Quant au cas d'une section rectangulaire, des re

(*) Nous reproduisons scrupuleusement les n** 157 à 160 de Navier quoiqu'ils soient rendus inutiles par notre note du n* 156, qui les complète et les rectifle.

(***) Nous avons obtenu bien plus simplement, au $ 1 de la note du n** 156» le moment d'inertie polaire J =:: Vr'dto == 7 du carré; il est

cherches fondées sur des notions que nous ne pouvons exposer ont montré que Thypothèse précédente, qui consiste à supposer les résistances qui ont Heu dans chaque élément de la secticm transversale proportionnelles aux distancés de ces éléments au centre de cette section, n'était pas ici exactement conforme aux effets naturels. On doit employer dans ce cas une méthode plus exacte, d'après laquelle on trouve pour l'expression du moment de résistance à la iorsion d'une pièce rectangulaire homogène dont b, c représentent la largeur et répaisseor (a)

égal à la somine I "1^ i' = !U dès moiAents (n* Si), autour des deux médianes.

Et nou^l atené riioUtré au $ 25 de la même note (Toy. aussi { tt) que le moment de torsion M^ (PR de Navier) du prisme à base carrée

n'est que les 6,84346 du produit GJO , Ici dêslgtlé ptf G -^ ^fidos

avons appelé 6 ce qui est ici appelé -1 . Bn sorte qde le Eôômënt de

la résistance élastique du caité est à celui du cercle inscrit dans le

dff rapport de 0,8/ii346 ^ r^ = 0,589 ou de 1 à 0,710 et non de 1 à 0|§89.

(a) Tioie de Navier (iëSd). Cette expression a été donnée par Ml Gauchjr, Exercices de mathématiques, 4* année, p. 59.

Les équations différentielles qui expriment les conditions deTéquIlibre et du mouvement des éorps solides, èi qui ^otit la hdM êês recherches dont il s'agit, ont été données en premier lieu par l'auteur, pour le cas d*Bn corps homogène, dans un mémoire présenté en 1821 à l'Académie des sciences, et imprimé dans le tome VII de ses Mémoires. Cette matière a été depuis le sujet de recherches trëséteodues « qui âOnt (sontènues principalement dans un mémoire de IKM. Lamé et Clapeyron, présenté k TAcadémie des Sciences en 1828 et Imprimé dans le Journal de mathématiques de M. €relle^ dans un mémoire de M. Poisson imprimé dans le tome VIII des Mémoires de l'Acadétaie^ et dMs l&â BH^éitàës de nittthditMttqUtt 4tf tt. dauchy.

Nous remarquerons qqé toutes les formules présentées dans les

d'où

itt. i. TOiiSidN. 501

articles précédents sont conformes aux résultats qui ont été obtenus au moyen de ces recherches nouvelles. Les corps étant homogènes et Teffort dû à la pression atmosphérique pouvant être négligé par rapport aux efforts auxquels les corps sont exposés , on trouvera pour la constante désignée dans le n* 77 par E la même valeur numérique» soit que Ton cherche à la déterminer par des expériences

directes faites en tirant une piéoe prismatique dans le sens de sa

te longueur (auquel cas on a E = ^ » P dé^signant le poids qui tend la

pièce, û Taire de la section transversale, S Rallongement divisé par la longueur primitive) ; soft (}u'on détermine cette constante E en faisant fléchir tranversàlement tkHe pièce rectangulaire ou circulaire, conformément à ce qui a été dit dans les n** 91 et suivants. Quant à la constante 6 qui entre dans les formules relatives à la torsion, elle est (en supposant toujours les cort>s homogèties et né^ gligeant Teffet de la pression atmosphérique qui s'exerce à leur

2E surface) liée à la constante E par la relation 6 = -g^

^ Voyez toujours la note du n* i66. il y a ét^ dit que Ja formule dtéè de M. Cauchy pour le prisme rectangle a besoin d'être multipliée ptt tin boèfflciënt de correction fx' ($ /lO, p. 362) égal à 0,8/i346

lorsque & = c et croissant quand - augmente en sorte que (&' 3= 1 et

la formulé de M. Cauchy est exacte quand Tun des côtés est trèsgrand par rapport à l'autre.

Par corps solides homoffènes^ Navier entend, dana sa note (a), ceux qui sont non-seulement d*égale nature en tous leurs points , mais enedfe ffégaU élasticiii en iaué àeris à èhàqîie pdiiiU ou, dé

que M. Cauchy appelle isotrope. Mous avons vu que ce n'est qu'à

J cette dernière condition qu'on a le coefiScient G =£ s E.

50& SECT. I. BËSISTAMCB DBS SOUDIS SOLIDBS.

160. Les résultats des numéros précédents serviront à calculer Tangle de torsion affecté par un corps prismatique sous un effort donné, lorsque la valeur de la constante G aura été déterminée par des expériences préliminaires. Ces expériences consistent à observer simultanément l'angle de torsion d'un corpS; le poids qui produit la torsion, et le bras de levier au bout duquel agit ce poids. La valeur de 6 se calcule par les formules des n""* 456 et suivants (à), qui donnent^ si le corps est rond

icr*.6' si le corps est carré

et s'il est rectangulaire.

év»e

(a) Note de Navier. Il est sans doute superfln de remarquer que dans toutes ces formules, on doit mettre pour 0 le nombre expri* mant la longueur de Tare correspondant à Tangle de torsion dans le cercle dont le rayon est Tunîté. Par conséquent si Tangle dont 11 s'agit est exprimé en degrés, il faut multiplier le nombre de degrés

par 7^ lorsque ce sont des degrés sexagésimaux; et pu*^ lorsque

ce sont des degrés centésimaux.

(*) Voyez la note du n* précédent, 159, pour rappeler que de ces trois valeurs de G, la première seule, PR.-^ . ? est exacte.

(**) Les expériences que Navier cite dans ces n** 161 à 163 seront rapportées avec beaucoup d'autres, au Complément des art. I à VI.

ART. VI. RUrrURE PAR TORSION. 50S