ST

, dd d , dd d ô ^

abo-ad*— bè"— cf*+îdef Ex ca— «»

bc-Hi* ' E, bc-d*"

Or, pour peu que g, 5 «* - diffèrent de 3, et ^, g diffèrent de I

(nombres vers lesquels ils convergent quand la contexture approche d'être isotrope), 1) et ri pourront difiërer très-sensiblement de 1/&, prendre, par exemple, des valeurs telles que 1/3 ou 1/5, ce qui

donnera au rapport c = 1 — 1) -* V de la dilatation de volume à la

dilatation de longueur une valeur encore plus différente de 1/2, qui

est sa valeur relative au cas d*isotropie, et, aux rapports —, ~ des

coefficients d'élasticité d'extension et de gUsBement, des valeors, aussi, très-sensiblement différentes de 5/d.

Même, en supposant quMl y ait égaie contexture transversale» on que % floit on axe d'élasticité (S 25}, ce qui donne b=rc = 3d, e= (^ ou ce qui réduit les formules à la forme (U) sans les accents, c'està-dire à

IPa» = aDc H- e^v + et), , p,, =dgy, , |)yy = eDx+3d.5v-f d.D„ p,«=eg,x, Pm = edjr + di^v + ddds , p», = eg«t ,

on aurait

MiiA\ - '-.^^ ^-ii 0-1 ^^ E*-^ *e E.e/3a e\ (134) -^^^^YS 5-"^'-2'^-^-"2d' T=è-2d' Ê;==dU" 8dj'

en sorte que si les deux coefficients de glissement d, e diffèrent sensiblement Tun de Tautre, -^ et y{ dilTéreront aussi sensiblement

de 1/Â) et ^ dlfférmt deux fois plus de 1/2.

Ainsi : 1* On satisfera & c = ,9 valeur quesemblent donner, pour

le rapport de la dilatation du volume à la dilatation de la longueur, les expériences de M. Wertheim sur les tubes de laiton et sur les tubes de cristal, en prenant

Et si Ton suppose en même temps — =^ , ou le rapport de 8 à 3,

que M. TVertheim a proposé d'adopter, entre les coefficients d'élasticité d'extension longitudinale et de glissement transversai ou de torsion, on tire

3 1 S' Si, au lieu de r-=:s = 0,?33, on prend, vu les causes qui ont

pu, comme nous avons dit p. 681 , donner un résultat trop faible,

8 3 Ex 8

j = - = 0.876. avec - = 3,

il en résulte

e 6 6 a 79 E«3ii5, ^

3* Si Ton prend

1 = 1 = 0,376, avec|.=|=2,6,

il en résulte

Ces valeurs 1,27 à iM du rapport =r entre le coefficient d^élas-

ticité d'extension longitudinale d'un prisme donné et le coefficient ^u^on obtiendrait en en extrayant, pour le soumettre à la traction, un petit prisme dont la longueur serait prise dans un sens transversal, n^ont rien que de vraisemblable, car, pour des bois durs, MM. Wertheim et Ghevandier ont trouvé jusqu'à des valeurs 9 et

68/i SECT. L BÊSiSTANCE DBS SOUDES.

12, et, pour les bois tendres, jusqu'à des valeurs 20 et 30 de ce même rapport (^). Il D*y aurait donc pas lieu de s'étonner que, pour les métaux fibreux, et même pour le verre, auquel le refroidissement donne une autre contexture dans le sens de la longueur et dans le sens de l'épaisseur, ce rapport variftt entre i 1/A et 1 iy2.

Ces explications des faits d'expérieoce seront encore plus variées si l'élasticité n'est pas supposée la même dans les deux sens transversaux, ou si. en se bornant toi\jours aux cas de trois plans de symétrie partout, on se sert des expressions (132) à six coefficients , au lieu des expressions (13à) & trois coefficients.

Observons de plus que ces expressions (132) supposent, comme les formules (30) dont elles dérivent, une tige douée de l'homogénéité parallèle ($ 22). S*il s'agit d'un cylindre plein ou creux qui

n'a que l'iiomogénéité semi-polaire (même S)« on trouve facilement

que la forme même des expressions de £ , î) , c- se trouve changée;

les coefficients a,b passent en exposants s'ils ne sont pas égaux, et le rapport même des rayons Intérieur et extérieur influe sur la valeur de ces trois quantités (*). '

Â plus forte raison les faits s'expllqueront-ils avec une contexture sans symétrie en chaque point, et encore si, outre le défaut d'isotropio, il y a quelque défaut d'homogénéité, par exemple plus de roideur à la surface qu'au centre, et si, en raison de cette circonstance, il y avers l'axe de la tige (ainsi qu*il a été dit au S 22), et avant tout allongement opéré dans les expériences, un état de tension, comme il peut arriver dans les prismes qui ont été coulés et promptement refroidis, ou un état de jire^^ton, comme 11 peut arriver dans ceux qui ont été étirés.

• k S 62. Observation sur la proposition de prendre ^ =iconsta$n-

ment — Nous n'avons pas besoin de réfuter cette proposition. LV doption, pour un rapport, d'un nombre rond et simple, tel que Tu-

(}) Mémoire sur lei propriétés mécaniqqet des bois, présenté le 5 octobre 4S46 et imprimé en 4848 aux Jnn. de ch, et de ph. Tableau n» XVI^ p. 430-494.

(S) Mémoire sur les di?ers genres d'homogénéité mécanique des corps élastiques, ei principalement sur l^homogénéiié cylindrique ou semi-polaire, etc. la i l'Académie le 21 mai 1860 (Comptes rendus, t. L, p. 930.)

Al»PENblC£ V. 685

nité, a besoin d*uDe raison théorique. Elle manque, et on a môme vu que la théorie moléculaire qui envisage les corps comme composés de points matériels exerçant les uns sur les autres, à des di* stances très-petites, des actions fonctions continues de ces dislances, c'est-à-dire la théorie qui coudait à la linéarité des formules et à toutes les explications, donne en même temps l'égalité du coefficient K de dy dansp,« au coefficient ^k de gc, dans p^y ($ 21),

c'est-à-dire k=i^SL\\ faudrait dire quelle autre loi, conduisant aussi à la forme linéaire de Pm<*- Psy en De,. g«y pourrait donner A: =:K, ' ,ou le premier des deux coefficients dont nous parlons double de Vautre. Jusqu'à ce qu'on le fasse, on devrait, si Ton se croit autorisé à employer toij^ours les formules linéaires (lU) satisfaisant géo-

métriquement à risotropie, et si l'on regarde = comme le mèlne

pour toutes les matières de contexture isotrope, se borner à pren* dre pour ce rapport la moyenne fractionnaire des nombres trouvés dans les expériences; ou plutôt il conviendrait, comme nous avons dit, d'adopter des formules qui ne supposent pas l'isotropie parfaite, telles que les formules (30) ou ij&k) sans accents (p. 577 et 581) à six ou à trois coefficients {}).

(*) Nous n'avons pas besoin non plus de oombaUre longuement la manière dont le même physicien a essayé, dans son mémoire cité du 40 février 484S, p. 87, d'ao» eorder sa proposition A=K avec la théorie de l'élasticité des corps considérés comme eomposés de molécules qui agissent les unes sur les autres. M. Werlheiro prend les formules que cette théorie fournit k M. Cauchy pour les excès des composantes de pression J9x«» etc., sur leurs faieurs primitif es p°c«, etc., quand on tuppote que Finfiuence de» intenntée de jp^xxt etc., «tir [es groMdeun de ce» excè» n*e»tpa» négligeable, c'est-i-dire les formules rapportée» ci -dessus sous le n* (446), p. 654. Il les particularise pour l'isotropie ce qui lui donne les formules (447)

p,«-.|).=(3r.+l».)^ +(C— jpjj^ -H(G— JP.) —, Pfy = etc.

/dv dw\ p,, = (GH.i».)(^- + 5^j. P«=etc.,

qui sont, qotad on fait avec M. Canchy G-fp«£=-A, C — p»=:K, la même

ehoseqoe(448)

A— SK . . tfu . /du dv . dw\ 4 ^ fdv dw\

Or II roa ittppoae A si: K il en résulte

686 SECT. I. RÊSISTAMCE HES SOUKS.

S 63. Expériences sur les viinratûms tounuxnies, — Noos ne dts-

cuteroDs pas longuement, non plus, les preuves qu'on a voulu tirer»

à Tappui de =r = i, on de — = ?« <1^ expériences comparatiTes

eeniéqaence deTUt laquelle M. Weriheim ae recule pu (MMBOîre 4e 4S4S, p. 19; et, aussi, Mémoire sur la torsion, Jnn. de ch. et de jpA.> juin 4857, § VI, p. 945, ou « <le l'extrait). U admet Baême, 4'apréa M. Cancby, les eipreaaions (49) et (96) ci-dessuv (noie du $ 43, p. 568 et 570) des valeurs des prestiona primiliTea et coefficients des formules des pressions ultérieures, savoir

Po=J»"aMr=jSmRrco8«(r,x), G=a*xyy= jSmr»[ — - Jcoa«(r,«) oos*(r,y};

en lorte qne G = — 3ji, lui donne

S«M*( -- - jcoi^r» oo»*r|f=:— 3S«artlcof*rx.

Or, TU Piaotrapie, le aeeond oMnbre eat la mène elioae tfm

— (SmrReoa'rx+Sairlleos^rsr + SwrR coa^rs) = — Smrlt ;

et on obtient une autre Taleur du premier membre de la même équation en obier^ ▼ant que si on déroloppe la seconde des deoi espresaions égdea

Smr>f -- - jr=: Sntr* I — - ) (coa'rar -f oos'ry -f C08*rz)'

Ton a aix fois la somme Smr* i | cos^rx oos*ry plus trois fois la somme

\dr rj

Smr^ ( 'T ' ) ^^^^ <l"i ^ ^^ l® triple, eomme on a tu (note du $ 47 ci dwana).

dans les corps isotropes; ce qui fait 45 fois le même premier membre, en sorte que M. Wertheim change l'équation en

ou, ce qui revient au même, en

£ R__ drr~'

SmrR,

e, en

*ria

i laquelle il remarque qu'on salisAilt en posant

R = ir^ (ou plutdt'R = Cf^'^, C étant une eoaitanle).

Donc, dit-il, la force moléculaire décroU en raiton inverse de la^ fnatorzième ^puissance de la distance; résultat que nous rapportons ici parce que M. Werlbeioa Ta reproduit dans un écrit de 4859.

SMl en était ainsi, la force serait, suivant le signe de C, ou constamment attrac" llve ou constamment répulsive quelle que fftt la distance^ Les ppiiita matéri^

du son rendu par les vibrations longitudinales et par les vibrations tournantes des tiges élastiques soit rondes, soit carrées ou rectangu* laires. Nous avons inséré à ce sujet, le 15 janvier 18/i9, aux comptes rendus de TAcadémie (t. xxviii, p. 69) une note à laquelle M. Wertheim a répondu le 22 du môme mois (td p. 126). Elle donnait les nombres suivants, calcinés avec les formules du $ M ( 4* Appendice, p. 640) au moyen des rapports —, antérieurement obtenus

par divers expérimentateurs entre les nombres r, h' des vibrations des deux espèces :

Tiges rondes, d'après Cliladni^,=: 1,50 0);d'oû?=^^y=2,250

— d*après Savart (*) 1,6668 2,778

— d'aprèsM.Wertheim(<) 1,6309 2,660.

Pour les tiges carrées, M. Wertheim, bien que sachant déjà que nous pensions tout autrement que lui sur les valeurs de - et de

^ , a eu Tobligeance de nous communiquer alors (18&9) des résultats inédits obtenus par lui. QuoiquMl nous ait reproché (^) de nous en être servi pour continuer à combattre son opinion, nous ne pensons pas avoir rien fait alors ni rien faire encore de contraire à une loyale discussion scientifique en les rapportant avec les conséquences que nous en tirons. Voici ces résultats :

Tige carrée de fer ^ = 1,6919, d'où f = 0,84346 ( ^\ 1= 2,414,

/(2. de verre ordinaire 1,6863 2,399,,

Id. de cristal 1,6846 2,394.

s'atUnraleni jusqu'au contact, ou bien se repousaoralent et s'éloigneraient ind^ Animent; il n'j aurait ni état d'équilibre, ni solidité, ni élasticité.

Hais sans aller jusqu'à l'expression R = Cr-^*, il est éyident que déjà l'égalité G =:— 3p« était inadmissible, car le coefficient d'élasticité de glissement ne saurait être proportionnel à la pression — p« antérieure aux déplacements', pression ordinairement nulle et que M. Wertheim supposait telle dans les cas de toutes ses expériences»

(*) Acoustique, $ 86»

(*) Ann, de chimie et de phytique.

(') Idemy 3* série , t. XXV, dernière page de la note sur la torsion des ? erges homogènes.

i*) Comptes rendus, t. XXVni,.p. 4 S6, et Ann. dêch^etéeph., Juin 4 857, p. 4 99.

Nous disions alors que la moyenne de ces six valeurs était

plus rapprochée de - = 2,5 donné par la' théorie moléculaire oo

par Ap = 2K que de ^ = 2,6667 donné par la supposition k=ilL

Bfais, n'attachant pas à une pareille moyenne plus d'importance qu'elle n*en méritait, nous reconnaissions que si Ton rejette le résultat tiré de Texpérience ancienne de Ghiadni, ceux des tiges rondes sont plus favorables au rapport 2,667 de M. Wertheiony tandis que ceux des tiges carrées sont plus favorables au rapport 2,5 de la mécanique moléculaire.

Bl* Wertheim, dans sa réponse du 22 Janvier, confirmait nos cî-

tations, et trouvait ainsi, comme nous, - = 2,4 environ en appli-

quant notre formule ^=: 0,843 (-;] des tiges carrées. Mais il

mettait en doute le coefficient 0,843. Or, en mettant un coefficient moindre, qu'il regardait comme résultant des expériences de tor-

sion de Duleau et de Savart ($ 40), on aurait pour =^ des nombres

encore plus petits, ou plus éloignés de la valeur 2,667 qu'il attribue

à ce rapport

On a v|i d'ailleurs au 4* Appendice, $ 45, que les expériences

récentes et bien plus nombreuses du même savant, de vibrations

de tiges carrées et rectangulaires, s'accordaient assez bien avec

£ notre formule en y faisant y; =r 2,5.

Ainsi, quoique ses cinq expériences nouvelles (même mémoire publié en 1857) sur les tiges cylindriques à base de cercle et à base d'ellipse donnent une moyenne approchant de 2,67, nous pensons qu'on ne peut rien inférer, à l'appui de A;=K, de ces divers résultats, surtout si l'on se reporte à ce que nous avons dit plusieurs fois, de la difficulté d'opérer sur des solides bien isotropes, difficulté qui a paru telle à Savart que, pour ses expériences les plus délicates sur l'équilibre de torsion des tiges rectangulaires, U a cm devoir rejeter les métaux et le verre, et se servir de tiges en plâtre^

malgré le pea d*étendue des déformations qu'on peut faire subir à une pareille matière sans la rompre ou sans altérer sa contexture («)•

S 6&. Considérations 'présentées 'par M, Cauchy en 1851. Elles ne s*appliquent qu^au cas éTune cristallisation régulière, qui exclut risoiropie.—ExsLminoua, avec plus d^étendue, un raisonnement fait par M. Cauchy dans un rapporc du 3 mairs 1851, approbatif des travaux de M. Wertheim et de la recherche expérimentale du quotient de ces deux coefficients A; et K que contiennent les formules d'isotropie (114) déduites par Tillustre analyste, en 1828 (comme nous avons dit au S 51) de sa deuxième hypothèse sur les relations entre les pressions et les dilatations principales dans les corps envisagés comme des masses continues (tome III des Exercices de ma- . thématiques).

M. Cauchy commence par reconnaître que» d'après les formules plus générales données par lui dans le même volume pour les composantes des pressions dans un système de pointe matériels, ce quo-

tient ■=■ (qu'il appelle 8) a nécessairement la valeur 2 lorsque les

pressions étaient nulles dans l'état d'équilibre primitif ou antérieur aux déplacements opérés. Mais, ajoute-t-il, cette remarque, à laquePe il semble au premier abord qu'il n'y a rien à répondre, n'est plus applicable lorsque les molécules, au lieu d'être supposées réduites chacune à un point, sont regardées comme composées de groupe de plusieurs points élémentaires ou atomes. Car alors, ditil, si le corps est un cristal^ les coefficients des déplacements et de leurs dérivées dans les équations d'équilibre intérieur ne sont plus des quantités constantes, mais deviennent des fonctions périodiques dés coordonnées. Or, en traitant ces équations de manière à en obtenir d'autres ne contenant que les valeurs moyennes des déplacements inconnus, c'est-&-dlre, au lieu des déplacements individuels des atomes, ne contenant que les déplacements des centrés de gravité des molécules ou groupes d'atomes, on arrive, quand les pressions primitives sont supposées nulles, à d'autres

(1) Jnn. de ch, H depk,, t. LXI, 4839, p. 373.

090 8BCT. L RÊSISTÂNCB DES SOLIDES.

équations où les 36 coefficients n'ont pas néceasairemeot entre eux les rapports d'égalité qui les réduisent à 15. En sorte que, poormiU M. Gauchy, particularisées pour le cas de risotropiet les équations

contiendraient deux coefficients A: et K dont le quotient == ne serait

pas nécessairement = 3.

Nous avons eu Toccasion de nous entretenir avec M* Gauchy de cette sorte de réfutation qu'il faisait, en 1851, des résultats de ses plus belles recherches de 1828, qui sont relatives à Téquilibre des corps envisagés comme des systèmes de points matériels^ quand on les particularise pour régale contexture en tous sens. Nous pouvons assurer qu'il ne tenait point à son idée nouvelle, et qu'il était prêt à revenir aux formules d'isotropie à un seul coefficient, ou à ib=2K.

Son objection de 1851 tombe en effet d'elle-même lorsqu'on remarque que le raisonnement qu'on vient de rapporter, qui établirait la possibilité, pour des corps non isotropes, d'avoir plus de quinze coefficients distincts afTectant les dérivées du premier ordre des déplacements moyens des groupes, ne s^ appliqué qvCaux corps qui sont régulièrbmbnt cristallisés^ ou (comme M. Gauchy l'avait expliqué dans des communications antérieures auxquelles il se réfère) aux corps à structure périodique^ partageables par trois systèmes de plans parallèles et équidistants en cellules , réticules ou cases dans lesquelles les atomes sont homologuement de même nature et disposés de la même manière. Or Visotropie exclut absolument cette divisibilité régulière, qui rend nécessairement la contexture autre dans les sens obliques que dans les sens parallèles aux côtés des cases parallélipipèdes. L'isotropie n'est compatible qu'avec une cristallisation cor\fuse, ou avec une disposition des molécules oa groupes atomiques suivant toutes sortes de directions ou d'orientations; de sorte que, quelle que soit la direction suivant laquelle on chemine dans un corps qui en est doué, on rencontre moyennement le même nombt^ de molécules tournées de chaque manière.

Nous pourrions nous contenter de cette réponse, et par conséquent ne tenir aucun compte de Tobjection soulevée en 1851 par M. Gauchy, dans un l^enveillant rapport, contre ce qu'il avait si bien établi vingt-quatre ans avant, et démontré môme mieux que Navier et Poisson (S 51 ci-dessus).

APPENDICE y. 691

S 65. Comment la siructwre cristalline ou périodique pourrait altérer un peu lesvingtetune égalités entre les coefficients. Elle ne les altère pas nécessairement. — Mais il convient Ici de faire voir comment la structare cristalline régulière^ qui fait revenir périodiquement, en trois sens, à des points semblables et semblablement environnés lorsqu^on augmente ou diminue leurs cordonnées rectangulaires ou obliques de multiples des dimensions trèè-petites des cases moléculaires, peut être susceptible d'altérer quelquefois les 21 égalités deux à deux entre les 36 coefficients des dilatations et glissements dans les six formules de composantes de pression, et empêcher ainsi leur réduction à 15; puis, démontrer qu*ane pareille altération ne peut pas avoir lieu dans les corps à cristallisation confuse, comme lé verre, les métaux ordinaires, les bois, les pierres à bfttir, et comme doivent être nécessairement les solides supposés isotropes ou d'égale élasticité dans toutes les directions.

Remarquons d*abord que la cristallisation régulière, ou la contexture périodique, n^entratne pas nécessairement cette altération des 21 égalités en question, ou cette augmentation du nombre 15 des coei&cients distincts. Loin de là, cette contexture peut même ren4re mathématiquement rigoureuses les six formules à 15 coefficients (12) p«B=a;ca»5.-h , î)»„~a«yyD«+ , etc., qui, pour

les corps à cristallisation confuse, ne le sont que sensiblement, en ce que dans ces corps les ti^is dilatations d et les trois glissements g ne résultent que de moyennes prises pour un nombre tcès-con* sidérable de couples iholéctilaires.

Qu^on se figure, par exemple, un solide composé d'atotnes disposés par rangées & égale distance suivant trois directions rectangulaires bu obliques (comme dans les a^j6m6/a^^f étudiés par M. Bravai8}(*)« et qu'on supposé dès déplacements n'altérant ni réquidistance ni la rectilinéité dés rangées, en sorte que les atomes voisins occupent, après comme avant les déplacements, les sommets de petits parallélipipèdes tous égaux. Les dilatations d estimées dans trois directions rectangulaires seront partout les ml&mes, quels que sdient leè couples d'atomes dont on se serve pour les calculer fil ëh sera de même des trois glissements g, et les démonstnttions

(^) Joumai de PÉcoie polytechnique, 33* cahier, t. XIX, 4850.

692 8ECT. I. RÉSISTANCE btS SOUDES.

donnéesci-dessus (SS 20 et 21 et note de 23} des formuleB(i2) decompossDtes de pression à 15 coefficient?, réductibles à S (fonn. 9&) quand il y a trois plans de symétrie, subsisteront et seront même alors, comme on vient de dire, tout à fait rigoureuse*^ on n'exi^frront pas qu'on ait substitué des changements moyens d et g aux changements individuels de pr&ndeurs et dUncIinaisons mutuelles des lignes de joncti<m atomiques.

Mais il en sera autrement si, le cristal étant un assemblage de molécules ou groupes atomiques tous semblables et semblable^ ment orientés, le jeu des actions mutuelles y est tel que ces groupes éprouvent des déformations toutes semblables aussi, mais autres que celles de V ensemble des groupes; de sorte que les atomes com* posants ne participent pas* purement et simplement aux mouv^ ments généraux résultant des dilatations d*, dy , d^ , et des glissements gy,, gjc, g«y subis par les lignes de jonction des centres de gravité des groupes. Une pareille supposition se réalisera si, par exemple, une dilatation générale D imprimée dans un sens fait tourner tous les groupes sur eux-mêmes, ou bien amène, dans chacun d'eux, des dilatations d*une autre grandeur ou d*un autre sens ; ou, encore, si les glissements relatifs g des diverses droites et des di* vers plans réticulaires passant par les centres des groupes développent des actions atomiques qui produisent, dans chaque groupe, ou des dilatations, ou bien des glissements d'une autre grandeur.

Dans ce cas-là, comme dans celui de la cristallisation confuse où les groupes moléculaires affectent toutes sortes d'orientations, imaginons que Ton tire, avant les déplacements, une ligne droite dans Tintérieur du corps, et qu'après les déplacements on trace ce qu'elle est devenue^ c'est-à-dire que Ion joigne d'une manière con* tinue la suite des points partageant les distances des atomes voisins dans les mêmes proportions que faisait la droico primitive : on aura une ligne nécessairement ondulée ou festonnée, dont la forme générale sera sensiblement rectiligne, en ce qu'elle oscillera antonr d'une ligne droite ou très-peu courbe , si les dilatations et glissem^ts de l'ensemble sont supposés constants ou peu variables; mais es diverses petites parties de cette ligne ondulée seront des courbes imperceptibles possédant des courbures diverses et très-pronon-

Or l'effet de ces ondulations, quant aux coefficients des formules

APPENDICE y. 693

de composftDtes de pressions» sera difléreDtt selon qu'elles auront une marche irrôgulière ou qu'elles auront une marche régulièrement périodique.

Voyons d*abord comment on le prouve à la manière de M. Cauchy. Mous le prouverons autrement ensuite.

L*éminent analyste se sert d'une méthode employée déjà par lui en 1838 (et auparavant, sous une autre forme, par Navier en 18^1} pour poser directement les équations de VéquUibre intérieur sans ^passer par rétablissement des formules de pression. Pour cela il égale à zéro (comme nous avons dit à la fin du S 30) trois sommes de composantes

des actions R devenues R^, qu'exercent, après les déplacements, sur un seul atome m dont les coordonnées a;, y , z sont devenues x +u, y+Vf 2+t^« les atomes environnants m, m,... qui en étaient à des distances très-petites r devenues r,. En appelant

Au, Av, ^w

les augmentations qu'éprouvent les déplacements u, v, tr, quand on passe du point m au point m, ou quand x. y, z augmentent de

Ùa: = rc08{r,x), Ay = rcos(r,y), àz=rcos(r,«), on a

( r^'^r^tku cosrx+^v cosry+^tc? cosrr;

et, si le rapport -^-^ est très-petit, de manière qu'on puisse en négliger le carré , etc. : •

u en résulte, «nsttbstitnuit, les trois éqoatioiwd'éqatHbresulTantes :

(187) J S«[R+(7^co8rx+^cosry+^coe«).r«-^](co8«+^)=0. Sm [....] ^cosry +—J=0, S>n[ ]fcoi«! + -j^Wo.

Or la sérîe de Taylor à trois yariables donne les développements

' ^ du du du

Au = ^rcosrx+g-rcosry + T-rcosr* +

En substituant dans (137) et développant, on pourra faire passer les dérivées deu.v^w hors des signes S, et négliger les produits de ces dérivées entre elles vu la petitesse de u, v, w. On effacera aussi les termes SmRcosrx, SmRcosry, SmRcosrz qui sont nuls vu quele polDlm était en équilibre avant les déplacements, et Ton pourra el&oer ansBi

tous les termes affectés des dérivées du premier ordra -r- , ^. ... ..

dx'dy^ dv ^ , f car Us auront, pour coefficients, des sommes S contenant

un ou trois cosinus, sommes qui sont nulles comme se composant de termes égaux deux & deux au signe près, en vertu de rhomogénéîté qui produit une distribution égale des atomes de part et d'autre de m sur chaque droite passant par ce point. Si, de plus, on suppose (comme nous avons presque toi]UOurs fait) nulles les pressions avant les déplacements, Il .faut encore supprimer six des termes du second ordre, savoir ceux qui seront aflbctés de sommes telles que SmEcos^rx, SmRcosrycosrs;, contenant deux cosinus, car elles sont nulles alors, d*après ce qu'on a vu à la note du $ 23. Il en résulte trois équations d'équilibre dans lesquelles les termes du second oitlre, «u nombre de dix-huit, ne sont affectés que de sommes à quatre cosinus, au nombre de quinze distinctes; et ces termes sont par suite j^réctsèment les mêmes que ceux des équations qu^on obtient en substi-

tuant lessix formules (12)p.,=:a.«« ^ + ... + a«„ (g+^U...,

Pyy = ..... etc., aussi à quinze coefficients, du cas de w, », w trèspetits, à la place de p««, p^y, etc., dans les trois équatûms diqui-

«6re (38)^ + ^ + ^=0 =^, ... = 0 du $27.

APPENDICE y. 695

Mais ces équations, bornées ainsi au second ordre» qui peuvent être regardées comme exactes quand les déplacements u, t?, w ont une marche simple ou quand leurs dérivées secondes varient fort peu en passant d*un point à un autre, et encore très-suffisamment approchées, comme on va voir, pour les corps homogènes à cristallisation confuse , ne suffisent plus dans le cas supposé de la contexture cristalline régulière, ou de la forme périodiquement ondulée des lignes primitivement droites qui y ont été tirées; et il faut, pour ce cas, dans les développements (138] de Ai/, Àv, tkw^ prendre des termes des ordres supérieurs au second.

Alors, en effet, ce sont seulement les valeurs moyennes, appelées par M. Gaucby

Kl fo» tt^a»

des déplacements t/, v, w dans chaque groupe atoiAique ou dans chaque case moléculaire, qui ont une marche assez simple d*un groupe ft Tautre pour qu*on puisse se contenter de considérer leurs dérivées du premier et du second ordre. Les déplacements réels des atomes individuels ont une marche compliquée; ils se composent i* de ces déplacements moyens, ou des déplacements u», v,, tr. des centres de gravité des groupes, 2* d'une partie 'périodique à trèscourte période ; car en appelant, pour les sens a;, y, ;r,

les dimensions des petites eases (supposées rectangulaires pour fixer les idées), les parties u^-^u.^ i?— v«, %d-:-w^ redeviennent les mêmes, dans une certaine petite étendue, toutes les fois qu^on augmente ou diminue respectivement les coordonnées parallèles k x^ y^ z d'un nombre entier de fois a, b^c.

Alors donc on peut poser, A^ J9, étant des constantes :

2icx 2jcv . ^nz 2icc ^ /iflx w=Uo+-4cos h Bco8-ï^4-Ccos h-^sin f- ... 4--4iC0s hetc

a o c a CL

ou, ce qui revient au même, A, B...... étant d'autres constantes

réelles ou imaginaires :

fit» H» *ic« , «w» fity , ,

-:rv-* -A-*^-» -TT*^^ — ^rv'-* --r-v-i îi=MoH-Ae* +Ite* +Ce'' +A'e * +B'e 4-

>ic«

'^ +C'c +DVff J +etc.

t?=»,+Aje * +f«f u:=tr,+ A^" +....f

Substituant dans les équations (137) après qu^on y aura remplacé LUf Av, iiw par leurs développements infinis (138) on aur», pour le corps cristallisé, trois équations d'équilibre dont les Jtermes seront affectés de sommes de la forme

Smr". g-. cos»'rr.co8»"ry.c08**'rz,

qui servaient déjà de coefficients aux dérivées successives de u, o, w après la substitution de (138) et avant celle de (139). Or M. Gaochj observe que ces coefficients S sont périodiques eux-mêmes, car ils varient quand on promène le point (x, y, z) dans Tintérieur d'one case, et ils reprennent les mêmes valeurs quand on«en sort pour le placer en des points d'autres cases, homologues à son emplacement primitif. Chacun de ces coefficients S est donc exprimable par on développement analogue à ceux (139) djs ii, v, w.

Substituant ces développements, effectuant les multiplications et ordonnant, on pourra égaler à zéro, dans chacune des trois équations d*équilibre, les polynômes affectés d'une même puissance ou d'un même produit de puissances des exponentielles Imaginaires

telles que e a ^ . 11 en résultera une série d'autres équations, entre lesquelles, en les bornant à ce gui réstUte dun nombre déterminé de dérivées^ ou de termes des développements (138), on pourra éliminer toutes les quantités inconnue^, telles que A, B, G, A', ..., A|,..., de manière qu'il reste trois équations ne contenant que les dérivées des dèplacemenis moyens ti«, t?,, tr, des groupes, et où l'on pourra ne conserver, d'après ce qu'on a dit tout à l'heure

de leur marche simple, que les dérivées du second ordre.

dîHt Or, continue U. Cauchy, les coefficients de ces dérivées-^ ,

T^* **** "d^ * '"' "^^ **' °^ ^^^^ P^ 1^ mêmes et n'auront

pas entre eux les mêmes relations d'égalité que quand on peut réduire de prime abord t^ v, tr à leurs moyennes «<•, v«, to^. Donc, dans les formules des six composantes de pression, ces coeffidenta, qui sont les mêmes que dans les trois équations d'équilibre d'un élément, ne se réduisent pas nécessairement de 36 à 15, lorsque le corps est cristallisé ou à structure homogène pértodigue, et que les groupes atomiques, en éprouvant des rotations ou desf déformatioas

autres que celles de Tensemble, engendrent des déplacements atomiques indi?iduels différents de ceux de leurs centres de gravité.

S 66. Autre moyen de se rendre compte de cette même altération^ simplement possible, et de ses limites» Remarque générale sur les produits moyens de quantités périodiques qui ont des moyennes nulles. — Les considérations qu'on vient de présenter sont compliquées. M. Cauchy en a Indiqué l'application à la théorie de la lumière, en réduisant les, termes des expressions (138) de Atz, Au, ^w aux trois premiers ordres de dérivées, comme moyen d'expliquer certains phénomènes qu'offre la propagation des ondes lumineuses dans les cristaux (si la matière éthérée s'y trouve àPétat cristallin^ ce qui est peu probable). Mais, pour représenter par un développement de Taylor le cours d'une ligne ondulée ou festonnée (S précédent), engendrée par des déplacements u^v^wûes points d'une ligne primitivement droite, ou pour obtenir les valeurs de Au, Ào, ^w relatives & un de ses points en fonctions des dérivées de divers ordres de u, Vf 10 pour un autre point qui peut en être séparé par plusieurs ondulations ou sinuosités successives, il faudrait sans doute tenir compte d'un très-grand nombre de termes ou de dérivées.

Nous pouvons arriver à la conclusion de M. Cauchy par une considération plus simple qui offrira en outre l'avantage de porter sur les composantes dépression elles-mêmes, de s'appliquer aux cas où les déplacement sont des grandeurs quelconques, pourvu que les dilatations et glissements généraux D et g qui en résultent soient trèspetits (S 20), et enfin de pouvoir nous donner une idée dû degré de l'altération, probablement faible, et même insensible, que peuvent subir, disons-nous, les 21 égalités entre les 36 coefficients des formules pour les seuls corps régulièrement cristallisés.

Reprenons pour cela, mais avec des développements analytiques empruntés à la note du $ 23 (p. 567 à 570), et en les modifiant convenablement, les raisonnements qui ont été présentés aux JS 20 et 21 d'une manière élémentaire.

Par le point (x, y, z) où nous plaçons le centre de la petite face plane sur laquelle se prend la pression, supposons toigours menées, avant les déplacements , trois droites parallèles aux coordonnées rectangles x, y, z. Elles resteront droites si, le corps étant réguliè-

698 SEGTt !• BÉ8I8TÀIfCB DBS aOUMS.

lièremeot crfstalliflé, les plans qui le divisent en cases moléenlaires identiques sont supposés perpendiculaires aox mêmes coordonnées, car ces droites passeront toujours par des points homologues des diverses cases. Sinon, ces lignes, comme nous avons dit, deviendront ondulées ou oscilleront régulièrement ou lirégnlièronent autour de trois lignes droites

^it Vu ^i« Ce sont les trois angles des directions de ces lignes droites qoi détenninent, dans les corps à cristallisation soit régulière, soit confuse, les trois glissements

g,.=cos(y,.«i), g,. = cos(ari,Xj), g«,=eos(xt,yi);

et ce sont leurs longueurs moyennes, comparées aux longueois primitives, qui déterminent les trois dilatations générales

de la portion de corps solide dont on s^occupe.

Or en considérant, de part et d'autre de la petite ftce où Ton prend la p^ession, les deux atomes m' et m", dont la ligne de Jonction primitive r avait pour projections orthogonales rco8(r,2], rco8(r,y), rco6(r,z), projetons obliquemerU la nouvelle ligne droite de jonction r^ sur les trois directions nouvelles X|, yi, Z|, au moyen des plans pandlèles à y^ et ;E|, à z^t Xj, à x^ et y^, passant par les extrémités de rj, et appelons

les proportions des excès respectifs de ces trois prqjections obliques sur les projections primitives et orthogonales

rcoarXf rcosry, rcosrz.

La ligne r^ est ainsi la diagonale d*un paralléliplpède légèrement obliquangle, dont les trois côtés ont pour longueurs

(i+^'J^'COsrx, (i-^yy)rcosryf (l+<)'z)rcosrz,

et font entre eux des angles presque droits dont les cosinus sont les trois glissements

gysf gMf g«v

Le théorème connu du carré de la diagonale d*un parallélipipède le même que celui de la résultante de trois forces, $ 57 de la note

da Q* 156» p. AôO)» on bien raddltion des cairéi de trois ôqua*» tions comme celies (23) de la note du $ 33 (3* Appendice), donne, pour r^*, la somme des carrés des trois côtés et des trois doubles produits de ceux-ci et des cosinus de leurs angles; d*oA,

en mettant le carré r^^ sous la forme r*( 1 +^^^^\ , développant

et divisant par 2 après avoir retranché 1 des deux membres i

(140) -î — =à',BOOsVa5+D',cos*ry+^',co8V2 +gy«cosryco«r2+

+gMCOsrzcosrx+gcyC06rxco6ry.

Prenons la pression sur Tunité superficielle du plan yiZ^ primitivement perpendiculaire aux x , et estimons-la (parce que c*est ce ce qu*il 7 a de plus simple) suivant les trois directions ,

respectivement perpendiculaires aux yisr^, ^la^n^iVi» faisant par conséquent entre elles trois angles presque droits^ et anec Xp y^^ z^ trois angles très-petits. Nous aurons ainsi, diaprés ce qui a été dit au % 23, p. 563, les mêmes coefficients des dilatations et glissements, dans les composantes de la pression, que si ces composantes étaient prises suivant trois directions rectangulaires et très-peu différentes de x', y', z' ou de Z| , y^, z^^ vu que nous ne nous occupons ici que des termes qui existent seuls lorsque les > pressions primitives sont nulles (S 23).

Désignons par S« la somme des composantes, suivant une direction quelconque, de toutes les actions moléculaires qui s'exercent à travers la petite face primitivement perpendiculaire aux z, rapportée à Tunité de cette petite face y^z^^ ou divisée par sa superficie. Cette somme de termes relatifs aux diverses lignes de Jonction r, de points deux à deux A travers la face, n'est pas de même nature que celles que nous avons appelées S à la note du S 22, et qui étaient relatives à des actions sur un seul point matériel, substituées, comme équivalentes, aux actions entre couples de points divers ; genre de substitution dont nous nous abstenons ici, afin de ne raisonner que sur les forces réellement en Jeu. Nous aurons, R et R| désignant toujours Taction entre deux atomes m\ m" avant et après les déplacements, par unité de masse,

(141) p«w,=sS«m VR|COsr|X', |i«^r=Sym'm'li|00Br|y', p«nr=S,mWRiCOsr|Z^.

700 raCT. I. RÊSISTAHGB DBS SOLIDES.

La projection droite de r|, sur la normale if an plan y,?, , est r^cofir^x'. Gomme elle s*opère par les deux mêmes plans, parallèles à y^z^ et passant par les deux extrémités de r, , que la projection oblique de r^ sur x^, elle est égale à cette dernière projection, que nous avons appelée (!-)-<) c)rcosrx, multipliée par le cosinus de Tangle très-petit de x^ avec rc', cosinus que Ton peut regarder comme égal à Tunité. Donc on a la première des trois expressions suivantes, dont les deux autres s*obtiennent de même :

(142) C08r,x'=^*+=^'^'^'^. cosry=^-i±^»-îr£^, ^ (I40'.)reosrr

Substituant dans (l/il), en ayant égard à ce qu*on a (comme ci*

dessus, form, 136) ~* = - + [r^-^r) t- vu la petitesse de r^—r^ et faisant, pour abréger,

dr on obtient

(143) p,,a:i=sJwWTV+a'^l(i+Dyco8ra;,p,,,j,,=SJ..0(i+ô'»)cosry,

p,n, + S,[.. 3(1 +^ ycosrar.

Mettons pour ^ — sa valeur(lA0)ci*des8as, et effectuons les mul- •

tiplications. Nous pourrons eflkcer, non-seulement les termes contenant des produits de quantités très-petites d ou g entre elles, mais aussi tous les termes contenant R, car les uns, tels que Sxm'm'Hcosrx, représentent les composantes des pressions primitives supposées nulles, et les autres, tels que S«m'm'llcosrx.()'«, sont des sommes de produits, par les quantités très-petites et peu différentes entre elles d'«, de direrses forces parallèles mWRcosrx dont la somme est nulle. Il restera :

p„„=S«^cos*raî.î)'i,+Sjc<^cosra:cos*ry.<)'y + S^cosncos'rz.«)'«+ gy «Sx^cosrxcosry cosrz + gssSx^cos*rxcosrr+g«yS^cosVzcos7y,

(IW) {p«'»i=S,^cos'rxcosry. D'x+Sa^cosVy«<>'y+S«Aco8ryc0BV:r«ô', + gysSa;,^cos*rycosr;r+gMS«^cosrxcos9^cosrz+g«yS«e^{l(K>sr^^

pmnt^^^

Les quantités D «, d'y, d'., supposées légèrement variables d'un couple d'atomes à Tautre, diffèrent extrêmement peu.de leurs moyennes respectives

dà, dy, (^21

qui sont les dilatations généraîes de la petite partie de corps que Ton considère. Si Ton peut les remplacer par ces moyennes, elles passent hors des signes S;^ comme les glissements g; et alors on voit que le coefficient de Dy dans pg„, est bien le même que celui de g^y dans ps;y, ; que le coefficient de gy« dansp«»/ est aussi le même que celui de g„ dansp^^y, etc. ; d*où les 21 égalités deux & deux entre les 36 coefficients des dilatations et glissements D, g, coefficients qui se réduisent bien alors à 15 distincts, comme nous avons dit au S 21.

Or cette substitution, à D'^, D'y, D's. de leurs moyennes D», Dy, D^, est permise lorsque le corps est à cristallisation confuse ou que ses groupes atomiques Imperceptibles sont tournés indifféremment dans toutes les directions sans affecter de régularité ni de périodicité pour aucune. Bn effet, les termes Sg, qui les contiennent sont des sommes d^un nombre extrêmement considérable de produits de quantités telles que Acos*(r,x), ^cos(r,x)cos*(r,y) susceptibles de toutes sortes de grandeurs, par ces quantités y qui sont presque égales ou qui s'écartent très-peu au-dessus et au-dessous de leurs . moyennes d. li n'y a aucune raison, avec la contexture supposée, pour que les écarts d'— d au-dessus correspondent plutôt que les écarts D ^d' au-dessous, ou ceux* cl plutôt que ceux*là, aux valeurs les plus grandes des multiplicateurs AeoB\r,x)^ Aco6(r,a;)cos*(r,y), etc. il doit donc, en vertu de la loi même dos grands nombres, y avoir compensation entre les effets de ces très- petits écarts en deux sens. Ainsi, pour les corps dont nous parlons, comprenant tous les matériaux employés dans les constructions, et aussi nécessairement tous les corps isotropes^ les six composantes de pressions doivent être regardées, avec toute rapproximation que comportent les formules de ce genre, fomme représentées par des expressions telles que (lû/i) avec D», ()y, d, mis pour d'«, D y, <)'«, et en dehors des S«, c'est-à-dire par des expressions comme celles (12) à quinze coefficients a^mirt atMeyy = a^y^y, OtC.

Ce que nous venons de dire revient alors, simpiemeht, avec des

'ni

développements analytiques, aux démonstrations plus élémentaires des SS 20 et 21 du 3* Appendice.

Si, au contraire, le corps est régulièrement cristallisé on à structure périodique, et sHl est supposé de ceux où le jeu de^ aciioms atomiques peut être tel (comme nous avons dit) qu^une dilatation de r ensemble amène ^ dans les petits groupes, des moitrements d^une autre nature , par exemple des rotations toutes ^ales sur eux-mêmes, etc., les projections rc03(r,x). (i+^'x) des lignes r^ de jonction d^atomes deax à deux n*auront pas les mêmes rapports avec leurs valeurs .primitives rcos(r)2;}, pour deux atomes non ho-

mologues m', m", que pour deux atonies f ; t I , I homologues n', n'^ pris dans deux caser

ou groupes ac^ ac; en sorte que c^ « sera tantôt au-dessus, tantôt au-dessous ded«. r Mais, parmi les lignes de jonction m'm' traversant la petite face AMB où se prend la pression, si Ton passe de l'une d*^es« — r, à celles qui en diUèrent trè9i>eu en direction et en grandeur, en la prone- Dftnt à peu près parallèlement à elle-même dans trois sens x, y, z, cette ligne reprendra périodiquement des grandeurs et des directions exactement les mêmes quand nC aora pareom un nombre exact de fois Tune des trois dimensions a, 6, c des cases mMaoe^ laires;d\yù il suit que d'^r, pour ces diverses lignes de jonction m'nif sensiblement parallèles, peut être représentée par la moyenne '^^ plus une fonction périodique des coordonnées de Tatome m'.

Semblable chose peut être dite de chaque quantité telle que ^cos'(r,x)^ ^cos(r,a;)cos*(r,y) ; elle reprendra évidemment les mê^ mes grandeurs quand on passera, d*une case à rautre,à des atomes m\ m" semblablement situés ; en sorte que, pour les diverses lignes r » m W sensiblement ^;ales et parallèles, ou pour toutes les actions R que nous ajoutions ensemble comme égalesf à la note du S 23, en les remplaçant par Taction d^un point matériel unique (auquel nous attribuions la maste de toute la matière contenue dans un cylindre oblique), on voitque chacunedôces quantités ^C06^r,a;), ^cos(r,x)c6s*(r9y)i etc., est aussi égalé à une certaine . valeur moyenne plus une fonction périodique des coordonnées de m'. Chaque terme tel que ScJB4X)6'(r,x]; d'« peut ainsi être regarda

APPENDICE y. 703

commeunesommedeprodultsbiDairesdecertainesvaleursfnoyeiines augmentées de fonctions variant et s^annulant pôriodiqnement.

Or le produit de deux fonctions périodiques, si elles sont de même période, peut avoir une moyenne différente de zéro, quoique chacune d*elles oscille autour de zéro et ait une moyenne nulle (^). Les termes tels que S:r^cos'(r,x).<)«, S«^cos(r,a;;cosVr,y).D'y, etc., dans les corps régulièrement cristallisés^ pourront donc différer de D* • S«^co8'{r,x), Dy . S^cos(r,x)cos«(r,y), etc.

Les fonctions périodiques à ajouter aux moyennes d. (par exempie) pour avoir lesd'« dépendront nécessairement du mode de déformation qu'a subi le corps, c'est-À-dire des trois dilatations <)«, dy , Ds et des trois glissements gy„ g«x9 gcf qui y ont été produits. Le terme Sa^cos'(r,x).d«, transformé en mettant à la place desd'* leurs valeurs, pourra donc fournir six termes affectés respectivement des trois dilatations d et des trois glissements g.

Il en sera de môme des autres termes contenant les y ou les

(*) C'etl ce dont on peol so rendre compte géométriquement si l'on suppose i par eiemple, que ce tont des fonclioAs d'une seule variable , en la prenant pour abscisse, et en traçant les deux courbes sinueuses dont les ordonnées sont ces fonctions périodiques. La moyenne des ordonnées seranulle pour chacune des deux courbes puisqu'elles prennent, dans chaque demi- période, des valeurs égtlés et de signe contraire aux râleurs qu'elles ma eues dans la demi-période précédente. Mais il n'en sera pas de même pour ^p troisième courl>e qu'on tracerait atec des or« données proportionnelles aux ^oduiU de celles des deux autres pour même abscisse, car les ordonnées négatires multipliées entre elles donneroiit des pro-s duits politifs tont comme les ordonnées positives ; en sorte que, généralement ^ la somme, on la moyenne de ces produits de quantités de même période, de sera pas thro.

On s'en rend eompta, aussi, analytiquement en remarqnant que la moyenne

-\ cos — «rt^T— ^'«^^ — •": — 7^1 acos— sin--— -6sin — eos-;-| CJ a 6 Scie a^-**\ ah ah)

dès graildeurs des produits des deux quantités périodiques cos , cos ---, pour

tlne étendue c, eit nulle si les périodes a, h sont différentes entre elles et si c est

a h Un miilttple à la fois de a et de (, ou seulement de-, - supposés commensura-

bics ; en aorte qtàe, m tin étant deux nombres entiers, on ait c = -— - = v ^ ^

a h fainnt aussi la remàtque que si -, ^ sont inoonmensorabies , on peut toujours

atténuer indéflpiaênt It grandeur absolue de cette mène moyenne en prenant e sufisammont grandi puisque la pareathèso ne pent derenir pins grande qw a-^h

7M SBCT. I. RÊSISTAKCë 0£S M)L1D£S.

allongements subis par les projections des diverses distances moléculaires individuelles r; en sorte qu'en réunissant ensemble ce qui sera afTecté de chaque dilatation d et de chaque glissement g, les 36 coefficients par lesquels ces dernières quantités se troaveront multipliées dans les six formules de composantes de pression n*aiiront pas entre eux les mêmes relations que lorsque les d' peuvent être remplacés par les d correspondants.

Il est donc bien vrai que, dans les corps régulièrement cristallisés, ou plutôt dans quelques-uns de ces corps, savoir ceux où les groupes atomiques ne participent pas purement et simplement aux déformations générales imprimées & leur ensemble» ces trente-six coefficients pourront n'avoir pas entre eux les vingt et une égalités qui les réduisent à quinze distincts dans les autres corps.

S 61, ValiératùmdesvingleturœégaliléfenireUscoejffîcienUfSi elh a lieu^ doit être insensible. — Mais maintenant, je le demande, ces égalités entre les coefficients pourront-elles être jamais considérablement altérées, de manière, par exemple, que le coefficient de dy danspcc devienne double de celui de g«y dans p^y, au lieu de lui être égal?

Bien que tout soit {nconnu dans le jeu des forces atomiques, nous sommes persuadé que personne ne le croira.

ni plat petite que ^ a — fr ; mais que li a = 6 ou «• lu pèrioda «ouf Uê tmétmM; on a. pour la moyaDiie, la valeur finie

cot* di;=-.-= -,

f, X linasootou?

ce qui vient de ce que l'intégrale ^dx coi* ou; = ^ H ^ f- couUBtt

contient une partie non périodique -.

Si les deui quantité* dont les moyennes sont nulles oscillent autour de léro irrégulièrement et non pas réguUèrement ou périodiquement^ leur produit aura aussi léro pour moyenne, en la prenant sur une étendue suflisamment grande, car les oscMlations de ces quantités ne sont point concordantes ; et Von suppose que leurs grandeurs, répondant aux mêmes valeurs de la yariable doint elles dépendent, ne sont ni plus ni moins souTeot de même signe que de signe contraire, en sorie qu'il doit arrJTer ici, à fortiori^ ce qui arrive lorsqu'il y a oscillation par périodes régulières inégales. C'est le cas des corps i crisUlli«ation confuse, oà l'on peut, comme noua avons dit, remplacer les d' par leurs valeurs moyennes D avec toute rapproximation que comporte le genre de calcul qui nous occupe.

Ai»PBMDIGE T. 70S

Si Ton fait SQbir à une portion de corps cristallisé une certaine déformation, c'est-à-dire si l^on imprime à son ensemble certaines dilatations et certains glissements, peut-on imaginer que les grou* pes atomiques, qui sont unis les uns aux autres latéralement, prennent jamais des déformations particulières très-sensiblement différentes de celle de Tensemble? Nous ne pouvons le pensQr.

Et si les petites dlflTérences entre les déformations particulières et la déformation générale font osciller périodiquement les valeurs de certaines quantités autour de leurs moyennes, est-il supposable que les concordances possibles des signes de leurs écarts (note du S précédent) suffisent jamais pour rendre les valeurs moyennes de leurs produits très-sensiblement plus grandes ou plus petites que les produits de leurs valeurs moyennes? Nous ne le croyons pas non plus, et, pour peu qu'on y réfléchisse, il nous semble que tout le monde verra de même, quoiqu'on n'ait aucune donnée sur Tintensité des causes qui peuvent influer à cet égard.

Aussi M. Poisson, qui le premier, en 1828, avait présenté (conltae on a dit au S 64) des formules à 36 coefficients sans se livrer alors* à aucune recherche des expressions de ceux-ci, a réduit^ depuis^ le nombre de ces coefficients à 16 distincts^ même pour les corps cristallisés, dans son dernier mémoire relatif spécialement & ces sortes de* corps 0), et il a admis ainsi, pour tous, les 21 égalités de ces coefficients denx à deux.

Si ces 21 égalités peuvent être altérées par tes raisons tirées de la périodicité et signalées par M. Gauçhy, nous pensons donc que cela doit être de peu de chose, et dans des proportions ordinairement négligeables.

S 68. Cette altération ne regarde pas^ en tous cas, les corps à crisfallisation confuse. — Et, si elle existe, cette altération ne peut regarder que certains cristaux réguliers. Elle n*est jamais relative aux corps à cristallisation conruse, comme sont tous les matériaux de construction , et comme sont aussi tous les corps isotropes ($$ 6A, 66). Il n'y a donc aucune raison de changer les for-

(t) MAaoiret d«l'taidtat, t. XVm (4839), art. 36; 37.