u'ona,partout,^-f

Hémoiistratleii. 1". Si la première des trois parties de ce que nous voulons démontrer a lieu (et cela est possible d'après le lemme IV où l'on a prouvé la compatibilité de contractions telles

que ^i ~=z — - V avec des dilatations proportionnelles à v sur chaque

section et représentées par v\ les éléments prismatiques

ISii

538 SECT. I. RtSISTARGE DES SOUDES.

contigus n'exerceront aucune pression normale les uns sur les autres (théorème I et scholie I), en sorte qu'en appelant p leurs tractions longitudinales, ou les composantes normales des pressions s*exerçant de Tavant à Parrière au travers des sections, on aurap égal à la dilatation multipliée par le coefficient d'élasticité £ comme

si l'élément était isolé, ou p = — 7" t?« d'où ^ = -=- > en sorte

que l'équation G (^ + ^ j + ^ = ^ ^^ lemme III sera satisfaite.

Et comme on a aussi g^^du — ^dv = 0, il y aura, d'après le i" et le ft de ce lemme III, équilibre de translation longitudinale de tons les éléments tant parallélipipèdes que prismatiques triangulaires situés au milieu ou sur les bords. Ils seront également en équilibre de translation latérale, car, sur leurs bases antérieure et postérieure, il y a, dans le sens u, respectivement des forces Gg', — Gg', et, dans le sens v, des forces Gg'', «-Gg'' multipliées par les superficies qui sont égales, et il n'y a aucune action dans ces sens sur les faces latérales d'après ce qu'on a vu au lemme IV (2* partie) et à la démonstration du théorème IIL

Donc,' en vertu du lemme I, les déformations énoncées au i** du théorème IV sont bien celles qui auront lieu dans l'état d^équilibre sous l'action des forces extérieures supposées à son énoncé.

2*. La somme des moments, autour de la ligne d'abscisses u, des

forces de traction £ dia s'exerçant sur les éléments dta

ËI

de la section située à la distance x de la première base, est ■ ^^""^'^ j^î^o, = P(a— x). Ce moment est celui d'une force P agissant parallèlement aux v dans le plan de la deuxième base du prisme. OnadoncP = jGg''(ia>^ somme des actions tangentielles dans le sens v sur cette base, et par conséquent sur toutes les sections.

iV. B. Le moment total des tractions autour de Taie dts or-

données v est de môme — -= — - ^uvdm. Si ^uvdiù = 0 , ou si la

ligne des abscisses u est un axe principal d'inertie de «a, oe moment est nul et on a jGg'dco = 0 où une somme nulle pour les actions tangeûtielltt etllioé^s dans le sens u sur chaque section.

APPSMDIGS II. S39

3^ En appelant x, u» v, comsie au S Â6 de la cote du u" 156» p< A02| les petits déplacements d^ points du prisme dans les sens X, u, r, et décomposant, comme on fait au théorème U, les glissements g', g^ qui sont les inelinaisons projetées de la nouvelle normale siir l'ancienne normale à Télément Jo», en inclinaisons de chacune

d'elles sur la ligne d'axe ou fibre moyenne, on a g* = -3- + ;î^,

«'/^i^+*! d'où ^ - ^ = -^ Z'- Î?H + ^\ ® ot? cix' diz du dx\ dv du/'

Mais on a — ^ = j!^ (comme on a déjà vu au même g 46,

p. &09), puisque, d*après le 3* du lemme lY, Tangle droit pmn des ^ petites lignes matérielles menées parallèlemeut

^ aux u, aux v, par un point m, est resté droit en

.^ devenant p^mn^.

Or le déplacement transversal u d*un point de la section dont Tabscisseest u provient de Taccumulation, à partir de l^axe des ordonnées Vy des contractions latérales des fibres situées sur une même parallèle à Taxe des u, en sorte qu'on a

cPn Pu , dft^ da! Vu

"""'^ 555i = '' si' **' P" «oo'^'iuent^- g = - Shi ^ con-

mémént ao (3*) de renoncé du théorèaia & démontrer*

{}) Cela résuUe des modificatlotis transversales éprouTées par une section queleoaiiQC d'après le IsmiM tV| tar m a y» que l'axe des v, qui 7 était traoé, Mate une ll^ne droite , au moins en prqieoUon sur un plan perpendiculaire à la fibre moyenne.

Mais comme l'axe des ti se courbe (même lemme) en are de cercle de rajon ~ ,

les déplaee»«nts v résnltenl à la fois de sa çoÊtrèmre et de VMwmnllitioB des eootractions des fibres situées sur une même parallèle aux v. On en déduit

^ P(a— x) ^ P(a— a?)u«— »• ^ ^ dhf Pu

p El El a ' dudx * El'

d^u c*est-à-dire précisément ---— - pris en signe contraire,

wMW

540 UCT. f. AÊSlSTAlfCB DES 80UDES.

Selhttlie ir« En prenant pour g', ^\ comme nous avons dit au

BCholIe II relatif à la torsion, et comme au % AS de la note du n* 156

(p. /ii03), des fonctions de «, v dont on astreindra les coefficients à

,. , ^.*. àg^ , dg' Po dg" dg' „ Pi*

remplir les conditions ^5. + 1^ = ^^ „ « ^ = 2,î gj-, puis

substituant dans g^'du — g'dr = 0, on a une équation diiTérentielle du premier ordre, toujours intégrable en série quand eile ne Test pas sous forme finie, et susceptible de représenter tous les contours possibles.

Les formules connues de la flexion se trouvent, ainsi, rigoureusement démontrées pour tout prisme, moyennant le mode de distribution de la force transversale P sur les éléments dcu de sa deuxième base représenté par les valeurs des actions tangentielles Gg^'dco. Vu la presque indifi'érence du mode de distribution (Voy. ci-dessus) on n^a besoin de connaître, dans la pratique, les glissements g', g" que pour les cas assez rares où ils ont une influence sensible dans V équation de cohésion. Nous avons donné, au S U6 cité, leurs valeurs pour diverses formes du contour, obtenues par Tintégration de son équation différentielle g'^du — g^do s= 0 , quand cette intégration peut s'effectuer sous forme finie.

S lu. Observation sur la méthode suivie , etc. ^ Les théorèmes ci-dessus, de I à IV (sauf peut-être le dernier, qui est relatif à la flexion inégale ) auraient pu être énoncés et démontrés avec des no* tations de géométrie analytique élémentaire. Nous avons cru ne pas devoir le faire dans cette esquisse, et laisser à d'autres une pareille traduction, afin d*éviter les périphrases qui auraient nui à la clarté.

Ces théorèmes suffisent, en y joignant ceux qu'on a de même, comme nous avons dit, pour une matière dont la contexture est inégale, pour obtenir, en les particularisant, Textension, la torsion, la flexion et les glissements d*un prisme quelconque dont les extrémités sont sollicitées par des forces ayant une résultante donnée et un moment résultant donné. Tout le reste n*est qu^une affaire de calcul ; et on peut en étendre les résultats approximativement, comme nous avons dit, au cas où les forces sollicitantes sont distribuées sur tout ou partie de la longueur du solide prismatique ou presque prismatique.

Si Ton trouve que la forme presque entièrement synthétique sous

laquelle nous avons voulu les présenter pour les établir avec rigueur est peu propre à faire saisir la raison de ce qu'ils énoncent^ nous n'avons pas besoin de dire qu'on peut préparer de diverses manières rintelligence de leurs diverses parties, par exemple comme nous avons fait aux notes des n** 21 ($ 3), 80 ($$ 3, à), 153 (S 2} » 156 (SS 5, 6, 7, 8, etc.), en sorte que renoncé final et sa démonstration serviront seulement à prouver leur exactitude , ou àjustifier les suppositions de dilatations transversales nulles, etc., qu'on est obligé de faire à priori quand on procède sous une autre forme 0). On reviendra sur ce sujet à la fin de l'App^RdTjpG^^ivfif t «

3* Appendice. — ÊtabUssement ilémentaireVk^ fcirffîfm è^Ji^' êqualions générales de la théorie de V élasticité des corps solides.

S 15. Avant propos. Observation sur le changement des nota^ lions, — Nous avons évité, dans tout ce qui précède, de nous appuyer sur les formules et équations générales de l'élasticité, et

{}) Ainsi après avoir monlré, dans un lemme géométrique, qu'une torsion 9

avec des déplacements longitudinaux x prodoit des glissements g' = -- — ^v,

dx d*i d*z tdx. \

ttf' r= - — f- ^ î c« qui donne la forme — -. + -r-r = 0, | -- + ôi* ) di« —

dv du* dv* \dv '

/-— — Ovj dv = 0 aux équations exprimant, Tune l'équibre des actions langen-

tielles longitudinales quMIs engendrent sur les races latérales extérieures des éléments, et, l'autre , la nullité de ces actions longitudinales sur les faces latérales extérieures du prisme, on démontre facilement le théorème II ainsi énoncé : « Lorsqu'un prisme n'a éprouïé que la torsion uniforme 9 sans dilatations longitudinales ni transverstles, arec des déplaoemenls longitudinaux x satisfaisant à la première de CCS deux équations partout, cl à la seconde au contour des sections, on le maintient dans son nouTel état d'équilibre eu appliquant, sur ses bases, suivant les u

(dx \ idx « 6») , G { h ••») P*r unHè suait ' \dv I

perficielle de ses éléments, sans aucune action sur les faces latérales ; » théorème qui contient toute la théorie de la torsion des prismes d'égale conteiture transversale.

su SECT. I. RÉSISTAIICB DBS 80LIDBS.

nous afons, fc nemire du besoin (notes des n** Si, 60, 163 à iM) donné des démontrations particulières de ce que nous ations à eni'*» pranter à rimportante théorie qu^elles résninent, et qu*ôn a appelée aussi mécanique moléculaire à cause des considérations sur lesquelles elle est principalement basée.

Mais cette théorie , fondée de 1821 à 1839 par les beaax travaui de Narier» de Gauchy, de Poisson et de MM* Lamé et dapeyron, comprend dans ses applications tonte celle de la résistance des solides; c^est d*elle qu'il faudra toujours partir lorsqn*on voudra avancer ou perfeetionner eell^>ci ; et nous aurons à l'invoquer dans la suite de cet ouvrage.

Nous croyons donc devoir exposer ici cette théorie générale de rélasticité , avec quelque développement , mais dans les termes les plus simples et les plus élémentaires auxquels il nous a été possible de la ramener; ce qui nous fournira Toccasion de donner d*autres démonstrations que celles du S 8 de la note du n" 152 des théorèmes concernant certains rapports numériques (Voy. aussi 5* appendice), et de revenir sur ceux de torsion, de flexion, etc.

Pour n*avoir pas à invoquer continuellement des choses éparses dans les diverses Notes ci-dessus, nous reproduirons, et quelquefois d'une manière presque textuelle, des raisonnements déjà présentés, même au 2* appendice.

On comprendra aussi la nécessité où nous nous trouvons de nous servir ici d'autres notations. Nous avons dû suivre, jusqu'ici, celles des Leçons de Navier, où u^ v sont des coordonnées transversales. Nous les désignerons par y, z suivant Tusage plus général, qui nous déterminera aussi à nommer

ce que nous avons quelquefois désigné par x, u, t, savoir les petits déplacements des points dans les sens des trois coordonnées rectangulaires.

S 16. Actions moléculaires. Pressions ou forces élastiques dans un corps solide. Théorèmes de projections de plans dépression et de réciprocité des pressions tangentielles. — L'élasticité des corps solides et même des fluides, leurs résistances diverses, leurs vibrations, la transmission, par leur intermédiaire, des efforts et des ébranlements, et, on peut dire, toutes leurs propriétés mécaniques.

APPENDICE m. 5&S

prouvent que les molécules ou les dernières particules qui les composent exercent les unes sur les autres des actions répulsives indéfiniment croissantes pour leurs distances mutuelles les moindres, et devenant attractives pour des distances plus considérables, mais relativement insensibles quand ces distances, dont elles sont ainsi fonctions, acquièrent une grandeur perceptible (').

Il n'est pas nécessaire de connaître les intensités individuelles de ces actions moléculaires pour déterminer les résistances aux déformations des corps élastiques. Il suffit, en imaginant ces corps partagés en éléments polyédriques, de considérer les résultantes de celles qui s'exercent en très-grand nombre à travers leurs faces de séparation; résultantes tout à fait analogues aux pressions des fluides, mais pouvant avoir des inclinaisons quelconques sur les. faces où elles agissent, et pouvant, ainsi, être attractives, tandis que, dans les masses fluides en repos, elles sont généralement normales et répulsives.

Nous appellerons donc en général pression (et quelquefois ten-

(*) M. PoisiOD et d'autres auteurs ont remarqué que si l'on répugne à admettre (|1M ces forces cbangeot ainsi de signe ou de sens pour une grandeur déterminée deM 0,. distance moléculaire, etqoe, lorsqu'elles sont

derenues attractives, elles croittent avec ladUianceoù elUê ^exéroêni, pour décroître ensuite quand celle-ci passe une certaine autre grandeur, on peut Irés-bien supposer que l'action moléculaire est une différenbe de deux autres, l'une attraciiTe, Tautre répulsive, toutes deux décroissantes quand la dislance crott, et indéfiniment croissantes quand elle diminue; et re-> présentées , comme a fait M. Poncelet (Introduction à la Mécanique industrielle), la première par les ordonnées, parallèles à 0/*, de la courbe aaa , la deuxième par celles de la courbe rrr quand les abscisses sont les distances comptées sur Od. En effet, passé une disUnoe égale à l'abscisse 0|» de leur point de rencontre m, la différence, auparavant répulsive, devient attractive ; et, après avoir crû Jusqu'à ce que la distance atteigne Oq, abscisse des points n, s où les tangentes aux deux courbes sont parallèles, elle décroît Indéfiniment quand la distance augmente. L'une do ces deux forces (on ne sait laquelle) peut être supposée inhérente A la matière pondérable, et l'autre due à une influence étrangère telle que l'action d'un fluide impondérable sur ses parties et sur lui-même. Au moyen de la substitution de cette différence de deux forces à une force unique. Poisson évite pluneurs difficultés, mais que nous ne reneontrerons paf!.

Skh SEGT. I. RÉSISTAlfCB 0ES SOUDES.

sion/ traction , ou plus généralement /arce élastique ) , sur un des deux côtés d*une petite face plane imaginée à Tintérieur d'un corps ou à la limite de séparation de deux corps, la résultante de toutes les actions des molécules situées de ce côté^ sur les ^nolécules du côté opposé y et dont les directions traversent cette face; en la regardant comme positive lorsqu'elle est attractive , et négative lorsqu'elle est répulsive.

Il suit immédiatement de cette définition que la résultante des pressions sur les diverses faces d'un élément polyédrique est exactement la même que la résultante des actions exercées sur les molécules de cet élément de la part des molécules gui lui sont extérieures; car si les pressions comprennent, en outre, des actions de molécules extérieures sur d'autres molécules extérieures, suivant des lignes qui traversent deux des faces de l'élément solide, ces actions étrangères se détruisent deux à deux en composant la résultante générale, et il ne reste que les actions des molécules du dehors sur celles de l'intérieur de l'élément du corps (^).

Il suit encore de la définition ci-dessus que la pression sur une petite face plane A est résultante des pressions supportées par les trois prqjections X, T, Z de cette faôe sur trois plans rectangulaire» passant par son centre. — En effet, le nombre et l'intensité totale

des actions moléculaires qui s'exercent parallèlement à une même droite rr à travers diverses faces très-petites aa6, cod, etc., ayant le même centre de gravité, sont évidemment les mêmes pour toutes , si ces faces ont la même projection pq sur un plan perpendiculaire à rr; car cette projection est la

(*) Cela n'a pas lieu lorsqu'on définil la pression sur une face , arec plusieurs auteurs : La résultante des actions exercées sur les molécules du cylindre droit indéfini élevé sur cette face comme hase , par toutes les molécules situées du câté opposé du plan de cette même face. Alors, en eflet, il est facile de Yoir que la résultante des pressions sur un élément polyédrique ne contient pas toutes les actions qui s'exercent du dehors au dedans de cet élément , qu'elle fait une sorte de double emploi de plusieurs et qu'elle contient beaucoup d'actions étrangères (Société philomathique, 30 décembre 4843 ou journal VInstitut, n* 524, et Comptes rendus de l'Académie, 7 juillet 4845 , t. XXI , p. 34). Il en résulte des difficultés plusieurs (ois rencontrées par Poisson (Uémoire sur les corps cristallisés, lu le S8 octobre 4839, t. 48 des Mémoires de l'Institut], et dont on se débarrasse en adoptant la définition que nous avons donnée.

APPENDICE III. 5/l5

section droite du faisceau prismatique des lignes parallèles joignant les molécules deux à deux. Cette intensité, proportionnelle du reste à la superficie des faces qui font partie d'un même plan, est, ainsif en raison de la projection pq lorsque cette projection a des grandeurs différentes pour les diverses faces* Or on en déduit immédiatement que les actions parallèles à une droite quelconque, s'exerçant à travers notre face A , ont la même intensité totale que celles qui s'exercent à travers les trois projections X, T, Z; car celles-ci, projetées sur un même autre plan, donnent toujours, comme on sait, une somme égale à la projection de A sur ce dernier; par conséquent, comme les pressions sont les résultantes générales des actions s'exerçant dans toutes les directions, la pression sur À peut être remplacée par les pressions sur X, T, Z.

Ce théorème, dit des projections de plans de pression , a été découvert sous une autre forme par M. Cauchy (30 septembre 1822, Société philomatique, 1823, p. 10, ou Exercices de mathém.^ 1827, p. /|9), comme conséquence de Téquilibre d'un élément tétraèdre trirectangle, dont la grande face , qui a les trois autres faces pour projections orthogonales, doit supporter une pression égale et opposée à la résultante des pressions que supportent celles-ci, en négligeant les forces accélératrices (telles que la pesanteur) agissant sur rélément proportionnellement à son volume , qui est très-petit du troisième ordre tandis que les faces auxquelles les pressions sont proportionnelles ne sont très-petites que du second ordre (O^

11 suit de la même définition des pressions et de la même remarque

('} On D'à pas i négliger des quantités d'ordre de petitesse immédiatement supérieur aux pressions lorsque l'on considère (comme nous avons fait à un mémoire

présenté le 44 afril 4S34]^ au lieu d'un seul tétraèdre,

^ deux tétraèdres abcd, a'b'c'd' placés en fens contraire

|jvs^ par rapport à leur centre de gravité commun o, sup-

«i'^'î^fp^^ip^i;^^ posé situé au milieu des quatre lignes qui joignent

1*1. ,^^^ r-jv ^^' sommets du premier aux sommets homologues du

[.^g--X-•^..^.. 1 ^;^ ^ second. Les faces de Tun sont, ainsi, respectivement

0 \nJF égales, parallèles et opposées aux faces de l'autre, et

^b' les pressions de l'extérieur i l'intérieur y agissent en

sens contraire. L'équilibre exige qu'on ait xéro pour

la résultante des actions sur chacun d'eux, en y comprenant, s'il j a mouvement,

les inerties ou produits des masses par les accélérations de leurs points; on a donc

aussi léro, évidemment, en composant les actions sur Tun avec les actions sur

lautre, prises en sens opposé. Or, dans cette composiiion, les pressions sur les

ar>

relative aux intensitéâ totales des actloos dans une direction déterminée que si Ton appelle, comme nous ferons désormais,

les composanteâ , suivant les coordonnées rr, y, z, des pressions supportées en un même point par Vunité superficielle de trois petits plans perpendiculaires à ces coordonnées rectangles, et ayant le même eentre de gravité , la première sous-lettre indiquant le plan par sa normale, et, la Mconde, le sens de décomposition , Ton a

(1) Py=P*V9 P«t = P«» P»v=Py»'

En effet, les inteusltés totales ou sommes d'actions s^exerçant pa^ rallèlement à une môme droite r à travers doux petites facee supposées égales en superjicie et perpendiculaires respectivement à y et à 2, sont entre elles comme les projections de ces deux face» sur un même plan perpendiculaire à r, c'est-à-dire comme C08(r» y) et cos(r, z). Décomposées, la première dans le sens 2, la seconde dans le sens y, elles donnent cos(;^)cos(rz) et C08(r2)cos(ry), ou la même chose. Donc, comme les pressions résultent de la composition des actions semblables pour toutes les directions r, on voit que la pression sur la première face, estimée perpendiculairemeni à la secondent a la même intensité qtie la pression sur la seconde ^ es^ tintée perpendiculairement à la première^ ce qui donne bien p,. = Psy ; et ainsi de même des quatre autres composantes analogues.

C'est le théorème de réciprocité des com^ posantes tangentielles de pression, également dû à M. Cauchy {Exerc, de math.^ 1827, p. Ul'US), qui Ta déduit de l'équilibre de rotation d'un élément parallélipîpède aa\ à peu près comme nous avons fait à la page 3â6 (S 39 de la note du n« 156] (*}.

fUCMègaleiet pârnllëlct l'ajoaient, landls qat te« forces accéléralrices et les inerties disparaissent comme ayant les m^mcs Intensités totales pour les deut tétraèdres a cela prés de quantités d'ordre de petitesse 4""* ou au-dessus. En divisant par 9, on peut remplacer, avec la même approilmation, chaque demi-somme de pressions sur deux Tacef égaies appartenant auxdeui tétraèdres, par la pression sur une Tace parallèle et de même superflcic ayant son centre en 0. Il en résulte le tliéorème énoncé; et démontré ain<i jusqu*Â des quanliiés d'un ordre do petitesse supérieur de deux unités i celui des quantités entre lesquelles II établit dés relations. (*} On peut remarquer qu*en prenant, comme nous avons fait d'après 9. Citi-

s 17. Formules des changements de plans de pression, Compo^ santés de pressions sur trois plans rectangulaires ou obliques ^ et^ pour chacun^ suivant les trois normales à ces plans, — Du premier des deux théorèmes du $ précédent oh peut déduire facilement des fbfihules qui donnent les six composante^ de pt^èssious shf tt*ois plans i>erpehdIculal!^eB à de tiouVélleà lighes qUelcôncjheô «', y\ i^ lorsqu'on connaît, pour le même pdint dd corjte, lëë sîjt cDlh^osantes

Piez, Pyyf Pu i pytj Psxj J^aff

des pressions sur les trois plans coordonnés rectangulaires Tun à Tautre (composantes dont les trois premières sont ce qu'on appelle les pressions normales ^ et, les trois dernières^ les pressions tangentielles) (*).

En effet, soit, encore plus généralement, à obtenir la composante

suivant une ligne s, de la pression sur une petite face qui a pour normale une ligne n, et pour superficie Tunité. Les projections de

chy, pou^ Ate â«l UiDittètili la dh>ite COd égaleili«dl âlfetaiite des quitte hoét A, A't B| R' (tupposéet d« tDême superflcie]| le théorème de régalilé det eomposantet de pression qui sout, comme ces races, très-petites du second ordre, ^e trouTe démontré eh he négttgèatit ^ue dlbs quantités du quatrième ordtt. Ktl effbi, les fort»» accélératrices ou d'inertie, si elles varient d*un point à Tautrai iM péHteai donner pour moment totai qu'une quantité de cet ordre quatrième multipliée par le bras de IcTier commutoi Cfct ordre de petitesse bst aussi celui des dlflérMieès pea^ vant eiister entre la deml-aonme des composantes de pretsion sur A et sur A% ou sur D et sur B', elles composantes dépressions sur des faces égales et parallèles iiylhl leur Centre en 0. Il y a doné blert, eittre tes coihpolÉnteB t^iproques dé pression suf des faces afant mftne eentre^ l'égalité qui était à démontrer.

(1) Cette notation, que nous employons depuis 4837 pour les six composantes, nous a été cohseillèe par torlolis, et a été Ûnatement employée pat Cauchj (Compter rendits, t<^ février 4854, t. XXXVHI, p. 829).

Nouft croyons devoir en donner la synonymie avee celles de divers auteurs.

décomi^etlltoi.

ÎÉÊékj (4IIT);

9 ff t X if X X y z

Faces perpendi- ^ ctolali-es

Pa Pi

Os Oi

Ra Ri

Pyt

P SX