I.ISI ,9M 0,9T
Mit*
Demi-mUiiDa g" =
Les valeurs de ~ sont les mêmes dans les trois autres quarû de section pour les mêmes râleurs de -r- , — au signe prëc^
Or ce tableau montre que, pour chaque valeur de -r-i la plus grande valeur de \/g^ + g^» et par conséquent- de l'ensemble
C) yaj. A ta le
silu pnmn, IBU.irl.tl.
kik 8EGT. I. BÊSISTANGB DBS SOLIDES.
(Dn n* iftS),
7^ i^ + ^'^ ^^ ^^^ derniers termes sous le radical , se trouve
2tt d*àbûrd sur le côté b (Jusqti*à -^ = 0,7 inclusivement), et ensuite
sur la médiane parallèle à 6» où V^g'* + g"*» réduit k g', croît jusqu'au point d'intersection de cette médiane avec le côté e.
Un caleul du môme genre, que nous avons fait pour un prisme rectangle, aussi d'égale con texture, où Ton avait 6 = 2c, nous a donné la même loi , et l'analyse la démontre facilement pour un lyrisme dont la base a un de ses côtés très-grand par rapport k l'autre. Elle peut être étendue aux prismes rectangles dMnégàle contexture ou pour lesquels on n'a pas G' =G", T'o = T", , car les rapports mutuels des petits déplacements longinidinaux, et par conséquent des glissements, y sont les mômes () 39) que dans un rectangle d'égale contexture où le rapport des dimensions serait un peu différent.
Nous pouvons donc regarder» dans tout prisme rectangle, les
/G'k'X' /G"ff''\' points de maximum de ( tj?-) + l^^j t pour chaque valeur
d'une des detix coordonnées u, v, comme appartenant ou aux côtés ou à la médiane parallèles à cette coordonnée.
Or, sur chaque médiane, les formules générales ($ 35 ou $39) montrent que ce binôme se réduit à l'un des deux termes , et que lit plus grande valeur de ce terme répond aux intersections avec les
0|/ On
4eux autres côtés , c'est-à-dîre à-^ = ±l ou — = ±1, précisément là où la flexion produit les effets les plus grands selon qu'elle est parallèle aux côtés 6 ou aux côtés c.
Donc, dans la question qui nous occupe, où la flexion est supposée parallèle aux côtés 6, c'est, ou sur ces deux côtés, ou au milieu B
du côté c, pour lequel -^ = + 1, qu'on doit chercher le point dangereux si la force Q produit l'extension ou donne un terme positif comme tous les autres termes de l'équation.
Un raisonnement comme ceux des $$ 50 et 51 prouverait que si cette force Q est comprimante ou affectée du signe —, il y a lieu de le
(Dd h* 1 JM ).
chercher concurremment au milieu B' de Tautre côté c, pour lequel 2u
Si ce point inconnu se trouve ainsi en B ou B', Téquation propre à donner les dimensions est , vu qu'alors u = o,m = ±s»^ = ®> c*
en ayant égard à la valeur g"» du maximum de g'^ donnée S AO p. 361:
2R, \""6c 6«c /■*■ V V 2Ro / K'^bc b^c J "^ \2^ c«G' ' 6«cr'J '
où le double signe du terme en M'' n'est pas toujours corrélatif à celui de 0» car il tient à l'ignorance où Ton est provisoirement de la situation en B ou B' du point dangereux par torsion, flexion et compression simultanée quand la force Q est comprimante.
Si ce point , non encore connu , doit se trouver sur les côtés 6, réquation , vu qu'on a alors
g"=0. et(p.361,863)g'=2:g'«=tXJ^„
est
i-max.-^^|^± - + -—-J +
V V^ 2Ro M"" ^ *'^ 6 y "^ Vr * 2{x bc^'J •
La iremière de ces deux équations i = .... fournit immédiatement la valeur de 6*c si Q = 0 et si Ton se donne le rapport ~.
La seconde ne le donnera qu'en essayant diverses valeurs de Tab-
scisse u ou de son rapport -^ à GA=: ^ , puis en mettant les valeurs
y' correspondantes de - d'après la petite table de la page 36o ou la
formule empirique
/|36 SECT. I. RÉSISTANCE DKS SOUDES.
(DU n* 140).
et en s'arrêtant à la valeur de ^ qui donnera pour 6'c le nombre
le plus grand. Kt , lorsque 0 n'est pas nul , toutes deux , ou les autres équations plus simples qu'on obtient en faisant disparaître le radical, fourniront 6*c par tâtonnement numérique, si Ton se
donne ou b ou c, ou leur rapport -, ou une autre relation entre
ces deux dimensions que - = constante.
Selon que 6*c, tiré de la première équation, aura une valeur plus grande ou plus petite que 6*c tiré de la seconde, le point dangereux sera unique et placé en B ou B' au milieu d'un côté c, ou double et placé symétriquement sur les deux côtés 6, où il peut se trouver partout excepté aux angles, à moins que la torsion ne soit nulle.
Nous avons fait ce calcul pour quelques cas (voy . $$ suivants) , et nous avons reconnu que lorsque
r/=sG^ r,=r^, 0 = 0,-= delà 2, ^^ n'excédant pas 2
(6", c", 6', & étant comme ci-dessus les dimensions qu'on donnerait
s'il n'y avait que torsion ou que flexion), le point dangereux du
prisme rectangle ainsi sollicité & fléchir de champ en même temps
qu'à tordre , reste au milieu B d'un des petits côtés. C'est pour des
b 6V* rapports - et -^^ excédant 2 qu'il passe sur les grands côtés entre
A et G, A' et C^ où il peut occuper toutes les positions, mais sans atteindre jamais G, C, à moins que le prisme ne se réduis» à une lame infiniment mince, ou bien que 6V ne soit infini devant 6V, c'est-à-dire qu'il n'y ait que torsion sans flexion.
S où. Même prisme rectangle à la fois fléchi et tordu quand le plan de sollicitation à fléchir est oblique par rapport aux côtés de la 6a^e.— Soit, comme aux notes des n*' 83, 117, 120 :
f l'angle aigu que le plan du moment ou du couple M sollicitant à fléchir fait avec les côtés c du rectangle ;
ou soient M' =; M cos 9 , M'' ^ M sin 9. L'équation propre à donner les dimensions b, c est
ART. V. TORSION AT£C FLEXION. kH
(Du D« IMI).
l = max. de-s^(±~-4- 6M-r-r — 4-6M -Tr^-r-l + 2R' V 6c bc^ c b*c b J
N/INb?)"-— e)'.(^)Vm'.
le maximum étant pris par rapport aux deux variables -^, -^,
Si Q est affecté du signe +» le trinôme entre parenthèses est le plus grand pour chaque valeur d*une de ces deux variables lorsque Tautre a sa plus grande valeur = 1, c'est-à-dire aux points d'un des côtés du contour rectangulaire. L'ensemble des autres, c'est-à-
dire ( ~ j 4- [ -7=^ \ , est aussi , comme on a vu § précédent, le plus grand possible pour chaque valeur d'une de ces mômes variables -j- ,
— , aux points des côtés ou de la médiane parallèle à sa direction;
et, sur cette médiane , les deux points où il a sa plus grande valeur sont les intersections avec les deux autres côtés. Et comme
/G'flr'X* /G'V'N* cette valeur de I •=;r* ) + [-^ ) ®st la même à toutes deux, on
doit prendre celle des intersections pourlaquelle la variable est + i
et non — i , vu qu'elle est celle pour laquelle les trinômes entre
parenthèses sont aussi les plus grands.
C'est donc sur deux côtés du contour du rectangle, savoir celui
pour lequel -^ = 4- i » et celui pour lequel — = + i , qu'il faut
chercher le point dangereux ou de maximum du second membi-e de l'équation quand la force Q est affectée du signe +.
Donc, en étendant la conclusion comme au $ précédent, au moyen d'une discussion analogue & celle des $$ 50 et 51, au cas où Q est affecté du signe — , moyennant qu'où cherche aussi le point dau« gereux sur les deux autres côtés du contour, l'équation propre à donner les dimensions 6, c, est, suivant lasituatton encore inconnue
de ce point :
2o Sur les côtés 6, pour lesquels ~ =. ± 1,
2m ou Sur les côtés c, pour lesquels -y- = zh l, respectivement :
(DU n* tftH).
6Mc08f GMsinf
A siny 2m\ 6«c T/
2Ro \ 6c 6c* c b*c J
6 Y Y bHr*
Si Ton se donne le rapport -, d'où les rapports W- ©t jp -ytt, (p« 362) y et si Ton essaye successivement les valeurs
0, ±0,1, ±0,2,. ... ±0,9, :i=i pour
-- - dans la 1" équation ,
— dan» la 2* équation «
y' (en effaçant max. )\ avec les valeurs correspondantes de — et
de -^ (p. 363), Chacune de ces deux équations, ou bien chacune
Ti
de celles d'une forme plus simple qu'on aura en chassant le radical comme aux $$ précédents, donnera un maximum pour 6c'. On prendra le plus grand des deux pour solution de la question. Nous avons fait ce calcul dans le cas
^ = 2,0 = 0, T3i=l/û, G'=G", ro = r'o,
pour les cinq directions oPj, oP,, oP», 0P4, oPj du plan du moment M sollicitant à flé- ^$ chir,etrépondantà
tang<p = 0,
dont la première donne la sollicitation à plat, et la cinquième la sollicitation de champ.
(Du n» tftH).
Sur chaque ligure partielle ci-contre, la ligne droite ponctuée, passant par le centre du rectangle, est la ligne des fibres de longueur invariable , qui est oblique au plan de sollicitation excepté pour les deux situations extrêmes, en sorte que le plan dejlexion effective , perpendiculaire à cette ligne, fait avec le plan de sollicitation un angle ^ déterminé (§ 2 de la note du n" 83, p. 5i] par
tang^» == p tang9 = ^ tang? = r tang 9.-
Le minimum de 6c' a été déterminé , pour les quatre premières situations, par la première des deux équations cl dessus, en donnant successivement à -r- , comme nous venons de dire, les valeurs
0, 0,1, 0,2 , 0,9 et I,
et en faisant usage ensuite de la méthode d'approximation ou d'interpolation parabolique du $ 34. Pour ces quatre situations pPj, oP,9 oP,, 0P4, on peut se dispenser de calculer comparativement bc* par la deuxième équation ; car les lignes ponctuées mpntrent que les dilatations longitudinales des fibres, dues à la flexion, sont plus fortes ou où moins aussi fortes aux divers points du demi-côté
GA = ~ qu'aux points situés de la même manière sur le demi-côté
BA = A » ®i^ wyt\/^ que comme les glissements sont plus considéra-
blés sur celui-là , le point dangereux doit s y trouver et non sur celui-ci.
Il en est autrement pour la cinquième figure « où le prisme 08t sollicité de champ. Le calcul par la deuxième équation donne des valeurs de 6c* supérieures & celles que donne le calcul par la première, en aorte que le point dangereux est (J précédent) au milieu B di| petit côté c du haut de la figure.
En conséquence, et en appelant , comme aux $$ précédents,
6', c\ et 6", &',
les dimensions que Ton donnerait respectivement si le prisme n'était que fléchi , et s'il n'était que tordu , ou en faisant
uo
SEGT. 1« BÊSlftTANGE DES SOUDES.
(Dtt n« tJM).
6'c'* := -g- (C0S9 + 5 '^û'P ) = "r- \^<^? + 2 «û9J , b^&^- J^^^ pour les 4 premières flgmes; ftV» = ^^igr^^ I»« »» »%
on trouve, pour diverses valeurs de -n^ ou de pr^rj» ^^ valeurs
maxima ci-après de gn?5 et ^^ , et les valeurs correspondantes de
^ . -^ qui donnent les situations des points dangereux sur CA, BA : 6 c
On a :
0,707 On a:
Si 9 =0. Prisme à plat, on plan de soUieitation à la flexion parallèle aox petiu côtés.
Si tang^ == \, Plan de sollicitation perpendieolaire i nne des deox diagonales.
Si tang f = 1 . Plan de aoUicitation également incliné (on à 45") snr les X c6tés de U base.
tftft —
Ssf , lu
Si tang 9= X. Plan de soUieitation parallèle à Tune des diagonales, on fiexiM êutow ie Fituire
ht»
ytfi —
SI tang 9=0». Prisme sollicité ie eksmp , ou paraUèlement anz grands cétés.
l.lio] i,2l2| 1,386| J^ =1 1,386| 1,175| 1.042|
et -=0.
ART. y. TORSION AVEC FLEXION. kUi
(Du n* IMI).
La moitié de g^auche de ce tableau est relative aux cas où la
flexion domine, et la moitié de droite, aux cas où c'est la torsion;
bc* 6c* jet tout ce dont les diverses valeurs de y^ et ^ttj excèdent Tunité
représente Tinfluence de la simultanéité de la flexion et de la torsion, ou la proportion dont 6c' doit excéder la plus grande des deux valeurs qu'on lui donnerait si le prisme était seulement fléchi ou seulement tordu.
S 55. Cas particulier du prisme à base carrée Jléchi et tordu. Quelle est la situation du plan dejlexion qui exige le plus fort équarrissageî^ Le cas du prisme à base carrée a une importance particulière , parce que les arbres des machines ($ 1x2) ont souvent cette forme lorsqu'on les fait en bois. Gomme le plan de flexion (qui, pour une pareille base, coïncide toujours avec le plan de sollicitation à fléchir) occupe successivement toutes les positions pendant que ces arbres tournent , il convient de connaître la position pour laquelle il y a le plus de danger de rupture, afin de calculer pour cette position-là réquarrlssage à leur donner.
On a pour ce cas
6 = e,Ti = T,T'' = T',^ = 0,208/17;
et nous supposons G' = G'', r, =^V\ = To.
On peut en conséquence se contenter de la première des deux équations du $ précédent, en convenant de prendre Taxe des v parallèle à celui des deux côtés de la base qui fait le plus petit angle avec le plan de sollicitation ou de flexion, en sorte que 9 ne dépasse pas hb degrés ou que tang 9 ne varie que de 0 à 1. On a ainsi , en supposant en outre Q = 0 ou en négligeant ses effets comme ceux de cisaillement, ce qui permet de se borner au signe supérieur de — jr^ ou à la considération du côté pour lequel i? = + â '
SECT. I. |IÊ61$TANCS PB8 SOtIDBS.
(Dun« tfte).
On pourrait en faisant, conformément à expression Tempirique du S 40 (p. 860 et 363 ) , ï = /^l— ^\ /», cherciier analytique-
ment le maximum de 6' par rapport à la variable -j-. Mais il nous
a paru plus simple d^opérer numériquement . Nous avons donc fait successivement
dans cette équation qui , avec
»3i = 1/4 , — = 0,20817 (TiOeur pour 6 = C, G' ;= G") ,
peut être écrite
Ro6» 9 A . 2m^ .
-jjp = max. j cos 9 ( 1 + y tang? j +
et où nous avons donné au rapport =r ^- une suite de valeurs
croissantes de 0 à 4 , en considérapt Tune ^rès l'aiitre cinq pool* tiens OPi, OP,, OP3, OP4, OP, du plan de flexion, ou cinq valeurs de son inclinaison tang 9 sur la médiane parallèle h v* savoir :
UDgf=0 UDg7 = - ung9=- UDg9 = 2 Ungf=4.
bu k
6ih>
t» b/.iÀ u
ART. y. TOBSION AVEC FLEXION. &&S
(Du n* tJM).
Ensuite , pour chaque valeur de tang 9 et de =r r^ , nous avons interpolé paraboliquement entre les trois plus grandes des valeurs de —r- répondant aux onze valeurs 0, 0,1 , 0,2 , * ^® "T ^^^
d'obtenir, par les formules du S 3/i (') , le maximum de -xj- et la
valeur intermédiaire de -j~ donnant la situation du point du demicôté ^ où ce maximum a lieu , lorsque le calcul ne montre pas
évidemment que ce point répond à -r- = 1, ou qu'il se trouve à l'angle A (cas où le maximum absolu tomberait hors de la section). Nous avons eu ainsi la table suivante :
(•) On n'a pas besoin de faire observer que ces formules (p. 320), or,,, — «1=:
h y» """ Vo *m — *i
- , Vn— Vi = — 7T-~ (yt— y») OÙ l'on a A=0,4 el où les jr, y sont
3 zyi — Vo — y* ♦'*
Su Ro&> lei les valeurs de -— , , s'appliquent très-bicu lors même que Vordonnée irt"
termédittire yj n^ett ptu la plus grande des troia^ ce qui arrive souvenl quand a;,
est la valeur zéro de ---.
hkU
( Du 0* tftH).
lU^
Pkisme a base carrée. Table de ,, M M
on des nooihres par lesquels il fkvt mnltipUer le rapport ~ dn moment de fleiion M an coefficient de cohésion permanente d'extension B« ponr
Ho
avoir le cube b* dn c6té à donner an prisme en même temps soumis à un moment de torsion
Ml et dont la matière a une cohésion de glissement T» ; pour cîna positions dn plan de fluion.
Et râleurs de 2M/d donnant les situations correspondantes dn point aangerenx snr on demi<^ô(é b/t.
N.B On a supposé 1)1=1/^ ou la résistance permanente des fibres 4 fois pins grande à la
rupture par compression qu'à la rupture par extension.
tang 9 := 0
(iMlnaMiaM)'
UBg©=:i
Ung 7 = i
UDg 7 = 1
UDg9 = 1
(In. iiiiMili)
el -:-•=
2ll b
Suite.
tang 7 = 0
Ung7 = l
uog f = i
Uog7=}
lang7=3'4
M|Ro
2ii
Infini,
(ou M=0)
Ml
ART. V. TOBSION AVEC FLEXION. kk5
(Du n* 166 ).
Au moyen de cette table, en interpolant au besoin entre les chiffres d'une même lig^ne ou d'une même colonne, on pourra résoudre tous les problèmes de flexion et torsion d'un prisme carré placé d'une manière fixe et sollicité à fléchir sous une inclinaison quelconque.
Mais, en outre, on en tire une conséquence importante relative aux cas bien plus f^quents où le prisme est une pièce tournante sollicitée successivement sous toutes les inclinaisons.
Elle montre, en effet, i** que pour les petites valeurs de =^ r^
Xo M.
OU lorsque la torsion est faible relativement à la flexion , c'est la cinquième position, tangf = 1, ou la position diagonale du plan de flexion qui exige les plus grandes valeurs de 6* ou les plus forts équarrissages. Alors on a simplement
comme si la torsion n'existait pas ; ce qui vient de ce que le point
2t£ dangereux répond à -^ =: 1 ou est à un angle du carré , et qu'aux
angles des sections les glissements sont nuls ($$ A, 14, 23).
2* Que c'est au contraire la première position ou Inpositùmmé^ diane tang f = 0 qui exige les plus forts équarrissages lorsque
-;^ ->^ est grand ou que la torsion domine; et, alors, comme le point To M
2u dangereux est au milieu d'un des côtés, ce qui donne -r- = 0 ,
^ = 1, on a simplement
3* Que le passage de Tune de ces positions & l'autre a lieu pour
wr TT entre i et 1,2 , ou , exactement , égal à ce qu'on tire
la M
de ces expressions de r~ 6* égalées ensemble , c'est-à-dire pour
Ml ^ = e^S^v'a-iii-d-Vv'â, ou = i,08702 si », = 1/4.
kM SEGT. I. BÉSiSXANGB DES SOLIDES.
( DU n« IMI).
D'où il résulte que pour calculer Féquarrissage b des arbres carrés tournants, selon qu'on aura
^ < ou > 1.03702 ^,
OU selon que le quotient du moment des forces qui font tordre par
le coefficient de cohésion tangentielle permanente sera plus petit
ou plus grand que l'<>'",03702 = -- le quotient du moment des
forces fléchissantes par le coefficient de cohésion normale longitudinale , il faudra prendre
S 56. Pièces d'égale résistance, — Le moment de torsion est le même d'un bout à l'autre d'une pièce on portion de pièce droite qui n'est sollicitée qu'à ses extrémités, mais le moment de flexion varie. C'est pour la section transversale où il est le plus grand, et qui est une des deux sections extrêmes , qu'il faut calculer les dimensions de la pièce, si elle doit être prismatique ou cylindrique.
Mais si , pour épargner la matière , on fait varier les dimensions des sections , de manière qu'il n'y ait pas plus de danger de rupture à l'une qu'à l'autre, on a une pièce d'égale résistance^ comme on a déjà dit au S 6 de la note du n** 113.
Bien que les formules données, soit pour la flexion , soit pour la torsion , ne soient exactes que pour les prismes ou cylindres , on peut en étendre approximativement l'usage aux pièces dont la section varie peu rapidement ; l'erreur qui en résulte est du même ordre de grandeur que celle que l'on commet toutes les fois qu'on employé ces mêmes formules pour d'autres modes d'application et de distribution des forces, vers les extrémités, que ceux qui ont été indiqués ci-dessus {%$ 6 des notes des n°' 2.1 et 80, et 9 de celle du n° 156) , comme condition de leur parfaite rigueur, et qui ne se réalise jamais, ce qui n'empêche pas l'expérience de donner des résultats extrêmement approchés de ce que les formules lùdlquent.
Les équations de cohésion des $$ précédents, de la forme
AIT. T. TORSION AYBC FUUON.
(Da n*
.=™.!=î., ,+\/-(î±iy,
)' 4- ( )*, en y mettant
pour le moment de flexion M ou pour ses composants M', M'' leurs expressions générales et variables applicables à toutes les sections, et non pas leurs valeurs relatives à celle pour laquelle ils sont les plus grands , et en effaçant par conséquent le mot maximum en tant qu'il s'appliquerait aux sections diverses, fournira les dimensions variables à leur donner.
Par exemple 4 si Ton veut déterminer les rayons à attribuer aux
diverses sections supposées circulaires de la pièce horizontale dont il a été question au S /i2, et qui, encastrée à une extrémité A, est sollicitée, à l'autre, par un poids P agissant au bout d'un levier horizontal et perpendiculaire BG, on aura, en appelant :
X le bras de levier longitudinal ou la distance (oB entre l'extrémité B et une section quelconque u ; k le bras de levier transversal Bc;
on aura, dis-Je, M=:Pa;, Mi = PAr, qui, substitués dans Téquation de cohésion du S Uk où nous ferons Q = 0 et par conséquent V = r, donne
R.^=i:p.àx-Hy(^3^)^(^..*)^
ou, si Ton fait m
2îîB a 3 , y t ■ I.».
ce qui permettrait d'obtenir, par une construction facile, la suite des grandeurs du rayon r.
S 57. Arbre de transmission de mouvement de rotation^ sollicité àfiéchAr et à tordre jiar deux engrenages ou deux courroies. Arkre rond^ Arbre carré, — Pour appliquer à la recherche des dimensions
(Du no 140).
transversales de cet arbre ($ 42) les formules précédentes, il faut d'abord exprimer ses moments de flexion et de torsion M et M|. Soient pour cela :
a sa longueur entre ses tourillons , c'est-à-dire entre les centre5( de contact avec les coussinets qui les portent ;
P une force qui agit à la circonférence d'une poulie montée sur cet arbre et dans un plan perpendiculaire pour le faire tourner;
9' une résistance appliquée de môme à une seconde roue (et dont l'intensité se déduira de P, ou réciproquement , par le rapport de leurs rayons et par le calcul connu des frottements);
a, a les angles que font , en sens
contraire, avec la verticale les directions de ces deux "" Il \l^ forces:
n le poids de l'arbre; tr et o' ceux de la première et de la seconde roue ; a' la distance du premier tourillon à la roue où agit P; a" celle de la roue où agit F au deuxième tourillon ; X la distance du premier tourillon à une section quelconque cd de la partie a -a''^ a" de l'arbre comprise entre les deux roues (la seule partie qui soit tordue d*une manière notable, car celles qui sont entre chaque roue et l'extrémité la plus proche ne le sont qu'en vertu du frottement des tourillons).
Les forces qui tendent à faire fléchir Tarbre & l'endroit où se trouve CD sont celles qui agissent d'un même côté par rapport à cette section , c'est-à-dire
!• La force P';
i2° Le poids Ts de sa roue;
d*" Le poids de la partie de l'arbre entre «o et le deuxième tou^
rillon ; comme sa longueur esta— x, son poids est n— ^^ , puisque il
est le poids de l'arbre de longueur a.
Enfin , la réaction du coussinet où ce tourillon s'appuie ; et cette réaction s'obtient d*une manière simple en décomposant P, F, o,
ART. V. TORSION AVEC rLbXlON. hU9
(Du n** mMI].
p', n en deux autres qui leur soient parallèles et qui passent par les deux coussinets.
Ce qui donne Jt£r le second coussinet^ dont nous nous occupons:
te Une force parallèle et opposée à P, et dont Tintensité est P -;
puisque les composantes de P sont en raison inverse de ses distances aux deux coussinets, distances dont a est la somme ;
5* Une force parallèle et opposée à F» et dont Tintensité est, de
même • P ;
6* Une force verticale de bas en haut, somme des composantes des poids cr , tr' et n , et dont Tintensité est en conséquence a' . ,a — a!' . n a a 2
Ces diverses forces produisent, autour de droites perpendiculaires à leurs directions et à l'axe de Tarbre , menées par le centre de la section o», des moments dont les bras de levier sont a — x pour les réactions (4% 6% 6*); a^-a'^-^x pour les forces (1% 2*)P', a';
enfin °T"^ pour le poids (3') n ^*" de la partie de Tarbre au delà
de ci>, et que Ton peut regarder comme concentrée en son centre de gravité ou à son milieu.
En appelant donc
m, m', mf' les moments des forces parallèles respectivement à P, à F et à la verticale,
on aura
m'==- P^Ca-a'^-xj^- P'^^— ^(a—a) = P' -x,
Ci C*
a — xa — X ,. „ V / œ' . ,a — o" . n\. .
,a — X . , ,,x Dxa— X
ftSO SECT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.
( Du n* IMI).
Pour réduire en un seul ces trois moments tendant à la fleilon,
rappelons-nous le théorème de géométrie élémen* taire relatif au carré du côté MG opposé à Tangle obtus A d*un triangle obliquangle MAC; ou bien remarquons, simplement, que si son côté AG se projette en AD sur le prolongement du troisième côté MA f on obtient
MC' = (MA -h AD)»+ GD'= MA*+ 2MAXAD + AC';
égalité qui, appliquée à un deuidème triangle ABC, dont AG serait à son tour le grand côté , les deux autres pourant ^tre situés dans un plan quelconque, donne de même , BF étant la projection du côté BG sur le prolongement de Fautre AB :
ÂC' = ÂB* + BG* + 2AB X BP.
Substituant et remarquant, i« que AD, projection de AG, est égal à la somme AE -f ED des projections de AB, BG sur le prolongement de MA; 2* que chacune des projections BF, AE» ED est égale au côté projeté multiplié par le cosinus de son angle avec le côté dans la direction duquel la projection se fait; Z"" que MG représente en grandeur et en direction la résultante de trois forces représentées par MA, AB, BG, les sens d'action étant ceux quMndiquent les flèches, on a ce théorème, d'ailleurs connu :
Que la résultante de trois forces est égale à la racine carrée de la somme de leurs trois carrés et des trois doubles produits de ces mêmes forces par les cosinus des angles qu'elles font respectivement entre elles*
Ge théorème sur les forces aura également lieu pour nos trois moments m, m\ m'\ car on peut les réduire, sans en changer la valeur ni Teffet , à avoir le même bras de levier égal à 1 par exemple, comme s'ils étaient dus à trois forces appliquées sur Taxe à Tbnité de distance de w ; ces forces, toutes perpendiculaires à Tarbre, auraient une résultante dont Tintenslté , mesurant celle du moment résultant , serait donnée par ce même théorème. On a donc^ comme a et a' sont les angles que font respectivement , avec les compo-
ABT. T. TOBUOII ATBG rLEXION. 451
(Da n« IftS).
santés des poids n , er, a', les composantes des forces P et celles, des forces P', Texpression suivante du moment de flexion :
M = ^m" 4- wi" + w"" -f 2m'm"cosa' + Sm'^mcosa + 2mm'cos(a-f a').
Quant au moment des forces qui tendent à tordre , autour de Taxe de Tarbre , il n^est autre chose que celui de li résistance P', plus celui du frottement du deuxième tourillon.
En appelant donc
r' le rayon de la deuxième roue;
w^ celui du tourillon de droite on du côté de cette roue ;
M laréaotion de son coussinet;
/ le coelfieient*du fh)ttement ou le rapport de la composante tangentielle à la composante normale de cette réaction ; en S(»t6 qne, N étant cette deuxième composante, on a
m = ^N* -h/« N«, N= ^^ , d'Où -^ pour la
première ou le frottement , on aura
expression dans laquelle il faudra mettre , pour R , la résultante
des trois forces (A% 5% 6*) P -, F ÎLzf!^ « E! + ^^n^ ^ 5
agissant sur le coussinet , c'est-à-dire d'après le théorème rappelé
+ .p2.V«^co-(,+.o+,(«£: + ^£=2! +5) (pj'eos.+P' -=2:003.')
Les deux moments de flexion et de torsion M et M^, dans le calcul desquels on peut , pour première approximation , négliger ou fixer arbitrairement le poids encore Inconnu n de Tarbre , étant une fois obtenus par ces expressions , l'équation générale de cohésion du S UU avec Q = D« et où l'on pourra ordinairement négliger g'j ,
k52 SfiCT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
(Du n« IMI).
g^\ qui viennent du cisaillement, fournira les dimensions transversales à donner à Tarbre.
Si y par exemple , la forme des sections doit être circulaire, et si Tj, = 1/4, l'équation, pour déterminer leur rayon r, sera (S 48)
I oùronap'. = ^.r".= ?^,
en sorte que comme le moment de flexion M, fonction des moments m, m', m'% est variable avec x, ou avec la situation de la section w, on pourra faire varier aussi le rayon r et donner à Tarbre. s*U est en métal , la forme d'égale résistance ($ précédent). L'économie de matière sera surtout notable si Tangle a -f a' est de deux angles droits ou si les forces P, P' sont parallèles et opposées ; car il y aura même un endroit où Tarbre n'éprouvera de flexion qu'en vertu de son poids et de celui des deux roues.
Si Ton veut que Tarbre soit cylindrique ou que r soit constant, il faudra , pour M , prendre la plus grande valeur du moment de flexion. Son expression n'a, entre les deux roues, qu'un minimum , et sa plus grande valeur a lieu contre Vune au Poutre de ces roues. On le calculera donc pour x = a' et pour x=a — af\ et Ton mettra à la place de M le plus fort des deux résultats.
Si l'arbre tournant doit être en bois , il conviendra le plus souvent de le faire carré, sauf un abatage de ses angles en chanfrein, assez léger pour ne pas diminuer la résistance (S 8 de la note du n" 113).
Alors les forces , en même temps qu'elles le tordent, tendent à fléchir son axe tantôt dans un plan passant par une médiane, tantôt dans un plan passant par une diagonale des sections , tantôt dans un plan intermédiaire. On a vu à la fin du $ 55 que les plans intermédiaires n'étaient pas à considérer, et qu'il fallait calculer l'équarrissage.
Pour la flexion diagonale si f-* < ^ ^ .
Pour la flexion médiane si ^ > ~ ^ ,
( Du o» tftS).
la fraction ^= = 1,03702 devant être remplacée par
