v^2— T)j— (1— Tii
si Ton attribue une autre valeur que ilh au rapport r^^ des limites B. , R'^o des tractions et des pressions longitudinales permanentes non dangereuses (Voy. des Applications numériques au % 65).
S 58. Récapitulation des formules propres à foire connaître les dimensions transversales à donner à une pièce droite soumise à une torsion et à une flexion simultanée , avec ou sans extension ou compression longitudinale de Vaxe,
N. B. Ces formules étant déduites comme cas particuliers de Téquatiou générale de cohésion permanente ou de stabilité de la contexture du $ 44 (p. 384], on y recourra dans les autres cas, notamment lorsque les effets de cisaillement on lea glissements g'^ g"| étrangers i la torsion ne seront pas négligeables comme noua le supposons ici (Voy. aussi §$ 45, 46 et note du n* 454 , et aussi lorsqu'on aura Re > R'o donnant y)i > 4 ; et encore lorsqu'une section dont on veut avoir les dimensions sera dans une des situations exceplionnelles qui l'empécibent de t'inOécbir (p. 385).
Soient
r le rayon de la section si elle est circulaire, 6 et c ses dimensions transversales principales si elle est elliptique ou rectangulaire ;
M le moment qui fléchit la pièce et qui est décomposable en M' et M" parallèles à c et à 6 respectivement;
M| le moment qui la tord;
Q la force longitudinale qui étend ou comprime Taxe ;
r', 6', & ; r", ft" c"; f*, b'% cT les valeurs à attribuer à r, 6, c si la pièce était seulement fléchie par M, seulement tordue par Mj, seulement étendue ou comprimée par Q longitudinalemeut ;
R„ , R', = ?}jR« les limites à imposer aux tractions et aux pressions longitudinales par unité détection ;
T*», T'', les limites à Imposer de même aux actions tangentielles transversales sur les sections parallèlement à 6 , c , et aussi (S U6) aux actions tangentielles longitudinales sur des plans perpendiculaires à 6, c;
i5& SEGT. I. BÊSISTAHCB DBS SOUDES.
(Dan* i5«).
11 faut prendre les valeors de r, 6, c données par les formules suivantes où t]^ est supposé < i et peut-être pris ordinairement = l//i sans qu'il en résulte d'erreur bien sensible si la valeur réelle
de T)j = -f- est différente.
Mo
Ptèee h mettiQn elrenlatre fléchie et tordue.
(On suppose T, = T"» = T.).
ou bien r» =^^' r^ + \/^t±2ir'»y+ (r"»)'
OU encore
ou (r» — r-») (r» + ri,r^) = r"« .
MAnie i^lèee, «n mtma tempt iteodoe.
(R.jcr» - Or - 4M) (R<,5cr« + i,Or + 4ii,M) = U. ^'Y ou (i*— r"*p-r^)(r»+ii,r»r+ii,r'^ = r"«, où !**=-%.
Même plèee , comprimée en même temps qae tordue et fléchie.
(ft.7ur« + Qr - m) (Ro«r« - ij^Qr + ût,,M) = ^R. ^^
ou, ce qui revient au même :
(r»+r"'«r-r'')(r'-.l,r"'«rfn,r'>) = r"M -„x ^ Q^ 0 et (r'+r'^'^r+r'^Kr'— lî/'^r— 7iir'3) == r''« j "" '^ ~ ^^ tzK "~ îcR'/
On prendra la plus grande des deux valeurs de r fournies , Tune
(Du D» tftS).
par la première , Tautre par la seconde des deux équations de Tiui ou de Tautre groupe.
On peut se borner à résoudre la première Gu, la seconde, selon qu'on a
ou> 9(l+,,)«^''»'^ +iir-;.
revenant à ^^^ < ^^,^^[m^ + ^(r. ^J*}
Ptèee * fleettom elllpttiiBc «éehte « »lal
(5 T • \ ou parallèleflMDl au dlanièire c tel que « > * ] et en néma lempa tordiM.
ou 6c» =^-^ 6'c'» + \/(i-±-2i. b&*y + (6"c"»)»,
foùl'ona 6'c"-.M, 6V'« = ^\
Bldnae pièe« elllpalqa« » en mèaie ienips èiaiidiie.
équatio . à résoudre numériquement en se donnant ou 6, ou c ,
ou - ou une autre fonction de ces deux dimensions inconnues,
pow faire cesser Tindétermination.
Bléfliie ylèee eoBiprlBié^ en même tempi que fléchie i plat et tordue.
en prenant les plus fortes des valeurs de 6, c fournies, les unes par la première, les autres par la seconde de ces deux équations. On
456 SEGT. L RÉSISTANCE DBS SOLIDES.
(Du H* IftS).
peut se borner à résoudre la première ou la seconde , selon que
Bldne f lè«e elllpil««e fléchie de champ ($ 5S ] ou parallèlement au diamètre b, en même temps que tordoe,
doit i ^ > y ^ - 1 s'il y a isotrople ou r.=r'., B, =T.(1 +7i,)l,
le point dangereux est à une extrémité du diamètre principal 6, et il faut prendre
ou bien 6»c =~^ b'*c'+y (i±2l6'»c'y+ (y'c"«p.y
Ménae plè«e étendue en même tempi que fléchie de champ et tordue.
On a I sous la même condition ( )* ( ) < ( "t ^M 1, Féquation suivante pour déterminer 6, c»
I* fléchie et tordue, avec ou sans extension, quand
3* fléchie, tordue et comprimée.
Alors il faut (S 52 ) résoudre concurremment les trois équations suivantes en 6, c, dont les deux premières sont relatives aux limites
V = ^ et — ^ des valeurs de v, et» la troisième, à un maximum
absolu, sMl y en a une entre ces limites :
Idme pièce clllp- ) , /MiR<
< on n'a pas ' *-^ ilqne.
AKT. Y. TORSION AVEC PUXION. 657
(Du n' IMI).
(r.Î^:pQ6-8M")(b.DZ..Q6+8,.M") = (b.^)'.
(--t) (--f ) (sy (?-s)-(^-) =
/i6MA«r/R,MAY6* r/\ 1
et adopter la plus forte de ces trois solutions, mais en excluant celle qui est fournie par la troisième équation , si , en substituant dans
V2T'.M'7 \c" T"oV "^^
2i/ il en résulte -r- > i ou < — i, car ce sera une preuve que le maximum absolu répond hors de la section , et il faudra prendre alors la plus forte des deux autres solutions.
Méaie plè«e elliptique fléelile otolIqneMieiii.
Particulariser alors Téquation générale (S /i&) et trouver par tâtonnement les solutions donnant le maximum voulu.
Plè«e recteBsvlalre tordue et eo même temps fléchie à pUU
(c'est-à-dire perpendiculairement à celui des deux côtés qui , si on rappelle 6, et l'autrec, remplit la condition «;r > l — -^rn )t^ » Ti et Y étant tirés de la table de la page 362).
,.60. = Ip. . «,• + Y/(l±i.«)V(l.„^J'
Mdaie f lèee reetattgalalre , en même trinps élcodoe ou comprimée
par une rorce longitudinale Q.
Résoudre la première des deux équations soirantes en 6 on c, si
U5S SEGT. 1. fiÊSISTANGB DES SOLIDES.
( Du n* IMI).
la force Q agit pour étendre (et elle a alors les signes supérieurs ) ; et les résoudre toutes deux si elle agit pour comprimer ( et alors elle a les signes inférieurs) en adoptant la plus forte des deux solutions ,
(R,6c»=FQc-.6M')(R,6«c±n,Qc+6n,M') = ^XR^^^y,
(Ro6c«q:()c + 6M')(Ro6c»±:^,Qc— 6ti,M') = (^f[.^\\
On peut se contenter de résoudre la première ou la seconde
Même plèee reet«iig;aliilre fléebte de ebamp ou partllélemeot au càibb,
et en même temps tordue , etc.
Prendre (voyez $ 53) pour les dimensions 6, c, les plus fortes de
celles qu'on obtient en plaçant les points dangereux successivement
aux milieux des côtés c et en divers endroits des côtés 6, déterminés
2zz par -^ = 0, 0,1, 0,2, 0,9, i, et interpolant paraboliquement
par la méthode du $ 3^ pour déterminer remplacement et la grandeur du maximum.
Méoie plèee re«Uuii^lalre fléchie eMI^uen^nt , ou par un couple dont le plan fait un angle quelconque 9 avec les côtés c.
Chercher de la même manière (voyez S 53) le point dangereux sur les quatre côtés du contour d'une section.
Plèee à ■ectieii earrée^ dont la matière est supposée d'égale oontezture dans les divers sens transversaux, et qui, en même temps qu*elle est tordue, est sollicitée i fléchir dans un plan faisant un angle constant 9 avec un des côtés.
Chercher dans la table du § 55, p. UUli , en interpolant au besoin par différences propot tionnelles, le nombre par lequel il faut multi-
plier pour avoir le cube 6' du côté à donner à la section (cette
table suppose \ = l//t).
ART. V. TORSION AY£G FLEXION. k59
(Du n^ t&tl).
Méaie plèee e»rrée 0I elle émt tQuwmmnie , ou li elle doit , comme uo arbre de machine, être soUicilëe saccessîYemeDl dans toules les inclinaisons ou pour toutes les valeurs de l'angle 7.
Calculer son côté b par la première ou la seconde des deux formules :
c'est-à-dire placer le point dangereux ou à un angle (où Teffet de la torsion est nul) , ou au milieu d'un des côtés, selon qu'on aura
^^ < ou > l,2/i902 v/2 — Ti, — (1 — Ti,)V2 . ^ , qui est = 1.03702 ^^ = ^ ^^ si li = 4/4-
Plèee« d^ésAle ré»l«Mimee, et pièce» fri^matiqnes*
Les dimensions des diverses sections des pièces d'égale résistance seront fournies par toutes ces formules en donnant, au moment de flexion, les valeurs qui conviennent à chaque section (§ 56).
Si l'on veut faire les pièces prismatiques ou cylindriques, on attribuera au moment de flexion M ou M' ou M'' sa plus grande valeur, qui est relative à la section pour laquelle son bras de levier est le plus long.
Arbres de (ransBalttsIon de MievYeMiemt de retatlem
dem» lee auieblmefi.
Voir au S 57 le calcul des moments M et Mj qui le fléchissent et qui le tordent, afin de les substituer dans les formules.
S 59. Pièces encastrées avx deux bouts. Valeur à donner au mo* ment de torsion de chaque partie. — Lorsqu'une pièce est encastrée ou serrée à ses deux extrémités, de manière à ne pouvoir tourner autour de son axe qu'à des points intermédiaires, les moments de torsion de ses deux parties à droite et à gauche du point où elle est sollicitée à tordre, dépendent des réactions inconnues des parois des encastrements.
&60 SBCT. I, RÉSISTANCE DES SOUDES.
(Du n« IMI).
Pour en obtenir la grandeur, appelons :
Mi le moment du couple qui est supposé solliciter la pièce dans
un plan perpendiculaire à son axe; a\ a" les distances de ce plan à la première et à la deuxième
extrémité ; m', m" les moments des réactions qui s'y exercent ; 0', 0'^, les torsions respectives de Tunité de longueur de la
