M^.||;=|^ = o-ét,oo
Cette différence de niveau d^un quarantième de millimètre entre le point le plus haut et le point le plus bas de chaque section primitivement plane et horizontale, est imperceptible. Elle influe pourtant d'une manièrç considérable sur la torsion 0 qui, si la section restait plane, serait déterminée , pour même moment M^ = 523,86,
par l'équation 623,86 = GÔ(I-f r)=:G9 2^ {6« + c*), qui donne-
rait 6 = 0,005336 au lieu de 0,008337, ou un angle de torsion de 1^««^,528 seulement au lieu de 2^*f'**,39.
Quatrième exemple. Pièce rectangulaire en bois^ â^inégale c<mr texture dans les sens transversaux* -^Soit une pièce en bois, d'un équarrissage de 0",2/li sur 0",i6 et d'une longueur de 9 mètres.
On demande, i*" quelles forces faisant couple, et agissant au moyen de deux bras de levier de 1 mètre à une de ses extrémités, la feront tourner de 2 degrés devant l'autre qui est encastrée. 2* Quelle est la limite à imposer aux forces la sollicitant ainsi à la torsion.
ART. y. TORSION AVEC FLEXION. 485
(Da n* f «•).
Solution. £a faisant a = 9, 6 = 0,2/i, c = 0,16, Tangle x = 2, le calcul serait facile par les formules (p. 358,361)
^ = Im^ M, = e.pO6c* = 0. I^'f ^^, etLim. M,== ^ 6c«T.
en prenant le coefficient {JLr= 0,19576 (table, p. 362) ou en se
servant du coefficient moins variable \>f = 0,84830 ; puis faisant
-^ = 0,23097; et en adoptant , par exemple :
G = /ii50 000 000 , Ta = 300 000 ,
ce qui donnerait 6 = 0,0038785, M, = 336*>^«, LîmMi = û25*xm,7.
Mais ces formules exigent que la contexture du bois soit la même dans tous les sens perpendiculaires aux fibres.
Or je suppose qu'on ait reconnu les résistances spécifiques plus fortes dans le sens de la plus petite dimension , et que la comparaison de diverses expériences (S 62) faites avec des bois de même provenance pris dans lahnême situation par rapport à Taxe des arbres dont on les extrait , porte à adopter, au lieu des valeurs de G et de T, ci-dessus :
G' = 400 000 000 , T'o = 250 000 (dans le sens de b) ; G'' = 500 000 000 , T"o = 350 000 (dans le sens de c).
On se servira, toujours avec 0=0,0038785, des formules (p. 361) :
M, = ixG'e6c^=lx'3jî^.
Lim.Mj = laplu8peUledes2înantitcs^ 6c*T'o et -^ ^j^;. 5*cT"..
La table p. 362 fournit par Jntercalation entre les lignes 1,60 et 1,75 fx= 0,20915, fx'= 0,85135, ?i^ =0,23671, ^^ = 0,17788.
T il
On a donc d'abord, pour le moment capable de produire la rotation de deux degrés,
M, = 0,20915. 400000 000(0,24)(0,16)» = 82241 8 = 319*xiiié.
486 SëCT. 1. RÊSlSTkMGE DES SOLlOEi.
(DU n* tft«).
Si Ton n*avait t)as sous la main là table des valeurs du coêlHcient a ni celles du nombre X qui sert à le calculer par Texprêssion
(1= i — X ~ y ^, , mais si l'on se souvenait <}ue le nombre moins
variable \l est d*environ 0»85, on prendrait
M - A ft»i ^ (0,24)» (0.16)* ; . • ^y 3
^* = ^'^^ • '3 ' ("o;24? — JÔM^' " '
400 "^ 5od
ce qui ne diffère pas sensiblement de la valeur précédente.
On aurait pu encore se servir, pour obtenir le coefficient |a de la première expression |xG'6c'6, de la formule empirique
qui, pour ^^T^ = "?;r = 0,59628 donne ii= 0,20938, ou sensiblement la même chose que Tintercalation linéaire entré les deux lignes 1,60 et 1,75 de la table.
On a, enfin, pour la limite à imposer au moment des forces à appliquer à ce prisme d*égale contexture
Lim. M, = la pin« petite \ 0,23671. 0,24(0,16)* . 250 OÔO t^ 363*x»»;6 des deni quantités j «i 0,17788(0,24)'. 0,16 . 350 000 = 573*x»,8.
On prendra par conséquent Limite de M| = 363*><m,6. Les points dangereux sont aux milieux des grands côtés, ainsi qu'il était facile de le prévoir. Mais ils auraient été transportés aux milieux des petits côtés s'ils eussent moins différé des grands, et si T'', eût été moindre que T'o.
GiRQUiÈME EXEMPLE. Ou demande dé calculer la torsion d'une pièce prismatique en fonte ayant pour base un carré évidé par quatre quarts de cercle dont les centres sont à ses angles.
Ce calcul ne pourrait se faire avec une grande approximation qu'en cherchant par t&tonnement, comme il est dit au S 38,. une courbe du douzième ou plutôt clu seizième degré, etc.,. dç>pt l'équation en u, V soit comprise dans la forme générale du $ 10, et dont le contour se rapproche beaucoup de celui de la section projiôs^.
ART. V^ TÔRSiON AVEC FLEXION. 487
(Du D« f&e).
On élude cette longue recJierQhe en calculant simplement, comme on a dit au S /iO, p. 365-366, ràirë «d et le moment d'inertie t>olaifé
J de la section , et en arbitrant, par comparaison aux chiffres de la petite table p. 366 , quels sont les coefficients par lesquels il faut multiplier Goî'O pour avoir Mj, et ToV^ï^ pour avoir Lim. M^.
Je supposé donc qu^on adot>te cette manière, bien qu'un peu conjecturale, d'arriver à la solution de la question posée.
Soient b le côté du carré circonscrit à la section donnée, et r le rayon des quatre quarts de cercle retranchés; on trouvera
Par exemple si r=^6, ou si les bouts rectiiignes du croisillon
sont du quart de sa largeur médiane b, Ton aura
(1) En effet, le moment d'inertie du quart de cercle EAF autour de son rayon Ea
est (n^ 84) •? -r— . Son moment italique par rapport au même 4 4
r.. n i.f J f "" • , V Ç^ • i'— tt' r^
rayon est (fig. ci-cotilre) \ vdu- = \ du, = — ; ce
Jq ^ Jo 2 3 .
qui donne, en dirisant par l'aire -^ icr', -—pour la distance
I 4 Sic
^ ^ ^ ^ de 8oa, cpQtre de gMvi^è à .ce rayop EA^ Par con^équ^nt,
d'après le ihéorëme connu (§ i note n° 84) qui déduit un moment d'ioerlle d'une
aire .autour.^dft^ne .^rojie du moment d'inertie autour, d'iinp parallèle M/çêp,( d^
centre ne gravita, ou réciproquement^ on aura pour le moment d'inertie du même
quart de cercle EAF d'abord par rapport à une parallèle à EA passant par son
centre de gravité,
puis, par rapport i une médiane BB' de la section, cette même quantité au(^
' ' «Il -w» /i ' 4r\« • -î. •
mentée de-r- [^ — oit^ 9^^ ^"^* ^° réduisant : 4 \3 oie/
met* bt* wr*
En quadruplant, on a ce qu'il faut retrancher du moment d'inertie -* du
carré c^rppuiscKit çpyir iTpir celui fe li^ sect^çu autpur d'une de ces médianes ; ^t, en doublant lé reste, on a bien la valeur que nous avons posée pour le moment polaire J.
U«r» .. '' J '. Vf i
kW SECT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
(Du n* f ft«).
..ri 9 / 9 . 8i M 226,65.^ *.,/, 9jc\ 36,7257.,
Ce rapport 0,1776 tombe, dans la partie supérieare de la table p. 366, relative aux sections ayant leurs moments dMnertie égaux autour des diverses droites tirées de leur centre de gravité, entre 0,1692 et 0,192Zi qui sont relatifs au carré à angles aigus et au triangle équilatéral. En intercalant par parties proportionnelles entre les
valeurs de -^ et iHi-J relatives aux mêmes sections, on pren-
drait, pour celle qui nous occupe,
Ml = 0,1258 Gu)«6, Lim . Mj = 0,1859 T. v/«».
Mais, pour éviter les risques résultant de ce que ce mode d*évaluation a d'incertain, il sera prudent de prendre seulement
Ml = 0,11 G(o«e; Lim. Mi= 0,!6T.vP.
Supposons, par exemple, que la pièce soit en fonte et ait 0",10=:& de largeur et d'épaisseur, on aura a> =0,5682 6'= 0,005583, co>=: 0 , 000 031 160, V^(o'= 0,000 /ii7 1 . D*oû , si Ton fait T.= 1 33i^ 000»
Limite M^ = 89*x"»,03.
En attribuant au moment cette valeur, et à G la valeur
2000000 000, on trouvera ô = —^!L- = ^^ ==0,0130, D'où,
0,11 Gto' DoOO,2
si la longueur a = 5 mètres,
L'angle de torsion x =: --^ a6 =57,296a6 = 3*,73*
2îï
Si cette pièce était ronde, on aurait y/tù* = ogo^^iL au lieu de ^ .'\ Il faudrait y employer moins de matière dans la propor-
0,loTo
Aussi , Ton suppose que la pièce, objet du calcul qu'on vient de faire, avait été coulée pour une autre destination; ou bien qu'il ne
(Du n* i4«).
s'agit ici que des parties qui joignent deux pièces tournantes , au moyen d'un manchon à trèfle.
On pourrait appliquer le même procédé , en se servant du bas de la même table de la p. 366, pour déterminer approximativement la résistance à la torsion d'un rail de chemin de fer.
% 65. Suite des applications numériques. Flexion et torsion simultanées.
Sixième exemple. On demande de déterminer la valeur à donner au coefficient T. d'après une expérience de rupture d'une pièce de fonte par torsion et flexion, en supposant qu'il faille limiter les charges permanente3 au cinquième de celles qui font rompre immédiatement.
Soit, comme dans les expériences faites à Mulhouse 0), un cylyndre horizontal en fonte de i",50 de longueur et 0",iO de diamètre, encastré à une extrémité et appuyé sûr un palier proche de lautre, où il est sollicité par un levier perpendiculaire et horizontal de 2 mètres de longueur, au bout duquel est isuspendu un plateau portant un poids P; le poids du levier et du plateau faisant ensemble 240 kilogrammes, dont le centre de gravité est à 0",80* de l'axe du cylindre.
Le moment de ces poids autour du même axe, et tendant à tordre, sera 2PH-192*.
Mais ils tendront, en outre, à fléchir avec un bras de levier égal à la distance, au palier, du point où le levier de 2 mètres est implanté dans la tête carrée igoutée au cylindre. Supposons cette distance de 0",25ii Ce deuxième moment, qui fait fléchir, sera 0,25 (P+2/iO).
En mettant pour P le poids qui a fait rompre et qui était moyennement de 2000^, et en réduisant les deux moments au i/5, il faut prendre, r étant le rayon du cylindre,
M, = ~ = 838»x»,4, M=?2?^^^ = 112»x«; et r = 0,06.
La formule pour déterminer T« sera (équation du $ Ul, en faisant Q=0, t7=r, ou bien, i" des équations récapitulées au $ 58) :
0) H. MorlD, Ltftmênur la tétistawie deêmaUriaux, S' édit., n*3S5^ p.458-459.
ii90 SEGT. I. RÉS13TAl«Cfi DES SOUDES.
(Du D« f M().
uOu lo= '.^, .«\r ■ 1^— ■ . ■ -^
Il faut y mettre ^our R» la plus grande tension des fibres d^ne pièce de fonte fléchie par une ciiarge cinq fois moindre qiië celle qui fait rompre par flexion seule. Or on trouve moyennement, en appliquant les formules de flexion jusqu'à cettech^r^, R=dO 000000. Faisons donc dans notre formule
Ro = 6o6booè.
Et faisons-^ aussi iq^ =i//i sans nous inquiéter beaucoup de sa vraie valeur dont la différence avec l/A sera fort peu influente; on aura
t.= 6000000.1676.fr ^^^,,,^^^^±Mé,. ^/(2356— ûi8)(2356 +112)
On aurait pu» si Ton regarde la torsion comme plus daiij^reusQ que U^ flexion pour méime proportion entre l'effort supporté et Peffort qui romprait, réduire plus le moment de torsion que le mopiept de flexion; prendre par exemple pour M^ le i/6 et pour M je i//ijde§ moments qui agissaient réeljement pour tordre ôt pour fléchir à l'instant où la rupture s'est opérée. On aurait eu ainsi
et k; == ràl)IJÔO 000 = 7500 ôbo; valeur souvent adoptée pour là fonte. Il en serait résulté
T, = ^5006do:i398 ^ ^ ^^^^ ^^^^5,5^ ^ 335 ,0^^^
V^(29/i5 — 560) (2945 + lûO)
Mais on ne voit pas de raison pour faire entre la flexion eC la torsion une t)àréillê différence quant au danger d'altération de la contexturè.'
AHT; y. TOBSIÔN kvBCÎ ^LEXION. ftôl
(Ou D« tft«).
Si Foxi n'avait pas tenu compte de la flexion. oq aurait eu T. = 4270000 quand on réduit M^ au i/û, et !,= 3560000 quand on réduit M| au 1/6.
SEPTiiMB EXEMPLE. Arbre de transmission de mouvement, rond et en fonte. — Soit l'arbre tournant horizontal a'a'' considéré déjà au
S 57, et supposé (l'abord eh fonte»
^ à section circulaire, de 5 mètres
de longueur, sur lequel doivent être montées, à 1 mètre de dis- \^ tance de dhaque extrémité, deux rouea d*engrenage ou deux poulies de courroie pesant .200^ et 100^; la seconde d'un diamètre de 1 mètre sur laquelle s'exerce tangentiellement une résistance de 2000 "*; et là première, d'un diamètre plus grand, en sorte que la puissance qui y est appliquée, aussi tangentiellement, n'est, y compris ce qui est nécessaire pour vaincre les frottements , que iiOO' : ces deux forces agissant dans des directions qui font, de part et d'autre du plan vertical passant par l'axe , des angles de 45 degrés.
On demande le diamètre constani: ou variable à donner à l'arbre pour résister aux efforts combinés de flexion et dé torsion auxquels il est soumis.
Solution. 11 faut faire dans les formules du S 57 :
P=HOO, V=io6o, 0=200, o'=10(j, a =5, a' = a"=l, r' = 0,50; C0Sa = C0Sa'=^ v^2, COS{a + a') = 0.
Soient le rayon du deuxième tourillon r^' = 0",05, le coefficient de son frottement /= 0",iO.
Pour la fonte, preno/is R. = 7 500 000 et i, = 2 000 000 , quoique ce dernier nombre paraisse relativement faible.
Et attribuons provisoirement à l'arbre dont la grosseur est encore inconnue un poids Û = 500 kil.
On aura pour la résultante H ($ 5t} des forces pressant lé deuxième tourillon , dont nous avons donné l'expression ,
/i92 teCT. 1. BÊSISTÀNCH DES SOUDES.
(Dtt n* tft«).
Ott R =: 1887 kiL Et le moment de torsion sera
M, = P'r' + fj—^ K = 1000 + 0,005» = 1009 *x«.
yi +/^
Si rarbre doit être cylindrique , il faut adopter pour le moment de flexion M la plus grande des valeurs que prend Texpression
M = v/m*+ m'* + ..•.. que nous en avons donnés au S 67 en faisant successivement x = a' = 1 et x = a — a" = û dans les expressions des moments composants m, m', mf' qui y entrent Comme ces deux
valeurs sont v^898 596 et v/2/i08 895, il faut prendre la seconde. Donc
M = 1552*xm.
On aurait en conséquence pour le rayon de Tarbre : 1" S'il n*était soumis qu'à la flexion
r'» = ^ = 0,000 263 A8 (d'où r' = 0",06û) ; 2* S'il n'était soumis qu'à la torsion
r"* = iS^ = 0,000 32 022 (d'où r" = 0,068). Donc'9 cube du rayon à lui donner
d'où
r = 0'»*S07713. Diamètre 0-,1543.
Le poids de l'arbre d'un pareil rayon sera 729 kilogrammes. La substitution de ce nombre à 500 qu^on a pris provisoirement n'aura pas assez d'influence pour obliger à recommencer le calcul.
Si , pour économiser la matière , on veut rendre l'arbre d'égale résistance en faisant varier son rayon r, on aura, x étant la distance, au premier tourillon, de chaque section transversale de la partie comprise entre les deux roues :
(Du n* f fttt).
OU iOOOOOO)cr» = j+y Y + ^^^*^^*»
M représentant (en faisant toujours n = 500, vu le moindre volume de Tarbre non cylindrique) la quantité variable
M = V^l 561 127 — 961 llOx + 310351x» - l/i272x» + 2500a:*.
dont les valeurs pour x == 1 2 .3 à
sont 9ii7M 908,92 113/|,95 1552,06
qui donnent 1000 000 nr* = 12/i6,96 1235,29 130û,59 ihliU.Zi
d'où r = 0-,0735 0,0733 0,0476 0,0772
On aurait eu des rayons plus différents entre eux si, dans les suppositions sur les valeurs relatives de R, et T., on avait mieux suivi la proportion qu'indiquent les expériences de rupture immédiate (S précédent) ; ou si , conformément à la théorie et en suppo- 9ant la matière d'égale contexture en tous sens» on avait pris pour T« les A/5 de R«. En eiTet , soit
R, = 5000000, T.=s4000000; on aurait eu
10000007:r«=^+ yY + 25û520,
ce qui , toigours la môme expression de M en x, aurait donné :
pour X := 1 2 3 4
1000 000 3ir*= 976,66 951,71 1099,80 1391,22 d'où r= 0",0677 0,0672 0,0705 0,0762.
HuiTiivc EXEMPLE. Même arbre toumant ; mais carré et en bois. — Supposons les mêmes données qu'à l'exemple précédent, mais les forces toutes verticales. On aura
P=:1100, P' = 2000, w=200, a' = 100, a = 5, a' = a"=l, r'=^0,50, r" = 0,05, C03a=C0Sa' = C0S(a + a') = l, /= 0,1.
Les forces se composent par simple addition et il en est de môme des moments. Donc
li% SEGT. L RÉSISTANCE DES SOUDBS.
(Da n*fft«].
K = P 2^ + P' SLzHl 4- ti ?! 4. tr' 211?- + 5 = 220 + J600 4- 60 + a a " a ' '■ a ■ 2
Ml = 2Q0 X 0,50 + p.005 x 2190 = J0ii*xiii;
M = 7n-f wi' +m''dont les deux valeurs pour a;=a'=l et x= a— a'' = /Il sont, en faisant provisoirement le poids de l'arbre
n = /iooS
iiOO. i^ + 2000 ill + 200 ^ + iOO ^ - 200 ^ = 1300
1100 . i^ + aOûoi^^ + 200 i^ + iOO ^^ — 200 ^ = 1780.
Donc il faut prendre M=17S0*x».
On pr^nd ordinairement 0) , pour }e bois de sapin :
Gohés" loBR** pennaneate R«=i: 600 000 ; AdkétUm oa cohés. tnns?. T«= «ht* 800 000.
Avec ces valeurs de Eo et T, on a
d'où il suit, d'après ce qa'op a 4émontré au S 55 et redit aux %$ 57, 58, qu'il faut calculer Téquarrissage pour la position où P.arbre est sollicité à fléchir parallèlement à deux côtés dfis sections^ ce qui met le point dangereux au milieu d'un autre côté. Il en résulte
6" =6 ^ = 0,01780 (6'= 0,2611, flexion seule) , Si ronfait ' '
6"»= ô^n."^^'^^^^fo^^'^^^^^ (6" = 0,2530, to«ion «mie)
qu'on a pour déterminer le côté (> du prisme fléchi et tordu
6»=|6'' + y/(| 6'AV(6''«)* = 0,026318,
d'où
(«) K. Morin, n» 934, p. 3S3, et ii« 368, p. 464.
. I ' • ■ • M. ' ri X !)ii.\
(no n* 156).
Mais, avant d'adopter cette valeur pour le côté &, il est bon de, considérer que la pièce, tordue toujours dans le àiême sens)* est fléchie successivement dans différents sens à chaque tour qu^ellé fait sur son axe, et que cela peut être une cause de prompte diminution de sa résistance à la flexion. Or je suppose qie par ce motif on réduise Ro aux cinq sixièmes âe sa valeur ci-déssiày' ou qu'on
prenne
' Ro = 600 000, Tp = dOOOOO ;
on aura alors ^< 1,037^, et il faudra calculer Téquanissage pour la position où Tarbre est sollicité k fléchir dans le plan des
prendre
d'où b = 0-,3il6.
On volt, fMi reste, qu'ij est i. propos, pour o})f»n|r }a Jj^lftagce convenable, ^e conserver son équarrissa^^e à. une pi^C(^ j^^f^^S î\ flécfiie, en abat);ant seulement les arêtes vives dans les }|ff}i]^ des
troncatures ( S 8 note n" 113) qui augmentent g ou la résistance
théorique à la flexion, et sans aller jusqu'à changer le carré en un cercle ou un octogone régulier. On aurait évidemment plus dé force si Tarbre dont on tire la pièce n^était pas équarri (note du n«118,p. t26).
S 60. Suite des applications numériques, flexion et torsion avec extension ou compression longitudinale.
Neuvième exemple. Une pièce en ch^ne horizontale et rectangulaire ayant une portée 0=8"**'', une hauteur b = O'ydO et une largeur c=0",25 sert de tirant à une ferme de charpen|» et épç[>uve une tension longitudinale de 12 000^. On veut susprendre un poids h son milieu, mais à une distance horixoptale A; = 2'",^0 de son axe. On demande la limite à imposer à ce poids P.
(Du n» 156).
SoltUioTu On suppose qu^aux deux bouts la pièce horizontale est encastrée quant à la torsion mais non quant à la flexion, c'est-àdire qu'elle ne peut pas tourner sur son axe, mais que la tangente à cet axe peut s'incliner librement comme si la pièce n'était que posée sur ses deux appuis. Le moment de torsion m' = m*' {$ 59) de chaque moitié n'est que le 1/2 du moment du poids P autour de
l'axe. Le moment de flexion à droite et à gauche du milieu n'est que
celui d'une des réactions verticales ^ des appuis, agissant avec un
bras de levier ^ , car nous supposons d*abord que la traction hori^
zontale Q agit dans Taxe de la pièce , et nous négligeons le moment qu^elle donnera avec un bras de levier égal & la petite flèche que prendra cet axe.
En sorte que
Vu la faible proportion de la différence (1/6) entre les côtés 6 et c, le point dangereux de cette pièce qui se trouve sollicitée de champ ou parallèlement aux plus grands côtés b^ est au milieu B d'up petit côté c , et il n'y a lieu de considérer ici que la première des denx équations qui sont à poser toutes deux lorsque ce point peut se trouver aussi quelque part sur les grands côtés ( entre le milieu et un angle. On a donc, à la limite, l'équation suivante (revenant à la
première 1 = ^^^^ ( ] + ^dn (2*) du g 53, p. 435, avec les
signes supérieurs de Q et de M^O •
ou ou
. = (R.6«c - 06)(Ro6*c + \Qb),
ART. V. TORSION AVEC FLEXION^ ix91
(Da B* 156). •
qui devient , en faisant ^i = 5 > ^ 7107 = -^^ (P- 362), Ar = 2,û,
a = 8, 6 = 0,3, c = 0,26, Q = i2000, enfin , R, = 600 000 , T". = /iOO 000 :
120,3/1 P* + 1^3100? ^ 9900 X 1^09, d'où P = 646'.
Si nous supposons, en second lieu, que la traction longitudi^ nale Q agit, par des embrevements d'arbalétriers , A une distance
de r«e de la pièce égale aux 6/6 de la demi-épaisseur |= 0,16 en y
comprenant approximativement la flèche que cet axe prend au milieu, comme son moment tendra à faire tourner la demi-pièce en sens contraire du poids P, le moment total de flexion sera
M=, ou — — -0-« ou -Ox— -7- ' fx 6^2* 6^2 A
selon que le moment de P remportera sur celui de Q ou réciproquement, car le moment de flexion M'' doit toujours entrer positivement dans les formules.
Gomme on ne sait pas d'avance lequel de ces deux moments op-
Pa 5 6 posés -p et - Q jr . dont le second est seul connu, surpassera l'autre, a o J
ou si la pièce fléchie tournera sa convexité en bas ou en haut, il faudra essayer successivement les deux équations résultant de la substitution de ces deux expressions de M'' égales au signe près^ ou
(«•6*c+ |06-i,6Pa) (R.6^c-|r,,Q6+1.5r,,Pa) = (g^,. ^^y,
et (R,6*c—^Q6+l,6Pa^ f R,6*c+ ^TiiQ6— l.Bij^Pa^ = idem^
et prendre pqur P la solution donnée par la première ou par la deuxième selon qu'elle rendra positive la première ou la seconde des deux expressions de M''; et la plus petite des deux solutions si toutes deux satisfont à la condition de M'' positif. Gomme ces équations ne diffèrent de celle qu'on a posée tout à l'heure qu'en ce que Q y est
remplacé par — - Q et par ^ Q, et <jlie le signe de P est changé dans la deuxième^ elles reviennent à
kW SEÇT. I. BÉSISTANGV OU SOUINUI.
(Da n« 156). «
iJ0,3/iP«+ 89100 P = i««00 X i2150, d'où P = J059*,9, 120,34 F* — 197400 P = 900x46650. d'où Pr=1710S6.
Pa 5 6
La première valeur trouvée pour P rend positif M" = ^ — ^Q^-
= 2P -^ 1500 ; la seconde rend négatif ce même moment qui est M'^ ss; Rs- OP 4- 4600 dans rbypothèsa pour laquelle cette dauxiëme équation est p^sée; en sorte que s'est la pramière solqtion qui eut être prise. Le moment du poids P remporte sur le mopient de U traction longitudinale Q, et Taxe de la pièce tournera sa convexité en h9ê. On peut donc élevev jusqu'à
P = 1060 kil.
le poids. capable d'être supporté par la pièce, au bout d'un levier horizontal de ^"«ftO ipiplanté à sop pailiep, qnand la traction horizontale agit, par des embrevements, à une distance verticale de 0^125 an-dessus de Taxe de la pièce à aussi son milieu.
La flèche de courbure prise par cette pièce sous le poids P sera (n** 91) en faisant le coefficient d'élasticité £ = 200 000 000
Pa* P a» ^«n-^-e
elle peut être ceganiée comme implicitement cemprise daafi 1a bras de levier 0,125 que neus avons attribué à la traatîan faorî<ontale Q et qui, s^BS cela, était pin pen tisop fort Cette approximatiOB sofilt et il n'y a pas lieu de recourir aux méthodes qu'on verra exposées ^ la quatriè^p séetfen, a^ I¥, n*^ 415-417* pour détenniner la flexion d'une pièce sollicitée à \^ fois transversalement et longîtudinalement
DIXIÈME KXUHPLE. Op demande ^ quel équarrissage on peut réduife la même pièce^ en supposait toujours le^ côtés (| c d^ns le rapport de 6 à 5, si le pofds P à supporter n'eç^ (j[ue 800''^.
Sohtion» L'éqijiat{pi^ est \^ piême , mais ï^ peut être fésplu^ gujs par t&tonnemen|, car ripconpuis ^t l'pnjd d^ de[||ç ^djj^ençjûpBS, e par exemple , et s'y trouve engagée ,au sixième degré. On a, en
faisant ^ ^ f ^ dans cette équation laissée sous sa première forme
▲HT. T. TOBSION ATEG FLEXION. &99
et divisait les deux ffienbres par (8é4)9 (
Sn essayant c = 0,22 le i*' membre est — 11,609 Donc (commencement da S 8A), on a
OU
ONziiME EXKMPLK. Un poteau carré en ebéne de h oiètiBes de hauteur doit supporter une presjjipn longitudinale Q = 94,000 kilogrammes dont la résultante est dirigée sujvant son axe, et il doit être soumis à une force horizontale P = 1000^, agissant au bout d*un bras de levier k &= 2 mètres implanté à son milieu perpendiculairement à une de ses faces. Queléquarrissage doit-on lui donner ?
Solution. Le moment de torsion n'est, comme à l'exemple précéjieQl:, qi^e 1^ moitié du moipe^t r/f de 1^ fovçe borJ7fîp^le| vp qi^e les jdjBux extréipités di^ ppte^i^ sont ei^p^c^xées de tourner, et le
moment de flexion est oelui des réactions horizontales ^ des appuis supérieur et inférieur. On a (}onç ^u piilieu de la fiauteur a :
Pa Pk
M'= V^ = 1000*xfl», M,= ~- = 1000*x».
Le plan de flexion est parallèle h une médiane ; et, yi^ q\^ f) == c^ on peut regarder la pièce comme fléchie h plat, en sorte quMl y a lieu de prendre Téquation du (â^) ^u $ 63, p à^y ou bien celles du $ 58, p. /iô8, qu'on en tire en faisant disparaître le radical. Et comme on ne sait pas encore, vu la compression que la force longitudinale Q ajoute à celles que produit la flexion du c6té qui devient concave , si le point dangereux sera dé ce côté ou du côté qui devient convexe, on
(Du D* 156).
est encore obligé , dans ce problème , de considérer (S 58) deux
c b équations résultant des hypothèses successives v=z-z=z^^ eti>=
Ces deux équations sont comprises dans
(R,6c«+Qc=î:6M') (R,6c«-ntQc±6»i, M') = (^ R. ^) ou
(lL6«+06^ I Pa) (R.6»-^:tiP«)=(ê;47«'^y qui devient en faisant
Q = 20 000, P = 1000, a = A, A; = 3, R. = 600 000, T. = AOO 000, et multipliant par 1 000 000 :
[(106)» -^ (lo6):+:iol ["(lOft)*— jî(106) ±2,5] — 144,2257 =
De.la première des deux équations données par les doubles signes
on tire 6 = 0,2342;
De la seconde 6 = 0,2145 ;
G*est une preuve que, d*après les données, le danger de rupture est plus fort du côté convexe que du côté concave de la pièce fléchie. On pouvait le reconnaître par la condition (SS 53 ou 58)
qui, pour ^ii = V*» ^ = (^20817 ^®^®'**» ®° divisant par I 000 000 000 000
condition qui est satisfaite. Il faut donc prendre pour équarrissage
iS7. La section transversale étant un cercle dont r est le rayon, on a /"(^p) = r, et la formule précédente (p. 539) donne
PR=-r •*'fT'=® -^ d'où 6 = ;:;.. —;.(*).
188. La section transversale étant un carré dont le côté est b (fig. i3), on doit chercher à part Texpression de la résistance k la torsion d% Tun des huit angles égaux à ABC. L'équation
de AB est r = . On a d'ailleurs
2cos<p
j ^cos*<p 3 cos'<p 3 cos<p
Sit/4 i 4
d^. — r— = -T. Ainsi le moment de la 0 COS f 3
résistance du triangle ABC est — •7-t^-ô> ®* P*^ consé-
u 4.lo o
quent Ton a pour le moment de la résistance du carre
d'où
P 6ûR
Le moment de la résistance du carré est à celui du cercle in* scrit dans le rapport de 1 à -^ (**).
