COS. OC
et une force verticale - . La force verticale est transmise
au point d'appui A. La force horizontale se décompose en deux autres, appliquées aux points A et B. En nommant hM les distances AE,BE, on a 11 * tanR.u ur j a coni
posante appliquée en A , qui est détruite par la résistance du poiut d appui ; et pour la composante ap-
36a leçons sur l'application
pliquée en B, qui produit une tension dans la portion de pièce BD. Pafc- conséquent il faut en second lieu que les portions de pièce BD , B' D' puissent résister à la tension
longitudinale "^^y" • Troisièmement enfin , quant
aux pièces verticales AB, A'B*, on peut regarder la pièce ÀB comme étant maintenue fixement au point E, et
sollicitée à l'extrémité A par une force verticale - , et
une force horizontale dont le moment, pour faire fléchir
la pièce en E, est — -ïr-T-rrr* moment de la force
horizontale agissant à l'extrémité B pour faire fléchir la pièce au même point E , a la même valeur. Par conséquent en négligeant, comme on Ta fait dans le n* 54o, la considération de la courbure des pièces, et en se conformant au n° 387 , la limite des valeurs de II, pour que les fibres des pièces verticales AB, A'B ne supportent pas sur l'unité de surface, aux points de rupture E, E', des pressions surpassant R', sera donnée par l'équation
R f n / 1 t/.hh' tang.« \
qui devient , lorsque la section transversale est rectangu- I a 1 re
Ces formules, à raison de la courbure affectée par les pièces, donneront pour n une valeur trop grande, mais différant très-peu de la véritable, dans les cas ordinaires des applications.
Le poids n déterminé par la condition qu'il puisse être supporté par l'un ou l'autre des systèmes dont il vient d'être question , sera supporté , ù plus forte raison* par l'appareil proposé.
DE LA MÉCANIQUE , I r \ PARTIE. 363
De t équilibre des grues.
547* On distingue deux espèces de grues : i° celles dont 1 axe est fixé dans le sol ou contre un mur, et ne peut être déplacé; a° les grues mobiles qui sont supportées par le sol , et peuvent être transportées d'un lieu à un autre.
La figure iao représente une grue de la première espèce , formée seulement de l'arbre AB, et de la pièce inclinée DC, assemblée à cet arbre de manière que l'angle des deux pièces ne puisse changer. L'arbre tourne à l'extrémité inférieure sur un pivot, et il est maintenu en  par un collier. La corde qui soulève le poids n passe en G et en B sur des poulies, et s'enroule en £ sur l'axe d'un treuil fixé à l'arbre AB. La tension R de la partie CB de la corde peut être un peu plus grande, ou plus petite que le poids H, suivant que ce poids est soulevé par une poulie simple ou par un palan. Nous indiquerons par S la résultante du poids n et de la tension R de la portion CB de la corde. La pièce CD doit être regardée comme encastrée en D, et soumise en C à l'action de la force S : on doit donc assimiler cette pièce à celle qui a été considérée n° 4 12 > en prenant S pour la force désignée par II dans ce numéro. En faisant abstraction de la courbure que l'arbre doit affecter, on peut regarder la partie BE de l'arbre comme une pièce encastrée en E , et sollicitée en B par la résultante des tensions des deux portions BC, BE de la corde. La partie DE résiste comme une pièce encastrée en D , et sollicitée en B par la tension R. On doi. l'assimiler à la pièce considérée n° 4 1 5 , en prenant R pour la force désignée par n dans ce numéro, et DB pour h. distance désignée par a. La partie AD résiste comme une pièce encastrée en A , et soumise à l'action du poids fl :
on doit l'assimiler à la pièce considérée n° 406, en mettant pour a et / la distance AD et la distance horizontale du point C au point A. Enfin quant à la partie A A' de l'arbre , on remarquera qu'il doit s'établir en A' contre l'appui un effort horizontal , dont le moment, pris par rapport au point A , soit égal au moment du poids II, pris par rapport au même point. Ainsi la partie AA' doit être regardée comme encastrée en A , et sollicitée en A' par l'effort horizontal dont il s'agit, et par l'effort vertical n qui tend à la comprimer.
La direction de la force S peut différer très-peu de CD, en sorte que l'assemblage en D soit très-peu fatigué. Les grues de cette espèce peuvent donc présenter une assez grande solidité.
548. On peut maintenir l'extrémité C de la pièce CD par le lien BC (Fig. 121), et alors il n'est plus nécessaire que l'assemblage en D rende invariable! angle BDC. Dans ce cas, prenant la résultante S du poids II et de la tension R de la portion de corde BC, on décomposera cette force en deux autres, dirigées suivant CD et CB : on connaîtra ainsi la compression exercée suivant CD, et la tension exercée suivant CB. La pièce CD résiste comme celles qui ont été considérées n°* 383 ou 389 , suivant que cette pièce est libre ou n'est pas libre de tourner sur le point D. En faisant toujours abstraction de la courbure que l'arbre peut affecter, la partie BE doit être regardée comme encastrée en E, et sollicitée en B par la résultante de la tension de la portion de corde BE, de la tension R de la portion de corde BC, et de la tension du lieu BC. La partie DE doit être regardée comme encastrée eu D, et sollicitée en B par la tension R de la portion de corde BC , et par la tension du lien BC. La partie
DE LA MÉCANIQUE , l r# . PARTIE. 365
AD et la partie AÀ' sont sollicitées à rompre en A de la manière qui a été indiquée ci-dessus.
La pièce CD, qui est toujours comprimée, doit être faite en bois ou en fer fondu. Le lieu BC, quand il est tendu , peut être formé simplement par des barres en fer forgé. Si la résultante S était dirigée dans l'angle BCD, les pièces CD, CB seraient toutes deux comprimées, et devraient être également capables de résister à ce genre d'effort.
549. Les grues qui reposent sur le sol , et n'y sont point attachées, doivent être disposées de manière que la verticale contenant le centre de gravité des poids dont elles sont chargées ne sorte jamais de la base, ce qui exige ordinairement l'usage d'un contre-poids.
La figure 122 représente une grue de ce genre portée sur un chariot circulaire, ce qui permet de supprimer l'arbre. On réglera la force des pièces CD et CD' d'après le n° 53a.
550. La figure ia3 représente une grue dans laquelle l'arbre est supporté en A sur un pivot , et maintenu en a par un collier : cet arbre peut tourner. Tout le poids de l'appareil est transmis à l'arbre au point D. La pièce CC est un simple lien horizontal qui doit être fixé en B à l'extrémité de l'arbre. On réglera la force des pièces CD , BC , ou CD, BC, d'après le n° 53a. La partie BD de l'arbre résiste comme une pièce encastrée en D , et sollicitée en B par une force égale à la différence des tensions des deux portions BC, BC du tirant. La partie Da résiste comme une pièce encastrée en a , et sollicitée par le poids total de l'appareil : ainsi , ayant cherché la distance à l'axe AB du centre de gravité de tous les poids qui reposent sur le point D , on assimilera cette partie Da à la pièce considé-
366 leçons sur i/applicatiou
rée n° 406 , en prenant n pour la somme de ces poids, / pour la distance horizontale de leur centre de gravité au point a , et a pour la distance aD. Enfin la partie <zA de l'arbre résiste comme une pièce encastrée en a , et sollicitée à l'extrémité À par une force verticale égale au poids de l'appareil , et par une force horizontale assez grande pour faire équilibre à ce poids autour du point a supposé fixe.
55 1. Dans la grue représentée figure 124» f arbre est fixe et porte le poids de l'appareil sur l'extrémité supérieure B. Les pièces BC et BC' sont deux liens inclinés , et CC une pièce horizontale qui doit embrasser l'arbre en D au moyen d'un collier. L'action du poids n produit dans le lien BC une tension déterminée par la condition que la composante verticale de cette tension soit égale à II. La pièce CD est comprimée suivant sa longueur, par une force égale a la composante horizontale de la mémo tension. Des actions analogues s'exercent au point C. Les pièces CD , CD doivent être assimilées à la pièce considérée n° 383. La partie CE de de la pièce CD, outre la la compression produite par l'action du poids II , et dont on vient de parler, soutient de plus une autre pression longitudinale égale à la tension de la portion de corde CE. La partie BD de l'arbre résiste comme une pièce encastrée en D, et sollicitée en B par une force égale à la résultante des tensions des liens BC , BC Les parties D<t et a A sont sollicitées et résistent conformément à ce qu'on a vu daus le numéro précédent.
55a. Nous indiquerons enfin la grue mobile représentée fig. in5, dans laquelle l'extrémité supérieure de l'arbre AB est maintenue par des haubans. Les pièces inclinées CD , CD sont assemblées à l'extrémité inférieure
DE LA MÉCANIQUE, I r V PARTIE.
de l'arbre, et sont soutenues par les liens BC, BC attachés à I extrémité supérieure. On déterminera , comme dans les cas précédens, les pressions longitudinales exercées sur.les pièces CD, C D, et les tensions exercées sur les liens BC,BC. L'arbre AB est libre de se déverser d'un coté ou de l'autre, et il est sollicité à se déverser par la différence des composantes horizontales des tensions des liens BC,BC 11 doit donc toujours s'établir, dans les haubans qui maintiennent l'extrémité supérieure de cet arbre, des tensions déterminées par la condition que les composantes horizontales de ces tensions détruisent la différence dont on vient de parler. Lorsqu'on a satisfait à cette condition, l'arbre doit être assimilé à la pièce considérée n* 383 , en prenant pour la force désignée par Q dans ce numéro la somme des composantes verticales des tensions des liens BCjBC, et des tensions des haubans.
ARTICLE IX
DBS PORTES D'ÉCLUSE.
553. Les parties des portes d'écluse supportent en même temps faction verticale de leur propre poids , et l'action horizontale de la pression de l'eau. On considérera seulement ici les portes formées par un cadre rectangulaire, dont les côtés verticaux sont réunis par des entre*
toises horizontales sur lesquelles sont cloués des madriers.
De [action de la pesanteur sur la charpente des portes
d'écluse.
554. La figure 126 représente une porte dont la partie principale est le cadre BCFE. Le poteau tourillon B C est supporté en À sur un pivot , et maintenu en D par un
508 LEÇONS SDR L APPLICATION
collier. Le collier est ordinairement assujetti par plusieurs pièces de fer, dans la direction desquelles il s'établit des tensions. Ces tensions sont déterminées par la condition que leur résultante fasse équilibre, autour du point A , au poids de la porte, qui tend à la faire tourner sur ce point.
555. Le poteau BG étant maintenu verticalement au moyen du collier D, la totalité du poids de la porte est supportée par la partie inférieure AB de ce poteau, et par l'appui A. L'action de la pesanteur tend à détacher tout le reste de la charpente du poteau BC, en le faisant tourner sur le point B. Si l'on prévient ce mouvement, en attachant par des liens la traverse supériejre CF, ou toutes les traverses, au poteau BC, l'action de la pesanteur ne tend plus qu'à faire baisser le poteau EF , en changeant en un parallélogramme le rectangle formé par le cadre. La solidité de la construction exige i° que la charpente de la porte ne puisse se détacher du poteau tourillon; 3° que la figure rectangulaire du cadre ne puisse être altérée.
556. Ces conditions seront satisfaites si Ton attache en C la traverse supérieure CF au poteau tourillon par un lien de fer, et si l'on place dans le cadre le bracon BF. Les traverses peuvent être supposées libres de tourner sur leurs points d'assemblage dans les deux poteaux. Nommant G un poids qui, suspendu au point F, aurait par rapport au point B le même moment que le poids de la
porte, et q> l'angle CBF, on aura pour la pres-
sion longitudinale supportée par le bracon ; et G tang.^ pour la tension longitudinale supportée par la traverse supérieure CF et par le lien C.
DE LA MÉCANIQUE, I rt . PARTIE. 3Ô9
557. On satisferait encore aux mêmes conditions par le moyen du tirant incliné CE, attaché en C au poteau tourillon. Les traverses peuvent toujours être supposées libres de tourner sur leurs points d'assemblage dans les deux poteaux. La tension longitudinale supportée par le
tirant est représentée par — — , en nommant 9 l'angle CEF. ?
558. Lorsque l'on n'emploie pas de bracon ni de tirant, il est nécessaire qu'une des traverses horizontales au moins (la traverse supérieure CF, par exemple) soit assemblée avec le poteau tourillon, de manière qu'elle ne puisse tourner sur le point d'assemblage. Cette condition suffit pour maintenir la figure rectangulaire du cadre. Toutes les autres traverses demeurant libres de tourner leurs points d'assemblage , la traverse ainsi assemblée supporte seule tout le poids de la charpente de la porte, le poteau tourillon excepté. Elle résiste comme une pièce encastrée horizontalement à une extrémité, et chargée de poids répartis sur sa longueur.
On obtient plus de solidité en assemblant avec le poteau tourillon, de la manière qui vient d'être indiquée, nonseulement la traverse supérieure CF, mais encore la traverse inférieure BE, ou même toutes les autres traverses. Le poids de la charpente se répartit alors sur les diverses traverses ainsi assemblées.
55 9 . On obtient plus de solidité encore en assemblant les traverses, de manière que leur direction ne puisse varier au point d'assemblage , non-seulement avec le poteau tourillon BC , mais encore avec le poteau busqué EF.
560. D'après ce qui précède les traverses ou entretoises, sur la longueur desquelles une partie du poids de la char-
pente est distribuée , peuvent se trouver dans trois conditions différentes.
i° Si elles sont assemblées dans les deux poteaux de manière qu'elles puissent tourner librement sur Jeurs points d'assemblage, elles résistent comme des pièces supportées aux deux extrémités. On conclut du n° 90 que la plus grande compression ou extension des fibres, causée en un point quelconque par la flexion verticale , est
dx' ai '
p désignant le poids porté par l'unité de longueur , a Ja moitié de la longueur de la traverse, x la distance du point que Ton considère au milieu de cette longueur, e le moment de résistance à la flexion (la pièce étant supposée fléchir verticalement), v' la distance des fibres extrêmes comprimées ou étendues a l'axe d'équilibre tracé dans la section transversale.
56 1. 2° Si les traverses sont assemblées avec le poteau tourillon seulement , de manière quelles ne puissent tourner sur 1 e poi n t d'assem bl a gc, el 1 es r ésisten t comme des pièces encastrées horizontalement 5 une extrémité. On conclut du n° 89 que la plus grande compression des fibres est
dx* s \ 2 2 /
a désignant la longueur de la traverse, x la distance du point que l'on considère à l'extrémité encastrée.
562. 3° Si les traverses sont assemblées avec les deux poteaux, de manière que leurs directions ne puissent varier aux points d'assemblage, elles résistent comme des pièces encastrées horizontalement à une extrémité, et dont l'autre extrémité est assujettie à la condition que
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE* 37 1
la tangente de la courbe y demeure horizontale. L'état d'équilibre de ces pièces, en supposant la charge quelles supportent distribuée uniformément sur leur longueur, peut être déterminé de la manière suivante.
Nommant
p le poids constant dont chaque unité de longueur delà
pièce AM ( Fig. 1 27 ) est chargée ; x,jr les coordonnées horizontale et verticale Ap , pm
d'un point quelconque m de la courbe affectée par la
pièce ;
a,f l'abscisse AB et l'ordonnée MB du point extrême M ; e ayant la signification indiquée n° 80 ,
l'équation d'équilibre de la pièce AM sera
en désignant par A une quantité constante. On en déduit
dy fa}x ax* x*\
et en déterminant la constante A de manière que l'on
ait -r- ~° dans le point M où x ==a , ce qui donne dx
dx P \ 3 a ^ 6 ) '
(a>x* ax 3 , x*\ -6 6" +
L'abaissement du point extrême M est trois fois moindre qu'il ne serait si ce point était entièrement libre,
comme on Ta supposé n" 89. La plus grande compression des fibres est
a désigne la longueur de la traverse , et x la distance du point que Ton considère à l'extrémité encastrée.
Du cas où la charpente des portes est supportée par
une roulette.
563. Lorsque k charpente de la porte est supportée an moyen d'une roulette placée sous le poteau EF (Fig. 1 26), ou près de ce poteau , le cadre BCEF ne tend point à changer de forme. On peut supprimer le bracon BF et le tirant CE , et la solidité de la construction est suffisamment assurée si Ton attache par des Tiens les traverses aux deux poteaux.
564. Le poteau busqué EF étant ainsi soutenu , les traverses résistent en général aux poids dont elles sont chargées , d'une manière différente de celle qui a été indiquée dans les n os 56o et suivans.
i° Si les traverses sont assemblées dans les deux poteaux de manière à tourner librement sur leurs points d'assemblage, on pourra appliquer ici ce qui a été dit n° 56o.
565. 2 0 Si les traverses sont assemblées avec le poteau tourillon seulement , de manière qu'elles ne puissent tourner sur le point d'assemblage, elles résistent comme des pièces encastrées horizontalement à une extrémité et supportées à l'autre. L'état d'équilibre de ces pièces peut être déterminé comme il suit.
DE M MÉCANIQUE, I rt . PARTIE.
Nommant
p le poids constant dont chaque unité de longueur de
la pièce AM(Fig. 128) est chargée; x ,jr les coordonnées horizontale et verticale Ap , mp
d'un point quelconque m de la courbe affectée par la
pièce ;
a la longueur AM ;
n l'effort exercé par la pièce sur le point d'appui placé
à l'extrémité M ; e ayant la signification indiquée n° Ôo;
l'équation d'équilibre sera
d'où
dy / a*x ax* x? \ ( x'\
(a J x a ax 3 . x*\ / ax* x z \ — -— + tJ-"{—-t)
Déterminant le poids n par la condition que y = o quand x — a, il vient IIt=r/>a,et
(a'x*. 5a! 3 , x*\ —e — ïr+a y
La plus grande compression des fibres est
d*y S.p/a* 5 ax x*\
566. 3° Si les traverses sont également assemblées avec les deux poteaux, de manière qu'elles ne puissent tourner librement sur les points d'assemblage, elles résistent comme des pièces encastrées horizontalement aux deux
3^4 LEÇONS SUR LAPPLICATION
extrémités. Conservant les dénominations du numéro précédent , l'équation d'équilibre sera
À représentant une quantité constante. On en déduit
dv / a*x ax 2 x*\ / x'\
(a* x 2 ax 3 , x*\ / ax 2 x*\ . x* — +r 4 ;- n (— -6)+ a t :
et en déterminant les constantes II et A , de manière que Ton ait ^ = o et y = o au point extrême où x ;=: a , ce
qui donne n =— , À=£— ,
(a* x* ax* x*\
En faisant x = - , on a pour l'ordonnée du point mi-
lieu , ou la flèche de courbure , — En comparant ce
résultat à celui du n 9 90 , on voit que cette flèche est 5 fois moindre qu'elle ne serait si la pièce était simplement supportée aux deux extrémités. En le comparant à celui du n° , on voit que la flèche de courbure est la moitié de ce qu'elle serait si le poids pa , au lieu d'être uniformément réparti sur la longueur de la pièce, était suspendu au milieu .
La plus grande compression des fibres est
— ^'P ( ax :r»\ dx 2 7~ \ 12~ 2 2/
DE LA MÉCANIQUE, PARTIS. Z'jS
De faction de l'eau sur les traverses des portes d'écluse.
567. Lorsque la porte est fermée et supporte la pression de Veau, les poteaux AD, EF (Fig. 126) sont appuyés dans toute leur hauteur , et par conséquent ne sont point sollicités par cette pression , qui tend seulement à fléchir les traverses assemblées dans ces poteaux. Pour évaluer l'action à laquelle les traverses sont exposées , on doit distinguer le cas des portes simples et celui des portes busquées. Dans le premier cas , Faction de la pression de l'eau sur chaque traverse peut être assimilée à celle d'un poids uniformément réparti sur la longueur d une pièce horizontale supportée aux extrémités. On appréciera donc cette action par les n 0i 90 et 125. Dans le second cas, il s'établit dans le sens de la longueur des traverses une pression qui doit être prise en considération.
568. Nous supposerons ici que chaque traverse supporte la pression exercée par Veau sur l'espace compris entre les milieux des intervalles qui existent èntre celte traverse et les deux voisines; et que la même pièce supporte également l'effort exercé de la part d'une porte sur l'autre, en vertu de cette pression. Nommant p t l'effort résultant de lu pression de l'eau sur chaque unité de longueur de la traverse, 2a cette longueur MM' (Fig. 129), et <$» l'angle du buse CMM' , on aura p t ia pour l'effort exercé perpendiculairement sur MM', ctp,a pour les composantes de cet effort qui doivent être détruites aux extrémités M et M'. La pression que les deux traverses MM' exercent Tune contre l'autre en M' est donc une force parallèle à CM s dont la composante perpendieu-
ï) 1 et
laire à MM' est p a. Ainsi cette pression est > et
LEÇONS SUR LAPPLICATION
sa composante dirigée suivant MM' est . Il suit de
tang.7
là que la pièce MM' doit être regardée comme étant appuyée à ses extrémités , et supportant à la fois le poids zp t a distribué uniformément sur sa longueur, et la pression longitudinale .
0 tang ?
569. Chaque moitié de cette pièce se trouve donc dans le même état d équilibre qu'une pièce AM (Fig. i3o), encastrée horizontalement en A, chargée de poids distribués uniformément sur sa longueur, et sollicitée en M par une force vertical^ P agissant de bas en haut, et par la force horizontale Q. Désignant par
x 9 jr les coordonnées horizontale et verticale Ap, pm de la courbe AM ; a la distance AB;
f l'ordonnée BM du point extrême M; p t le poids porté par la pièce sur une unité de longueur;
s ayant la signification indiquée n° 80 ; l'équation d'équilibre sera
pu en remarquant que dans le cas dont il s agit P = /),a,
L'intégrale de cette équation est /-^ = A sin. y/3 ( * + B ) - - ^ ( a' - *• ) .
4 et B désignant deux constantes arbitraires. On doit au
point À avoir x = o, y~=^o , — = o ; et au point 13 , x =2 a y jr —f; ce qui donne les trois équations
o = A y/y cos. B y/ 5 1
o = Asin.(* + B) y/fi^L ;
d'où l'on déduit
cos.By/S.= o, sin.By/fi-=i, A =
cos. ay/fiet pour l'équation de la courbe ,
Q\ cos.' a y/ fi-
— cos. x y/ fi.
cas. a y/ 2-
dans laquelle on doit mettre pour Q sa valeur •
570. Les dimensions de la section transversale peuvent être réglées de manière à rendre la pièce capable de résister à l'action dont il s'agit, au moyen des considérations employées n* 387. La plus grande valeur de
— a lieu au point A, et est
tarre. 7
/ p a ▼ itang.f
cos
Par conséquent, en conservant les dénominations de ce numéro, si Ton ne voulait pas que la plus grande pres^ sion supportée par les fibres sur l'unité de surface surpassât R' , 011 poserait l'équation
IV pa rf. tanç. 9 1 1
K Ew. tan"? a J 4 /
D T I cos. a y
t . tang. y
De l'action simultanée du poids de la charpente et de Peau sur les traverses des portes décluse.
571. Le poids de la charpente fléchit la traverse verticalement, et 1 action de Veau la fléchit horizontalement. A raison de la petitesse des deux flexions, on peut regarder les allongemens et les contractions des fibres qu'elles produisent comme étant égaux à la somme de ceux qui seraient produits séparément par chacune des flexions. Les changemens de longueur des fibres dus à la flexion verticale dans les divers cas qui peuvent se présenter, ont été indiqués dans les n°* 56o et suivans. Ainsi pour connaître la valeur totale de la compression à laquelle les fibres sont exposées par Y effet des deux
flexions, on ajoutera Tune des valeurs de v'-jp données dans ces numéros à la valeur de Ja même quantité déduite de l'équation du n° 569. Les valeurs de la somme varieront dans les divers points de la pièce , et il sera nécessaire que la plus grande de ces valeurs ne dé-
passe point la fraction — , si Ion veut que le plus
grand effort exercé pour comprimer les fibres sur une unité de surface ne surpasse pas R'.
572. Par exemple, dans le cas des n°' 56o et 564 , qui est celui où les traverses sont sollicitées avec le plus de force, les plus grandes variations de longueur des fibres , dans le sens vertical et dans le sens horizontal , ont également lieu au milieu de la longueur de lu pièce. La section transversale de cette pièce étant sup-
DE LA MÉCANIQUE, l r \ PARTIE. 3^
posée rectangulaire, nommant b le côté horizontal et c le côté vertical , l'équation dont dépendront ces dimensions sera
R' 3 pe? p,a b tang. ? f i
E E&c 1 ^ £6c. taog. ? i a J /"
( V Ê & 3 c. tang. cp
573. Nommant / la distance CM ( Fig. 129), on a a= — - — , et l'équation précédente devient
2 COS. <f * A
E 4E£c\cos. a ? aEfcc.sin. y / J / / JLeJlL
( COS 'icos. E£ 3 csin.?
Zte$ portes courbes.
574. On donne souvent aux portes destinées à soutenir la pression de l'eau une courbure dans le sens horizontal. Cette courbure est assez faible pour que Ton puisse appliquer à la disposition de la charpente, en la considérant comme destinée à résister à Faction verticale de la pesanteur, tout ce qui a été dit dans les n ot 554 et su * m vans.
575. A l'égard de l'action de l'eau sur les traverses courbes, nous supposerons que la figure MEM' (Fig. i3i) de ces pièces est un arc de cercle. Nommant
p, la pression normale exercée par l'eau sur une unité
de longueur de la traverse ; / la distance CM ; a la moitié MD de la corde MM'; d la ilèche DE de la courbe; r le rayon cR* l'arc MEM'; ? Faillie du buse CMM' :
on a , d'après le n° 3o6 , pour la pression résultant de l'action de l'eau qui est exercée dans le sens de la longueur de la courbe p x r, ou
a> + d> p ' id '
Regardant cette courbe comme un arc appuyé à ses deux extrémités M, M' contre des points fixes , et remarquant que l'angle formé par la courbe en ces points avec MM' a
pour sinus J'^ di > et pour cosinus , on verra que
l'effort exercé par la courbe contre ces points fixes a pour composantes parallèle et perpendiculaire à MM'
a» — d* P.— et P a '
D'un autre côté, malgré leur courbure, les traverses des deux ventaux , conformément au n°568, exercent toujours Tune contre l'autre en M' une pression , produisant dans la direction MM' un effort .Parconséquent si Ton a la relation
taug. <p P \ id
d'où Ton déduit
i — cos. ? ci d=a— -, r==
sin. tf sin. ?
l'effort résultant de l'action de leau étant égal à celui qui résulte de l'appui que les deux ventaux se prêtent mutuellement, la traverse courbe ne tendra pas à fléchir, et sera simplement pressée dans le sens de sa longueur. Nous supposerons que la figure de la porte est déterminée conformément à cette condition. La courbe des deux ventaux est alors formée par un même arc passant par les trois
points M , M', M ; et la pression exercée dans le sens de la longueur de la courbe est ..
576. D'après cela , pour régler la force des traverses de manière à résister en même temps à l'action du poids de la charpente et à la pression de Veau, il faudra ajouter la plus grande compression causée par la flexion verticale (compression que Ton déduira de Tune des formules données n°* 56o et suivans) , à la quantité j£'? u ; et égaler R'
la somme à
577. Par exemple, dans le cas des n° l 56o et 564 , on aurait ici , au lieu de l'équation du n° 572 ,
bc 7 bc. sin. <?
