ART. TT. RUPTURB PAR TORSION
6 et c étant les côtés de la section transversale. On va exposer les expériences dont la valeur de la constante T peut être déduite.
(*) Les expériences de rupture que Tauteur cite dans ces n*" 169 à 172 seront rapportées au complémetii des articles I à VI.
AfWHIMCIS.
(ii«« 1 à 172), section I (').
S i. Objet , et Sommaires. — Depuis que ce qui précède est imprimé, nous avons été assez heureux pour pouvoir prendre connaissance des feuilles inédites du Cours de mécanique physique et industrielle professé par M. le général Poncelet à la Faculté dos sciences de Paris dans Tannée 1839, en ce qui regarde la résistance des matériaux , feuilles qu'il avait déjà prêtées à d*autres auteurs. A cette communication il a bien voulu joindre quelques conseils, que lui a suggérés la lecture de la partie du présent ouvrage, pages i à 160, déjà imprimée au commencement de 1858.
Les deux sous-notes du g 1x3 de la note du n" 156 (p* 37li et 381) en ont déjà été le résultat, et nous en profiterons encore dans la section iV en traitant des pièces fléchies par des forces quelconques (').
Le 1" Appendice est relatif à divers autres points traités par le
{*) Le coMPLÉiiBirr eipérimenlal et pratique des mêmes art. 1 à VI, annoncé aux pages 43, 46, 85-86, 468^ 469, 504 et 509, est renvoyé, comme nous avons dit, i un autre volume. Il doit contenir, avec l'article Vil de Navier, des formules m»mériques, 11 comprendra aussi les eipérienees relatives à la Section IV.
(*) Nous avons reconnu aussi , dans ces Teuilles, que le mode de calcul des résistances des sections en simple T, qui nous a servi, en le généralisant, i établir, pou;r |UB| 49iM)i£8 T inégaux, des formules bien plus simples que celles qui ont été données dans d'autres ouvrages (§$ 45 et 46 de la note du n« 4S0 ), est eneore de M. Ponoelet.
4yp«|H»||CWr 544
Au 2* Appendice, après avoir insisté sur la nécesBité de recoa- D^ttr» f raQOhemeof fi^ijmli^ quâ J^s fpnff ^]^s t^Dt aac}§po€||si gpe iM)uyell9i9 4>i^lteD8tpn, |x>r9iQft , 0^xipp %v^ pp s«M glissen^ent, 9^ spot rigo^rp^seIDeo^ vr^iie^ qu0pour desniQ4^s pf^rticii)!^ ^'!^ tiion et ^ distribution des fprces extériel^'eB svp les l^ases d^ prismes, nous donnons, de ces fqriONl^» 0^ démonstrations d*ui)# forme jsyn^tiqpe, qi^i acbève|rp||t de convaiqiofQ de leur p^rff^lfê eijwstîtudesous lacoudiUpn oxpr|ffié9y e^ feront rj^qpcer topt^ f§|(, nous Tespéron^, ^,u^ byppthè^ fi^ossof qn gnifu}^ {iYoqiféqs Ji|gfr qjllci pour ^n éMi>ljr qualqu^s-^^es. (<'eipplQ|, ep§ttit(?, #pi fnfm» formules, çQvm^ approximation ftnffiijaqte, flmii4 ç^t^ 9pq4itfpo n'(wt P99 remp^e, n^aura ^^I^ àQ opiatraire ^ )§ riW^r n^ftép^^
tiqujijf^a^^i^^ iiffi^iro i^qfi p}i}s d§ t^orte» mi« ffwB^icQfimi
fondée sur les faits qui prouvent le peu d'influence du mode de distribution ou de répartition de force& Des formules plus compliquées , qui tiendraient compte de ce mode (et qui, vainement cherchées jusqu'ici, ne seront peut être jamais trouvées), n'auraient même sur celle-ci à peu près Sfieua avantage pratique, vu Tignerance où Ton est et sera peut-être to)i|jpji^ 4^ 1§ g^anière ^pt se distribuent, sur la surface des solides, les forces extérieures, qui y agissent toujours par l'intermédiaire d'autres solides, et dont on ne connaît généralement que la résultante et le moment résultant
4u 9* Appendice nous démontrons d'uno iq^nîère élémentaire les équations et formules générales de la théorie ntqlhématique de rélqstidii appelées auss) formples et équ^tipqs de 1^ Mécanique moléc^ffiirfi f à cause des considér,ati9fî/} qqi l^ pi^t fai^ décQuyr|r dans le principe, et qui, dans notre pp/oion, leur ^ry.en{( toqjpMrs d^ fondement principal. Ces équations et formules seront invoquées dans la suite de cet ouvrage, et c'est d'ailleurs à leur emploi que seront dus problablement les perfectionnements ultérieurs de la théorie de la résistance des pièces solides, en sorte que leur établissement devait trouver une place dans notre livre.
Au U* Appendice nous comparons nos formules nouvelles de torsion & Texpérience, et nous prjèsentons diverses considérations sur les premières et les dernières recherchées de M. Gauchy, ce qui nous
met dans le cas de traiter , par aûticipatioû , des vibrationt tofur" nantes des pièces abandonnées à leurs réactions élastiques après avoir été tordues.
Enfin, au 5*, nous nous livrons à une discussion détaillée (qui se trouve résumé dans un dernier $) pour justifier les formules et équations générales du 3* appendice , dues à Navier, Gauchy, Poisson et MM. Lamé et Glapeyron, des attaques dont elles ont été Fobjet quant aux relations qui existent entre leurs coefficients constants; relations qu'un savant expérimentateur a proposé, en 18/^7» de remplacer par d'autres, ce qui a fait naître une opinion sceptique tendant à se propager et que nous croyons devoir combattre. On y verra, ainsi qu*au 3* appendice, démontrés autrement qu'au $ 8 de la note du n* 152 les rapports entre les modules d'élasticité 6 et E, et entre les contractions transversales r^i et les dilatations longitudinales % des prismes lorsque leur matière est supposée isotrope.
1" Appendice. — Divers points traités par M> Poncelet
d'une manière élémentaire*
S 2. Expression exacte^ obtenue élémentairement^ de Vinclinaison prise par les divers éléments de Taxe dune pièce droite après qu'elle a éprouvé une flexion de grandeur quelconque. — Au S 3 de la note du n' 86 (p. 73-7/i), nous avons, en remplaçant Tinverse du rayon p de la courbure que prend Taxe d'une pareille pièce supposée encastrée à une extrémité et primitivement horizontale, par son expression analytique connue
p dx
où âr, y sont les coordonnées de ses points, et s son arc dont Té* lément est <!s = \/dx' + dyS obtenu l'expression
Va\ Po« 2e "^ 2EI
pour le sinus de Tangle que fait la pièce avec Thorizon à sou autre extrémité après qu'elle est fléchie*
Cette valeur est tout à fait exacte pour le sinus tandis qu'elle n*e8t qu*approchée quand on l'applique » comme Navier, à la tangente du même angle a (p. 72).
M. Poncelet, en démontrant élémentairement cette valeur du sinus de rinclinaison, l'applique, convenablement modifiée, à tous les points ou à tous les éléments de Taxe fléchi , et remplace constamment, ainsi, par un sinus •^, le coefficient dliférentiel ^ des
intégrales premières des équations d'élasticité. Il en résulte, outre l'avantage de rendre ces intégrales tout à fait exactes quelque grande que soit lajlexion^ celui de pouvoir appliquer les équations aussi bien à une pièce primitivement inclinée qu^à une pièce horir zontalcy ou, ce qui revient au même, aussi bien à une pièce sollicitée obliquement qu'à une pièce sollicitée perpendiculairement à sa longueur par la résultante de toutes les forces qui agissent à droite d'une section quelconque.
Soient donc Ox un axe des abscisses x perpendiculaire à la direction de la résultante P des forces agissant & droite d'un point m de Taxe;
a. l'angle que lapièce
AB faisait avec OX
avant sa flexion ;
a L^angle Nmn que
fait après la flexion,
avec une parallèle mN à Oz, l'élément mm' = ds de l'axe ou
fibre moyenne de la pièce ;
P le rayon de courbure, en m, après la flexion ;
M le moment total des forces élastiques agissant à travers la seC' tion en m, autour d'une ligne perpendiculaire à P et à AmB, passant par le centre de gravité de la section et supposée être un des deux axes principaux d'inertie de celle-ci;
ss
5i& SEGT. I. BÊSI8TANCB DES SOUDES.
I toujours le moment d'iaertie de la section autour de cet axe, et E le coefficie*' t d*élasticitô d*eitension ;
On a (SS i et 2 de la note du n* 80, p. 31 & 33) M = — si la pièce
est primitivement droite. Or comme Tangle des deux normales &la eourbe élastique en m et m' est égal à Tangle da des deux tangentes mn, m'n' au même point, on a pda = ds. Donc
da M ds""EI'
eu, comme dscosa = dx.
COSa da = £- dx.
Oq en conclut en intégrant :
sina = sina» 4- 1 — dx,
conclusion que M. Poncelet meta la portée de ceux qui ne connaissent que les éléments en prenant mji = mm'n' = i, de sorte que nn' = da et qu'en abaissant les perpendiculaires Jiq , n'q' sur mN, et rir sur n'q\ on a Tng = cosa, nq = sin a , d .sina = n> qui est = da X cosa diaprés la similitude des triangles nnV, nmq (*). En sorte que si M = P (a--x) et si I est constant ou si la pièce est prismatique, on a
P / x*\ Bina = sina,+ — W— 2" )
M. Poncelet observe, ailleurs, que cette détermination deTangle a se ferait également si Taxe de la pièce était primitivement un arc de cercle au lieu d*ètre une ligne droite; car il est facile de voir
{}) Nous nous serrons ici de la caractéristique infinitëaiiDale d, Updis que H. PODcelet se servait (V07. noire note du n" 81 ) de petites lettres pour désigner les quantités infiniment petites, et de grandes lettres pour les quantités finies. L'illustre académicien a bien voulu nous dire que s'il en avait usé ainsi c'était moins i cause du peu de science acquise des élèves qu'en raison de la nature mobile et conlioueliement cbangeanlo d*un auditoire de cour» public, et pour ne pas rebuter les nouveaux venus qui n'auraient pas assisté à l'explication, si facile du refte, de la valeur des notations d el ^ dont l'usage est sans inconvénient avec des audilanrs toujours les mêmes, comme le prouve le succès des Cours Taila à rècole centrale des Arts et Maniiraclures.
APPEm>IGS I. Sl$
(on y reTiendra section IV ) qu'on a alprs, p, étant le rayon primitif et constant
d'où
sin.=sin.,+ f(l + ^)<ir.
formule qui s'appUque évidemment aussi au cas où la courbure primitive — cliangerait d'un point à Tautre, et, aussi, à celui où I va-
Po
rierait suivant une loi dpnnée, en sorte qu'on peut obtenir ainsi Tangle a pour une pièce ayant primitivement la forme d'une courbe plane quelconque, à section constante ou graduellement variable.
$ 3. Tracé de la courbe élastique^ ou de la courbe affectée 'par Taxe ou fibre moyenne d^une pièce fléchie quelconque, — M. Poncelet remarque d'abord qu'on peut effectuer géométriquement ce tracé de proche en proche à l'aide de la seule équation d'équilibre non intégrée (S précédent)
i da i M
si l'on connatt «« ou la direction de la tangente à Télastique en un premier point, et les valeurs du moment M des forces en tous les points de la pièce. En effet, si l'on trace, en ce poiat initial A, la perpendiculaire & la tangente AB«, on y portera une longueur égale au rayon p détermioé par l'équation précédente, ce qui donnera le centre de courbure et permettra de décrire, avec le même rayon, un petit arc de cercle qui se confondra sensiblement avec la courbe cherchée, à laquelle il est osculateur; puis, en portant sur la courbe d'axe primitive, dont on néglige l'allongement, une longueur égale au même arc, on mesurera pour son extrémité la valeur correspondante du rayon p., et on calculera pour le même endroit le moment M, ce qu'on suppose possible (comme par exemple lorsque la résultante P reste fixe, car alors son bras de levier dépend de l'abscisse nouvelle) ; il en
résultera, en substituant dans - = — + —, une nouvelle valeur
p p. t'A de p qui servira à décrire un second petit arc, et ainsi de suite. Lorsque le rayon p deviendra trop considérable (ce qui arrive né-
510 SEGT. I. BÊSISTANCE DES SOUDES.
cessairement quand on approche du point où la résultante P ren-
da contre la courbe et où M s^anéantit)* on se servira de ^ au lieu
de p, en tirant une droite faisant avec la tangente précédemment obtenue un très-petit angle qu*on prendra pour da en multipliant
par — sa valeur en degrés sexagésimaux, en sorte que da = 2^
s'il est de 2 degrés; et Ton portera sur cette droite une longueur
égale à a valeur de da tirée de 7- = — + ^« ce qui donnera un
as p, EX
nouveau point de la courbe qui peut être regardée comme se con^^ fondant avec sa tangente sur la longueur da déterminée de cette manière, et ainsi de suite.
Cette même méthode servirait à obtenir une première approxi-motion du tracé eu prenant les moments M avec leurs bras de levier anciens dans le cas où la flexion changerait la situation de la résultante P, comme lorsqu'elle se réduit par exemple (fig. S pi^* cèdent) à un poids suspendu à une extrémité d*une pièce dont l'autre est encastrée. Le tracé obtenu servirait à corriger les grandeurs des bras de levier et à obtenir, en recommençant le tracé, une deuxième et généralement suffisante approximation.
Mais le même savant observe qu'au lieu de se servir d'un pareil tracé par petits arcs et petites droites, sujet à erreur, on peut calculer avec toute Tapproximation qu'on désire , en se servant de la valeur ci-dessus sin a, les coordonnées d'autant de points qu'on veut de la courbe élastique.
. On a en effet , y étant l'ordonnéOt ^= tang a, d*où
S m glu g( C* fi. M\
dx . : où sin« = sina.+ \ \t + vï)^>
• V^l — sin^a JAp. El/
en sorte que par de simples quadratures^ effectuables numériquement au moyen , par exemple, de la formule de Simpson (% 3 de la note du n*" 85, p. 69) (0, si on ne peut les effectuer analytiquement , on peut obtenir la forme nouvelle de la pièce.
(I) Oa doit k M. Ponodot une autre formule de quadrature. On la trouve à la fln du chap. 1*' des ÉUmenU de méeanigue, de M. Refal.
APPBNDIGB I.
Et Ton obtient de même la longueur d'une portion quelconque
dx de pièce fléchie ea remarquant que d8= -^t d'où
r« da
sin*a
où sin a a la même Talev.
M. PoDcelet remarque qu'on peut se dispenser des quadratures dans deux cas extrêmes, où la pièce était primitivement prismatique ( - = 0; I constant).
!• Le cas où sina reste très-petit, car alors on peut supprimer son carré sous le radical (ou, plutôt, on peut développer
( i — sin^ar*" en série convergente). Ce cas est celui des questions traitées n"* 86 à 93 et dans la note du n* 86 (p. 73, 7&).
2* Le cas où sina se rapproche beaucoup de l'unité, ou le cas dans lequel la résultante P fait un angle très*aigu avec la pièce supposée droite ou très-peu courbe ; car, alors, en écrivant (i + sin a) ( 1— sin a) à la place de i- sin'a, 0 est facile de voir que le premier facteur peut être regardé comme constant, ce qui rend les expressions de y intégrables par arc de cercle (^),
SA. Détermination êlémett-' taire de la Jlèche. — Nous avons donné au commencement de la note du n** 86 (p. 72), d'après Duleau et d'autres auteurs, une démon-
Pa* stration élémentaire de l'expression/ = ^^ de la flèche de flexion
/= MB prise par un prisme AM de longueur a , sollicité transversalement par une force P au bout M non encastré. M. Poncelet a rendu la démonstration plus exacte en prenant pour élément
{}) Bd tom eu rintëgratioD pettt m dire par fonctions ellIpUqnes de première
et de aeeonde etpèce de Legendre, mène lorsque — n'est pas nul nais constant^
en sorte qn*en décomposant une pièoe quelconque en parties pooTantdlre regardées comme sensiblement circulaires on peut trouver, au moyen de ces sortes de transcendantes, la forme qu'elle prend après des fleiions de gran^r quelconque (Voy. Noie mr les fUxions considérableM det vergei éUiêtiquei au Journal dt vta* thémaitque$ purei el appliquéety 4S44).
iftS SEGT. I. RÊSISTANCB DES SOLIDES.
de cette flèche, au lîeù de la partie nn' qu'y interëeptent obliquement les tangentes aux points conaéoutifé m, m', la projection verticale de la partie qq' interceptée, par les mômes rayons, sur la développante MB' de Télastique Am'mM. Cette projection est à
gg' = mq . conmie pp'= x est à mm\ Donc, comme - = -=|-, et
mq = Tare mM, la flèche / est exactement somme de produits
=1 • mM . Xx, qui sont sensiblement égaux à a? • X*x quand Tare
mU diffère peu de sa projection horizontale. Or cette sonmie fait
Won ^.j' (p. 72-73).
S 6. Cas où Vélastique reçoit une forme déterminée. — Ce cas a lieu notamment quand on ploie une pièce sur un gabarit. Alors, si une extrémité est encastrée et si l^autre est sollicitée normalement par une force P^ on a, X étant la distance de cette force au point quelconque où le rayon, est p:
Quelque grande que soit cette force, M. Poncelet observe qu^elle ne suffira pas pour que la pièce suive partout le contour du gabarit, car, pour que cette condition soit remplie aux points dont la distance X au point d'application est infiniment petite, la force P aurait besoin d'être infinie. Il y aura donc une petite partie qui se détachera du gabarit, & moïén ^ue la courbure n'en soit nulle pour le dernier élément sur lequel ^ agit
En général la eoôrbure est nulle au point où la résultante des forces traverse une pièce qu'elles fléchissent, en sorte que si ce point n'est pas une extrémité il s'y fait une injlexîon.
% 6. Condition des encastrements, — Ils ne donnent générale* ment pas à la tangente à l'axe de la pièce une direction Invariable et déterminée eomme on le suppose dans les calculs. Q'I M. Poncelet les compare à 'Jùj3i ^'^^^ points d'appui très-rap- ^::rm -^ proches et opposés A, A' qui
""^^ ^® ®^^* autre chose que les
points d'application des résul*
\ tantes Q,Q' des réactions àes
APPENDICE I. 5iO
faces inférieure et supérieure de Tenclave. Ces résultantes, si B est rextrémité libre où se trouve appliquée une force transversale P, ont des Intensités
