partie a' et de la partie al' de la pièce

Comme Tangle de torsion doit être le même au point de jonction de ces deux parties, on aura

On aura aussi , pour Téquillbre de rotation ,

Enfin , comme le moment des forces qui agissent sur la pièce à

droite d'une section quelconque est w!' pour la partie a'\ et

M— m'^ = w! pour la partie a', et comme les torsions de r unité de

longueur de ces parties sont proportionnelles à ces moments , on a

ùr,=^zzrn ^^ --7f=-—i\ d'où, avec M* = w' + m" :

Ce sont ces valeurs des moments de torsion des deux parties a\ a'* de la pièce que Toq substituera dans les formules du $ /iiO pour avoir leurs torsions 0', 0".

Et les dimensions transversales à donner à la pièce supposée prismatique ou cylindrique seront calculées pour la partie la plus courte, parce que ce sera, d'après O'a' = 0"a", celle qui éprouvera la torsion la plus grande.

Une pièce à la fois fléchie et tordue peut être encastrée aux Jeux bouts quant à la torsion et non quant à la flexion, ou réciproquement.

On en verra un cas aux applications numériques, $ 66. Les autres cas ne pourront être traités qu'à la section iV, article 1, n"" 371 à Zlk 9 où l'on s'occupera des pièces doublement encastrées quant à la flexion ou dont l'axe a ses deux tangentes extrêmes dans une direction déterminée. .^

ART. V. lOBSlO.N AVEC FLLllOiN* ktii

( Du n« !&•).

$ 60. Rupture immédiate par torsion. Proportionnalité des ré" sistances à cette rupture aux cubes des dimensions homologues des sections semblables, — Toutes les équations de cohésion ci-dessus , dressées pour prévenir toute rupture même éloignée, sont essentiellement fondées sur ce que les dilatations et glissements , au-

dessous des limites adoptées ~, -p,-, restent assez petits pour ne

pas cesser d^ètre sensiblement proportionnels aux efforts qui les produisent.

On neut aller au delà, et en s'aidant d'bypotbèses plausibles sur la relation inconnue entre les efforts et les effets quand ceux-ci ne sont plus très-petits, dresser aussi quelques formules propres à prévenir la rupture immédiate ou prochaine par torsion , formules utiles pour les constructions légères , temporaires et continuellement surveillées , telles que les échafaudages , etc.

Mais démontrons auparavant deux théorèmes de proportionnalité relatifs aux sections semblables.

Coulomb fait le raisonnement suivant 0) sur la grandeur relative du moment de la réaction de torsion de divers fils métalliques cylindriques , ou de leur résistance élastique à une torsion d'un angle donné , grandeur qui est désignée ci-dessus par

Mi

a Cemomentum », dit-il, « doit augmenter avec la grosseur des flis

de plusieurs manières Dans un diamètre double, il y a quatre

fois plus de parties tendues par la torsion........ et Textenslon

moyenne de toutes ces parties est proportionnelle au diamètre du fil , de môme que le bras moyen de levier de leur résistance. Ainsi, nous sommes portés à croire, d'après la théorie, que la force de torsion de deuxfilsdemétal de la même nature et de la même longueur... est proportionnelle à la quatrième puissance de leur diamètre. »

Et les expériences de Coulomb confirment sa prévision.

(1) Recherches théoriques et expérimeDUles sur la force de torsion ei sur l'èlas- Udté des flls de métal ( Mimovru de VAcad. dtê tciencesy volume de 47S4, publié en 47S7;SXI1I].

662 SECT. I. EÉSISTAIIGB DIS 80UOIS.

( Du D* tftS).

Cette proportionnalité de ;7^ à la quatrième puissance des di-

mensions transversales homologues aura lieu également pour deux prismes à sections quelconques, mvAs semblables , à la condition qite les glissements sur les sections du prisme restent assez petits pour que les résistances ou réa4itions tangentielles ne cessent pas de leur être proportionnelles. En effet , les plans de ces sections de deux prismes semblables se courberont de la même manière par la torsion , en sorte que les glissements sur Tune et si^ Tautre auront entre eux, à leurs points homologues , le même rapport qui sera, pour même angle de torsion, celui des arcs» c'e8(-4dire celui des dimensions linéaires homologues de ces deux sections. Les réactions élastiques provenant de ces glissements suivent le même rapport par hypothèse. Il en est de même des bras de levier de leurs moments ; et les superficies du des éléments où elles s'exercent sont évidemment comme les carrés de ces dimensions. Les moments totaux sont donc comme leurs quatrièmei puissances, ou comme les carrés «u* des aires, ainsi que l'ont donné, au reste» toutes les formules ci-dessus et aussi toutes les expériences.

Il en sera autrement si les glissements » sans même cesser d'être petits ou d'avoir leurs carrés négligeables devant l'unité, arrivent néanmoins à des valeurs telles que la loi ordinaire de l'élasticité ne s'observe plus ou que leurs actions tangentielles correspondantes ne leur soient plus sensiblement proportionnelles, ce qui , généralement, arrive bien avant l'énervation de la matière 0). En effet, ces réactions, dont le moment total est Mj, ne suivront plus, comme les glissements , la proportion des dimensions linéaires ^

sections, et -g- ne sera plus en raison des quatrièmes puissances de

ces dimensions.

Mais si alors, au lieu de la même torsion 0 dans les deux prismes semblables et inégaux, on a le même plus grand glissement sur chaque section^ et, par conséquent, le même plus grand effort

^) Nous avODR dit {% 6 de la noie du n« 45S} que la résisUnce éUsiique aui

▲RT. V. TOBSIOn AVEG^FLEXION. &63

(Du n* IMI).

transversal qui en dépend, et qui pourra même être Teffort T au delà duquel la rupture se déclare immédiatement , les moments de torsion M^ de ces deux prismes seront entre eux comme les cubes des dimensions transversales homologues.

En effet, il résulte de la similitude que les glissements se distribueront de la même manière sur les deux sections , Tune plus grande, Tautre plus petite; que, par conséquent, les efforts iangentlelfl , égaux en deux points homologues par hypothèse , seront aussi égaux chacun à chacun en tous les points homologues de Tune et de Tautre section. Les moments partiels seront ainsi en raison composée des bras de levier et des superficies des éléments, et» comme on peut supposer ceux-ci en même nombre dans Tune et dans Tautre, les moments totaux seront comme les produits des superficies des sections par leurs dimensions homologues.

Quelle que soit donc la loi inconnue , suivant laquelle les réactions transversales dépendent des glissements qui dépassent une certaine grandeur, on peut regarder les moments capables de produire la prompte rupture, et qu'on pourrait appeler limite instanr tanée de Mi, comme proportionnels, pour les sections semblables^ aux cubes de leurs dimensions homologues, ou aux racines carrées

^(o> des cubes des superficies <» (i).

gllBiements dérive de la résistance aui dilatatiODS qu'ils produisenl dans des sens obliques. Un glissement de grandeur quelconque g déplacera relatifement, dant son sens, d'une quantité ag les points correspondants de deui éléments linéaires parallèles à une distance a l'un de l'autre, ce qui dilatera une droite comprise entre eux et faisant arec leur normale commune un angle dont la tangente est 9, dans

Ja* 4- (ax 4- cigj* — y ** + *'*''* la proportion ^ . Le maximum de celle dllatâlioa

proporUonnelle a lieu pour rinelinaison xz=z i/4 +- et a pour grandeur

-+\/^+T — 4« Tant que g n'excède pas 4/5, cette dilatation maximum

g peut être prise = - comme quand le glissement est extrêmement petiu Mais nue

dilatation de 1/40 et même 4/400 excède iout i fait celles qui laissent subsister fa loi de proportionnalité, et piéme la cohésion pour la plupart des matières. (^) Des expériences de M. Vicat {Ann. des ponU et ch,, 4833, S* sem., p. 9S8)

466 SEGT. I. RÉSISTAiNCK D£S S0U1>£S.

(bu n* !&•).

G*est de môme que, pour la flexion , nous avons prouvé ($ 1 de la note du n* 151) oue les moments M des résistances à la rupture immédiate sont proportionnels aux produits 6c* des largeurs par les carrés des hauteurs quand les sections sont ou semblables ou même simplement susceptibles de le devenir par la réduction de toutes les ordonnées de Tune des deux dans un même rapport , bien que

ces moments M pour même flexion - ou même rayon de courbure p

de Taxe ne soient comme bc^ qu'autant que les dilatations des fibres restent dans les limites où les tractions correspondantes leur sont proportionnelles.

S 61. Calcul approximatif des résistances à la rupture inimé^ diate ou prochaine par torsion^ quand les sections sont^ V circu-laires^ 2* rectangles larges et minces. — Ce calcul sera analogue à celui que nous avons donné au S 2 de la note du n* 151 pour la rupture immédiate par flexion ; mais nous ne pourrons , pour la torsion, rappliquer qu'à deux formes de section.

Soit d*abord un cylindre dont les sections sont circulaires. Elles seront encore planes après la torsion , car elles n'ont aucune raison de se courber plutôt du côté de l'une que du côté de l'autre des deux extrémités du cylindre qui reçoivent Tactiott de couples égaux et opposés.

Soient

r le rayon du cylindre;

r le rayon vecteur d'un élément d<o de sa section quelconque eu ;

p la résistance tangentielie sur l'unité superûciellede cetélément ;

T la valeur de p au contour des sections, ou pour r = r.

P, y deux constantes, et m un exposant plus grand que 1.

•embteni oonlralres i celte conclusion. Hait, faites avec des prismes de plâtre ou de brique crue, très-courta, qui étaient plus ou moins fléchis en même temps que tordus, elles ne pouYaient réaliser cette similitude de distribution des efforU intérieurs sur laquelle notre raisonnement se fonde, et elles ne paraissent pas propres i infirmer la loi des cubes des dimensions, qui a été presque constamment manifestée par les eipériences d'aulrea auteurs sur des barres métalliques; loi que H. Vical lui même adopte finalement (td., p. 335) pour les prismes d'une certaine longueur.

ART. V. TORSIOlN AVEC FLEXION. /t65

(Du D« IftH}.

Les glissements, qui ont pour mesure les projections, sur la section, de Tunlté de longueur portée sur les tangentes aux fibres de-

venues des hélices toutes de même pas -^ , sont représentés par

•-^ = 6r lorsque 0 est grand comme lorsqu'il est petit, et sont ainsi

proportionnels aux distances r de ces fibres à Taxe. Nous pouvons 4onc prendre, par analogie avec ce que nous avons fait p. 176, Texpression suivante de la résistance au glissement à la distance r :

qui satisfait à la double condition, indiquée par Texpérlence :

1"* De croître proportionnellement aux très-petits glissements répondant à d'assez petites valeurs de r pour qu'on puisse ne con-

server que la première puissance de ^ dans le développement de

P ce qui donne p = m ^ r.

2* De croître moins que r ou que le glissement quand il devient plus considérable.

On aura, au reste, la constante,

vu que pour r = r, on a ;; = T par hypothèse.

En faisant d*a = 2;:rdr, qui est l'aire d'une couronne de rayon r et d'épaisseur Jr, on trouve, pour le moment de torsion,

M = r pdw. r = 2-P r ïi —(l -^V \r*dr -.

--B(v)'-'sT(-r"-^('-^)""--

Si nous faisons la remarque, analogue à celle des pagos 180-181.

^66 SECT. I. RÉSISTANCE DfiS SOUDES.

( Du n»

que T est la plus grande valeur que la réaction p puisse atteindre « puisque , pouf un glissement plus fort que celui qui y répond , il y a rupture, ou très-rapide diminution de la force, nous imposerons la condition

dp

-f- =0 ponr r =: r ; ©«qui donne V =: T, P = T,

ar et ce qui réduit Texpression précédente du moment à

* 2 \3 (m+l)(m+2Xm+3V '

d^oû successivement :

Pour m= 1, 2, 3, /i, oo

M, = i «r»T, 1 7cr"T, ^ irrT, ^ «r*!, | «r»T.

Le moment qui produit la rupture immédiate par torsion varie ainsi entre la moitié et les deux tiers du produit de Tcr' par la cohésion tangentielle instantanée T.

Pour arriver de môme à une expression de la résistance à la rupture

immédiate par torsion d'une lame rectan*

e I I c gulaire mince, ou d'un prisme rectangle

à base bxc dont le côté b est beaucoup plus grand que c, nous rappellerons que nous avons trouvé, pour ces sortes de prismes ($ 2A , p. 289, S 26 , p. 296) , les mêmes résultats que par les formules transcendantes et rigoureuses , en assimilant simplement leur section à Tellipse inscrite quant' aux glissements qui y ont lieu , en sorte qu'on a pour ces glissements , en embrassant de suite le cas d'inégale contexture, et en négligeant, aux dé-

norainateurs , ^. devant jr, •

g' = -2et,, g'' = 2^ett.

Admettons que nous avons encore ces expressions des glissements lorsqu'ils deviennent, comme nous supposons ici, assez grands pour que les résistances tangentielles qu'ils provoquent dans

ABT. ¥. TORSION AYEd FLEXION. , k^l

(Du n« f IM).

les sens u, i? cessent de leur être proportionnelles ; et , en appelant

p\ p' ces résistances ou tensions par unité superficielle des éléments (/(o où elles s'exercent ;

T' la limite de p' ou la plus grande tension tangentielle que la matière puisse supporter dans le sens u sans rompre immédiatemtent ;

P', P". y, U des constantes;

m, n des exposants > 1; «^

posons les expressions

Elles donneront, comme elles le doivent, p' =. G'g' et p" = G''g'' pour les petits glissements ou pour les valeurs de r, u dont la petitesse permettra de ne conserver que deux termes des développements des parenthèses , si les constantes satisfont aux équations

-.G'.2(hî=-P'mJ, G".2j^e« = rnJ,

qui, divisées Tune par Tautre, pour éliminer 0, donnent la relation

De plus , comme les points dangereux sont aux extrémités de la petite médiane c quelle que soit Tinégalité de contexture quand cette médiane est incomparablement moindre que Tautre, il faudra qu'à Tinstant de la rupture,

pour ^ ~ ô» on ait p' = T, et ^ = 0 ;

ce qui donne ^ = i' V = r.

Enfin, comme les glissements g' sont toiyours beaucoup plus petits que les glissements g", nous pouvons admettre que p" reste à très-peu près proportionnel à g\ et par conséquent à û , ce qui exige que la constante U soit assez grande pour qu'on puisse ne

2|68 . SBCT. I. BÊSISTANGE DES SOLIDES.

(Du Q* fse).

conserver que deux termes du développement de ( 1 — r: j ; d'où

Mettant pour P'' sa valeur ci-dessus, les indéterminées n et U disparaissent, en sorte que nous avons pour représenter, d*une manière probablement très-approchée, les deux Composantes de la tensicm ou résistance tangentielle dans les sens u, v :

D'où, pour le moment de torsion M, = V du\ dv {p"u — p'v) :

M, = 6c*T' {^ + (^+1^(^+2)); Cette expression donne successivement pour les hypothèses : m = 1, 2, 3, 4, etc.

M, = |^«T', |6cT', ^bà^, ?? 6c»r, etc.

On aurait des expressions Intermédiaires pour les valeurs fractionnaires qu*oo peut attribuer à m.

Le moment de résistance à la rupture immédiate des lames ou prismes minces est, comme le moment de résistance à la rupture éloignée, proportionnel à la largeur 6 et au carré de Tépaisseur c; et le coefficient numérique dont il faut affecter leur produit par la cohésion tangentielle instantanée T' croît beaucoup avec Texposaut m mesurant eu quelque sorte l'excès de rapidité de la croissance de la tension p' sur celle du glissement correspondant g'.

Si Ton tire la cohésion tangentielle T' de ces équations, on a, pour môme moment M^ capable de la vaincre, une quantité d'autant moindre que cet exposant m est plus grand , ou que le glissement croît plus avec l'effort.

Ces résultats relatifs à la rupture par torsion, soit des cylindres, soit des lames, expliquent comment les coefficients de cohésion tangentielle T, T' qu'on obtient en appliquant les formules ordi-

(Du tfi ilM).

;cHT fcc*T'

naires M, = -^r— , M, = —5— à des expériences de rupture immé-

diate par torsion, peuvent être trouvés plus grands que lorsqu*on les

détermine par des expériences de cisaillement, de même que les

cohésions normales B déterminées par la formule ordinaire de rup-

RI ture par flexion M — -7 sdtit plus fortes que celles qui résultent

d^expériecces de traction ($ 3 de la note du n" 151).

Comparées, à des résultats d'expériences , ces formules donneraient des notions sur la relation qui lie les tensions aux glissements d'une certaine grandeur, et on en tirerait diverses conséquences pratiques.

S 62. Détermination^ pour les diverses matières, des coefficients nvmèriqves G, T., G', G", T', , T". , T. — Le coefficient é^ élasticité de glissement G, si la matière est isotrope ou si sa contexture est la même en tous sens, est fourni par la relation que nous lui avons trouvée avec le coefficient d élasticité d'extension E , au $ 2 de la note du n« 152 (0» savoir G = 2/5 E.

Mais ordinairement, et même dans les prismes de matière fondue et non fibreuse , la contexture n'est pas la même dans le sens longitudinal que dans les sens transversaux. Alors si elle est égale dans ceux-ci , on n'a toujours qu'un seul coefficient G à déterminer, mais il ne peut être déduit que d'expériences où le glissement entre en jeu. Les expériences sur le glissement sans torsion qui a été considéré aux notes des numéros 152, 153, 15/i, ainsi qu'aux $$ 45 et iii6 cidessus, ne sont guère possibles, car elles porteraient sur des quantités trop peu perceptibles , et d'ailleurs toujours mêlées à ce qui vient de la flexion. Mais les expériences de torsion des cylindres à base circulaire ou des prismes dont les sections sont comprises aux formules récapitulées au $ kH feront connaître facilement les va-

(>] A l'appendice , après le n* 468, noos donoeroDS une autre démonstration plus simple de cette relation ainsi que du rapport \ : 4 entre les contractions transversales et les dilatations longitudinales , et nous nous proposons aussi d*y établir d*nne manière simple les formules générales de la théorie de réiasticité des solides.

klO SEGT. 1. RËSISTANCB DBS SOLIDES.

(Du no !&«).

leurs de G en mesurant Tangle t de la torsion produite par le moment M, des forces appliquées à un prisme ou cylindre de Ion-

gueur a et substituant, dans les formules , la torsion ® = - «ââ^"^

à ce moment par unité de longueur»

Si, dans ces expérieDces, il y a cià même temps une petite flexion, ce n^est pas une* raison de rien changer aux conclusions qu*on en tire ; car Téquation des moments autour de Taxe de la pièce est indépendante de Téquation des moments autour de droites transversales , suivant le principe de simultanéité du $ S de la note du n' 21.

On a trouvé souvent, avec des métaux, G à peu près égal à 1/3 £« ce qui s'écarte peu do 5/5 E , qu'on aurait sans doute obtenu s'il y avait eu parfaite isolr \ ie.

Les deux coefficients G', G" du cas d'inégale élasticité transversale ne pourraient être déterminés de cette manière, ou en appliquant à un résultat d'expérience de torsion l'une des formules du S /^O relatives à ce cas général, qu'autant qu'on connaîtrait

Si l'on ne peut pas parvenir à se faire une idée de ce rappoH pAr des expériences directes et suffisamment délicates de gUssemettts sans torsion en défalquant, desjlèches complètes ($ k de la note du n* 153, p. 21/i, et $ Uà ci-dessus) , ce qui vient des seules flexions, on soumettra successivement à la torsion deux prismes plats, ou à section rectangulaire étroite et large, taillés dans les deux sens principaux d'élasticité ou de symétrie de contextura Soit b le grand côté des sections, c l'autre supposé très-petit ; en prenant successivement 6 parallèle et perpeudiculaire au^sens de G' et appelant Ml, M\ les moments des forces produisant la tor.ion, on aura à peu près {$ /lO, p. 362) :

équations dont la pt-emièrc divisée par la seconde en donnera unç

d'avance le rapport ,.

ABT. V. lOESIOM ATEC FLEXION. &71

(Du n» IMI).

autre, du quatrième degré en W^„ d'où Ton tirera le n^pport cherché ■^,,

Les sens principaux d'élasticité ou de symétrie seront ordinairement indiqués par ceux des couches dans les bois, et par ceux de forgeage, laminage, etc., dans les métaux. Mais on pourra, dans tous les cas, prendre pour tels ceux qui donnent le plus grand ou le plus petit rapport de G' à G'', ou de M^ à M'^ , et les trouver ainsi par plusieurs essais.

Le coefficient de cohésion tangentielle permanente T» dont le quotient par celui d'élasticité G donne la limite des glissements non dangereux dans un prisme d'égale contexture transversale , aurait pour valeur, si la matière était Uoirope ou constituée de même Iongitudinalement :

To = 2G ■!;-=?• Ro,

égalité qui exprime (S 9 de la note du n* 152) que la proportion

- -S du plus grand écartement moléculaire oblique provenant du

glissetiient -^ soit égale à la dilatation |;^ due à la limite Ro des trac-

G fc

tions longitudinales.

Si la contexture est différente, dans le sens longitudinal , de ce

qu'elle est dans les sens transversaux, et si l'oti a déterminé, pour

ceux-ci , les valeurs de l'élasticité et de la cohésion d'extension, ou

de ce que nous avons appelé Et et Ro< (S 13 de la note du n* 113 et

$ US ci-dessus de la présente note) , on pourra prendre, d'appv^s ce

que nous avons trouvé (à ce dernier §, p. 378; pour la limite de

g = T^î , la valeur suivante , plus générale que T. = aG -^ , et qui

a été la conséquence d'une hypothèse naturelle et plausible sur la loi inconnue des limites des dilatations dans les divers sens

Ve fi« '

iiJ2 SECT. I. RÉSISTANCE l>ES SOUDES.

(Dan* IMI).

ce qui exprime simplenient que la limite à imposer à un glisBemeot est deux fois la moyenne proportionnelle des limites des dilatations dans les deux sens rectangulaires où il a lieu.

Mais il vaudra généralement mieux , surtout si Ton considère Tincertitude sur la valeur de la cohésion normale R«, déterminer directement la col(ésion tangenUelle T. par différents moyens comme nous avons dit qu'on faisait pour celle-ci ( $ 12 de la note du n*" 31 et SS 10 à 14 de celle du n* 113) .

Le meilleur serait sans doute de chercher, par des expériences longtemps prolongées dans diverses circonstances d équilibre et de mouvement , sous quel effort de torsion la matière , après avoir éprouvé de petites déformations permanentes , cesse de à'écrouir et commence à ^énerver ^ c'est-à-dire k subir des déformations nouvelles sous des efforts moindres que ceux qui en ont déjà produit; puis , de déduire T. en se tenant prudemment en deçà de ce point, afin de laisser une large part aux circonstances accidentelles et imprévues (S 12 de la note du n** 21).

Vu la difficulté de pareilles observations et faute de pouvoir, ainsi, arriver à une connaissance sûre de la meilleure des valeurs à attribuer à To pour satisfaire à Téconomie comme à la solidité, on se bornera souvent à une imitation raisonnée de constructions existantes et éprouvées comme possédant au moins cette dernière qualité. C'est ainsi que, pour le diamètre d des arbres cylindriques en fonte, on prend, d'après l'usage des usines d'artillerie (0«

(P = ^ ^ , expression qui, comparée à la formule ci-dessus (S ûO,

Tcr' 3 l&16d^ p. 359), lim. Mj = -Tr'^'o =-^-7^ — T©, donne pour cette matière :

To = 1336000.

On se servira aussi, au moins pour des comparaisons do diverses

Q) Leçons tur la riêiatance des matériaux de M. le général Morin, membre de l'iDstitut, 9* édiUon, ii« 388, p. 462 oâ PR, r', - , — , G — déaigoenl respecli- Tement ce que nous appelons M|, r, 9, f„ et T,.

(Du H* ilM).

qualités ou variétés d'une même matière, d'expériences de rupture immédiate , soit par cisaillement , soit par torsion ^ comme nous avons dit qu*on faisait pour la flexion et pour l'extension simple (notes des n*" 113 et 21) , en prenant pour T^ le 1/ù ou 1/5 ou 1/6, etc., de ce que donneront pour T les formules ci-dessus de rupture éloignée^ appliquées à ces expériences , si , pour une qualité oxï variété, cette proportion 1/A ou etc., a été reconnue convenable. Ce ne sera pas faire la supposition fausse que la loi d'élasticité ou de proportionalité, sur laquelle les formules en question sont basées, se conserve jusqu'à l'instant des ruptures opérées; ce sera supposer simplement (note du n" 113, $ 12) que la valeur-limite à adopter, soit pour reflTort transversal, soit pour le moment de torsion auquel on peut soumettre un solide pendant un temps'indéfini, n'est que le 1/il, etc., de celui qui fait rompre au bout de peu d'instants, en sorte que To sera bien ce que donnera la formule vraie , pourvu qu'on y mette pour P'^ ou M^ cette fraction de TeiTort ou du moment qui agissait quand la rupture a été produite. Cette supposition est tout aussi plausible avec le cisaillement ou la torsion qu'avec l'extension ou la flexion.

La torsion offre même, à cet égard, des circonstances plus simples que la flexion ; car comme, dans celle-ci, le danger de rupture peut se trouver, pour certaines matières ou pour certaines formes de sections, du côté des fibres comprimées, il y a deux coefficients Ro et R o àdétermlner (S 13noten*113}, tandis qu'il n'yenaqu'un pour la torsion, au moins quand la matière est d'égale contexture transversale.

Si c'est d'expériences de rupture par glissement sans torsion qu'on veut se servir, on pourra , pour les métaux, opérer comme MM. Gouin et compagnie (S 9 de la note du n* 152] (?), qui ont cisaillé des tringles de fer en en séparant transversalement des

(1) La manière dont cet espérimenUleun ont opéré, et qui consiste i introduire une tringle ronde de fer dans les trois trous circulaires -correspondants d'une pièce plate en acier trempé et d'une pièce en fourchette, de même matière, comprenant l'autre entre ses deux branches, puis i tirer ces deux pièces en sens contraire, nous paraît bien préférable i la méthode de M. Vicat, qui refoulait, et détâchait au moyen d'un piston, un petit cylindre compris entre deux trous ronds et égaux percés suirant le même axe dans une plaque épaisse de la matière dont il voulait mesurer la force tranwene {Ann, de§ ponté tt eh» 1833, 9« semesire ,

MU SHCT. I. BÊSISTARGE DES SOUDES.

(Du n* tIM).

tranches ou rondelles par des efforts agissant dans le plan même de séparation. Mais il faudra , d'après ce que nous avons dit à la fiti du $ A5, si le métal est fibreux ou bien s'il s'agit de mesurer la grandeur de To pour des bois , t&cher de répéter Tépreuve sur de petits prismes qui soient extraits du solide dans un sens perpendiculaire aux fibres, afin d'évaluer comparativement la résistance à leur séparation par glissement les unes sur les autres, et d'adopter pour T. la fraction 1/4 ou l/ô, etc., de celle des deux résistances qu'on trouvera la moindre.

On pourra aussi , pour les bois , faire des expériences sur des aF 7a prismes très-courts appuyés aux extrémités et

r — T~n sollicités transversalement au milieu par une

^ force 2P donnant des réactions P pour chaque

appui, et qu'on augmentera successivement tP "^ jusqu'à ce qu'il y ait fente ou séparation des

fibres par gli&sement longitudinal , et, en adoptant pour?'' le i/k

ou 1/5, etc., de P, prendre T, = jr — multiplié par l'un des coeffi-

cients de réduction 0 849, 0,940, 0,940, etc., trouvés au S 45 comme

3 P" devant affecter ■= — pour donner le glissement maximum g",, aelon

2 Cl)

qu'on a ^ ou 1 ou r, etc., pour le rapport^ des deux côtés de la

section rectangle de base 6 x c t-= «a.

Mais ce sera surtout à des expériences de rupture par torsion qu'on appliquera cette méthode, il faudra, sans attendre la séparatioQ transversale, n'augmenter successivement les forces que jusqu'à l'instant où il se déclarera des fentes longitudinales , et substituer alors dans les formules du S 40 , à la place de lim. M, , la fraction convenue 1/4 ou 1/5, etc., de leur moment.

p. 355) ; car le» diTeries noroialet à la surface de séparaiion, qui esi, daos ce cas, la surface latérale du pctil cylindre, sont con?ergenle9 et nou parallèles comme les fibres des tringles de la première méthode, et elles doivent opposer une bien plus grande résistance i l'aclion qui les incline sur celte surface avant de les en sé> parer. L*illu«tre ingèoietir rrconnatl lui-même que la pulvéruleoce qui s'étend à une certaine profondeur atteste combien a dû être violeut le mode de désorganisation de la matière, en sorte que la mesure qu'on en conclut pour cette force Iransvene ou cobésion tangentieUe T doit excéder beaucoup sa grandeur réelle.

(DU n« ifte).

Si , dans les expériences de rupture par torsion , il y a eu en même tempâ flexion, cette circonstance ne devra pas être négligée dans la détermination de T. qui doit alors être déduit des formules de torsion et flexion simultanées (voy. S 65).

Enfin , de même qu*on adopte quelquefois (§ iU de la note du n** il3), pour le coeflicient K des formules d'extension ou de flexion <, des valeurs qui donnent la même grandeur à la dilatation

limite -j^ pour diverses matières, ce qui est simplement suppo&er B.

proportionnel à E, on prend quelquefois pour T, qui entre dans les

formules de torsion , des valeurs donnant le même glissement-li-

T mite 7^ = g« pour diverses matières, ce qui est simplement rendre

le coeflicient de cohésion permanente tangentielle T. proportionnel au coefficient d'élasticité de glissement G. Ainsi, comme G pour le fer est triple du même coefficient pour la fonte, plusieurs constructeurs, en adoptant (comme on a dit) T„ = 1 33û 000^ par mètre carré de section pour la fonte , prennent, pour le fer,

T„«=3 X 1 334 000 = 4 002 000 * ; ce qui donne , pour Tune comme pour l'autre matière :

gm = ^ = 0,000 667.

Cette parité, pour le fer forgé et pour le fer fondu, de la limite la plus convenable à imposer au glissement, n'a rien d'improbable. Mais si l'on adopte la même limite pour les bols, en prenant par exemple T» = 26680 pour le chêne parce que son coeflicient d'élasticité G est le 1/5 de celui de la fonte, ce ne peut être qu'à cause de la privation où l'on est jusqu'ici de documents expérimentaux sur la résistance à la rupture par torsion de matières autres que la fonte*

Lorsque la contexture n'est pas la même dans les divers sens transversaux , le rapport des coefficients de cohésion tangentielle T'. , T". peut s'obtenir au moyen d'expériences comparatives de cisaillement ou de fente , faites comme ci*dessus , en dirigeant successivement Vefibrt transversal dans deux sens rectangulaires présumés être les sens principaux ou de symétt*ie de contexture ; sens

&76 SECr. 1. RÉSISTAUCE DE8 SOUDES.

(Dan^tlM).

que Ton peut même déterminer expérimeDtftlement par la condition qu*ils donnent , Tun la plus grande , Tautre la plus petite cohésion tangentielle.

Mais des expériences de rupture, par torsion, de lames rectangu laires taillées dans deux sens , peuvent également, et d'une manière probablement plus facile, servir à déterminer approximativement le rapport de T^ à T., car les formules p. 361, 362^ montrent que lorsque le côté 6 de la section rectangle est beaucoup plus grand

2uL

que le c6té c, on a sensiblement, à la limite, — = 1/3 ou

M, = ô &c*T'. , T'. étant la cohésion permanente dans le sens 6, en o

sorte qu'on aurait une autre limite M', = ^ 6c* T". si le grand côté

était taillé dans le sens où s'exerce T". , d'où

Mi T.

ce qui donnera expérimentalement =~ si l'on regarde les limites

M^ , M', à imposer aux moments de torsion des deux lames comme proportionnelles aux valeurs que prennent ces moments lorsqu'ils produisent immédiatement la rupture par torsion.

Au reste, d'après l'usage auquel une pièce doit être affectée, on peut être dans le cas d'imposer une limite à la torsion 0 elle-même, ou au rapport de l'arc de torsion à la longueur de la pièce tordue ; de même que , pour les pièces fléchies posées sur deux appuis , M. Tredgold ($ 17 de la note du n** 113 ci-dessus) propose , par une première table d'équarrissage , de limiter à 1/480 le rapport de leur flèche à leur portée. La formule pratique , destinée à remplir une condition de ce genre, est facile à dresser et se tire simplement dei formules d'élaisticité ($ AO), où n'entre que le coefficient 6 dont la détermination n'ofi're guère d'incertitude. Mais il faut remarquer que ces sortes de conditions ne dispensent pas de remplir celles de cohésion^ exprimées par nos formules M ou M| = ou < une expression affectée de 1\. ou T. , ou , ce qui revient au même , limite de M ou de M| ^ cette expression ; en sorte qu*on n'adoptera les valeurs

ART. V. TOBSIOlN AVtC FLEXION. Ull

fournies pour les dimensions transversales par Téquation ^élasticité posée en attribuant une certaine grandeur limite à la flèche de courbure ou à Pangle de torsion que lorsque ces dimensions seront plus fortes que celles qui sont fournies par Téquation de cohésion, qui limite , comme nous savons, les dilatations i ou les glissements g. Cette observation s^applique à toutes les formules pratiques autres que celles qu'on tire de Téquationde cohésion, par exemple, à Vvltl' clennerègle descharpentierSf qui fixait un rapport entre l'épaisseur et la portée des pièces fléchies afin de limiter leur flèche (')•

Nous n'avons pas besoin d'iyouter que les expériences de rupture immédiate ou prochaine dont nous venons de parler servent aussi à déterminer les valeurs à attribuer au coeflicient T ou T' de cohésion iangeniielle instantanée et à Texposant m dans les formules du S prédédent, que nous avons tâché de dresser pour prévenir ce genre de rupture dans les constructions très-légères , telles que les constructions temporaires et bien surveillées. Le coefficient et Texposant ne pourront être fournis à la fois par des expériences de rupture par torsion de cylindres circulaires, mais on arrivera à les connaître en en faisant aussi sur des lames minces de môme nature ; ou bien en déterminant séparément les coefficients T par des expétiences de cisaillement transversal ou fente longitudinale.

5 63. Torsion de cylindres dont la matière n^est pas de même nature dans retendue des sections, — On peut , alors, en opérant comme nous avons fait pour l'extension au g 7 de la note du n' 21, et pour la flexion aux $$ 7 de la note du n*" 80, et 15 de celle du n* 113, obtenir une expression du moment de torsion du cylindre si les sections u sont circulaires et si les éléments d'une même nature sont supposés y former des couronnes concentriques.

En effet; en appelant :

6 un coefficient d'élasticité tangentielle relatif à la couronne

dont le rayon est r, et qui varie avec ce rayon : r le rayon du contour ;

comme les sections n'ont toujours aucune raison de se courber

(Du n* !&•).

(S précédent), le glissement g à )a distance r est =#r comme dans le cas de Thomogénéité , et nous avons

M, = \ Gg. rdu) = e J Gr'dw = 2w« Tor^dr,

Faute de connaître la loi de variation de G avecr, supposons- D't ^„*^— -«*w «D 1® constant dans une certaine étendue ~ circulaire de rayon OA à partir du cen-

tre O, et variant ensuite paraboliquement jusqu'au contour, ou de A en B, en sorte qu'en appelant

6 la portion AB du rayon r où G est variable, G,, G] les valeurs de G au milieu et au contour, 2r=r— (r— 6) la distance, à A, du point de AB dont la distance au centre est r; n un exposant > 1 ;

on ait

G=G, de r=0 ^ r=r— 6,

G=:Go+{Gi— Go) (f) de r=r— 6 à r=rr, on de 2: = 0 à z=6 ;

ou qu'en prenant r pour abscisses comptées sur un diamètre B'A'OAB à partir de 0, le coefficient d'élasticité G soit représenté par l'ordonnée d'une ligne D'C'ECD, composée d'une droite G'EG parallèle à B'B à la distance G» , et de deux paraboles D'C', CD du degré n qu'il faut supposer >1 pour qu'il y ait raccordement en C etc. Le moment de torsion sera

7-»dr+îM ^g„ '\ (r— 6 + 2)«2"(f2: = Si l'on suppose 6=t ou les paraboles commençant au centre,

:cr*

cette expression se réduit, vu que -^ est le moment d'inertie polaire que nous avons toujours appelé J, à

(Du n* IMI).

Elle peut convenir aux cylindres de bois dont Taxe est à peu près celui de Tarbre dont on les a extraits. Mais, appliquée aux pièces de métal , elle aurait l'inconvénient (signalé déjà au $ 7 de la note du n"" 80 pour une supposition analogue relative aux pièces fléchies) de donner constamment le produit de J6 par une même moyenne entre le plus pelit et le plus grand coefficient G quel que soit le diamètre du cylindre tordu ; tandis que, d'après Texpérience, c'est plutôt Tépaisseur 6 de la conche où la rigidité d'une barre forgée ou fondue se trouve plus grande qu'au centre qui est indépendante de ce diamètre. Si Ton suppose cette épaisseur petite, en sorte que le carré et les puissances supérieures de 6 puissent être négligées, TexpresslOQ générale se réduit à

OU à une partie proportionnelle au moment d'inertie J de la section, plus une partie proportionnelle au moment d'inertie j de son périmètre. Si nous récrivons

et si T est la limite des tensions tangentielles que peut supporter sans danger, par unité superficielle, la matière telle qu'elle est à la distance r du centre^ limite qui varie avec r, nous aurons pour

l'équation de cohésion

T Lim, M, = Minimum de ;;- (GoJ+ x; ),

ce minimum étant pris par rapport à la variable r dont T et G sont

fonctions continues ou discontinues.

T Si, par exemple, oa sait que le maximum ^ répond à la plus

grande valeur de r ou au contour comme quand la matière est homogène, et si T, représente la valeur de T pour r=r comme 6| celle de G, on a

Lim.M,~ G, r+ G, r'

kSO SECT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.

(Ou D* f ft«).

ou, r et ^ désignant deux constantes dépendant comme G. et 7 de la nature de la matière et de son mode de forgeage ou de fusion :

On aura pour le moment des forces capables de produire la rup' iure immédiate des cj^lindres dont la contexture ne varie sensiblement qu'en approchant de la surface, une expression semblable^ sauf les valeurs des constantes, d'après les deux $$ précédents, où l'on a YU que ce moment est proportionnel au cube r' du rayon quand la matière est homogène.

Ces constantes T, ^ ou ^ T, ^t pourront se déterminer, comme

on a dit au $ 15 de la note du n*" 113, en faisant des expériences de rupture immédiate de cylindres de divers rayons, et en se servant des méthodes graphiques ou numériqqes connues pour corriger les écarts proportionnels qui sont ceux de

rr* r

ou en remplaçant le mieux possible par une ligne droite la suite

des points ayant les - pour abscisses et les — ^ pour ordonnées.

Une fois les constantes trouvées, la formule donnera le moment pour d'autres rayons que ceux des pièces de même nature mises on expérience.

$ 64. Exemples d'application numérique (*)• — Torsion xeulr d^abard.

Premier exemple. Cylindre à base circulaire, — Une pièce i*onde de fer forgé doit être sollicitée à la torsion par des forces faisant couples, dont le moment total, autour de Taxe, équivaut à celui

(*) Dani touies ces applications nous supposons négligeables les glissements de cisaillement ou qui ne sont pas dus i la torsion. Nous en arons tenu compte (approximatiTemeol) aux §§ 6 et 9 de la note du n" 454, en appliquant une équation do cohésion qui est un cas particulier de celle du § 43.

Le recueil des résultats d'expériences , ou le Complément âeê art. 1 à VI, où nous arotts déjà renvoyé plusieurs fois, paraUra ultérieurement.

(Dtt o- f «•}.

d'an poids de 400 kilogrammes agissant avec un bras de levier de l-,25.

On demande :

i" Le diamètre à donner à cette pièce ;

2** L^angle de torsion pour une longueur de 5 mètres.

Solutwru Les formules de cohésion et d'élasticité, % AO, p. 359, sont LIm. Mj = ^ To et M, = G ^ 6. On prend pour le fer forgé;

ce qui est à peu près le plus petit des résultats des expériences de Duleau ; et nous avons dit au % 62 que , d'après quelques usages relatifs plutôt aux pièces de fonte qu'aux pièces de fer, on a pris jus-

qu*ici 0,000 667 pour limite des glissements ou- inclinaisons des

fibres sur les sections , c'est-à-dire pour valeur de Or «g», » 7^

ce qui donne T. » â 002000* aussi par mètre carré.

En admettant ces nombres , comme on a M^ = /liOO* x 1"*,25 = ôOO'^x»^ la première formule donne, en mettant \f| pour lim. Mj , afin de ne donner à Tarbre que la grosseur nécessaire pour résister dUine manière permanente :

Quant à l'angle de torsion , la deuxième formule donne

e = -^ a= 0,01551, -Gr*

d^où , si T est le nombre de degrés sexagésimaux de l'angle pour une longueur a » 5 mètres,

^-■^«•25r = MÂÏ6 =û-»^%4^.

Decxièmij exemple. Même pièce de 5 mètres ^ supposée encastrée aux deux extrémités. — On demande le diamètre et la torsion, le couple dont le moment M^ » 500^ xm étant supposé la solliciter & 3 mètres de la première extrémité.

A82 SECT. I. nÉSISTANCÇ DES ^OUPpS.

(Do n« f de).

Solution. D'après ce qu'on a vu à la fin du S 59, on a |^9fpectiTement pour les moments de torsion de la première partie, de 3 mètres de longueur, et de la seconde , de 2 mètres ;

m' = . 500*x«i = 200*xm , m" = r 500 = 300*x».

Le plus fort des deux est le second m". Qn ^ a|{uù opijr déterminer le diamètre 2r :

^" = ^ T. . r. - ^^,,JZ^^; d'où 2r = 0-.0725.

Quant à Tangle t de torsion » Téquation donne» vu que m'a' «= m'V « 600*>^« ,

pre'a' = e"a'' = T.^. ponç

Troisième exemple. Cylindre à base elliptique , tT.égale contexture transversale. — Un cylindre en fonte de 5 mètres de longueur, ayant pour base une ellipse de 120 sur 10 centimètres, est encastré à une extrémité et sollicité à l'autre par deux forces égales faisant couple et agissant au bout de bras de levier de 1 mètre. On demande , 1"* jusqu'à quelle grandeur on peut porter ces forces sans que la cohésion risque de s'altérer sous leur action prolongée; S"" quel sera Tangle de torsion ou de la rotation d'une extrémité devant l'autre. On demande aussi à connaître 3^ l'amplitude du gauchissement de ses sections droites primitivement planes , ou la différence de niveau qu'il y aura (si l'axe est vertical) entre le point le plus haut et le point le plus bas de la surface courbe dans laquelle la tor|ion du cylindre aura changé le plan de chacune d'elles.

Prenons G = 2 000 000 000 , T, = 1 334 000 (S 62).

(Dq ne tft«).

PP a 6 = 0«,20 , c = p«,10 ;

d'où (fprin. p. 3W) ,

Lim. Ml « -^ To « .-!^it^^.'jfy!»ÎL i 334 qoo = 623*x«r',86.

On peut dçnc appliquer une force de 861»,93 au bout de chaque bras de levier de 1 mètre.

Cette force serait double ai L'on adoptaij; pour T» un nombre deux fois plus grand, et qui ne serait pourtant que le huitième de Feffort produisant rupture immédiate (*).

Là torsion èqu^elles détermineront, d'après la formule

«sera 6 « 0,008337.

Et Pangle de torsion , sur 5 mètres de largeur, défgpniQé p^

T » 2<>«Pf*«,39.

Le plus grand glissement, qui a lieu aux extrémités du petit axe c, a pour valeur (S &0 p. 36o).

c'est-à-dire, comme cela Rêvait être, la limite adoptée.

Quant à la connaissance purement curieuse du gauchissement, sa formule n!est pas à la récapinilation du $ 40. Mais on trouve au S 21, p. 276, pour l'ordonnée longitudinale de la surface courbe des sections, ou pour la distance d'un de leurs points, dont les coordonnées transversales sont u^ i?, à leur plan primitif, qui est perpendiculaire à l'axe du cylindre et qui passe par le centre

(t) Leçons de M. Morln , 9* édU.,4857, no394, p. 461).

USU SECT. 1. BÊSISTAMCB DES SOUDES.

(Du n* tfte).

expression dont la plus grande valeur, pour chaque rayon vecteur déterminé par - = constante, est évidemment sur le contour elliptique, en sorte que le maximum numérique de z répond aux va-

leurs de u rendant nulle la différentielle dewz^u. ^\/ 1— ^, c'est-à-dire aux points

V/5-=*sV'-'l'=*ÎVl-

c*est-à-dire aux quatre intersections du contour elliptique avec les diagonales du rectangle circonscrit. Et la valeur Zm de 2 correspondante est

Le double de Zn, donne le gauchissement qu'on cherche. Sa grandeur est donc ;