APP£MD1G£ V
<i>, diurne abandonné par Peau en baissant dans le col gradué
quand la pression P n*agit qu*à Tintériear, bi'\ iderriy quand P agit à la fois à Tintérieur et à rextérienr.
Ce dernier lui fournit, pour la compressibilité cherchée de Teau sous une atmosphère* compressibilité qu'il appelle |jl :
ta"
(125) (iL » py + c , (c étant fourni par Texpression 123);
car la contraction apparente ta'' du volume d*eau V, indiqué par la graduation, est évidemment égale à sa contraction réelle (iPV plus la diminution cPV de la capacité du piésomètre.
Et le mesurage du volume eu lui fournit une vérification du mesurage de w' et de vi'\ car il résulte du principe de simultanéité et de superposition du $ 2 de la note du n* 21 (p. 15) que la diminution de capacité cPV = (iPV — co'' qui a lieu lorsque la pression P agit à la fois à Textérieur et à Tintérieur doit être égale à la diminution co' résultant de la pression qui agit seulement à Textérieur moins Taugmentation oi ^ (aPY de la même capacité lorsque la pression s*exerce à Tintérieur seulement, d'où
ce qui s'est vérifié & quelques millièmes près dans toutes les expériences de M. Regnault.
Or ce savant a opéré, en premier lieu, avec un piézomètre sphérique en cuivre rouge, dont le mesurage donnait :
Diamètre moyen extérieur, 2r'= 6~»«*»**»^,98, Épaisseur moyenne de la paroi, r'— r=0',0765, Capacité de la boule, V=r 109**%11 (mesurée probablement par le poids de Teau contenue),
Volume de la paroi, ^ «r^ — |wr«=111*«%97— 103"%69=8"%38.
D'OÙ H = î^^ = 13,02.
Et chacune des divisions du col gradué contenait 0 !«•■■•, 010271 de mercure pesant 13*'- ,55 par centimètre cube, d*où, a étant le volume de cette division,
670 SEGT. I. RÊSISTANCB DES SOUDES.
Les résultais de vingt-quatre expérieDoes où la pression P & varié
•de 2»'««»iA.,80 à 7«»»-,80, et co', ou plutôt le nombre — desdivialons
^nyahies par l*eau, de 16 à A7» étant substitués dima la formule
(12A), ont fourni des valeurs de c peu difiTérentog eptre elles, dontt
la moyenne était
c = 0,000 OOi 317.
Or le coefficient d'élasticité d'extension E du cuivre rouge, d'après des expériences de M. Wertheim, citées par M. Regnault, sur rallongement élastique de fils de ce métal de 3 millimètres de dla* mètre ont donné les moyennes suivantes C)
210333 GQivue éaovi et «tiré, E « 19 A&9 000 000, d'où c==: - ^r- = 0»000 001 2A5
Idem, recuit, £ = 10 619 000000, d'où c= 0,000 001 /^7i|.
Le résultat 0,000 OOi 317 fourni par l'expérience de compresaioa extérieure de la boule creuse ep ciUvre est, comme lH>baerve Mt Re* gnault, sensiblemept moyen entre oes deux derniers. • Par conséquent les formules de pression avec A = 3K s^^CQordent asses bien avec Texpériencé.
Il est vrai, observe encore M. Regnault, que le métal de la boule creuse devait se rapprocher plus de celui du fil recuit qui a donné
0,000 001^74 ; mais aussi l'appréciation du nombre n = -^ 3 offrait quelque incertitude^ car la capacité, en la calculant d'après lo mesurage du diamètre intérieur 2r=6%98— 2 x 0%0765, n'eût étô que 103''%59, d'où
En substituant ce nombre à 13,02 qui a été trouvé au aaayen de là
capacité évaluée par le poids deTeau contenue, il f^ut multiplier
13 02+1 par ,^' ^ . = l,0û9û la valeur de c obtenue plu9 hmU d'où 12,00 -f-i
c = 0,000 001 317xl,0ili9/i = 0,000 001 382,
hoiT)bre qui se rapproche bien plus du secopd que dq premier de Ceux qui résultent du mesurage du coefficient d'élasticité ^.
[I) .JnH. de ch, et deph., 3" série, l. XII, mémoire prcscn'.é le 18 Juillet 184S.
APPBHDIGB V. 671
En seooBdliea, M. Hegnaults'est servi d'un piéaomètre sphériqua ou boule creuse eo laiton^ dQot le meaurage lui a fourni
Capacité mesurée par le poids de Teau conteQue, V=102**%7i9 Volume de la paroi, 7"%66,
Sur cette boule en laiton fl avait adapté le même tube de Terre gradué qui avait servi avec la boule en cuivre rouge. Avec ces données et celles de ^6 expériences où la pression P a
varié de i«^»W h 9*^,i7i et m'f ou plutôt le nombre— des dlvl-
oc
sionsdu tube dans lequel l*eau montait, de 10 h 59 divisions, M. Re*
gnault a obtenu, par la formule ISA, des résultats dont la moyenne
est
Le coefficient d'élasticité, d*après une expérience de M. Wertheim sur rallongement d*un fll cylindrique (}) serait , pour le laiton,
e==iO m OQOOOQ d*Q<i c»^ =^ = 0,000001925,
nombre un peu au-dessus [de 7=] de 0,000 001 A&O fourni par Tap^
plication de la formule (12&) aux expériences sur la réduction 0u volume de la boule creuse. Mais le volume de la paroi présentait quelque ineertitude; car ai Ton prend, oomme a fait M. Regnault peur la boule en cuivre rouge, eelui qui résulte du mesurage du diamètre moyeu extérieur 2a' = 5%80 et de répalaseur moyeoPQ
R'— i^ = 0S07, on obtient ~7CR'» — 57CR* = 106«**,99— 98,83=8,16, d'OA
V = ^?î^ = 12,687. au Ueu de 13,A08, de qui dpnpQ
Cî= ^^^^^"^^ . 0,000 001û40=l,060û . 0,000001 M0=0,000 001 627, 12,587+1
(1) Jnn, de ch, et de ph., 3* sôrie, t. xil, p. 597^
672 SI-CT. I. BÊSISTâNGE DES SOLIDES.
oa la même chose que ce qui résulte du coefficient d'élasticité E.
Il me semble que c'est là un accord aussi satisfaisant que possible, soit pour le cuivre rouge^ soit pour le laiton, entre les formules. (113) relatives aux corps isotropes et les résultats d'expériences faites comparativement» d'une part, sur l'extension des fils ou tiges minces étirées, et, d'antre part, sur la diminution de capacité des sphères creuses « formées par deux hémisphères travaillés au marteau» avant de l'être sur le tour, ce^qul devait, comme l'étirage, altérer l'isotropie, mais d'une manière inconnue, et ce qui n'a pu procurer non plus la forme exactement sphérique et l'épaisseur constante qu'exige la formule (124)«
Un autre genre de vérification approchée de la formule (12ft) don^ nant la compressibilité de l'enveloppe solide, se trouve d'ailleurs dans la comparaison des deux valeurs moyennes qui en résultent
eu"
pour la compressibilité (i^ = py + c de l'eau ; car M. Regnault trouve
Au moyen du piésomètre en cuivre : pi =0,000 0^7 700 Idem enlaitjon: (1=0,0000/^8288,
nombres très-peu différents.
Avec les formules de composantes de pression (119) de M. Wer^ theim résultant de la supposition fc = K au lieu de= 2K, on aurait^ en vertu de (12/k)
Il faudrait donc prendre les trois quarts des valeurs de c ci-dessus provenant des expériences piézométriques, et les deux tiers de celles qui proviennent des expériences de traction des fils, ce qui donnerait
Cuivre rouge.
Parie pièiaiiiètre.J^^^jj^^j3g^ c=0.
n. 1 IX- j.. (Pour N = 43,408, c = 0,000 001 080
Uilou {***'**P**'^"**^MPourM=48;587;c=0;00000M*5
Par le fll £ = 0,000 004 047 C)
(1) Les nombret irouTés pour c par M. Wenbeim, dans son mémoire du 40 lévrier 4848 (Ann. de rh. et de ph.^ 3« série, t. XXIll), sont plus forts, daos la pro-
APPENDICE y. 673
Nous ne voyons nullement, dans ces rapprochements, de raison de substituer les formules résultant de A; = K aux formules k=2K données par la mécanique moléculaire.
S 58. Même accord avec les expériences sur le piézometre en verre,— M. Regnault a fait aussi une série de trente-six expériences avec un piézometre en verre qui avait la forme, non plus d*une boule creuse, mais d'un tube cylindrique terminé par deux hémisphères.
La longueur entre ces hémisphères était . 20%87,
Le diamètre extérieur TTioyen 2%^256«
L'épaisseur, supposée constante^ et calculée
par le poids et la densité du verre. • • . 0%0700.
On a, avec un piézometre d'une forme quelconque, pour la compressibilité cubique |a de Teau, toiyours la formule (125)
qui donne (i quand on connaît c. Mais si. Ton veut mesurer sur le piézometre lui-même cette compressibillté cubique c de sa matière, au lieu de s'en rapporter pour cela, comme les prédécesseurs de M. Regnault, à ce qu'on conclut de l'allongement des tiges d'une matière semblable, il faut savoir, comme pour la sphère, déduire c de la diminution de capacité ta' qui résulte d'une pression 10333 P
porUon de 4 à 3 y que ceux qoe nous rapportons ici comme ooniéquences de ses formules. Cola lienl à ce qu'il prend c =: - (ou ~ en faisant la pression aUnosphé-
rique 9 = 4) tandis qu'on derrait avoir, pour Jfc == K, c =: - - ($ 62], d'od rësalte
u>' 4 4 lo' 4 4
qu'il calcule e par l'expression (4 Î4) c = — ^ — - au lieu de (486) c =r — ,
PV 9 !I"T'4 PV 3 W"7"4
Mais comme la même valeur erronée c = -, combinée avec E = - A (§ 53), donna
iq q
c = - - au lien de c =r - qu'on derrait avoir quand A = K , les deux erreurs se
compensent, et M. Wertbelm arrivée peu près au même rapport que nous entre la valeur de c déduite des expérlenees de compression du piètomètre et la valeur de e déduite du coffflcient E ou de l'allonsemenl d'un 81 de même matière. Nous disons à peu prèê^ parce que M. Wertheim arrive pour c à des chilîres un peu différents de ceux ce M. Regnault, quoique se servant de la même formule (4S4), ce qui tient i ce qnfU adopte des valeurs on pea antres de n et de «•
676 SEGT. I. RftSISTàNCE DES SOLIDES.
s'exerçiBt seulement à Textârieup du tube employé comme piéiomètre. Le calcul, si ce tube, d^une capacité V, est un cylindre ayant des rayons intérieur et extérieur r, r', et supposé terminé par des couvercles sur lesquels ses bases annulaires glissent sans frottement^ en sorte que le rétrécissement puisse être supposé égal $un bout à Vautre, donne :
(127) .;=io833Py'|*±g;j^C).
En ajoutant cette diminutibn de capacité d?un pareil réservoir cylindrique à celle qui est donnée par la formule (122) pour une sphère ou pour les deux hémisphères de même diamètre ayant ensemble une capacité V, et en remplaçant
on a, pour la diminution de volume du cylindre terminé par deux hémisphères,
(«8) »'=cp[v'£*gî(ii+i)+ V?^'^(«+l)],
(<) Celle «xprMtiOB (4117], parUcularifée pour k as %%,, est le produit, par la ca-
u . padté V, de la proportion — c — t - de la contraction du Tolnme intérieur, d^
dulte des eiprettioos c = .... de la proportion de Pallongement da cylindre, et D = ••. du déplacement dans le sens ^u rajon, de la page 518 ou du $ 46 du mémoire de MM. Lamé et Clapeyron (t. IV des Savante étrangers) en faisant r= R, P = 0, P' =. 40333 P, et en remplaçant A par K. Eton peutyérifler que^ U représentant l'accroissement du rayon yecteurrd'un point
du cylindre creux dont les coordonnées sont x,Vy z d'où «=-ar, v=*y,ii7 = er.
et en différentiant oes déplacements pour substituer dans les six composantes de
pression (444) à deux coefficients, puis ees composantes dans les équations d*é -
quilibre (38) ~- h •••• =0^ etc., ces équations à teeond membre nul sont aatin^
b faites ai l'on aU=:ar4--,aetè étant deux oonsuntes quelconques. Et en dé-
terminant ces constantes a, b et la dilatation longitudinale inconnue c par la dilion : 4« que prm t pour ^ = r =: H, soit = — P; 3* que pour « = r = R' Il soit = — P', et 3« (pour l'équilibre des oouvercles) qu'on ait pM(itR'*^«R*)s=
P. ff-R* — P'. icR'*, on a , si Ton substitue dans — c— -(oR-f-J, uneexpression
qui multipliée par V se rédnit à celle (497) de ta* en (liisant p =r 0, P' = 403S3P.
d'où Ton tiret en faisant k:=: 2K, (129) c =
valeur qui est la première du tableau de la p. ua de IL Regnault (c étant ce qu'il appelle k).
Avec cette formule (129) appliquée aux trente-aix expérienoea* qu'il vérifie, comme a?ec lasphère, par celles qui donnent ca, car 01:=: 0)'+ ù)'^ (00 étant toiyours le volume abandonné par Teau dans le col gradué lorsqu'on ne fait agir la pression 10383? qu'à l'intérieur), M. Regnault trouve» en moyenne, pour le verre de son piésomètre,
qui répond it un coefficient d'élasticité £= ^ . -^1^^, ou, pour
Mais il observe que le coefficient d'élasticité du verre, déduit de l'allongen^ent des tiges pleines, varie dans des limites trop étendues pour qu'on puisse, de la comparaison, rien induire pour ou contre les formules. k\ avait observé précédemment aussi, comme nous avons vu, que, pour même composition chimique, la contexture mécanique d'une tige pleine ne pouvait guère être comparée à celle d'une enveloppe mince; et d'ailleurs le tube n'avait ni un diamètre ni une épaisseur bien uniforme. Cependant le nombre 6545 millions est sensiblement égal à la moyenne 6560 entre les six nombres cités par M. Regnault, à la p. 434 de son mémoire, comme résultats des expériences de Savart et de MM. Ghevandier et Wertheim ; ces dernières, il est vrai, faites par le mesurage de la vitesse du son dans les tiges»
Au reste, avec ce piézomètre cylindrique en verre» M. Regnault a trouvé pour la compressibilité cubique de l'eau la valeur moyenne (4=0,000046677. La différence avec 0,000047709 et 0,000^48288, trouvés au moyen de sphères creuses en métal, est faible, et peut très-bien s'expliquer par la remarque suivante de M. Regnault
(1) M. Regnault a trouré, lorsque le liquide intérieur 4tait du mercure, c = 0,000 002 374, qui en diffère très-peu.
tS76 SECT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
p. 656} « que le calcul suppose une régularité parfaite dans les en- « veloppes, et que cette régularité est impossible à obtenir dans la « construction des appareils. On s'en éloigne surtout dans le piéao- « mètre en verre... dont Tépaisseur... a des parties plus faibles les « unes que les autres... d*où doivent résulter des déformations qui « changent la figure du plézomètre et produisent des anomalf es dans « le changement de capacité. .. La déformation de Tenveloppe sphé- « rique peut aussi donner facilement des erreurs notables. .... car si « la surface ne reste plus sphérique, il pourra y avoir diminutioa « véritablede capacité, bien que Tenveloppe ait subi une extensfoo.» En faisant A= K comme M. Wertheim, on aurait, au lieu de ii29}.
Cl»
p[yV'(M+l) + 3V{!f+l)]'
en sorte que (M. Rognault, p. 462), comme V'=76***,499, V=6**«,i74^ M =3,598, N = 2,248, il faut, pour avoir cette valeur de la cooipressiblllté c, multiplier la valeur précédente 0,000002368 par
15879^ = 0,72814, ce qui donnerait
répondant, pour A; = K, à un coefficient d'élasticité -E = =
= 5994000000 (*). De ce que ce nombre se rapproche plus que celui de 6545 millions, de 6040 donné par une expérience d allongement d'une tige de verre à gobelet teriejin à base de soude (le verre à gobeietterie c(*mmun aussi à base de soude avait donné 6722), Je ne vois pas que ce soit une raison d'adopter A;=K, qu'aucune théorie n'indique, plutôt que k=2K. que donne la théorie moiéculaira
(*) M. Werthcim trouve, poar c, une valeor 0,000 00ÎS897, ou des 4/3 de
0,000 004 7S4 que dous venons de déduire de son hypothèse Jk = R. Cest, eotaat»
40333 pour le plézomètre sphérique, paroe qu'il prend c = tandis qnVee ft = K
3 40333 on a (S 5S) c = ^ — — . Mais U en eonelut i peu prés la même valeur de E par
une eompenution mutuelle de deux erreurs, vu qu'il prend B:=
lien de=s qui résulle de /^ rz k.
▲PP£NOiC£ Y. 671
S 59. Expérience* de M. Weriheim et de M. Clapeyron sur le caoutchouc^ etc. — M. Wertbeim a fait aussi (et c'est môme ce qui paraît lui avoir suggéré l*idée de proposer A:= K) des expériences sur deux barreaux de caoutchouc, l*un de 0">^^,36775 de longueur entre deux repères, sur O'^^fOASeo de côté, Tautre d'environ 0"^,30 sur O'^^-yOOOAS. il les étendait, puis il mesurait, pendant leur retour & une longueur moindre, qui durait environ vingt-quatre heures^ les distances successives des deux repères marqués non
loin des extrémités, et, en môme temps, le côté de leur base carrée.
Le rapport - du changement proportionnel de la dimension longitudinale au changement proportionnel de la dimension transversale, au lieu d*ètre constamment 4 comme il résulterait des formules avec k = 2K., ou 3, comme il résulterait de A: = K, a varié irrégulièrement de i 1/2 à 5 V^- ^^ valeurs les moindres répondaient aux changements de longueur n'excédant pas i pour iOO, et ses plus grandes valeurs à des changements qui allaient jusqu'à doubler la longueur. Les rapports moyens ont été 2,63 et 3,743 pour le gros barreau étendu verticalement, puis horizontalement, et 3,69
pour le barreau mince étendu horizontalement.
De ces diverses valeurs de -, et de l'expression :i;=--— 2 (S 52,
2* conséquence généralisée), il résulterait des valeurs de ^ variant
de — xà Sx, et. en tous cas, en se tenant aux petits changements
de longueur, plus rapprochées de A; = K que de A = 2K.
Mais d'après des expériences de M. Clapeyron, communiquées à l'Académie le i*' février 1858 (*), la comparaison de la compressibilité cubique c de la môme matière (le caoutchouc) avec son coeffi* oient d'élasticité d'extension £ a donné
(t) Comptas reodus t. 46, p. S4S. M. Clapefroo, eomiM M. Limé [Ltçom nar
niaêticUé, 4863) appelle - ou plulôt.-^— ce que nou appelons E avec HaTier^
ei 9u, \ ou plutôt----— ,•-——-., ce que nous appelons A, K avic Caachr et
40000 40000 ^ rr t 4
U, Werthelm en prenant le mètre carré et le Ulognmne ponr unitèft
678 SECT. I. RÊSISTANCB DBS SOUDES.
car M. Glapeyron a trouvé 0,00009295 pour la compressibilité cabique du caoutchouc sous une pression de 10,000 kilogrammes par mètre carré de surface (pression'à peu près égale à celle d^une atmosphère qui est 10333), ou environ, comme il le remarque, deux fols seulement la compressibilité de Teau ; et, pour de très-faibte allongements, il a trouvé Ë = lZi6590, environ cent mille fois moins que pour le fer ; en sorte qu^on aurait pour le caoutchouc, en y i^ pliquant les expressions généralisées de la fin du $ 52
