AA" ^ " ' AA

Des forces aussi considérables ne peuvent pas se développer sans que, préalablement, la matière des parois et la matière de la pièce fléchie n'aient éprouvé des compressions dans un sens normal à leurs faces de contact. Aussi il faut compter que Taxe de la pièce, à sa sortie, prend une certaine inclinaison, qui est en raison directe du moment fléchissant P X AB, et inverse de la prorondeur de Tencastrement, dont le mode plus ou moins imparfait a d^illeurs une influence sensible.

Cette inclinaison avait été remarquée par M. Vicat ('). Elle ne peut guère se déterminer, pour diverses matières de la paroi et du prisme et pour des encastrements plus ou moins serrés, que par des expériences dans lesquelles on pourrait la mesurer directement au cathétomètrë, ou Tapprécier par des mesurages comparatifis et plus faciles de flèches prises par des pièces encastrées à un ou deux bouts et par des pièces simplement appuyées aux deux extrémités. On verra, à la section lY (notes des n"* 371 à 376), que cette inclinaison prise aux encastrements a une influence notable sur la résistance des pièces doublement encastrées.

[*) Seehercheê expérimeKtale$ tur Ut phénomènes phytiquet fvt précèdent et ne* ccmpagnent la rvpture ou Voffaistemeni dTvTie certaine! classe de solides (Aon. des Pools et Cb , 2* seme«ire de 4833, p. )45-%49). On ne peut pii tirer, à e» sui^t, de données pratiques des expériences rapportées dans ce beau mémoire, parce qne^ faites sur des prismes de plâtre on d'argile, elles remplissent seulement <c l'objet preNiue exclusif» (et en quelque sorte négatif) que se proposait son auleur (page SOS), à stroir « d« préonuiir les conatmcteort ooBtre le dtoger M théories connues. »

520 SECr. L BÊSISTANCB DES SOUDES»

2* Appendice . — Sur les candUUms de C exactitude înathèma' tique des formules tant anciennes que nouvelles S extension^ de torsion^ de flexion avec ou sans glissement. — Démonstration synthétique de ces formules quand on suppose ces conditions remplies.

$ 7. Rappel de ces conditions. Nécessité de les faire ressortir.

Remarque sur 'l* ignorance où Von est des données mêmes du

problème des déformations et des résistances quand elles ne sont

pas supposées remplies. — Le Savant que nous venons de citer dans

le premier appendice reconnaît, dans ses mêmes leçons de 1839,

que la formule

du cas le plus simple de la théorie de la résistance des solides, qui donne Vextension ou la compression longitudinale i d*un prisme dont la section est <«> sous Taction de deux efforts longitudinaux opposés P, est essentiellement fondée sur la supposition que ces efforts exercés aux deux extrémités se trouvent répartis uniforme" ment dans toute Vétendue des bases auxquelles ils sont appliqttés ( Voy . SS 3 et 6 de la note ci-dessus du n** 21, p. 16 et 19).

MM. Lamé et Glapeyron avaient déjà reconnu et avoué cette condition expresse de Textension uniforme dans leur beau mémoire de 1828 C)f où ils expriment aussi (*) qu'une torsion uniforme 6 n'est prise par un. cylindre à base circulaire de rayon r, conformément & l'expression connue du moment M^

qu'autant que chaque point des bases supérieure et inférieure est sollicité par une force proportionnelle à sa distance à Paxe^ et agissant perpendiculairement au rayon vecteur dans le plan de ces bases.

(^) Sur réquUibre intérieur det ioUdes homogènes, Iniéré au journal et Crellt 1834, et au l. IV des Savants étrangers, art. 40. (^ idem, an. 54, 62.

APPEHDICE II. 531

Nous avons énoncé, à bien des reprises, la nécessité de conditions analogues, relatives à Faction et à la répartition des forces extérieures, pour la parfaite exactitude des formules relatives aux cas de torsion uniforme d'autres cylindres ou prismes, et, aussi, de flexion soit égale sans glissement (flexion en arc de cercle) soit inégale accompagnée de glissements transversaux et longitudinaux.

ïlt Ton peut remarquer, même, que si les démonstrations anciennes, fondées sur des hypothèses gratuites et souvent fausses relatives à la manière dont les choses se passent (par exemple la conservation de la forme plane des sections (i>), conduisent à des résultats vrais dans des cas particuliers, c*e9t qu*ony suppose aussi, sans s*en apercevoir, de& conditions de ce genre remplies quant au mode d*action et de distribution des forces. Par exemple, admettre, dans la flexion d'une pièce droite en arc de rayon p, que les actions intérieures s*exerçant normalement sur les éléments dcu des

E diverses sections soient exprimés par - d(i>.o, et, dans la torsion 0

d*un cylindre, que les actions tangentielles le soient par G6dci> .r, c^est bien supposer que dans retendue des deux bases, qui sont aussi des sections, les forces extérieures, qui doivent faire équilibre aux forces intérieures sur chacun des éléments dco, s'y distribuent suivant les mêmes lois qu^expriment ces deux produits, c'est à-dire proportionnellement aux distances o ou r des éléments cf(i> à une même droite ou à un même point de u>. Ou, ce qui revient au même, c'est substituer, aux forces extérieures données, des forces de même moment total, ayant ces modes de distribution et d'application sur les bases (^).

i}) On peut remarquer qae c'est poar le cas eioeptionnel de la fleiioa clrcalaire qu'ont 616 faites les premières des eipérienees sur lesquelles on appuie quelquefols l'hypoibise de la conserTation de la forme plane des sections et de leur normalité aui fibres ; car on y ployait les pièces sur un gabarit cylindrique.

Si des eipérienoes récentes ont paru donner la même cbose pour des pièces posées sur deux appuis et chargées au milieu, on doit l'attribuer à ce que les glissements et gauchissements qui en résultent échappent aux m<surags ordinaires, même délicats. Nous avons tu en effet au $ 64 de la note du n* 156 (p. 484) qu'un gauchissement, d'un quarantième de millimètre, de sections d'un cylindre elliptique de 0",34 sur 0",46 de largeur et d'épaisseur suffisait pour influer considérablement sur sa résisUnce à la torsion. Et, quant au glissement sans torsion, comme one formule du § 3 de la note du n* 453, au bas de la page S43, donne pour

Nous regardons comme nécessaire, désormais, de partir ouvertement de la chose tacitement substituée, ou de supposer explicitement ce qu*on admet ainsi implicitement ; et, si Ton tient toujours à donner uâe théorie mathématique de la résistance des solides, de reconnaître franchement et de prime-abord que chacune de ces formules tant anciennes que nouvelles n'est vraie que pour un mode particulier cTapplication et de distribution des forces extérieures sur les hases extrêmes des prismes qu'on y considère.

En prenant ce mode pour une des données de chaque question, oii démontre les formules d'extension, torsion, flexion, sans hypothèse sur ce qui arrive aux diverses sections quant aux déplacements, et qui se trouve être une conséquence rigoureuse de ce qu^on pose comme ayant lieu aux deux extrémités quant aux forces.

Chacune de ces formules donne ainsi une solution rigoureuse pour un cas ou un mode.

Mais quelles sont, demandera-t-on , les expressions, exactes et rigoureuses aussi, de Tex tension, de la torsion, de la flexion, lorsque les forces extérieures sont appliquées et distribuées suivant de tout autres modes, ou, plus généralement, quelles sont les petites déformations des solides élastiques pour des pressions ou tractions données quelconques agissant tant normalement que tangentiellement sur les divers éléments deleur surface? M. liamé a montré comment on peut arriver à les calculer pour un solide sphérique isotrope

c 7|G 4 24 Pc 7

» =. -, — = TX> "expression x = -- — = -— g^, on Toit qu'arec une indi- . SE 10 30 Geo 40

naison centrale go = 7^ ou du quart de la limite 0,000667 con«eilIée pour les glissements, les points de la section rectangulaire d'une pièce fléchie ayant une hauteur 0**,S0 =:c s'écarteraient au maximum de ^ de millimètre du plan normal dans un sens parallèle aux fibres, ce qui est imperceptible.

L'inclinaison des sections sur les fibres des pièces fléchies non circulalrement est d'ailleurs admise aujourd'hui par tout le monde, comme on volt aux ouvrages publiés en 4857, 4858, 4859 par HH. Morfn, Uelanger et Bresse; et nous avons bit Toir au $ 45 (p. 394) de la note du n* 456, que leur inflexion en doucine démontrée par nous analyiiquement pour la première fois en 4854 [Comptes-^ rendus de PJcadémie^ t. XXXIX, p. 4097) après avoir été Implicitement indiquée en 4847 (id, t. XXIV, p. 963), était une conséquence nécessaire même des considérations tout élémenttire de M. Jouranki, qui ont été reproduites par cet* deux derniers «uleiiri.

j[>lein ou creux (*). Mais, quant aux solides prismatiques, des siècles se passeront peut ètrësans qu^oâ sache les détermitier, si jamais Oiï le sait, à en juger par Tinutilité des tentatives des géomètres depuis trente ans (*), et des encouragements de TAcadémie qui a enfin retiré du concours, en 1858, ce problème persévéramment proposé depuis mai i8û6. Et si Jamais on surmonte les difficultés d*intégration qu'il présente pour des corps à surface discontinue, il faut remarquer qu'une nouvelle et peut-être plus grande difficulté surgira et arrêtera les applications de la solution trouvée; ce sera précisément dé savoir quelles sont ces pressions ou tractions qui s^exercentsur les divers éléments de la surface du solide élastique dans chaque cas particulier. C'est, en efl<Bt, généralement par rintermédiaire d'autres solides que les forces extérieures agissent sur un solide donné; or on ne sait pas comment elles se répartissent sur les faces de contact; on ignore, par exemple , avec quelle intensité un corps pesant, placé sur un autre corps, presse les différents points de la surface plane ou courbe où la Juxtaposition a lieu ; et, s'il y est suspendu par une corde , on ne sait pas déterminer comment se distribue Faction de celle-ci.* On ne connaîtra donc alors, tout comme aigourd'huî, que les résultantes et les moments résultants de ces forces extérieures, jusqu'à Tépoque nouvelle et inassignable où on aura appris à calculer les répartitions inconnues, qui sont les données même du grand problème des déformations et des résistances ; en sorte que la solution si cherchée de ce problème ne serait jusque-là d'aucun usage.

Mais cette double et longue attente n'est pas nécessaire avant de résoudre les questions de pratique, qui n'exigent que des approximations. Nous l'avons souvent dit : des faits suffisamment nombreux ipontrent le peu d'influence du mode de répartition et d'application, et permettent d'employer les formules soit anciennes soit nouvelles d'extension, torsion, flexion , pour des forces quelconques agissant aux extrémités de prismes très-longs par rapport à leurs dimensions transversales en n'ayant égard qu'aux grandeurs dé leurs

(>) Mémoire tur Vequilibre tTéltuticité des enveloppes epKifique». (/oMmoi dêt maih. pures et appL, U XIX, 4854).

* (S) Leçons de M. Umé lur U théorie mathématique de rèlaïUeiié, 486S, $ 66, 67, 68.

524 SBCT. I. BÊSISTANCfi DES SOUDES.

résultantes et de leurs moments résultants. D*où il suit qu'il suffit de donner des démonstrations exactes des fumules relativement à un cas ou à un mode particulier d'action des forces aux extrémi* tés, pour que la théorie soit établie et qu'on puisse faire Tapplication de ses résultats aux divers autres cas qui peuvent s'offrir.

$ 8. Observation sur la manière de présenter ces démonstrations. —Elles ont été données, pour la formule de l'extension, au $3 de la note du n* 21 ( voy. aussi au S 6); pour celles de la torsion, aux $$ 5 à 9 de la note du n* 156 quant à rétablissement des principes dont l'application se fait ensuite pour chaque forme de section; pour celle de la flexion circulaire sans glissement, au $ 3 de la note du n* 80; enfin, pour celle de la flei^ion non circulaire avec glissemeat, au $ A de la même note, au $ 2 de celle du n* 153, et sur» tout au S &6 de la note du n* 158.

Mais comme nous avons suivi une marche différente à ce $ de la note du n* 156 et aux $$ cités des deux autres notes, où les glls-^ sements n'étaient qu'iodiqués ou incomplètement calculés, on nous demandera sans doute quelle est définitivement la méthode à préférer pour établir complètement et clairement les diverses formules« dans des cours de mécanique appliquée?

Nous n'osons faire de réponse générale et tout à fait catégorique, car le choix du mode d'exposition pour chaque cours dépendra de diverses considérations dont les principales seront fondées sur la nature et sur les dispositions de l'auditoire.

Nous croyons cependant qu'une manière presque entièrement synthétique sera ce qu'il y aura de plus généralement propre k ne laisser aucun doute dans l'esprit, d'autant plus que l'analyse pure n'a pu conduire jusqu'ici (voy. $ 31. S* appendice), même dans les cas les plus simples, à déterminer directement les déplacements ou déformations quand on prend pour données les forces, en sorte que c'est seulement par une marche mixte ou par des es* sais suivis de vérifications qu'on a pu arriver aux solutions.

Nous allons en donner une esquisse, bien imparfaite peut-être quant à la forme, mais que tout esprit attentif pourra retoucher, changer ou réduire.

S 9. Essai d'une théorie synthétique exacte de la résistance des solides. Principe^ définitions et lemmes.

Prilicipe en deaumde. Les molécules des corps (ou les particules élémentaires dans lesquelles on peut diviser ces molécules si elles sont étendues) exercent les uns sur les autres, k des distances imperceptibles, des actions attractives et répulsives qui font fonctions continues de ces distances.

Déiliiltleii I. On appelle pression (ou quelquefois, suivant le sens ou le signe, tension, traction, et aussi/orce élastique)^ sur une très-petite face plane, la résultante des actions moléculaires qui s'exercent d*un côté à Tautre de cette face k travers sa superficie. On n*a pas besoin (comme on va voir) de considérer le couple qui peut accompagner cette résultante, et qui est d'ailleurs nul ou négligeable si, comme on le suppose, les faces, bien que très-petites, sont traversées en tous sens par un nombre excessivement grand d'actions moléculaires.

On rapporte généralement les pressions ou forces élastiques à Tunité superficielle des faces où elles s'exercent.

DéiliilttoB II. Appliquer une pression donnée sur un petit élément de la surface extérieure ou enveloppe d'un solide, c*est en rapprocher d'autres corps dont les molécules exercent, & travers cet élément, des actions dont la résultante ait la grandeur et la direction de la force donnée.

Cerollalre I. La résultante des actions exercées sur les molécules d'un élément polyédrique de la part des molécules qui lui sont extérieures peut être remplacée identiquement par la résultante des pressions sur toutes ses faces. Car si les pressions comprennent, en outre, des actions de molécules extérieures sur d'autres molécules extérieures suivant des lignes qui traversent deux des faces de l'élément, ces actions étrangères se détruisent deux à deux en composant la résultante générale.

DéflnlttoB III. Vétat naturel d'un corps solide est celui où toutes les pressions sont nulles & l'intérieur comme sur la surface; c'est-à-dire l'état où la résultante des attractions à travers chaque petite face ou élément superficiel est égale et opposée à celle des répulsions.

Cer^llaire II. Toute déformation d'un solide pris dans son état naturel y engendre des pressions. En effet elle développe, parle changement des distances (principe ou demande) des actions moléculaires nouvelles qui ne peuvent se faire équilibre comme les

5SS UCT. I. RÊsisTAircn ms solides.

anciennes à travers toulas les fttces qa'on peut imafiner 4sbs son intérieur.

Iieamte I» Si une déformation du solide (dont on abstn^t iei la pesanteur) est telle que les pressions intérieures engeadfées (cor. II) satisfassent aux conditions de Téquilibre de translation sur chacun des éléments de son volume dont toutes les flEuses sont intérieures , on le maintiendra dans sa nouvelle forme en appliquant (déf. II), sur son enveloppe ou sa surface extérieure, des pressions qui suivent la même loi, ou qui soient en équilibre de translation avec les pressions intérieuressur les divers éléments dont une ou plusieurs faces font partie de Tenveloppe. .

En effet, 1* Il y aura, équilibre de translation de tous les éléments tant de ceux qui sont entièrement intérieurs que de ceux des extrémités ou des bords, qui sont limités en partie par la surface extérieure du solide.

2* La non-translation de tous ces éléments polyédriques juxti^ posés, qu'on peut supposer aussi petits qu'on veut, ou la conservation de rétat de repos de leurs centres de gravité, entraîne leur non-rotiftion^ puisque Fun d'eux ne pourrait tourner autour de son centre sans que les centres de ceux qui Tenvironnent changent de place. Donc, etc.

liemmie II* Quand le solide est non-seulement homogène (ou de même nature aux divers points), mais encore isotrope (ou de même contexture en tous sens autour de chaque point) : i° Une dilatation linéaire i (positive bu négative), ou une déformation qui éloigne les unes des autres les faces planes et parallèles, de quantités égales à leurs distances multipliées par une fraction constante et très-petite i, no produit sur ces faces que des pressions normales et proportionnelles à t; 2"* EUe ne produit, sur les faces perpendiculaires à celles-ci, et par conséquent parallèles au sens de la dilatation, que des pressions aussi normales et proportionnelles k t, mais d'une intensité moindre ; 3* Un glissement g, ou une déformation qui fait cheminer les unes devant les autres, dans une certaine direction , sans changer leurs distances, les faces parallèles, de quantités égales à ces distances mutuelles multipliées par une même fraction très-petite g, ne produit sur elles que des pressions iangentielles proportionnelles À g et dans la direction du cheminement.

APPENDICB II.

En effet, en vertu de la continuité des fonctions (principe ou demande) qui représentent les intensités des actions moléculaires, les forces nouvelles développées par les déformations sont proportionnelles aux augmentations très petites (positives ou négatives) subies par les distances mn entre molécules m^n situées de part et d'autre

de la face AB sur laquelle on prend les pressions, et qu'on peut supposer être restée immobile. Ces augmentations, quand on né- > glige les quantités très-petites du second ordre, sont mesurées par les excès, sur les distances primitives mn^ des distances nouvelles m^n^ ou m,7i,, projetées sur la direction mn. Or on voit facilement : 1* Que ces excès sont toujours proportionnels à la petite dilatation i qui les produit, dilatation dont la mesure est, respectivement, selon qu'elle a lieu dans la direction perpendiculaire à la face AB ou dans la direction parallèle à la droite ab tracée sur cette face, le quotient de mn^ + nn^ qui sont dans la première direction , ou le quotient de mn^ + nn, qui sont dans la seconde, par la distance pq ou la distance rs des deux plans matériels mp, nq ou mr, ns perpendiculaires à ces directions et passant par tti, n*

T Que ces mêmes excès, s'ils sont dus à un petit glissement, sont proportionnels à sa mesure g qui est, dans le sens a6, le quotient de 7nm, + nn, , somme des chemins parcourue, divisée par pq , distance des deux plans matériels qui passent par mn, et qui sont parallèles à la face AB.

3° Que les forces moléculaires ainsi développées se distribuent d'une manière symétrique autour des normales à la face AB lorsqu'elles viennent d'une dilatation i perpendiculaire à cette face, en sorte que leur résultante ne peut être dirigée que suivant une de ces normales; qu'il en est de même quand la dilatation i est parallèle à cette face, puisqu'il n'y a aucune raison , après une pareille dilatation, pour que la résultante des actions s'écarte, dans un plan passant par une normale , plutôt à droite qu'à gauche de la direc" tion de celle-ci; enfin, qu'elles se distribuent aussi symétriquement de part et d'autre des droites ab tracées sur la surface AB parallèlement à g lorsque ce glissement existe seul ; car, à chaque force at-

528 8ECT. I. BÊSISTAUCB DES SOUBES.

tractlve développée de m, en ?i,| répondra une force répulsive égale de n' en m! devenus n\ et m\^ agissant suivant une ligne Qrmétrlque à m^ par rapport à a6, en sorte que la résultante de ces deux forces, transportées parallèlement à ellesHnémes sur un point O de AB, est bien dirigée suivant ab.

k" Que les composantes, normalement à une face, des forces produites à travers son plan par une dilatation sont généralement moindres lorsque cette dilatation lui est parallèle que lorsqu'elle lui est perpendiculaire. (Voyez le raisonnement simple du S 3 de la note n"" 21, p. 16, et, aussi, les appendices 3* et 5* ci-après.)

Le lentnte II se trouve ainsi établi dans toutes ses parties, bien que nous renvoyions plus loin la détermination du rapport numé- • rique (qui sera trouvé de 3 à 1 comme il Ta déjà élé, an reste, au S 8 de la note du n* 152, p. 200), entre les pressions normales produites sur une face par une dilatation qui lui est perpendiculaire et par une dilatation égale, mais qui lui est parallèle.

N. B, Pour simplifier, nous faisons abstraction de la pesanteur des solides et de la pression de l'atmosphère , et nous supposons d'abord les corps d'égale contexture en tous sens. Une généralisation facile montrera ensuite que les théorèmes sont les mêmes quand la contexture est égale seulement dans les sens transversaux, et qu'ils s'observent encore, avec de légères modifications, lorsque la contexture est symétrique par rapport aux plans des sections et à deux autres plans perpendicuhiîres à ceux-ci; symétrie qu'on peut, du reste, définir ^r ses effets élastiques^ consistant en ce que les dilatations et les glissements dans les sens de leurs trois intersections ne produisent, sur ces plans , que des actions dirigées suivant les mêmes lignes. (Voy. 3* appendice.)

$ 10. (Suite). Extension ou contraction.

Tliéorènie I. Lorsqu'un prisme isotrope en état d'équilibre d'élasticité et dont les faces latérales ne supportent aucune action, se trouve sollicité, sur ses bases, par des forces ou tractions normales égales et opposées, uniformément distribuées sur leurs superficies, toutes les parties de ce solide éprouvent des dilatations égales dans le sens longitudinal, et, dans les sens transversaux, des con-

tractions (ou dilatations négatives) aussi égales, qui sont une certaine fjraction des dilatations longitudinales.

DéiiioiiBirailoit ( la même au fond que celle du $ 3 de la note du n"* 21). Divisons le prisme (comme nous ferons tovgours) en éléments très-petits par trois systèmes de plans orthogonaux, les uns perpendiculaires, les autres parallèles à ses arêtes.

Si ce que nous voulons démontrer a lieu^ chaque élément intérieur, de forme parallélipipède rectangle, éprouvera (d'après le 1' du lemme II) sur ses faces opposées, considérées deux k deux, des tractions ou presiions normales égales, dues aux dilatations perpendiculaires à ces faces; il y éprouvera (d'après le 2") d'autres pressions ou tractions, aussi normales et égales, dues aux contractions ou dilatations qui leur sont, parallèles. Cet élément sera donc en équilibre de translation.

Chaque élément des extrémités , ayant pour une de ses bases un élément superficiel d'une des deux bases du prisme, et chacun des éléments des bords , de même forme parallélipipède , qui auront pour une de leurs quatre faces latérales un élément superficiel de la surface latérale du prisme, seront aussi en équilibre de translation dans les trois sens rectangulaires si la dilatation longitudinale et les contractions transversales ont des grandeurs justement telles que la somme algébrique des pressions ou tractions qu'elles engendrent sur chaque base soit égale à la pression ou traction normale qu'on suppose y être exercée extérieurement, et que la somme al^ géhriqve des 'pressions ou tractions qu'elles engendrent sur chaque face latérale soit zéro*

Alors, aussi , chacun des éléments prismatiques triangulaires qui restent sur les bords sera également en équilibre, vu que la pression sera nulle sur sa face latérale extérieure, qui répond à l'hypoténuse de la base, comme sur les deux faces latérales întérieures, qui répondent aux côtés.

Il y aura donc équilibre de translation de tous les éléments ; et, par conséquent , en vertu du lemme I» quand les forces extérieures agissant sur le solide déformé sont ce qu'on a supposé ou pris pour données, la déformation est bien ce qu'énonce le théorème.

SchoUe I. Nous avons dit , $ précédent (et déjà $ 3 de la note du n" 21), que la pression ou traction déterminée sur une face par une dilatation qui lui est parallèle est moindre que celle qui est dé-

5S0 SEGT. I. BÊSISTANCX DBS SOUDES.

terminée par une dilatation normale ^e. n en résulte qu^en appe* lant t une dilatation longitudinale d^n prisme, T^t les contractions transversales qu'il doit prendre pour que les j)ressions dues krfl sur ses faces latérales compensent les tensions dues à t sur ces mêmes faces, ou qu*elles ne supportent rien, on a le rapport i) < L On Fa trouvé = i/U au $ 8 de la note du n"* 152 , et on y reviendra aux 3* et 5* appendices ; mais cette valeur numérique n^est pas nécessaire à invoquer pour rétablissement des théorèmes qui suivent

i li. (Suite). Lemme pour ia tersûm et ia fiesMm.

liemniie m. En appelant x, v, v des coordonnées rectangulaires dirigées , la première dans le sens longitudinal ou parallèle aux arêtes d'un prisme , les deux autres dans des sens transversaux, g', g'' des glissements qui ont lieu simultanément sur une section dans les sens ti, t?, G le coefficient d^élasticité qui, multiplié par ces glissements, donne (lemme II) les pressions tangentielles qu'ils engendrent dans leurs directions par unité superficielle; enfin, p la pression normale sur les mêmes éléments des sections, il y a équilibre de translation longiiudinale de chacun des éléments solides dans lesquels on peut diviser le prisme par des plans perpendiculaires aux x, aux u, aux v si Ton a :

^ ^'du — ^'dv = 0 au contour des sections ou le long des faces latérales supposées n'éprouver aucune action.

Démonstratloii. V Soient dx, du^ dv les longueurs des trois arêtes contîguês parallèles aux rc, aux u^ aux v, d*un élément parallélipipède.

Le glissement g', sur la section c» ou sur la base dudv de cet élément, dans le sens u, est aussi le glissement qui a lieu, dans le sens longitudinal , x, sur la face latérale dvdx ; car l'un et l'autre sont mesurés par le rétrécissement d'un angle primitivement droit formé par dx avec du (et on peut remarquer en général que tout glissement relatif de deux côtés opposés d'un carré est accompagné d*un glissement relatif égal des deux autres côtés de ce carré changé ainsi en losange).

Cette face dvdx et la face opposée et égale éprouvent donc, dans

APPEIIDIGE II. 531

le sens a;, des ictiopa — Ggdvdx et G Tg' + ^ du j<Mpi dont la

somme algébrique est 6 ^ dudvdx. De môme les deux faces dudx

éprouvent des actions longitudinalesdont lasommeest G^dvdudlx; et les deux bases dudv éprouvent des actions aormales dont la somme est J^ dx^dad». On a donc bien pour Téquilibre de translation longitudinale de cet élément et de tous les autres semblables» en divisant par le roliunedxdudo :

r Sur Iw bonk « en fetranohant les paralléliplpèdes , il restera

des éléments prismatiques ayant pour bases des triangles rectangles mnm' dont les côtés sont du parallèlement aux u^ — dv parallèlement aux v, et dont Thypoténuseest un élément ds du contour de la section. La face latérale dsdx répondant à de ne supporte rien par hypothèse , puisqu'elle fait partie de la surface latérale extrême du prisme, et les faces dudx, — dvdx supportent des actions longitudinales Gg^dudx, — Gg'dvdx. On a dono pour réquilibre

g^dtt — g'dDrsO;

ce qu'il fallait démontrer.

S 13. (Suite). Tbrnon.

Théorème II. Lorsque, les -faces latérales du prisme ne sup* portant toujours aucune action, ses bases éprouvent, dans Tétat d'équilibre d'élasticité, des actions seulement tangentielles répondant à de petits glissements g', g^ dirigés suivant des droites matérielles

dg' daf' primittvvneDt paraUèlesauxu etauxo, elsatisfaisaatà ^ + ^= 0

en tous les points des sections et à g^'du — g'dt? = 0 au contour, Je

dis:

l*" Que les mêmes glissements g', jg* ont Heu aux points correspondants de toutes les sections intermédiaires.

2" Qu'il n'y a aucune dilatation ou contraction longitudinale ni

transversale (quand on se tient , bien entendu, aux quantités trèspetites du premier ordre ou de l'ordre de g', g^ en négligeant celles des ordres supérieurs).

de!' àa' 3"* Qu'on a --^ ^ constant, et, dans tout le prisme, une tor-

sionunlforme0 = î(g:-g).

DémoiisCratleit. 1** et 2*. Si la deuxième partie de ce qu'on veut démontrer a lieu, ou sMl n'y a aucune dilatation ou contraction longitudinale ni transversale, il ne s'exercera, en vertu du lemme II, aucune pression normale ou longitudinale sur les bases , perpendiculaires aux x , des éléments prismatiques dans lesquels on imagine le prisme divisé par des plans orthogonaux perpendiculaires aux 2, aux u, aux r ; en sorte que si la première partie a lieu également, ou si Ton a, sur toutes les sections, des glissements

g', g" satisfaisant à ^ + -~- =0, g"dtt — g'i» = 0 comme sur les

uU (tV

bases, ces éléments intérieurs seront tous en équilibre de translation longitudinale en vertu du lemme III (appliqué en faisant p = 0}. Il n'y aura pas non plus sur les faces latérales intérieures de ces éléments, en vertu du lemme n, de pressions normales, ni même de pressions tangeniielles transversales ; car ces dernières sortes de pression exigent, pour être engendrées, que les angles droits des côtés parallèles aux u et aux v deviennent légèrement aigus ou obtus, ou que les diagonales des bases dudo s'allongent ou s*accourcissent, ce qui est encore contraire au (2*) ou à la nullité supposée de toute dilatation ou contraction transversale. Enfin, puisque le (!'') de l'énoncé est supposé avoir lieu aussi, il s'exercera, sur les deux mêmes bases dudv de chaque élément , des pressions tangentielles, dans le sens u, Gg', -n- Gg', et, dans le sens v, Gg'^ — Gg^', multipliées par leurs superficies qui sont égales; ces forces, les seules, comme on vient de voir, qui agissent latéralement, sont égales et opposées deux à deux; en sorte que les éléments intérieurs seront en équilibre de translation transversale comme de translation longitudinale sous l'action des pressions développées par les déformations satisfaisant aux (l**) et (2*) de l'énoncé du théorème.

Le solide ainsi déformé sera maintenu en équilibre (lemme I) par les forces extérieures supposées ou données qui sont aussi, sur les

APPENDICE U. 5Sa

bases, Gg', Gg" satisfaisant ^ ^ + y" = 0 , g"(iu — g'dy = Oi et

zéro sur les faces latérales.

Les déformatlous, répondant à ces forces extérieures données, sont donc bien ce qu^on a énoncé au l*" et au 2" du théorème.

3"* Puisqu'il n'y a de dilatations transversales nulle part et dans aucun sens, les points des sections n'éprouvent d'autres déplacements transversaux que ceux qui sont capables de les faire tourner les unes devant les autres. Considérons deux d'entre elles, très-voisines l'une de l'autre ; plaçons l'origine des u^ v sur l'axe de leur rotation relative, ce qui ne change rien kdujdv qui entrent dant les équations de l'énoncé; et appelons 0 le petit arc de cette rotation . d'un rayon = 1 et divisé par leur distance, en sorte que Or est l'arc pour un point m dont le rayon vecteur est r. Si nous appelons, en outre, z le très-petit déplacement longitudinal à ce point m dont les

coordonnées transversales sont u, v, ■-r- sera la diminution qu'aura

éprouvée l'angle primitivement droit acmu d'une ligne mx parallèle aux arêtes et d'une ligne mu parallèle aux u en vertu du petit changement de direction de cette dernière ligne miu Et on aura— Ov pour la diminution du même angle droit o^nu, due au changement de direction de mx, dont l'unité de longueur a maintenant une projection Or sur un plan perpendiculaire à l'axe de rotation ou sur la tangente en m , au cercle de rayon r, et par conséquent une projection Or X ^^ sur la parallèle aux u menée par m. (Yoy. d'ailleurs $ 5 de la note du n** 156, p. 2^7.) On aura, ainsi, la diminution totale de cet angle xmu ou le

glissement g' = ^^ — 6t?. Et on trouvera de même g" = ^ + ô«.

D*où -^ — -^ = 20, quantité qui est nécessairement constante au av

d'un bout à l'autre du prisme ou de la portion de prisme que Ton considère, puisqu'on vient de prouver que g' et g'^ sont les mêmes aux points correspondants de toutes les sections.

La troisième partie de l'énoncé se trouve ainsi démontrée comme les deux autres.

Sclaelie fl. L^équation au contour des sections, ^^dti—g'dv = 0 exprime seulement que les faces latérales n'éprouvent pas d'action

6lk SECT. I. BÊSISTAMCK PE8 SOLIDES.

tangentielle dans le sens longitudinal Elle ne suffit pas comme

donnée avec ^ + -^ = 0 pour établir les diverses parties du

théorème U{ il faut y joindre la condition» également énoncée, mais non exprimée analytiquement , de nullilé des actions tangentielles transversales et des actions qormales sur les mêmes faces latérales. Les mômes théorèmes auraient encore lien, il est vrai, avec une légère modification» si les faces latérales éprouvaient des actions normales comme celle que produit la pression de Tatmo* sphère, et, aussi, des actions tangentielles transversales constantes d'un bout à Tautre oomme celles que produirait un certain frottement latéral, liais on peut ne considérer qu'ultérieurement ce cas complexe» donnant lieu à des déformations rétuUantes de eelles qui sont dues séparément aux actions latérales dont on parle, et aux actions produisant les glissements g', ^* et la torsion.

Sclielie m. Si Ton prend pour g', i' des fonctions entières

de! as!' de u, V, d'un nombre indéfini de termes, la condition -7-+ 7- == 0

du 010

sert à réduire le nombre des coefficients indéterminés de Tune des

deux; et, en les substituant à g', g^ dans Téquation g^du— g'd«=6,

comme son premier membre satisfait à la condition connue pour

être une différentielle cotnpiète , puisque cette condition est

da** ÔH fS

7" = aJ f ^ premier membre s'intègre en qu^qne sorte de

lui-môme, ce qui donne Téquatioa iteérale des oontonni oorraspondants des sections, en une série entière égalée à zéro. Cette équation et ces expressions servent aux problèmes de torsion en astreignant

en outre les coefficients indéterminés ^satisfaire à ^ ^ ^== me

ou ao

constante 20 ; et on retombe dans les expressions des glissements

et dans Téquation des contoors du $ iO de la note du n* 156,

p, 265-2M (voF« eussi V appendice, i 36),

S Id. (Suite) Flexion.

tâtmuÊÊm I¥. Si, h travers une section droite« les diverses fibres d'un prisme ont éprouvé des dilatations longitedioiJea (positives ou négatives) proportionnelles 4 leurs erdonm^ transversales V ou 4W( djstiaf^çes à utte m^oe droite ou ligoe tfebseisses

traeéë sur eettô seotioti, o^est4^-diie des dilations «qnrbnées par

?, P étant une constante, je dis :

1* Que ces fibres pourront, sans cesser â*être conti^ës, prendre

des contractions transversales t) -, ou ajrant un rapport constant vj

P avec les dilatations correspondantes;

2" Que les petites droites matérielles tracées primitivement sur

la section perpendiculairement entre elles se couperont encore

normalement après cette modification.

JMnakmnaÊfmHmn (semblable à celle du S 3 de la note du n** 80, p. dA> Donnons toujours h oes fibres, ou éléments longitudinaux, pour fixer les idées, la forme de parallélipipèdes ayant pour bases les petits rectangles dans lesquels la section se trouve partagée en y traçant des lignes perpendiculaires et des lignes parallèles aux ordonnées v; et contractons d'abord les

fibres, suivant le sens t?, dans ces proportions t] - . Gomme toutes

celles de chaque zone perpendiculaire aux v seront contractées également, elles ne cesseront pas d'être contiguês après cette pren)fère modification, et leurs bases seront toujours des rectangles reotilignes. Ensuite, courbons la ligne d'abscisses, ou la ligne de division répondant à o = 0, en un arc de œrcle de même longueur ayant son centre sur le plan prolongé de la section, à une distance

^, mesurée du côté des v positifs, et courbons tontes les autres lignes de division, qui lui sont parallèles, en arcs eeneeotrtqiies, dont les Ugnes de division perpenéleolaire deviendront If» ngrons. H m rèmltera que les fibres, d^k contractées transversalement

dans la proportion v) - suivant le sensf^, serontemitriotées imitant le

M fa

sens perpeiidloiilali«» dans la proporlioii - , e*es(4^rei aiwsli i|-.Or

i* elles sont contfgués, 9* les angles des eMsdeieutbaaes deveqnes de petits quadrilatères mlxtlllgnes n'ont pas cessé d*ètre droitEL

Donc, etc.

Tltëorénie Ht (flexion sans (glissement, Oti fiexiOii égalé ou en arc de cercle). Si Un prisme dont les faces latérale^ ne feuppbrtmit

536 SBGT. I. B&SISTAIICB DES SOtlDBS.

aucune action éprouve,* sur ses deux bases^ lorsque son équilibre d'élasticité est établi, des pressions extérieures seulement normales,

représentées par E - pour Tunlté superficielle de l'élément dont v

est Tordonnée par rapport à une ligne d*abscisses tracée de la même manière sur les deux bases, E étant le coefficient d'élasticité d'extension longitudinale du même prisme, et p une constante linéaire très-grande par rapport à v; je dis que les sections &> primitivement planes sont restées planes et normales aux fibres, que celles-ci ont pris la forme d'arcs de cercle ayant leurs centres sur une droite tirée parallèlement aux lignes d'abscisses et à la distance p de ces lignes ; et qu'elles ont éprouvé, partout, en même

temps que des dilatations longitudinales - (positives ou négatives

avec v) , des contractiops transversales 11 -; ti étant toujours le

coefficient défini au scholie I, coefficient qui est tel que les faces latérales des fibres contiguês, ne se pressent pas l'une l'autre et que

leurs tensions longitudinales sont représentées partout par E -.

néwn^nmtrwMmwk. Si ce qu'on veut démontrer a lieu (et le lemme IV en a prouvé la possibilité) un élément quelconque de fibre, d'une longueur assez petite pour être regardé comme rectiligne ou prismatique, est en équilibre de translation en le supposant entièrement intérieur^ car ses bases dm éprouvent des trac-

tiens longitudinales égales et opposées E - (icn, ses faces latérales

n'éprouvent aucune action normale, et il n'y a aucune action tangentielle puisque les angles formés par les arêtes de ces éléments parallélipipèdes avec les côtés des bases n'ont pas cessé d'être droits, et qu'il en est de même (lemme IV) des angles formés par les côtés des bases. Un élément, aussi parallélipipède, dont une des bases ou une des faces latérales est extérieure, se trouve en équilibre par les mêmes motifs, et il en est de même d'un des éléments prismatiques triangulaires restants^ par la raison donnée p. 529 à la démonstration du théorème I. Donc , d'après le lemme I, les déplacements énoncés sont bien ceux qui ont lieu dans Tétat d'équilibre où les forces extérieures sont ce que porte le théorème.

f eltelie IV. En appelant M le moment total, autour d'une des

lignes d'abscisses, des forces agissant sur une des deux bases, et du