensions des cordes BC et ClL Par conséquent , a et 6 désignant les angles formés par AC et BC avec la corde verticale Cil, on aura respectivement
siti. 6 gin. a
n — — — et n
sin. — a) &in. (6 — a)
pour la pression exercée suivant AC, et pour la tension de la corde BC. La pièce AC tend à glisser en A sur son appui, et la pression horizontale qu'elle exerce contre l'obstacle qui doit la retenir est
sin. a. sin. 6 ïl .
sin. (S — « )
Les appareils que l'on vient de considérer présentent un équilibre stable, quant aux déplacemens qui pourraient avoir lieu dans le plan vertical qui contient les pièces inclinées , et la corde à laquelle le poids est suspendu ; mais il est nécessaire de les maintenir dans ce plan par des cordages.
53 1. Pour donner plus de stabilité au système, on remplace la pièce unique AC par deux pièces inclinées aC y a'C (Fig. 1 10), ce qui forme l'appareil connu sous le nom de chèvre. La ligne AC étant l'intersection du plan vertical qui contient les cordes BC, ClT avec le
344 LEÇONS SUR LAPPLICATION
plan aCa! , qui est perpendiculaire au premier , on désignera par a, 6 les angles BCn, ACn, et par y les angles égaux aCA, a'Ca. L'action du poids n produira dans le sens de chacune des pièces aC , a'C une pression exprimée par
sto. €
il — — — . •
sin.(6 — a). 2 COS. 7
La force avec laquelle le lien aa! est tendu est
sin. 6. tang. 7 q asin.(6~a)'
La tension de la corde BC , et la force horizontale avec laquelle les extrémités inférieures a , a! des pièces inclinées tendent à glisser parallèlement à AB , sont exprimées par les formules données dans le numéro précédent.
53s. Si , dans les appareils dont il vient d'être question, le poids II n'était pas seulement suspendu au point C, mais soulevé au moyen d'une corde passant dans une ou plusieurs poulies fixées à ce point, on devrait, pour déterminer les eftorts exercés dans la direction des pièces , considérer au lieu du poids n la résultante de ce poids et de la tension de la corde à laquelle la force serait appliquée. Il faut d'ailleurs distinguer le cas représenté fig. 111, où la corde CD qui soulève le poids II s'enroule sur un treuil fixé en D, près de l'extrémité inférieure de la pièce AC. Dans ce cas , la partie AD de cette pièce est,, simplement comprimée avec l'effort résultant de l'action du poids n , et exprimé par les formules des numéros précédons. La tension de la corde BC conserve également la valeur donnée dans ces numéros. Mais la partie CD de la pièce principale est comprimée dans le sens de aa lougueur avec l'effort résultant de l'action du poids n , augmenté de la tension de la corde CD. L'état
DE LA MÉCANIQUE, l" PAKTIE. 345
d'équilibre de celte partie CD peut être assimilé sans erreur dangereuse à celui de la pièce considérée n° 383.
533. Lorsqu'un poids est supporté par plus de deux pièces inclinées contenues dans un même plan vertical , ou par plus de trois pièces inclinées non contenues dans un même plan , les conditions de l'équilibre laissent indéterminés, entre certaines limites, les efforts exercés suivant la direction de chacune des pièces. En effet quoique le poids paraisse devoir être soutenu par toutes les pièces , rien n'empêche de supposer qu'il est simplement porté dans le premier cas par deux d'entre elles , et dans le second cas par trois d'entre elles seulement. Parmi ces pièces» celles qui sont comprimées se trouvent dans l'état d'équilibre considéré n° 383 ; et Ton est conduit , par les résultats de la solution exposée dans ce numéro , à les assimiler à des appuis qui ne cèdent pas , tant que l'effort qu'ils supportent ne dépasse point une limite déterminée. En considérant le système de cette manière , il faut, pour que la construction donne une entière sécurité , que le plus grand effort auquel chaque pièce soit exposée , d'après les divers modes de décomposition du poids qui peuvent avoir lieu , soit au-dessous de la limite dont on vient de parler. Mais il est important de remarquer que la solution du n° 383, qui apprend qu'une pièce comprimée dans le sens de sa longueur ne cède point lorsque l'effort est au-dessous d'une limite donnée, prend uniquement en considération la disposition de la pièce à céder par l'effet d'une flexion. Dans la réalité, la pièce, avant de fléchir, se comprime de plus en plus par l'effet de l'élasticité de sa substance. Il convient d'avoir égard à cette circonstance, dans les questions dont il s'agit, et alors il n'y a plus rien d'indéterminé dans la manière dont l'action du poids se distribue sur les appuis.
LEÇONS SLR h APPLICATION
Pour en donner un exemple , on supposera le poids fi (Fig. 112) supporté par les trois pièces inclinées AC, A' C , A" C contenues dans le même plan vertical , et Ton nommera
a, a', a" les angles formés par la direction des trois pièces avec la corde verticale Cil ;
p,p' ,p" les efforts exercés, par suite de l'action du poids II , dans la direction de chacune des pièces ;
F, F, F" les forces d'élasticité des trois pièces;
a la hauteur du point C au-dessus de la ligne horizontale AA";
h ,y^les quantités dont le point C se déplace horizontalement et verticalement, par l'effet de la compression simultanée des trois pièces.
( En désignant par F la force d'élasticité de la pièce A C , on entend qu'il faudrait un poids égal à F pour allonger ou accourcir cette pièce d'une quantité égaie à sa iongueur actuelle, et ainsi des autres.)
Cela posé , les conditions de l'équilibre entre le poids II et les trois pressions exercées suivant les pièces donneront d'abord
/»cOi. u+p' COS. a + p" COS. a =: n , p sin. sin. a +/?"sin. a"r^o.
De plus , le déplacement du point C étant supposé très-petit, les quantités dont les pièces AC , A'C, A"C se trouvent comprimées seront, à fort peu près, feos. en—h sin. « ,Jcos. a — h sin. a ,fco$. *—h sin. a" ; et comme les longueurs de ces pièces sont respective-
a a a" mont , 7, y. » on aura
COS. a COS. a COS. a
ycos.» a — h sin. a COS. a f cos. 3 u — // sin. a COS. a
f cos. a a" — h sin. a" cos. W
DE LA MÉCANIQUE, ! ,e . PARTIE. Ztfî
pour les fractions de ces longueurs représentant leurs accourcissemeus respectifs. On en conclut les trois équations
y* COS.* et — h sin. a cos. a
, f COS.* a — A sin. a cos. a /> = * •
" E*' ./*COS.' a" — À sin. a r(h
qui , réunies avec les deux précédentes, donneront les valeurs des déplacemens h et f, et des efforts p , p' et />".
534. Supposons, par exemple, les forces d'élasticité des trois pièces égales entre elles, la pièce intermédiaire A'C verticale, et les angles a, a" égaux à
Le déplacement horizontal h du point C sera nul, et Ton pourra supprimer la seconde des deux équations
d'équilibre. On aura cos. « = 1 , cos.a= cos. a"= ^ » et
yï.na 11 , y/2. 11
l'effort supporté par la pièce verticale est double des efforts supportés par les deux autres.
535. Si les trois pièces étaient placées d un même côté par rapport à la corde verticale Cri (Fig. 112), la première AC serait seule comprimée, et les deux autres seraient étendues. Les équations du numéro 533 conviendraient également à ce cas , eu y changeant les signes de p' et p" .
536. Dans l'appareil représenté fig. 1 j3, où les pièces inclinées AB, A'iy , contenues dans un même plan ver-
tical avec la corde Cil , supportent le poids n au moyen de la pièce horizontale BB', il est nécessaire pour que le système soit en équilibre, abstraction faite de la résistance des assemblages, que les pièces AB, A'B' soient également inclinées, x étant l'angle quelles forment avec la verticale, ces pièces sont comprimées suivant leur longueur avec la force — - — , et sont dans
le même état d'équilibre que la pièce considérée n° 383. Les extrémités A, A' tendent à s écarter Tune de l'autre avec une force horizontale exprimée par II tang. «.
Quant à la pièce horizontale BB' , chaque moitié BC ou B'C est dans le même cas que si elle était encastrée horizontalement en G , et sollicitée à l'extrémité B ou B' par la force dirigée suivant AB ou A'B'. Ces moitiés se trouvent donc dans le même état d'équilibre que la pièce considérée n° 412 , les forces désignées par P, Q , II dans ce numéro étant ici respectivement ,
53^. On a considéré n* 5 28 le cas d'un poids n soutenu par deux pièces inclinées , et l'on a remarqué la nécessité de retenir les extrémités inférieures de ces pièces , qui tendent à s'écarter l'une de l'autre. On peut aussi former un appareil du même genre , en laissant les extrémités A, B ( Fig. 1 14 ) libres de glisser sur le plan horizontal qui les supporte, et en plaçant à une certaine hauteur un lien horizontal EF.
Nommons
« langle formée par les pièces AC , BC avec la corde verticale Cil;
a la longueur des parties CE , CF; a! la longueur des parties AE , BF.
Les points d'appui A et B supportent chacun un effort vertical égal à ^. Chaque pièce AC , BC peut être
regardée comme sollicitée par cet effort à tourner autour de son extrémité supérieure , et il doit s'établir dans le lien EF la tension nécessaire pour prévenir ce mouvement. Cette tension est donc déterminée parla condition que son moment, pris^ar rapport au point C, soit égal
au moment de l'effort vertical - agissant en A ou en B,
pris par rapport au même point. Par conséquent la valeur de la tension dont il s'agit est
n — — tang.a;
et cette formule représente aussi la pression horizontale qu'exercent l'une contre l'autre en C les deux pièces CA, CB. On voit d'après cela que les parties de ces pièces sont dans le même cas que la pièce considérée dans les n 0 ' 4ia et su i vans. La partie AE doit être regardée comme encastrée en E , et sollicitée en A par l'effort vertical î qui
tend à la contracter. La partie CE doit également être regardée comme encastrée en E , et sollicitée en A par
l'effort vertical - et par l'effort horizontal II tang.<*
qui tendent tous deux à la contracter.
538. On peut supposer que dans le système considéré n° 528, et représenté fig. 108, on place , outre le lien AB , un autre lien horizontal EF , comme l'indique la fig. 1 14. Dans ce cas l'effort horizontal \ II tang. a,
avec lequel les pièces tendent à s'écarter Tune de l'autre, est encore entièrement supporté par les obstacles placés en A et B, ou par le lien AB. On doit assimiler la pièce AC à celle que l'on a considérée n° 383, mais en admettant qu'un des points de cette pièce a été rendu fixe. Il résulte de l'analyse exposée dans ce numéro, où les pièces sont regardées comme des verges flexibles et non compressibles, que si le point fixe E est placé à l'un des points de division de la pièce en i , 3 , etc. parties égales, la valeur de l'effort capable de faire fléchir cette pièce deviendra 4 fois, 9 fois, etc. plus grande que s'il n'existai: aucun point fixe. On doit d'ailleurs avoir égard aux notions exposées n° 4<>3 , pour apprécier le plus grand effort a uquel la pièce puisse être exposée.
Le lien EF , placé dans un des points de division de la pièce AC en parties égales , ne supporte aucune tension longitudinale. En effet, quoique l'existence d'un point fixe placé de cette manière détermine dans cette pièce un mode de flexion particulier , aucun effort n'est exercé sur ce point.
Les remarques qui viennent d'être faites peuvent être appliquées à l'appareil considéré n° 536 , et représenté figure u3, si Von suppose qu'un lien horizontal soit placé à une certaine hauteur entre les pièces AB, A'B'.
539. L'appareil représenté figure u5 est formé du poids II, suspendu à l'extrémité C de la pièce horizontale BG, qui est consolidée par la contrefichc AD. Les points A , B sont fixes, mais on suppose les pièces libres de tourner sur ces points. On nommera :
/, ï les distances BD, CD ; a l'angle BAD.
DE LA MÉCANIQUE , I ,e . PARTIE. 35 1
Le point fixe B soutient de bas en haut un effort vertical 11 j qui fait équilibre au pouls H autour du point D. Le point D est chargé de la somme du poids IT et de cet effort , qui est n — j— . Cette charge devant être supportée par la pièce AD, il s'établit dans le sens de cette pièce la pression ïl l ^ , et en même
temps dans la direction BD la tension II . ■ tang. u ,
qui est détruite par la résistance du point fixe B. Par conséquent, pour s'assurer que l'appareil est suffisamment fort pour porter le poids n , il faut d'abord examiner si la cont refiche AD, assimilée à la pièce considérée n° 383, peut supporter la pression longitudinale
If , . La pièce BC doit ensuite être recardée / cos. a * °
comme étant assujettie à passer en B et D dans des points fixes, comme étant tendue dans la partie BD
par la force n -j— taog. a, et sollicitée h rompre en D
par une force dont le moment est Ylt t et qui tend à produire en ce point une courbure dont le rayon a
pour valeur inverse — . D'après cela, si, comme au
n° 387 , on veut que le plus grand effort exercé sur
l'unité de surface ne dépasse pas R', on posera l'équation
R' + Q tang.» , ïr\
ë' = u v — ëzt — + —
qui devient, lorsque la section transversale est un rectangle dont b et c représentent la largeur et la hauteur,
R '~£( c( ' +f r fi -* + 6 0-
35a LEÇONS SUR l'application
et qui donnera la plus grande valeur du poids It dont on puisse charger l'appareil.
54o. On supposera maintenant que la pièce horizontale BC, et la contrefiche DE (Fig. 116) sont assemblées avec une pièce verticale ÀB, encastrée à l'extrémité inférieure A. Ce qui a été dit ci-dessus pourra s'appliquer aux pièces BC, DE. Quanta la pièce AB ,
elle est sollicitée en E par la force n~ dirigée
suivant DÈ, et équivalente à une force horizontale
Iï — — tang. a , et une force verticale II —j— . La même
pièce est sollicitée , en B, par la force horizontale
n l ~- tang. a dirigée dans le sens BD, et par la force
verticale II j dirigée de bas en haut. Pour plus de simplicité, on supposera la courbure delà pièce AB extrêmement petite , en sorte que Ton puisse négliger les dcplacemens des points B,E par rapport aox longueurs des parties de la pièce (ce que Ton peut faire dans les cas ordinaires des applications). On verra alors i° que cette pièce, comprimée longitudinalemcnt dans l'intervalle AE par l'effort n, est sollicitée à rompre en un point quelconque de cet intervalle par une force
dont le moment est II (/ + /)> et V* 1 tene * P ar conséquent a- produire une courbure dont le layon»
a pour valeur inverse n ^ 1 "^^ \ L a limite des valeurs de II, pour que les fibres ne supportent pas sur l'unité de surface une pression dépassant R' , sera donc, conformément à ce qu'on a vu n° , donnée par l'équation
DE LA MÉCANIQUE, l r *. PARTIE. 353
<jui devient , lorsque la section de la pièce est rectangulaire,
2° Que la même pièce AB, tendue longitudinalement dans Vin tervalle BE par l'effort II j , est sollicitée à rompre en E par une force dont le moment est n (/-r-O- La limite des valeurs de n , pour que les fibres ne supportent pas en ce point sur l'unité de surface une tension dépassant R', sera donc donnée par l'équation
qui devient lorsque la section de la pièce est rectangulaire
Si le point D est au milieu de BC, la pièce AB tend également à rompre dans un point quelconque de l'intervalle AE, et en EL La pièce tend à rompre dans l'intervalle AE plutôt qu'en E si BD est <CD. L'état d'équilibre de la pièce ne dépend pas de l'inclinaison de la contieûche DE.
54 1 . Par suite de la courbure qu'affecte la pièce, et dont les formules précédentes ne tiennent point décompte, les valeurs du poids II données par ces formules seront un peu trop grandes; et la pièce tend à rompre eu A plur tôt qu'en tout autre point de l'intervalle AE. D'après cela nous examinerons d'une manière complète l'état d'équilibre de la pièce verticale AB. Nous désignerons - par
a la longueur de la partie AE;
354 leçows swn l'application
a<\ la longueur de la partie BE ;
x y j l'abscisse verticale et l'ordonnée horizontale de la courbe affectée par Taxe de la pièce, ces coordonnées étant comptées du point A.
f l'ordonnée du point E;
f l'ordonnée du point extrême B.
En remarquant que a'= t ^ g , on voit d'après ce qui précède que la pièce AB est sollicitée i° en E par la force !ï ^-r- agissant Horizontalement de droite à gauche, et
par la force II agissant verticalement de haut en
bas; 2° en B par la force II -^r— agissant
ment de gauche à droite , et par la force II -y- agissant verticalement de bas en haut. Par conséquent i ° J'équation exprimant les conditions de l'équilibre de la partie AE de la pièce sera
ou bien
a° l'équation exprimant les conditions de l'équilibre de la partie BE sera
En opérant comme dans le n° 4<>6 , on a pour l'intégrale de l'équation (a) , ou pour l'équation de la courbe affectée par la partie A E de la pièce,
DE LA MÉCANIQUE, l", PARTIE. 355
y = | < + f+ ^'/-^ ||, co , JV /^ w
Appelons y l'inclinaison de la tangente de la courbe dans le point qui répond au point E : cette équation devra don-
ner, quand x = a> J—f et ^ = tang. <ç. Donc
/ ,[i w <+/) r f > /< ii.-co S .v^[.
tang.,= + ( 1 + ' f j y/":, «in. a y/l .
En opérant également comme dans le no 4*5, on a pour l'intégrale de l'équation (6), ou pour l'équation de la courbe affectée par la partie BE de la pièce,
f- y =K( e >/n ) - VU <*+« w > )
A étant un coefficient arbitraire. Cette équation devant
donner comme la précédente y—f et ^= tang. ^ quand x — a, il vient
tang. ?
Ayant donc quatre équations linéaires entre les quantités f 9 f, tang,© et A^on éliminera facilement les deux dernières, et Ton déterminera les valeurs de f et/\ Ces valeurs étant substituées dans les équations (y) et (S) , on connaîtra les équations des deux parties de la courbe affectée pai la pièce.
542. Comme on ne considère ici que des flexions trèspetites, il y aura très-peu d'erreur à négliger fol f dans le second membre des deux premières des quatre équations dont il s'agit , ce qui les réduit à
/-(/+f) |i-cos.ay/ïj , tang. ? = (/ +f ) y/ y »in.ay^~ ;
d'où
L'équation (y) donne pour le point A, qui est celui où la courbure est la plus grande dans la partie AE de la pièce ,
L'équation (à) donne pour le point E , où la courbure est la plus grande dans la partie EB de la pièce,
(.VS.WS).
ou en mettant pour A la valeur précédente
En multipliant ces expressions par ^, elles donneront la plus grande extension subie par les fibres en raison de la courbure , et serviront à déterminer les dimensions qu'il est nécessaire de donner a la pièce pour qu'elle résiste à
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE.
un effort déterminé, comme on la vu dans les articles précédens.
La quantité j sera fort petite dans la plupart des ap-
plicatioDs, et l'on pourra réduire la valeur de au point E , en ne négligeant que des quantités de l'ordre de-^-.à
Ces derniers résultats s'accordent avec ceux qui ont été présentés n° 54o.
543. Quelquefois la pièce AB n'est point encastrée à l'extrémité inférieure : elle est consolidée par une pièce inclinée AF ( Fig. 117). Dans ce cas , tout ce qui a été dit dans les numéros précédens doit s'appliquer à la partie de l'appareil située au-dessus du point A. Quant à la partie située au-dessous de ce poiut , supposons d'abord la pièce AF dirigée de manière que le point F soit au delà de la verticale passant par le point de suspension du poids II. Nom mous h la distauce AA', y l'angle A' A F, et désignons toujours par /-f-/ la distance BC. Le poids n tend à faire tourner la pièce A'B sur le poiut A', et le moment de ce poids, pris par rapport au point A', est n ( l-h l ). Il est nécessaire , pour que ce mouvement n'ait pas lieu , que la pièce A F oppose dans le sens de sa longueur une
résistance n ^ Cette force agit au point A dans la
direction FA , et équivaut « une force horizontale n ^r-*>
fi
et une force verticale II r— ^ — diricée de bas en haut.
A tant;, y tJ
Aiusi i° la pièce AF doit être assimilée à la pièce coa-
358 leçons sur l'application
sidérée n° 383, la force désignée par Q étant ici n -r-^— — ;
n sin. p
2° la partie A A' de la pièce verticale n'est plus comprimée suivant sa longueur qu'avec la force n ( i — ■ **** \ .
Mais comme l'effort horizontal n— exercé au point A
par la pièce AF doit être détruit par un effort égal exercé en sens contraire au point d'appui A', cette partie AA' est dans le même cas qu'une pièce encastrée à une extrémité ,
et sollicitée à l'autre extrémité par la force n qui tend à la comprimer dans le sens de sa longueur, et parla force n-~— dirigée perpendiculairement à sa longueur.
Si maintenant la pièce inclinée est dirigée de manière que le point F se trouve en deçà de la verticale passant par le point de suspension du poids n , l'appareil tendra à tourner sur le point F. La force comprimant la pièce
A F sera toujours exprimée par n h sip ^ , et la partie
A A' de la pièce verticale sera tendue suivant sa longueur
avec la force n ( -r-^— 1 Y Userait nécessaire alors
\Atang.<f /
que cette dernière pièce fût attachée en A' à son point
d'appui.
544* L'appareil représenté fig. 1 18 est formé du poids îl ' suspendu en C au milieu de la pièce horizontale BB',dont les extrémités sont appuyées sur des points fixes, et qui est consolidée par les coiitrefiches AD, A'D' asscmbléesavec cette pièce , et appuyées elles-mêmes contre des points fixes en A et A'. La pièce BB' fléchissant sous l'action du poids n , et les contrefiches se comprimant , l'action du
DB LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 35o*
poids se trouve répartie sur les quatre points axes. La méthode employée dans diverses questions traitées précédemment pourrait faire connaître les conditions de la flexion et de la rupture de cet appareil. Mais comme, en général , il s'agit moins dans les applications de connaître le poids capable d'opérer la rupture, qu'une limite audessus de laquelle ce poids se trouve nécessairement, on peut ici , et dans des cas semblables, éviter de la manière suivante le calcul compliqué auquel on se trouverait conduit.
On distinguera dans l'appareil proposé deux systèmes , dont chacun supporterait seul le poids n, et dans chacun desquels les conditions de la flexion et de la rupture peuvent être immédiatement connues : savoir i° la pièce BB' appuyée sur les points B, B', abstraction faite des contrefiches ; ?° la portion de polygone ADD'A' appuyée sur les points A, A', abstraction faite de la liaison de la partie DU de la poutre avec les parties BD , B'D'. Chacun de ces systèmes , considéré à part , étant moins fort que l'appareil proposé , on est assuré que le poids qui romprait cet appareil est plus grand que le poids qui romprait le plus fort des deux systèmes.
Si la pièce BB', appuyée sur les points B, B', supportait seule le poids II, la valeur de ce poids, déterminée par la condition qu'il n'obligeât point cette pièce à rompre en C, devrait être évaluée d'après le n a 122.
Si le système ADD'A' supportait seul le poids n , et qu'aucun effort ne fût exercé sur les points B,F, on se trouverait dans le cas du n° 536. Par conséquent, désignant par a. l'angle BAD , i q pour que le poids II n'obligeât point la pièce DD' à rompre en C , ce poids devrait être déterminé par les équations des n os 4* 3 ou 4*4» ou a représenterait la distance CD, et où l'on mettrait 7 II et
36o leçons sur l'application
[ II tang. a à la place de P et Q ; a" pour que les con liches résistassent au même poids, il devrait être déterminé conformément aux n°* 383 et 4<>3, en prenan.
— - — pour l'effort exercé suivant la longueur de ce-
