PX
Pyt
Pzz
5(t8 SECT. L RÉSISTANCE DES SOLIDES.
cette face sur des plans respectivement perpendiculaires aux coordonnées rectangles x, y, z auront des surfaces
C08(n»x), cos(n, y), cos(n,2;);
en sorte que, d'après le théorème invoqué, on aura d'abord pour les composantes pwB% Pny , Pns des pressions sur la face nouvelle, es- *timées dans les sens anciens x, y, z :
iPnx = Pxm cos(n,x) + |>,xCos(n,y) + Pm* cos(n,2;) , Pay = Pmv cos(n,i) + Pyv cos(n,y) + p.» cos(n,z), Pûx = PxM cos{n,x) 4- PyM cos(n,y) + p„ cos(n,z).
Ajoutant entre elles ces forces, décomposées toutes trois dans le sens j, ou multipliées respectivement par cos(j, x), cos(j, y), cos(«, z), on a la composante cherchée. Donc on a (en supprimant les parenthèses après cos comme nous ferons souvent pour abréger) :
(3) Pm = Pma cosnx coBsx + j>yy cosuy cos jy + Pu cosn^ cos» + -|-py, (cosny cossz + cosnz cos^) + + Pmx {cos nzcossx + cosnx ces») + + p»y (cosnx cos ^ + cosny cossx).
En mettant successivement x', y\ z' à la place de n et de ^ , on déduit de cette expression les six formules suivantes, dont on se sert souvent, et où nous représentons, pour abréger encore plus, les cosinus par la lettre c avec les côtés de leur angle pour souslettres ou indices :
p,,„=p«BCV«r +|>f»cV' +P..C',,, + 2l>v.Cy,,C„, + 2p«rC«,C«„ + 2pcyC«»iCy«,,
Ptr^y; =1>««C'*»' +PnC\»' +P«C*.y, + 2PyirCyy Ayf + 2p«^,y,C«y, + 2p.yC^;Cyy„
p„„ =p«cC*jw, +PrfCV' 4-p»»c*„, + 2|>y,Cys,Cu, 4- 2pmCu,c„, + 2px»c..,c,„,
I py„, =pM.Cey,C«f 4-Py»Cyy,Cy„ +PMCsy,CM, + Py»(Cyy,C„, + Cy,rCsy,) -f (4)/ + Pum (Csy/C«s, + C,«,Cajy,) +P*» (Ccy^ Cyc, + C„,Cyy,),
|P„., =Px*Ca»/C«„ +PyyCy„Cy,, -f-p„C„/C,„ 4-Py,(Cy„C,,, -h Cy«,C,S,} +
*T"Pl«(CM»CjHtf + OzutCjgxi) "T PttffifixMiCyzi T Csg,;Cys;), P«/ff=P«»Cjr«;Cj»y» +P»f ^»»Oyyf +pSlCMf C«yr 4~ Pys(CyCf C«y| + CyyrCsci) +
+ Pl«(C,,,C«y, +C,y,C«B,) -i-p*y (C^xfCyy, + Ccy^Cyc).
Ces formules s'appliquent aussi bien lorsque les directions nou^ telles x', y\ z* ont une obliquité quelconque Pune sur Vautre que lorsqu'elles forment un deuxième système orthogonaL
Seulement, alors, p^ix' , etc., représentent les pressions, non sur
APPENDICE III. 5ft9
les plans y'7!y jfaf^ zfy* parallèles à ces directions prises deux à deux» mais sur des plans perpendiculaires respectivement à x', y', z' ; et c*est dans les mêines directions qu^ont lieu les décomitositions; en sorte que p^'ars Pvtf » px'r sont bien trois composantes ncnnales^ mais pyfgt 9 pxfaf f p«'y ne sont pas trois composantes tangeniielles aux plans de pression.
On voit , par la composition des trois dernières , que py^/ =pry' , p^r^f = p«/ss Por'y' = Py^y ce qui est une généralisation du théorème de réciprocité (J précédent) facile à démontrer directement
11 est facile , aussi , de prouver que des formules telles que (A) seraient encore vraies ou exprimeraient encore les six composantes de pression sur des plans perpendiculaires aux directions quelconques 2', y', z' et suivant ces directions nouvelles , même si les directions anciennes x, y, x étaient légèrement obliques Vune à Vautre^ pourvu que les neuf cosinus fussent ceux des angles de 7!^ y\ z', nxm pas avec x , y, z, mais avec les lignes peu différentes suivant lesquelles se coupent les* trois plans perpendiculaires à x^ y,z, c*est-à-dire avec trois lignes respectivement perpendiculaires à y et à z, à z et à X, à X et à y (^) .
S 18. Dilatations et glissements. Leurs relations pour divers sens. — Avant de chercher les relations entre les pressions dans les solides et les déformations qui les développent, étudions celles-ci en elles-mêmes , ou cinématiquement
Soient, dans un corps, avant sa déformation ou les déplacements relatifs de ses parties , trois petites lignes matérielles rectangulaires partant d*un même point M parallèlement aux coordonnées x, y, z, et changées , par ces déplacements , en trois lignes très-peu obliques entre elles ll|Xi , Mt^t, MiZ^. Appelons
les dilatations éprouvées respectivement par ces lignes, ou les proportions supposées très-petites de leurs allongements positifs ou négatifs. Et désignons par
(*) Voyez le mémoice déjà cilé De la tortion des prismet, 4853-4S55; art. 41 , en noie.
S£CT. I. BÊSlSTâRCB DES SOLIDES.
\^glU^emçi(iU^ OU les quanti tés, aussi très-petites^ dont pnt cheminé les unes devrai; l^ «utres, pour FuAlté de leur distatice. les p«a^-« lèlea , 9çit 9UX y, ^t aux z, d^uis te plan y}liz devenu y^Mt^i % et ainsi des deux autres plaus ; glissements qui i^Aemuw.t wm ^ ûi? clifiaisons prises les upes sur les autres par Içs ivç*^ ligues M^, %, (^;? priq^itiyement rectangulaires , ou les rétrécissements , évalués en arcs d'un v^jm ^ i« qui out été éprouvés par leurs trois appies , et qui ne sont autre chose que les cosinus des angles actuels yiMjZj, iiMyC^t, y^^Mjyg, supposés devenus légèrement aigus lorsqu'on prend positivement les quantités g.
Ces trois dilatations et ces trois glissement^ , sensiblement les mêmes dans toute une petite étendue du corps autour du point M« donnent complètement sa déformation dans cette étendue, ou fourpissent tout ce qu'il faut pour déterminer les changements de distance mutuelle des divers points qui y sont compris; car chaque distance nouvelle est \tk diagonale d'un parallélipipède dçut les côté^ sont les projections de la distance ancienne sur x, y, r, ^uginentés dans les proportions Dx, ^yt ^s, et dont les trois angles plans adjacents sont connus par gy, , gsc , giD» qui représentent leurs cosinus.
Par exemple, s'il n'y a une qu*une dilataUen
que, pour fij^er lea idées, nous suFf^OiSona la même d»na tout Iç ^orps, en forte que la déformation
ddeeluiH^i oensisle sfai^ilemoiit en ce que les plan^ perjpmidicur laires aux x s* éloignent les uns des autres de quantités égales à leurs dristances xriultip.liée^ par la frofition, cçTi^tante tr^-peiiie J^, la distance r = m^ de deu^ iqç-
(*) H. Cauchy a adopté aussi eeito nolalion, ou à peu près» car, i m note citée 4u90 révrifr \%i^{C9^pUê r^adut, p. 3SQ}, U déaigui^lea iBéme* six tÉeiiies Graciions par txxf eyy» exx, Scyi;, 3es«, 3e«y , affectant les trois dernières du coefficient 2, aÛD de mieux prêter A ses rprinules symboliques abbréviatîTes.
APPENOIGB III. 551
lécules quelconques m, n augmentera comme si , Tuoe des deux extrémités , m, restant fixe, l'autre, n, cheminait, dans le ^ens x, de
2U4i = ;),.rco«(r,a:), .
car la projection reo8(r,ar) de r sur les x est la distance des deux plans parallèles aux x passant par m, n. fin projetant nn^ sur r, pn a une longueur
ns = n7ijC0s{r,a;) = r . ()«oos'(r,x), .
qui est , à cela près d'une quantité très-petite du second ordre et négligeable, rallongement de r. En divisant par r on obtient la proportion de cet allongement ou la dilatation darvt le sens r ; ou Ton a, en la représentant par D, :
(5) Dr = t)*COS*{r,a:),
Si, au lieu d'une dilatation D« on n'a qu^un glissement
le môme par tout le corps, ou si sa déformation a consisté en ce que tous les plans matériels 'perpendiculaires aux x ont glissé les vtis devant les autres^ parallèlement aux y^ de qiêantités égales à leurs distances multipliées par la faction constante irès-^tite g^y ; alors la distance moléculaire oblique mn = r s'allonge comme sl^ m res* tant fixe , n cheminait , dans le sens ^, de nn^ égal à g^y multiplié par la distance des plans perpendiculaires aux x passant en m et en n, ou multiplié par la projection r cos(r,x) de r sur les x. £n projetant ce cheminement nn, = g^^yr cos(r, x) sur mn prolongé , on a rallongement; et, en divisant par r, on a pour la proportion de la dilatation de r, due au glissement g»y :
(6) ^r = g„ cos(r, x) cos(r, y).
En raisonnant de même, on peut déterminer un glissement quai-, conque
OU le rétrécissement éprouvé par l'angle primitivement droit formé par deux lignes matérielles orthogonales Mm = r. Mm' = s (figure page suivante) , et qui mesure la quantité dont ont glissé les unes devant les autres, pour l^lnité de leur distance, des parallèles soit à r soit à s dans leur plan mMin'. .
Supposons en effet, d^abord» qu'il n*y ait quMne dilatation D». L^angle mMm' change comme si, M restant fixe, m et m! cheminaient dans le sens x^ de d« multiplié par les projections de r et de ^ sur les x, c*est-à-dire de 7nn = <),cos{r,x) et m'n'=i d»co8(j,a;) en prenant, pour simplifier, r = <f = 1.
Si m avait cheminé seul, dans le sens x, le glissement gr« qui est le cheminement du même point, estimé dans la direction de s ou de Mm', aurait été mn projeté sur Mm', ou
Tirn . cos(f, x) = D,cos(r,x)cos(^, x).
Et si m' avait cheminé seul, on aurait eu
m'n' . cos(r, x) = i),cos(*, x) cos(r, x)
ou la même chose. En ajoutant ces deux glissements ou rétrécissements partiels, on obtient
(7) gr« = 2^,cos (r , x) cos (J, x) .
Supposons, en second lieu, qu'il n'y ait qu'un glissement
g-T, ou g,,
sans dilatation parallèle aux coordonnées; ou que les plans perpendiculaires aux y glissent les uns devant les autres , dans le sens X, de g«y multiplié par leurs intervalles. L'angle rnSSirC (même figure) change comme si m et m' cheminaient, parallèlement aux x, de g»y multiplié respectivement par les projections de r = 1 et de j = 1 sur Taxe des y, ou de
mn = g*y cos (r, y) et m'n' = g,y cos (j, y).
Ajoutant entre elles, comme tout à Theure, les projections de m'n' sur r et de mn sur *, on a pour le glissement cherché
(8) gr«= Rnr [«>s(r, x) cosf*, y) + C50s(r, y)cos(j, x)].
% 19. Formules donnant les dilatations et glissements dans le sens daxes rectangulaires quelconques quand on les connaît suin vant trois premiers axes.-^ S'il y a à la fois trois dilatations d«, dy, Ds et trois glissements gy,, g^^, gxy suivant des axes rectangulaires donnés x, y, z^ la dilatation Dr dans le sens nouveau r est somme des
dUatatiODS qui leur sont séparément dues ; et il en est de même du glissement gr«. On a ainsi , en général ( en convenant toujours d*effacer les parenthèses et les virgules des désignations d'angles ),
(9) \ = D«cos'ra: + DyCOs'ry + D.cosVz -f- gy.cosry cosr^ +
gs«cosr;r cos rx + gxycosra: cos ry .
(10) gr,=2<)xcosrxcosja; + 2()ycosrycos^-t-2c),cosrzcosw +
+ El* (cosry cos^2 + cosrz cos jy) 4- + gM (cosrz cos^ 4- cosra: cobsz) + +g«» (cosrxcosjy + cosrycosjx).
La première de ces deux formules aurait pu être obtenue en posant Texpression connue (la môme que celle du carré de la résultante de trois forces , p. /i50} du carré de la diagonale r(l + ^r) du parallélipipède formé avec les côtés rcosrx.(l+^a)> rcosry.(l+Dy), rcosr2.(l+()s) , dont les angles ont pour cosinus gy,, g» , gy« , puis développant, elTaçant les produits et carrés des petites quantités d, g et divisant par 2r' ; et la seconde aurait pu être déduite d*une expression plus générale» facile aussi à démontrer, donnant le produit de deux diagonales par le cosinus de leur angle quand leurs parallélipipèdes ont leurs côtés suivant les trois mêmes droites (^).
(i)X>c la toTêion des pritmeê, 4S55 (ou Sav. etr., t. XIV)^ art. 6.
La formule (9) dr =■ d» cot^rx -f-».* montre que les diUuUoDs d^, qui ont lieu CD un n6mo point dans dÎTerses directions , se distribuent de la même manière que les moments d'inertie d'on corps autour de divers aies; e'estri-dire
que les InTorses des racines carrées de leurs grandeurs absolues , portés
sur des droites tirées de ce point dans leurs directions, sont, suivant la remarque de M. Cauchy, les rayons vecteurs d'un même ellipsoïde, qui se change en deux bjperboloTdes conjugués lorsque les valeurs de dr sont les unes positives les autres négatives, ou lorsqu^il y a des dilatations proprement dites dons certaines directions et des eonlractions dans les autres. Si r désigne la grandeur du rayon vecteur, ou si
rèquatlon de cette surface en ar, y, z se pose en faisant
cos (r,x) = -, cos (r,y) = ?, cos (r,2) == - ,
û*où l'équation
La stabilité de la contexlure exige que celte surface comprenne ou enveloppe do tontes parts celle qu'on peut former de même avec les inverses des racines carrées
Elles servent, en mettant, pour r et «, suocessivement x\ y*, £*, c^esUà-dlre les directions de coordonnées nouvelles reetanguiaires comme les anciennes^ à déterminer les dilatations et glissements qui leur sont parallèles en fonction des dilatations et glissements parallèles à un premier système de coordonnées or, y y z. Les formules, souvent employées, qui en résultent, sont les suivantes, où les cosinus sont désignés par c avec deux sous-lettres comme au $ 17.
*• «> ^^^ t JîC «j; + Jy 0 yxt'T' t*«C juci "T gfxO|jjt»Cj|^|-t" gszCazfCij:» "T~Çx3f Cxx» C^x- «
Oy, =Z()jjC xy»~r<-'yO yyt'VOgG »yt^ Sys^yyiCxyt'T' S^s: ^syt^xyr'T cJ^ ^^'^^nf^
Wii -—OjbO jfxt'T^yO yxi-j-^sO «/ "T gysCjjjjCs;» + ^cxCm/C^jj "r Sry C^srCys',
\ëv'V^— -"t'xCjBy/C^xi ~r **-'uCyy;Cy»j + 20tCiyiCxit ~T Qyty^yi^s^ T~ Cu»/C»y«}-r
[Si'XI =^ 9() d; C;sx; CxX/ H" 2t?j||Cy3|Cyjc/ + 2() «CutCsjCf ~l" Syt {OyttCzxt'i' CyjpjCxi») "h ET*'!»'— -^ V*Cx«/Cj;y;4- 2()yCyx>Cyyl "T *" t' ï C» j;; C jy / + Syx (CyjB/Csyf -p Cyyit^f}"!"
~r STs^C^Jur^^syi "T C»yiC**/j -t f^x%[CfxiQyyi "T C^iCyr^j»
S 20. Formules donnant les composantes des pressions en fonction des dilatations et glissements^ — Soit un corps solide dans l'état nommé -naturel bu primitifs où on suppose qu'aucune force non réciproque (telle que la pesanteur) n'agisse encore sur ses points, et où il ne s'exerce aucune pression sur ses faces extérieures ni intérieures, c'est-à-dire où, à travers chacune, les attractions et les répulsions moléculaires se détruisent ou se font équilibre comme donnant deux résultantes égales et opposées quand on les compose après les avoir transportées parallèlement à elles-mêmes sur un môme point.
Si on vient à déformer ce corps, ou à déplacer ses points matériels les uns par rapport aux autres , le changement de leurs distances mutuelles développe de nouvelles actions (§ 16) et engendre des pressions qui sont, comme on a vu, exprimables partout au
des limites des dilatations non dangereuses en divers seoi. En supposant celle-ci ellipfoVdale comme l'autre, on déduit, de là » Véquation de cohésion ou de nonrupture la plus générale des corps solides (m^me mémoire de 4853-4855 sur la torsion des prismes ^Siti. 24 et 424). Cette équation peut être facilement étendue à une contexlure quelconque sans plans de symétrie^ et il n'est pas nécessaire, en TappKquant, déconsidérer les contractions ^ ^ et leurs limites, comme nous Taisiona en 4853 (§§ 3, 4,7 de la note n** 3, et 43, 43 de celtes des n"' 413 et 456).
APPiiNDiCE m. 555
moyen ($ iT) dos sk composantes pxx, Pyy, J5„, jî^,, p„, p^^y, de oeDes qui s'exercent à travers trois plans primitivement perpendiculaires aux coordonnées orthogonales a:, ?/» 2:.
Ces six composantes sont nécessairement, en chaque point, fonctions des trois dilations et des trois glissements (% 18) parallèles aux X, y, 2;, car les actions moléculaires développées en sus des actions anciennes qui se détruisent, dépendent des augmentations positives ou négatives des distances r (%\.^) entre les molécules environnantes, augmentations dont les proportions D,. sont exprimables , comme on a vu.^nsi que les petits changements ^ui en résultent dans les inclinaisons des forces sur les directions de décomposition, au moyen des dilatations et glissements ^a:, \) ^2»
Et il est facile de voir que les fonctions exprimant les six composantes de pression sont linéaires ou du premier degré en ()x» ^yy ^ly
Sy** S*X9 g^v*
£n effet, comma les actions entre molécules sont fonctions dç leurs distances mutuelles r, celles que développent de très-petites ^augmentations des distances r sont proportionnelles à ces augmentations, qui ont été i^pelées r^rs Or nous venons de voir qu*une dilatation D«, par exemple» produit des augmentatieas rdr = D, . rcos' (r,x) ou proportionnelles à <)«; que, de même, un glissement gy» produit des augmentations rdr = gy». rcos(r,2^]cos(r,z) ou proportionnelles à gy.. Une pression, résultante de forces proportionnelles à ces petites augmentations, et dont les inclinaisons mutuelles n^ont éprouvé que des changements dont Tinfluence , aussi dépendante des dilatations et glissements, est d'ailleurs négligeable^ est donc elle-même proportionnelle à la dilatation ou au glissement supposé avoir eu lieu dans la petite portion de corps élastique où elle s*engendre. - *
Et, s'il y a simultanément trois dilatations d«, Dy, Os et trois glissements gy2, gxx, Sxy, chacune de ces six affections produit des augmentations de distances, et, par suite, des forces, qui s'ajoutent pour chaque couple de molécules situées dans la sphère d'activité Tune de l'autre; en sorte que la composante totale, ou la pression estimée dans un sens quelconque, est égale à une somme de termes proportionnels à ces six affections ou déformations partielles très-
peiiteS ^x, ^y, ^s, gys, g,r, gxy.
556 SEC. I. BÉSISTANCE DBS SOLIDES.
Sans même invoquer les formules (5) et (6) du $ 19 qui donnent les augmentations rdr des longueurs r, on conçoit facilement d'une manière directe que plusieurs dilatations et glissements très-petits^ dans des sens déterminés x, y , z, produisent des petits cheminements moléculaires qui s'additionnent lorsqu'on les projette sur chaque distance ou ligne de jonction r de deux molécules quelconques; qu'une dilatation double, triple, etc. d'une autre dilatation amène un accroissement de distance double, triple, etc., en sorte qu une résultante ou une composante totale de forces proportionnelles à ces accroissements positifs ou négatifs se compose d'une suite de termes proportionnels aux dilatations et aux glissements qui les ont causés.
Nous pouvons donc poser, en désignant divers coefficients, dépendant de la nature du corps solide élastique autour d'un point donné quelconque, par la lettre
avec les deux sous-lettres de la composante de pression à laquelle ils appartiennent , suivies des sous-lettres de la dilatation ou du glissement qu'ils affectent, en doublant, pour la symétrie, celles des dilatations, les formules suivantes, applicables à des corps de contexture variable et quelconque :
Vyy ~~ ^v V * ' ^yyyv^y i" • • • • ■ » P*» — - ^a*jc«^« « ^M^y t^i^ t" • • • • • t pyx, |7axt pxy = ^e^ expressioDS acalognes.
S 21. Nombre des coefficients a essentiellement différenis. Leur réduction de trente-six à quinze. — Les 36 coefficients a des formules (12) qu'on vient d'établir ne sont pas indépendants les uns des autres , et il est facile de voir qu'il y a entre eux vingt et une égalités.
Pour les reconnaître, je démontrerai d*abord, élémentairement , les deux théorèmes suivants :
1** Sur une face quelconque, la composante, suivant les x, do la pression engendrée par une dilatation dy, a la même intensité que la composante, suivant les y, de la pression engendrée par un glissement gey égal à cette dilatation Dy (ou, autrement dit, n désignant la normale à la face, le coefficient de ^y dans piuv est le même que le coefficient de g«y dans pny).
APPbT^DICE 111.
2" Sur une face quelconque, la composante, suivant les a;, de la pression produite par un glissement gy,, a la même intensité que la composante, suivant les y, de la pression produite par un glissement gM égal au glissement gy. (ou, autrement dit, le coefficient de gyi danspna; est le même que le coefficient deg^;. dans pny.
Démonstrations : V* Une dilatation ^y, ou une déformation qui éloigne les uns des autres les plans perpendiculaires à la coordonnée y, de quantités égales à leurs intervalles multipliés par la fraction très-petite dy , allonge la distance r = mn de deux molécules quelconques m;n comme si, la première m restant fixe, Tautre
cheminait parallèlement aux y de dy multiplié par Fintervalle des deux plans perpendiculaires à y passant par m et par n, ou multiplié par la projection de r sur les y y c'est-àrdire comme si n cheminait de
nn^ = Dy.r cos(r,y).
Et un glissement gxy , ou une déformation qui fait glisser les uns devant les autres, dans le sens y, les plans perpendiculaires aux x, de quantités égales à leurs intervalles multipliés par la fraction très-petite ga^y, allonge la même distancer = ma comme si, m restant fixe, n cheminait parallèlement aux y de g«y multiplié par Tintervalle des deux plans perpendiculaires aux X qui passent par m et par n , ou multiplié par la projection de r sur les x, c*est-à-dire comme si n cheminait de
nn^ = gcy r cos(r,x).
Ces petits cheminements de n, de même direction, étant Tun et Tautre projetés sur mn prolongé, donnent les allongements de r; et ces allongements, si Ton a Dy = g^y, sont entre eux comme
cos(r,y) et cos(r,x},
ou comme les projections de r suivant les y et suivant les x.
Les actions développées entre les molécules m,n dans la direction mn par ces deux déformations, suivent le même rapport. Si on les estime, la première suivant les x, la deuxième suivant les y, ou si on les multiplie, celle-là par cos(r,x), celle cl par cos(r,y), on
558 SEGT. I. RÉSISTANCE DES S0L1DBS.
a des compoaanteR de même intensité, puisque 60fl(ny)co6(r^) est la même chose que cos(r,2;) cos[r,y).
Donc, comme les pressions sont des résultantesde pareilles forces» s^exerçant entre molécules à travers une face donnée « on voit que sur une face quelconque, si d, == g.,, la composante, suivant les2« de la pression due à Dy , a la même intensité que la composante, suivant les y, de la pression due à g^»; ce qui est le premier d» deux théorèmes énoncés.
2** Le second se démontre de même. Une déformation qui fait glisser les uns devant les autres, parallèlement aoi 2i de gy> multiplié par leurs intervalles , les plans perpendiculaires aux y , allonge mn = r comme si, m restant fixe, n cheminait parallèment
aux z de
nnj = gy,.r C08(r,y).
Et une déformation qui fait glisser, aussi parallèlement aux z,
de g;cx multiplié par leurs distances ou intervalles, les plans perpendiculaires aux x, allonge mn=zr comme si, m restant toujours fixe, n cheminait de
nn, =rg«.rcos(r,x).
y Ces deux déformations déve-
loppent donc, entre les molécules m^n^ des forces qui» si gys = g«» sont entre elles comme
cos(r,y) esta cos(r,x).
Estimées la première suivant dr, la seconde suivant y^ ou multipliées respectivement par cos(r^x) et cos (r^y), ces deux forces donnent des composamtes de même intensité. Il y a donc, aussi, égalité d'inr tensité des composantes de pression, sommes de toutes les composantes des forces moléculaires s'exerçant à travers la face quelconque donnée; ce qui est le deuxième théorème énoncé.
Ces théorèmes reviennent & ce que des composantes de pression. Tune suivant lésa-, l'autre suivant les y, sont un même multiple, la première de la dilatation dy, la deuxième du glissement g^y supposés les produire respectivement; ev, aussi, un môme multiple, Ift première de gy., la deuxième de ga^x supposés les engendrer ( ou à ce
quei il n désigne la direction quelconque de la normale à la face donnée, et si les quatre sous-lettres des coefficients a ont des significations ^mme celles du % précédent, on a
En mettant successivement x, y, 2 à la place de n, on reconnatt déjà six égalités entre les coefficients a des formules (12), et on volt généralement quMls ont la même valeur lorsqu'ils se déduisent Tun de l'autre <?n/awanf permuter teur jseconde sotis- lettre avec une des deux dernières. Celles-ci (les deux dernières) peuvent toujours se permuter entre elles d'aprèl la définition des glissements gyx, g.x9 gxy, sans changer la valeur du coefficient, et il en est de même des deux premières sous-lettres, puis qu'on a
(S ^6) P»if = Py'f 1>« = P^i Pv* = P*y On peut, ainsi, sans changer la valeur du coefficient a, faire permuter Une de ses deux premières sous-lettres avec une des deux dernières, choisie à vo^ lonté.
Cette première permutation peut être suivie d'une autre semblable, ce qui donnera par exemple a«« yy = a^y «y =• ayy j»» et ainsi des autres.
Donc, généralement, dans les formules générales (12), page 556, des six composantes de pression p^xt etc., les coefficients ayaiit les mêmes qvxitre sous-lettres sont égaux ^ quel que soit Tordre où elles se trouvent placées.
U en résulte vingt et une égalités entre eux, ou leur réduction de trente-six à quinze distincts (*}.
(<) Ko ellel iM 86 prMaiis ou eombluiions
XX XX XX yy XX zz xx yt xx zx Xx sùy
yy XX i
yy yy
yy zz
yy y2
yy XX
yy «y
ax tm
zz yy !
v' yy
zz ttz yz zz
zz yz
y* yz
ZK ZX
zz xy
yz xoc
yz zx
yz xy
zx XX
zx yij
zx zz
zx yz
zx zx
zx xy
xy XX xy yy xy zz xy yz xy zx xy xy
9e réduisent aux six de la première ligne, aux cinq dernières de la seconde el aux quatre dernière* de la troliième.
560 SËCT. l. RÊSISTANCB DES SOLIDES
§ 22. Corp$ homogènes, ITomo^énét/é^ parallèle, seml- polaire au cylindrique , et polaire ou sphérique. Observations sur Vétat dit naturel. — On dit, dans une acception mécanique, qu^un solide est homogène^ ou partout d'égale contexture, lorsqu'en tous ses points sa matière offre les mêmes résistances dans des directions homologues, tout en pouvant offrir des résistances très-différentes dans les diverses directions autour de cliaque point
Pour un pareil solide, les coefficients a des formules telles que (12) de la fin du S 20 exprimant les six composantes de pression sur trois plans rectangulaires, sont les mêmes en tous les points, car c'est seulement à cette condition que les mêmes déplacements moléculaires, ou les mêmes déformations, qui dépendent des dilatations et des glissements, développent partout les mêmes réactions élastiques dans des sens déterminés.
Si les intersections x, y, z de ces trois plans rectangulaires ont, pour tous les points, les mêmes directions^ ou sont exactement parallèles à trois axes coordonnés fixes, Vhomogénéité peut être dite parallèle. Telle est rhomogénéité des corps régulièrement cristallisés et de certains corps fibreux ou lamelleux.
Mais qu'on ploie, de manière à en faire un tuyau cylindrique, une lame plane jouissant de rhomogénéité parallèle que nous venons de définir; le solide sera toijjours homogène, mais les coefficients a ne seront les mêmes en tous les points qu'autant qu^on prendra les six composantes de pression sur des plans faisant les mêmes angles tant avec Taxe du tuyau qu'avec son rayon; et rhomogénéité sera en quelque sorte semi-polaire ou cylindrique.
Elle serait polaire ou sphérique pour une sphère pleine ou creuse dans laquelle Télasticlté ou la résistance à une dilatation serait, à des points également éloignés du centre, constamment la même dans le sens du rayon, et la même aussi dans le sens tangentiel aux couclf^s concentriques, mais différente cependant dans ces deux sens comparés.
On peut ainsi compter autant de genres d'homogénéité quil existe de systèmes de coordonnées curvilignes ou de surfaces orthogonales conjuguées (').
(*) voj. Mémoire tur les divers genres d^homogénéité, etc., lu le 34 mai 4860 {Comptes rendttSf tome L, p. 930).
Tons les genres d'homogénéité ont lieu à la fols dans nn corps isotrope ou d*égale contexture en tous sens; égalité qui peut être définie par ses effets mécaniques en disant que, dans ce corps, les mêmes déplacements moléculaires relatifs engendrent les mêmes pressions partout et dans toutes les directions; en sorte que, pour tout système de trois plans se croisant rectangulairement en un même point quelconque, les six composantes de pression soient exprimées de la même manière ou avec les mêmes coefficients m en fonction des dilatations et des glissements dans les sens des intersections de ces plans quelconques rectangulaires.
Dans un solide parallèlement homogène on prouve facilement, au moyen des équations d'équilibre que nous donnerons sous les n*^ (38) et (39) aux %% 27 et 28, que lorsque les pressions extérieures ou s'exerçant sur la surface enveloppe sont nulles^ et qu'on abstrait la pesanteur, les pressions intérieures sont toutes nulles aussi^ en sorte que le solide se trouve dans Tétat que nous avons appelé naturelf à partir duquel les pressions provoquées par de petites déformations sont bien exprimées par les formules (12).
La même chose se prouverait pour les autres genres d'homogénéité, avec des équations d'équilibre analogues à (38) et (39) établies pour d'autres systèmes de coordonnées.
Mais il peut en être autrement dans un solide hétérogène. L'exemple des petites masses de verre appelées larmes baiaviques^ dont la surface a été solidifiée brusquement et avant le centre, montre que l'intérieur d'un corps peut être maintenu dans un état de tension considérable bien que l'enveloppe ne soit ni tendue ni pressée. De même, on conçoit que si la surface d'un corps était analogue k un métal, et les couches vers le ceatre analogues au caoutchouc, l'intérieur pourrait éprouver de fortes pressions, comme l'air dans une vessie gonflée, pendant que la surface extérieure ne supporterait que celle de Tatmosphère, qui est relativement négligeable, ou n'en supporterait même aucune si le corps était mis dans un espace vide d'air.
Tout ce que nous dirons ne s'appliquera donc qu'aux «corps homogènes, les seuls dont on puisse affirmer qu'ils sont, à un moment donné, dans un état où aucune pression ne s'exerce à leur intérieur.
S 23. Cas [excppiiomiel) oit il y a des pressions antérieurement aux déformations exprimées par t^x, \, ^s, gy,, g.,, g^y — DwB C8 cas, où Tétat antérieur ou primitif n*est pas celui de Téquillbre naturel^ s! les six composantes des pressions primitives sont connues, et si on les appelle, pour le point M dont leâ coordootiées sont x^y.z^ et dans les sens de ces coordonnées :
il suffira, lorsqu'elles ne seront pas très-considérables, dtf les ajouter aux six formules (12) du $ 20, conformément au principe de composition ou de superposition du $ 2 de la note du n*31, pour aroir les composantes correspondantes ultérieures ou ^>rëB \m déformations , sur trois petites faces qui étaient menées primitivement par le point M perpendiculairement aux x, y, z, en mhIb qu'en appelant
p xxj p yy* P as» P yt» P iz$ P xy
les six expressions (12), ou les composantes de pression qu*on a lorsque Vétat antérieur était tétai naturel (S 22), on pourra prendre approximativemen t
(13) ll'«=P''xx+P*r«, Pyy — P%t'\'P\^t P«=P°.4 + P*isf |py.=pV+pV» Pi*=^P"t«-fp*sx» P*i,=P'«f + P*xy;
c'est-à-dire que si l'on n'a alors à calculer que les pressions développées par les dilatations et glissements ^, g, ou les excès p^x—p***» Pyy— p'yy, ctc. , dcs prcssious nouvelles sur les anciennes, on pourra s'en tenir aux formules (12) ou négliger de considérer les pressions antérieures.
C'est ce qu'on fait quelquefois, par exemple, pour les elîfefcg de U pesanteur, et c'est ce qu'on appelle abstraire cette force.
Mais lorsque ces pressions antérieures p** seront d'un ordfe dé grandeur supérieur à celles que doivent développer les dilatation^ et glissements t>, g; lorsque, par exemple, on aura lieu de Croire qu'elles sont au moins cent fois, etc., plus grandes, il faudra, pour obtenir exactement celles-ci ou les différences pxx— p'«r, etc., ajouter à p^xx, p\y, etc., c'est-à-dire aux expressions (12), d^auires termes affectés à la fois des composantes antérieures p* et des dilatations et glissements D, g, car l'état antérieur influe alors sensi-
blement, comme on va voir, sur Teffet que produisent lert déformations ultérieures.
Bien que les formules complètes à substituer ainsi à (13) soient râl^ment à êinpioyef dans leâ calculs de réâistànôe deâ sôltdéd, nôdâ dèvôiis lés rapporter ici, noti-seulement pai*6e qtie les caà 61traordinaires peilVent se ptésentei*, mais aussi pafce que âouâ aurons à invoquer, dans la discussion du cinquième appendice, ces formules complètes qui ont donné lieu à une méprise dont on a tiré Ulle tidnséquânde fkti»$ë.
Obset*vond d'aboM que, dans le cas du $ 90 où les t^i^essldâfl étàieht ntilled avatit lès déformations. Ton a toujdtirs, & tela, ptèë de quantités relativement négligeables, les itiêmes fbmtiled (19) poui* les pfesslotië pfoVënant dès dêfoff&sltidliîj, doit qu'on 16i pfende Mur les trois plans pHmitiVeinent pei^èndlctilàires entré é\xt et &UX t, y, 2, et devenus légèrement obliqueë^ soit t}o*ofi lêi ptennë sur tt*oii^ auti^ plana actiiëllènient rectAngulaires db pèn obliques quelconques mdisfort rapprochés dé céwt-ci, pal* eteffiple sur trois plans actuellement perpendiculaifed aux (;oôrdônnôé0 x^y, z si les déplacements des points ont été très-petits (voyez $ 29). Bn effet, les formules de changement de plan dépression (3) et (U) du S 17, lorsque les pians nouveaux ne font avec les plans ancien^ que des angles extrêmement petits^ n'ajoutent aux divers termes des côith» posantes anciennes, pour les changer aux nouvelles^ quedesprofluits de ces m6mes termes a . . d ou a . • g par des cosinus très-petits Cy«„ Csy;, etc., d'angles presque droits, produits qu'on peut négliger eommé contenant en factenrâ deux quantités très-petites^ en sorte qné led tompùMit^ des preësions sur les nouveau^ plans sont êêUMi^ bléttëût égalés A\ï% eomt)08aBte« deâ pi^èssions êat \eê ànëieâs p\ànAi
Mais n n'en est pati de fakénie lors^nMl f avait des prëssidnil cmâ^ ddPabllef f^ àntérieui^es bM défoftnàtlon!l$ e*es&4^l« ftlii âllAlfr< tiens et glissements d, g. Alors, comme ces presîiidâii fC M i§lll généralement pas égales en tous sens, des rotations même trèspetites qu*on fait éprouver aUx plans Sur lesquels se prennent léâ pressions igoutent deâ termes qui ëont lés produits des composantes primitives p*i^, i i » fr^ par les angles de ces rotations f termes qui sont du même ordre de grandeur que ceux qui viennefit des pro* duits tant des mêmes composantes antérieures que des coefficients
a pai" les d on les g, et il f^ut en tenir côinpte cdmfiié de ëeux^^i.
56Zk 8ECT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
Soient donc
les directions actuelles des petites droites matérielles, maintenvit légèrement obliques Tune sur Tautre, qui étaient primitivemeat tirées du point M parallèlement aux x, y, 2; et soient
celles des trois autres droites, rectangulaires ou peu obliques entre elles, fcrt rapprochées de celles-ci et arbitraires du reste, prises pour les normales aux trois pians sur lesquels on veut aroir les pressions. On trouve (voir la note qui va suivre) pour les âx composantes de ces pressions, suivant les directions des droites af, y', 2^, les formules suivantes, où Cyic„Cs,cr, etc., désignent abréviativement (comme au S 17) les cosinus des angles des directions yi et x', z^ et x', et ainsi des autres; cosinus qui sont ttm très-petits et égaux sensiblement aux compléments de ces angles, car ceux-ci sont presque droits par hypothèse :
lî«/«»=P'«r(l -f ^« — ^» — ^.) + 2p'^ Cy,.; + 2p*„ C,,,, + P»i
iPyf/=P%y(4 — . ô« + D,, — l^) + 2pV C^r + 2p«^ C,,,, +^r''
dû) r "" ~^*" (1 — <^. — 3y + ^.) + 2p%, c,,., + SpV C,,.' +P*»'
|P»«;=|>V(4^«)+î>%yC»i«'+l>*»»C,,»,+l>%«C«,y, + l)'^Cx,,r-f-p*r».
'p.^*.=p%«(l— ^v)+p%.C,,«,+p%*C«,„4-p"«yCy,„ + p%«C„*,+P'«'
iP«/ir»=p'«»(l— ^.)+p'x»C,j,„4-p%vCifi«'+PVc«i«' + P'mC«„,+A'
p*««i p'f», eta, représentant toujours les six expressions (lî) des composantes ultérieures quand il n*y a pas de composantes antérieures p\ Et les six petites quantités Cy .«,, Cs,«f, etc., sont constamment liées avec les trois glissements gy„ g.«, gi^y, et avec les petits cosinus des angles des lignes x\ y', z' entre elles, par les trois relations suivantes :
(ifi) Cy,.,-fC,,y,«g,,, + cos(y',2'), c,,«, + c«,.,«g,,+cos(a:',aO,
c«,y; + Cy,«,=g^ + cos(x',y'),
qui se réduisent lorsqu'on suppose, comme il conviendra généralement, les directions x*, y', z' rectangulaires entre elles, à
(^6) .Cy,if + C,,y, = gy„ C,,ci4-C„„ = gw, C«,y,4-Cy,«, = g«y.
APPËFiDlCË III.
En effet, si x, y, z sont des lignes rectangulaires très-voisines de ^1» yi» ^1 ®t d® «'»y'»^' on tire, de l'expression connue
gy, = cos(yjZ J = cos(3/iX)cos(ZjX) + cos(yiy)cos(a;iy) +
+ cos(yjr)cos(z4Z),
en négligeant les produits de quantités très-petites du premier ordre et en remplaçant cosCy^y) et cos(Z|Z) par Tunité dont ils ne diffèrent que de quantités du second ordre :
C*,|f + Cy ,, Œ= gys ;
et on trouvera de la môme manière :
C»/y + Cy;, =: COS(y ,Z ), Cy |S/= Cs/y + Cy,«, Ci,y, »« Cy» + C,,y,
égalités qui lyoutées toutes les quatre ensemble donnent, en réduisant, précisément la première des relations (15) dont les deux autres se démontrent de môme ; et on en déduit les relations (16) en supposant x\ y', z' rectangulaires, ou nuls les cosinus de leurs angles (').
\}) Pour démontrer c«i formules (H) donnant les six composantes de pression l>«rxr>Pyryi) ®tc., du CBS OÙ il y a des pressions antérieures ;y* considérables, il parait nécesaire de s'appuyer sur un théorème important relatif i la faleur des pressions en général^ théorème que nous avons évité d'Invoquer dans le texte de cet appendice, parce quMl se rattache aux points de théorie qui ont été récemment controversés, ou plutôt rejetès i peu près sans discussion (voy. le 5* appendice). Nous allons d'abord, au moyen de considérations comme celles du $ 8 de la note du n* 453 (p. 497), établir ce théorème, ou cette formule fondamentale trouvée sous une autre forme par Cauchy et Poisson, et dont nous n'avons Jamais regardéla vérité comme douteuse.
Soit ab la petite face i travers laquelle on veut prendre la pression qui est, comme nous savons, la résultante des actions des molécules m! situées i ganebe (par exemple) sur les molécules tel* situées i droite. Ajoutons d'abord ensemble
celles de ces actions qui s'exercent i des distances m' m" toutes égales et parallèles à une même droite Mm= r, que nous tirons arbitrairement du centre M de ab.
Leur somme aura la même intensité que l'action qui serait exercée sur une seule molécule m*\ placée en m, par une masse concentrée au point M, et égale i celle de toute la matière contenue dans un cylindre oblique QbVa\ ayant aft pour base et des arêtes égales et parallèles i Mmz=.r\ car ce cylindre, situé i gauche de la face àbf contient évidemment tontes les mole* cules m' capables d'agir i travers éb i cette
9ECT. I. RÉSISTANGB DBS SOLIDES.
On peut choisir les directions. , , « . . a;\ y\ z'
perpendiculaires aux directions yu^u^t
ou bien jiux directions. z^, a;,, y ^ respectivement,
ce qui est compatible avec la rectangularité de x', y\ z\ On annu-
ditlanoe et daos celte direction, et dont cliacune attire ou repousae une des molécules m", contenues toutes elle^mèmes dans un eyllndre égal «éé''*" plaeé à droite.
Il en résulte que la pression à travers une peHle face plane aUb prise dans un corps ou à la limite de séparation de de^ corps solides Q^ (h^id^, est tisul^tUe des actions exercées, sur les diverses molécules m situées d'un côté de son plant por des tfia^Mi ^ppQ9ées placées ep un même point centrql ^ de cette face, et égales respectivement aux masses de cylindres de la matière du côté opposé, ayant ab pmir hase, $$ jhnm* h^mtmrê Us distances re^pectivss de eê$ p«f^c«lMi|| m^Jfim
. Pour tirer de ce théorème presque évident une formule générale, appelons
n la direction de la ligne normale i la fece a5=<D|
Pm 1a pression sur runité sup^çi^^ de ià, cette pression étant décomposée suirant une ligne quelconque
p la densité du corps, si la pfessioa e^t
prise à son Intérieur, p' la densité de la matière i gauche de la face ab, si la pression dont on s'occupe a lieu sur la faee de séparation' de deux corps, R l'action de deux molécules m', m'\ di- ▼isée par le produit m W de leurs masses ; ou la fonction qui représente cette action pour Pnnité des deux mi^sses (fonction qu'on peut supposer, si l'on veut , pour oertaines eontexlurep, dépendre non-seulement de la grandeur, mais aussi de la direeilon de r ou des angles (r,n), {r,s) sans que la formule en devienne plus compliquée)*
lit masM du «fllnèra oU'a', qa« nous ^ncentrons en M, sera
MoUipligpt pur la mâsae m" à'w» wol^ule d| droite, situép on m, puis par la fbree R relatÎTe à U disttnoe M«ii==r| c^nQn pgr ços lr,9) fHMir déeomposer cette r«pe« d4Bs U dir«çUQi« fi le produit
p'w.m'Vll.cos (r,n) cos {r,s)
M( |« cQpipQSAnle de l'action, sur la molécule placée en m, de la masse que nous pQDCentropi SU poipt M. Prenant la somme de ces produits pour toutes les molécules m" de droite, et pour leurs distances Mm =r d'une multitude de grandeurs et
APPENDICE m. 567
lera ainsi ou les secondes ou les premières des quantités e des premiers membres des relations (16) qu'on vient d'écrire, ce qui permettra d'effacer la moitié des termes affectés des cosinus e dans les expressions (IZi) des composantes de pression, et de remplacer les
Û^ directiOPi dans U 9phëre d'acliTiiè de M, on a la composante de pression <ùpu$i d'aùi en désignant par S" une pareille somme :
(17} pns = p'S">n"Rrco8 (r,n) cos (r,«).
S'il ne s'agit que d'une pression intérieure, nous pouvons, pour plus d^ simplicité et de symétrie, prendre avec M. Cauchy, en la sous-doublant, la somme pour loutes lei molécules situées à gauche comme à* droite du plan de ci> ; car si la ligner, égale et opposée à Mm, donne deux cosinus do signe contraire à ceux que donne Mm, leur produit est de même signe que le produit qui vient de Mm. On a donc
f S étant le signe d'une somme rela-
(< 8) !»■«= ° SoiRr cos (r,n) cos (r,«) { tive à toutes les molécules m au-
3 ( tour de M et dans sa sphère d'activité.
Cette expression (17) ou (18) /}ofl=:... peut être regardée comme la formule fondamentale de la mécanique moléculaire, formule qu'il n'y a plus qu'à particulariser et développer pour en déduire toutes les autres. Nous aurions pu en tirer non'S^ulement les théorèmes de projections de plans de pression et de réciprocité de composantes tangentielles du § 4 6, mais aussi (comme on va voir) les formules linéaires (42] pxx=axzxx<^x+->v Pyy=<i^c..., et les vingt et une égalités entre leurs trente-six coefficients m, ou la réductibilité de ceux-ci à quinze distincts. Nous avons préféré prouver cette réductibilité, mise en doute depuis peu par quelques savants (voy. 6* appendice), au moyen d'un raisonnement spécial et très-simple ($ 24), fait sur les actions moléculaires réellement en jeu sans avoir à remplacer chacune de leurs sommes partielles, comme nous venons de le faire, par une action égale exercée sur une seule molécule m par une masse concentrée en M; bien que ce remplacement nous semble parfaitement légitime, et qu'il nous paraisse incontestable (ici comme aux raisonnements du § 46) que Tintensiié totale des actions s'exerçant à travers une face ci> dans une même direction r, soit proportionnelle i la projection co cos (r,n) de cette face sur un plan perpendiculaire àr.
Qelte formule (47) ou (48)piifl=.>. est vraie non-seulement pour une substance •Impie, mais tout aussi bien pour une matière composée de molécules de différentes eapèees ou de plusieurs substances, au nombre desquelles on peut, si l'on veut, mettre Véther ou tout autre fluide connu ou inconnu, mais susceptible d'attraction ou de répulsion, ainsi que tout le monde Tadroet pour cet agent hypothétique. En elléi, alors pm est égal à une somme £ de produits tels que (47) p'iS"m"jRijf- cos (r,n) Oui (r,«) dans lesquels p'i est la densité d'une quelconque des substances du cdté fauehe de la faee, ou la masse de cette substance qui est contenue dans l'unité de volume vin"j est la masse de chacune des particules égales dans lesquelles on partage une des substances du côté droit, et Rij l'action de la première de ces substances sur la seconde, par unité de leu(% masses. Or, on peut remplacer cette «omme S par un produit unique p'S"m"Rr cos(r,n) cos (r,s), en appelant pMa tomme des densitte particulières p'i^et, m" l'une des masses élémentaires égales
autres par les trois glissements g des mêmes indices. Mais on peut aussi satisfaire aux relations (16) en prenant les directions jÎ, y', /, de manière que
de tout le côté droit, si l'on prend R = —^,7-7-^ > c'est-à-dire si Fou reprèwts
par R une action moléculaire moyeniM , composée par règle d'alUage eo tenant
compte des quantités des substances dWerses qui agissent deux i deax l'une sur raoïre.
Et il n'y aurait rien i changer non plus i cette formule, si tout ou partie des molécules composantes étaient animées de ce mourement ribratotre intenlin qne quelques physiciens admettent, en attribuant aux forces R des Taleurs relatiTes aox situations moyennes de ces molécules.
Cette formule générale (48) étant éublie, remplaçons les directions arbitraires n,«, de la normale à la face, et du sens de décomposition,
par a; , x , et par y , z dans l'état primitif ; puis par x\ z', et par y\ z' dans l'état nouveau.
Nous avons, pour l'état primitif de deux composantes de pression, l'ane normale, l'autre tangentieUe :
(49) |»*iw = ; SifiRr cos* (r,»), i>V= | ^«Rr eos (r,y)cos {^;i\\
Et, pour l'état ultérieur, r^ , Ri et p^ étant ce que sont dereniies la disttnee Mm = r, la fonction R et la densilé p :
(40) jJx^' = ^* SmRiri co8^ (fj ,»'), p^ ,„ = j SwRjri cos (r„yQ cos {r^,z*\ .
Pour démontrer les valeurs générales (4 4) des composantes après les déformations, suivant les directions x', y\ z' arbitraires, mais peu différentes de % ,y| , Z|y ii faut calculer ^1 1 Ri i pi et les cosinus pour les mettre dans ces deux dernières expressions (20).
Or, on a d'abord, pour la densité nouvelle,
car le corps a été dilaté dans le rapport du dénominateur (4+dx)(4+dy)(4+d,) i 4 , et Tunité de volume contient moins de molécules dans cette proportion, la même que celle de 4 A 4~>da;— <)y— ()« i cela prés de quantités d'ordre supèrioor et négligeables.
Ensuite comme, dans l'état primitif ou avant les déformations, r 00s (r,x), r cos (r,y), r cos (r,?) étaient les coordonnées rectangulaires de l'extrémité m de Mfn==r par rapport aux axes M«, My, Hz se croisant i son autre extrémité M, et comme cet trois petites lignes dont les directions sont devenues M,X|, M^y^, M|2|, légèrement obliques l'une à l'autre, se sont en même temps allongées dans les proportions ()«» ^yi ^ij M{m|=ri est la ligne de jonction actuelle des extrémités M|, m^ d'une ligne brisée composée de trois lignes droites respectivement parallèles à a?|, y^, Z|, et dont les longueurs sont
(4 + 2)«)rcos(r,a;), (4 + ^y) r cos (r,y), (4 + D.) r cos (r,2).
APPENDICE III. 5g9
ProjeloDi donc ces trois lignes sur «', et prenant la somme des projections on a la longueur de rj ; d'où '
(M) r,cos(ri,ar')=(< +^«)reos(r,ar)cx,ar,+ (< +^v)'-cos(r,y)c,„„+(4+^s)rcos(r,r)c,,
Mais c«,«r ou 008 (a:„aO peut être remplacé par 4 A cela près d'une quantité du second ordre, parce que x^ et x' sont supposées ne faire entre elles qu'un trèspetit angle ; et, tu la petitesse de c^,,,, dx/, cosinus d'angles presque droits, on pout négliger leurs prodoits par dy, <),.
On a donc la première des trois eipressions suivantes, dont les deux autres s'obtiennent par des projections de la même ligne brisée sur y' et sur z' :
sr*
r, cos r,rc' =(4 4-<)J rcosrar + r cosry c^,,, 4- r cos rar c,, reourx 0,^^,+ (4+ Dy)r cosry + rcosrz c.^^,^ rcos rx c^,„ + r coi ry c^^,, + (4 +^,)r cos rz.
{rj cos ria/ = r,oosriy'= TiCOar,*' =
yit
Élevant au carré la première de ces trois expressions et faisant le produit des deux autres entre elles, puis substituant dans (20) jp^,,,=... et py„,= ... les valeurs deoos'i'iâp' et de oosrjy' cosr^z' qui en résultent, ainsi que la valeur (34) de la densité nouvelle p^ en négligeant les carrés et les produits des petites quantités<),c, ou* a
p«w = - Sm»^[(4 +D ar-<J y--<) J cosVx+Scos raw>Sf7Cv 1 4;,+2c<>i«cos ra
Pyitf = - Smf*[(4 — <) a;)cos ry cos rz -f cos* rycy , „ + cos* rz c, , y ,-}z
-f COS rz cosra; c« j y' + cos ra; cos ry c< , »,] — .
Reste i mettre pour— ^ sa valeur. On peut^e développer, par le théorème de Taylor, suivant les puissances de l'accroissement r^ — r que r reçoit lorsque la fonction - devient -^ , et ne conserver que la première puissance de cet accroissement très-petit ; ce qui donne
Tf r * dr
Et Ton connaît la valeur de r^— r en fonction des dilatations et glissements dans trois sens, et des cosinus des angles de r avec les axes fixes x^y^z, car cet accroissement de r est ce que nous avons appelé rD^ au § 49, et dont nous avons donné l'expression sextinôme (9), expression qu'on obtiendrait d'ailleurs en ajoutant ensemble les carrés des formules (23) quand x',y',z' sont rectangulaires, et en réduisant au moyen de (46) Cy,s, + Cs,y/ = gy^, etc/
Alors les ligooLrectangulaires x\ y\ z! seront, comme il est facile de le prouvl^ bissectrices des petits angles de celles des deux
On a donc
(25) — =- + (D acos Va;4- () yCoaVy +^ aCOgVr-f-gy «coarycoirg-hgMCotrreotwi+gayCiwr Jtory )r--.
StthsUtuant 4aQH (S4], on trouvera précisément la première et la quatrième des
formules à démontrer (U) du texte) ear : 4" si l'on met d'abord pour -^le pre-
mier terme- de (35), on a bien tau* let ienneg que oes ftirmulet (44) ajoutaot auK
P^sNci P^vv* ^u ^^^ ^^^ rormules générales ordinaires (42) de la fin du § 20, puis-
ù que(49) donne -SmRr cos*(r,jv)= p^x^, et ainsi des autres p*\
Et, 2o si l'on met pour— ^ , dans (24),le8eoond terme de (25), qui est affecté d'une
parenthèse se^ttinûme, on ne pourra que retrouver px^^a ^^ P^««» <^ ^ 4*^® ^®* ^'^^'' mules (42) donnent déjà, car ce sera ce qu'on aurait si Xeajfi étalent nuls, ou si réut primitif éuit l'état naturel.
Et, en effet, en négligeant les carrés et les produits des d et des e, ee qui revient à réduire i G0s*r« et à cos ry eosrx les quantités entre crochets de (14), on a bien la première et la quatrième formule générale ordinaire (42) si l*on paan
- Smr» — co8*rjr=a,^j.,, -rSwr* — cosV«coa'ry= •-,«ti* .jgv , 2 dr '''*' 2 dr ^ *****
— Siwr* -- cosVflfcosry = azjczy* et ainsi des autres.
Et les expressions (26) qu'on vient d'écrire montrent eq même temps d'une ma* nlèreévidente oe que nous avons proflvé autrement au §24, à savoir l'égal! lé de tous ceux des 36 coefficients a qui sont affectés des 'quatre mêmes sous-lettres, ou leur réductibilité à 45 seulement; caries mêmes sous-lettres représentent les mêmes produitSi sous le signe S| de quatre cosinus des angles primitifs (r,ar), (r,y)^ (r^) des distances moléculaires r avec les coordonnées.
Les formules complètes (44) du texte de l'Appendice, que nous venons de démontrer dans cette note, se réduisent évidemment aux formules (43), c'est-i-dire simplement à p/^' =r p^^^ ^ P^xzi ^^ *'°s^ ^^ autres, conformément au principe de composition ou de superposition (§ 2 de la note du vfi 24), lorsque les pressions primitives p** ne sont que du roêmp ordre de grandeur que les pressions p\ dues aux seules déformations, ou, ce qui revient ai| même, lorsque les p* sont très-petits en comparaiioa des coefficients is qui, multipliés parles quaqtités trèspetites D et g, forment les six termes des formules (42] ou des p^; car les produits des p^par les mêm^s quantités (), g, sont alors négligeables. El c'est ce qui a lieu dans les problèmes les plus ordinaires relatifs aux solides. Mais il en pour^-a être
antres systèmes çLont nous venons de poirier, et aussi bissectrices des angles formés respectivement par les lignes x^, y^, ^j, et par
autrement dans les problèmes de Tîbrations de l'éther ou de l'air, etc.^ et même 4«|iB certains calculs d^effeu de petites déformations nouyelles de solides déjà trës- ^Ftement pressés ; et il conviendra quelquefois ainsi de ne négliger aucun terme des expressions, tirées de (14), des pressions nouvelles pxw — f**! f^m — i)%y,elc, que doivent développer ces déformations ^, %,
On peut remarquer que dans ces formules démontrées (U) les termei affectés 4p8 sii cosinus très-petits c sont précisément ceux qu'il faudrait ajouter i des composantes donàées p^gix, p%y". p^yx de pression ayant lieu 9ur des plans trèspeu obliques se coupant suivant x^ y, ar, pour en déduire les composantes de preslion sur des plant perpendiculaires i t^, y', z'^ supposées avoir des directions peu différentes de «j, Pi, Xj, d'après les formules générales do changement de plans de pression (4) du § 47; formules que nous avons dit, i la fln de cc§ 47, s'appliquer au cas où les plans primitifs seraient légèrement obliques l'un i l'autre, pourvu que a?, y, z (ici a?i, yj, ar,) représentent, dans les cosinus, les trois inter- 8«ction« de c«« pUpa et non leurs trois norntales. Ces termes seraient, en suppoaant les d^NX syilèmes «j, y^, z^ et a/, y', z' rectangulaires, ceux des composantes nouvelles de preisipq qq'on aurait s'il n'y avait aucune dérorqiation , mais seulenieqt MPQ petite rotation des plans de pression dans le corps, où les pressions existantei varient avec les plans où qn les prend.
Noua deonons dans le texte de l'Appendiee, i la suite du renvoi de la précepte note, les valeurs i attribuer iu% cosinus très-petits Cy^t^, Cx,yr, Ct^xn Cxi^it Cd;ic/,Cy,y,, pour diyerses hypothèses simples sur les directions arbitraires de décomposition x', y', z' supposées rectangulaires. Donnons-en Ici un autre exemple en anticipant sur le $ 29, où les dilatations et glissements ^^.-^ 8yx** ><^°^ ^^~ primés en fonction des déplacements tt, v, w des points matériels, estimés dans les directions fixa x, y, z. Considérons en particulier le cas (le seul qui ait été supposé par les divers auteurs de mécanique qioléculalre) où ces déplacements sont partout très-peiiU, et où, par suite, les directions presque recungulaires S), y^ 2, sontaussi^ presque parallèles aux'direclions fixes x^y^z; et nous*pouvons choisir eçUea-ci pour nos directions arbitraires x\ y', z' : alors on a, en effaçant les accents de ir, y', z",
^1P dp du dtp du du
car, par exemple, si A est l'extrémité d'une petite longueur arbitraire MA = a portée primitivement sur Ux, le point A, doqt les coordonnées étaient a;+a, y. 2, s'est déplacé, dans le sens ?, 4e plus que M dont les coordonnées éulenl ^ y, 2, lorsque MA est devenu MjA„ de
éw éw
w\ a — ti; = -— a;
fy . . dx a*
par aooséqnant, on a powr la projection de MiA sur la direction fixe z
dv) , . dw
*''•»•=" "S ''• ^''^^'^*--^'' eKm aurait de xti^my pour le« cinq autres c, les valeurs {i7} qu'on vient d'écrire.
les perpendiculaires à leurs trois plans légèrement obliques y^x^, «jrcj, x^y^; et ces bissectrices x', y\ z" forment le système rec-
En les niellant respectivement à la place de Cyfs,, Cx,y;...Cy,a:f dans les ror-> mules générales (44), où, i p^xx% P^yy ••• on substituera leurs râleurs seztinômes (4 S) du §30, et en faisant ($ 29 ci-après]
^ du y^ dv ^ ' dw dv dw dw du du â»
on a les formules les plus complètes du cas des déplacements ti, v, w trèt-pelits, données i la page 4 38 du IV* volume (4 829) des Exercices de mathématique*, par M. Cauchy^ qui obtenait direclement les expressions (23) de r^conr^x, r^ cGsr^y,
dw rjcosr^z, avec x,y,z pour a?', y',^' et (27) —, etc. pour Cy,,, etc., en remarquant (comme ont fait aussi les autres auleura de mécanique moléculaire) que U projection nouvelle r| cos r^x^ sur les a;, de la petite distance r=Um, devenue r,, de deux molécules M, m dont la première avait pour coordonnées x, y, z, et la seconde, X + rco%rXf y-\'rcotry, zA- rcosra;, est égale i la projection ancienne rcosra;, plus l'excès du déplacement u, dans le sens x, du point m sur le point M,
du du du
et que cet excès est — rcosra? -|- --- rcosry + -;- rcosrz d'après le théorème de
dx dy dz
Taylor i trois variables, en ne conservant que les premières puissances de leurs accroissements rcosrx, rcosry, rcosrz.
Les sommes désignées ici par S, relatives i un nombre très-grand mais fini de particules disjointes n'ont rien de commun avec ces intégrales autour d'un point, par coordonnées sphériques, qui ont éié employées par Navier (Mém. lu le 44 mai 4824 ; aux Mém, de VInstUut, t. VU), et aussi par d'autres auteurs de mécanique moléculaire pour le cas d'égale contexture en tous sens, comme si le corps dont ce point fait partie était une masse continue, ou comme si ses points étaient conligus et en nombre infini ; intégrales que Poisson et Cauchy ont ensuite démontré être impropres à représenter les pressions dans les solides et même dans les fluides, parce qu'en les transformant convenablement, non-seulement ellesr donnent zéro pour les composantes tangenlielles py,, p^,,, p^y, mais encoi^ elles donnent pour les composantes normales pxx, Pyyt l\s > des quantités simplement i^roporiionnelles aux carrés des densités, en sorte que si ces pressions étaient nulles primitivement elles seraient encore nulles après toute compression ou dilatation [csifichy , Exerc. de Mathém,, 4828, p. 234, formule (52) en faisant, conformément aux pages 203, 204, SI05, R= -G, d'od A= 0; et formules semblables (40) de Poisson, p. 52 du Mémoire au 20* cahier du Journal de V École polytechnique, en y faisant K= — h, conformément à ce qu'il dit à la p. 399 de son Mémoire du 44 avril 4828 inséré au t. vni des Mém. de VJnsUtui; ce qui est la même chose,
A— 2K ft+2K.
car il représente par K et A ce que Cauchy appelle G A = — j — etRA= — r — }.
Celte remarque, développée surtout par Poisson (p. 366, 399 du Mém. de 4 828;
Nouvelle Théorie de V action capillaire, p. 34 et 278, et polémique avec Navier,
aux t. XXXVI (4827), et XXXVII, XXXVIII, XXXIX (4828) des Annales de chimie et
de physique), et susceptible d'être traduite en termes très-élémentaires, intéresse
la théorie atomistique et la philosophie naturelle, parce qu'elle montre l'impossî-
APPENDICE ni. 573
(angulaire le plus rapproché possible du système presque rectan," . gulaire Xi, y^, z^.
bilité d'admettre l'existence d'aucun amai résistant et stable de matière continue dont les parties soient susceptibles d'agir i distance (Toy. au Bulletin de la So^ ciété philomatique , séance du 20 Janvier 4 844, un Mémoire eur la question de savoir tfil existe des masses continues et sur la nature probable des dernières particules des corps, où l'on examine le célèbre système du P. Boscorich, etc.)*
On peut remarquer aussi que nos démonstrations des formules de pression, soit dans cette note^ soit dans le texte de l'Appendice, sont indépendantes du plus ou moins de grandeur du rapport entre le plus petit intervalle moléculaire et le rayon de l'activité sensible des Torces d'attraction et de répulsion, en sorte qu'il n'est nullement nécessaire, pour établir ces Tormulcs, de supposer avec M. Poisson (1828, t. VU! des Mém. de V Institut, p. 370, et, 4829 , 20* cabier du Journal de F École polytechnique f p. 7, 43, 25, 26) que le rayon contienne « un nombre immense de rois l'intervalle >, de manière à pouvoir « négliger les actions entre les molécules les plus procbes devant les actions plus nombreuses entre les autres, n En effet, il esl possible sans doute, vu la complication des dispositions mutuelles et des actions entre les molécules voisines, que chaque dilatation générale ^xOu glissement général gys ne déplace pas régulièrement ces molécules les unes par rapport aux autres comme oela aurait lieu pour les points contigus d'une masse continue; et il se peut que
les changements dr = -^ — de lenrs distances r soient, ainsi, les uns au*dessus
les autres au-dessous des valeurs ^ggCot,\r,x)t gy,cos(r,y)GOs(r,z) dues à cette dilatation et i ce glissement (S 48), supposés uniformément les mêmes pour tous les points matériels de la petite portion de corps que l'on considère. Mais ces Irrégularités doivent évidemment se compenser et disparaître aussi bien pour les plus petites distances que pour les plus grandes lorsqu'on prend une moyenne pour un très-grand nombre de couples de molécules, ou une résultante d'un nombre considérable d'actions développées par ces changements partiels de dislance ; en sorte que les formules dressées en supposant ces changements partiels proportionnels aux () et aux g (§ 20) peuvent être regardées comme ayant toute l'approximation que comporte ce genre de calcul.
Observons encore que si, dans les expressions de la note du n° 452 (p. 498-204),
OR r
il y a r>-— là où nous mettons maintenant r>-7-, cela n'empêche pas dr dr
ces formules d'être d'accord avec celles que nous venons de poser, car
et
r dK
on a fS --- := r* Rr , et le terme — Rr disparaît en prenant les sommes
dr dr
S quand les pressions primitives sont nulles, en vertu des expressions (49).
Hous espérons que les considérations développées i la présente note ne seront pas Inutiles à ceux qui voudront lire, sans y rencontrer trop de difficultés, les mémoires de mécanique moléculaire composés de 4824 à 4829 par d'illustres savants. Ce que nous venons de donner est plus général, puisque nous avons attribué aux déplaeements des divers points d'un même corps des grandeurs absolues et même relatives quelconques, pourvu qu'ils ne déforment que très-peu chaque portion mpercepiiblef ou que les d, g restent partout très-petits.
57l!i SECT. I. RÊSISTAMGfi DES SOLIDES.
Mais, nous le répétons, le choix de ces lignes de décomposltiotl, très-proches de x^, y^^ ^j, est Indifférent quand il n^y avftlt {)is de pressions antérieures. 11 Test également quand il n^y avait ayant les déformations qu'une pression constante |>«, normale aux faces où elle s'exerçait, ou quand
car alor8> au moyen des relations (16), les formules générales (U)
se réduisent à
IPx/xf=Po(H-î^«-^^f — î)«) +P**ar, Pf«f=P.igf« + pVl Py'f'=Po(l— 3«4-2)„— ^x) +p*»», Pi,«,=p.gM+p*.«, P«»«f =P.(1— î)«— ôf + î)s) +P**., P«f»;=P.g«» +P*«f
Les formules (\.h)s (28) se réduisent à (13)» c'est-à-dire aux formules (12) du % 20, augmentées simplement dé jt^m» f^yyv ^< lorsque, comme nous avons dit^ ces composantes de pressions primitives sont du même ordre de grandeur que les excès |iarr*f«»f)*£*f Py,yr^p%y, etc«, ou que les pressions eomplémetitaires développées par les déformations d, g; car, alors, les produits des p" par les d, les g, les c, sont négligeables; mais on voit bien qu'il n'en est pas de même quand les pressions primitive^ p" sont CotisidôrableS éâ comparaison de celles que les déformations développent.
S 2/i. Corps oiiily Gf en chaqve points un ou plusieurs ptdns de symétrie de contexture^ ou plans principaux ($ élasticité. Réduction des formules dépressions à un moindre nombre de termes pouf CÊè sortéss de corps. — Ainsi que nous avons dit au S 22, pour un corps isotrope ou d'égale contexture en tous sens les formules (12) des pressions doivent se modifier de manière à avoir les mêmes coefficients a avec tous les systèmes possibles des trois plans sur lesquels elles sont prises.
Cette condition del'wo^ropie d'un corps pourrait s'exprimer analytiquement en mettant pour les six composatites p^e»,... Pvm*-* parallèles à x^ y^ 2, leurs valeurs (12) en fonction ded»,... g,t««*< dans les expressions (/i) des six oompOsantes Pxtxfi**' pytEt^**» suivant de nouveaux axes aussi rectangulaires x\y\z\ et eli substittlatit ed'suitei à de).* * gytf •• leurs valeurs en d^,, dy,,d „ ^ gyr,, , g.,»! « gc/^r exprimées par les formules (11) retournées; ce qtil donnei'aiti pouf
APPENDICE m. 575
les coefficients dé ces six dernières quantités, des polynômes de 36 tet*mes dont chacun devrait se réduire à un seul a^xxxx^ »«xvyv (}itelB que fussent les angles de st\ y\z* avec x,^, t.
Mais on évite une pareille complication en considérant d'abord un cas bien moins particulier que Tisotropie, savoir le cas où la matière a une contexture symétrique par rapport à un certain plan^ que nous appelons plan de symétrie^ ou, avec M. Gauchy, plan principal d* élasticité.
Supposons que ce plan soit perpendiculaire aux x. Sans avoir besoin de faire aucune supposition sur le mode de dis» tribuîion des molécules de part et d'autre de ce plan PP, nous
pouvons définir la symétrie par ses effets mé^ caniqueSf eû lui donnant pour caractère que, dans les six composantes de pression, les dilatations ou glissements soient affectés des mêmes coefficients en prenant successivement leurs directions suivant trois axes rectangulaires X, y^ z et suivant trois axes rc', y\ £* symétriques à ceux-ci par rapport au plan donné. Nous arMverions facilement à prouver ainsi, sans développer le calcul, que les coefficients a de px«, PwïPmiP»*, P^x^Pxy dans lesquels X entre comme souS'letire un nombre impair de fois doivent être nuls (*)»
Mais, plus simplementi il suffit de le prouver pour un des cas^ Celui) par exemple^ où Tun des axes du premier des deux systèmes est perpendiculaire au plan donné ; car les pressions, dilatations et glissements, pour toute autre direction attribuée aux axes, s^exprimentf des deux côtés du plan, en multipliant par les mêmes cosinus (form« 4 et il) les pressions, dilatations et glissements relatifs au cas de perpendicularîté d'un des trois axes au même plan donné.
Or^ pour cette supposition particulière où Taxe x ou Mx est per« pendioulaire au plan donné et où par conséquent les deux autres
(') C'est ce que nous avions Tait dans une première rédaction de notre mémoire •aria torsion, lu le 13 Juin 1853* M. Caucbj, en en prenant connaissance, y a substitué (Comptes rendus, 30 révrier 4854, p. 3i9) la démonstration plus simple que nous donnons ici.
axes y, z du premier système sont deux droites My, Hz tracées
sur ce plan, le second système d^axes est encore y, z avec X prolongement de a; en arrière du plan
de symétrie yMz, en sorte que la pression est prise
successivement sur la face de droite et sur la face v/ de gauche de ce même plan.
Alors les actions moléculaires qui forment la deuxième pression sont les mêmes que celles qui formaient la première, mais elles s^exercent en sens opposé, en sorte que les composantespzy* ihxde la deuxième pression suivant les deux axes des y et des z, qui n*oût pas changé de sens , sont égales , au signe près , aux composantes Pxyf Vzx de la première pression suivant les mêmes axes; et sa composante, suivant l'axe nouveau x, directement opposé à x, est égale à la composante primitive et de même signe. Donc on a
l>xy = — Pz»» Pxaf = — JP*»» V^x — V
rx-
La dilatation dans le sens x aura même grandeur et même signe que la dilatation dans le sens x, savoir, toi\jours le signe + sHl y a allongement , et le signe -- s'il y a accourcîssement suivant x. Donc
Quant aux glissements gxy, gxx» ou aux rétrécissements des angles droits xMy, xMz, ils seront égaux, au signe près, à ceux des angles xMy, xMz, car les deux premiers angles deviendront obtus quand les deux derniers deviendront aigus et réciproquement; d'où
Et les autres quantités ;?, d , g, dans les indices desquelles x n'entre pas, resteront les mêmes après le changement de Taxe Mx en son prolongement Mx.
Il faut donc, pour que yMz soit un plan de symétrie de contexture, que les équations (12) donnant les six composantes de pression dans le corps où on suppose qu'il n'y avait aucune pression antérieure aux déformations, restent les mêmes quand on change à la fois les signes de
P»x> jP«ir» g»«» g«y»
tout le reste conservant son signe.
APPENDICE m. 577
Gela exige que les coefficients de gs« , g«y, sment nuls dans y^x^ Pv»» P"» P»»» ^^ ^l^ '^* coefficients de D,, ^,, <)«, gyx joie/i^ nuls dans V^% Pxyf ou que les formules (12) des composantes de pression se réduisent à la forme suivante (29). On a désigné par les mêmes lettres les coefficients qui doivent être faits égaux diaprés le prin* cipe de la réductibilité, à quinze, des trente-six coefficients du cas le plus général, en sorte qu^on effacera les accents si, comme nous, on ne met pas ce principe en doute :
p^ = a^« + f 2)„ +e"^M+ hg,„ Py, = r-b^ + hby + d'D,+ kgy„ Pmm = e'2). + d"Dy+ c ^, H- lg»„ p^ =h'>, + k'\+ V D. + dg,^„ Pf« = eg,. + h"g^, .
î>«f =b'"g„+ fg^
SMl y a, au même point (x,y, z) du corps, un second plan de symétrie ou plan principal d'élasticité, perpendiculaire aux y, les équations (29) devront rester les mêmes en changeant pareillement et à la fois les signes de pyt , pxy , gys « g«y •
Donc, quand il y a deux plans de symétrie perpendiculaires rçspectivementàdeuxcordonnées rectangulaires, les formules des composantes normales ptue^ pyy^ p^ ne contiennent que les trois dilatations «)« , dy , t), , e^ celles des composantes tangentielles py, , p„^ Pxy I ne contiennent chacune que le glissement de mêmes indices; ce qui entraîne nécessairement Veocistence d^un troisième plan de symétrie ou plan principal d'élasticité, perpendiculaire à la troisième coordonnée.
En sorte que les formules se réduisent, pour trois plans de symétrie, à
l)«» = aD, + fDy+e"D, Pif.= dgy, (30) { py» = fO. + Wy + d'i), et p„ = eg«
Pmz = eO. + d% + cD, P<cf = f g«y (0
(*) H. Cauchy éUblissait, eo 18S8, les formules trinômes et monômes (30) en supposant qu'il y a des molécules d'égale masse et de même nature distribuées symétriquement par rapport à chacun des trois plans yMz, zMx, xVy et en annulant, en conséquence, ceui des coefficients (* des formules générales [13]) dans Tcxpression desquels un ou deux cosinus entrent aTec une puissance impaire sous
qui sont à douze coefficients (au lieu de trentensix du cas général), réductibles h six (au lieu de quinze) en efTaçant les accents.
Dans un pareil corps, il ne pourrait y avoir d'autres pressions antérieures aux déformations ($ 22] que les trois pressions normales
le rifae S (Mit do $ précédent) ptree que 8 repréieote alors une MMime oallt dt termes égaoi deux i dsaz au signe près.
On peut encore rendre 'sensible celle réduction des formnles sntlnAmes (tt] â la forme (30) par le raisonnement suivant , analogue à ceux du commencement du $ 4 de la notedu n* 80 (p. 36) et du (3") de la démonstration (p. 537) du lemme II an $ 9 (3' appendice), et qui rerient, au fond, i la démonstration de deux lemmes donnés par M. Lamé pour le cas plus particulier d'égale élasticité en tons sens (4* leçon sur l'élasticité, 485S, $S ^6 et 47, p. 39-44, et SO* leçon sur les coordonnées curriiignes, 4869, p. 364-366) , excepté qu'an lieu d'une torsion simple, supposée par M. Lamé , nous prenons Ici un gUssemetU pour seconde particuiarisation des déplacements relatifs des points du corps. 4* Dans un corps dont la contexture est symétrique par rapport anx plans teU que yMz ou perpendiculaires aux x , une dilatation dans le MBS X ne peut produire sur ces plans qu'une pression normale jiiub ou dirigée suirant les a;; car il n'j a pas de raisoQ pour que la direction de celle pression s'Incline sur yUz plutôt d'un eOlé que du eOlé opposé. Et pareille chose peut être dite de l'effet d'une dilatation dans un sens transTersal, telquey ou 2. Donc d«, Dy. ds peuvent entrer dans jixst n*>s n'entrent pas dans pxy ni dans pyx.
t* Si li •QaiMtnra est symétrique, en entre, par rapport aux plans tels qne zU9 ptrpendicuUires aux y , un glissement gjD« , parallèlement aux i? « des pUns perpendiculaires aux x, ne peut produire sur y Hz qu'une pression dirigée parallèlemeat an plan alte, car II n'y a pu de raison pour qu'elle s'incline sur ce plan plttlOt d'on cOlé que de l'antre. De plus, cette pression ne saurait avoir de composante parallèle aux «, car si nous considérons les actions de la gauche à la droite de la face yUz dont les directions coupent une même droite tracée sur cette fkce, pai- eiempie la droite yHy, nous verrons que celles qui s'exercent entre la matière de l'onglet ou angle dièdre xMx et la matière de l'onglet opposé zUx, devenus Yum et l'autre légèrement aigus, sont attractives vu que leurs molécules se sont éloignées; et que eelles qui ont été développées de même entre les deux onglets 2Mx , xMx devenus obius, sont répulsives, et oi^ précisément les mêmes inttnsilét et les mêmes inclinaisons sur M^;, chacune à chacune, en vertu de la symétrie supposée; en sorte que leurs composantes suivant les x s'enlredétruisent. La pression sur yM2, développée par gx^, n'ayant de composante ni suivant y ni suivant «, est dirigée suivant 2. Donc gx« n^wtrs ni dam pmm ^i dans pxy.
11 n'entre pas non plus dans pyy, car il est facile de voir que les forces déveoppèes par le glissement gxx i travers la face tHx perpendiculaire aux y, entre les quatre angles irièdres qui sont en avant de cette face et les quatre angles triédres qui sont en arriére, se détruisent deux à deux en vertu de la double symétrie supposée.
En sorte que les formules ont bien la forme trinOme et nonOme (30)* Mais nous regardons la démonstration du texte comme plus simple et plos in* dépendante de toute hypothèse sur la diairlbution moléculaire.
APPENDICE m. 579
P*»» |>^yy9 l'^f «cardespreasloDs taDgenti6lle8|)*ys, p*^^, p%y auraient altéré la symétrie originelle suppofée. Les formules (lu) du cas où il existait des pressions antérieures se réduiraient doac^dans le ifys*tèmed'axQS bissecteurs ;c', y\ z! dont on a parlé S 23, p. 567-563 (et
pour lesquels Oy^, = Cny» = ^9^»$ etc.), à
iPifif/ =P"yy + (f — p%y)3. + (b + pV) ^y+ (<*' — P'yy) ^*» lp,«i =P*.s + (e'— p'„ )D. + (d''— p%, ) î)y + (c + p%.) ^„
S 25. Corpf dU il y a un axe de symétrie ou fiélasticUé, — Supposons, maintenant, que tout soit égal^ quant aux résistances élastiques, autour â^une droite^ Mx par exemple, appelée alors un axe d'élasticité (^) ; ou (pour mieux préciser) que les six formules de composantes de pression en fonction des dilatations et glissements dans leurs trois sens rectangulaires x, y, z conservent les mêmes coeflSicients lorsque, le sens x restant le même, a; et y va* rient ou sont changés en deux autres droites quelconques x", y' perpendiculaires entre elles et à x.
Il faut pour cela, d'abord, que les coefficients ne changent pas quand on change seulement soit z, soit y, en son prolongement, c'est-à-dire il faut que xy^ xz soient deux plans de symétrie ($ précédent), ou que les formules de pressions se réduisent aux formes trinômes et monômes (30) qu'on vient de leur donner, £t ces formules doivent aussi rester les mêmes en changeant Tun contre Tautre les axes y et z, en soi*te qu'on doit avoir
(*) H. Cavcby appelait^ en 48t8, axei d'élaiiioît^ les interseclioDS des trois plans de symélrie (Exercices de math. t. 3, p. 335). Depuis, en appelant ceux-ci pians principaux délastidU (Comptes rendus^ 4854, t. 38, p. 339) H a donoé l9 nom d'OMS étéloiUeUi {M. p. S30) aux droites que nous appelons ici de celte manière.
580 SBCT. I. RÊSISTANCB D£S SOUDES.
Mais Je dis qu'il faut y joindre cette autre relation (33) b=2d+d'.
En effet si, Taxe Mx se projetant en M sur la figure , My' et Uz' 6, ^ a, sont deux nouvelles directions des
^* axes y, z, bissectrices des angles de }&z avec My et avec son prolongementy et si, pour simplifier, nous sup-
^j^ posons qu'il n*y a eu d'autre défor-
' * ^ y mation que celle qui résulte d^une
dilatation d«, on a, d'après Texpression (7) du S i8,
g»,.r= 2^« cos (y\z) cos (z'.z) = 2D.. y\.l/\ =î),
égalité dont on se rend compte, au reste, directement, en prenant sur les nouveaux axes des longueurs Ma =r M6 = i et en remarquant que la dilatation Ds a pour effet d*élever les points a, 6, de aa^=bb^ ssie produit de d^ par leur distance ap=bq à My; ces petites lignes aa^ , bbi , projetées sur des perpendiculaires à My', M/, donnent les deux petits arcs ac^ 6c2, qui sont égaux chacun à 1/2 d, et dofit la somme mesure (puisque leur rayon est égal à Tunité) le^ rétrécissement éprouvé par Tangle droit y'Mz', et par conséquent le glissement gy,.,, égal ainsi, comme on voit, à la dilatation ds.
D*une autre part, la pression sur la face Ma, supposée avoir une dimension = 1 dans le sens x comme dans le sens y\ est, d'après le théorème de projections de plans de pression démontré au $ 16 (et qui pourrait l'être plus simplement dans ce cas particulier), résultante des pressions sur ses projections Mp et pa, c'est-à-dire résultante de pss.Mp dirigée dans le sens Mz, depsy.Mp dans le sens My, ûepyypa dans un sens opposé à My, et depys.pa dans un sens opposé à M2. En décomposant ces quatre forces dans le sens y', ou en les
Md
multiplant par rr^, et ajoutant pour avoir py»,, les deux forces
provenant de p»y =pyu se détruisent, et, comme Mp* = ^ , on obtient P..— Pyy
Or, pour que l'élasticité soit la même en tous sens autour de Taxe Mx (qui se projette en M) il faut qu'on ait
le coefficient d ayant même valeur que dans la quatrième formule (30) pys=d.gy«. Mettant pour g^^ sa valeur trouvée D. , et pour pyy^ p„, leurs valeurs (30) d'd. et c. d,, on obtient, eu égard &
ou précisément la valeur (33) à démontrer.
Les formules de pressions, quand il y a un axe â^élasticité parai* lële aux x, sont, ainsi :
IPmx = aî)« + e'Oy + e"3, , p,, == d.gy, ,
j)y, = eO. + (2d + dO Dy + d'.î). , et p„ = e.g„, Pm = e' ^, + d'.^y + (2d + d') D, , p,, == q.^^ ,
Les conditions nécessaires (32) et (33) que nous venons d'établir entre les valeurs des coefficients, sont aussi suffisantes pour que tout soit pareil autour de Taxe des x, car il est facile de s'assurer, au moyen des formules de changements de plans et d'axes des SS 17 et 19 , que lorsqu'elles sont remplies on a pour les cinq autres composantes de pressions dans le sens des nouveaux axes ^% y'% ^% Quel que soit l'angle y'^iy^ des expressions en d^ , dy„ gy,„ , gMtx% gmyfi semblables aux expressions (3/i) en d«, dy...gcy.
S 26. Corps isotropes. Formules de pressions à deux coefficients ou à un seul. — Si, outre l'axe d'élasticité parallèle aux x, il y a un axe d'élasticité parallèle aux y, il faut qu'on ait encore, et par les mêmes raisons
d'où résulte quMl y a alors un troisième axe d'élasticité qui est parallèle aux z, et les formules sont
Pmm = (2e + eO^a: + cO^ + e'bn Py. = egy,
(35) { pyy = eO, + (2e + e^y + e'D, et p„ = eg^*
Pm = e'D, + eOy + (2e + e')D, p^ = eg^ («).
(1) EUet coTDcident ayec eelles des Lêçaru sur VéUuUeiié (486S), $ %0, p. 54 , de H. Lamé, relatives au cas de très-petits dôplacemeots , en renplaçast
e', e, <>• + '^y + ^*t par \ V^f 9 (dilatation cubique).
Et comme, en changeant les axes My, Mz en deux autres My', Mz' sans changer Taxe des x, les formules des composantes ont les mêmes coefficients ( S précédent], on voit que la droite My\ tracée dWe manière arbitraire dans le plan yUz des deux axes d^élasticité My et Mz, est aussi un axe d^élasticité.
Il en sera de même de toute droite tracée par le point M (x, y, z) dans le plan xMy' des deux axes d'élasticité My' et Mx; c^est-àdire que toutes les droites possibles tirées par ce point M sont des axes d'élasticité, et que, par rapport à trois axes rectangulaires dirigés d'une manière absolument quelconque, se croisant en M, les expressions des six composantes de pression ont les mêmes coefficients que celles que nous venons d'écrire.
C'est ce qu'on exprime en disant, avec M. Lamé, que le corps a une élasticité constante ^ et^ vlyqo M. Gauchy, qu'il est isotrope (Exercices d^ analyse et de physique mathématique) , ou que l'élasticité est la même dans tous les sens {Exerc, de math,, 1828, p. 167» 230, 256).
Les trente-six coefficients a des formules (12) se réduisent à deux* e et e', et on peut dire même à un seul, car, en vertu de ce que les trente-six coefficients sont réductibles à quinze, ou de ce que le coefficient de d, dans p^g est, comme nous l'avons démontré élémentairement au $ 21 et analytiquement à la note du $ 23, égal au coefficient de g«y dans piry, on a
en sorte qu'en remplaçant e et e' par C, lettre qui a constamment désigné ce coefficient de glissement dansde texte de Navier (n** 156 à 160) et dans toutes nos notes, on a, dans le cas de Visotropie
Pv» = 6(:)« -I- 3:)^ + <) J et pu^^Gg^, Pmm = G(î), + Dy -f 3D J F*w = Gg^.
Si l'on suppose une pression p., la même en tous sens (pour m pas altérer l'isotropie), antérieure aux déformations d et g, les formules de pression après ces déformations sont (en particularisant (31)):
APPENDICE m. 583
F«« = po + (8G + Po»« + (<J— P^Pif + (G - Po)î).
Pif» = Po + {(^ — Po)^m + (3G + PoP» + (G - p«)D,
Pzx = po 4" (G — po)î), + (G — Po)ô» + <8G + po)d.
py, = (G + Po)g»., p« = (G H- Po)gMr, p^f = (G + p»)g*».
êriences de Savart. et la simole considération de
Mais les expériences de Savart, et la simple considération de la manière dont s'opèrent le refroidissement et la solidification des corps, prouvent que Tisotropie est fort rare, non-seulement dans les métftux forgés ou laminés, mais même dans les métaux coulés ou dans les matières fibreuses ou grenues 0). Aussi, plutôt que de prendre, au lieu des formules (36) à un seul coefficient G, les formules (36) à deux coefficients e et e', qui ne sont composées comme celles-ci que pour des corps parfaitement isotropes, il conviendra de se servir le plus qu'on pourra des formules (29) ou (30) ou (34) relatives au cas plus général d'une élasticité inégale dans deux ou trois sens. C'est ce que nous avons fait dans les théories de la flexion et de la torsion où nous avons supposé constamment la contexture longitudinale des prismes autre que la contexture latérale, et même celle-ci différente dans les divers sens transversaux (voyez la discussion du 5* Appendice ci-après).
S 27. Relations des pressions aux divers points successifs, tant entre elles qu'avec les forces accélératrices non réciproques, telUi que la pesanteur. Équations différentielles indéfinies de F équilibré intérieur, à satisfaire en tous les points d'un corps quelconque. — Pour obtenir les relations qui peuvent exister entre les pressions aux points successifs d'un corps quelconque, et aussi celles qui les lient avec les forces accélératrices non réciproques ou émanant du dehors, telles que la pesanteur, qui sollicitent sa matière, nons p6seroM les trois équations d'équilibre de translation d*an très-petit élément de son volume. Soient :
X« Tt Z les composantes , parallèlement anz axes des s^ y^ 2, de ces forces extérieures ou non réciproques dont U oiatière
(>) Annala de Chimie et de Physique, t. 41 (48S9) el antres. L'illaftre phyticîeo, peu oonflaot dans les métaux, fit ses «zpérienoes de réaction de torsion les plus décisives a?ec des prismes en pldire , matière qui euoore n'offre pas une isotropie parfaite.
58i!i SEGT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
du corps éprouve Pactfon, par unité de son volume^ aa point M dont les coordonnées rectangles sont x, y, z, et qui peuvent varier avec ces coordonnées; X, y, z les petites dimensions, parallèles aux mêmes coordonnées, de rélément solide auquel nous supposons la forme d'an para;llélip)pède rectangle, et dont le point M occupe le centre,
P**9 Pw» P«i P»» =!>*»» Pm =P«i Pry = Pv'fi comme aux SS précédents , les six composantes de pression, parallèlement aox coordonnées, sur Tunité superficielle des trois faces planes qui leur sont perpendiculaires, et dont le centre de gravité est au même point M. *
Les deux faces xy de cet élément, perpendicudiculaires aux z , éprouvent des pressions contraires qui sont. Tune un peu au-dessus, Tantre un peu au-dessous de celle qui serait supportée par une face parallèle passant en M, pression dont les composantes suivant x, y, z sontp» , pxy , p^s par unité superficielle. La différence, pour ce qui regarde la composante suivant x, sera le coefficient dilTérentiel —^
multiplié par la distance z de ces faces, et aussi par leur superficie xy ; la résultante de ces deux premières composantes de pression suivants est
dz ^^'
Les deux faces opposées yz, et les deux faces opposées zx, fourniraient de même, et aussi suivant les x, les deux différences on
résultantes -^x.yz, et -^ y.zx. On a donc, pour Téquâibre de
translation de Télément dont on s^occupe, sollicité en sens opposé par la force X.xyz, une équation dont on peut diviser tous les termes par le volume xyz de cet élément, et qui est la première des trois équations suivantes ; les deux autres s'obtiennent de même en exprimant les conditions de Téquilibre de translation dans le sens y et dans le sens z;
APPENDICE m. 585
dx dy dz '~
(38) l^ + ^ + iPjî=Y
^ ^ dx^ dy dz
dx dy dz
Ces trois équations (38) , données pour la première fois par M. Gauchy (^), sont une généralisation de celles de l'hydrostatique. On n'a pas besoin de faire remarquer qu'en les posant on ne pouvait pas négliger les forces telles que Xxyz comme très-petites de troisième ordre, ainsi qu'on a fait au $ 16 en démontrant, par l'équilibre d'un élément tétraèdre, le théorème des. projections de plans de pression; car, ici, les pressions, qui sont toi]g'ours du second ordre comme les superficies des faces de l'élément, n'entrent que pour les différences des grandeurs qu'elles ont sur deux faces parallèles, égales et très-proches Tune de Tautre, en sorte qae tout était du troisième ordre dans les équations, avant leur division par le volume xyz de l'élément dont elles expriment l'équi* libre.
Au reste, les seconds membres des deux premières sont nuls lorsqu'il n'y a pas d'antre force que la pesanteur supposée agir dans la direction z; et le second membre de la troisième est supposé nul aussi lorsqu'on abstrait^ comme nous avons dit (commencement du S 23), les effets de la pesanteur, ou que l'on ne considère que les effets produits en sus. Alors les équations (38) ne font que régir la succession des valeurs des composantes de pression dans tous le corps, et par conséquent la suite des valeurs des dilatations et glissements dont ces composantes sans fonctions. Il est
facile d'apercevoir que les équations G' ^ -h G" ^ = 0, G' -^* +
G" ^* -h ~H = 0 des pages 269, 347, AOO et 537 (théor. IV) n'en sont que des cas particuliers.
S 28. Relations entre les pressions intérieures et les pressions ex-
(0 Mémoire da 30 septembre 48t9 , au Bulletin de la Société pMlomaHque^ I8S3, p. 44, et Baereicee d^math.^ 48S7, p. 444.
586 8ECT. L RÊSISTAfICE DBS SOLIDES.
térieures, JEJgtza/ioTLr définies, à solidaire pnncipalement aux points de la surface-limite de chaque corps, — Outre les forces désignées par X, Y, Z au § précédent, agissant sur tous les points de sa masse, le corps éprouve des actions, aussi extérieures ou non réciproques, en certains points particuliers, qui sont ordinairement ceux de son enveloppe ou de sa surface extérieure, ou bien des faces de séparation des portions de corps que Von a besoin de oonsOèrtr sépa^ rément et successivement Soient
^ ces forces ou pressions extérieures, jiar unité superficielle des
éléments de surface où elles agissent; n les direction? des normales aux mêmes éléments, directions
généralement variables d'un point & Pautre, ainsi que les
intensités 'îë^;
On aura les projections d'un quelconque de ces éléments superficiels sur trois plans perpendiculaires aux x, y« 2 en multipliant sa surface A successivement par cos(n,x}9 cos(n,y), co8(n,z); el la somme des composantes» dans le sens x^ des pressions intérieures qui s'y exercent, savoir
A [pa:«cos(n,rr) + PyxC0s(n,y) +p«,COS(n,z)]
sera la composante, dans ce même sens x, de la pression intérieure sur A, d'après le théorème (S 16) de prqjections de plans de pression. Donc, comme la composante A.^co8(fe^^ x) de la pression extérieure AtO" doit faire équilibre à la pression intérieure, on aura» en divisant par A, la première des trois équations suivantes; les deux autres s'obtiennent en prenant les composantes suivant y et sui* vaut zi
IjPx«cos(n, x) 4-py«cos(n, y) -f PmCosCu, z) = '!»'COS('®', x) Px!/COS(n,a:)H-pyyCOs(n, y) -|-p,yCOs(n, z)=*n)'COs{'W', y) PcxCOs(n, a:)-f py,oos(n, y) + pnCos(n, «) =45^cos('ro', z)
Ces équations d'équilibre, dans lesquelles on mettra pour les six composantes de pression, comme dans les équations (38), leurs valeurs en fonction des dilatations et glissements, donnent des conditions dites définies que doivent remplir, aux limites des corps ou portions de corps» les valeurs de ces inconnues» tirées par intégration des équations (38) dites indéfinies parce qu'elles s'appU-
APPENDICE m. 587
qnent à tous les points indistiiictement ; en sorte qu^elles serviront à déterminer les constantes ou fonctions arbitrtlres.
Il faudra toutefois y joindre d^autres conditions particulières ou définies^ purement géométriques, qui peuvent ôtre à remplir aussi, telles que celles d'appui, d'encastrement, de jonction, etc., d*après lesquelles certains points ou certains éléments linéaires ou superficiels sont astreints ou à l'immobilité ou àla coïncidence avec ceux d'autres corps.
Les équations (-^ + Ou j du-- (~ — et7^ cfc = 0, G"g"dM —
G'g'dv = 0,G''g^\du—G'^idv = 0, des pages 263, 348,360, AOl qui expriment la nullité des actions longitudinales sur les (kces latérales des prismes tordus ou flécbis, sont des cas particulierB d*nne des équations définies (39).
S 29. Expreisions des dilatations et glissements^ etparsuUg des composantes de pression en /onction des déplacements .éprouvés dans V espace par les points des corps déformés. * Les équations différentielles (38), en y substituant, aux pressions, leurs valeurs (12) à (i&), ou (29) & (36), contiennent généralement six inconnues d«, dy, d,, gy„ gg«, g«y pour cluique point Pour pouvoir les résoudre, il est ordinairement nécessaire d'exprimer ces dilatations et glia*sements en fonction de trois autres inconnues, qui sont les déplacements éprouvés par les points dans les sens des trois coordonnées»
Nous appellerons
ces déplacements, estimés ou projetés dans les sens rectangulaires respectifs des x, des y, des 2, en sorte que
x + Ut y + v, z + w
•ont les coordonnées nouvelles du point matériel quelconque appartenant au corps dont on s'occupe , et qui avait se, ^, z pour coordonnées primitives.
Il importe de remarquer que toutes les formules ci-^lessus s'appliquent à des cas où les déplacements ont des grandeurs aussi considérables qu*on veut dans l'espace, et même relativement les uns aux autres pour des points suffisamment éloignés dans un même
588 ' gEGT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
corps; mais à la condition expresse que les déplacemenis relatas de points irès-rapprochés soient fort petits ^ ou que les distances entre points appartenant à chaque portion très-peu étendue du SO" lide ne changent que dans de très-faibles proportions.
En sorte que les quantités que nous avons appelées \ (SS i7, 18), et par conséquent celles que désignent <)«, dy, <)«, gy., gsx« g«y soient y partotUy des fractions numériques extrêmement petites, ce qui exige des relations particulières, pour les points successifs» entre les valeurs de u, t?, u?, du reste aussi grandes qu^on veut individuellement, et même aussi différentes qu'on veut pour des points non voisins.
Sans cela. Faction nouvelle développée entre deux molécules à la distance très-petite r, ou dans la sphère d'activité sensible Tune de Tautre, ne serait pas proportionnelle à Taugmentation r^ — r ou rbr de cette distance ($$ 18 à 23). Les expressions (5) à (37) ne seraient plus vraies. La contexture du corps changerait ainsi que les arrangements de ses molécules. Il ne retournerait plus à sa forme primitive lorsqu'on ferait cesser V action des forces qui Vont déformé; et, même, il s'énerverait (note du n* 2) ou il romprait.
Or, les déformations peuvent très-bien remplir cette condition de petitesse dans chaque très-petite portion du corps ^ tout en étant considérables lorsqu'on envisage le corps entier.
Ainsi, Texpérience prouve qu'on peut ployer une lame élastique droite, longue et mince, de manière à faire toucher les deux bouts A, B, auparavant très-éloignés, sans que la contexture de cette lame soit altérée ou s^ns qu'elle perde la propriété de revenir ensuite d'ellemême à la forme rectiligne. C'est qu'alors la dilatation positive de sa face devenue convexe et la dilatation négative de sa face devenue concave sont restées des fractions extrêmement petites, un deux-millième par exemple, et le déplacement relatif considérable des extrémités résulte d'une accumulation de petits déplacements angulaires sur toute sa longueur.
/>>//yy^ L*expérience prouve aussi qu'un fil métallique CD
^T peut revenir à son premier état après qu'on Ta tordu
de manière à faire tourner Tune de ses extrémités devant l'autre d'une demi-circonférence a6,et même de plusieurs circonférences, si, en raison de sa grande longueur et de son faible diamètre, le glissement relatif le plus considérable sur chaque section transversale est resté très*petit, un millième par exemple, ou n'a dilaté que d'un deux-miUième les hélices à Ub degrés ( $ 3 de la note du n** 156) . i •'/„ tracées sur sa surface, et qui forment la suite des
^ "" éléments linéaires les plus dilatés par la torsion d'un
cylindre à base circulaire.
Les formules et équations ci-dessus, où n'entrent que les dilatations et glissements d, g qui peuvent être très-petits, disons-nous, avec des grandeurs quelconques absolues ou relatives de ti, r, w^ sont donc plus générales que les formules et équations, connues depuis trente ans, qui ont été dressées en partant de la supposition que les déplacements u, o, w soient partout très-petits, au point que les directions dea lignes de jonction r des molécules varient extrêmement peu dans Tespace, car c'est sur la supposition d'extrême petitesse du changement de ces directions qu'est fondée en grande partie la manière connue de dresser ces formules.
On trouve facilement pour une des trois dilatations et pouc un des trois glissements, sHls sont très-petits^ les expressions suivantes en fonction de déplacements u^v,wde grandeur quelconque
,,-. du dv , fdudu . dv dv , dw dw\ ...
en sorte que les conditions à remplir par ces déplacements u, v, w, ou les relations qu'ils doivent avoir entre eux, comme nous venons de dire, pour ne produire que de petites dilatations et de petits glissements et ne pas altérer, ainsi, la contexture des solides, sont que les trois expressions comme (AO) et les trois expressions
(<) En effet , prenons sur les lignes matérielles Mo;, My, menées primitirement
SEGT. I. RÊSISTANCX DES SOLIDES.
comme (Ai) n'aient partout pour Valeurs que de très-petites fractions.
Ces expressions générales mises à la place da ^m ^y» ^s/Sv* S»t g«y dans celles (12) à (37) des composantes de pression p„, ••• P«r donneraient entre u, v, Wt par la substitution dans les équations d*équilibre (3$), des équations différentielles non linéaires et fort compliquées.
Mais si les conditions de petitesse des dilatations et glissements sont remplies» on peut toii^ours» eo ne s'oooupant à la fois que d'une portion peu étendue d*un corps élastique, amener par une translation et une rotation les situations anciennes et les situations nouvelles de ses points à être extrômemeni yoisinefl» et, par oonséquent, les déplacements à être très-faibles.
Supposons donc
U, Vf w
assez petits pour qu*on puisse négliger leurs carrés et leurs prs-
pirla polat M 4a eorpi ptrtllèlMiMiil aui axei ooordoBDéi rectassnlairM 4ei •
ei dei y, deux lon|Q«ar8 trèt^peUks MA ;= a» MB = ( (fiy, p«ae luiftple) «ow aaroDi :
de M
Coor- ) de A doDDéet
deB
Longueurs
fde (de
MA
MB
iiut
Afttt lu iipmwirt.
«+«» Vf'
du dv dw
6 (4 + iy)
n^oày apièa tes dépUeemealt i
du du dv dv âw dw
dx dy dx dy dx djf
OOt AMB 3^ ■ . V ■ - Am ^ . ■ A^ ^ . - ■ ■
duits ainsi que ceux de leurs dérivées; les expressions (ûO)» {tii) et les quatre autres semblables non écrites se réduisent & la forme suivante; qui rend linéaires les équations différentielles dont nous venons de parler :
■^ du ^ dv ^ dw
(MX '^^' '^^' •=^'
^ __dv dw dw du du dv
^^•-Si"^"3^* ^'•-■^■^'dl» ^'^-d^'^di'
On peut démontrer ces expreadons d'une manière simple. Soient pris, avant les déplacements , sur les droites matérielles Mx, My parallèles aux coordonnées a;, y^ deux petites longueurs MA = MB s= a. Les excès des déplacements du point A sur ceux du point M
sont
du
^ a dans le sens des x^
-X^ ^o dans le sens des y;
^ en sorte que : l*" MA projetée, après les déplace-
élu
ments» sur une parallèle aux x, donne a + ^ a; par conséquent on a pour la dilatation :
2* La même ligne MA, projetée sur une parallèle aux y, donne
dt)
-^rra; par eonséquent le petit rétrécissement éprouvé par Tangle
droit AMB ou sMy si My a conservé la même direction, est
De l'etpftHlon ëe Ha^ = «• (4 +<)«)* on peut, en di? îmai par a* et «trayant la radne carr^ déduire la proportion, de grandeur quelconque, de la dilaUtiou D^ produite pu det déplacements aussi queloonquet m, v, w; et substituant dans 008 AMB cette Taleur de ()^ et une Taleur semblable pour d^, on obtient le changement quelconque éprouté par un angle primitiTement droit. Mais si^«, ^y et les cosinus sont trés-petiu, on peut rempiacer(4 +<^«)' par 4 + SDn et le cosinus par gcy , en remplaçant, dans ses dénomiDateurs, 4 -f <^a et 4 +dy par 4. Il en résulte les expressions (40) et (44). {Mémoire lu le S) férrier 1847; CompU$ rendus, t. XXIV, p. 960, et aussi Société pfûlomathique, 36 mars 4844.)
5d2 SECT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
dv dx*
Celui que le même angle aurait éprouvé si MBy seul eût changé
du
de direction est, par la même raison, ^ , évalué aussi en arc d*un
rayon = 1. Le rétrécissement total , dû aux petits changements de direction des deux côtés, est leur somme; donc :
^'^-d^'^di
et ainsi de même des valeurs des deux autres dilatations et des deux autres glissements (lu) 0).
S 30. Équations différentielles contenant les déplacements sup* posés très-petits. — En mettant les valeurs (li2) des dilatations et glissements dans formules (30) des pressions |):rx***.jP»y du cas de trois plans de symétrie de contexture, et substituant ensuite dans
les équations d'équilibre indéfinies -^ + ...=X, etc., on a ces
trois équations aux différences partielles linéaires du second ordre :
(^) On arrive d'uoe autre manière aux expreaiions plus gèoèrales (40), (44), et on établit eu m6me temps quelques formules qui nous senriront plus loin, en considérant que les déplacements de grandeur quelconque u, v, w, pour ne produire que de très-petites déformations dans chaque petite portion du corps, doivent se composer de déplacements très-petits, que nous appellerons «o, v», tTo, suivis de translations et de rotations sans déformations. Supposons que, pour une des petites portions du corps, la rotation, autour de l'origine des coordonnées, ait donné des directions oBj, y^, 2) aux lignes matérielles primitivement dirigées suivant les axes des «, y, z, et qu'ensuite leur point de concours ait éprouvé, parallèlement i ces axes fixes, des translations a,6,c; on aura pour les coordonnées finales du point (ar, y, 2), en désignant par c«vi> Ccxn ^^'t ^^ cosinus comme i la note du § S3,
lx + u = {x'h tt.)Ca?»i + (y + v.)Ca:yt "h (« + «'JC»»! + «»
(43) /y + V = (ar -f- l(.)Cy», + (y + »«)Cyy, + (2 H- t«^.)Cy*t + fr*
(«-}-«; = («-}- iio)c»«, -H (y + »o)Cjry, + (z + IO«)Cmi + ^>
car ces seconds membres sans leurs derniers termes a, 6, c représentent , après les déplacements «», Vo> u's et les rotations, les projections, sur les directions fixes ar, y,z, de la ligne brisée {x + u,)'{-{y-\-Vo) + {z-\-Wo),ûoni\es trois parties sont devenues parallèles à 0^1, à y,, à 2 1. En les dilTérenciant par rapport à x, on a les trois premières équations suivantes, dont les six autres, simplement indiquées, s'obtiennent en différenciant par rapport à y et par rapport à 2 :
qui se réduisent, dans le cas de l*isotropie, aux suivantes :
5 = V ■•"*? j '*•*■*■ ^ '**' "^ "to **"
du il*''' ^^
dy dy dy
du dv à t^^
dz dz dz
AJonunt membre i membre les troli premières élerées au carrè^ on a, en Tertu dei relations connues entre les neuf cosinus,
(•+ëy^(S)'HS)'=("*2)'H£)*HS'
du« dVo dwo équation oâ Ton peut, en défeloppant, supprimer les carrés de ---, —-, -—-
dx dx dx
du^ ^ et remplacer •--- par d« vu que les translations et les rotations ne changent dx
rien aux dilatations. On a ainsi précisément l'expression (40) en réduisant et di-
Tisant par 3.
Et si l'on multiplie chacune i chacune et par ordre les équations (44) proTe-
nant de la diflérentialion de (43) par rapport à x, et les équations (44) profenant
de la diflérentiation de (43) par rapport i y, on obtient
/ du\du dvf dv\ , dwdw . ., .,
{ 1+^ )t- + t"( ^+t- H --= une expression semblable en «., ••,!»•,
V dxj dy dx\ dyj dx dy
équation qui n'est autre choie que (44 ) en déf eioppant, effaçant les produits des
4u^ dVp dériTées de ««, v«, ir«, et remplaçant .^ -j- — - par gcy, puisque les transla-
dy dx *
tiona et rotations ne changent non plus rien aux glissements.
(*) S'il 7 STait, antérieurement aux petits déplacements u, v, w^ des pressions p*««f p^yy, .... p*cy assez considérables pour influer ($ S3) sur la production de pressions nouTellea par ces déplacements, il faudrait, dans le cas que nous considérons, où ces déplacements sont très-petit?, et où l'on prend les pres-
Sih SECT. I. RÊSISTANCB DBS SOLIDES. .
/(Pli , d*u , dhi\ . , . d [du dt ^ dw\ ^,
/<f*t^7 . d^w , (i*tt7\ . , . ,, d /du dr , dîM „ ... H-(fa'+^' + d?) + (« + »%U + dy + d:?j = ^' '')
où -=î^ + ,- + -r- , somme des dilatations linéaires en trois sens, dx dy di '
représente la dilatation cubique^ ou la petite proportion de Taugmentation du volume de la matière, en chaque point.
Ces équations peuvent être obtenues directement, sans passer par la considération des pressions, en posant (voir 5* appendice, p. 69A) les trois conditions d*équilibre de translation d*une molécule m, ou (avec les désignations de la note du § 23) en égalant à zéro les trois sommes mSmUiCOs(ri,a;;, mS//iI\jC0s(r|,y), mS7wRjC0s(r,,z) de composantes des actions qu^exercent sur elle les molécules environnantes m, et en développant R^ et les cosinus jusqu'aux
riBfc
aloot après comme araDt les déplacemeats sur trois plans perpeodicalairet aux directions fixes, des coordonnées a;, y, Zy se servir, pour pt^xt .... Pcy, des formules de pretilon de M. Gauchy, qu*on peut conslrnirc avec les éléments donnés à la noie du S 33, p. 572 (forro. 212 de TAppendice complémenuire, p. 795).
Lorsiiu'fl y a trois plans de symétrie, les formules dont nous parlons se réduisent, VU qu« pV=Oi P*« =0, P*xw==0, à '
, /". , du dv dw\ , du . ^dv . rfio I • /, du dv àw\
1 « ^'m' I B «^v , j rdv . du)\
d*0û II résulte que les trois équations différentielles indéfinies en i«, V| %v sont les équations (45) avec p^xx^ P^yy* P°** ajoutés respect! fement aux coefficients du prtmleri du soeond e( du troiiiéme terme de chaoune de ees équations*
(>} Ou, s'il j a une pression antérieure p« d'une grandeur non négligeible de« Tant e,
(•-f*P-)(^J3H-.-*j+....==ïV, (••4-jf,)f —+.... j+.... as*.
dérivées du second ordre (inclusivement) des déplacements tt,
S 31. Usage général des formules et équations de ce 8* appefidice. -f- Iiorsque des déplacementEf sont tels que les composantes des pressions qu^ils engendrent (formules 12 à 87) satisfassent
aux trois équations différentielles indéfinies (38) *^ +— •=X,etc.9
ppup tous les points du corps élastique déformé, et aux équations définies telles que (39) p,«cos(n,a:) +.••• = 1i^cos('^^r,a;}, etc., pour les points appartenant à sa surfacensuveloppe, il y a équilibre de tous les éléments de ce corps élastique, et il sera maintenu dans sa nouvelle forme par les forces <s^ appliquées sur cette surface extérieure, en y joignant les forces accélératrices X, ¥, 2 (ordinaireipent nulles ou à supprimer) agissant sur les diverses parties de sa ma^sot
Si les déplacements u, v, w sont partout donnés, de simples différentielles feront donc connaître les forces accélératrices X, T, Z et les pressions extérieures ^Zer, qui sont capables de les produire.
Si, au contraire, comme il arrive le plus souvent, les forces sont ce qui est donné, et les déplacements ou (es déformations /sont ce qu'on cherche, la solution du problème dépend de r|ntégratipn des équations telles que (^5), (&7) indéfinies ou relatives h tpus les points, avec dé'termination des constantes ou fonctions arbitraires de manière à satisfaire aux conditions définies ou particulières à certains points, conditions dont les unes sont statiques et exprimées par les équations (39) à la surface , les autres géométriques (S 28 p. S87) et sans lesquelles les déplacements resteraient indéterminés comme étant affectés additivement de petites translations et rotations générales quelconques.
Cette intégration, effectuée par M. Lamé pour les sphères pleines ou tireuses, n'a pu encore être itérée d'une manière directe pour aucun corps prismatique ou cylindrique fini, dans les cas même les plus simples.
Mais on a pu vérifier par les équations ci-dessus, pour ces corps, plusieurs solutions particulières qu'un raisonnement simple faisait pressentir et portait à essayer. Telles ont été depuis longtemps (comme on a dit au S 7, etc .) rextension longitudinale constante d'un
596 SECl. I. BÉSISTANCE DES SOUDES.
prisme quelconque tiré uniformément sur ses deux bases, et la torsion, aussi constante, d'un cylindre circulaire sollicité, aux deux bouts, d'une certaine manière que les formules mêmes révèlent (').
Et, depuis, nous sommes arrivé à un grand nombre d'autres solutions en suivant une marche en quelque sorte mixie ou seml-inTerse, qui consiste à se donner à la fols une partie des forces et une partie des déplacements ou de leurs relations mutuelles constituant les déformations; ce qui réduit la part laissée à Tintégration et la ramène à pouvoir s'opérer par les méthodes connues, de manière à déterminer quels sont et les autres déplacements et les autres forces^ en s'assurant, bien entendu, que les données choisies sont compatibles entre elles, ce qui est la part inévitable de l'essai et de la vérification (*).
C'est ainsi, en prenant pour données sur les déplacements^ une déformation par torsion 0 avec des dilatations longitudinales nulles ou constantes d'un bout à l'autre pour chaque fibre, ou en posant à priori
d^u ^ dv A dy> A
et , pour données sur les forces ^ la nullité des actions lon^tudlnales sur les faces latérales (et, aussi, des forces accélératrices X, T, Z), que nous avons réduit la première des équations indéfinies (Û5) à
et la première des trois équations définies statiques (39) , posées pour
les faces latérales, sur lesquelles on a cos(n,x) = 0, , * ^ = -^ » ^
* ^ ' cos(n,z) dy
équations qui sont intégrables pour une infinité de contours de la base, et qui ne diffèrent que parles notations de celles de lap.3iï8.
(^) Mémoiro de UM. Lamé et Glapeyron, de 4828 (Savants ctrangprs, t. IV), aux ca$ 9imple$ des art. 40 et 64 .
(*) Mémoire »ar la torsioB, aax Sûv, étr, t. XI v.^ Mémnirc sur la flcxioo , au Journal des muihànatiques pures el appliquées^ 4856.
APPENDICE m. 597
démontrées élémentairement à la note du n* 156. Et on reconnaît que la suppj[)sition, en outre, de la nullité des dilatations tant Ion* gltudlnales qne transversales, ou de
S ~" "' ^ - "• 55 "" ^* (fa "^ dy " "'
répond & celle de liberté complète des faces latérales^ et d^actlons seulement tangentielles sur les bases.
Et c'est d'une manière analogue, en prenant pour données une déformation par flexion, avec des pressions transversales nulles sur les faces latérales de toutes les fibres (données dont la suite démontre encore la compatibilité) que nous avons pu ramener aussi les équations différentielles en u, v, w, h pouvoir s'intégrer pour des bases d'une infinité de formes, ce qui résout suffisamment le problème de Inflexion inégale ou avec glissements.
Nous ne rapporterons pas ici la suite des calculs qui nous y ont conduit, mais nous vérifierons analytiquement, au moyen des formules et équations établies dans cet appendice, les résultats, démontrés déjà plus élémentairement à Tappendlce précédent (§§ 9 à 13} ainsi qu'aux notes des n"* 80, 152, 156. Cette vérification achèvera de justifier les suppositions telles que celles d*actions ou de dilatations transversales nulles, etc., et de convaincre de la vérité des théorèmes résumés an 2* appendice.
S 32. Conditions de compatibilité, à remplir pour que sixfonc' lions de coordonnées, x, y, z représentent hien^ aux divers points d^un corps , les dilatcUions et les glissements dans les sens de ces coordonnées. — Avant de présenter les vérifications particulières, faisons une remarque générale et essentielle : c'est qu'il ne suffit pas que six fonctions des coordonnées x, y, z, mises & la place de
P"» Pn9 P»*» P»»» P*9i P*ï
satisfassent à trois équations indéfinies (38) -^ +• . .=X, -^ , etc. ,
et & trois équationsdéfin{es(39)j92sCOs(n,x)4*.-='2!''COs('S)',x), etc. pour fournir une solution, ou pour représenter un système de composantes de pression aux divers points d'un corps élastique. Il faut encore que les valeurs correspondantes en x, y, 2, de
598 SEGT. 1. RÉSISTAHCB Ofi5 SOUDES.
p«i dyi Cjii gyi, 9m« 5ryi
tirées des six équation8(12)p«c=ax»Bsd«+aj:«yydyf'-.'MPvy=etc. ou autres analogues de (29) à (37) en mettant ces fonctions pour Pxxf Pyy* etc., puissent elles-mêmes représenter, en tous les points, trois dilatations et trois glissements.
Or cela exige, entre les six fonctions, d«, dy, ...gxy» ou, plutôt, entre leurs dérivées du second ordre, certaines relations ou candi'' lions de compatibilité^ telles qu'elles donnent bien les mêmes valeurs valeiurs aux trois inconnues finales qui sont les déplacements u, V, w , et dont il résulte que trois de ces fonctions étant données, la forme des trois autres s'ensuit, à cela près de fonctions arbitraires disparaissant par les doubles dilTérentiations.
Ces relations ou conditions sont les trois suivantes qui donnent^ comme on voit, les dérivées des dilatations au moyen de celles des glissements :
2 d^* __ d^ /dg„ cigxy ^y,\ dydz dx\df/ dz dx / *
^'*''' ] ^ dzdx '^ dy\dz ^ dx "" "dyj'
dxdy dz\dx dy dz J^
et les trois suivantes, qui donnent réciproquement les dérivées des glissements au moyen de celles des dilatations ; elles ne font pas tout à fait double emploi aux trois précédentes (1x9)^ car celles-ci ne donnent, en les combinant ensemble, que les différentielles de (50) par rapport à x, à y, à z respectivement :
/.n^ d^.î?^ . ^. d^__d5. tf»^ d»g.,#3- tTOy ^^"^ dydz" dz* "^ dy*' dzdx" dx* "^ dz*' dxdy"!^'^'^'
Les six relations que nous venons d'écrire se vérifient d'ellesmêrfies quand on suppose très-petltis les déplacements u, r, ir, ou
quand on a (fom. /i2)|= ,J^= D„g= ....g + ^=g..,etc.
Et il est facile de voir, au moyen des formules de la deuxième note du S 29 (p. 593), qu'elles ont également lieu quand les déplacements
A^pfcAbtcB iii. S99
ont des griDd^uriquëiooliqtteiii ittâii telles ^ue Us, 9y, m . g«y restent très-petits 0)i Biles sofflseliti tut eèlléé (5Ô) s*obtiênnëiit éh Uvtimu—{b^x,
v=z^iydy, 'w=p:tdz des trois premières équations -^ = d«« etc.»
et substituant dans les trois dernières ^ + -t" = Sy« « ^^-9 P^
faisant disparaître par des différentiatimis les intégnUes sabstituéest Celles (à9) s'obtiennent en tirant de môttei parélinrinstiODi v, v« w des trois dernières pour substitaer dans les premières. Et si Ton tire les inconnues d*une ou deux des premières et de deut ou une des dernières on n*obtient que les mêmes relations , on d^autred
dans (û9).
Qes ^ reiatioiis (49)< (50) indnirént bien que si Ton se dotine ou dx, dy, ds ou gy„ gsx, Sxyi loS tTols ft^hdUbfls lidti dofihées s'en déduisent, toutefois d*0lie manièrd qtii n'est paâ complètement déterminée» car, à leurs valeurs , se trootent igoutées respectivement trois sommes de fonctions arbitraires de la forme
qui disparaissent I cbmme ncfnsivofas dit; en dlfféreiitlsiit deux fois pour substituer dans (A9)i (60).
(1) En efftt, ii l'on «Joule te» iroîs preinières équations (44] de cette note dii $ 39,
dun uiuUipliées reipectiTemeSt par Owi» Cyc,j Cm,, on obtient en remplaçant —-
dut
pifd«, la première dea six équations suiTantes; et si l'on ajoute les six dernières (44) BultiplièM respeetlTeoMnl ^reu|i e^i,^ Css,* Ccy,, c^n Cgyi , en
remplaçant t- + -r- pa# Syst <)S i 11 qilatrièinS fl^ lultaiiies \ et les katrbS;
slinplenienl indiquées, s'obtiennent de tiièffle :
I 4-dy= . . . 4 4. d,= . . .
Or, en «dbstiluant les râleurs qu'elles donnent pour <)«, Dy, ... gxf dans les équaUons[49] ci (50} on (roUvc que celles-ci sont satisfaites identiquement , bien qu<t Ml Vf w puissent avoir des grandeurs considérables.
$ 33. Vérifications et généralisations diverses au moyen des mêmes formides et équations. Et^ d'abord^ contraction du volume d'un corps homogène déforme et de contexture quelconques sous une pression extérieure normale et constante. — Commençons par le cas simple où un pareil corps n^éprouve qu'une pression constante
agissant normalement, comme celle d*un fluide en repos, sur sa surface-enTeloppe, à Punlté de laquelle elle est rapportée.
Il faut, dans les équations définies (39) pxxCOs{nrX)+pjcy =
^cos ('t^^x)^ etc., faire '6^=•-ç, et, vu la normalité de cette force, faire cos {'®',a;)=cos (n,ar),cos{'zzr,y)=cos(n,y),cos(^r)=cos{n,£). Elles seront satisfaites par
(51) Ptx = Pyy =zp„r=Z^q^ py, = 0, P«B = 0, Psy = 0.
Et Ton aura ces mômes valeurs (51) pour les composantes de pression en tous les points du solide. En effet : 1" Elles satisfont évidemment aussi aux équations indéfinies avee
seconds membres nuls (38) -^ + ^^ + -^= 0, etc.
2** En mettant — ç et zéro à la place des six premiers membres
des équations (12) pjex=9^x9X3D^» + » l>yy=%yjwdff + ..,. du cas
le plus général de contexture homogène, ces équations du premier degré, résolues par rapport aux D et aux g, donnent des expressions de la forme suivante, où A, A', A'^ B, B', h" expriment six quantités constantes, fonctions des trente-six cofflcients a de (12)
qui satisfont bien aux conditions de compatibilité (h9) et (50) du S précédent, puisque toutes leurs dérivées sont nulles.
On voit qu^un corps homogène, ainsi sollicité, se comprime ou se déforme partout de la même manière.
On le reconnaît aussi en cherchant les déplacements tt, v, tr supposés très-petits. Ils s*obtiennent en égalant chacun d'eux à une fonction du premier degré en x, y, z, à quatre coefficients indéterminés, et substituant dans (52) gz ="" ^ • ••••» T ^ lU'^ |, Cette substitution détermine six coefficients, et il est facile
APPENDICE nu 601
de voir que, sar les six autres, trois représentent de petites translations dans les sens des axes coordonnés x^ y^ 2, et, les trois derniers, des rotations aussi très-petites autour des mômes axes. Ils restent arbitraires comme constantes de Tintégration, à moins qu'on nMmpose des conditions définies géométriques ($ 28, p. 687), parexem* pie rimmobilité : V d'un point, ce qui annule les trois translations ; 2* d'un petit plan matériel passant par ce point, et 3* d'une petite droite comprise dans ce plan, ce qui annule les petites rotations.
Pareille indétermination se rencontre d'abord nécessairement dans la recherche des déplaceilients u, v, w pour tous les problèmes sur les corps élastiques, puisque les tjcànslations et les rotations générales ne changent pas les distances mutuelles dontdépendent les actions entre molécules. Nous la ferons disparaître dans ce qui suivra, comme nous venons de le dire, savoir en rendant fixe, ordinairement, l'origine des coordonnées, un élément superficiel d'un des plans coordonnés, et un élément linéaire d'un des deux axes coordonnés qui 7 sont tracés.
Si la matière a trois plans de symétrie perpendiculaires aux x^y^z^ les formules de pression (30) substitués à (12) montrent que les trois glissements gy,, g»*, g«y sont partout nuls.
Et s'il y a isotropie, les formules de pression (35) donnent
(53) D.=sDy=D.=
d'où, en appelant c la contraction cubiqtie, c'est-à-dire la diminution proportionnelle du volume :
{5A) <^=— ^•— ^»— ^»=2ë^ê''' ~ c = g 2 rironidniete=e'.
S 3A* Suite des vérifications et généralisations. Extension longitudinale et contraction latérale vnijorme d'un corps prismatique homogène de contexttere quelconque en divers sens. Emploi du principe de simultanéité ou de superposition,^So\t un corps prismatique homogène, de contexturepara/fê/e quelconque ($ 22), qui est sollicité, seulement sur ses bases, par une pression ou traction
normale constante
P par unité superficielle.
dv âx*
Celui que le même angle aurait éprouvé si MBy seul eût changé
du de direction est, par la môme raison, j- , évalué aussi en arc d'un
rayon = 1. Le rétrécissement total , dû aux petits changements de direction des deux côtés, est leur somme; donc :
^du do
et ainsi de même des valeurs des deux autres dilatations et des deux autres glissements (42) 0).
S 30. Équatwns différentielles contenant les dépldcements sup' posés très-petits, — En mettant les valeurs {li2) des dilatations et glissements dans formules (30) des pressions p;,x--.p>y du cas de trois plans de symétrie de contexture, et substituant ensuite dans
les équations d'équilibre indéfinies -^ + ...=X» etc., on a ces
trois équations aux différences partielles linéaires du second ordre :
(') On arrive d'une aalre manière aux exprettiont plus générales (40), (44), et on établit en même temps quelques formules qui nous senriront plus loin, en considérant que les déplacements de grandeur quelconque u, v, u>, pour ne produire que de très-petites déformations dans chaque petite portion du corps, doivent se composer de déplacements irés-pelils, que nous appellerons «o, Vet t&,, suivis de translations et de rotations sans déformations. Supposons que, pour une des petites portions du corps, la rotation, autour de l'origine des coordonnées, ait donné des directions x^, y^ z^ aux ligues matérielles primitivement dirigées suivant les axes des X, y, z, et qu'ensuite leur point de concours ait éprouvé, parallèlement i ces axes fixes, des translations a, 6, c; on aura pour les coordonnées finales du point (a;, y, 2), en désignant par c«ryi, Ccxn ^^'> ^^ cosinus comme i la note du $ S3,
/« + «=(« + Uo)CafXi + (y + v»)Cayx + {' + Wojc»»! + «»
(43) /y -h v = (» + llojcya,, + (y + »")Cyyi + (« + t«^.)Cyjr| + »,
[z + w = {x -{- uJ)Cxxt + (y + »o)Csy» 4- (ar + tPojCjr*^ + c;
car ces seconds membres sans leurs derniers termes a, 6, c représentent , après les déplacements «ov *^o, fo et les rotations, les projections, sur les directions fixes X, y, z, de la ligne brisée (« + v») + (y + Vo) + (2 + Wo), dont les trois parties sont devenues parallèles i «1, i y,, i2|. En les différenciant par rapport à x, on a les trois premières équations suivantes, dont les six autres, simplement indiquées, s'obtiennent en différenciant par rapport à y et par rapport à z :
qui se réduisent, dans le cas de l'isotropie, aux suivantes :
du I du.\ dv^ dwo
dv / du.\ dv. dw.
du d» dw
dy dy dy
du dv I ^'^^
dz tfz dz
Ajonunt membre à membre les trois premières élefées tu carrè^ oo a, en Terlu des relations connues entre les neuf cosinus,
du* dVe dWo
équation od Ton peut, en développant^ supprimer les carrés de -^, —-, -y-
dx dx dx
du» X et remplacer --- par ()« fu que les translations et les rotations ne changent dx
rien aux dilatations. On a ainsi précisément l'eipression (40) en réduisant et di-
Yisant par 3.
Et si l'on multiplie chacune à chacune et par ordre les équations (44] profe-
nant de la différenllation de (43) par rapport i x, et les équations (44) provenant
de la dlfférentiatlon de (43) par rapport i y, on obtient
(du\du dv f dv\ dwdw 4+r- iT + 'T-l *+-r iH = une expression semblable en i«.,».,ir«, dxj dy dx\ dyj dx dy
équation qui n'est autre choie que (44 ) en développant, effaçant les produits des
dtto dVo dérivées de ««, v«, Wo, et remplaçant ~~~ -{--—- par g«y, puisque les transla-
dy dx •
tiottt et rotations ne changent non plus rien aux glissements.
(*) S'il y avait, antérieurement aux petits déplacements u, v, Wy des pressions p°jue> p*yy, .... p*«y assez considérables pour ioOuer (§ S3) sur la production de pressions nouveUet par ces déplacements, il faudrait, dans le cas que nous considérons, où ces déplacements sont très-petit», et où l'on prend les près-
604 SBCT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.
elliptiques de contextttre quelconqve, — Considérons d*abord un prisme de contexture homogène absolument quelconque dans les divers sens autour de chaque point On suppose qu'il n*est sollicité extérieurement que sur ses bases, et seulement par des forces tangenticUes Pm, pxy« les mêmes sur toutes deux aux points correspond dants ou ayant mêmes coordonnées tranversales.
Voyons à quelles conditions ses diverses sections seront, s'il est possible, sollicitées par lesmêmes forces que ses bases, et ses diverses fibres n'éprouveront latéralement aucune action dans un sens perpendiculaire h leur longueur, c'est-à-dire à quelles conditions on pourra avoir partout
(61) p^, = 0, p„y=0, p..=0, py~0, -^ = 0, -^ = 0.
£n substituant ces valeurs des composantes de pression ou de leurs dérivées dans les trois équations différentielles indéfinies (3S)
.£f^ + .. . = 0, on reconnaît qu'elles y satisfont à condition qu'outre
(61) on 'ait partout
car c'est à quoi p^;x = 0 réduit la première de ces équations dont
les deux autres se vérifient indentiquement
Et elles satisfont aux trois équations définies (39) pa» cos (n,x) +
.•='S^cos('2!r,a;), etc., à condition qu'on ait, aux points du contour
dz des sections, 7- étant tiré de l'équation de ce contour, la relation
(63) pzndy - pxydz = 0 ;
car. pour les bases, où (57) cosnx=:i, cosny=:0, cosn;e=0, et ^Zt)' cos '^^^x=0, ^txf' cos Wy=p3^^ ^ cos 4zrz=pse, ces équations (39) se réduisent à 0 = 0, p^y =^P9y% p»=Pss; et, pour les faces latérales du prisme, où 'S^=0, cosnx=0, ^=-t — , la première
*^ cosn;r dy '
se réduit à (63) et les deux autres à 0 = 0. Nous avons remarqué au S 32 que cela ne suffit pas encore pour
quepxc Pxyt ainsi déterminés, représentent des composantes
de. pression. Il faut aussi qu'en les mettant à la place des premiers membre8deséquations(i2)pxx=a««s«^c+ .. ,^p^^:=zmy^g^m-\- •• ,etc.,
relatives à la contexture du prisme, les D«, Dy. g^ qu'on en tire satisfassent aux conditions de compatibilité (69), (50), p. 508, nécessaires pour qu'ils expriment bien des dilatations et des glissements aux points successifs d'un môme corps. Or les quatre premières de ces six équations (12), savoir p«=:..., py,=..., !)«=..., Py»="ft 60 mettant zéro pour leurs premiers membres conformément à (61), donnent
v)ii y^^n etc., fttant huit nombres flDnctioni des rapports mutuels des coefficients A*
Substituant dans les deux dernières (12) pM=»sxrads+—,P<y="M elles deviendront
(65) iP» = G^'«« + H",
W p.» = H'^g*. + G'g^ étant des constantes on des coefficients d'élasticité de glissement, fonctions des
En les diflérentiant par rapport à x, leurs premiers membres s'annulent d'après (61), et elles donnent
W -dS- = ^»-S"*"^' ^'^'ÂF^^'W^^^dS^^'-ar^^- En conséquence les conditions de compatibilité (50], {li9) se réduisent à :
dydz ~" d2« "^ dy*' df " ' dz* ~ "» dydz ~ "• \ A/'*£î-*'»^ A-^/'^l'-.^A
Les deux dernières montrent, eu égard à ce que, d'après (G6), la dérivée par rapport à x de la différence entre parenthèses est nulle aussi, qu'on doit avoir, en tous les points
(eSj ^ . ^1 = 20, 20 représentant nn« consUnte.
Quant aux trois premières (67), si Ton met pour D., dy, c^, gy. leurs expressions (66) en g«i, g«v, on voit qu'elles seront satisfaites de deux manières :
1*" Si le solide a pariotU un plan de symétrie de contexture perpendiculaire aux x; car, alors, les formules générales (12) j?» = ...., etc«, se réduisent à la forme (29) qui est telle que les quatre premières, exprimant pg^ p^y^ p»„ Py«, ne contiennent que
QOS « SEGT. I. RÊIIISTàSCS DU SOUDES.
les dilatations d et 1q glissement gys sans g^ ni g,, ; en sorte que tous les n spQt nuls et que (6A) deviennent
. (69) D^ =0, a, = 9, ô. = •, gy« = 0.
Alors (68) suffit comme co^itiop d& poippatibilité ; et les exprea^ sions (65) de p», p«y se trouvent remplacées par les deu^ dernières formules (29) de composantes de pression
(7») p« = eg« + h^gx„ p«y = h'*g« + fg«y
2** Si, la contexture étant quelconque, g«, g«y ??^ sont que des fonctions linéaires de y, 2. Gela exige que le contour des sections soit de forme elliptique; car en substituant des expressions telles que g« = G + C'y + G"z, g^ = G^ + C\y + C\z dans (65) p^ = G^'g^ -f ... , |i«y = etc., et ceUes<>oi dans Téquation définie (63) Pxsdy — pmydz = 0 relative aux points dn contour, on a une équation différentielle du premier ordre qui s'intègre d*elle-mèine puisque son premier membre est une différentielle ex^te en y^ z en vertu de Téquation indéfinie (62) qui est la même chose que
-2îî = -iZÎfîd; mais l'intégrale, représentant Téquation da ce
contour, n*est que du second degré, et le contour ne peut être qu'une ellipse.
D*où cette double Donclusion :
M* Toutes les fois qu'un prisme iotd la moHère offre partout des plans de symétrie perpendtculqirfis à §$s arêfes w 9m x n'éfirouve sur ses faces latérales aucune actipp et sqppprte, sur ^ basés, dans rétat d'équilibre, des aptious tangeutiel)ei9 p^« p«, satisfi^sant,
en tous les points de ces bases, h (92) -^ + -^ =; o, et, sur l^ur
contour, à (63) p^tdy — p«ydz= û,et qu'il y a, aussi en tous les
points des bases, une relation (66) ^^ — -^ = constante ^o outre
les dérivées des glissements répondant aux actions tangentielles, ou tirés de (Î9) ou (70) p«=eg«, + h"g^, Pxv = h*'gxs + fg^, ce prisme éprouve d*un bout à Pautre la même déformation résultant des gliflsepuMitsgsy, g<j ainsi déterminés, constants sur chaque parallèla an« avôtes, sa^ aucutt^ dilatation ou contraction, dans le
APPENDICE in. 607
sens l&ngUudinal ni dans les sens transversaux; ce qui est une généralisation du théorème II donné au $ 11, 2* appendice, p. 531.
S* Il en est de même avec une contexture homogène parallèle ($ 21) absolument quelconque ou sans plan de symétrie si les bases sont elliptiques^ ce qui entraîne la linéarité en y^ x^ de pM, p«y sa^ tisfaisant à (62) et (63).
On reconnaît facilement, dans le cas de contours quelconques et de plans de symétrie perpendiculaires aux arêtes, que la déforma*iion est une torsion uniforme 6 avec un petit cheminement longitudinal u des lignes matérielles primitivement droites et parallèles aux arêtes, et l'on prouve la relation (68) sans invoquer les condi-* tions générales de comptabilité du % 32, en supposant très-petits les déplacements Uy t?, w^ (qui peuvent en effet y être toujours amenés pour chaque portion courte du prisme si Ton rend fixe un de ses points et deux de ses éléments (§ 33) de manière à abstraire les translations générales d'une certaine grandeur); car alors (69) et les deux premières (66) sont la même ohose que
du ^ dt ^ du^ ^ dv — =0, -r =0, -3-=0, :5-" dx dy * dz ^ dz
,^,^ ^ ^^ ^ ^^ ^ ^^ , dw ^ d fdw , du\ d (du , dv\ ^
d'où MM£l=::i.^=^0 ^-?(M=A^ = 0
dz dx, dz • dy dx d^ '
prouvant que / est fonction de y seul, F de ::; seul. Mais d /dv . dto\ dF{z) . df{y) df ^ dV
vent être que deux constantes égales. En les désignant par 6 on a alhsi
dtâ ^ dv ^ du ^ du ^
qui vérifient la relation (68) et qui montrent que les glissements g««i gxy produisent (S b de la note du n" 156, au 2« Appendice S H) une torsion uniforme 0 d*un bout & Tautre du prisme ou cylindre.
On a ainsi pour réquaUon différentielle indéfinie (62) ^^ +%^==<>
En prenant arbitrairement pour u l^une quelconque des intégrales, en nombre infini, de cette équation, par exemple, une des intégrées en termes entiers «= 0(Co + c^y + c,'z -f c^y* + 2c' ^z + c,V + Cjy* + 3c,y*:r -\- ), où Ton restreindra le nombre des coefficients indéterminés c en substituant dans (73) et égalant à zéro les sommes de ceux qui affectent les mômes puissances ou produits des puissances de y, z, puis en mettant cette expression de u en y, 2 dans réquation définie (63) p^dy^pg^dz = 0, ou
on aura l'équation différentielle première des contours de bases pour lesquels le déplacement longitudinal u prend cette valeur lorsqu'on imprime au prisme une torsion 6. Cette équation dîflërentielle (7/i) ou (63) s'intégrera toujours d'elle-même, tû, comme nous
avons dit, (62) -^ = d "^ ®* donnera, aussi en termes entiers, réquation générale des contours répondant à l'expression u = e(Co + Cjy + Ci'z + Cjy* + ) du déplacement longitudinal (^), et analogue à celles du $ 10 et du $ 39 de la note du n*" 156, p. 256, 3A9 (avec u et v au lieu de y et z\ en sorte qu'on pourra résoudre, pour une contexture à un seul plan de symétrie, les diverses questions de torsion que nous avons résolues dans cette note pour une contexture à un axe ou bien à trois plans de symétrie.
On arrive, au reste, au même but, comme nous avons dit au scolie III, S 12, 2* Appendice, sans faire entrer en considéraiion le déplacement u^ en égalant directement les glissements gcy, gcsà des séries entières ^n y, r, et en astreignant leurs dérivées premières aux conditions exprimées par (62) et (68). Leur substitution
(*) Od timplifle le calcul en ratsant y=y' \/r, z=z' ^ë, h"+b'"=:8h V^.
Il D'est pat beioiii de dire qu'on Tail disparaître le second membre de TéquaUon
différentielle (73) (si on ne le regarde pas comme toujours nul) en prenant u ==■
h"— h'" b" — h'" b"— b'" une antre inconnue vf plus un terme Ov^ou Ovz ou (b*;
^ ar ^ b"-f h'" ^ 20 .
transformation qu'on opérerait si par eiemple on Toulait se servir d'intégrales de forme transcendante.
APPENDICE m. 609
dans rôquation définie {lU) et riatégratfon facile de celle-ci donneraient les équations des contours.
Dans le cas (S"") plus général quant à la contexture, mais plus particulier quant au contour (contour elliptique), où il n'y a toujours que des composantes de pression pg%^ l>«y« ces forces tangentielles appliquées sur les bases produisent, outre la torsion 0, des dilatations longitudinales ayant une expression comme d«=G,+ G'^ +GV dont Teffèt est une flexion uniforme (voy. S suivant) et des déformations transversales D,, D^, gy, aussi fonctions linéaires de y, 2, et dans un rapport tel avec <)« qu'on ait partout pyy, p.., p^M nuls ainsi que pxg.
Pour déterminer 6, et par suite les D et g, au moyen du moment M I qui fait tordre, on n'a qu'à opérer l'élimination de ^x, Dy, d., gy„ dont on a parlé ci -dessus, entre les six formules de composantes do pression en faisant px«= 0, pyy=0, i)ss=0, Pys = 0, ou qu*à calculer les quatre coefficients des expressions (65)
et qu'à y faire
(76) g.» = 2e{Ay-.B2:), g« = 20(A'y-B'ar),
A, B, A', B' étant quatre indéterminées «ntre lesquelles la substitution dans (62) -g»- + ^ = o, et (68) ^'-^' = 2e donne déjà ces deux équations
puis, pour en avoir deux autres, à assimiler, avec l'équation du contour elliptique donné, l'équation qui résulte de la substitution de (75), (76) dans Pcsdy— p«yd2=0 et de l'intégration, équation qui est
(B''A+ G"A V— 2(G'A+H*'A')y^+ (6'B+H7B>«= constante.
L'équation d'une ellipse dont le centre est à l'origine des coordonnées et dont les axes de figufe 6 et c font un angle a avec lés axes des y et des ^, est
/q ycos«-f ^sin«y /^^ gcosa— ysinaX
6!0 SECT. I. RÊftlSTANGB DRS SOLIDES.
SI Ton appelle I, r ses motneats cTlnertfe principaux -^ , -^ et si Ton Tait (note du n*" 83)
(73) j2*dak=rIcos*a+rsin*a=J|, Jy*<i»sil8iA*«4>i'M^«=J'l« $y2l(ai=(l'^I)rill«C0Sa=K,
on peut récrire
L'assimilation fournira donc
d*oâ» avec (77), des râleurs de A» B, A', F qui mises dans (70) donnent
^^.. ^ », (G^K-^iri,)y-(G^l\-fl^t)^ ^oft (G^-lTKV-rc't-HVJc
Substituant dans (75) p«y =•.., pxi= ••• » et celles-ci dans Texpression du moment de torsion
Mi = 5da>(p„y— j>^2), on obtient :
formule où Ton peut remplacer ii, i\f K par les valeurs (78j, ce qui donne
^ ^ * "" Gl+G"r+ (!'— l)sina[(G'- G")sina— (ir +U'^cosal*
Cette expression se réduit bien à celle -^ j- du bas de la
GÏ"^G^' page 351 (S 39 de la note du n*" 156) dans le cas particulier H"= 0, IV" = 0, a = 0 où îl y a trois plans de symétrie de contexture perpendiculaires aux X, y, z et où les axes ou diamètres principaux de Pellipse sont parallèles aux y *et aux Zm
Il n^est pas plus nécessaire de connaître les trente-six (ou quinie) coefficients a des formules (12) pour appliquer cette expression du moment de torsion Mj que pour appliquer Texpression P = E<ik>x
APPBNDIGK III. 611
de simple extension â*uii prisme de coatexture quelconque, où E
représente une fonction des mômes coefficients {$ 34)« De môme
que pour celle-ci il suffit de déterminer préalablement £ par une
expérience d'extension faite sur un prisme de môme matière, de
môme il suffirait de quatre expériences sur des cylindres elliptiques
r d* offrant des valeurs différentes de y = p et de a pour obtenir les
faleurs des coefficients 0'» G'\ af\ H"^ relatifs à un bloc donné de matière» envisagé suivant un asimuth déterminé oboisl arbitrairement.
Si ces expériences donnent à peu près H''^ = H*^, on peut, comme lorsque la matière a des plans de «ymétrie perpendioulaires aux x (et qu'on admet Tégallté de b'^ et b^ des formules 39), obanger les axes transversaux des y, «« en d'autres y'f zf peur lesquels les composantes tangentielles ont des expressions mcmômes
axes qui font, avec y et 2, comme il est facile de voir, un angle 6 déterminé par
Alors on peut poser une équation de dohésion eommé ôelle du $ 39 de la note du r 156, p. S6li,
i = ou >
Ci?)'+ (£^)-.
et rappliquer en calculant par tâtonnement lé ntaxlmmu du 96coud membre pour les divers points du c<mloa^ elllptf<)uè, ftprèâ avoir mis pourgcy/, g», leurs valeurs gay ces 6-f g., sin 6, g«cos6— g«y sine, et, pour gcy, g^* les expressions (80).
La condition de cohésion est plus compliquée quand on n'a pas H'' = H"'. On arriverait à la poser en changeant les trois axes coordonnés des Xf y, z en d'autres dirigés dans les sens supposés connus et rectangulaires où les limites des dUataiions non dangereuses de la matière ont leurs plus grandes et leurs plus petites valeurs
(>) Mémoire lar la lorsipn des prismes \Mvanl$ étrangtrt^ t. XIV], art. 46.
absolues et relatives, et supposant, autour d'eux, une distribution ellipsoïdale des inverses des racines carrées de ces limites (').
S 36. Suite des vérifications et généralisations. Flexion égale ou circulaire^ sans glissement ^ d'un prisme homogène ayant une contexture quelconque dans les diverses directions, — Supposons que ce prisme ne soit sollicité que sur ses bases par des actions normales variant linéairement avec les coordonnées transversales y^ z^ ou ayant sur toutes deux cette expression
OÙ d., p', p" sont trois constantes, dont les deux dernières sont trèsgrandes par rapport aux dimensions transversales, et E le coefS* cicnt d'élasticité d'extension ou de compression longitudinale.
Voyons si Ton peut avoir partout la même pression longitudinale ou tension p» des fibres, avec les cinq autres composantes nulles, ou si l'on peut avoir, en tous les points
(83) p„ = Epo + ^, H- jî )• Pifif=0, p„=0, py,=0,p„=0, p^=0,
Ces expressions satisfont aux trois équations diflérentielles Indéfinies (38) ^ + ^ + ^ = ^» ^^'^ puisqu'elles annulent les
premiers membres. Elles satisfont aussi identiquement aux équations définies (39) px»co&{n^x) +•••='S^cos('^^^,2), etc., tantaux points des bases, pour lesquels cos(n,a;)=:cos('a^,x)=i,co8(n,y)=cos('eD',y)==0, co8(n,2)=co8('29',2)=0, qu'aux points des faces latérales, pour lesquels on a C06(n,a;)=0, *tsf'=.0. Elles satisfont aussi aux conditions de compatibilité du S 32, car elles donnent
^ ' ^et (comme au S3&) <),=— i)Dc, D,—— V*^., gf.=ïi"^
qui, substituées dans (/i9) et (50), les réduisent à 0=0, en sorte que les déformations exprimées par (8A) sont possibles ou compatibles
(t) Même mémoin*, art. Si. On peut étendre ce qcl y est dit pour une conlexture i trois plans de rymétrlc A une contezturc quelconque, moyennant le ciiangemcnt d'axes dont nous parlonn.
SECT. I. BfiSISTANCB DES 80UOE5. 613
entre elles, et Tanalyse confirme à ce sii^et, comme on voit, notre démonstration géométrique du S 3 de la note du n* 80. Le prisme, ainsi déformé, sera donc maintenu en équilibre par
les pressions ou tractions (83) p*«=E(D,+ -, + -^j appliquées aux ba-
ses eu ; pressions qui ont, sur chacune,
Eon), )pour résultantes ;
-; J2*(2ci>, -rSy^diû pour moments autour des axes des y, des z,
supposés être les axes principaux d'inertie passant par les centres de gravité des bases.
Or, sans avoir besoin de déduire de (8A) les valeurs des déplacements u, V, w (qui seraient, comme il est facile de voir, représentés, s'ils sont très-petits, par des expressions entières du second degré en a;, y, z, dont les coefficients se trouvent aisément en les laissant
d'abordindéterminés),laformod«c»d,+ ^, + -t/ de l'expression trans-
versalement variable de la dilatation longitudinale d'une fibre quelconque prouve que le prisme prend une courbure uniforme ayant
->, -f, peur projections sur les plans des zx et des xy, ou qull Oé-
i i 1 cbit en arc de cercle d'un rayon p déterminé par -^ = ->, + -7^.
S 37. Suiie des vérifications et généralisations. Flexion inégale^ ou acec glissements, d^m prisme homogène dont la matière a partout un plan de symétrie de contexture perpendiculaire à ses arêtes ou aux X. — On suppose que ce prisme, d'une longueur a, est sollicité sur ses seules bases, savoir :
Sur la 2*, pour laquelle 2=0, par des forces tangenti^les pxy,p»f Sur la i**, pour laquelle x=0, par les mêmes forces p^yi p«s aux points correspondants, mais, en outre, par des forces normales p** proportionnelles à une coordonnée transversale z, et
Va pouvant ainsi être représentées par —z , 1 désignant le moment d'inertie ^'dco de la section autour de l'axe' des y supposé être un de ses deux axes principaux, et V étant une constante doni nous allons reconnaître la signification.
616 AP^ENMCB III.
Voyons si la proMlOD px» peut furler linéairement aostl avec la coordonnée longltadinale x* et si les pressions tangeotieiles sur les sections peuvent ôtre les mêmes d'un bout à loutre que snr les bases, les fibres ne supportant latéralement aucune action transversale à Tintérieur, ou si Ton peut avoir partout
(85) p„ = ?^--^,p,, = 0,p,.=9.p,,=0, ^=0.^gï = 0.
En substituant ces valeurs dos composantes de pression, on trouve qu'elles satisfont aux équations indéfinies (38) -^ + ..• =0, etc.,
à condition qu'on ait partout, entre les actions tangeptlelles, la relation
car c*est à quoi les valeurs (85) réduisent la première de ces trois équations, en rendant identiques les deux dernières. Elles satisfont aussi aux équations définies (39)p«xCos(ax)+...=:/^^^cos(«^i^,a;], etc. : l*6ur les bases atsdetxsso, où cos(n,x}s=i, oofl(n,y)=:0,co6(n,«)=0,
'^^^cos('^^'^) = -y- et zéro,'Z9ttos('29',y)=j)*y, ^tSfcos{^^z)=pg,;
T sur les faces latérales, où '29*=0, cos(n,a:)=0, ^^°*^;- = ^^^ , à
cos(n,;2r) <cy
condition qu*on ait, aux points des contours des bases et des sections, (87) i>»iy— p*f<fe = 0, •
Voyons maintenant à quelle condition les expressloiui des dilata^ tions et glissements tirés des équations (86) sont compatibles entre elles. Ces équations, combinées avec les formules (99;px«=3ad« + + fdy + e'O, +bgyii etc. , du cas d^un plan de symétrie, donnent ^t n\ V^ étant, comme au S 3^9 des fonctious des rapports mutuels des coefficients 9^î\ eto, ;
^fifw __ A ^*»
dx ' dx
qui réduisent à 0 = 0 les trois conditions de compatibilité (60) du S 32, ainsi que la première des conditions (49) ; et les deux autres (li9) sont réduites k
SEGT. I. BÉSISTAIICB 0B6 SOLIDES. 615
El " dy\dz dy J' ^ "" BI "^ d«Wy dz )'
On en déduit, vu que ^ /^^* — ^^ est nul d'après (88) :
^^^^ dy "ST *^ El •
condition quf ^tocorde av ee «elle du miUaa de la p. Mi, S &6 de la note du n* iM, ea remplaçant y, « par u, v, — Ppar P^ et supposant T)"^ = 0 ou gy« nul partout.
Toutes les fois donc qu*un prisme on cylindre, dont les faces latérales sont libres, et dont la matière offire partout des plans de symétrie perpendiculaires à ses arêtes ou aux x^ supporte dans Téiat d'équilibre, sur l^lne de ses bases, des pressions ou tractions nor-
Pa maies Pm» = -jz^ et, sur toutes deip:, des actions tangentielles
p*»i p*» satisfaisant jt (86) -^ + -^ = y en tous leurs points,
et, aux contours, à (87) pxtd/y -^Pmydz = 0, et telles aussi que les glissements g^, g» qui y répondent d'après (39) pM9=egMs + h^'g^y,
P«y = h^g^ + fg.» aient entre aux la nalatlon (69) ^^^ ^ »
s3 rmm pJSi^pJL^ 06 prisme se trouve avoir éprouvé les déforma-
tiens quMndiquent les expressions (86) des dilatations et glissements, c'est-à-dire une flexion, dans le plan xx, décroissant d'un bout à l'autre uniformément dea; = Oàx = a,en même temps que des contractions transversales dans les proportions )], n' svec les dilatations longitudinales d^; des fibres, et des glissements déterminés par gyj = t)^^ • ainsi que par les valeurs de g»» 8«y fonctions de y, z et satisfaisant aux conditions exprimées (88), (89).
Le moment total, autour d'une parallèle aux y tracée sur une section quelconque u>, des actions s'exerçant à travers cette section est,
W«îw, = ■ ^ |g*<^ == P(a— «); en sorte que comme il ne s'exerce, sur la deuxième base rc =: a, que
016 APPBMMGB m.
les forces p^s, on a pour Téquillbre de translatioD, dans le sens 2, de la partie intermédiaire, dont la longueur est à-^x
idw = P,
c^est-&-dire que P représente la somme constante des forces transversales pg^ agissant aux divers points de chaque section.
Si Ton égale g^y, gxt à des fonctions entières dey, z, à coeflBcienis Indéterminés, en astreignant ces coefficients à satisfaire à (86) et (89), ce qui en réduit le nombre; puis, si Ton substitue dans (87) PmM^y — Pxydz = 0, on a l'équation diflTérentielle première des contours des sections des prismes qui prennent la fleadon qu'on vient de dire, sous l'action des forces transversales p^^ p^ répondant à
ces expressions de g», g«y, et Jointes aux forces normales -p ^^^
une des bases. Mais le premier membre de cette équation des contours (87) n*est pas une différentielle exacte comme le premier membre de (63) ou (Ik) du cas de la torsion (% 35), en sorte que nous n'avons obtenu des intégrales ayant une forme finie que lorsque
ou que la matière offre trois plans de symétrie; et nous n'avons, ainsi, à présenter aucun autre exemple que ceux qui ont été donnés au S Â6 de la note du n*" 156.
On voit toujours que l'analyse, fondée sur les formules et les équations de la mécanique moléculaire, dont l'établissement et l'emploi ont été l'objet de ce 3* Appendice, vérifie d'une manière simple, en les généralisant, les résultats et les théorèmes que nous avons démontrés au 2« Appendice (%% 10 à 12), ainsi qu'à la note du n** 156, par d'autres considérations. Ces théorèmes, qui donnent l'extension, la torsion, la flexion avec ou sans glissements, de prismes sollicités à leurs extrémiés par des forces appliquées et distribuées suivant certains modes servant de types, et auxquels les autres modes sont assimilables avec une approximation suffisante, se trouvent ainsi confirmés de plusieurs manières et mis hors de doute, bien qu'aucun des résultats qu'ils énoncent ne puisse, dans l'état actuel de l'analyse, être obtenu par voie tout à fait directe ou purement analytique, et que Ton ne soit encore arrivé à aucun d'eux, môme au plus simple (ce-
6EGT. I. RÈSISTANGB DES SOUDES. 617
lui de Texteûsion) que par voie d'essai et de vérifiGation» suivie au moins partiellement
4* APPENDICE s — Comparamn de nos formules de torsion à texpirienee. — Digression sur les vibrations tour'nantes.
$ 38. Expériences de M. Wertheim sur la torsion des prismes à base rectangle^ et observations sur les conséquences qu'il en tire* — Noos avons dit, p. 283 et 297, aux sous-notes des $$ 21 et 26 de la note du n* 166, en citant des chiffres k Tappui, que nos formules de moment de torsion étalent dlaccord non-seulement avec les expériences anciennes de Duleau et de Savart sur les prismes carrés et rectangles, mais aussi avec les expériences récentes de M. Wertheim, qui ont porté également sur des cylindres elliptiques*
Nous Tavions exprimé déjà en février 1858, aux p. 78 et 95 d*un écrit distribué aux membres de TAcadémie des sciences et à divers autres savants {Notice sur nos travaux).
GependantM. Wertheim, & la p. 17 d'nnécritdum6megenre,di9trlbué en novembre 1859, conteste cet accord, et il perslsteà émettre, comme il avait fait aux p. 2/i8, 2/k9 ($ XY) et 28Â, 285 (S XXV) de son Mémoire sur la torsion^ inséré aux Annales de chimie et de physique en Juin et Juillet 1857, Topinion que la formule du mo-
ce 6»c»
ment de torsion de M, Cauçhy M, = -^ rj— jpour les prismes rectangles est seiUe exacte dans les conditions-limites que suppose Jusqu'à présent toute théorie, savoir des torsions extrêmement petites et des prismes d^une longueur extrêmement grande par rapport à leurs dimensions transversales.
L'intérêt de la vérité et de la science nous oblige à combattre ici cette opinion, que M. Gauchy n'a point soutenue (car il a adopté notre formule des prismes rectangles en abandonnant la sienne), et à montrer que les expériences de M. Wertheim ne la confirment point, mais sont plutôt, dans ce qu'elles peuvent offrir de concluant.
favorables h notre analyse ou h la formule en série transcendante qui, substituée par nous à celle de M. Gauchy, donne desi résistances moins fortes dans une proportion qui est 0,8/i3 pour 6=c, et qui ne se rapproche de 1 que pour b très-grand par rapport à c.
On discutera avec détail, au 5' Appendice, un point de théorie qui, depuis 1848, nous sépare de Thonorable physicien. Il a proposé alors des formules de composantes de pression quç nous n'avons pu adopter, et qui donneraient, dans les oorpe solides Isotropes ou d'égale élasticité en tous sens, la relation suivante entre I0 coefficient d'élasticité d'extension E et le coefficient d'élasticité de glissement ou de torsion G
tandis que nous pensons, avec Navier et les antres auteurs de mécanique moléculaire qui ont écrit de 1831 à 1830, qu'on a, pour les mêmes solides,
G=;^E = 0,Ai)0£.
Nos formules de torsion pure sont sans doute iodépendantas de oe dissentiment, car elles ne contiennent pas E, mais seulement G, et elles s'appliquent mdme aux prismes dont l'élasticité est autre dans le sens longitudinal que dans les sens transversaux, liais, lorsqu'il s'agit de comparer numériquement les résultats des formules avec ceux des expériences, il convient d'avoir, pour la matière de chacun des prismes, la valeur du coefficient G. Or M* Wertheim l'évalue constamment en prenant les 3/8= 0,375 du coefficient E, qu'il mesure au moyen d'expériences d'extension longitudinale faites sur chaque prisme, et dont il ne donne pas le détail. Les comparaisons sont, en conséquence, affectées de trois causes d'ineertitude : celle qui porte sur la relation G=: 3/8E admise par lui pour les solides isotropes, celle qui porte sur l'isotropie supposée (car lacontexture des prismes n'était peut-être pas la même longitudinalraient et transversalement), enfin celle que peut offirir la valeur de B, variant souvent avec la grandeur des extensions qu'on opère uour arriver à sa mesure.
On ne peut, par ces motifs, rien tirer de oertain du troisième tar
S£GT. I. BÊSISTANCB DES SOLIDES. 619
bleau du S XY, p. 249 (1) du Mémoire sur la torsion de M. Wertheim, où Ton voit qua, pour les plus petite» torsioas de dix de ses prismes de fer et d'acier, les nombres c (dernière colonne) par lesquels il faut multiplier la formule de M. Gauchy pour avoir ce que fournit rexpérienco, sont, pour des rapports des deux c6tés de la base
reip««UTencDtO,S7; 4,03; 0,98; 0,89; 0.86; 0,84; 0,86; 0,88; 0,86; 4,08, •a liStt d« 8,86; 0,88| 0,84s 0,86{ 0,84; 0,84| O,80s*0,86$ 0,80; 0,88,
que donnerai t notre formule, ou la colonne des valeurs de / de notre tableau p. 362 du § 22 de la note du 156. Les nombres de la deuxième de ces trois lignes de chiffres ont, çn effet, été obtenus pm* M. Weri-
thelm en prenant 6= ~E ; ils se rapprocheraient mosiMeraent de
ceux de la troi3lème en prenant 6= -^ E, ce qulles réduirait tous
de 1/16; et, en outre, G peut excéder encore v^E si la contexture
longitudinale est différente de la contexture transversale, on bien si E a été évalué au moyen d'extensions un peu fortes, ce qui tendrait encore à diminuer ou à éloigner de Tunité les multiplicateurs numériques c appelés par M. Wertheim coefiicients de correction de la formule de M. Gaudhy, regardée par lui comme exacte théorie quement ou à la limite.
On ne peut rien inférer non plus qui soit favorable à ropiolofi que le coefficient de correction se rapproche de Punité à mesure que la longueur augmente par rapport aux côtés des sections, des deux expériences sur les prismes de Flint, citées par M. Wertheim à la p. 248, ni du restç de ce que contiennent les deux tableaux, p. 2/ii5 et 2&6, disposés, dit-il (p. 2^8), « pour faire ressortir cette relation importante. » On trouve en effet, & ces deux tableaux, si Ton compare entre elles les expériences pour lesquelles le rapport (colonne r) des deux côtés de la section est sensiblement le môme, que le coefficient de correction, mis à la dernière colonne.
(*) Oa obdenl les pages du volume des AnnaU» eu ajouUpl 494 aux pages de iVxtraii publié k pari.
décroît & peu près aussi soureat qa*il croit lorsque le rapport (colonne i) de la longueur au peUt côté augmente.
L'expérience n'offire donc aucune raison de penser que la formule de torsion des prismes rectangles» à laquelle M. Gauchy est arrifé, en 1829, par un genre d'analyse dont 11 n*a Jamais sputenu Tezactitude et qu'il a finalement abandonné, soit « rigoureusement vraie à la limite, » comme le répète H. Wertheim dans sa Notice de 1850, c'est-è-dire poor de très-petites torsions et de trèe-grandes longueurs, et qu'il ne faille lui faire subir une correction que lonh que les longueurs sont trop petites ou les torsions trop fortes»
% 39. Examen de la formule de torsion des prismes rectangles donnée en 1839 jpar M. Cauchy comme approchée.— Nous devons répéter même ici ce que nous avons dit à la p. 290 (S 2Â, note n" 158), qu'il y a impossibilité que cette formule de torsion de M. Cauchy soit jamais vraie pour les prismes à base carrée, quelque longs et minces qu'on les suppose ; car, quand les deux côtés 6, c de la base rectangle sont égaux, elle se confond avec la formule ancienne M| =s G(M (p. 272) qui faisait le moment de torsion toujours proportionnel au moment d'Inertie {ùMpolaire) J des sections, même non circulaires, autour de l'axe de torsion ; d'où il résulterait que, pour des prismes ou cylindres trè»-longs, une section ronde et une section carrée de même moment d'inerUe donneraient la même résistance à la torsion autour de leur axe de figure, ou autrement dit, que la section carrée resterait plane comme la section circulaire. Or le raisonnement le plus élémentaire prouve qu'il n'en peut être ainsi (S k de la note n" 156), et que les sections carrées doivent s'infléchir vers leurs quatre angles, de manière à rester normales aux quatre arêtes vives devenues des hélices, ce qui apporte nécessairement à la résistance une diminution» telle qu'est celle que nous évaluons théoriquement par le coefficient 0,843A62 multipliant GOJ.
Et l'analyse ne prouve pas moins que le raisonnement la nécessité de cette réduction, dénotée depuis longtemps par les expériences de Duleau et de Savart Nos formules, en effet, résultent de valeurs des petits déplacements qui satisfont certainement d'une manière rigoureuse aux équations d'équilibre d'élasticité (3* Appendice), dont part aussi M. Cauchy, lorsque les forces extérieures qui font
SECT. l. RÉSISTANCE DES SOUDES 621
toilire sont appliquées aux extrémités suivant le mode spécifié au S 35, et qui se trouve indiqué d*une manière plus particulière pour chaque forme de section par les expressions de Gg', Gg" ou G'g', G'^g'' récapitulées au S UO de la note du n" 156. La formule de M. Caucby est donc en défaut tout au moins pour le mode indiqué d*application et de distribution des forces.
Une autre raison grave porte à abandonner cette formule du moment de torsion des prismes rectangles, et doit faire renoncer, pour la recherche de ce moment, au genre d*analyse dont Tillustre géomètre l'a déduite en 1829 ; c'est que cette analyse donne, lorsqu'on la pousse plus loin, ou lorsqu'on n'efface finalement que des termes d'ordre supérieur de deux unités à ceux qu'il a supprimés, un résultat qui fCest que les deux tiers de celui quHl a obtenu^ ainsi que nous Pavons montré dans un mémoire présenté le 20 novembre 18Â3 et approuvé sur son rapport (Comptes rendus, t. XVU, p. 1189 et p. 133A).On serait donc conduit à adopter une expression moindre d'un tiers que la sienne ; or, ainsi réduite, elle s'écarte considérablement non-seulement de notre formule nouvelle dont Texactitude est bien certaine pour le mode particulier d'application de forces qu'elle suppose, maisf aussi de toutes les expériences (')•
('} DéJA noui avions montré ccito rMuctlon nécessaire d'un lien dans une note Jointe A une lettre du 49 mari 4839 i laquelle M. Caucliy a répondu en nous renvoyant A dea raéibodes dont la publication Toccupalt, en sorte qu'il abandonnait déjA alors son analyse de 4829.
Cette analyse est en effet basée sur la anppoiition que les inconnnes du problème, e'est-A-dire les conposantea de pression intérieure et les petits déplace* raents ou loura dérivées, tout développabUs en térie convergente suivant les puisâancet des coordonnées transversaUs y, z, dont les plus grandes valeurs sont les
h c demi-dimensions transversales ^, ~ supposées très^petites par rapport à la longueur du prisme, et qu'on peut faire, dans les résultats, certaines suppressions do termes; en sorte que, p représentant une de ces inconnues, et
dp* dp* d^p* cP/i»
dff dz dfy* dydz
sa valeur et celles de ses dérivées au œntrcdo la section ou pour y=0, 2=0, on aurait
férlcquey.Cauch|écrirall|i=yo,9+Pi.»y+i>..,»+j(P».»>*+«Pi»iy*+l»«,j*Vavec la notation de son ménoird {Exercices de math,, l. IV) oA il désigne aussi
S ÛO. Conjirmaiion, par les expériences de Duleau et de SatâHf et aussi par celles de M, Weriheim, de la loi établie par noirs
ptr A, B, C, D, E, F, E> ^1» C oe qae dous appelons pue, p^y, p»», p^t, p„^ p^^
(è e ï ff tfyV dz {pm^ — P«f ') ^^
prttme recUogle dont U bâte est & X c, en subitilutot^ Intégrant et réduisant :
(6) M- ^fr^^'" ' c^^^'^^l I ^^/^/>'*'. ^P'^) , ^ (j^.^s. ^d^i^sy) ^^ ' h%\ dy dz J^iSS\dyifz* dy*dzJ^iBO\ dy^ dz^ J
+ ternies du 8' ordre et au-deisus en fr, c,
bc En le bornant, eomne a lall M. Canehy^ an prenier terne — « ( )dfl celte et*
pression^ on arrire à sa foftnale.
En effet, 00 a, les pretiioDs éunt onlles snf let qnatre Ikoot do priswe reetangle :
(c) pCf = 0, fyy =3 0, Jly, Sr 0 POOT |f =S itl |J fr qiWl qUO SOit JT ,
(d) pmM =^ Of pya =z Of pM» = 0 pourz=sd:-ci|ael4|iiesoitsri
d'où M. Cauchy tire, en mettant ponf pxy on pyy, ete., son déréloppement (a) et égalant à léro les sommes de termes affectées des mêmes pnissanees de z ou y, une suite d'équations, partageables chacune, en raison du d=, en deux autres qui, additionnées ensemble, et ensuite sonstfattes l'une de l'autre^ donnent, eo dirisant par 9, ces équations plus simples :
Pour P = pxy ou pyy ou Pys
id«W6\« ^ dp» 4 <Pp» /ô\«. ^ d«p» . 4 dy /ft\*
^ 4djy/6Y d«p* 4 dV fty ^ dy , 4 d»p» />N •
dy'^'ôdîf'U; ■*■•••"" 'dydz"^6dy»dzU/ '^''" 'd;d?"^6dï«d?U/ ■*"--°' Pour P=PmM ou py« ou Pjm
. idV/cV. ^ dp* 4 éfip* /cV . «ï*/»" . < <**?• /'^N*
WSdp- 4£p»/'cY d«p» 4 d*p> Z' cy ^ d*p' 4 d'p** /c\«
dT'^ed^sU; ■^••— ®'d;;di"^6di;dSVâJ ■^' — 5^ '*'êdï«d;«v«y "^ •- ^•
Or pys appartient aux relations (e) comme aux relations [f); et on en tire :
^^^ "•— î^dyTi^â J i-Sr(^5J - -iiilîSrîUJ Uj -••'
d'od il suit que p'ys n'a qu'une râleur qui dépend de termes du quatrième ordre
SECT. I. BÉSISTANGE DBS SOUDES. 62â
formule de torsion des prismes rectangles, — Dans la vérification expérimentale que nous avons faite de notre formule de torsion des
en (, c, termes sopposét Dègligeablei, en sorte qao comme il eit égtl aa glissement
g*v« = — - 4- --— maltiplié pir an eocflMentd'èlasiicUé. on peat prendre ap- ' d2 dy
proximaUTemont
Cette équaUon exprime que deux droites primitivement parallèles aux y et aux z, tracées sur la section lo et se coopant à ion centre, lont restées perpendiculaires entre elles après le déplacement des points du corps ; mais chacun des deux lermei dont son premier membre se compose représente la grandeur angulaire de la ro* talion effectuée par ces deux droites autour de l'axe du prisme, en sorte qu'en aiH pelant <|; cette roution on a
dw* d%^
d^ Mais -^ 00 Pacerolsieitaent de cette rotation pour l'unité d'une petite Ion* dix
goeur dx n'est autre cboie que la iorsUm désignée par 0 dans tout ce qui précède.
On a doue
g — £ ^^* £. ^*^ dx dy dx dT *
(dti dv^ /dtû du\
— + jj j , P« =G"g„=G" f --+ -rj donnent,
l'indice 0 signifiant toujours la valeur que prennent les dWers coefficients différentiels pour y = 0, z r=: 0,
^' dz V dydzf' dy \ ^ dydzP
d'où, en éliminant - -•- (qui mesure, comme il est facile de ?oir, le degré de
gauchistemêfU de la section, assimilée, an moins sur une petite portion autour de son centre, A un parabololde hyperbolique) :
de," dn! dfLtm rf«,«'
équation conforme à -^ -r" = *•» — r^ = M des pages 401 , 533, 605
du dv dy dz
et qui se trouve ainsi démontrée avoir lieu, au moins approximativement, dans tout prisme rectangulaire tordu par des forces appliquées d'une manière quelconque à ses extrémités, pourvu qu'on admette le développement de py. en série convergente entière, et que les dimensions transversales b, o do ce prisme soient aiiex petites pour qu'on puisse négliger le dernier membre de la triple égalité is).
62ii APPENDICE IV.
prismes rectangles par les expériences de Dnleau et de Savart sur des barres carrées, le coefficient G était évalué, non pas en le dé-
Mail 00 peut, des mènes considénlions et luppositioai, tirer, avee M. Cauebj,
une deuxième relation entre — - — et» ', qui entrent dans (h) II|.
dfy dz
Prenons pour cela la première des trois équations (38) d'équilibre Intérieur, f. 585
mettons-y, pour les p, leurs dèfeloppemenls, et égalons A léro la somme des termes affectés de yz ;ou, oequi reylenl au mènie,différentlons-la une fois par rapports A y, une fois par rapport A z, et faisons ensuite y = 0, z = 0, nous aurons
^^ dy^z '^ dydz*'^ dxdydz
Mais les équations (e)^ (f) qui expriment la condition de nullité de la pression extérieure sur les faces latérales donnent
(«) ^=-.l^f îy+ iermesdu4-ordre; ^J^= -—^(W + terme, du 4- ordre.
^ ' dy %dydz'^\%J^ * dz 8dy«d2\î/
En ajoutant celles-ci après les aroir multipliées respectirement par 6* et par c* et substituant, A la somme de dérifées du 3* ordre qui en résulte dans le second membre, sa ?aleur (<), on a
W ** -^ |-c»-~^ = ----; ^ , -f termes du 6' ordre.
dy dz S dxdydz
iia*io
Ce second membre peut être négligé comme irèi-petii, car — i— n'est point
dxdydz
d'un ordre de grandeur supérieur aux termes du premier membre, et même il
sera babiijuellement nul puisque , dans les problèmes de torsion , on ne suppose
pas de composante de pression normale aux sections. On a donc pour la deuxième
relation approximatire cberchée
dy dz
D'oà l'on tire, en eombidant avee (J)
( \ fr 'w gc*0 dp*j:y__ «-2g«<
dy ""^ . ^'"'^~"^. f^'
H. Caucbj substitue ces deux valeurs dans l'expression (6) du moment M|, reduiie à êOH premier terme
42 V dy dz J
qui est du quatrième ordre en 6, c, en négligeant les termes suivants, qui apparaisseut comme du 6' ordre et au-dessus [ce terme conservé revient birn A sa for-
(luisant de E, comme fait M. Wertheîm, mais au moyen (Inexpériences des mêmes auteurs sur des barres rondes de même matière, ex-
mulo (403) - ht (A'Et,, — t^F»,i) en rempUc«ûi SA, Si par 6, c; et on voit par let
formules (404) qu'il néglige eCTecliremeut les lermoa au delà des premiéret puissances des coordonnées traBsyersales dans les déyeloppements de £==Pxs» P=P^]> Celle subslilttUon donne sa formule connue
4 ftMO G' ■*" G"
Mais, obserYons que dans l'expresiion complète (fr) du moment M], si le troisième terme
480 V rfy» dafi )
du sixième ordre ^ est bien négligeable tu que les équations de condition
"^'^'^"d?"" i5^U/ '"'"«S»""" icfyMzaîVij""*"
le font monter, par substitution, au huitième ordre, il tCen est pas de même du deuxième terme^ du sixième ordre en apparence
288 \dyd2> dy*dz}''
car, au nombre des équations de condition (/)^ («), s'en trouvent deuk, déjà récrites (m), qui donnent
en sorte que, par substitution, ce terme («) se change en
36 \ dy dz J
ou *e téduit au 4* ordre, comme celui dont M. Caucby lient compte, et est même précisément égal au tiers de celui^-ci (g) pris en signe contraire. On a donc, en ne négligeant que ce qui est au-dessus du 4* ordre,
^^ "*"-3 4a^^ dy dz J""3'3 6« ^
c'est-à-dire les deux tiers de la formule de torsion de M» Cauchy.
Une pareille réduction s'explique, du reste, par la valeur que prennent les développements de la forme (a) des composantes tangenliellcs de pression prz
626 SECt. 1. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
périencesaux résultats desquels on appliquait U formula incoatestée
rr^
Ml = GOJ =: GO -^ du moment de torsion des cylindres drculaim
et p«y qnaod oo t égard à lenr nullité mr les Ciees Utértlet rwpectlTei sszztz^
b et y = ±: -, oa aux équatlooi de condition (e}et (/) qui lont une oooiéqnenoe do
cette nulUié. En effet ai, dana ces défeloppeaMBla (s), nous meltOM à la plaoe des dérivées du 3* ordre leurs ? aleura (1) et aotrea, tirées des équations doot nous parloos, nous obtenons
pxy=:(^ ^) V*** +~!^y + ^^arj + tcrBiesda4»ordrccny,2,6,
P" = (^ - TTJ (''•- + "dT^ + -IT V"*" ufem en y. ;r, c.
cipressions dont on pouvait même prévoir d'avance la forme puisqu'elles doivent salisfaire à la condition de s'annuler pour y* = -^ «^ POur 2* = r- ou sur les Ciœs
latérales, et qui montrent que les pressions tangentielles (ou les glissements g«;y, gxs auxquels elles sont proportionnelles quand il y a trois plans de symétrie de coD texture) suivent une loi de décroissance parabolique du centre au contour des sections le long des médianes. Or si on les met à la place de px^^p*» ^*n* l'expression générale du moment de torsion
ri* rî-
J iA J ic
,6^-tc
on obtient, non pas le premier terme — ( 6* c* — -^ 1 de [h), auquel
iî\ dy • dr /
s'est tenu M. Cauchy, mais le* deu» tiers de ce terme; ce qui s'eiplique géométri*
quemenl si l'on remarque que la vol^ttr moyenne du facteur parabolique ^ "^ ~~r 9
b b 2 ^® ~ â ^ i ' est - , OU que le segment dont les ordonnées sont les diverses valeurs
de ce facteur a pour aire Ici deux tiers du rectangle circonscrit. C'est la diminulion graduelle obligée de p^ry, Pas quand on chemine du centre au contour des sections, comme nous venons de dire^ qui produit cette réduction d'un tiers.
Nous verrons tout à l'heure ($ 45] que 11. Cauchy a opéré cette réduction dans sa formule des vibrations tournantes, ee qui fait qif elle n'est pas en harmonie avec sa formule du cas d'équilibre de torsion, ainsi que l'a très-bien remarqué M. Wer-
Iheim.
Voncluons simplement de*cet examen qu'il faut renoncer, avec M. Caoeby luimême, à sa formule de torsion, bien que son invenUon ait été on grand pas bii dans la découverte des lois de cette espèce de déformation des pièces solides. L'établissement de cette formule, que nous venons do résumer, est, en ettst.
de rayon r. Or le résultat moyen des expériences de Duleau sur des fers carrés ayant pour longueurs
12& fbis, 10& fols, 223 fols et 137 fois le côté de la base,
a été, ainsii qu'il fallait multiplier GOJ par
nombre fort peu différent du coefficient théorique 0,8à3&63 0).
Et le résultat moyen des expériences de Savart sur des barreaux carrés en cuivre ayant pour longueurs
139 fois, 115 fois, 71 fois et 116 fois le côté de la base
a donné
8*écartant de quelques centièmes de notre même coefficient, mais différant évidemment encore plus que celui-ci « d'être égal à Tu* nité, » valeur quMl devrait avoir suivant M. Werthelm pour des prismes carrés très-longs et minces,
M. Werthelm ditsur ce même sujet, à la p. 17 de sa noticede 1869, en rappelant ses écrits antérieurs, quMl « croit avoir fait voir^ h Taide des recherches de Duleau et de Savart, que les coefficients de correction de la formule de Caucby peuvent varier^ lors même qrie la forme de la section reste la même, ce qui est en opposition aveo la théorie de M. de Saint-Venant » ; et c'est sans doute au passage suivant dosa note des Comptes rendus de 18A9 qu'il fait allu*
basé tut une certaine hjpolbèse (employée pour la première Tois par Poisson dans •on mémoire de 48)8 Inséré au i. Vill de ceux de Tlnstllul), celle du développement des inconnues en série entière, et sur des suppressions de termes dontoa ne connaît pas la ?aleur relativement aux autres. Tant qu'on no particularise pas les déplacements de manière quMIs produiient une torsion , on n'obtient , entre les •oeffleienti de ces séries (les dérirées dp') que les relations cinlessus («), (/) qui, même en y Joif nant (^, (o), sont en nombre insuffisant; car on toII que chacun d'eux n'entre que dans une seule des équations (e), (J), On ne peut donc pas faire d'élimination de manière i en obtenir les faleurs par approximations successires. Ufaut, pQur Urer les premiers, en supprimer d'autres qui peuvent être très-influents (et qu'on reoonnatt l'être effectivement en se bornant par exemple au eas
dv dw
6 =: c et falunt de prime abord •- = — Qz, -7- =26y]« On n'a donc ainsi aueune
dx dx
assurance d'exactitude , ni même de suffisante approximation.
(^) En attendant le complément expérimental des articles I A VI, on peut voir le détail de ces expériences aux art. 78 et 86 de notre Mémoire de 1853-55 sur la ionion, (Sav. étr.)
sîon (1) : «Si» dans les résuluts obtenus par Duleau et par Savart on ne compare entre eux que des métaux de même qualité, par exemple, du fer anglais rond à du fer anglais carré, on trouYe toujours pour OL (le coefficient de correction) des nombres inférieurs à 0,8/( (notre valeur théorique) et qui varient entre 0,760 et O^Sli.t
Mais nous répondons : l*" Qu'au lieu de 0,76 il serait Juste de prendre, pour les fers anglais employés par Duleau, 0,826, moyenne qu'on obtient en excluant Texpérience numérotée 93, faite avec un fer rond venu sans doute aussi de TAngleterre, mais non pas des mêmes mines que les fers carrés, et d'une qualUé évidemment toute différente de ceux-^1 (2) ;
2* Que, pour les fers du Périgord, dont les échantilloDs étaient bien plus nombreux, il a été trouvé une moyenne de 0,804 ;
3"* Enfin que, si un moment de torsion dont la grandeur « peut varier quand la section est la même » est «n opposition avec notre théorie^ il n'est pas moins en opposition avec la.théorie de M. Gauchy, et même avec la théorie de Coulomb, dont la formule
Mi = GO ~ relative aux cylindres à base circulaire, a été cependant
adoptée généralement Jusqu'ici. Cette variabilité du moment pour même section serait en opposition même avec toute autre formule analytique qu'une théorie quelconque essayerait a^jourd'hui d'y substituer, car de longtemps, et peut-être jamais, on ne pourra y faire entrer autre chose que la forme et les dimensions de la sec* tion du prisme ou cylindre, et tenir compte par exemple de sa longueur ou du rapport de celle-ci à la dimension transversale moyenne. L'influence de cette longueur du prisme, quand elle est appréciable, dépend de la manière dont les couples tordants sont appliqués aux extrémités ; elle serait nulle si l'on pouvait réaliser les modes d'application et de distribution des forces que nous avons rappelés au 2* Appendice (§ 7). M. Wertheim trouve généralement la résistance à une torsion donnée par unité de longueur, d'autant plus faible que le prisme est plus court; le contraire serait peut-être trouvé si Ton appliquait les forces d'une autre manière qu*il ne fait. Cette influence devient, d'ailleurs, négligeable pour les prismes ou cylindres
(») T.xxvm,p, m.
(*) Mémoire sur la torsion (aux Saif» ilr,^ t. 3uv), aru 7S.
suffisammentlongs, et son évaluation restera probablement toujours, pour les autres (lorsqu^on voudra la faire malgré son peu d'intérêt pratique) dans le domaine de Tempirisme et des coefficients de correciion dont il conviendra d'aifecter nos formules, et non pas celle de M. Gauchy, que M. Wertheim préfère, quoique cet illustre géomètre Tait abandonnée ainsi que la tentative analytique qui Ty avait conduit (i), et qui ne donne le vrai résultat que lorsqu'une des deux dimensions de la base est très-grande par rapport à Tautre.
Au reste, les expériences de M. Wertheim manifestent très-bien et d'une manière non douteuse (p. 2/i7 de son Mémoire de 1855- 1857) une chose qu'il dit ailleurs, à savoir, « qu'à égales longueur et largeur, la correction (ou ce dont le coefficient de correction est au-dessous de l'unité) diminue avec l'épaisseur, » ou « que, la longueur et l'aire de la 'section restant constantes, la correction diminue à mesure que Tune des dimensions transversales devient un plus grand multiple de l'autre. »
Or, en cela, elles confirment pleinement notre théorie, qui donne absolument la même chose^ car on peut voir à notre tableau de la p. 362 (S iiiO de la note du n* 156) que les valeurs de (i', qui sont précisément les nombres on coefficients de correction par lesquels
il faut multiplier la formule Cauchy -j j- , ou -^ "m~î <ï^nd
G' = 6'' = G, croissent graduellement de' OfiUZ à l lorsque le rapport - des deux côtés du rectangle crott de 1 à Tinfinl. C'est ce que nous avons déjà remarqué à la p. 297 ci-dessus.
S Al. Expériences de M, Wertheim sur les cylindres à base d'ellipse. -— Le savant physicien , après en avoir rapporté les résultats, dit qu'on obtient la formule de torsion de ces cylindres c en substituant, dans la formule que M. Cauchy a trouvée pour les prismes rectangulaires, à la place du moment d'inertie du rectangle par rapport à Taxe, le moment polaire de l'ellipse. » Il renvoie à ce sijyet aux ouvrages de MM. Persy, Poneelet, Moseley et Wies-
(1) Comptes rtnduê de V Académie^ SO février 4854, U XXXVIII, p. 336-339.
bach, (nais sans doute seulement pour la définition du moment d'inertie dit polaire^ qui est pris autour de Vaxe de torsion (supposé passer par le centre de figure de la section), car nous ne sachons pas qu'aucun de ces auteurs ait proposé une pareille substitution pour arriver à une formule de torsion des cylindres elliptiques, ni même quMls se soient occupés de ces sortes de cylindres. Gomme le moment polaire de la section rectangle n'entre pas dans la formule de M. Gauchy, M. Werthelm entend sans doute par substituer ^ à ce moment, celui de la section elliptique inscrite, multiplier la formule par le rapport de celui-ci à celui-là. Ges deux moments sont
respectivement -^^ — ^'âîT ®^ lô""^ T¥ • étant les dimen-
G9 fr'c* slons transversales. La formule Gauchy -^ w , doit être ainsi
multipliée par j^, d'où résulte pour le cylindre elliptique le mo-
ment de torsion
GO «6*c*
c'est-à-dire précisément Texpressioa qu'on a vue démontrée à la
p. 278 ci-dessus ou au $ 22 de la note dun*" 156, et que nous avons
donnée dès 18A7 (1} à un mémoire faisant suite à deux autres dont
M. Wertheim cite des passages (2) ; et nous avions remarqué alors,
après l'avoir trouvée par une analyse directe, qu'elle est semblable
AU' à celle de M. Gauchy, écrite sous la forme GO ~^ , et qu^eUe s'en
déduit en mettant, au lieu des moments d'inertie I» V de la sectioa
rectangle autour de ses axes principaux de figure, ceux de la section elliptique; mais avec cette diiTérence toutefois que, seulement approchée pour la section rectangle, cette formule est exacte pour la section elliptique.
Or M. Wertheim trouve que cette formule (91), qui nous est due, est Sojccord avec ses expériences sur la torsion des cylindres à base d'ellipse lorsque la longueur est suffisamment grande. Nous ne voyons donc pas le motif de cette observation de l'honorable et
(1) 40 mai, Comptes rendta, t. XXIV, p. 849. (•) 22 février, id.^ p 36?, ot 23 mar», p. I8S.
APPEMDIGB IV. 6S1
oonsolenoleux expérimentateur, que « dans la théorie de M. deSalnt' Venant, cet accord prouverait que le premier gauchissement qui seul existerait dans des cylindres eUiptiques et dont Tinfluence sur le moment de résistance à la torsion n*a pas été déterminée par ce géomètre, serait complètement négligeable sous ce rapport. »
Nous avions appelé, en février 18A7, avant tout calcul et à la suite d*un simple raisonnement, premier gauchissement des sections celui qui est dû à IMnégalité de leurs deux dimensions, et qui existe seul pour une section elliptique, afin de le distinguer d'un deuxième gauchissement, dû à leurs angles saillants, et qui existe seul pour une section carrée (Comptes rendus^ p. 263) ; et nous avons complètement, en mars et en mai, « déterminé Tinfluence » de Tun comme de Tautre (tU, p. /(88 et 8A9). Celle du premier se trouve déterminée par la formule même (91) relative à l'ellipse, ou, si Ton veut, par
^^j àG6J=G0 (— + —\ qu'on aurait si la section restait plane au lieu de se gauchir. Cette influence est bien loin d*ètre «négligeable, » puisque, dans le cas - := & des cylindres des expériences n*^ 12 et l/i, le rapport en question a pour valeur ^=:2,56î et en tous cas elle est, d'après M. Wertheim, précisément ce que donne moyennement Texpérience.
En résumé, et autant que peuvent le permettre Tabsence de me* sure directe des coefficients d'élasticité de torsion des matières, rignorance où Ton est de leur contexture isotrope ou non isotrope, enfin les erreurs d^observatlon inévitables dans les expériences les mieux faites, et qui sont toujours accusées par les sinuosités et brisures des lignes représentant graphiquement la suite des résultats, on voit que celles de M. Wertheim confirment nos formules de tor- «ont comme avaient d^jà fait les expériences plus anciennes de l'ingénieur Duleau et de l'académicien Savart,
S Ù2. Vibrations tournantes, — Leur équation différentielle, — Bien que nous ayons le dessein de réserver pour .une autre partie de notre travail la recherche générale des mouvements vibratoires des pièces élastiques et des conditions de réaiatance aux écarte-
mebts moléculaires que ces moavenAits amènent» nous croyons devoir parler Ici, par anticipation, des vibrations tournantes, afin de compléter à peu près ce qui est relatif à la torsion, à ses effets et à la comparaison de ses formules avec Texpérience, et aussi de préparer un élément à la discussion qui occupera le 5* Appendice.
Ces sortes de vibrations consistent dans la suite des détorsions et torsions rapides et alternatives éprouvées par une tige élastique qu'on abandonne à elle-même après Pavoir tordue, ou bien que Ton frotte transversalement d'une certaine manière avec un archet dont Taction intermittente à de petits intervalles renoi^velle les torsions suivies de détorsions.
Pour en déterminer la durée et les autres circonstances, considérons d'abord un état ^équilibre dans lequel la tige prismatique ou cylindrique serait sollicitée en tous ses points par des forces extérieures transversales qui tendent à lui imprimer, autour d*un cerain axe longitudinal et intérieur, des torsions variant d'un bout à
autre d'une manière continue* Soient :
^ Tangle (en arc d'un rayon =1) dont sa section transversale a> a tourné autour de cet axe par rapport à une des sections extrêmes dont elle est à la distance x;
0 = ^^ la torsion par unité de longueur, entre cette section et
celle qui en est distante de dx ;
G le coefficient d'élasticité de glissement de la matière (supposée d'abord d'égale contexture dans les divers sens transversaux) ;
M| le moment de réaction de torsion sur u>, ou le moment, autour de l'axe de torsion, des forces intérieures ou moléculaires qui agissent à travers cette section ; moment nécessairement égal, pour l'équilibre , à celui des forces extérieures qui agissent entre u et la deuxième section extrême ;
J^ la fonction des dimensions et de la forme des sections transversales par laquelle on multiplie, dans les formules de la note du n** 156 (récapitulées à son S ÙO) G et la torsion<4 pour avoir le moment de torsion M j (en sorte que J, = le moment d'inertie
polaire J = -V pour une section circulaire de rayon r, Jj = j^ SûTi ^^^ ^^® section elliptique de dimensions 6, c.
jj= 0,8/^3A6 J = 0,8A3â6 -g pour un carré ayant pour côté 6, etc.)
Si sur toutes les sections entre ci> et la deuxième extrémité , les forces extérieures qui font tordre étaient appliquées tangentiellement et distribuées comme on a dit à la note du n*" 156 et comme l'indiquent les expressions de Gg' ou Ggxy fief^ ou Gg« récapitulées aussi à son S /(O, chaque portion de prisme comprise entre deux sections très-voisines se trouverait dans les conditions nécessaires à la parfaite exactitude des formules de torsion données à la même note, et Ton aurait rigoureusement partout
(92) M,=GJ,e = GJ,g,
De même que nous avons regardé, en nous appuyant sur certains faits» cette expression comme suflSsamment approchée pour les prismes d'une certaine longueur, sollicités par des forces appliquées et distribuées d'une autre manière mais agissant seulement aux deux extrémités où elles font couples, en sorte que la torsion 0 soit constante dans l'intervalle, nous la supposerons encore approximativement applicable pour une torsion variant d'un bout à Tautre continuement et peu rapidement, et produite par des forces transversales faisant couples sur toutes les sections, mais distribuées sur chacune d'une manière quelconque, ou, du moins, de la manière qui va être plus particulièrement considérée (pour les inerties) et qui consiste en ce que ces forces, sur chaque élément d(o, sont proportionnelles à sa superficie et au rayon vecteur, auquel elles sont perpendiculaires.
C'est une hypothèse du même genre que celle qu'on fait généralement pour la /lexioTty lorsqu'on applique la formule du moment
El
M= — au cas de forces transversales agissant d'une manière con-
P tinue, comme le poids propre des pièces horizontales , ou la pression d'un fluide; et Texpérience prouve que l'approximation donnée par cette supposition est très-sufi^ante.
La formule (92) donnera, à l'aide de cette supposition, pour l'angle de torsion ou de rotation, à une distance x de l'extrémité prise pour origine, l'expression •
qu'on pourrait même appliquer à une section non constante mais variant d'une manière continue et peu rapide, en faisant passer J| sous le signe J ou en écrivant
Considérons maintenant une tige à laquelle aucune force extérieure n'est plus appliquée mais qui est agitée par des vibrations tournantes; et soient :
p la densité de sa matière (ou le poids du mètre cube divisé par
la gravité g = 9",809), t le temps au bout duquel Tangle de rotation de o) est «l»» r le rayon vecteur de Télément d» de la môme section eu, ou la
ligne de Jonction du centre de cet élément au point où Taxe
immobile de torsion rencontre «», j = Jr*(2b) le moment d'inertie polaire ou autour de ce point, a la longueur totale de la tige.
La seule force transversale ou perpendiculaire à Taxe de torsion qui anime l'élément matériel pdtodx de la tranche comprise entre ca et la section qui en est distante de dx^ est son inertie
ou — pdo}dx.r -^ puisqu'on suppose que ^ est le même pour tous les points de chaque section, il y a aussi une force d'inertie longi^ tudinale — pdu)(2x ^ si u est, au bout du temps /, le petit déplacement longitudinal dont notre théorie de la torsion a révélé l'existence, mais nous n'avons pas besoin d'en tenir compte parce qu'elle n'a aucun moment autour de l'axe de torsion. On a donc, en multipliant l'inertie transversale par son bras de levier r et faisant la somme
APPENDICE lY. 635
Pour noas débarrasser de Tintégrale V nous n^avons qu*à dlflé* rentier par rapport à x; nous aurons, pour sa différentielle, Texcès de I sur \ ou la quantité sous le i prise en signe contraire ; d'où, en divisant par dx :
équation qu'on pouvait poser directement en remarquant que la tranche d'épaisseur dx est sollicitée sur ses deux sections extrêmes
par des couples ou des moments -* GJj ^ 6t GJj (^ + ^* 3^) Q^^
doivent, eosemblOi faire équilibre aux Corcea d*inertie — ^dx-^rd<a
dont le moment total est -^ pdr ^ Jr^do». On a donc Téquation aux dérivées partielles du second ordre
(Ô5) -Ts = «' j-î en ^MMût — -^ =r a*.
^ ' dr dx* pi
Elle est exacte quand la tige est un cylindre à section circulaire
(cas où J| s= J» a s=s \/- ) car les forces d'inertie qui produisent la
suite des détorsions et torsions sont appliquées et distribuées sur chaque section ou tranche mince précisément comme il le faut pour que la formule M| s= GJ^û soit rigoureuse. Pour toute autre forme de section elle n'est qu'approchée.
S A3i J/urét ou nombre de* vibrations tournantes du ion lepliLs graxe. — Or on démontre de deux manières » comme nous allons voir, que la durée de chacune des vibrations les plus longues de celles qui se font entendre simultanément est
/2a ^ 4 /p J quand la tige est fixée aux deux bouts, ou \T "" Y G r libre aux deux bouts.
1^ z^ha \/~ j- quand elle est fixée à un bout, libre à l'autre. !• Par la méthode de d^Alemberi (du problème de la corde vi-
branto). Ello consiste à se servir de Tlntégralc sous forme finie de réquation (95) ^Tt =** ^' ^^*® intégrale est
(97) 4'=/(a:+orf)+F(a;-aO
/ et F désignant deux fonctions arbitraires; car il en résulte
d'où, par de nouvelles dliférentiations, ^ = <>'*^*
Or si la tige est fixée aux deux bouts de manière que ses sections extrêmes ne puissent tourner on a 4» = 0 pour x = 0 et pour 2=0, d'où
(99) 0 =/(orf)*+P(— «0, 0 =/[a + aO + F(a - orf).
Comme ai est une variable positive et indéfiniment croissante, ces deux égalités subsisteront si nous le remplaçons, dans la première, par X + «/) et, dans la seconde, par x-j-a + at. Il en résultera deux autres égalités qui retranchées Tune de Tautre donnent
/[x + flrf + 2a)==/(x+<x0;
d'où résulte que le premier terme/[x+aO de la valeur (97) de ^ ne
2a change pas quand ai croit de 2a, ou ^ de — ; par conséquent aussi
2a quand on le fait crottre de nouveau de — et ainsi de suite. U en
est de même du second terme^F^x— a^), car la première égalité (99) écrite F(— a^)= '^Jloi) prouve que dès que la variable de la fonction F* commence à devenir négative, ou que ai devient > x, cette fonction est et reste égale et de signe contraire à la fonction/ de la même variable prise positivement
Donc ^ redevient bien le même périodiquement quand t augmente
2a successivement de — lorsque la tige est fixée aux deux bouts.
Et si elle est fixe au premier bout, libre au deuxième, on a 4* = 0
pour X = 0, et la torsion 0 = ^ = 0 pour x = a, ce qui donne
(100) 0=y(aO-fF(— oO,
APP£KDICE lY. 637
et O^/'Ca+aQ+F'Ca— ocQ d'où en multipliaDt par odi et Intégrant
(101) Constante =/(a+ aO — F(a— afl.
Ces deux égalités (100) et (101) subsisteront en remplaçant la variable positive (xi^ dans la première par x + a^ et dans la seconde par x+a+<xt. Si ensuite on les ajoute ensemble on a
Constante =J\x+2a + «^ H-/(x + a^),
qui retranché de
Constante =/(x+/ia+a0+^a:+2a+a0
qui s*en déduit en remplaçant <U par 2a+a^ donne :
/(x+a^ + ûa)=/(a:+flrf);
nouvelle égalité prouvant, avec (100) F(— aO=— /[orf) que dès que la variable at devient > rc, les deux termes de Texpressîon (97) de ^^ et par conséquent Tangle de torsion d'une section quelconque de la tige, redeviennent les mêmes périodiquement quand t augmente
Enfin si elle est libre aux deux bouts (cas plus difficile à réaliser expérimentalement),
on a ^ = 0 pour 2 = 0 comme pour x = a, ce qui donne
0 =/(afl H-FC-a^ 0 = Aa+*<)+F'(a-aO,
d'Où Ton déduira, en raisonnant comme dans le cas où les deux ex-
di di trémités sont fixes, que lesexpressions(98)de S ©* 3/ » c'est-a-dire
la torsion et la vitesse angulaire en chaque point, redeviendront les
mêmes quand t augmentera de — ; en sorte que la durée de la pé-
riode, et le nombre des vibrations par seconde , seront les mêmes que quand les extrémités sont toutes deux fixes.
Les durées (96) ainsi déterminées seront bien celles des vibrations les plus longues , ou qui feront entendre les sons les plus graves, car la périodicité qu'on vient de démontrer n'empêche pas une périodicité à intervalks deux fois, trois fois.... plus courts , qui aura lieu et qui sera manifestée par des sons simultanés plus aigus, lorsqu'il se formera des nœuds de vibration, ou que quelques sections
resteront immobiles entre les deux sections extrêmes.
2" Par Viniégraiion en séries irigonoméiriqites ou par la méthode» de Taylor, Daniel Bernoulli, Lagrange. — L^équation aux dérivées
partielles (95) ~ = a> ^ est satisfaite eu mettant pour ^ toute
somme d'expressions
Ce e , o& C« m, m' tont dm «onstaniM»
à condition que m'» = a'm'; d'où i|* = 5Cc** c***'. Maia comme Tamplitude inconnue ^ de la vibration n'est pas de nature à augmenter indéfiniment avec le temps, m doit être une quantité imaginaire. Nous le remplacerons par drm/^ sans partie réelle qui ne ferait que changer la valeur du coefficient arbitraire C. Remplaçons les deux exponentielles népériennes par les binômes trigonomôtriques équivalents, et donnons à G une partie imaginaire. Si noua écrivons à la suite Tun de Tautre les quatre termes compris dans
(cosTwxi \/--ï sîn mx) ( cosTnaf ±. y^— 1 sln ma^)
en les multipliant chacun par quatre coefficients de la forme
A + B V— 1, J' H- B^\f^, etc., et si, effectuant les multiplications, nous prenons A^ B, etc., de manière que les imaginaires ùfâ^ paraissent, il reste une expression
^ =2(Asinmxsinma£ + Bsini?ixcosm«^ + Ccosm2;sinma^ +
+ D COSmX COSTTIO^},
où S est relatif à toutes les valeurs possibles des constantes A,B,G,D,9n.
Mais si la tige est fixée au premier bout on doit faire G = 0, D = 0
ou ne laisser subsister que les premiers termes entre parenthèses
afin d'avoir
<!; = 0 pour « = 0.
Si la tige est fixée au deuxième bout comme au premier, ou si ^ =zO pour a; = a, il faut sin ma = 0, d'où
ma sssHitf n étant on aombn eativ q^nlconqua;
et si elle est libre à ce deuxième bout» ou si la torsion ^ = ^ pour X = a il faut cos Tna = 0 d'où
ma = — - — " n. n étant un nombre antier. 2 '
Enfin si elle est libre aux deux bouts , ou si -=-- = ^ POur a: = 0
comme pour x =: a , on a A= 0» B = 0, G et D non nuls et sin 7na = 0,
d'où m = — .
On ft donc, pour la tige fixée aux deux bouts
(102) ^=2d {^^^^ — '^ + 8008 — M sin — x; pour la tige libre aux deux bouts
(103) '^=y. ( Csin — ^ + Dcos — Hcos— x;
«=1 et pour la tige fixée à un bout» libre à l'autre :
(10&) ^ =^^Usm^^^r.tdi-Bcos^^ «=1 ^ •
expressions qui manifestent bien que les tiges reviennent périodiquement au même état quand — ^ t et — ^ — izoit augmentent de 2?:,
ou, respectivement, ^ de — et de -n; — ^r— on sorte que les nom-
net (2n— i;a ^
bres N de vibrations du ton le plus grave sont bien conformes aux
expressions (96).
S lih* Rapport du nombre des vibrations longitudinales au nombre des vibrations tournantes d^une même tige, dans un temps donné. — Comme le nombre des vibrations par seconde est égal à Tunité divisée par la durée d'une vibration, si nous appelons
n' le nombre des vibrations tournantes , If le nombre des vibrations longitudinales,
il résulte des formules de durée (96) qu'on a
IQoaodliligntestilzée anx deux boots on libre aux demboaU n' — r- Id, & un senlbont N' = r-\/— -r-
ka\ ^ J
Et comme, en supposant la tige animée de vibrations longitudl-
nalcs donnant lien à des déplacements u égaux pour tous les points
de chacune de ses sections «», la tranche dont la hauteur est dx a
dhi une inertie — pcodz. -^ qui doit être tenue en équilibre par les
tractions opposées — Ew^et E«(^ + d ^jsnr ses deux bases (i>, ce qui donne cette équation, semblable à (95) :
on trouvera, dans les deux mêmes circonstances relatives & Timmobilité des extrémités de la tige
m .^iVl « "=È\/f-
On a donc pour le rapport du nombre des vibrations longitudinales au nombre des vibrations tournantes accomplies dans le même temps pur une même tige prismatique, rapport qui se détermine, dans les expériences, au moyen des deux sons musicaux perçus :
$ AS. application à une tige rectangulaire. Vérificaiion^ par les vibrations^ de notre formule de torsion du prisme à base rec^ tangle. ^On a, pour cette tige ou ce prisme, b et c étant toujours les deux côtés de la baçe, et
le coefficient numérique, compris entre 0,8/i3/^62 et 1, donné pour
toutes les valeurs de - par le tableau de la page 362 (S AO de la
note du n" 156) et par lequel il faut multiplier la formule de
GO 6'c' M. Gauchy -^ ., , pour avoir le moment de torsion Mf fourni
par les séries transcendantes :
•''""GO ~ 3 6*+c«' 12 "^ 12 •
en sorte qu'on a pour le nombre des vibrations tournantes de la tige rectangulaire, dans Tunité de temps
APPENDICE IV. 04t
et, pour le rapport (108) du nombre des vibrations longitudinales au nombre des vibrations tournantes relatives à cette tige
Or voici un tableau comparatif des valeurs de (x' fournies par notre théorie (tableau de la p. 362) et des valeurs expérimentales
(*) H. Cauchy trouve, au 4* Totumo dtf Exercka (k Jfatft., foroiole (448) 4« la page 62 (66), rexpression suivanle (en remplaçant ses notations «^^ 8i^ SA,
par m', 6, c, et i = h par G)
ou ce que dous aurions si nous prenions pour M| les dtuaf tim de It formule
ce 63c»
Mi = -- -T du moment de torsion donnée par le même Savant.
Cela vient de ce qu'en établissant l'équation du mouvement vibratoire l'iUustre analyste opère celte réduction d'un tiers, qu'il omet en établissant sa formule d'é* quilibre; réduction qui est forcée, comme nous l'avons vu par l'expression (v) de la note du § 39 (p. 625), lorsqu'on a égard au décroissement parabolique des pressions du centre aux bords, ou lorsqu'on tient compte de termes d'ordre supérieur
des développements en série entière en remplaçant c* r-, 6* — ---^ par leurs
dydz* dy*dz
dp**x» dp°xy
valeurs — 8 >■ ■■ ■, — 8 , ' en fonctioa des termea d'ordro inférieur, iiréet dy dz •
oes équations (<), qui ne sont autre chose que deux des équations définie* ou équations de condition (e), (/} de cette même note, expriqtant la nullité des pressions sur les faces latérales, H. Cauchy pose en effet, au bas de U page 54, deux groupes d'équations (42)
et (43) déduites de celles d'équilibre (38) -^4. £^4-^= Y,
dx dy dz
dpxi dpy% dp%%
-T 1- -—■ + — r~ = ^» •^ 9"* reviennent, avec nos notttioni, (si l'on sop»
dx dy dz
pose nulles les forces accélératrices telles que la pesanteur), à dx dz "*" dydz "*" "d2«' "" ^ rf<« dr ' di ffy*dz "*" dy»rf« ' dy^ï» "" ^ 5? 5î^ '
ê dx dy '^ dy* "^ dydz ^ ^ dfi dy ' dx d^dz* "^ dy»dâ» "^ dydz^ ~ ^ dfl dydz^ *
et, entfeces quatre équations, Il élimine ce qui vient des eomposanlespyy,/)is, 1* 44*
qu'on tire de (110) en supposant la tige isotrope ou en y faisant (S 8 de la note du n** 152, p. 202).
et en y mettant pour -7 : 1** Les résultats qui m*ont été communi-
qués par M. Wertheim en 1849(Gomptes rendus 4 5 janvier, t. xxriii, p. 72) de trois expériences sur des tiges carrées en fer, en verre ordinaire et en cristal, 2° ceux de vingt et une expériences sur des tiges tant carrées que rectangulaires qui forment le tableau de la p. 320 ou du S XXI du Mémoire inséré par le même auteur aux^nfiales de chimie et de physique en Juin 1857.
Pyt, en remplaçant d'abord, dans let premieri membres de la féconde et de la quatrième, les dérivées du 3* et du 4* ordre par leurs valeurs tirées de (e), (/)
en fonction des dérivéet tordre inférieur de deux unité», puis ensuite
dVf»
et — 3-r- par ; />"y, et — -; p*y,. Il lui reste, en effaçant un terme du
oy' c tir w
3da?V ^y dz J ^ dfi\ dy dzj*
équation qui, combinée avec {h bU) et avec (p) en remplaçant 6 par -^, donne
ds
ou, précisément, quand G' = G'' = G, l'équation aux dérirées partielles (99)
^ Clé éNf
-r^ = — ^ T-r du mouvement vibratoire lorsqu'on fait J. égale aux deux Uer$
dfl p» dsfi '
de ce qui résulterait de l'adoption de la formule de If. Cauchj pour les prismes rectangles.
Cette remarque, faite aussi par M. Wertheim (mais dont il tire une autre conclusion), vient à rappui de ce que nous avons dit de la nécessité de réduire d'un tiers cette formule, si l'on adhère au genre d'analyse qui l'a fournie, et par conséquent de Vabandonner, ou bien de ne s^n servir, à cause de sa forme oommode, qu'affectée d'un coefficient numérique variable (i' (ubie, p. 36S) qui en fasse coïncide les résuluis avec ceux de notre formule en série transcendante.
Rapport è:e an cAléa.... I i i W d'ipiii U théorie....^ 0^845 0,843 0,843 ^ d'aprèi les expériences 0,873 0,879 0,881
SMiU*Bgn9tihe i,M 3»0S5 3,60 3,00S 4,004 3,97 4,5» 4,687 4,915 6,07 8,25 8,56 11,50 0,863 0,878 0,888 0,894 0,895 0,805 0,903 0,904 0,908 0,920 0,937 0,939 0,950 0,898 0,865 0,944 0,877 0,894 0,861 0,897 0,861 0,896 0,837 0,868 0,897 0,863.
Les valeurs fournies par Texpérience sont» ccMnme on voit» tantôt au-dessus tantôt au-dessous de celles qui résultent de notre formule théorique en série transcendante, et on ne saurait guère désirer un accord plus complet, vu la difficulté des observations et rincertitude où Ton est sur Tisotrople des matières mises en expérience.
S ft6* Ohiervation sttr VampiUuâe des vibraiiont 9oU taumanies soit longitudinales ou transversales. Elle n*est bien utile à calculer qu^en supposant tme masse étrangère unie à la tige immédiatement après le choc*'^ Ce qui précède suiBt à notre otjet actuel. -
Quant à TampUtude 4» de la rotation dans le cas des vibrations tournantes» ou u du déplacement dans le cas des vibrations longi tudinalos» elle est bien aussi intéressante à connaître pour en déduire les plus grands glissements, qui dépendent de la torsion
e= ^# OU les plus grandes dilatations longitudinales j » à limiter pour obtenir la stabilité de la cohésion ; et cette connaissance s'obtient par la détermination des coefficients A» B, G, D des séries transcendantes telles que (102) , (103)» (104). Mais c'cstlOfiqae les vibrations sont produites par des chocs qu'on est dans le cas de faire ces calculs de stabilité ou de résistance vive; et alors» comme la tige commence à vibrer accompagnée d'une masse étrangère (celle qui Fa heurtée}» les coefficients m (S &1) ont pour valeurs» non plus
la suite de» nombres naturels multipliés par « ou |, mais les âi«-
verses racines d'une équation transcendante, ainsi que nous le verrons par la suite» surtout pour les vibrations transversales (*),
p) Société philomttique, %h Jtnvfer 4854, ou Jdaroal rîtutiiui, 15 février 1854. > CompUt rendue de T Académie, 10 août 1857| t« XIV, p. 304.
6tiU SeCT. I. RÉSISTANCE D£S SOLIDES.
et les coefficients A, B, G, D ont besoin d'être déterminés d'une autre manière que quand la tige est isolée comme dans les expériences sur les sons produits.
Disons seulement encore ici, pour Téclaircissement de ce qui est relatif à une tige vibrant seule : 1* que la formule (102) du cas où les deux extrémités sont fixes, est identique à celle qui a été donnée par D. Bemoulli pour la corde vibrante, et prouve, si on suppose
la vitesse initiale nulle ou ^ = 0 pour ^=0, que le mouvement effectif résulte de la superposition d'une suite de mouvements vibratoire simples coexistants, dont chacun serait représenté par une
expression comme celle de Taylor (') J» = B sin — x cos —^<, répondant au cas où la rotation initiale ^ des sections est supposée exprimée par 4'=Bsin — x; 2* que la suite des coefficients A, B,
dont chacun répond à une valeur de n, se détermine facilement, pour une rotation initiale et une vitesse initiale connues quelcon-
ques t|»=9x et ^ =9ia^ POur <=rO, en employant le procédé dont
il a été fait usage au $ 26 de la note du n* 156 pour la torsion du prisme rectangle, c'est-à-dire en intégrant de x=0 à x=a les deux
membres des égalités ipx = 2Bsin — x, <piX=— 2nA sin ~ x, ou 9x=2Bsin-^^«x, 94X=~ 2(271— l)Asin-^^rx, après les
avoir multipliées par le facteur dx sin ^x ou dx sin -^ — xt , ce
qui annule tous les termes des 2 hors celui où n a la même valeur que dans ce facteur. Il en résulte les mêmes formules qui sont données par Poisson aux l"* et 2* de l'art. U95 de la deuxième édition de son Traité de mécanique pour les vibrations longitudinales, en remplaçant u, /, a, 9' par i|^, a, a, 9^ En conséquence, pour une torsion initiale constante 0. d'un bout à l'autre de la tige libre à une extrémité et sans vitesse initiale, on aurait :
(}) liielhoduê inenmffitorwn directa et inversa (Londini, 4746), p. 89. I>rop« XXII, Pi Obi. XVII (definite motum nervitenn).
APPENDICE V. Qk5
* = -^ 2- (2^^11)1 '*° -25" ^^-cos-j^^a/,
L d^ ^^•/^^^«•^«^«^«^ * ^ 3ju: 3::a^ . 1 5îa; bzoLt \
5* Appendice. — Discussion théorique ei expérimentale détaillée , relative aux relations entre les coefficients des ' formules de Vélasticité des solides, et à la réductibiUté de leur nombre. — Remarques sur les corps régulièrement cristallisés.
S A?. Rappel de la réduction du nombre des coefficients soit pour une contexture quelconque soit pour des contextures particulières. — Nous avons démontré, au 3* appendice, % 20, d^une manière élémentaire, les formules générales linéaires (12)
Pvv ^^ ^yyxx^x "!"••••» Pmm =^= ^%%x*^m + • • • •
Py« = Ayscjpt'a "T • • • • » P«»=^^swB»i <^x+ • • • t P*y Wtjcy>gt^g~h » • • •
des six composantes de pression développées à Tintérieur d*un corps pris dans son état naturel, par trois petites dilatations <)«, ^y, ds et trois petits glissements 1^^,^ gsr* gxy* en partant de la seule loi physique des actions fonctions continues des très-petites distances entre les particules matérielles d'une ou de plusieurs espèces qui exercent ces actions les unes sur les autres.
Et, au S 21, nous avons fait voir, aussi très-simplement, comme conséquence nécessaire de la même loi, la réduction obligée des trente-six coefficients m de ces formules à quinze distincts, pour une contexture absolument quelconque de la matière du corps.
Dans la note du S 23, nous avons donné, de cette forme linéaire des expressions (12), et des vingt et une égalités produisant cette réduction, une autre démonstration due à M. Gaucby, fondée toujours
6Û6 • SECT. I. RÊSISTANCe DIS SOLIDES.
seulement sur rexisteoce d*actions entre molécules disjointes, et qui s'étend au cas où il y avait, antérieurement aux déformations que déterminent les dilatations et glissements, des pressions dont les six composantes
portent alors à vingt et uiie le nombre des constantes entrant dans les formules des composantes p«s, p^y après ces déformations.
Il en résulte, lersqu*il y a trois plans de symétrie, des formules à six coefficients a, b, c, d, e, f, au lieu de douze, puisque ceux que désignent les mêmes lettres avec ou sans accents, dans les expressions (30) du 3* appendice, sont égaux, comme on a dit, ce qui fut (formules 31) neuf constantes lorsqu'il y avait, antérieurement aux déplacements, trois pressions normales sur ces plans.
£t lorsqu'il y a isotropie ou égale élasticité autour de chaque point, il en résulte des formules (36) à un seul coefficient.
Mais, depuis quelques années, la réduction dont nous parlons a été contestée* Nous allons rapporter avec détail les motifs spécieux de cette contestation, et nous essayerons de montrer qu'il n'y a nullement lieu de s'y arrêter.
S ûS. Conséquences de cette réduction pour les corps isotropes. Expérience conftrmative de M. Cagniard de Latour. Première contestation, par M. Oersted {et qui porterait sur toutes les formules quels que fussent leurs coefficients), -^hes formules(36) du cas d'isotropie, obtenues en faisant e = e' = G dans (35)^ sont, lorsqu^il n'y avait pa>s de pressions antérieures aux déformations li, g,
!P«B =G(3^, + ^y +^«)» Py« = Ggy, , l?yy = G{^« + 8<)y+c),), p«, = Gg«,
p.. =Gp, +Dy + »,). P»y = Ggiry ,
d'où ces conséquences, déjà tirées en partie ci-dessus, et dont la 2*, la 6% la 5* ont été reconnues pour la première fois par Poisson en 1827 (»).
1** Une dilatation d'un corps isotrope produit une pression nor-
(1) Annales de chimie et de phy^i^^ )• série, t. XX3(V|(1SS7), p. 8S5, et i. xxxvni (IStS), p, 339,
APPENDICE Y. 0/i7
maie trois fois plas forte sur un plau perpendiculaire à sa direction que sur un plan parallèle (0*
T Quand un prisme Isotrope, dont les faces latérales sont libres, est tiré ou pressé uniformément sur ses deux bases, 11 éprouve des contractions ou dilatations transversales dont la proportion est du ilU de la proportion de sa dilatation ou contraction lon^tudinale ; et par conséquent sa section transversale diminue dans une proportion moitié de celle-ci . En effet (comme on a déjà vu au $ dû}, si a; est le sens longitudinal, on tire de Pyy =^0, pti=0 qui expriment que les faces latérales du prisme et de ses éléments prismatiques n'é^
prouvent aucune action, Dy = î), = — -^.
S"" Le cofflclent d'élasticité E=:^d*extension longitudinale ou de flexion est égal & 2 fois ^ le coefficient d'élasticité G de glissements ou de torsion. Car lorsque Dy =:D, =— ~ on a p,» = ^ G3«,, d'où E= I G.
(<) C'est ce que nous avons démontré au § 8 de la nott du n* 152, p. 499-200., d'une minière différente de celle du <( 25 des Appendices, el qui se rapporte aux considérations de la note du § 23, p. 570.
A et G étant, comme à cette note du n* 452, les coefficients de dx dans pxt et dan8|)««, on a, arec nos désignations actuelles (note citée du $ 23)
A=|Siiu^ I ^- |ooa*rar, et c = ?Smr»f — - ]oos*rxcoB*r7. 9 \dr rj 3 \dr rj
Et si x\ z' sont deux directions bissectrices des angles de x aTee z, d'où
co»rx = (oOBr«' — coir*')!/-, oosr«=3 (cosrar' + coifzOl/ -,
la démonstration citée de A = 3G rcTient^p. 300} i élerer i la quatrième puissance la première de ces deux eipressions et à la substituer dans celle de A , puis i dé?elopper et i effacer, tu la symétrie moléculaire, les sommes od il entre des puissances impaires des cosinus.
Hais on arriye au même résultat plus simplement et sans faire ces suppressions fondées sur la supposition de molécules égales se correspondant deux à deux, en mettant i la fois pour cosra; et pour cos rz leurs yaleurs en cosra:', cosrz^ dans l'expression de G qu'on vient d'écrire, car en il résulte
G =-Siiir« ( T- ~ 1 -T (cosVa:'— 2cosVa;' cosVz'+cosVz^zs - ( A— 2C + A) , % \dr r / k >
d'où 3G = A,
A* La dilatation on contraction cubique du même prisme, oa la proportion de Taugmentation ou diminution de son volume» sons cette traction ou pression exercée sur ses bases» est moitié de sa dilatation linéaire longitudinale. En effet, alors, D^+dy 4'^s=
5** La contraction cubique c subie par un corps isotrope qjiû éprouve sur toute sa surface une pression constante (telle que celle d'un fluide) est les 3/2 de la contraction au dilatation linéaire d subie par un prisme de même matière supportant une pression ou traction égale à celle-ci par unité superficielle de ses bases seulement. En effet, rappelons ce qu'on a dit au $ 33, que dans le cas d'une pression uniforme q (pression proprement dite on non traction) par unité superficielle sur toute la surface, les équations indéfinies (38) et définies (39) sont satisfaites par pM=Pyy=pK= —9,
Py,=0, p«c=0, pmy=Oy d'où t>a,=î)y=î),= ^ , ou contraçtion eubique c=— d,— Dy— D,= r^ = - | = ^î). Et, si l'isotrople est par-
faite, cette conséquence c = ^ D s'applique aussi & la diminution
proportionnelle de la capacité d'un vase de forme quelconque sous une pression uniforme q subie extérieurement et intérieurement, car il se changera en un solide exactement semblable ayant un vo-
lume moindre danscette proportion c = ^ |, comme s'il était plein.
Une expérience faite en 1827 par M. Gagniard de Latour, qui dilatait de C.ooe, ou de i/336 de sa longueur, un fil de laiton de 2",03 plongé dans l'eau d'un tube ayant une section à peu près double de la sienne, et qui mesurait par rabaissement du niveau de cette eau la diminution ou contraction correspondante de la section du fil, avait confirmé la deuxième de ces conséquences, dont toutes les autres suivent (*)•
Mais, vers le même temps, M. Oersted (*), rejetant une correction récemment proposée par MM. GoUadon et Sturm (>) aux résultats
(1) Jnnalei de chimie et de physique, V série, U XXXVI, p. 3S5. (•) Idem, U XXXVUI (48t8), p. 326.
(') Idem, t. XXXVl, p. 443 et 9S5.
des expériences de compression de Teau dans les piézomètres ou petites bouteilles ouvertes à col capillaire gradué, dans lesquelles et en même temps autour desquelles on exerce une forte pression, contestait un principe contenu dans la cinquième conséquence cidessus, à savoir que la diminution proportionnelle du volume et de la capacité d*un solide creux dont l'extérieur et Tîntérieur sont soumis à la môme pression constante, est la même que celle qui aurait lieu si Tévidement était un solide plein. M. Oersted, persistant dans une opinion qu'il avait émise en 1823 (O* soutienalt au contraire que les pressions égales s'exerçant à Tintérieur et à Textérieur n*avaient d'autre efiTet que de diminuer Tépaisseur de la paroi du piézomètre sans changer ses autres dimensions, en sorte que, suivant lui, l'abaissement de l'index dans le col capillaire gradué donnait bien la contraction réelle du liquide, à cela près d'une quantité tout à fait négligeable, sans avoir besoin d'y ajouter, comme MM. GoUadon et Sturm, la diminution de capacité du piézomètre, évaluée en multipliant cette capacité par la compressibilité cubique du verre (*). Il appuyait son assertion critique de deux expériences comparatives faites avec une bouteille en verre et avec une bouteille en plomba qu'il regardait comme dix-huit fois plus compressible que le verre; expériences qui lui donnaient pour la diminution du volume de l'eau, sous une atmosphère, deux nombres dont la très -petite différence n'excédant pas 2 millionièmes de ce volume, prouvait, à son sens, que dans ces sortes d'expériences le changement de la capacité du vase devait être négligé.
(>] AnnaU» de chimie et phytique, ^ lërie, t. XXI, p. 99, ei XXII, p. 19S.
(') MM. ColladOD et Sturm, après ayoir mesuré la dilatabililé linéaire d'une baguette prismatique de yerre, quMls étendaient par traction longitudinale, la triplaient pour avoir la dilatabilité ou compressibilité cubique , en sorte qu'ils pre-
naient c = 3u an lieu de c =: - J. C'est que MM. Poisson ot Caucby n'avaient pas
encore démontré que la dilatation longitudinale d'un prisme dont les faces latérale* sont libres est accompagnée d'une diminution d'épaisseur^ et qu'elle a ainsi une Taleur double de la contraction déterminée par une pression qui s'exerce sur toute la surface d'un solide. M. Aimé (Jnn, de ch, et dephys,, 4843, 3* série, t. VIO,
p. 257), fait la correction en multipliant par c = - d, conformément i la 5* conséquence ci-dessus , la capacité du piézomètre.
$ ftt. Remarque de M. Eegnault sur le défaut général éTisotropie des solides employés dans les expériences. — On sait que M. Regnault a fait précéder ses belles recherches sur les gaz et les va* peurs, d*expérieno6s nouvelles de compression des liquides dans des piéaomètres.
Tout en trouvant sans fondement Tobjectlon ci «-dessus de M. Oersted à laquelle il a été répondu suffisamment depuis (voyei ci-après), et en admettant, comme MM. Golladon et Sturm et comme M, Aimé, la nécessité d*avoir égard à la diminution de capacité des vases que Ton comprime en même temps que le liquide qu1ls contiennent, rillustre académicien fait la remarque suivante, explK quant d*avance et judicieusement les désaccords plus ou moins sensibles qui pourraient être trouvés entre les résultats d'expériences et les formules pratiques alors connues ^ toutes déduites d^expressions théoriques relatives aux. seuls corps isotropes {^).
a On ne peut pas se dissimuler que les formules mathématiques... . « ne présentent de grandes incertitudes..... Les géomètres admet- « tent que les molécules d^un corps solide se meuvent avec une a égale facilité dans tous les sens, ou qu'un déplacement égal, suîa vaut une direction quelconque, développe toujours une force de a réaction égale. Cette proposition est certainement inexacte. Il même dans les corps à cristallisation confuse. Il est très pro* <f bable qu'une molécule d'un corps solide éprouve des résistances «f très-inégales dans ses déplacements en divers sens..... »
C'était, comme Ton voit, attribuer les désaccords qui pourraient être rencontrés, à une élaslioité inégale ou à un défaut d'isotropie de la matière des vases mis en expérience. C'était accuser ou suspecter, non pas les formules établies pour des corps solides qui seraient certainement d'égale élasticité en tous sens, mais la supposition que cette égalité fût ordinaire tandis qu'il la regardait comme extrêmement rare , et n'ayant môme jamais lieu parfaitement.
M. Regnault signalait d'ailleurs, un peu plus loin, l'incertitude
(1) Relation des expériences eolreprises pour dètermioer les priocipales lois physiques et les données numériques qui entrent dans le calcul des machines à Tapeurs. Première partie, 4847, in-4* (ou t. XXI des Mémoireê de Vlnstiua); T mémoiret De la compressUnlité des liquides, p. 432.
APPENDIGB Y. 651
que peut oflMr la correction, calculée au moyen d'un coefficient d'élasticité qu'on détermine sur ime tige de Terre, vu que la contexture de cette tige pleine peut être toute différente, comme il le remarque, de cellei du piézomètre, dont les parois minces ne sont probablement pas constituées de la môme manière a dans le sens longitudinal et dans le sens transversal; » observation qui se rap« porte bien encore, comme Ton voit, au défaut d'isotrople.
S 50. Interprétation différente des faits par M. JVertheim, — Mais M. Wertheim, invité alors par M. Regnault à se livrer à des recherches sur ce sujet digne de son habileté, crut devoir interpréter autrement les faits constatés par lui; et, ne mettant nullement en doute Vhomogénéité (c'est-à-dire» dans l'acception qu'il y attache, Visotropie) du laiton et du verre des cylindres creux dont il mesurait simultanément la dilatation linéaire longitudinale et l'augmeÂtatlon proportionnelle pc-f-t^y+t)») de capacité intérieure par une traction dans le sens de la longueur, il attribua le désac-* cord entre les résultats de ses expériences et l'expression ci-dessus
(^»-|-Dy+D,= -^, ft* conséquence) relative, comme on a dit, aux
seuls corps isotropes, à ce que les formules théoriques (113) trouvées par MM. Navier, Gauchy, Poisson, Lamé et Glapeyron pour les corps d'égale élasticité en tous sens étaient entachées d'une grave erreur et avaient besoin d'être profondément modifiées.
Il 8*appuya pour cette modification sur divers passages des écrits de M. Gauchy, que nous allons citer et discuter avec détail.
S 61. 'Bemarqw sur ce qui peut prêter à confusion^ à cet égard, dans les écrits de M. Cauchy* ~ On connatt le caractère général de surabondance des travaux de ce grand analyste, et la multiplicité des points de vue sous lesquels il présente les matières qu'il traite, sans exprimer de préférence- et en laissant le plus souvent & ses lecteurs le soin de la discussion et du choix.
Or, au troisième volume (1828) du recueil de mémoires qu'il a publiés comme une suite de simples Exercices de mathématiques, après avoir démontré qu'il y a toujours, en chaque point d'un corps élastique, déformé, trois dilatations ou condensations linéaires principales, et trois tensions ou pressions pnncipales^ aussi ortho-
gonales, autour desquelles toutes les autres grandeurs de même espèce se distribuent symétriquement comme les diamètres d*un ellipsoïde autour de ses trois axes, M. Gauchy observe que ai le corps a la même élasticité en tous sens, les directions de ces trois pressions doivent évidemment être les mômes que celles de ces trois dilatations. Puis il ajoute (p. 167, 168] « qu*U semble naturel de « supposer, du moins quand les déplacements sont trèsh-petits, que a les trois pressions sont proportionnelles respectivement aux trois « dilatations. » Mais les résultats de cette hypothèse, reproduite d^ mémoire de 1822 ('), ne le satisfont bientôt plus, et il la modifie ou la complète (p. 177-178] en supposant que les valeurs des pressions principales se composent de deux parties, Tune toujours mesurée par la dilatation linéaire principale correspondante multipliée par un certain coefficient constant k^ Tautre égale à U dilatation cubique ou à la somme des trois dilatations linéaires au même point, multipliée par un autre coefficient x. De cette hypothèse nouyelle, il déduit analytiquement, pour trois autres plans rectangulaires quelconques, par exemple pour ceux qui sont perpendiculaires aux coordonnées x, y, z, des composantes de pression de môme forme que celles qui s'accordent avec les équations d'équiiibro indéfinies et définies de Navier, mais avec deux coefficients au lieu d'un seulf savoir
, du . fdu dv , dtD\ 1 , fdv , duA
(llû) J P.. = *^+^(s+^+ dij. P«=2H^"^Si)'
, dw , /du , dv , dw\ 1 , /du . dv\
formules qui reviennent à (35) ci-dessus (3* appendice, p. 581) en
remplaçant
e par ^ A;, et e' par k.
(<) Bulletin de la Société philomathique, Janyicr 4833, p. 9. Noie relalire i des rocberchei eolreprises i roccaiion d'un mémoire de M. Kavier du 44 août 4830 (ùf., p. 72) sur la flexion des plans élastiques. M. Gauchy j donne pour la première fois sa théorie des pretsions iniérieurei, géoéralement obliques aux foces où elles B^exerceot, et de leurs relations en divers sens et aux divers pointa 4'aD corps quelconque.
et qui conduisent Identiquement aux équ&tions de Navier en faisant A; = 2k. M. Gauchy les applique, dans la dernière partie du tome de 1828 (p. 256, 838, 357), à des problèmes d*équilibre et de mouvement vibratoire en faisant
ou en mettant k(0— 1) à la place de k, et sans donner habituellement au rapport 0 la valeur = 3 répondant à A;=2k, parce que les intégrations quMl opère sont tout aussi faciles en laissant 0 indéterminé.
Mais, intermédiairement , ou entre ces deux parties du même volume de 1828, M. Caucby, dans deux admirables Mémoires (sur V Équilibre Sun système de points matériels^ et sur là Mression ou tension dans un pareil système) ne part d^aucune autre hypothèse que de celle qui consiste à regarder les corps comme composés de points sollicités par des actions mutuelles Jonctions de leurs diS" tances; et, par une suite de déductions exactes ou en ne se servant ni de Vintégraiion autour dun point comme Navier, ni , comme Poisson, de la considération peu rigoureuse d^un espacement mot/en des molécules (^) suivie d*un recours à une sorte d'intégration à laquelle il renonce en 1829 (*) sans abandonner Topinion qui la rendait possible , savoir « que les actions entre les molécules les plus voisines peuvent être négligées » (') M. Gauchy, disons-nous, en se passant de tous ces auxiliaires peu sûrs, arrive le premier à des formules générales et complètes des six composantes de pression développées par de petits déplacements dans un corps d'une contexture moléculaire absolument quelconque.
Et ces formules, étant particularisées pour le cas de Tisotropie et d'un état primitif naturel ou qui soit un état d^équilibre sans pression, ne sont autre chose que les formules (114i) avec
c'est-à-dire les formules ci-dessus (36) ou (113) àun seul coejficient^
(1) Mémoire du 14 arril 4828 au t. VIII de rioiUlui, p. 374.
(*) Mémoire au W cahier du Journal dé V École polytechnique, p. 52.
(') Mémoire du 44 antl 4828, p. 378.
654 SBCT. I. RÉSISTAHCe DES SOUDES.
qui s^écriTent, en exprimant les dilatations et glissements aa moyen des déplacements u, v, w «apposés trési>etlts (S 30)
^ /^du dv , dio\ ^ (do , dxD\
Mais Toici, il faut le dire, une chose qui prête à confusion dans ce beau travail. L'éminent géomètre, embrassant le cas général où il y avait des pressions avant les déformations, donne des fonnuksi 21 constantes, savoir 15 coefficients, et 6 composantes fg^ P**!*— de ces pressions primitives ; et ces formules, qui sont cdles de notre note ci-dessus du % 23, p. 572, relatives au cas où les déplacements Uy V, w sont très^petits, et où les plans de pression, après comme avant les déplacements, sont perpendiculaires aux coordonnées fixes 2, y, ;e, se réduisent, lorsque ce sont trois plans de symétrie de contexture, à la forme suivante (p. 230 des exer* cicesy
et, par conséquent, pour un corps isotrope, en faisant p*»=p*yy=: p\z=Pof a=b=:c = 3d=3e=3f=3G, à
(liO)
(0 Daos Rs rormulei de M. Cancbj (p. 4 30) les p» i obI dMgBéi ptf CA, HA, ïà; cl ce que noas appelons a, b, c, d, e, f par LA, MA, HA, PA, ©A, RA.
P,»=P. + (6-p.) ^ + (8G +P.) I + (6-p.) g , p- =Po + (G -p.) g + (G -p.) I + (3G' + po) g .
Or M. Gauchy, dans lapeDséefon peut le présumer) de fournir une sorte de vérification de ses précédantes formules à deux coefiElcients k et K, basées sur une hypothèse tout autre, à lui particulière (et non encore justifiée sufi^amment comme on vient de le dire), fait
ce qui change les formules précédentes (102) en
k—^K , , du ^ (du , dv 'dw\ 1 , /dv- dw\
/*-nx 1 Af— 2k , ,dv , ^ /du , dv , dw\ ' 1 ,fdw , dit\
A: — 2k . 'dw /du dv dz^ \dE^dy
toutes pareilles à (114) sauf la constante — r — ajoutée aux trois
premières.
Il est fâcheux, il faut le reconnaître, que des formules comme (114) et (118), relatives à deux cas différents^ aient été, ainsi, rendues semblables par les mêmes notations A:, K qui représentent» dans les premières, de tout autres quantités que dans les secondes, puisque, dans le cas de celles-ci, il y a des pressions antérieures po qui étaient supposées ne pas exister dans le cas des premières (114) , et qui seales causent dans (117) et (118) la dualité des coefficients.
Et ce qui augmente la confusion, c'est qu^'on trouve, aux pages 204 et 205 du même tome III (1828) des Exercices , des formules semblables à (118), mais sans leurs termes constants ^ et qui par une autre similitude de notations, semblent encore représenter
fi) Exereicei, l. IV, p. i56, formales (98) cl (99).
éM SECT. I. RÊSISTANCB DES SOLIDES.
lea composantes normales de pressions px«, pn<i Pu après les déplacements, tandis qn*elies ne représentent que les excès
lï«— P'^xx, Pyy — P%». Pli— P^,» OU Px;. — j (Ar — 2K;,Pyy— CtC..
de ces pressions sur les pressions qui avaient Heu avant les déplacements, et dont on suppose que les produits par les dérivées des déplacements, u^v.w ue sont pas négligeables ; en sorte que, malgré une sorte de rectification que fait M. Gaucby dans un article addi-
tionnel (p. 327), où il rétablit le terme constant — ^ = -^-r — - =Po
des formules (118), il peut paraître^ à une première lecture ^ que les formules de pressions dans les corps isotropes dont Vétat pri^ mitif était un état d'équilibre naturel peuvent encore être à deux coefficients k, K sans relation théorique entre eux, lorsqu'on dresse ces formules sans autre hypotixèse que de regarder ces corps comme composés de points matériels qui agissent les uns sur les autres,
S 52. Formules proposées par M, Wertheim, Conséquences des formules à deux coe^den^f.— C'est là ce qu'a pensé M. Wertheîm. Il cite d^abord (*) les formules (116) du cas de trois plans de symétrie» mais sans les termes constants ou non affectés de u, r, ?r, qui sont les quantités appelées par nous p%,, p"yy, p^^ entrant aussi dans les termes affectés de ces déplacements; puis, particularisant pour le cas d'isotropie ou d'égale élasticité, non-seulement il fait p''xx^p%y=p''Mi a=b = o, d=:e=f, mais, même. Il admet
aveo M. Gaucby
ou, avec nos notations, a = 3G (puisque d =: e = f est le coefficient G de glissement de Navier).
Mais, d'une autre part» M* Wertbeim n*admet point
ou A:=2(G+po) double de K=G—po;pû pouvant, dit-il, n^étrepas nul ni négligeable devant G (quoiquUl paraisse bien supposer que Tétat
(}) Mémoire lur l'équilibre dei corps solides homogèDes, présenté le 40 férrier 4818 {Ann. de ch et deph,, 3« série, t. XXIII). — El, aussi^ Mémoire sur la lor^ sioui présenté le 49 février 485S {idem. Juin 4857, p. tl44).
du corps antérieurement aux déformations est un état d'équilibre naturel où les pressions sont nulles;.
Et comme diverses expériences lui paraissent représentées approximativement par les formules (liû), ou par (118) sans le terme
constant — -r — en faisant, au lieu de k=^K^
le savant physicien propose, au lieu des formules d'isotropie (113) ou (115) admises avant lui, les formules nouvelles suivantes
, /- dtt . dv . dw\ k fdo , dtv\
- fdu . « de . dw\ k (dw , du\
, /du , do , ^ dw\ k fdu . dv\
OUpaj»=M24)»+î)y+<^,),Py,=..., PM=...,Py*=sgyi,P»*— •••} 1?*»='
qui donneraient ces conséquences modifiées (au lieu de celles du
S liS)f que nous généralisons aussi pour quelconque:
1* Une dilatation d'un corps Isotrope produit une pression normale
deux fois plusforte (au lieu de trois fois) sur un plan perpendiculaire
que sur un plan parallèle à sa difection. Ge serait généralement
k+K, , ^fois;
2* Les contractions transversales sont le 1/3 (au lieu du 1/6) de
la dilatation longitudinale d'un prisme dont les faces latérales sont
libres. — Car les formules (IIA) avec ^ et K quelconques, si on fait
K i>ff =0, Pm=0, donnent dy=ds=— -jrrqv <^«î c'est-à-dire (tj re-
3* OnaE=5 G (au lieu de r 6)« Car, alors, pxx=^x{k-h K —,
faisant A;=K, ^A;=G;
J) 1 Jl 1
présentant comme ci-dessus -c-^), - = — + 2, ou tj = rsi A:=K;
Je Y] IL O
ë58 SECT. 1. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
&* La dilatation cabiqne da môme prisme MMimls à une traction est le 1/3 (au lieu du 1/2) de sa dilatation linéaire longitndinale.^
Çarô^+\+2).=5«--2 5g:^^« = j:j:3j^i., ou|î^,si*=K.
5* La contraction cubique c sous une pression appliquée à toute la surface d*un corps est égale à la contraction linéaire d^un prisme de même matière sous une pression égale appliquée à ses bases
seulement (au lieu d*ètre les z de celle-ci); car pu=— g* d« =
Dy=D. donnent c = - (D.4-2)v+^)= ^^^g = j^P2K E ^"^^'^^ duit & ^ "^ Â I "^ E ^^^ A^=K.
S 53. Opinion sceptique à laquelle leur proposition a dorme Heu. Nécessité de ne pas s'y tenir, — Bien que perapnne n^ait qils en doute Texactitude consciencieuse des expériences de Thabile et honorable physicien, ses formules de pression (119) n^ont point été adoptées.
Leur proposition, seulement, a amené une sorte de scepticisme. Et Topinion qui tend à se former aujourd'hui est que les formulai des composantes de pression dans les corps isotropes doivent être à deux coefficients tels que A;, K dont le rapport n^est ni cpqstao)^ ment = 2 conformément à la théorie moléculaire, ni constamment =1 comme le pense M. Werthcint, mais est variable suivant les ^b^ stances, en sorte que ce rapport aurait une valeur pour le fer, ope valeur pour le cuivre^ ude autre valeur pour le verrei efc supposés jouir cependant d'une propriété mécanique commune, Vi^otropie.
L'adoption d*une pareille opinion semble, au premier ftbord, con^? forme aux règles de la prudence. Elle est d^ailleurs à peu près sans inconvénient dans les appUoations générales et purement analyii* ques, parce que les équations provenant des formules à deux coef* ficients indépendants sMntègrent presque toujours avec autant de facilité que les formules à un seul coefficient. Ajoutons, si Ton veut, .que dans quelques questions pratiques simples, celles, par exemple, de torsion pure^ il n'est pas besoin de prendre up parti ; car, qomme il n^y entre que les coefficients désignés dans les fprmul^ (29) et (30) par e et f (G' et G" des notes ci-dessus), il importe peu qu'ils soient ou non égaux à e' et f ', e" et f" ; et il en est de môme dans
les questions de flexion pure, parce que» comme elles se résolvent par la seule considération du coefficient d'élasticité d'extension E, fonction des divers coefficients des formules (12) k (35), et mesurable directement» 11 n'est pas nécessaire de connaître les rapports mutuels de ceux-ci.
Mais il en est autrement dans les questions pratiques complexes» tellesquecellesdeflexion ettorsion simultanées» ou même dans celles oà il y a à la Mb à considérer la contraction linéaire et la contraction cubique qui dépend du coefficient de contraction latérale
^ = -^ v^» etc, Le doutç n'est plus possible quand on en vient aux
chiffires. Il faut sortir de Tétat toujours transitoire où il laisse V prit» et adopter forcément une valeur numérique pour le rapport en
question »«
On conçoit donc Timportance de bien examiner de nouveau et à fond si cette valeur de^ n'est pas toute connue à priori et théoriquement» afin de remployer dans la pratique; et» cela» même dans des cas d'élasticités plus oi^ moins inégales, lorsquhine ignorance absolue du degré et du sens des inégalités obligera à supposer l'isotropie comme état moyen donnant les résultats le plus probablement approchés.
La question de la constance de ce rapport fc : K des deux coefficients des formules (il/ij est importante à un autre égard; car s'il est bien égal à un nombre constpt 2» 11 est évident que toute formule satisfaisant & l'isotropie, comme (HA), dans laquelle ce rapport est différent de 2 ou indéterminé ne représente absolument rien; elle n'est l'expression d'aucune loi physique. On peut lui refuser môme une valeur empirique ou approximative; et son emploi, motivé sur ce qu'on peut la faire cadrer avec quelques faits Isolés^ ne/era que tromper et empêcher d'y substitue!* une formule vraie qui tienne compte de la non-isotropie ou de l'inégalité des élasticités en divers sens, comme font les formules (34) du cas d'un axe d'élasticité, ou (30) du cas de trois plans de symétrie» formules dont les premières sont à trois coefficients a, d» e» et les secondes h six coefficients a, B, c, d, e, f lorsqu'on efface les accents comme nous avons dit. La prudence ne nous paroft donô nullement permettre de s'arrêter à
660 SECT. I. RÊSlSTàMCE DES SOUDES.
ces formules d^isotropie à deux coefficients, si irrationnelles d'après une théorie qu*on regardera comme tout au moins plausible si on n'y acquiesce pas, et quand bien même il suffirait de disposer de ces coefficients ou d'user de la latitude que donne leur dualité pour expliquer approximativement un assez grand nombre de faits d'expérience.
S 5À. Autre origine de V opinion signalée. Formules à trente'^ coefficients t données incidemment par Jf . Poisson, — Voyons donc comment surtout s'est formée Topinion nouvelle des deux coefficients K et A; indépendants ou ayant un rapport susceptible de varier avec la substance des solides où l'on prend les pressions.
M. Poisson, qui avait considéré en 1828 le seul cas de i'isotropie, pour lequel le calcul des pressions comme résultantes d'actions fonctions des distances moléculaires lui avait donné les formules (115) à un seul coefficient lorsque l'état antérieur aux déplacements est l'état naturel (*), lut à l'Académie, l'année suivante, un nouveau mémoire où il consacra un chapitre spécial aux pressions dans les corps cristallisés et autres corps non isotropes l*).Il le terminait ainsi (au n° 38) :
« Quelle que soit la constitution d^un corps, cristallisé ou non,
« homogène ou hétérogène supposons-le tant soit peu écarté
« de son état naturel, en sorte que u^v^w sont de très-petites quan- « tités dont on néglige les produits et les puissances supérieures à
« la première. Les composantes de la pression seront nulles
« dans le premier état du corps et comme elles ne pourront dé-
« pendre, dans son état subséquent, §ue des déplacements relatifs « des molécules^ elles s'expriment par des fonctions linéaires de
(1) Dam son mémoire du U a?ril 4828, au t. vni de rinsUlut, p. 38S, k représente le coefflcient unique, le même que notre coefflcieot d'élasticité de glisse-
ment G, ou - A de H. Caucby, et K représente la jpreMûm tuiUriewre aui déplacements (p* ci-dessus) quand on ne la suppose pas nulle. Hais ces formules sont iocomplètes quant aux termes affectés de K, et SI. Poisson n'a donné qu'à son méoioire de rannée suirante {Joum, de VSc, polytechn., 20* cahier, p. 52, form. 40), les formules complètes du cas d'isotropie, conformes à celles de M. Gauchy.
(*) Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouTement des corpi solides élastiques et des fluides, lu le 42 octobre 4829 {Joum, de VÉc. polytechn., 20* cahier). $ IV, n" 32 à 39, et surtout n" 38.
« x" ' ^ « ^^^*' P^^ conséquent la valeur de chacune de ces forces « sera composée de neuf termes, et pourra être représentée par
dx dy dz dz dx dy
dw «^f du dv
puis M. Poisson réduit facilement les neuf coefficients de chaque formule à six en prouvant, par la particularisation u = — ay, v=ax,w=^0 pour laquelle les déplacements ne représentent que de petites rotations a autour de Taxe des z, ce qui ne doit engendrer aucune pression intérieure, qu*on doit avoir F = F'; en sorte que, comme on peut prouver de môme D = D\ E= E', chacune des expressions des six composantes doit avoir la forme
/-« » du ^ dv dw (dv dw\ (dw dv\ „ (du dv\
qui est précisément celle des formules générales (12) ci-dessus, à 36 coefficients.
Or on a vu, aux $$ ^h, 25, 26, que ces expressions linéaires étant une fois admises, on pouvait, en définissant l'égale con texture par ses seules conséquences mécaniques, c'est-à-dire par la propriété de donner en tous sens les mêmes pressions pour les mêmes déformations, prouver facilement que les 36 coefficients se réduisent, lorsque le corps est isotrope, à deux, savoir :
e et e'
des formules (35), les mêmes que ^ A; et K des formules (ll/i).
Il semblerait ainsi, au premier aspect, qu'on peut établir toutes les formules de Télasticité à 36, à 12 et finalement à 2 coefficients, sans parler d'actions moléculaires réciproques et sans invoquer leur
loi physique, dont Tadmission entraîne, comme on a vu, la néces-
site de faire e= e', K=: r/:, ou de réduire les deux coefficients à un
seul, les douze à six et les trente-six à quinze.
De là est née surtout Topinion des deux coefficients indépendants, aujourd'hui embrassée par un grand nombro de savants.
66*2 SRCT. I. nÊSTSTARGE DES SOLIDES.
g 55. Observationntr ce raisonnement de Poisson* Il se fonde tacitement sur la loi des actions entre molécules» Une fonction de quantités très-petites n'est pas nécessairement linéaire.— Quand il y anr&it réellement possibilité d'établir ainsi, sans invoquer aucune loi physique, les formules des pression à 36 et à 2 coefficients, ce ne serait pas une raison de se dispenser d'admettre la réduction des coefficients de 36 à 15 dt de 2 à 1, car la loi des actions moléculaires et de leur dépendance des distances est indiquée par un trop grand nombre de phénomènes pour qu^on puisse en repousser ou en négliger les conséquences, et tout ce qui y serait contraire devrait, à Topposé , être écarté comme faisant naître tout au moins une grave suspicion.
Mais Je dis même que Tadmission de cette loi des actions entre molécules est indispensable pour établir les formules linéaires (120) ou (12) à trente-six coefficients.
D*Bbord, Poisson invoque cette loi tacitement dans le raisonnement cité, car qu'est-ce que faire dépendre les pressions Intérieures des déplacements relatifs des points maiériels d^un corps^ si ce n'est admettre que les forces qui ont les pressions pour résultantes dépendent des distances mutuelles de ces points, ou sont fonctions de ces distances 7 Et fonctions continues, ou variant peu quand les distances varient peu, car sans cela l'illustre géomètre n'aurait pas remplacé, dans son expression, les déplacements relatifs par
les coefficients dlfftrenttels ^, ^...., ^. des déplacements
at)solusu,v, t/?.
Il fallait bien s^appuyer sur une pareille loi, car comment déduire une formule physique d'un raisonnement purement mathématique? Autant vaudrait dire qu'une conclusion peut être tirée sans majeure^ ou qu'on peut donner l'expression générale de tout un ordre de phénomènes matériels sans partir d'aucune observation ou d^aa* cune loi déduite déjà de faits observés.
Mais Je dis plus : sépafê de tout ce qui précède, lô raisonnement cité du n° 38 du mémoire de 1820 de M. Poisson ne provoe abeolurment rien; et il n'est même nullement acceptable, & moins d^une explication que l'illustre géoin tre a cru sans doute pouvoir être suppléée par ses lecteurs au courant du reste de son travail.
En effet, une fonction d*une ou de plusieurs variables n^est pas
nôcessairetnent Hrïéaù'et même a{)proximativeindDt) par cela seul que ses variables sont ou deTiennent très-peiitesé On sait sans doute que si une fonction est dôveloppable en série suivant les puissan*' ces ascendantes de ses variables^ tous les termes du développement deviennent néglig;eables devant ceux qui sont affectés de la puii^ sance la plus basse^ lorsque les variables décroissent suffisamment Mais Poisson savait aussi que tous les développements ne s'opèrent pas suivant les puissances entières y compris ia puissance i. LeK termes du premier degré peuvent y manquer et y manquent souvent, et il peut s'y trouver aussi des puissances fractionnaires audessus et au-dessous de i*unitéi En faut-il des exemples?
l^attraôtlôtt de deux corps est bien fbnetioti de Yinvêrsèi^ -^ de
leur distance mutuelle n Mais elle n*est pas linéaire en % ou proportionnelle à i lorsque i devient très-petit ou la distance r extrô-
mement grande \ cette fbrce <p est représentée par ? î= j^ ±= ci» ,
G étant une constante» ou est proportionnelle au càrfé t* et jatti&iâ àt.
Réciproquement la distance r de ces deux corps est fonction de leur force d^attraction 9; et cependant, quand 9 devient insensible,
r n'est pas proportionnel à «p, mais à <fi'
Sans sortir même de la géométrie pure, l'excès c == À— 1 de l*bypoténuse h d'un triangle rectangle sur son plus grand côté sup-
posé = i est bien fonction du plus petit côté k,
A= I + Cependant, lorsque celui-ci devient extrômei-
►i -=zj==,^>^ jjjgjjt pg^lt^ ^ 1 u^egt P3S fonction linéaire
de it, car on a alors A=vi +/c»=H-2 ♦d'où
A — i » 6 proportionnel au carré du côté k*
Réciproquement le petit côté k est fonction de l'excès e=h^i de rbypoténuse sur l'autre côté; or> quand cet excès devient extrèmem^t petit , on a A? i= Se** ♦ et non pas k linéaire en e^
Quelque cbose donc manqué ou se trouve sous-entendu dans le raisonnement qui conduit Poisson aux formulés (130)%
S 66. Cas général de linéarité. Vraie raison de la forme linéaire des farmtdes de pressions. Réduction inévitable de ieurs tren(€si$:
M4 SECT. I. BÉSISTAIICE DES SOUDES.
coefflcienU à quinte, à momt de r^eter cetU forme même. - En poursuivant les considéraOons du $ précédent, remarquons bia. qu'il en estautrement. ou que la /tWanV,«d'une fonction d'une petite variable est Incontestable si cette fonction, que nous appellerons i, n'est (Mitre chose que la différence de deux valeur» d'une mtrt fonction y, et « sa variable 8 est la différence correspondanie des deux valeurs de la variable x de celles ; en aorte que y. et y, étant deux valeurs de y répondant aux vaieon a^ et «, de ï on ait
^ = yi— y.. 8=1,—*..
Alors A est bien certolnement fonction Unéaire de 8 quand Sdevient très-petit, si la fonction y de x est continue.
Ainsi, dans les exemples du $ précédent, en seserrant des Indices 0 et 1 avec les mêmes notations qu'à ce $ pour désigner la même
îr, n," Z "*"" ""''""• '* *«*«»<«?.-?. de deux attrxv tiens planétaires ^ est bien fonction linéaire de la dUTérence i - L des deux Inverses correspondants de la distance r ; et r,^r dURrence de deux distances, est fonction linéaire de ç.-? qnlLd ces d|irérences sont très-petites, car en dilTérentiant ? = (S on a ?. -
Et^ dans le triangle rectangle où & est un côté et e l'excès de 1 hypoténuse sur l'autre côté = 1. «. «. est bien fonction linéaire de *, - *. supposé extrêmement petit, puisque e=^i+p~i dlfférenaé doanee,-e. = ~^-(k^^]^^,
. Et la même chose peut être'dlte pour une fonction de plusieurs
;riirv;:.rr '•"^ '^ *"'"'"- de vaieu«:.';^r
TcLlel^r'*^'™^"'^*'''^^""'''""*'*^^^^^
Poisson dans le cas de son mémoire de 182», où la fonction était une des composantes de la pression intérieurê déveloZZZ
sioS r^'/.'T^'''^ **^* ••««^ '^ ^ compo^ssr;^
^nuUe) avant les déplacements, et où les variables étaient to déplacements relatifs des noint. «•«»» * a, . ewiani ut
i«*vs aes points, c est-à-dire les excès (positife ou
négatifs) de leurs distances mutuelles noutelles sur leurs distances mutuelles anciennes. Gomme la composante de pression n'est qu'une somme de composantes de forces moléculaires qui sont fonctions continues de ces distances r, la composante développée est fonction linéaire des changements de distance r, — r. si ceux-ci sont trèspetits; et comme ces changements sont eux-mêmes exprimables li-
néairement au moyen des neuf dérivées ^« etc. , de i/, v, tr, lorsqu'on
suppose très-petits ces déplacements absolus, la composante déve* loppée est bien fonction linéaire ou du premier degré de ces netif dérivées.
Avec cette explication ou ce développement nécessaire, la démonstration de Poisson devient admissible. Elle coïncide alors à peu près, pour le cas des déplacements très-petits, avec celle que nous avons donnée au S 20, pour des déplacements absolus quelconques, des formules générales (12) de la p. 556.
Mais on voit ainsi que la démonstration vraie ou complète de ces formules linéaires (12) ou (120) à trente-six coefficients est essentiellement et inévitablement fondée sur Tadmisslon de la loi des actions moléculaires fonctions continues des distances mutuelles des molécules.
Et comme une conséquence nécessaire de cette loi est , ainsi qu'on a vu, la réduction des 36 coefficients à 15 pour unecontexture quelconque, d'où celle des 12 coefficients à 6 pour une contexturo symétrique par rapport & trois plans, et celle des deux coefficients à un pour une contexture isotrope, il est Inévitable d'admettre, pour ces trois contextures, des expressions à 15, & 6 coefficients, et finalement & un seul.
Si l'on s'y refuse, il faut rejeter jusqu'à la forme des expressions des composantes, ou i^enoncer & toute théorie, et laisser les phénomènes de l'élasticité des solides dans le domaine de l'empirisme pur.
S 57. Accord de la théorie avec les expériences de M. Regnault SUT les piizomètres en cuivre et en /at/on.— Mais comment, dira-ton, accorder les formules d'isotropie (113) ou (115) de Poisson, etc., à un coefficient, avec les faits cités par M. Wertlieim dans son mé-
666 SECT« I. RÊSISTANCB DBS SOUDES.
mofre de i8&8, où il les explique pal* ses formules modifiées (11!^)? Je réponds d'abord, en ce qui concerne la double expérience piésométrique de M. CBrsted (S &9), qui a été le point de départ des doutes élevés sur la théorie fondée par Navier, que, quel que soit le rapport adopté entre les deux coefficients k et K (S 61), les f6rmules prouveront toi]^ours , comme le montre aussi M, Wertheim, et contrairement à Topinion conçue par Tillustre physicien» qu'une pression exercée uniformément et également sur toute la surface tant intérieure qu'extérieure d*un solide isotrope creux, tel qu'on vase & parois minces, doit diminuer dans une proportiOû eonstanle non-seulement son épaisseur, mais aussi ses autres dimensions, de manière à en faire un solide d'une forme semblable à sa forme primitive, en sorte que la capacité creuse diminué comme âitaiifiuerait un pareilvolume massif de même matière. Ëtles mesurages comparatifs faits par M. GErstedde lacompressibîlité apparente de Teau dans une bouteille en verre et dans une bouteille en plomb ne sont point de nature à prouver le contraire; car M. Wertheim fait très-bien remarquer (fin de son mémoire de 1848} que la compressibilité du plomb n*est pas dlx>buit fois celle du verre, mats trois fois et un tiers seulement, le coefiicfentd'élasticité Ëétantenvironl 800000000 pour le plomb et 6 000 000 OOO pour le verre, ce qui donne respectivement pour leurs diminutions de volume sous une augmentation uniforme de pression d'une atmosphère ôti de 10333^" =g par mètre carré de surface
c = - I = 0,000 008 61 pour le plomb et 0,000 002 68 pour le verre.
Ces deux nombres, qui sont à défalquer de la compressibilité réelle de Teau pour avoir les compressibilités apparentes fournies par les piézomètres des deux substances dliTèrent entre eux de 6 millionniômes. C'est le iriple des deux niîUiotinîèmes dô dîlTérence trouvés par M. OErsted, et on a encore le double avec les formules A=K qui donnent c =^. Mais M. Wertheim observe très-
bien encore qu*on a moins si le verre dont M. CBrsted s'est servi se rapproche de la qualité du cristal et si le plomb contient de Talliage, supposition très-probable ; et le désaccord qui reste entre la formule et l'expérience peut s'expliquer par les défauts d'isotropie
et par une détormaUoD permanente du plomb, substance bien peu propre à donner^ en pareille matière, des résultats sur lesquels on poisse compter. Il n*y a donc pas lieu de 6*arrôter aux objections de rillustre physicien danois, dont personne n'a adopté l'opinion sur ce siget dont il &*est incidemment occupé.
Ensuite, quant aux expériences faites par M« Regnault avec un piézomètre dans lequel une ingénieuse Combinaison de robinets permettait d'exercer successivement une pression à Vextérùur seu^ lement^ puis à tintérieur seulement^ enfin à rinUrieur et à Vèxté'^ rieur à la fois, Je dis que leurs résultats s'accordent tout autant: qu'on pouvait l'espérer avec les formules Navier-Polsson» etc. (113), (ou ilApour A;=2/c).
En effet, si, en premlei* lieU, le piésomètre est une sphère creuse et si on appelle
R et a' le rayon Intérieur et le fayon extérieur;
V = s icr' la capacité,«et h = ■ ^^ i son rapport au volume de
l'enveloppe solide;
P la pression exercée, ou plutôt son excès sur celle de l'atmosphère, dont on n'a pas à tenir compte (JS 23 et Si) en n'é* valuant les contractions qu'à partir de Tétat où elle agissait seule ; cet excès P étant évalué lui-même en atmosphères ou représentant un nombre de fois 10333^ de pression par mètre carré de surface (poids de 0" " 76 de mercure & 0 degré);
c la compressibilité cubique de la matière du piézomètre, ou la proportion de sa diminution de volume sous un excès de pression d'une atmosphère tant intérieurement qu'extérieurement ; en sorte que [comme à la fin du $ 53 en faisant q = 10333) on a
^^^ ' ^=^i+3K=jq:2K-¥-'
b>' (avec M. Regnault) la diminution de la capacité V lorsque la pression? nagii qu*à V extérieur ; diminution qui est accusée par l'eau expulsée du piézomètre, ou par le volume de la partie du coi gradué qu'elle envahit en y montant;
668 SECT. I. BÊSISTANCB DBS SOLIDES.
une expression trouvéeen même temps (iS28) par M. Poisson (}) et par MM. Lamé et Glapeyron, et déduite des formules (113) ou (115) donne, en la modifiant pour les formules (ll/i) à deux coefficients K et i :
3 10333 d'où Ton tire, eu égard à ce que (106) c = * ».
1123} ^- pv-3;fc+k) "Ï5 PV*d(ik+K)(N+l)
ou, pourA;=2K
PV9 r" PV9K+1'
expression identique avec la première de celles du tableau n* 1 de la page 440 de M. Regnault (qui appelle k la contraction ici appe* lée c).
Outre le volume a>', M. Regnault mesuf e, avons-nous dit, deux autres volumes, savoir :
(*) jénn. dech. et deph,, 3* série, t. XXXVIII, p. 330.
(*) Mémoire de MM. Lamé et r.lapeyron au t. IV des Savanit étranger», n* S8.
L'eipression (4SS) que nous donnons, éUnt ptrticularisée pour A:=SK, est le
D produit, par le Tolume intérieur V, de la proportion — 3 - de la contraction du
volume intérieur de rsyon a, déduite de l'expression c = ... do déplacement dans
le sens du rayon, page 348 ou $ 46 de ce mémoire, en Taisant r=: a, P = 0,
p' = 40333P icilogrammes par unité superficielle, et remplaçant A par K.
Et on peut vérifier que U représente l'accroissement du rsyon Tectenr r d'un
U point quelconque dont les coordonnées sont x, y, z, d*oû les déplacements «= — or ,
V = - y. tr = - z, en différentiant ces déplacements pour substituer dans les six r r
oompountes de pression (444) k deui coefficients ft et K, puis ces composantes
dpxx
dans les trois équations d'équilibre intérieur (38) -^ 1. ... = 0, etc. On recon-
dx
natt que ces trois équations à seconds membres nuls sont satisfaites si ran a
h U=:(ir •{- — , a et 6 étant deux constantes quelconques. Et, en déterminant cescon*
stantes a, h par la condiiion que pgx, pour z = r = K, 80it=: — P, et, pour
h a; = r = n', soit = — p'^ on a, en substitusnt dans aa + -^t l'expression de U
citée, dont (423) est une conséquence.
