I. 4ft

796 SEGT. I. BÉSISTAMeB M8 SOLIDES.

mules trouYées depuis ua tiers de aièele pwr les ptossiOBS iUfts

ces sortes de eerps»

S 69. Opinion^ sur ce sujet, de divers Savants de V Angleterre et de r Allemagne.^ VAippen^CQ complémentaire ci-sq[>rès sera consacré en partie à analyser les travaux récemment venus à noftre connaîfisance, de plusieurs célèbres géomètres- physiciens de ces deux pays, sur la théorie qui nous occupé, l^ous devons, en attendant, examiher et discuter ici ce (Juë nous y avoûs trouva de relatif au strjët du présent appendido, ô^eât-à-dire au iiombre des coeticients réellement distincts et inégaux a^cc, ...ày.y., etc., des formules (12}, etc., des pressions produites dans lin corps par des déformatiôtis ^^ ..gys... subies à piHîr de Pétàt dit naturel ($$ 20, ^, &Ô}» od il n*y avait aucune pression. Nous le ferons dans ce $ et dans les quatre suivants avec Tatteniion que méritent leurs importants travaux où ils traitent les questions d'une manière large en y appliquant avec avantage les méthodes de la Mé(;anique analytique de Làgràftge, dont on ne s'étaft point seHr! en Ft^ance dëptils qaêN&viét les 8 èiirployêès aVè6 ^dbcès h sa brfllanté et si ntflé dêcdtltertâ dé la tHêOMé de Pélàstiefté.

Lé deitilêi' qdi dit écrit, le èavànt M. Netimàâà, de Ëalle ('), se ptx>nonce, feomme ndu^^ pour tti tiéwciioh dès coefftdienh clû ntomâiv vtorftbte: Sbtt Jttialyse, bien tjué différente de ceUës' de Cauchy et de Poisson, se base en effet de méfitiê sbi' h loi ptitsiqdd des aciiofis réciproques entré iâoléeUIes stLiVatit iMTi t%ties âe joBetlen^ d'où les fuift» eoeffitienU ê^ulénmii^êB là fc^Mftë (S^

I j^Twr* -T- cos*(r, x), etc., ci-dessus (p. 570), si on la cïévéîop^

pour le cas général d'une contexture quelconque (Voyez app. sapj^, SS SA, 85), et un seul coefficient pour le cas d'isotropie considéré par M. Neumann, outre la pression (p. ci-dessus, g 26, p. 583), qu'il suppose exister antérieurement aux déplacements relatifs des points (*). C'est à la même conclusion qu'était arrivé M. Haughton, de V^'-

i}) Zur Théorie der Elasliciiàt, au Journal de Crelle^ t. 67, 4' lÎTraison, 4860.

(*) Daoê lei rormulës (Tisotropie auxquelles arrive M. MeumauD au § 7 ou i la

fia de rart. 4«' de soq Mémoire, et qu^il dit irèa-bien être i idenUques à wUw te

kpnntndË i. 707

mûf dfttfâf «M pfeiiiiér «t phiê bttàil mémitëi \û lé M ttM iSW f«), od 11 fondé rétabliâi^ttient déd éCftiatlofi» d'éqtillibfè et dé ffiOttVé^ ment Jntérietir et par siUté leë loië dé lA pfopsgtttioii de U luimlèfiè sur le calcul des attractious^t répulsions mutuelles dés poïûtn Itlft*-

térieis Émitam lëtifs liguer dé Joftdtiofi, Méti «ittll ait dana tit autre travail i dd 8 Janvier 1849, «ru potmt concéder fl dètiifc llludtfea eompatriote» qti'on peut établir \eê éqtiatkMa • ëaoé faire aucune restriction jmr la tiattiré dé raétiôfl lâélééiflaifô ir, et divisé énsdftè les fnilieiix en trois groupés, dont lès dent premiers scmt paréitiëtit Idéant, et le troislèftié, sédl réet^ est préclséinént ««dut qu'il avait considéré à son précédent mémoire (*}.

(Test aussi sur le calcd des actions entré moléctilés Hoivënî Mm ligues de jcmdtioti, qdé M/OlébsOh a fbddé sa belle théMe âéS mitiêust qui polarUtmî cittalah^einent ("), blet qu'il ait cf tt dèfvotr ensuite, dans son traité classique de Télastlcité déS corps SÊfllddSv

■*i ■ .1 I fil

i^oisâon » (âé 4é<d, (I. Èi tffi i¥ eàhtdf de l'ÉC. (ml., et nm âé h^ té èdéill-

oient propraBitfiri dH «M ap^M 9A9 M 9K déttg&tf te prgnimi atièrieaM ttft

déplacomenlB ; consUoles qut PoistOD défigne par A et K^ et Cauchy par

RAsn -~ — - et QAsx ■■« j- > La S* partie de oe l^u iraratl n'Sit nialiV^

<|U*èr«lalH4«eai«ntSé tormutei àptfKsÉbtes I dM tffiléiBM ipWtMnqtfe* ds ièST»' dooBées.

(^) On 1A« Équilibrium and Motion of ioUd a$td fluid Bodiet; au vol. Xll dÀ TraDsaclioDi or the Royal Irisb Acadetny, p. 451.

(*) CM» a e!a«fi/lni<fMi ef ËUMit Media, léetot vol. IXIt. L« premier dii Croii groupes se compose de ces fluides dits parfaits^ i pressioas eiclosiTemeot oormales et égales ea tout sens, ou sans aucun frottement^ qui ont fait, on peut le dire, Id désespoir de d'AlcmberC el d'Ëuler qaand il» dn( VauJu éxHiq^et fi tèftitlanee des fliMes (v<^. Gompiea rendus, 46 férrief KWt^ l. XXIV, p. 1l43}| ^ second, encore plus imaginaire s'il est possible, se composerait de milieux « oA les actions moléculaires produiraient dei forces exctmfvefneîit lan^enttellèi i\ tel refrréseiirAtlOnir ^uè a. Konglrtoii Mt k H. Mae-Cdlitgh VSts Ht •• de Oe «MMM montreraient qu'il -ne eroit guère è leur possibilité. Reste donc le groupe des corps ou des milieux < dont les molécules s'attirent et i>e repoussent. •

(') Théorie der circutarpolarisirenden Medien, (Journal de Grelle^ 57* Tol*, 4* liTraison].

On peut encore citer au nombre des travaux traités au même point de Tue plusieurs mémoires de M. Brlol sur la lumière, qui ne sont encore connus que pft^ de courts extraits (Comptes rendus^ 4859, 4860, 4864, t. XLIX, p. 888; L, p. 444 ; UI^ p. 393). Le sarani Maître de conrérences particularise, même, la forme de la fonction qui représente l'action moléculaire, en la supposant pi oportionoelle I une puissance négative des diétanees^ mais on peut arriver aux rnOmes résultats sans liére hypothèse, qu'il lui sera Jifncilé de faire accepier.

cette dernière

708 SEGT. I. Bt^STARCB DES aOUDES.

alsser arbitraire le rapport des deux élasticités d^extensioa et de glissement de manière à s'accommoder à toutes les opinioDS, almi que nous faisons nous-mêmes quand U n*y a pas nécessité de iioas prononcer (•). •

On peut également citer M. dausius, Téminent professeur de récole polytechnique de Zurich (*) , au nombre de ceux qui trouvent parfaitement exactes les formules à un seul coefficient da cas d^isotropie, pour représenter les relations entre les actions et les déplacements ou déformations qu^elles produisent i$nmédiaiement, bien qu'il ait adopté Tavis de les modifier si on veut les rendre applicables aux effets de cette aciion élastique uUérieure (elastischo nachwirkung), observée par M. Weber sur les fils de soie pendant une durée de vingt-quatre heures, et que M. Glanslus croit entrer en jeu pour les métaux, etc., pendant des temps bien plus courts (Voyez S ''*)•

Tous les savants étrangers que nous avons encore à citer reconnaissent, comme ceux-ci, et sans exception, qu'il ne doit y avoir que quinze coefficients pour (e cas général et qu'un seul pour la contexture isotrope dès qu'on réduit les farces intérieures à des actions réciproques s^ exerçant entre -points matériels suivant leurs

lignes de jonction deux à deux Et, néanmoins, la plupart se

rangent à Tavis exprimé pour la première fois par George Grées, qui porte ces coefficients à vingt et un dans le cas général, d*où encore deux dans le cas de IMsotropIe.

Cette vue de Green constitue une troisième origine (SS 50 et hh) de Topinion qui domine aujourd'hui et que nous combattons.

C'est en 1837 (*) et en 1839 (^) que Tillustre physicien anglais a énoncé cette opinion alors nouvelle, dans ses deux célèlx'es mémoires sur la lumière, où il la considère, ainsi qu'avait fait Gauchy, comme propagée par les petits mouvements du milieu éthéré supposé vibrer à la manière d'un solide élastique de' contexture iso-

(>) Théorie der ElastScitlt feiter KSrper. Carlinibe, 1868. t (*j Vêber die reronderungen.,. Sur les cbaDgemenU qui sont derenus nécd* uires, etc. Aon. de PoggeodoiiT, vol. LXXVI, p. 46.

(>) Od the Laws of the Refleiion and Refraciion of Light (Ttaauetioos of tha Cambridge philosophieal Societf, vol. VU, part. I^ 4S39).

(«) On the Propagation of Ugbt in erjstaUiied Media, id., part II, 4844 .

APPSSDIGE ▼• 109

trope dans Tair ou le verre non comprimé, et hétôrotrope dans les corps transparents. qui produisent la double réfraction. L*analyse avait montré à Cauchy (*) que tout ébranlement se décompose en trois systèmes d'ondes se propageant parallèlement avec des vitesses différentes, et où les mouvements moléculaires vibratoires sont gé-

néralement, à Pintérieur de ces derniers corps, un peu obliques à la direction de propagation, ce qui n*empôche point, moyennant certaines relations nullement improbables entre les coefficients, les rayons de pouvoir y suivre exactement les directions indiquées par la surface courbe d'onde du quatrième degré dont la décou* verte est due au génie de Fresnel. C'est, d'après la même analyse, seulement à Témergence dans Tair que, par suite de nouvelles décompositions, les vibrations deviennent les unes exactement transversales, les autres exactement longitudinales; et Cauchy explique Tinvisibillté du troisième rayon (auquel les mouvements étaient, avant, presque parallèles, tandis qu'ils étaient presque perpendiculaires aux deux autres) par la trop faible proportion qu'il donne alors de vibrations transversales de l'étber, les seules qui soient perceptibles à Forgane de la vue, de même que l'organe de l'ouïe ne perçoit que les vibrations longitudinales de l'air.

Green ne se trouvant point satisfait apparemment par ces résultats que fournissent les formules à un seul coefficient pour les milieux isotropes et à quinze au plus pour les autres, mais attribuant néanmoins toijgours la propagation de la lumière aux attractions et répulsions mutuelles des particules de l'éther, avança que Pbypotbèse « des actions entre leurs points suivant les directions des lignes de jonction de ceux-ci », faite par Cauchy, était trop restrictive; et, vu notre ignorance complète de la véritable loi, il « choisit, pour base de son raisonnement », un principe plus général ainsi énoncé : « De quelque manière que les parties d'un système matériel agissent les unes sur les autres, si l'on multiplie toutes les forces s'exerçant ainsi à son intérieur par les éléments de leurs directions respectives, la somme totale des produits, pour une portion déterminée quelconque de la masse, est toujours une

(') Exercices de maUiéiDiliquef, A* aanée (4830), p. 49-7S. Et BoUelfn-Fèrufiae, UXOI,ii*S47, p.44|.

719 8ECT. i. BiSlISfaNBi iW aOUDBS.

dlffldpwittoU» WMto de i|aelitii« fonetio» {«)• • fi fMe «aiMliliiB o*^toit pas ramplto» 4ii>-U pl(i« loio (*)• te mouromanl punWHiwi NTftit pofsibto (VoyM iû-<tprè#, { 70) ; or npus avpbs, aû»ttAy&4'il« tont^ Mu«09 d4 p^mm que las fonie« de U OAtom «pot diqKwta du miipière à l# intudi^ ImpoMible,

1|*|0 Qrepa Dd ^e hprpp point à cAtte hypotb^tOt mi ^ ee i^iaaipt 'Ifttti eo pffot ost insiiffîwnl ) Dune voit mèoio point qu*U r«ipriiii€ aMlytiquamopt conforménuMit k 900 éooiioâ, oar U n'ept f «wfitiQnt iva» mn «énoiro» ni dni aottopi indiriduellas doi patUhuIm» ni 4i tair» di>«e^m#, qu'il n déciaré, do prlm^abord, ignonsr pon^ piétemonl» Faisant donc 3ttecéder, comme il arrive toujoon» le dof matjffine an doute sfetématiquemen^ embracné» il admet que la fooetioQ inoonnue dont il a parlé» ou plutôt aon intégMle antre te limitée dee petites défonnatiooe éprouféea par un élitoent q^^ penque du milieu, dépend dns troia aUengemeota suWe par lei ofttéa de oet élément aupposé de tonne parallélipipMe priiqitlveF ment rectenile, et dea Ireia opainua dea anglea légèvemeot aigni en obtua quelle forment meintenaat entre eux* e'eatrArdlpe préei' sémept dea ebi quantitée que noqa avena appeléea

Otet ^1/9 t'i» ?»«» Ç»«» ?iry»

parée qu'il eut évident que oette fonetien nestarala mène (■) ai Im eôtéa et lea englea du parallélipipède ne ebangent plue. iSn outre, et ee qui eat bien neina évident, il suppoae que eette quantité f (epfMiée par lui pal^nOaHe danad'autres mémoiaes» eemmeendiFa nu fiSff , êii développablê en une êtdtê oonvergmitê dâ foneiions homogènes ékê dk^rés mtiem t , â , 3 , ete., dea lix variablea dont elle dépend et que noua venons de dénommer. Il supprime lea puissiuicea et produit? dp 0v degré k cause de la petitesse de ees variablea, mais il ponaeave eemi du ^ parée quf 1 trouve que la semme des veleuiv, pour tout le corps» de la partie aflfeetée des premiènes pulnanees, doit étve nulle d|uis le eas oà Tou part d'un état d'équilibre naturai en sans pressions* La quantité ip se trouve ainsi réduite, dans es

(>) 4* mémoire, p. 4.

(') Idsm» P- 4t «a bBf.

(») 1" mémoire, p. 5, et 2', p, 124.

àBVUMWCfi W. 711

riablesd«, g^y.

Qette fonetien a 9i termes (6 aflfectés des carrés, 15 des pro- Mis deax à deui], et par ceaséquent vm^{ et un coefficients ; et ces coefficients sont préelsémeot ceux qai dohrent entrer dans ies six fomnles des composantes de pression ainsi que dans ies équations diffêrentieiles de l*éqaiiibre, car on les tire de cette fonction f traitée de cortaines manières (comme on verra $$ 70, SA).

Or, iorsqu^on dispose ainsi de vingt et un coefficients réputés inégaux ou indépendants, on se trouve à l*aise et l^on peut obtenir (on le conçoit), bien des résultats et bien des explications où Ton ne pouvait arriver avec quinze. Le premier usage qu'A fait de cette latitude, pour les milieux isotropes, où les Si se réduisent à deux, proportionnels respectivement aux carrés des vitesses de propaga^tion des vibrations longitudinales et des vibrations transversales, est de supposer extrêmement considérable et comme infini le rapport du premier au second (*), afin de réduire presque à rien (faute de pouvoir l'annuler ), la proportion de lumière ou de vibrations transversales fournie par le rayon à vibrations longitudinales ou non éclairantes après qu^une nouvelle réft-action l'a modifié. Quant aux milieux bétérotropes de lintérieur des cristaux, Green, tout en reconnaissant très-bien que les vibrations peuvent y être oblique», non-seulement aux rayons mais même aux ondes planes qui les en- ^4;r^ ffr la subite des Intersections de ienrç pljsuas, maja ayant f *i^tencion dç tenir coippte an^ de diverse;^ ^i^res don^vê^, telles ^dii^e Jes pressions antérfei^res qui doi^yent six constantes de l^us, jetCy se ^^sti^int, dit-il ('], pour j^ pasf s^ng^er dans .d^ ^culs trop co^pUqués ejt sans chances d'èU« aj^pUcables^ ^ )a «^jqJe considération ^ pes n^euic dan^ le^quelle^ les yibratioi^s .ç^feraient au principe fpndapBnta^vamsé par ^^resne), p'est-^- /life iexicuteraisnt exqcfemenf (aceurately^ rigoixwudy)» d^in^ fe pfan ifiêmfi 4es ,oii(jl^

Cette condition, analytiquement exprimée, exige, entre les vingt

(1) 4*' mémoire^ p. î.

(^ %• mémoire^ Propagatfon in crjuUlfised Media^ p. 4.

712 SEGT. I. KÊSISTANGE DES SOLIDES.

et un coefficients, quatorze relations {% comme nous Yerrone ploi loin.

Les vues de Green devaient plaire généralement 4ux nmdyrtef , car non-seulement elles paraissent, au premier abord, réduire Nétablissement de la théorie de rélasticité à une affaire de pure analyse sans rinvocation d^ancune loi physique» mais encore, on remarque que la plupart des conséquences qu^on tire des formules à 21 coefficients n'ont pas plus de complication que celles qu'on tire des formules à 15, en sorte que, dans Tintérèt de la branche d'analyse qui se trouve liée à la théorie en question et qui pourra trouver d'autres usages, il pouvait paraître convenable de conserver ordinairement, Jusqu'aux applications, ces 21 coefficients de Green.

Aussi ces vues ont été adoptées par beaucoup de savants, et des plus éminents, dont plusieurs ont cherché à les étayer de diverses raisons puisées dans les faits.

Avant de les discuter (ce que nous ferons aux $$ 71, 72), nous allons exposer un point qui, dans les considérations de Green, parait définitivement acquis à la science , et de nature à être admis par tout le monde sans contestation, savoir cette réduction nécessaire, à 21 au plus, du nombre des coefficients, ne s'opposant nullement à la réduction plus considérable (à 15), basée sur les autres motifs exposés S 21 et note du S 23.

S 70. Preuve donnée par MM. Green^ Thomson^ Kirchhoff^ de la nécessité de réduire, à vingt et un au plus y les trenie^six cùeffidents 9Lxx XX t etc., des formules dépressions et des équations d'équilibre.— Les composantes p,,, ... p^y sont les dérivées partielles d^une même fonction par rapport aux dilatations et glissements

d«, gry. — Soit un petit élément parai iélipipède primitivement

rectangle et ayant ses cô^ parallèles aux x, ^, 2. Les pressions agissant sur ses six faces ont produit, en changeant légèrement sa forme, un travail mécanique qui doit nécessairement être fonction

(^) Celte aDalyie est analogue i celle qui a été donuée par H. Lamé en 4852 (Leçons fur l'élaaUcilé, §§ 93 et 93) ; seulement, le Géomètre françaii exige 94 relaiioni comme condition de biréfringence aTec vibrations eiacieraent transfarsaies dans le crlsul comme dans l'air parce qu'il suppose 36 coefScients indépendants au lieu de %\ .

des changements de grandeur et d'inclinaison des côtés, c'est-à^lire des dilatations et glissements éprouvés. On peut donc, en appelant 4» ce travail par unité du volume de Télément, et 7 la caractéristique d*une fonction (quf n'est autre que celle que Green désigne par la m$me lettre)

(iÛ5) * = ? Pa,', ^y,^Mf gy. , g«, gwyh

Si Ton n*accordait pas cela, ou si Ton regardait le travail comme dépendant encore d'autre chose, par exemple de Tordre dans lequel les six (jéformations partielles D, g, ont été imprimées, ce serait admettre qu'en ramenant Télément d'une autre manière (ou dans un ordre non exactement inverse) à sa forme et à ses dimensions primitives, il en résulterait un travail non égal et con- ' traire , et qu*on pourrait par conséquent, à Taide d'un corps compressible et extensible, créer de toutes pièces du travail sans consommation de moteur ou de chaleur; ce qui serait bien, suivant la remarque de Green , la possibilité du mouvement perpétuel^ ou la négation du principe de transmission du travail et des puissances vives (*).

Or soient

les longueurs primitives des côtés très-petits de l'élément dans les sens X, y, 2. Supposons que la dilatation d. déjà subie par le côté z, par exemple, vienne à prendre un accroissement infiniment petit

les deux faces opposées et égales xy s'éloignent de

et les composantes normales de pression p„ exercées par la ma-< tière environnante sur l'unité de ces faces :y produisent un travail

xyp». zdb^^

ce qui, par unité du volume xyz, fait

{}) Ce D'eti pai le lieu d'examiner fi ee grand prfncipe lai*mènie, on celai des vitestes vinuellea, peal te démontrer autrement, pour un eorpt ou un ly^lème, qu'en Invoquant la loi des aeiions mutuelles entre points matériels suiTant leurs lignes de jonction deux à deux.

714 SEGT. I. BÊSISTAIUQK DES SOLIDES.

mn^ l^y ylQQt ^ wgmepter de

te tomiMMMite l;|D8eati6UA ii., mit Fiuiité de Taotre liMa xy pm-

duit un travail

eu* zdg^y 6s( ce dont s*accrott le cheminement de cette deuxième

f^f^ ou son glissement devant rautrç dans un sens parallèle ^x y ou ^ la composfiQte p,,. Quant 4 te coiQposante jyp^^ sur ^ première fape xy, ejle n*^ pro4uit ^ucuq trayail puisque cette face pe s*est pas déplacée; et 11 ei^ est de ffième des composantes zxp^^ qui s'exerpeot dans )e seo^ z sur les 4(îux face§ adjacent^ i^, car ^pe9 fapeSf qui oq|; légèrement Ijourné autour de leurs arèt^ss j. d*isl^rsfecUoo avec les faces .xy » n'ont pris ^ucun piouveffi^i^lt dans le sens z qui est celu de (:es dejux composantes; en sorte <^u^ te ^vail total des composantes ayant Tintensité p«y =Py» par }iuit6 superficielle des quatre faces, est pour Tunité du volume xyz de J'i^ipent :

Bt Pon aurait la même eliose ri la première faoe xy» aa Uea ée rester fixe, avait Ce^raé autour d^une arête x d*un petit ^ugte é^ portion de dgy, , car la faœ adjacente n'aurait teurné %q« é» Tantre

portion dg^'= dg^» --dg'^ ce qui aurait donné, de la part des composantes de pression s*exerçant dans le sens y sur les faces xy perpendiculaires aux z, et dans le sens z sur les faces zx perp^~ diculaires aux y, un travail total

Xjp,y . ttïg" + aPvM . y dg' œ XyX . Py^gyx

qui, divisé par le volume, donne toujours Py^dgyt.

En évaluant de même te travail des autres composantes, puis ajoutant, Ton obtient pour raAcrQi;5;sej9aez)|t ipfinime^l; p^t tol^il à^ travail ^, dû aux accroissements des trois dilatations et des trois glissements, Texpression

(146) d<I»=p,xdD.4-pyyC©y4-p«(0. + Pv«<igy»4-p.*dg,«H-p^(fgi, (*)• (1) On arriTO encore i ceHe expresflon en optnaA à ffm fii»«9PHtf It^'^

Or nous venoQS de voir que ^ (3st, comme les composantes Pxx9 ••• Pxy» une fonction 9 des six variables Us, .... g^y. Z^j rà^ composantes de pression sont donc les dérivées partielles, par rapport aux dilqiaiionfi et glissements de mêmes directions , d'urie

M. I^fqaé, au $ 38, p» 80, 49 ses teçom (4858) pour lémoDlrer afi théoréai^ de M. ClapeyroB. Ajouloot eosemble, en effet, les trois équations d'équilibre indéfl-

atos(38)^ ^^ + ^ :=::fi, .... = 0, .... = 0, «MiltipUéM rtspecti. ^x dy dz

Tement par €», tv, ôto représentant des portions infiniaient petites des déplace-

fimntf aMppotéfi tr^-peilts u, r, w d'un point quoteopqi^, pui« ipul^ipUoos par

d^dydsi et }B|éj(rpos poi^jr tout le corps élastique om pour une por^ofi déjb^j^ip^

de ce corps. Le terme à \ \ -j^ àu49dy4x dovieodra, ep faisait rip0gr«tfP9 iHf

parties et désigono^ pir les aoceniuaMoBi ' e| " lef retours ^9P ei âe 11 aux extrémités d'une parallèle aux x traversant toute cette portion :

rfy*r(p"««W - f^'xxWO - Ç ^ ^ >*** 7^ ^'^y^'-

jjj ^^

Or le premier terme lyftont^copime on |ait| et cpmme d'ailleurs op le démontrera an $84, i \ (fÛGos(n, x)psafiu, si dû est un élément de la sorfaoe-enTeloppe û

du corps, à laj)i|elle Tintégrale ^ eêt eotléremept étendue, et §1 n p«t la direction de la normale i cet éléroepf , ipenée constamment du côté du dehofs ; U n'est autre chose que le travail des composantes pg^e des pressions extérieures sur cette surrace enveloppe, pour les petites portions» 6i« des déplacements «. pt le second terme revient, en transposant les caractéristiques 4 oi S| i

— \ \ \ dxdydzps^^ .

I^s ip^fjitions pajr p^rM^s 4es autres termes de Téqua^on totale donneront j)'9u)res portions d^ trfvail def forcer extérieures sur la surface, et des termes, pp do méipe formç que cflui que nous venons d'o|)tenir, ou de cette autre Torme

— \ V \ dxdydzpy/— + —J = - \ \ V'*?rfyrf«P»«««f*.

Le tout (^lapt égal ^ 1^0, op p, piwr riqpilibre, l'égili^ du trfvf il ^t«| ilps pr«i* sions exlérieures sur la surface-enveloppe, i l'intégrale

V \ V dxdjf4g{p9xidx + Pyy^y -f P*t^* + P^Ayj + Pu^»x + />x»8g«»).

La qniintilé entre parenthèses, semblable au second membre de(U6) (saof la earac0ristique 8 que nous avons employée ici au lieu de d pour éviter la eopfusion aveçlçs différentiellçi des déplacements par rapport aux coordopnées), repré- UPPio ione bien l« frprail iw /oroes im^imu» çêur VuuUé 4o r^lune 4$ «b«q«o élément éxdydz.

même fonction^ qui est celle dont nous venons d^éerire la dlflënsi» tielle complète (1^6) , et i*on a

Or, il en résulte, en prenant les dérivées du second ordre, dpzts __ dpyy dpxx __ dpy» dp^gm dp MX dpyt dptj}^

c*est-àrdire, en admettant comme déjà prouvée (S 20), la linéraliU des expressions de p^»^ .... py,, .... ou eu égard aux valeurs (12)

Pcx = acM»d« + a^yy^y + , otc dc cos six composantes de

pression, les quinze égalités suivantes, en même nombre que les combinaisons deux à deux des six variables d , g :

ayyss = asxyy , ^%%x* =^ aMtxs » ajcxyy "^^ SyycK I

a^^xys -— Syix* , ayysjB — " ^XXyy % Scxjpy = a^yju ,

(149) \ ^^s^y ^^ *«!y«x» d'xyys ^^ ^sss t «hf*"» ^^ ^*f* f

Sysyy ^^ ^yy>i Sjxi» ^ a^uc , a^ycc -— &«Bcy ,

SyiH =ajay4, a>scsc ^= SiSJBS* » ajfyyy ^«yy^y.

On aurait IroQTé, comme H. Lamé, la même égalité arec u, v^ w «i

^cf <^y» ••• Scy su lien de 8u^ 8v, hp et de tôc, 8dy, ... tgmy ai Hon avait maltipliè les équations d'équilibre (38) par «, v, tr au lieu de Su, (v, du; avant de lei ajouter et dMniégrer. Hais obsenroni» qu'on n'aurait pas eu ainsi le travail de déformation dû aux déplacements très -petits mais finis «, v, lo; car les forces intérieures p^x ••• px^ ne sont point constantes pendant que ces déplaeemeais s'efTectuent ; elles commencent par zéro et n'acquièrent que. lorsqu'ils sont les râleurs pour lesquelles elles figurent dans les équations^ en sorte que si accroissement jusque-li est supposé s*opérer uniformément, le travail total ^ue la moitié depjj)^ + i>yy^y + ••• + PxyêxyX et si des presaions sitArieares agissaient dès le premier instant avec ces intensités, Il j aurait puisiaaoe vivs acquise et l'état d'équilil^re serait outrepassé. Au reste cette ezpreasion moitié

(US) *= ^PxJfim + jPyyOy + - Pz^x + jl»y*«y» + 5 P««gi«+ jl>«»«ry.

se vérifie facilement, car si on la différentie par exemple par rapport à <^c elle

+ jj (^zrnx^x + ayya«Dy -H ... H- ajcyx»gav) ; ^^ d'après (4ï) et (449), - - =

= - Pm» H- r P*» = p«r«. El on trouverait de même ^r- = pyy> . • . j— =i>jByt

ou les égalités (447).

En sorte que les coefficients où les sous-lettres forment les deux mêmes combinaisons binaires sont égaux , et qu'on peut intervertir les deux premières soos-lettres avec les deux dernières à la fois sans en changer la valeur.

Ce raisonnement des Illustres savants que nous citons (>), et qui parait péremptoire, réduit bien à vingt et un au plus^ les trente-six coefficients » des formules (12).

Il exige évidemment que le corps auquel on fait subir les déformations D, g soit pris dans Tétat naturel y ou que les pressions Pm9 ••••l'«y soient dues entièrement à ces déformations, et non pas aussi à des pressions antérieures p*««, .... 2>°«y ($ 23], en sorte que les 16 égalités deux à deux ne portent que sur les 36 coefficients m qui affectent, dans les formules les plus générales (iU)

depgw ou celles qu*on en déduit pour jp^t (p< 572, note],

les termes (dep^M, ....) indépendants de ces pressions antérieures p* s*il y en avait (*).

Les égalités complémentaires des mêmes coefficients a, qui

(1) M, Ttaoïnson, prinetpal^ent dans soo ménioire On the thermo-tlatlic and thèrino-^magnetic Properiiei ofMatler, lu cd aTiil 4855 (et imprimé la mène année au Quarlerly Journal of pure and applied HatbematicB, p. ^), elM. Kirebboff (Deber du Gleichgewicht... sur Téquilibre et le mouyenent d'une Uge infiniment mince, au 56* volume de Crelle, p. S90) lui ont donné cette forme i peu de cboso près.

(*) Les compressions, dilatations ou déformations des corps sont généralement accom^gnées, il est vrai, d'une élévation ou d'un abaissement de températore. Hais la prise en considération de cette circonstance ne cbango rien à la conclusion qui vient d'être tirée; car on peut supposer que l'élément soit contena dans une enveloppe imperméable, ne permettant la perte ni l'admission d'aucune quantité de cbaleur, ou bien, que ses rayonnements inévitables aient été justement compensés par ceux d'éléments ou de corps environnants, de sorte que, rannné i son premier volume et i sa première forme, il le soit également i sa première température et j^outienne la même quantité de chaleur qu'avant ; ou, si l'on veut, que ses molécules possèdent la même quantité de cette puistanc* vive vibratoire dans laquelle la chaleur parait consister. Aucun travail n'a pu être créé on détruit an total, et la conséquence subsiste.

1^. iLircbhoCr invoque même i ce sujet, en ciunt M. Thomson comme premier auteur du raisonnement qu'il emploie, le principe de VtqMvaUnce du travail et de la chaleur, de Sadi Carnot (Rèfleslons sur la puissance moirice du feu, 4Si4, ou Mémoire de II. Clapeyron au 33* cahier du Journal de l'École polytechnique], parce qu'il suppose que pendant la déformaiioii de l'élément on lui enlève de la chaleur de nMBièré que sa température ne varie pas. Il me semble qu'on peiat se dispenser de ces considérations en supposant, comme nous venons de faire, que le corps conserve, au lieu de sa température, sa quantité de chaleur sans déperdition ni teqnititioB.

sont à sg'ôQter aux quinze égalités (1/^9) pour réduis ces cients à quinze inégaux, conformément aux $$ précédents et à qui a été prouvé surtout au $ 21 par d^autres considératioi»* sont les six suivantes :

a^f ia =c a^cyc , à»Bmâ ^= SubM » ^m^n ^^'Vt f

permettant, comme on voit, la permutation même ^une éës déox premières sous-lettres avec une des deux dernièréi de <shju)tie coefficient m , ce dont résulte la réduction, à un seul, des dâoi eoeifteients de Tisotropie, qui subsistent indépendants si Voh n*admet que les quinze éj^téâ (1/^ de Green.

S 71. Examen ée$ raisonnements par lesqttels diters GéMtêirês étrangers établissent les formules^ sn apparent sans ^toeppàt^êr sur la loi des actions entre points matériels srùtant lettre lignes de jonction» — Plusieurs d'entre eux se contestent de ^Bre qiit par cela seul que les six variables appelées par nous d», ..^ g»,, aoal très-petites, les pressions ne peuvent en être que foi&ctioiis linéaires. C'est le raisonnement qu'a paru faire Poissoa^ à la p« tt

n* 38 de son mémoire cité de 1829. Noos avons montré ment, au % 55, p. 662 , qu'il pèche par sa base , à moins qu^on ne Tappuie tacitement, comme vraisemblablement le faisait Poîssod^ sur cette loi des actions à distance qui est ce dont les àtiteaf^ dont nous parlons veulent précisément éluder remploi aâa de a« pas en admettre les conséquences.

Pareille chose peut être dite du raisonnement fait par Green (S 69), lorsqu'il pose pour sa fonetioa potentielle ^ o« f «ae somme de fonctions homogènes entières des degrés i, 2, 8, ...« tîn géomètre tel que luisavait cependant que tout développement d'une fonction en série ordonnée suivant les puissances aseeofdantes de ses variables, ne commence pas nécessairement par des termes des degrés 1 ^t 2. Il avait donc égard apparemment , sans s'en rendre compte, à la nature particulière de la fonction et de ses six variante très-petites d, g, qui ne sont, comme nous l'avons remarqué (même % 55), que des projections moyennes ^accroissements d'autres v»riabies, les. distances moléculaires. C'est uniquement parce que les forces en jeu, dont 9 exprime le travail, sont dirigées suivant les

drdltefa cjut ttëémt*éf<it des distance!) et sont foilctiôtis contlnties de leurârgT&âdeurs, que Gfeeù à pii êtfe autorisé, dans son développement qui fevieùt à celui de Tajrtor à siJc variables, à affecter des puissances i et 2 les premiers termes.

Et si Ton prétendait que les forces réciproques dépendent bien des grandeurs des lignes de jonction des points mais ne s^exercent peut-être pas suivant leurs directions, ne serait-ce pas bouleverser, pour le besoin d'une cause, les plus simples notions, «^engager dans le vague et même dans le non-sens, et nier d^ailleurs le principe de réaction contraire à Faction, duquel il résulte que la direction d^iùe force, puisqu'elle ne peut tendre qn*au point qu'elle meut; no peut partir que du point dont elle émane.

Semblable observation peut être faite, à fortiori, sur lè double axiome que M. Maxwell (') propose comme extension de la loi expérimentale de Hooke : 1* S! des pressions s^exefcent en un point d'uû borpÈ (R le suppose isotfôpe) suivant trois directions rectangulaires, leur somme est égaie k celle des tfols compressions qu'elles produisent, multipliées par uU premier coefficient; if la différence de deux qtielconques de ces trois pressions est ^gale à la différence des compi^essioiiS correspondantes multipliées par un deuxième coefficient, dont M. Maxwell regarde le rapport avec le premier coinme variable suivant la nature du corps. Rien, évidemment, ne peut Justifier radoption à priori de ces prinelpest et leur subelitution à la loi des actions à distance entre points élémentaires suivant tes lignes de Jonction de ceui-ci deux à deux.

Un savant éminent du même pays, M. Stoke§, M lieu do se borner à des raisonnements purement mathématiques, ou bien à des assertlonSf invoque judicieusement un fait d'expérience:

« La capacité, » dit-il, é que les solides possèdetit d'être mis dauâ « un état de vibrations isochrones montre que les pressions qui j a sont appelées en action par de petits déplacements dépendent de « fonctions homogènes du premier degré de ces déplacements (*).

(1) On Sptilibrrmn of eUêUc Bodiet , lu le 48 férHer ISSO et inséré flQ l. XX (4863) des TtanmeUonM of the B&yal Society of EiitiBittjfh, p. 87.

(^) Onihe Theoriet of the Mtmml Friction of FUtktt in MotiofH, aM of the g^iUbrium and Motion of eUutic SoUét, lu le U kvHT f848 et inpriltié au volume VIII, part. IH (4847) det Traii8« Cambridge, p. 84 4.

720 SEGT. I. BÊSISTANGE DES SOLIDES.

c En supposant de pins» » continue-t-ll, « conformément an prin- « cipe de superposition des petites quantités, que les pressiODs « dues à divers déplacements s'ajoutent^ les pressions en sont fosc- « tiens linéaires. »

Nous reconnaissons, dans ce fait de « Tisochronisme des vibrations, » attesté par les phéDomènesdu son, etc., une excellente preuve que les forces développées par les déplacements relatifs, c'est-à-dire par les changements très-petits de distances matuelles des points, sont proportionnelles à ces changements. Mais quelles sont ces forces qui se trouvent réellement en jeu une fois que le corps, légèrement déformé par une application momentanée de quelque force extérieure, est abandonné à lui-même? Nous ne voyons pas que ce soient les pressionsy qui ne sont après tout que des forces fictives comme toutes les résultantes ou les sommes de composantes. Ce qui agit pour produire ou pour continuer le mouvement vibratoire, ce sont les actions moléculaires iq^livlduelles, dont la considération, loin de pouvoir être éludée, a paru nécessaire, même pour définir les pressions^ aux savants qui ont voulu en donner la définition d'une manière rationnelle (0 ; et le fait des petite9 vibrations isochrones des solides nous semble la pins forte preuve de Texistence de ces actions mutuelles k distance, reconnues dès Tantiquité ('), et dont la loi, indiquée par Newton ('),

(*) On a quelquetois défini la pression, dans un corps solide on fluide, TaciK» qui y serait exercée sur uae petite surface plane qu'on imagine i son intèrieor si cette face deTenatl rigide; ou bien, ce qui revient au même, la force qu'il faadraii y appliquer sur chaque élément de son plan pour maintenir en équilibre la partie du corps située d'un de ses deux côlés si Ton venait à auppriroer toute la partie siiuée de l'autre côté du naênie plan (Exercices de M. Cauchy^ 9* année, 4827, p. 42, et l" Leçon sur l'élasticité de If. Lamé).

Mais M. Lamé a très-bien montré (idem, § 5) que cette déOnition, en apparence plus simple que celle qui fait consister la pres«lon en une résultante d'actions moléculaires, ne dofine aucune idée exacte^ et que sa simplicité n'est même qu'une pure illusion. Elle pouvait se faire accepter du temps que l'on croyait (et on ne l'a Jamais cru généralement) à la continuité de la matière et à l'aciion au contact seulement ; mais l'action sur une surface n'a plus aucune signification depuis qu'on sait que les forces s'exercent à distance, et que par conséquent (continue M. Lamé) les actions répulsives et attractives émanent non-seulement de U première couche infiniment mince mais aussi des couches postérieures jusqu'i Is dislance où elles cessent d'avoir une grandeur sensible.

(') Bacon. De la Sagesse des anciens, XV.

(>) Surtout i la fin du Traité d^optique, question XXXI.

a été admise et appliquée avec succès par Laplace, Fresnel, Ampère, Gauss^-etc.» avaot d'être Tobjet des calculs plus développés de Navier, Gaucby, Poisson-, MM. Lamé et Clapeyron, etc., relatifs aux corps élastiques, et est aujourd^bu! mise en tête des traités de Mécanique ou de Pbysique les plus suivis.

Aucun des raisonnements apportés pour établir les formules linéaires de Télasticité sans invoquer cette loi dA actions à de petites distances, ne parait donc acceptable, et il faut Tadmettre avec ses conséquences (150) comme (149J limitant le nombre des coefficients inégaux qui entrent dans les formules.

S 72. Examen des motifs, censés tirés des faits'^ sur lesquels plusieurs d^ entre eux appuient la conservation de vingt et un coeffi^ * dents pour le cas général de contexture^ et de deux pour celui de risotropie. — 1* George Green. — Le motif de cet illustre physicien a été évidemment, avons-nous dit ($ 69), la faculté que donnent les coefficients, portés à ce nombre, de se rapprocher davantage de la théorie de Ttesnel, c^cst-à-dire, en premier lieu, non pas do supprimer le rayon invisible, ou troisième rayon de Gauchy à vibrations longitudinales non éclairantes (car Green reconnaît que sans son^ntervention il est impossible de satisfaire aux conditions à la surface de séparation de deux milieux), mais d^atténuer considérablement la petite proportion de vibrations transversales ou éclairantes qu^il fournit à l'émergence; et, en second lieu, de rendre possible Texistence de quelques corps transparents biréft*ingents dans rintérieur desquels ces vibrations puissent être, comme dans Tair, les unes exactement transversales ou parallèles aux plans des ondes comme le pensait Fresnel, les autres, par suite, exactement longitudinales ou perpendiculaires aux mêmes plans. Green recoqnalt bien, comme nous avons dit au même paragraphe, qu*un cristal peut être transparent et biréfringent sans que les choses se passent rigoureusement de cette manière; mais, ajoute-t-il, vu le grand nombre des éléments du calcul, « la nécessité absolue pour tirer « des conséquences qui aient quelques chances d^application pra- « tique, d'introduire des restrictions arbitraires, nous conduit à « examiner Jusqu'à quel point la fonction (7] due aux forces inté- « rieures peut être limitée en se bornant à la considération de ces I. 46

722 SEGT. I. CÉSI8TAKCB DES SOLIDES.

« milleax où les vibrations transversales peavent toujours étro « exactement parallèles aux plans des ondes, s

Green trouve que pour donner cet exact parallélisme, les vingt et un coefficients doivent être aaéi^jettis à qmtorxe conditions ou relations qui, avec nos notations, sont les suivantes :

(ioij tijcxxx = >^yt^yv ^^^ ^uxs =^ 2ayayi + a^yss = 23^x1x4" ^xisx ^^^ 2axyjry + û^xy»»

(152) . ftjtzyt "T «a^^Xy ^^ Vf ayysx 4" 2aiyya = 0, ^Uzy 4" SSyijjc = 0,

(153) ayyy,:r=o, a^^y = 0, a»M = 0, ajcx]c<==0, ax«Y = 0, ayyyx=0.

Commençant par le cas particulier de trois plans de S3rmétrie, Green prouve que ces conditions (réduites alors aux cinq premières (151) puisque les coefficients compris aux neuf autres sont déjà nuls dans ce cas) sont les mêmes s^il y a des pressions extérieures se transmettant à rintérieur et y produisant déjà des pressions p^'a», p^yy > p^nx avant les mouvements, car celles-ci disparaissent dans le calcul. Nous avons reconnu, en généralisant Tanalyse de Green, que la même disparition a lieu pour le cas de contexture le plus générai ; les pressions primitives p'^vtj'^y y »?*"«# p%i9P*M»p*^ peuvent donc avoir toutes les grandeurs qu^on veut sans rien changer aux conditions (151), (152), (158) d'exacte transverscaUé^ qui régissent ainsi les seuls coefficients a(*).

Si Tou admet entre les coefficients », outre les quinze égaliU'^ (lAO) do Green, les six égalités complémentaires (150) dft Gauchy et de Poisson ayy,x = Sysys, a««y.= hux^ etc., conséquence de la loi des actions moiéculaires, les quatorse relations Green (151), (152), (153) se réduisent à

a^jw»^^ Syyy=S atX3t= Ohf$yt^^ O^tXSK^^^ Oa^yjcy ^^SSyjf sa^^OStirjP^ wSrjryy

et tous les autres coefficients a == o ;

(1} Voici, «ucciDeioRieiit, c«Ue tnalyM géfiêr«iii6o.

Si, p reprèscDUDl la densité du milieu élhcré, et t le temps. Von met, daos

... = p -T^ entre les pressions cl les inerties, pour pxx» ...p«y leurs valeurs

Icâ plus générales rcUlifes au cas où il y a des pressions antérieures />Vx . . . p^xf tt qui, comme nous atons dit à la noie du § Î3, p. 57î, sobUenncnt en mcV tanl dons les foroulet (U) de la p. 664, pour les sis cosinus Cy,,, c^jy, etc., les

vakurs (t7) Cyi, = -p- ♦ ... cy ig = - - «ie la p. 571, et pour D*, t^y . . . gry leur*

c'ûst4-dire (S 69} que la vraio conditjon du parallélisme des vibrations à toutes les ondes est Visofropie du milieu ; ou que, confdr-

.. du dv du dv

▼alcurs (M) --,--, ...--4---- du g 29 relalÎTCS aux déplaccménls uèidx' dy dy dx ^

petits (Toycz d'ailleurs ces formules (S 12) au § 84)^ Ton reconnaît que les termes

nôgaiirs en p'* sont détruits par d'autres, et Ton obtient

ivMi ^^ ^y ^^

d^w dho , dho , ^ d^w , dp^g^ . cf/)*«, . dp^„

équations dont les parties en p^ peuTent aussi s*obtenir, comme on verra â l'Appcndfce complémentaire (fin du S S4), sans se servir des formules (H) ni Invoquer explicitement la loi des actions moléculaires qui a servi à établir ces formules; et où p^g-gy p^yy^ ... p^^y représentent, comme au § 23 et à sa note, les expressions suivantes (13)

du dv

- + a^.yyjj + +acxr»

. . du dv (du dv\

p XX — ax« «;«--- + •«« yy T" "i" H* •«' ■

\dy ^ dxy

1 d« . cf» /du dv\

P'^y = ixyzr ~ + a,» y y — + + «^l^xy^^Jj^ + — j.

Or, en remarquant, avec M. Lamé (11* leçon, p. 138) qu'à une grande distance du lieu d'un ébranlement quelconque on peut considérer comme pianos des portions d'unei certaine étendue des ondes produites, et calculer la suite du mouvement comme %\ l'ébranlement s'était opéré suivant un plan où toutes les molecales auraient des déplacements égaux et parallèlet, raisons, comme Groon

(Ib6) u=xf^!x-\-my-\-nZ'-\i), t7=6/([te-fmy+»i2— V(), v;=yf(îx-\-my+nZ'^\i)]

expressions qui représentent bien les trois projections, sur les ar, y^ 2, de déplacements moléculaires (périodiques ou non) tou| parallèles ei égaux sur un néroe plan, et se propageant par ODdes planes avec une vitesse V, si /* désigne une fonction quelconque, a, 6, y les eosinas des angles constants que sont supposés

faire avec les ar, y, z les déplacements résulunts V«" +^ + «•*♦ •* '> ••« •■ '*• cosinus des angles que fait avec les mènes coordonnées la direction n de la normale commune aux plans de toutes les ondes i en Ix -{- my -{- nz = n, projection, sur cette normale^ du rayon vecteur mené de Torlgine au point quelconque (z, y, z), représente aussi la distance de Torigine au plan d'onde contenant ce point; et comme, après un temps écoulé <=:T, les déplacements des points maiériels du roCrac plan d'ooJc ont tous pour grandeur ^(n— VT\ ils sont les mêmes

72& SEGT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.

niément à ce qu*a reconnu Gauchy, ce parallélisme est incompatible avec la double réfraction.

qu*éuient, avant ce iempê^ oi| pour tszO, les déplaoements de to» les poinls do plan i UDe disUnce n — VT de rorigine, ce qui donne bien V pour la vilesse de propagation, dans un sens perpendicnlaire aux ondes, do ces mouTenenU oo déplacements supposés tous parallèles entre eux, égaux pour tous les points de chaque plan perpendiculaire à la ligne n , et dont la variation d'un plan i l'aulra est exprimée par la fonction f â chaque Instant.

En substituant dans les équations différentiellet (454) les valeurs (456) ainsi composées, pour reconnaître é quelles conditions elles peuTent bien être prisée par les déplacements moléculaires «, v, tr. Ton peut ensuite dïTiser tout par ^f\lx-\-my-\-nZ'-\f) ; et en faisant, pour abréger

A=a,xx«i*-fa«yr^*+«»««»*+î»»««^»+Sax««««^4-îajMj«»ïm,

(457) { C=a*x,x/*+ayïyïm* + a»jMn*4-2a»«y,m» + aaMi;:iil-f SayMztoi,

D=a«rvP+«yir»»«*+a«*v»»*+ {a»f«»+»»»»«^ •»» -1-(aKxy+ay„,) ni -f- (a^^^+a -,^)|«,

E==a«ix«*+»«w«**'+«"»»"*+(«"v«+*f"*J««+(«»»«+««"«)«l+(a««,.H-a,*r»)/»S

1 F=a«,x»P+ay»«^*+a,„.n»+(ay^»+a,|^,)m»H-(aac^+a,M,)f»/+(a,«^+ax,. ,)&•,

on trouTO pour ces conditions, entre la vitesse de prpagation V, la direction (/, m, 11) de la normale aux pians des ondes, et la direction (a, 6, y) des mouTCmenls moléculaires, trois équations contenues dans

(i|58) A»-l-F6+ET Fa-hB6-hDT^E(i+D6+CT ^p

€ y L'élimination des -, ~ entre elles donne, eo V*, cette équation du troisième

degré (en opérant comme on Terra au § 84) (459)

A+P-pV«)(0+.P-pV«)(C+P-pV«)— D*(A+P— pV«)-E»(B+P-pV«)— F«(C+P— pV»)+«DEF=0, prouTant que les conditions (458) du mouTcment par ondes planes sont satisfaites par trois systèmes de valeurs de dz V et par suite de (a, é, y), c'est-à-dire par trois grandeurs de la vitesse de propagation et trois directions correspon»

dantes des déplacements moléculaires y^it'-f v*-|-tt>» dans l'espace, pour chaque direction arbitrairement choisie (Z, m, n) de la normale n aux ondes.

De plus, comme on obtient que quatrième fraction égale i ceUes des trois premiers membres de (458) en prenant pour numérateur la somme de leura numérateurs et pour dénominateur la somme de leura dénominateurs après les avoir multipliés haut et bas par a, €, y respectivement, ce qui donne

'(460) Aa« + B6«4-CY«H-«D6y + ÎEYa + 8Fa6=:pV«-p,

équation, en coordonnées polaires, d'un ellipsoïde dont le rayon vecteur

Vpv*— p

fiilt avec les x^ y, z des angles dont les cosinus sont a, 6, y; d'où, de nouveau, les équations (4 58) comme condition de maximum et de minimum du rayon vecteur en combinant, avec a* + 6> + 7*= 4 d'où ocTa +6d€ + yây = 0, la diflé-

APPEMDLGB Y. 725

Mais voyons ce que peuVeat signifier les quatorze relations (151), (152), (153) de Green quand on n'admet point les six égalités com-

reotlello in 4** nembra do (460) égalée i lëro, on foil, el U fornie eonniM Jet équalloM (15S) et (459) monire d'ailleurs :

4*" Que les iroii deml-uei de eet ellipsoïde dont réquaUon en coordonnées ordinaires esl

(4 64 ) âa:» 4- By» + Cz" + Ithyz + %Ezx + aFapy = 4

donneront, en grandeur, les inverses des trois Tslenrs de Vpv«— P.

9* Que leurs dlrecUons, reelangulaires entre elles, donneront celles des mon* Yements moléculaires correspondants.

Et eomue, lorsque le milieu est Isotrope, ou que les S4 eoelBclents ixxzx, etc., se réduisent aux deux e, e' du S S6, et les composantes f>ui etc., i une seule po, les équations (459), (460) prennent la forme

\ « (** + y* + «•) + (e + eO (te + »y + i«r)* = 4 ,

l'ellipsoïde, coupé alors suiTsnt des cercles par tous les pians d'onde te+my+Nz= constante, devient de réTolulioo, et les mouvements moléculaires de deux des trois

VPo -i- e 4 /p« 4* a^yctf =^\/ ' ^-^1 «ont Èranà-

vmaux, 6'eit-i«dire parallèles aux plans des ondes, tandis que les mouvements du

troisième se propageant avec une vitesse W ■*^- = \/ -^ —

P sont ïoHgUudinaux on dans le sens de propagation, perpendiculaire aux ondes*

On voit bien que dans les milieux isotropes les deux premières ondes se confondent, et U n'y en a cilnat qti^unê à vUfraUotu tratuvertaUê ou vUihUe»

Green, qui arrive aux résultats préeédenu, reconnaît comme on voit, avec Caucby, qu'une onde plane excitée dans un milieu se décompose généralement es trois autres ondes parallèles, se transmettant avec des vitesses différentes et où les molécules vibrent dans trois directions aussi différentes^ rectangulaires entre elles; ou que lorsqu'un rayon^ dont les points successifs sont la suite continue des intersections de plans d'onde peu inclinés les uns sur les autres, pénètre dans un cq^lal où l'étber est i l'état bélérotrope , Il engendre trois autres rayons, qu'on peut dire polarisés parallèlement aux trois axes d'un certain ellipsoïde dépendant, et de la direcUon du rayon, et des élasticités en divers sensi Pour exprimer que, dans deux des ondes, les mouvements moléculaires soient ce que suppose Fresnel, ^est^à-dire exactement parallèles à leurs plans, il remarque (p. 437 de son S* mémoire) que le mouvement moléculaire dans la troisième onde doit être perpendiculaire i son plan, ou que les équations (458) doivent être saUsfaites en mettant f, ni, » à la place de s, 6, y, ce qui donne

^ ' ((6-C)mJi + D(»« — m«)-hFnZ— E/w=iO.

On voit bien, ainsi que nous avons annoncé^ vu que ces équations ne contiennent point P^ qu'elles sont indépendanlee des composantes P*xs,p*yyt •*»p*xy,

plémentaires (150) oiUa rédaction d6s coefficients à quiose dietiaets.

Nous avons trouvé, en nous servant de formules de changenaents d'axes facilement déduites de celles (U) et (11), des $% 17 et 19 :

i** Qu'il suffit que ces l/i conditions soient remplies relativement h on système d'axes x, y^ x pour qu'elles le soient relativement à tout autre système rectangulaire x', xf^ ^^ et pour que le coefficient aj:yz/x,x/ ait la même valeur en tous sens ou quelle que soit la direction de a;'; en sorte qu'il est égal à la somme ^n^,v + ay^,„s, quelles que soient les directions de y' et de z' rectangulaires entre eux et à x* ; que ac,x;xfy/ est nul quelles que soioït les directions rectaiigulaires de x'et '^\ enfin que toutes les sommes telles que a»ixry»f -f Sagic^x/y» sout nuUos aussi.

2*" Que, réciproquement, une de ces conditions, si elle est remplie en tous sens ou quelles que soient les directions de x', y\ z', entraîne les autres (451), (152), (153), et pour toutes les directions rectangulaires possibles ('),

en sdfte qu'on ne peut pat chercher dans TexisteDce possible de pressions antérieures U réponse aux difficultés auxquelles nous allons voir que conduit l'hypothèse qiM Green et Fresnel se sont Imposée.

En y metunt pour A, B, •.• F leurs valeurs (457) en 2, m, f», on déduit de ces deux équations (463) qiie, dans tout milieu bélérotrope^ l'exact parallélisme det vibrations a lieu seulement pour certaines valeurs de l; m, Ji, ou pour certainot directions dos plans des ondes (voy. Appendice complémentaire, § 87).

Mais Green cberohe queilei conditions doivent remplir les SI coefficients

axxMf etc., pour que ce parallélisme ait lieu qm\UM que Boient les dirêcUonM des

ondeê, U faut, pour lea obtenir, égalera téro les coefficients, dans (463), de chaque

m n puissance ou produit du quatrième degré des rapports y , - des cosinus. On trouve

S8 équations dont \h rentrent dans les autres et qui se réduisent ainsi aux f4 conditions (451), (459), (453) du texte. • •

(4) En elTet nons trouverons, dans rAppendicc complém", § 86, qu'en général si n, s, p, q sont quatre directions prises parmi celles des axes nouveaux x', y', z', et si, comme au § 23, c,j désigne le cofinus de l'angle de deux directions t,^. Ton a l'expression générale suivante, où

sont de purs symboles qui par leur multiplication algébrique engendrent les coefficients Sxzra;, etc., en mettant leurs sous-lettres i la suite les unes des autres dans l'ordre où les multiplications sont indiquées :

(464) inipq = (a«Cn« + ayeny + aaCoi) (arCi* + aye^y + a«CM) X

X(»xCp* -f aycpv -f- Sicpi) (aacqj -f- Sycqy -f- a^qi).

On voit que rexaote iransversaliié des mouvement» moléculaires dans deux des ondes pour toutes les directions des plans de celles-ci exige raccomplissament d*une foule de conditions qui sont généralement caractéristiques des corps ou des milieux iso* tropes; surtout celle que nonnseulement une dilatation d«' ne produise dans un corps qvCune pression normcHe p^^ sans aucune composante tangentielle sur une face quelconque perpendiculaire à sa direction 2;'(a«,y,«,2, = 0, ^zt^^xw = 0), et, aussi, qu'un' glissement sur une face n*y engendre Jamais que des composantes tangentielles i^^mi^^i =^ 0)« mais enoore, qu*en tous sens^ ou quelle que soit la direction de of dans ce corps, una égale dilatation D» en^ gendre dans ce corps une pression d^égale intensité p^w (tixtxixtst constant).

Or on en déduit, par ezemplo,

Zxixixtxt = ^xxxzC^xxi 4" •yyyyC*yx# 4- istxzt^sxi + ^(Sayjyt + *yy%»)t^yxif^»xt +

+ 8(2»*z»» + Utsoxjthxif^xxt + 2(*««y*w + ««a5yy)c*«j/«*v«i + 9 aulres tormea^

et ceax-ol •on.t nuls al les oonditlona (15S), (153) sont remplies, ce qui dit, si (151) sont remplies également,

ixtrtztxt == 9xrzic{f^xxf + C yxi + ^MXf) ^^^^ ^xxxx»

Donc Zxtxtxixt est le même quelle que soit la direetion de x\

On trouvera la même expression Zjtxxx pour 3ax;y>«/y; H~ *c/«'y'y/ qoeltes qu4 foieot lei directions de 9* et de y'.

On trouverait de la même manière que

Et a«fx/y/f / -h 2a«isw/y/ = la même choae +

-j- Sa#9JS9(e«;SfCjtyf + CyXlOyyi + Oc^fCfyf) (fixMfixpi + Cy«rCy«# + CwiC«*»),

et sont par conséquent = 0 tons deux pour tontes les direetiona de c'y y', z',

Réciproquement si ixmmxi ^=^ 9xx99 OU si Ton peut poser, quelle que soit la direction de x'

0 = 9xixixixt — a«zx«(c'xx/ + C'yz; + C*«x»)*,

on trouT.e, en substituant Texpresslon trouvée tout à Pheure pour tx'xtxtxt et plaçant d'abord x* dans le plan wy, une équation qui réduite et divisée par CxxtCfixi donne a^cxy = 0 quand on y fait Cxti = 1 , et ayyy« = 0 quand on y fait Cxx/= 0. La même équation donne, par suite, axxyy + Sa^yxy -r axxxx= 0, ce qui permet d'effacer, dans Péquatlon non particularisée, tout excepté des termes susceptibles d'être divisés par Cs«fCy«rCsxi, et l'on obtient alors axcys+^i«cry=0 en faisant Cxx; == 1 . D'où tontes les conditions (151), (153), (153).

Le même procédé prouve que ces quatorze conditions sont également entraînées soit par ax/xrx/v;=0, soit par »xtxtynt-{-^9%fxixiyt=^(^9 soit par axr«;xrxf=S

= Saxfy/«fvf + 2«/cryryf=0, sl Toue de ces trois égalités a lieu pour toutes les directions de x', y', s'; ce qui démontre toutes les réciproques.

728 SECT. l. EÊSISTANCE DES SOUDES.

Or une pareille égalité est contraire à toutes les idées qu^on peut se former, d*après les ftdts, des corps doués de la double réfraction. Us sont cristallisés sous des formes polyédriques non régulières et variées, ils offrent des clivages dans des directions particulières, etc., ils sont en un mot ^'une contexture essentiellement inégale et qui doit, tout porte à le présumer, rendre iiié«

gaux en divers sens x' , dans Téther dont ils sont imprégnés, les

rapports ^^ = a«,«/<;xi des pressions p aux petites dilatations D qui

les engendrent, et, aussi, rendre les pressions obliques aux dilata* tiens, excepté pour un petit nombre de sens principaux.

Cette présomption se change en certitude si Ton se rappelle le fait de la biréfringence artificiellement produite par une compression donnée dans un seul sens, ou inégalement dans plusieurs, à un corps amorplie primitivement isotrope et uolréfringont, tel que le verre. On tire facilement (voy. Appendice complémentaire $ 90), des formules telles que (26) ai»;« =;:

2 s '"^ Ir ^^(''•^î» *»m = 5 S'"^*^ cos*(r,y) du S 23, p. 570/

que quand les molécules sont inégalement espacées dans les sens x et y, les coefficients a^M»* ayyyy sont inégaux. Si l*on rejette ces formules parce que Ton refuse d*admettre la loi d'actions moléculaires qui a servi k les établir (et qui ne préjuge pourtant rien quant à la forme de la fonction Jr des distabces moléculaires}, il est impossible, quelque chose qu'on puisse concevoir à la place de cette loi, ou quelque inexpugnable que soit le scepticisme derrière lequel on se retranche, de ne pas convenir que Tinégai rapprochement moléculaire en divers sens doit influer sur la grandeur des élasticités directes a«ecc et ne pas se borner à influer sur celle des élasticités tangentielles a«ycy, ay,y, ou bien des élasticités latérales a««yy, a^y..» qui certainement sont inégales dans les milieux biréfringents. Un corps ou un milieu ne peut être élastique et vibrant si ses parties n'agissent pas les unes sur les autres à distance ; et, quel que soit le mode de leurs actions, il n'est pas possible d'imaginer qu'elles rendent celles-là parfaitement égales en tous sens et inégales colles-ci.

Concluons que les quatorze égalités ou relations (151), (lô2)« (15â) trouvées par Groen comme condition pour qu^un milieu élastique propage en tous sens des vibrations exactement parallèles aux plans des ondes, n*exprlroent que Vuotropie du milieu ou la complète symétrie de sa contexture en tous sens; ce qui, comme on a vu, exclut la double réfraction en réunissant en un seul les deux rajons capables d'aifccter le sens de^ la vue par le mode des vibrations qu*ils propagent.

Les tentatives de conciliation de la biréfringence avec l'exacte transversalité des vibrations se propageant sans décomposition dans Viniérieur des corps transparents qui en jouissent, n'aboutissent donc qu'à une illusion et ne fournissent aucun motif d'admettre 21 coefficients a inégaux ou de rejeter les 6 égalités complémentaires (150) que fournit l'analjse et même le simple examen ($ 21) des actions entre molécules, et qui réduisent ces coefficients à qumze.

Il faut en revenir, pour les phénomènes de double réfraction, & l'explication de Caucby, d'après laquelle, dans ces corps, la trausversabilité des vibrations pour les deux rayons perceptibles n'est qn^approchée ; ce qui n'empêche point les rayons réfractés de pouvoir suivre très-approximativement ou même (rien ne l'empêche) tout à fait exactement la marche indiquée par la surface d'onde de Fresnel qui résume en quelque sorte la partie la mieux confirmée de ses immortelles découvertes, et dont les particularités étudiées depuis avec sagacité par M. Uamilton, ont donné des résultats curieux si admirablement vérifiés par l'expérience (').

{*) Les conditions Grecn ne lonten effet nuliement nécesMires pour obtenir, mime exactement, la surface de Fresnel ; car si nous rapportons le milieu ètbérà aux Intersections x, y, z des trois plans de symétrie qu*il possède toujours dans l'intérieur d'un cristal biréfringent de forme même irrégulière (to;. app. complém.), et si nous faisons pour abréger, comme an § S4 et eu égard aux égalités(U9) ayyss = axsyy etc.

* ' ( ayyM = d', aux«=e'j a«yy=r,

réquation du 3« degré (459) en V se réduit i

(ait ^ f«i + «t» + P— pT«)(fi« + bm« + dn« -f P— pf«)(eZ«+ di(i*4- c»«+ P— pt») — (d+d<)«(ai«+ f««+ en»+P— p?«)iii««»— (e+ e')«(fl«4 bm«+ dn«-|-P— pT«,»V — Cf+n'(«^ + <l«' + «»* + P— P^'/«»'l-2(d + d'){e4-e'JCf+r)A»«»»=:0.

Ga n'e^t qu'à rémergonce des rayons, ou à leur passage dans Pair ou tout autre milieu isotrope ou isophane que les yibratlona deviennent partie exactement transversales partie exactement longitudinales. Gelles*oi sont insensibles à TcbU et forment presque

El si, w lieu dei relations Green qui se réduisent alors à

(467) 1 = b = c = îd + d' = te 4 e' =3 Jf + r,

l*on a seulement ces quatre relations, moins oombreoseï et plos générales

(46S (b— d)(c-Ht)-^dH-d')fcO, (c-e)(«-eW«-f«1*=0, (a— f)(b--l)-(f+l')*=0| (t-e)(b-0 (c-d)+(»-0 (b-d) (c-.e)-2(d+d') (e+e') (f+f) := 0,

celte équation (466) derient décomposable et peut Otre mise tous la forme

rov»- P- âH- bm^ ent^ ( (P^»- P)«- [(e+0P+(f+d)««4- (<<+e)»*](pî*-P) » — o (pv-P-al«-.bm^e»»)jv«' +(cf<« + Wm«+defi»)(««+m«+W I""

En effet, si, pour un moment, on désigne par L, H, N, Q, R les premiers membres respectifs des équations (468) et (469), on peut vèrlûer par des défeloppemenls eomparatife que l'équation (466) refient i — R4-L(a2S4-f«l* + ^- en» -f F— pf») m«ji«+ M {tfl 4- bm«+ du» -f P — pv*)nV ^- K(el« -j- dm* -f- 4- c«Hi*—p^')^*— Q'*^****=0. •« réduisant, ▼u(468), é R=:Oouà (469). Or, en mettant pour P sa râleur (457) p^xx ^ + p*yy m* + p*,g n*, l*éqna» lion (469), oa même plus généralement l'équation (466) pu (459), peot être re«gardée oomme roprésenlaot en coordounéus polaires une siirfaco dont les rajons fecteurs, faisant arec les x, y, z des angles dont les cosinus sont /, m, n, ont

pour longueurs les ipverses - des vitesses de propagation des opdes planes pur*

pendicQlaires aux directions de ces rajons; surface dont Téquation du 6* degré en coordonnées ordinaires serait obtenue en divisant simplement par V^ et écrivant

s, y, z â la place de , Cette surface à trois nappes, qui a son centre i

i^origine, n'élt autre cbose^ comme l'a remarqué M. Hailgbton (Irish Academy, vol. XXI, p. 479), que la pofatrerfctpro^ue, par rapporta une sphère a;*+9*+2^*=^ » de la surface d'onde courbe, enveloppée et touchée i Tinstant t = 4 par toutes les ondes planes qui se croisaient à son centre à rinslant antérieur < = o. En

elTct si 0 P = V est la perpendiculaire abaissée du centre 0 sur un plan P M tangent en M à la surface d*onde courbe, et si S N M, ^y nnm,DACB figurent les coupes diamétrales, par le plan OPM, 4* d'une nappe de cette surface, S*> de la nappe de la surface (469) répondant aux mêmes valeurs de V, et 3* de la sphère de rayon 4 , le plan tangent P M a pour pôle le point m, intersection de OP par la droite qui unit les points do contact A, B des tangentes menées par P au cercle D A G B ; et

comme le triangle recungle OAP donne OA =4 = 0mX01^> l'on » Om = - et par conséquent le pOle m appartient bien i la surface (469) dont

tout 06 qui Tient du 3"* rayoB, en conséquence Invisible, sans qu'on ait besoin, pour l'expliquer, d'introduire dans les formules d'isotropio deux coefficients ayant entre eux un rapport très-grand; tandis que les vibrations longitudinales ne forment qu'une très-

lef rayonf Teoteara lont Im invenet des viteiMC de furopagalion des ondei planes diDi leurs directions. Et ou sait que réciproquement la surface d'onde N N M est la polaire réciproque de la surface (469) n n m par rapport i la mèmekphèro concentrique DACB.

Or la forme de T^quation (469) prouve qiie U polaire réeiproqne do Vende se compose :

4" D'un enipuorde al* -j- bm» + en* -f P = p \>, ou, en dlrlsint par p v* et I m n

en faisant -r=:ar, — =«, - = 2: T f ▼

(HO) îilTii ^-^ îi±^ y«+ α£:î! .«=4

dont la réciproque est un autre eUlpsoIde ayant des coefflcients ou des demiues ioTerses; coUe-ci est Tonde des filmions presque longitudinales et inTisiblos, S° De la surface dn 4* degré en l^m^n résultant de raccolade ou du 2* facteur de (469) égalé i léro quand on a mis de même pour P sa valeur jfixx ^ + + j>*yv m* + p'*u »'> et qui donne U propagation des vibrations presque trans* ' versales. Si cette pression pfimlilTe P exercée sur les plans d'onde dans les directions de leurs normales antérieurement aux mouvements est supposée coostante ou indépendante de l, m, n, ce qui a lieu quand p*^=p*yy =i)%«i ol si l'on fait

eette équation du 4* degré peut être écrite sous la forme suivante, comme on peut le vérifier par un développement comparatif

( \ 72) V*— [(ft»+c»)/«+(c*+a*K+(a«+6«)««] v«+(t«c»i«+c»a«mH a«&»»*)(PH- mH«*)=0,

équation semblable i celle (36) do la 47* leçon de M. Lamé, et d'où Ton déduit celle de la surface de presnel en remplaçant les paramétrel a^ 6, e par* leurs

inverses — 7 après avoir divisé par v* et écrit ar, y, 2 pour Tf-Ç" y •

Les ç«ii<re relations ou conditions (468) sons lesquelles on arrive à ce résultat, et qui ont été données par Caucbj en 4830 dans un mémoire (Exere. de math. 5* année) souvent dié mais trop peu étudié, n'ont rien d'arbitraire ni de bixarro, bien qu'elles soient d'une forme moins simple à ooup sûr que las ctn^ conditions Green (467) qui n'en sont qu'un cas particulier (revenant é celui de l'isotropie comme on a vu). Eu effet lorsque les trois coefficients d'élasticité directe a, b, c, entre lesquels elles permettent telle inégalité qu'on veut, ont des rapports mutuels n'excédant pas 4 j ou S, Il est facile de s'assurer par des calculs qu'elles sont, numériquement, presque identiques aux relations 3d-fd'= vbo,)e-f e'= ^ëi,^f-\-V=: = ^th quo nous verrons (à l'appendice complémentaire) être celles qui donnent

732 SECr. I. BÉSISTANGB DES SOUDES.

faible proportion de ce qui vient d€s deux premiers rayons, d*où il suit que les mesurages photométriques peuvent donner une égalité approximative entre la quantité de lumière reçue sur un cristal et la somme des quantités qu'il réfléchit et quMi réfracte, surtout si Ton considère que le rayon émané du soleil pouvait contenir une certaine proportion de vibrations longitudinales ou Invisibles qui, en se transformant partiellement en vibrations transversales ou visibles & la rencontre du cristal, ont pu faire compensation aux pertes ou aux transformations contraires (*}.

La raison tirée des recherches de Grcen sur les vibrations de réther lumineux se trouvant écartée, examinons celles par lesquelles d^autres illustres savants ont cherché à appuyer son opinion en se basant sur des faits relatifs aux corps élastiques terrestres et pondérables.

S 73. Suite. 2* Mâf. Slokes et Maxwell. -^Uen que MM. W. Thomson (*] et 6. Kirchhoff (*) aient adopté Topinion de G. Green qui porte les coefficients au nombre de 21, on ne voit dans leurs écrits aucun raisonnement qui tende à repoussçr pas plus qu'à adopter

la dif IribttUon It plus timple des élas ticités autour de ehsque poinl dans les corps hélérotropes, et appartenir, au motos avec une grande approximation, aux corps dont risotropie primitive a été altérée par de simples compressions ou di* latations inégales, c'est-à-dire généralement aux corps amorphes ou é crislallt^ sation confuse. Or tous les physiciens admettant que c'est seulement i cet état d'inégal rapprochement moléculaire en divers sens que se .trouve l'éther dans les cristaux dont la forme n'est pas un polyèdre régulier. Il y a donc tout sujet de penser que les relations Caucby (468) ont toujours lieu ou exactement ou i trèspeu §rès , ce qui ^xplique Taccord des faits avec l'analyse de Fresnel , sans recourir aux relations Green et sans rejeter les fix égalités complémentaires (450) tgg yy =- Sary xy etc. que fournit le calcul des actions moléculaires.

On ne parle pas d'une autre manière d'arriver à Téquation (473) de Fresnel, que Caucby a présentée dans un seul de ses écrits, en 4830 (t. XVlll des Mém. de l'Acad.), par esprit de concession é une opinion qu'il avait combattue (celle de la perpendicularité des vibrations aux plans de polarisation) ; car celte nhanière est sujette é une grave difficulté que n'oUta point celle de 4830, bien préférable à notre avis (Voy. Compiee rendus, 47 août 4863, t. LVII, p. 387). '

(>) Société philom. 9S décembre 4855, ou VJnsUiui S3 Janvier 4856 n* 4454.

(*) On the thermo-elastic and tbermo-magneiic Properties of Matter, April 4 855 (The Quarterly Journal of pure and applied Ifalhematics, vol. I, 4857).

(S) Ceber das Gleichgcwicht und etc. Sur l'équilibre et le mouvement d'une tige élastique infiniment mince. Journal de Crello, 56* vol. 4* liv. p. S90 (not^ et p. S98.

les six égalités complémentaires' (150) réduisant ce nombre à 15 dans le cas général, et, par suite, le coefficient unique pour risotropie.

11 en est autrement de M. Stokes, dont le mémoire remonte à 1845 (*), et de M. Maxwell qui a reproduit en 1850 une partie d^ ses arguments en les développant (*).

Ils tirent surtout leurs ingénielix et spécieux arguments de la comparaison de ce qui doit se passer dans les deux états de solidité et de fluidité parfaite, regardés comme extrêmes. Examinons d*abord le mémoire de M. Stokes ayec toute Tattention que mérite un si important travalL

L'éminent professeur de Cambridge s*occupe d'abord des fluides, qu'il considère dans Tétat de mouvement Après avoir réduit, par une analyse nouvelle et remarquable, les vitesses des molécules d'un élément fluide quelconque à une vitesse de translation et à une vitesse de rotation communes à toutes, et à trois vitesses relatives principales dirigées parallèlement à trois droites rectangulaires, et à leur tour celles-ci à unevitesse de dilatation moyenne égale en tous sens et à des vitesses de défomuition (shifting) qui sont deux à deux égales, de signe contraire et perpendiculaires Tune à l'autre, il observe que ces dernières doivent avoir des grandeurs proportionnelles au nombre des sauts moléculaires (start) ou des passages d'un état à un autre état d'équilibre stable, qui ont lieu dans l'unité des temps, et qui font, dit-il, l'eifet de chocs intérieurs successifs. 11 en conclut que les inégalités des pressions des fluides dans l'état de mouvement, ou les différences qu*ofiï*ent entre elles celles qui s'exercent normalement aux trois faces rectangulaires déterminées par les directions des vitesses de déformation, doivent être à chaque instant proportionnelles aux grandeurs de ces vitesses de déformaiion.

En partant de là, l'analyse montre que le frottement des fluides,

(*) Od ihe Théories of Uie {nternal FricUon of Fluidf In Motion and the Equilibrlum and Motion or elasticSollds; laie 44 arrii 48i5 (Transactions of the Cambridge Society, yol. Vili, part. III).

. (>) On Equiltbrium of elastic Dodiès; la le 48 février 4850 (Tome XX, 4853, des TrsDS. of Uie Royal Societj of Edlnburgh, p. 87).

conformémeut à riijpQthèse de Newton (*) et au raisoaneoiefit de Coulomb (*} (avec lequel celui de M. Stokes a quelque analo^) est proportionnel aux très-petites vitesses de glissement relatif que prennent leurs couches contiguês; ce qui fournit des équations fiifii^ntielles analogues à celles où d'autres hypothèses ont conduit Navier en 1822 ^ et Poisson en 1829 {% épuatlons qui ont été données aussi par M. Gauchy en 1828 (^) comme pouvant représenter le mouvement intérieur des corps plastiques dénués d'élasticité (•).

Appliquant ensuite aux corps solides des considérations toutes semblables, M. Stokes décompose, pour un point quelconque» les trois dilatations principales rectangulaires y,D",y (les mêmes que celles qui ont été découvertes par M. Cauchy, % 51 ci-dessus) eu

une dilatation moyenne r égale en tous sens, et on

deux, ou plutôt (pour la symétrie) en trois déjonnaiions (shifting) consistant, chacune, en une dilatation et en une contraction égale dans deux directions rectangulaires; décomposition qui est toujours possible puisque si Ton fait

Ton a identiquement

en sorte que celle des trois dffofunaiions qui est, par exemple.

{}) Principes. Livre S*, secUon 0« et dernière* iTypoibèso el Proposition LI.

(*) Kipérieoces desUnéei i délenuiner la coliâslon des flakies et les lois de leur résistance dans les mouvcmenis Irèa-lcnls. Tome 3* des Uôm. de la classe des Se. pli. el maih. de l'Insiilut.

(S) Tome Vt dos Mèm. de TAc. des se. de riostiuil.

(^) Joarnal de TÊcole polytechnique SO* cahier p. 153.

{^) exercices de UaUi. 3" année (4 828), p. 485.

(S) Nous les avons aussi démontrées, dans une Note relative à la Dynamique des fluides (Comptes rendus S7 novembre 4843, t. XVH p. 4240), en partant de cette simple supposition que, sur chaque face, le frottement est nul dans le seul sens od le glissement est nul, et est, psr suite, i soa maximum dans le sens où. la vitesse de glissement relatif est la plus grande. M. Stokes s bien voulu citer telle Noie dans un iravail sub<cqucMt.

perpendiculaire au sens de D' consiste dans les dilatations égaies et de signe contraire — 5 — et — suivant les sens respec-

tifs de y^ et do d% ne changeant absolument rien au volume nou*

veau d'un élément, qui n*a ainsi été altéré que dans la proportion 3Ô = D' + D" + 5'^.

Invoquant alors le principe de linéarité qn'Il croit pouvoir déduire, avons-nous dit (% 71, p. 719], du fait de Tisochronlsme des oscillations, M. Stokes conclut que pour obtenir, dans un corps supposé isotrope, la pression sur Tun quelconque des plans principaux, celui par exemple qui est perpendiculaire à la direction

do D', il faut ajouter la dilatation générale ô = , mul-

tipliée par un certain coefficient d'élasticité A, avec les déforma-

tiens — g — multipliées par un autre doefflcîenl 2B, ce

qui donne pour cette pression

ty\t ___^ >// ___ \w

D'où, en se servant de formules de changement de plans do pression comme (U) et (11) (SS 17 et 19) , Ton tire aualy tlquemcnt les expressions suivantes des composantes sur trois plans rectangulaires situés d'une manière quelconque dans le corps» et dont les intersections sont prises pour axes coordonnés des x, y, z :

A- . on/'d^ -\ A-h/t3 du , A~2D dv ^ A— 2B dic

(173) \Pyfi == •••#•• \ Psz =^ ..••••

.Jdv , dw\ ...

^**~ \S 'dur Pw =-••••» P*if = --*«(';

(*) développons ici cclto dêducUon analytique^ qai revieol à ccllo par laquelle Caucby a oblena les rormuleft (444)^ oomae nous Pavona dii laoa déreloppeiDeDi page 65S, en partant de celles qu'il avait posées pour les trois pressions dans les directions principaUt,

Ea appelant x', ^, z' ces trois directions qui sont telles qu'on a (§§ 81 et 8S d-après)

formules qui sont identiques à (lii^) en faisant B= ^ ^» A=il- + 3 £

et à (35) en faisant B = e, A = 2e + 3e' (ou avec celles des Leçons de M. Lamé en faisant B = (i, A = 2 (ji + 3 X}.

M. StokeSy en les appliquant, montre :

i^ Que A est bien le coefficient d^élasticité de dilatation ou con^ traction générale, c^est-à-dire le quotient d^une pression uniforme — p^g = — pyy = — p.. exercée sur toute la surface d'un corps, par la compression linéaire ~ d^ = — dy = —- ^^ qu*elle produit en.tous sens. Et c'est ce qui résulte de la fin de notre S 52, p. 658,

où nous avons trouvé ~- = ifc + 3 K = A.

2" Que B, coefficient d'élasticité de déformation, est aussi celui de glissement ou de torsion, que nous avons désigné par G.

On aurait, contioue M. Stokes, ^ = 5 d'après les formules de

M. Poisson et des autres auteurs qui ont fondé leur analyse sur le calcul des actions entre molécules suivant leurs lignes de Jonction deux à deux.

Mais, objecte*t-il (p. 317-318 de son mémoire), ce rapport = des

deux espèces d'élasticité (de contraction générale et de défor-. mation) « n^est pas le même pour tous les corps (même les corps « isotropesdont il s'occupe exclusivement). Infini en quelque sorte « dans les fluides en repos, et toujours très-considérable dans les

« liquides en mouvement, = excède probablement 5 dans les soie lides, môme les plus roides et les plus cassants, et doit être trèsa sensiblement plus grand dans les métaux qui tous, sans en « excepter le fer et le cuivre. Jouissent d*un certain degré de

on oblieDt(4'«forin. (4)

p**=PxVcW + p/v'cV + p.VcV=(A- aD)Ô+SB|ô'c»«,' + ô"cV+

+ 0'" cV) = Aô + SB (;)« — 6)

puisque It première formnle (HJ donne D, =:«^c«,,' + t)"c**y'+ â'V*/- Et on a aussi (4* formule (4)}

puisque la 4* formule (44) donne gys =xle double de la parenthèse.

APPENDJCK Y. 737

tt ductilité Gt de plasticité. » 11 lui semble donc qu*il n^existe aucune ligne de démarcation entre les solides plastiques et les * liquides visqueux, la distinction pratique de ces deux sortes de corps ne résidant au fait, dit-il, que dans an certain rapport entre les forces de pesanteur et de cohésion. Tel corps, contînue-t-ll, qui se comporte sur la terre comme un solide ductile, s'affaisserait sur lui-même s'il était transporté sur la surface du soleil, et se nivellerait alors comme un liquide visqueux sous l'action d'une pesanteur qu'on ss^it être vingt-huit fois plus considérable, et, cela, indépendamment de tout accroissement de sa température; et tel liquide visqueux terrestre so comporterait comme un solide plus ou moins mou s'il était placé à la surface d'une petite planète comme Pallas, où la force de pesanteur est réduite au vingtième de ce qu'elle est sur la terre.

M.Stokes pousse cette doctrine de la continuité jusqu'à elTacer (break down) la distinction entre les liquides et les gaz ^ en se fondant sur jquelques faits de changement d'état en vase clos.

Ilpensemème que le rapport A :B'des deux sortesd'élasticité est en core extrêmement grand dans les solides à la fois mous et élastiques ou revenant tout àf ait à leur forme première après des déformations considérables, comme le caoutchouc (Indian Rubber) et les gelées. Il dit' enfin que lorsqu'un corps est comprimé ou dilaté uniformément en tous sens, ses molécules « ne peuvent pas utilement « prendre de nouveaux arrangements mutuels pour s'affranchir « de cet état forcé (relieve from constraint) mais qu'elles le peuvent « efficacement lorsqu'on a fait éprouver au corps une simple dé- « formation » diminuant une de ses dimensions pour en augmenter une autre dans la même proportion ; d'où il suit que dan«; ce second cas la résistance est bien moindre; et que, même, s'il n'y a pas encore re-arrangèment moléculaire, il se développe toujours une tendance à l'amener, qui n'existe pas dans le premier ca (celui de compression égale en tous sens); et cette tendance explique, suivant lui, la petitesse du coefficient B d'élasticité de déformation par rapport à A, coefficient d'élasticité de' compression ou dilatation générale.

A ces considérations de M. Stokes, M. Maxwell ajoute que comme la nature offre des corps « à tout état intermédiaire entre la par- « faite liquidité et la parfaite solidité », et comme les liquides ré^ 1. 47

sistent éoergiqueinent au cluinganent de volume mais nullement au changement de forme, ces deux sortes de résistance ou d'élasticité qu'il £4)pel]e Tune cubique Fautre linéaire ne peuvent être pour tous deux dans la même proportion, « d*oà la nécessité « de deux coefficients. » ATopposédes gelées dont la résistance à la compression est comnarahie à celle de Teau, le savant écossais cite le liège qui se laisse facilement comprimer mais dont la résistance au glissement relatif des parties est bien plus forte que celle d^s gelées; cette citation prouverait que M. Maxwell regarde

le rapport — comme pouvant descendre au-dessous de 5, limite

inférieure que lui assigne M. Stokes.

Ces objections, que nous n'avons pas cherché à affaiblir, pour^ raient être sérieusement opposées à Tunité du coefficient, si les formules de la théorie de Télasticité devaient s'appliquer aux corps et aux déplacements du genre de ceux qui viennent d'être considérés. Mais les inventeurs de ces formules n'ont pas eu Tintention de leur attribuer un tel degré de généralité; jmiais nous ne les appliquerons jusqu'à un pareil point, et l'on se garde bien d*en approcher pour les matériaux dans la pratique; une ibis produit cet écrouissage préalable dont nous avons plusieurs fois parlé (SS 6 de la note du n" 1, et 9 et 10 de celle du n*" 31), et qui amène le système moléculaire à l'état stable auqu^ les calculs s'appliquent. Les formules n ont point été dressées pour régir les déplacements moléculaires produisant des forgeages, pétrissages, laminages, estampages ou emboutissages des corps ductiles, même lentement et sans percussion. Dès qu'un solide, en se déformant, se comporte le moins du monde à la manière d*un fluide dont les parties se meuvent sensiblement les unes par rapport aux autres, c'est-à-dire dès qu'il y a, dans ce solide, passage successif de certains arrangements moléculaires à d'autres; dès que la limite d^un éUd d'équilibre stable est franchie pour sauter (to start) à un autre état où l'équilibre peut subsister ou s'établir sans forces extérieures, alors les pressions ou résistances intérieures, bien que dues toujours aux actions entre molécules, changent tout à fait de nature et de marche, en supposant même qu'elles puissent se trouver représentées par des formules ayant à peu près le môme aspect ûA lés vitesses remplacent las déplacements (comme celles

(le Navier, Poisson, etc. , et M. Stokes po.ur les fluides). Les pressions développées dépendent dès lors, en effet, d'un travail dynamique où Vinertie joue un rôle capital, parce que ce travail se trouve transformé, pour \s^ plus grande partie, en force vive, ou consommé à produire les ébranlements imperceptibles qu'amènent les Start ou sauts successifs d'un arrangement k celui qui suit, effet que M. Stokes compare à ce qui résulterait d'une série de chocs. Et non-seulement, tout au contraire, les formules de la théorie de l'élasticité des solides demandent, pour être vraies, que les déplacements restent dans les limites de la stabilité de Tarrangement moléculaire primitif, mais elles exigent encore absolument qu'ils soient peu considérables par rapport à retendue que ces limites comprennent, et elles cessent d'être applicables si les déplacements vont seulement jusqu'à approcher de cette tendancy at a re^arrangement que M. Stokes a si bien signalée et caractérisée. En effet dès que cette tejadance se manifeste et annonce l'arrivée ou seulement l'approche d'une de ces situations instables .où il y a indifférence entre le retour à l'état primitif et le progrès vers un état nouveau, les résistances cessent d'augmenter proportionnellement aux changements dans les distances moléculaires (0- Alors les dérivées secondes /"(r^ des actions exprimées en fonction/ de ces distances r commencent à influer notablement et à donner des termes sensibles, négatifs si l'on dilate et positifs si l'on comprime; et les formules, dont la forme linéaire est Jon» dée 'précisément sur ce qu'on néglige ces termes du second ordre dans les développements des actions nouvelles mises en jeu, cessent d'être suffisamment approchées. L'argument tiré de la plasticité des métaux ou de diverses manières de se comporter intermédiaires entre

celles des solides parfaits et celles des liquides parfaits ne prouve donc rien contre les formules à un seul coeffi

(^) cet eut d'indiflérence , quand H eit quesUon de deux molécule:» seulement, répond^ comnie Ta remarqué M.' Ponceiet (Inlroduction i la mécanique industrielle n° 339) à rabscisse 0 9 de la Bgure cicontre, qui est celle de la note dn $ 46, p. 543.

lUO SECT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.

ciept, qui n*oat jamais été proposées que pour des solides se comportant comme des solides élastiques et extrêmement peu déformés, et nullement pour des corps intermédiaires entre les solides et les liquides, ou bien pour des ressorts forcés ou sur le point de Tètre.

L'in^nieuse considération de ce que deviendraient divers corps en les transportant, sans changement de température, de la surface de la terre sur celle d*autres astres, ne prouve pas davantage la nécessité des detix coefficients dont le rapport varie avec la substance; car si, à la surface du soleil. Ton soumet du cuivre, du fer doux, etc., à des forces qui soient à celles auxquelles ils sont habituellement soumis sur la terre dans le rapport 28 : i des pesanteurs, ces métaux, en supposant même qu'ils ne prennent pas Taspect fluide ou qu'ils ne se brisent pas, se trouveront forgés ou emboutis, et leurs modifications ne seront plus régies par les for* mules de Télasticité, qui, disons-nous, ne s^appliquent point jusque-là à beaucoup près.

Mais il y a plus. Ces formules ne sont mathématiquement données pour vraies que quand les déplacements sont in^nimejif petits; cas extrême et unique où elles conviendraient même aux masses liquides ; et elles ne sont données pour approximativement exactes et applicables, pour des solides quelconques, que lorsque les déplacements relatifs dans chaque portion très-petite, c'*est-à-dire les dilatations et glissements, sont extrêmement faibles^ ou restent dans des limites fort resserrées qui peuvent varier, au reste, d*un corps à Tautre. Il suffit donc que les changements de volume et de forme y soient quelque peu considérables, comme ceux qu^on peut faire subir au caoutchouc et aux gelées, sans qu*il y ait encore tendance à un arrangement nouveau et persistant, pour que les formules linéaires des pressions cessent de s'y appliquer. Alors, en effet, les termes d'ordre supérieur au premier sont encore influents et ne peuvent être négligés.

Il ne faut pas oublier d'ailleurs que ces deux sortes de substances, comme nous avons dit ($ 59), et sans doute aussi la plupart de celles que M. Graham désigne sous le nom de colloïdes par opposition aux corps cristalloïdes ('), ne sont probablement que des

(1) 1>c la DiiTusion liquide appliquée j| l'analyse (Compte! rendus de rAcadèniiri 42aoûl4864 1.53, p. 275}.

espèces de réseaux ou d'épongés dont les mailles ou cellules se trouvent remplies de quelque liquide se comportant comme tel dans les déformations et compressions. Ce liquide se manifeste môme dans le caoutchouc fortement frotté ou pétri, qui devient collant et glutineux parce que ses cellules apparemment se trouvent brisées. On ne peut donc toujours rien inférer, contre les formules à un seul coefficient, de Ténorme rapport que quelques expériences ont montré entre la résistance à une diminution du volume et la résistance aux changements de la forme de pareilles substances.

Et puis. Je le demande, les mêmes substances ou gommeuses ou demi-fluides opposeraient-elles une résistance aussi énergique à une augmentation égale du volume si Ton pouvait les y soumettre par Tapplication d'une traction uniforme sur toute leur surface? Je ne le pense pas, et personne probablement ne le croît davantage, lia compression effectuée sur le caoutchouc dans lesexpé* riences, bien que petite, excédait donc déjà très-probablement cette proportion pour laquelle les efforts restent proportionnels aux effets, et sont égaux pour des effets égaux et opposés. Les formules linéaires cessaient ainsi de s*y appliquer puisque de pareilles formules donnent nécessairement cette égalité dans les deux ,se?îs, et ceja quel que soit le nombre des coefficients qu'on y mette.

Tout prouvo qu'en général si Ton dépasse les très-petites proportions de changement de distance pour lesquelles les dérivées du second ordre sont sans influence sensible, il y a bien plus de résistance aux rapprochements qu'aux écartements (*}.

Quant au liège, dont parle M. Maxwell, et aux moelles végétales qui pourraient être citées au même sijget, rien ne prouve que leur résistance à une très-petite compression cubique ne soit pas avec leur résistance à une très-petite déformation dans le rapport qu'indiquent les formules à un seul coefficient. Et quand ce rapport serait autre, on ne pourrait toujours en rien conclure contre elles, car ce n'est pas non plus pour des systèmes spongieux dont les

(1) Ce n'est nème qu'à colle condition (ou qu'autant que la courbe représenta lire des répulsions mulucltes, prises pour ordonnées, tourne sa convexité vers l'aie des distances prises pour abscisses) qu'on peut eiplîquer les dUataiiont pur Itt chaleur, supposée rétider dans les ribralions atomiques (Société philomalhique 90 octobre 4855, au Journal VJtntiiutj 49 décembre, n" 4146 p. 440)

ellules à paroi mince doivent avoir des diamètres bien plus grands que le rayon d^activité moléculaire, que ces formules ont été rationnellement établies, et qu*on a Jamais proposé de les employer. On ne voit donc toujours pas là de motif pour faire usa^e, dans le calcul de la résistance des solides, de formules à plus d'un coefficient s'ils sont supposés isotropes, et à plus de quinze s'ils ne le sont pas.

S 74.. Suite, 3* M, Clausius. — Nous avons déjà dit (S 69) que réminent professeur de Zurich regardait, nonobstant les objections élevées, comme parfaitement fondé remploi fait par Gaucby, Poisson, etc., du principe physique des actions à distance entre points matériels pour établir les formules donnant les relations entre les pressions appliquées et les déplacements moléculaires qui résultent immédiatement de leur application. M. Clausîus montre très-bien q^e Thypothèse justement reprochée à Poisson (») « que le rayon d'activité est très-grand par rapport à rintervalJe moléculaire » n'avait nul besoin d'être faite pour cet établissement des formules dépression, formules qui subsistent même quand l'action entre les molécules les plus voisines est supposée avoir une influence dominante au lieu d'être négligeable , comme Poisson croyait devoir le supposer, devant les actions moins intenses mais plus nombreuses des molécules les moins proches; car ces formules, observe-t-il, doivent être envisagées comme s'appliquant non pas à chacun des arrangements moléculaires particuliers qui ont lieu dans une portion du corps, mais à ce qui résulte de Tensemble d'un nombre toujours très-grand de ces arrangements, c'est-àr-dire à un arrangement moyen, qu'il appelle normal parce qu'il est le seul qu'il faille considérer dans les applications. Ge nest de même qu'en moyenne^ ou en ensemble, et malgré de nombreuses inégalités des actions moléculaires individuelles, qu'un corps -est supposé ou reconnu d'égale élasticité en tous sens. ,M. Clausius admet donc les formules de Poisson et de Gauchy, même quand chaque molécule serait douée de polarité ou exercerait en divers sens des actions inégales, et quand même aussi les

(>) Voyez $ 33 cMeçsui, flo de la note.

APPENDICE V. 7(l3

actions mutuelles des divers points de deux quelconques d'entre elles n'auraient pas toujours une résultante passant par leurs centres de gravité, mais engendreraient des couples capables de faire tourner les nvolécules sur ces centres ; pourvu, ajoute-t-U très-bien, qu'il y en ait dont les faces soient orientées dans toutes les directions, comme on doit le supposer pour les corps isotropes, qui sont nécessairement à cristallisation confuse (*).

M. Glausius Justifie donc de tout point, et avec une lucidité né laissant pas de place à la réplique, les formules de Poisson et de Gauchy qui sont h un seul coefficient pour la cou texture isotrope et ^15 pour la contexture la plus générale; mais il ajoute : « En tant m que le changement opéré dans le corps ne consiste qu'en un « simple déplacement (blossen verschiebung) moléculaire. » Or le savant professeur, regardant les expériences de M. Weftheîm, nouvellement 'publiées alors, et que nous avons discutées ci-dessus ($S-60, 61. é^) comme mettant en contradiction ces formules avec les faits, et sans songer à élever un doute sur la parfaite isotropie des matières sur lesquelles elles ont été exécutées, se demande si les corps, sous Taction des forces extérieures, n'éprouvent pas un changement interne consistant en quoique autre chose que le déplacement des molécules les unes par rapport aux autres.

Il pense le trouver dans, le résultat des recherches expérimentales faites en 1835 par M. W. Weber sur Télasticité des Jls de soie ('} ; recherches dans lesquelles un poids àùspcndu aux fils a

"i}) M. ClaDsfus montre même que moyennaDl ceUe subslUution, en chaque petite partie du corps, de l'arrangemeiit normal ou d'ensemble aux dlTcrs arrangc-

menta partienUeri qui j ont Ueu, les sommes telles que (4 9) ^ ^mr, fr. cos* [r.x)

el (26) - ^Mir^ — cos^ (^>^)» c^* dooDant les constantes des formules, peuvent être converties en iniégralet par coordonnées polaires aph^riques, comme ont fait dans le principe Narter, etc. sans entraîner les fausses conséquences qui ont fait rejeter par Poisson ees sortes d'intègraliôti (du reste inutiles) ; car, en admettant toujours la ditcontinuité de la maiièro, o« l'isdcment des moléooles, elles ne se feront jamais depuis r = 0 ce qui la supposerait continue^ mais depuis r = un interralle moléculaire minimum imperceptible mais fini,

if) Recueil scieniiflque do Gottingue, p. 8; ou extrait inséré aux Annales de Poggendorff, tome 34.

7llU ^ SECL. i. BÊS1STANG£ DBS SOLIDES.

produit, après Taction immédiate et presque iostantaûée, une action élastique ultérieure ou subséquente (elastische nachwir- Icung) manifestée par un allongement qui se continue pendant vingt-quatre heures et qui s^élève jusqu*à un tiers de celui qui a été immédiatement subi; allongements qui disparaissent Ton et Tautre au bout d'un temps à peu près égal lorsqu'on enlève le poids ; en sorte qu'on ne doit point confondre le nachwtrkung de M. Weberavec ces allongements permanents ou persistants qui résultent d'altérations de l'élasticité ou plutôt de la contexture des corps soumis à des efforts d'une certaine grandeur.

Une expérience plus ancienne de M. Webcr (*} paraissait avoir manifesté aussi une action élastique ultérieure dans un fil méiallique^ mais avec des circonstances telles qu'il fallait supposer cette action consommée, pour la plus grande partie, pendant le premier quart de seconde après l'application du poids.* Malgré cette particularité, M. Glausius pense que dans les métaux comme dans les substances organiques, on doit admettre l'existence de cette deuxième action; il lui attribue même les excès notables de grandeur qu'on obtient pour le coefficient d'élasticité E de Navier lorsqu'on l'évalue par la hauteur du son produit par des vibrations longitudinales des tiges quand on le compare à celui qui se mesure par l'allongement statique dû à des^poids en repos. Il explique cette singulière action (nachwirkung) en supposant qu'au pi-emier moment soit de l'application d'un poids ou d'une pression extérieure soit de l'excitation d'un ébranlement, les molécules ne font que s'écarter ou se rapprocher ou n'éprouvent que des translations, mais qu'il leur faut plus de temps pour .tourner sur ellesvivmes si les actions combinées des atomes ou des points matériels (jui les composent sont de nature à engendrer des couples ou à produire aussi des rotations. Il conclut que dans le calcul des mouveoj^nts vibratoires, dont la durée est toujours trop faible pour permettre Vaction subséquente^ il convient d'employer les formules h un setil coeffloicnt. légitimement déduites de l'analyse des actions moléculaires développées entre les points matériels par leurs déplacements relatifs, mais que, dans le calcul des déformations

(l) Ann. de Poggcodorff; l. 20.

produites jusqu*à un état â*équiiibre qui s^établit après un temps devant être plus long, il faut, pour tenir compte de cette deuxième sorte d'action (nachwirkung) recourir aux formules à deux coefficients.

Nous ne saurions être, sur ce dernier point, de Tavis du savant professeur avec lequel nous avons eu le bonheur de nous rencontrer sur tant d'autres. L'action prolongée ou subséquente (nachwirkung) si manifeste pour la soie et que M. Wertheim a reconnu exister aussi d'une manière non douteuse pour d'autres substances organiques non ligneuses ni osseuses (^), ne nous paraît nullement démontrée pour les métaux et les autres matières employées dans les constructions. Et quand même elle aurait lieu pour tous les solides^ nous ne voyons pas pourquoi on leur appliquerait, dans les calculs d'équilibre, ces formules linéaires à deux coefficients dont la forme n'est justifiable que par là loi même des actions moléculaires dont une conséquence est, comme on a vu, de réduire les deux coefficients à un seul si la contexture est isotrope. Que les changements intérieurs subis sous Taction des forces ne demandent qu*un temps inappréciable ou qu'ils exigent un quart de seconde, ils dépendent toujours des déplacements des points; ce sont mêmes ces déplacements u, r, w ou leurs dérivées qui entrent dans les formules soit à un soit à plusieurs coeflScients; 11 suffit que ces déplacements soient au total extrêmement petits, avec ou sans rotations des groupes atomiques composant les diverses molécules orientées confusément dans toutes sortes de directions, pour que les actions moléculaires qu'ils développent doivent recevoir (au moins en moyenne comme dit très-bien M. Clausius) les valeurs qui leur sont attribuées par le calcul de Gauchy et Poisson, et pour

{}) Mémoire sur l'éUsUcité des principaux tissas du corps humain (28 décembre 4846, aoD. de ch. et de pb. t. XXI). C'est surtout lorsque ces tissus conserYaient leur humidito que racUon subséquente était considérable. M. Wertheim remarqua aussi que les allongements totaui et* comprenant une partie persistante croissaient dans un rapport mmndre que la charge^ à l'opposé de ce qui a lieu pour le fer doux cl les autres métaux ductiles, et comme il nous semble qu'il arri?e aussi pour les lanières de caoutchouc; ce qui y offk'irait peut-être une preuTe de plus de l'existence, à Pétat liquide, de cette sorte d*buile qu'un long pétrissage manifeste, en sorte qu'on ne doit pas appliquer à cette matière les formules relatives aux ?rais solides.

lU^ SECT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

que les formules basses sur ce calcul doivent être acceptées. II y a donc lieu de conserver ces formules, en interprétant comme nous avons fait ci~dessus les résultats de M. Wertfaeim qui ne les contredisent qu*en apparence.

$ 75. Résumé de ta disciLSsion du cinquième Appendice, — fions allons récapituler cette discussion à laquelle nous avons donné beaucoup de développement au risque de nuire à la force des preuves par leur multiplicité, parce qu'à nos yeux les convictions tardives sont les meilleures si elles sont les mieux assises et les plus durables. On concevra à peine, un Jour, la nécessité où nous avons été de nous y livrer si longuement, lorsqu'on apercevra bien qu'elle ne tend en définitive qu'à faire prévaloir les plus simples conséquences du principe de physique générale le mieux avéré et le plus universellement accepté, ou tout au moins à repousser comme infiniment improbable ce qui y est manifestement contraire.

Tous les phénomènes montrent que les particules des corps agissent à distance les \ines sur les autres. Cette action réciproque c'est-à-dire constamment accompagnée de réaction égale et directement co'ntraire est, aujourd'hui, prise d'une manière explicite pour base de la Mécanique envisagée et enseignée au point de vue des réalités physiques substituées aux suppositions abstraites de corps parfaitement durs, de matière continue, de fbrces agissant instantanément et au seul contact, etc., qu'on a abandonnées non-seulement comme contraires aux faits mais encore comme ne fournissant, pour les théorèmes relatifs aux corps finis, que des démonstrations illusoires. La loi qui régit cette action est môme implicitement renfermée dans les principes mathématiques de la Mécanique, et on ne saurait la nier sans supprimer cette science en tant que géométrique ou essentiellement liée à celle de l'étendue. Toute force qu'on y considère a en effet un point d'application; et si les particules sont étendues ou composées, c'est sur chacun de leurs ppints élémentaires que les forces s'exercent, et c'est sur les points d'autres particules que s'exercent les réactions contraires. Or, pour qui admet cela, il n'est pas douteux, et tous les faits le montrent d'ailleurs, que l'action entre les deux mêmes points ne soit la même pour même distance, qu'elle ne change quand la distance change, et fort peu si celle-ci ne

change que dans une faible proportion; ce qui est bien admettre que Vaction est fonction de la distance, et fonction continue. Enfin puisque l'action de m sur n, dirigée vers le point de l'espace occupé par 7î, doit être directement opposée à la réaction de n vers le point occupé par w, cette action mutuelle ne peut avoir d'autre direction que celle de leur ligne de jonction mit. C'étaient même déjà des actions réciproques de ce genre (sauf le changement des distances qui étaient abstractivement traitées comme invariables), qu'on substituait toujours aux liaisons lorsqu'il s'agissait de démontrer, à l'ancieu point de vue, la mécanique des systèmes.

Si la pr udence scientifique prescrit de ne pas se fier à toute hypothèse elle n'ordonne pas moins de tenir pour fortement suspect ce qui est manifestement contraire à une grande synthèse reliant admirablement la généralité des faits, en sorte qu'on ne puisse lui refuser la plus immense probabilité (à défaut d'une certitude qui n*est pas de ce monde en pareille matière), et sur laquelle ceux même qui en révoquent eh doute la légitimité ne peuvent s*empôcher de s'appuyer implicitement comme sur une base mathématique indispensable. Aussi repoussons-nous toute formule théorique en contradiction formelle avec la loi des actions fonctions continues des distances des points matériels et dirigées suivant leurs lignes de Jonction deux à deux. Si, en recourant à une telle formule, on explique plus facilement certains faits, nous la regarderons toujours comme un expédient trop commode pour répondre à quelque chose devrai, et ne produisant qu'une illusion et uu faux [repoâ, propres à arrêter les recherches et à ajourner indéfiniment la découverte des explications véritables (telles que la mise en compte d'une hétérotropie non d'abord aperçue).

L'opinion de deux coefficients pour l'isotropie, et de plus de quinze pour le cas général de contexture, que nous combattons dans cet Appendice, a eu, dans deux pays, des origines dilTérentes en apparence» mais se rapportaut également à l'adoption d'un expédient de ce genre, explicatif de faits superficiellement examinés et interprétés, qu'on croyait incompatibles avec la théorie déjà établie.

En France, les formules des composantes de pression (113) et (115) à un seul coefficient, qui longtemps avaient été reçues sans contestation en tant qu'applicables aux corps isotropes ou d'égale

IhS SECT. 1. RÉSISTAïiCE DES SOLIDES.

contexture en tous sens, «avaient reça une confirmation expérimentale du mesurage, par M. Gagniard de Latour {$ âS), de rallongement et de Tamincissement simultané d'un gros fil de fer, c'est-à-dire d'un cylindre p/Wn, Cependant, à la suite d'expérîencfâf sur la compression de Teau dans des vases ou piézomètres euxmêmes comprimés, une objection de M. OErsted, que personne n'a admise (S â8), et qui tendrait à exclure toute formule, a été roccasiond'undouteélevéparM. Regnault, noupassurTexactitudc analytique des formules dressées par Navler, Poisson, Gaucby et MM. Lamé et Giapeyron dans les mêmes termes par des marches dilTérentes, en supposant la matière isotrope, mais sur l'existence supposée fréquente de cette qualité physique (l'isotropie) qu'il regarde au contraire, avec Savart, comme n'ayant lieu Jamais exactement, même dans les solides coulés tels que le verre, la fonte, etc.

Or cette hétérotropie ou cette inégale élasticité avait déjà été prise en considération par M. Gaucby lorsqu'il donnait, en 1828, pour le cas de contexture le plus général, ses formules à quinze coefficients, qui se réduisent à six lorsqu'il y a trois plans de symétrie, et à trois lorsqu'il y a un axe de symétrie de contexture, et ne se réduisent à un seul que lorsqu'on revient à la contexture isotrope ; les pressions étant supposées nulles dans Tétat primitif ou antérieur aux déformations opérées, car, lorsque le contraire a lieu, l'illustre analyste trouvait qu'il fallait ajouter aux coefficients six autres paramètres ou constantes, réductibles à trois^ à deux et à U7i dans les mômes cas particuliers.

Mais M. Wertheim crut devoir ($ 50) interpréter les faits autrement que ne l'avait indiqué M. Regnault (0 ; et, en partant du ré-

(1) Au moment où sMmprimait (1860-1864) la première ptrUe de la diseuesioa qui précède, nous ne connaissiooi pas encore la fin prématurée (49 janyier 4S64) de cet estimable physicien, qui eût pu longtemps encore enrichir la science des rcsuUats de ses laborieuses et consciencieuses recherches expérimentales, et sur les traraux duquel notre confrère à la Sociélé pbilomalique, M. Verdet, a publié une intéressante n«.tico insérée au journal VJnutitvt (n^ 443^, 4433, 1434) et au Builciin de cette société en d*ate des 42^ 49 et 26 juin 4864. L'appréciation qui y est faite du résultat de ses recherches ne peut, au reste, modifier en rien notre avis sur le point litigieux que nous avons traité.

Au reste Wertheim, dans son dernier écrit (Comptes rendus, 17 décembre 1860, t. Ll, p. 974 et 974), reconnaissait que le rapport des coefficients A: et K des formules pourrait n'aroir pay, pour tous les solides, la valeur =r 4 qu'il lui avait assignée d*après ses expériences de 4848.

sultat d'uD essai, par M. Gauchy, de rétablissement de formules de rélasticité des corps envisagés comme des masses continues, au moyen d'une certaine hypothèse (S 51} proposée en 1822 et essentiellement modifiée en 1828 sans en faire cesser Tarbitraire» M. Wertheimr avança que l'analyse ne pouvait fournir, pour le cas d'isotrople, que des formules à deux coefficients distincts k et K, dont le rapport mutuel ne serait déterminable qu'expérimentale-^ ment; opinion à laquelle a pu prêter la similitude des notations dont M. Gauchy a fait usage dans deux cas essentiellement différents (S 51, p.65/i-655), où il y a et où il n'y a pas de pressions antérieures aux déformations. En conséquence, M. Wertheim, croyant, sur de légers indices, à la parfaite isotropie des matières employées dans ses expériences, a proposé (S 52) des formules

k nouvelles (119), où l'on a - » 1 au lieu de 2 comme on l'admettait,

et comme le donne la théorie fondée sur la considération des ac-

tiens moléculaires à distance. Les formules de M. Wertheim n'ont

pas été adoptées, car on n'a pas trouvé qu'il y eût lieu de prendre,

sans raison théorique, un nombre rond et constant tel que 1 pour

le rapport regardé comme inconnu de A; à K ; mais il est résulté

de leur proposition que beaucoup de physiciens et même de géo-

k mètres ont pensé (S 53) que la grandeur de ce rapport =z ne pou-

Ai

vait pas être fournie par la théorie et qu'il variait, pour les diverses substances de contexture mécanique isotrope, avec leur nature chimique, bien que les actions chimiques n'entrent point en jeu dans les phénomènes de l'élasticité.

Cette opinion semble, au premier abord, devoir être une conséquence de la manière dont Poisson ($ 5&) a proposé incidemment d'établir les formules de composantes de pression relatives au cas général d'une distribution quelconque de l'élasticité autour de chaque point; car il fonde sa démonstration de la linéarité de ces formules sur ce qu'on peut négliger les carrés et les puissances supérieures des dérivées des petits déplacements devant leurs premières puissances, en sorte que, sans invoquer en apparence le principe des actions fonctions continues des distances molécu* laires, il obtient des expressions à 36 coefficients paraissant indépendants, qui rqpteraient au nombre de 2 sans aucun rapport

mutuo] néccssair<4 lorsqu'on introduit analytiqueinept la condition

d'isotropie,

Mais (§ 55), ce raisonnement de Poisson suppose tacitemeat admis par ses lecteurs ce qu'il invoque précédemment dans tout le

reste de son ipémoirCt à savoir la loi des actions fcmctiont continues des distances moléculaires; car c'est seulement en se baant sur cette loi que les pressions, résultantes des actions entre molécules, peuvent être regardées comme dépendant nécessairement des petits déplacements relatifs ou des dérivées de leurs déplacements absolus, et, surtout, qu'on peut regarder leurs développements suivant les puissances qscendantes de ces derniers comme commença»! certainement par les puissances i. Or, cette loi des actions moléculaires étant admise, on démontre» ou à la manière de M. Gauchy (note du § 23), ou même par le raisonnement très -élémentaire (S 21) prouvant l'égalité nécessaire des coefficients de Dy» gy» dans p^, à ceux de g^y, g» dans pny C) « Que les 36 coefficients se réduisent à 15 daqs les corps d'une contexture quelconque, et, par suite, qoe les deux coefficients A; et K des corps dont la contexture ^t isotrope se réduisent à un seul à cause de l'égalité A= âK qui se déduit matiiénatiquement de cette loi. Si Ton se refuse à cette conséqucDCÇ, il faut rejeter jusqu'à la forme des expressions des composantes de la force élastique ou pression, et laisser dans le domaine de l'empirisme pur ce qui regarde l'élasticité des solides.

Nous avons vu aussi ($$ 57, 58, 50} que les expériences ne prouvaient rien contre les formules d'isotropie avec k = 2K. Elles expliquent aussi bien que les formules aveo k = K, de M. Wertheim, les faits observés par M. Regnault, dans les limites d'exactitude sur lesquelles la nature des matières employées permet de compter d'après cet illustre physjcien. On ne peut rien inférer des expériences sur le caoutchouc (S 59), car celles de M. Giapeyron don-

(I) Un raiionnetnenl de ce genre a?a|l déjA été fail par II. Hacquorn Rankine au § lU ihéorèmo IV do son mëmoiro Laws of Eluslicity of solid Bodiet, lu le •1*' avril 1860 (Cambridge and Dublin mathcroaùcal Journal, vol. V] pour prouver que dans l'hypothèse des actions entre points maiÉricIs qu'il appelle le système de Uoscovich, les deux coefllcienls û'élasUeité latérale i^ryy et Syy «f» et le coefflcient de rigidité a^y xy sont nëcessaireroent égaux eoire eux.

k nent aa rapport - onze cents fois moindre que celui qui est con-

clu par M. Wcrttieim de celles qui lui sont propres, et il y a lieu de penser que cette sorte de matière, provenant plutôt d'une coagulation que d*une solidification d'une substance fluide, et qui affecte tant d'états divers selon qu'elle a été plus ou moins malaxée, frottée ou réchauffée, n'est, dans son état ordinaire, comme les gelées, etc. , qu'un réseau ou une éponge dont les cellules peuvent contenir un liquide se comportant comme tel dans les déformations et les compressions; et les anomalies qui lui sont propres peuvent d'ailleurs s'expliquer encore (S 73) en remarquant que les modifications de ce genre qu'on lui fait subir, sont toujours, bien que réputées petites, beaucoup plus fortes que celles auxquelles on soumet les solides proprement dits, et qui peuvent seules être représentées par les formules linéaires ; formules dont une conséquence, au reste, il ne faut pas Toublier, est Tégalité des forces opposées capables de produire deux effets contraires et égaux, ce qui n*aurait vraisemblablement pas lieu pour ces sortes de substances et pour la grandeur des modifications subies.

Et , quant aux expériences de M. Wertheim soit (^60) sur l'augmentation de capacité répondant à l'augmentation de longueur des cylindres creux^ soit (§ 63] sur les vibrations tournantes des tiçes

E rondes (qui semblent donner - = 9,67, tandis que les tiges carrées

OU rectangulaires donnent 2,5 au plus), leurs résultats, dus peutêtre à certaine^circonstances de l'opération {$ 60) peuvent s'expliquer autrement, d'une foule de manières (§ 61 et $ 93 ci-après), par un léger défaut d'isotropie, qui doit avoir une influence bien plus marquée sur les tiges creuses que sur les tiges pleines, et qui est rendu extrêmement probable par un grand nombre d'autres faits observés, tels que ceux qui avaient déterminé Savart & n'opérer que sur des tiges de plâtre en rejetant les métaux et le verre, dans ses expériences les plus délicates (*).

(*) M. Kirchhoff (Mémoire sur le rapport de raUongcment à la contraction transversale dans les barreaux d'acier trempé; Annales de roggendorfT, nqyembrc 1859, t. CVIU, p. 369, ou Annales de ch. et de ph., août 18G0, t. UX, p. 498), en mesurant par un moyen ingénieux la torsion et la flexion prises si-

Oa a aussi mentionné et développé de deux manières {$$ 64, 66) le raisonnement par lequel M. Cauchy, en 1851, dans un rapport approbatif de Tusage fait par M. Wertheim de certaines de ses formules de 1828, montre que les coefficients affectant les dérivées des déplacements moléculaires, qui ne sont que les valeurs mojeones des déplacements des atomes ou points matériels composant chaque molécule, peuvent bien avoir des grandeurs différentes de celles qu^on trouve quand on dresse les formules en attribuant les mêmes déplacements à tous les atomes d'une même molécule, comme il le faisait implicitement dans ses principales recherches de 1828 ; d'où il suivrait que ces 36 coefficients peuvent n'avoir pas toujours entre eux les 21 égalités trouvées en 1828 et les réduisant à 15 distincts.

Mais on a vu ($$ 6/ii, 65), et M. Cauchy le dit lui-même, que ces différences simplement possibles (et, nous le croyons, toujours insensibles si elles existent) (§ 67) dans les grandeurs relatives des coefficients des formules de pressions, ne regardent que certains solides à cristallisation régulière, ou à structure périodique (SS 6A & 68) : elles viennent des concordances de périodicité qui peuvent donner une valeur finie à la moyenne des produits de quantités dont chacune a zéro pour moyenne particulière. Ces différences de grandeur dos coefficients n'ont donc pas lieu pour les corps à cristallisation confuse, comme sont tous les matériaux de construction, et comme sont aussi, rtécessairement^ tous les corps isotropes, ce à quoi paraît n'avoir pas pensé l'émînent analyste dans la conclusion du raisonnement qu'il a présenté en quelques lignes.

multaiiëment par des barreaux cylîDdriques horizontaux de (rois millimëires en-

Yiron de diamètre sur deux fois quinze centimèlres de longueur fixés à leur

E milieu, trouve moyennement - =: 3 (4 + 0, 294) = S, 588 pour le rapport des

deux coefficients d'allongement E et de torsion ou glissement G. La difTérenoe entre

ce nombre et 2,5 que donnent les formules â un coefQcient est assez petite pour

qu'on puisse Tatlribuer à un défaut d'iaolropie et d'homogénéité des barreanz.

M.Wertheîmdit Acesujet(Compte8rendus,47décembre4860fl.LI,p. 973) : «C'est

« bien gratuitement qu'on doterait d'isotropie un corps trempé : l'action que te

« verre trempé exerce sur la lumière polarisée le prouve surabondamment, et si

« l'on avait k rechercher le moins homogène parmi les corps non cristallisés, c'est

« sur une substance trempée que devrait tomber le choix. »

En Angleterre, c'est à Toccasion ($$ 69» 72) de recherches sur Ta propagation des ondes lumineuses qu'a pris naissance Topinion ici discutée et combattue. Green admet bien avec Cauchy que les lois de réquilibre et du mouyement d'un milieu élastique doivent être déduites de la considération d'actions Intérieures variables avec les situations relatives ou les distances mutuelles des particules qui les composent ; et il reconnaît que les coefficients des formules se réduisent incontestablement aux 15 de Cauchy si Ton regarde ces particules comme des points dont les actions sont dirigées suivant leurs lignes de jonction. Mais comme il désire sinon annuler, ce qu'il reconnaît impossible, au moins rendre incomparablement plus petite que ne fait l'analyse Cauchy, la proportion de lumière engendrée par le troisième rayon quand une réfraction le modifie, et obtenir pour les ondes se propageant dans les cristaux cette exacte iransversalité des vibrations qu'il croit, ainsi que Fresnel, conciliable avec la biréfringence, Tillustre physicien anglais rejette comme « trop restrictive » la supposition de Cauchy relative aux directions des actions (comme si les actions des particules, supposées étendues, pouvaient se composer c^autre chose que des actions de leurs points). De là l'hypothèse, plus générale, « que le travail virtuel des actions intérieures est une dilTérentielle « exacte d'une certaine fonction » ; à laquelle il est obligé de . joindre immédiatement une autre hypothèse, consistant à regarder cette fonction potentielle comme àomme de deux fonctions homogènes l'une du premier l'autre du second degré des six quantités que nous avons appelées dilatations et glissements. Avec les 21 coefficients m fournis par les termes du second degré, l'exacte transversalité devient possible, en apparence', moyennant que l'on astreigne à ih équations de condition les grandeurs numériques de ces coefficients.

Mais, tout en nous empressant de reproduire le raisonnement, à nos yeux péremptoire (S 70) par lequel ce savant et ceux qui ont développé son idée réduisent à 21 au plus les 36 coefficients des formules des composantes p^x, ..• pry, qu'ils ont reconnues être les six dérivées partielles d'une même fonction par rapport aux six quantités d«, •••g»y» nous n'avons rien trouvé dans l'ingénieuse analyse de Green qui dispense d'invoquer la loi des actions molécu- Uires, et de reconnaître une réduction plus grande encore du

nombre des coefficients constants qui y entrent D^abord (SJ 09, 71) les deux hypothèses dont il parle sont fort arbitraires, et ne peuvent être justifiées qu'à Faide de cette loi qui est.prédsÊmeiit ce qu'il veut éluder. Ensuite (S 72) Gâuchy a reconnu que roncte courbe du h* degré qui résume en quelque sorte la partie la pim fondamentale et la mieux confirmée des découvertes de Fresnâ est parfaitement compatible avec l'obliquité des vibrations sur les pians des ondes planes (ou sur les plans tangents à cette onde ooorbe), moyennant qu'il y ait, entre les coefficients, certaines relations moins nombreuses et moins restrictives que celles de Greeo, et qui doivent s'observer, ou exactement ou à très-peu près, à Tétat où se trouve réther dans Tintérieur des corps transparents (comme nous le ferons voir à Tappendice complémentaire); enfin qu'il snfllt que cette obliquité, reconnue possible par Green lui-même, soit peu considérable pour réduire à rien les difficultés élevées au sujet du troisième rayon, et des quantités de lumière réfléchies et transmises, comparées à la quantité incidente. Quant aux 14 conditîoits auxquelles Green assvgettit les 2i coefficients «m m» •>•• s^if «y dans la vue que toute obliquité disparaisse, six d'entre elles expriment la nullité des coefficients tels que axx«y qui sont toujours nuls dans les milieux isotropes puisqu'une dilatation d« n'y produit jamais qu'une composante normale p«» de pression sur une ûce perpendiculaire à sa direction x; taNÀa autres, établies entre six coefficients qui sont également nuls quand 2i y a isotropie, expriment la nullité de leurs sommes deux à deux telle que a» ys+2aK« «y ; enfin les cinq autres conditions expriment non-seulement les relations telles que a«c M = 3 a^py «y + a«c yy qul out aussi lieu pour Tisotropie, mais même, en y appliquant les formules de changements d'axes, Té^olilé en tous seng des élasticités directes a** ««• et par conséquent l'égalité comme la constante normalité des pressions produites par d'égales dilatations d« dans toutes les directions x possibles.

La contexture singulière que constituent ces quatorse conditions n'est dans le fond, que Visatropie. Une pareille égalité ne saurait exister, en effet, dans un cristal de forme polyédriquenoa régulière, ni se concilier avec la double réfraction d'après les expériences d'inégale compression qui rendent le verre biréfringent, tandis qu'elles devr^ent le rendre opaque si a«c « égal en tous sens était une condition nécessaire pour la transparence; car de quelque

manière que s'exerce, sur les bolécules de l*éther, raction des molécules tant du même fluide que des corps solides qui en sont imprégnés, il est impossible que Tinégal rapprochement de cellesci en divers sensL rende inégaux lés coefficients d'élasticité tangentîelle aysys, a»», a^y cy on ceux d'élasticité latérale a^y,,, a»^, a«9 yy et laisse égaux les coefficients d'élasticité directe a», m, ayy yy , a,. M (voyez l'appendice complémentaire).

Nous concluons que l'exacte transversallté des vibrations est incompatible avec la biréfringence, et que les considérations tirées des phénomènes lumineux ne commandent nullement de porter à vingt-un le nombre des coefficients m des formules les plus gênéraies de l'élasticité.

En examinant aussi les raisons données dans un beau travail d'un autre éminent professeur de Cambridge, nous n'avons pas ti'ouvé (S 71) que le fait cité de l'isochronisme des petites vibrations des corps élastiques suffit pour permettre de poser à priori des formules linéaires pour les pressions, en se dispensant d'invoquer la loi des actions moléculaires à distance, dont ce fait général offlre une des meilleures preuves. Sans doute, et nous l'avons reconnu, le rapport A : 6 de la résistance aux diminutions du volume et de la résistance aux changements de la/orme^ rapport que les formules d'isotropie à un seul coefficient font = 5, a une valeur comme infinie pour les liquides; mais, aussi, ces derniers changements, ou les glissements relatifs des parties, ne sont Jamais considérés, dans les liquides, qu'autant qu'ils font franchir une ou plusieurs fois des limites de stabilité«d'arrangements moléculaires et qu'ils conduisent à des arrangements nouveaux par des sortes de chutes pendant lesquelles se développe un travail moteur compen* sant le travail résistant antérieur, sauf la petite partie qui vient des inerties mises en Jeu comme nous avons dlc^ Et s'il est vrai que les corps plastiques ou malléables off^nt une manière de se comporter intermédiaire entre celle des liquides et celle des corps roldes ou vitreux, ce n'est de même que pour des changements de forme conduisant à des arrangements nouveaux après une suite de sauts moléculaires, comme dit M. Stokes. Or les formules de l'élasticité des solides n'ont Jamais été données comme allant jusqu'à s'appliquer à de pareils changements; elles ne conviennent même qu'à des déplacements qui réfutent petits par rapport à retendue que

756 SECT. L RÊSISTARCB DBS SOLIDES.

comprennent entre elles les limites de stabilité de chacon des «r« rangements. Dès qu'on approche seulement de cette tendamce à arrangement nouveau qù^ signale très-bien M. Stokes et dans laquelle U reconnaît une cause suffisante de rjnfériorité relatire du coefficient B de résistance à la déformation ou au glissement, les dérivées secondes des forces moléculaires cessent d*ètre n^gUgieablés, et les [formules ne peuvent plus représenter les pressions, même en multipliant le plus possible le nombre de leurs coelficientSy si on leur conserve la forme linéaire.

Sans aller même jusqu'à la tendance en question, il suffît que les déplacements cessent d'être très-petits pour que les dérivées du second ordre influent sensiblement, en augmentant beaucoup, par exemple, la résistance de certaines substances à la compression cubique, et en diminuant considérablement au contraire leur résiRtance & la dilatation ; tandis que les formules linéaires, quel que soit le nombre des coefficients Indépendants qu'on y mette, font toujours parfaitement égales ces deux résistances opposées. Cette raison doit contribuer pour beaucoup aux résultats anormaux, que nous avons d'ailleurs autrement expliqués tout à l'heure^ des diverses expériences sur le caoutchouc.

Enfin nous avons examiné les raisons tirées d'une action élastique subséquente (nachveirkung) observée surtout dans les fils de soie et dans d'autres matières animales, pour changer le rapport = 2 des coefficients A; et K dans les calculs de l'équilibre mais non dans les calculs du mouvement vibratoire; et, en admettant même

que ce prolongement d'action, ^'ugé pouvoir aller jusqu'à un quart de seconde dans les métaux, fût réel et bien dû à des rotations moléculaires crues plus lentes que les translations, nous n'avons pas trouvé que pour les corps à cristallisation confuse où les molécules composées affectent toutes sortes d'orientations, il pût y avoir; dans ces petites rotations, dont les effets doivent se compenser, un motif d'évaluer autrement les développements d'action entre les molécules, ni de changer les formules basées sur cette évaluation.

Au reste l'adoption des formules à deux coefficients pour l'iso^ tropîe, et à plus de quinze pour une contexture quelconque, n'est point unanime à l'étranger non plus qu'en France, comme on a pu voir par nos citations.

APPENDIGB T. 757

S 75. Conclusion de cet appendice. — Si donc l'expérience vient à montrer que la proportionnalité des effets aux efforts (ut tensio sic vis)^ troQTée par Hooke pour les ressorts d*acier, s'observe encore pour des corps tenant à la fois des solides et des liquides, comme les corps coagulés^ ou bien pour des réseaux cellulaires telsqueleliége» ou pour des corp9 malléables dont les déformations approchent de celles où ils offirent une partie persistante très-sensible, tels que l'étain, etc., ou bien que cette loi continue de s'observer pour des déplacements relatifs considérables comme ceux qu*on peut imprimer au caoutchouc vulcanisé, etc., et, ce qui est tout aussi essentiel mais bien peu probable, si Ton reconnatt que les corps dont nous parlons off^nt réellement la même résistance à une augmentation du volume qu'à une diminution égale, ainsi que le veulent toutes les formules linéaires, enfin si Ton juge qu'il est de quelque utilité (malgré de fortes raisons de le mettre en doute) de poser, pour ces sortes de corps et pour ces sortes de cas, des formules de composantes de pression en fonction des dilatations et glissements, nous accordons volontiers qu'on y mette deux coefficients lorsque la contexture est isotrope et Jusqu'à vingt et un si elle ne l'est pas. Mais nous soutenons que de pareilles formules, si Jamais on les emploie, ne doivent être considérées que comme purement empiriques* ou représentatives de faits qu'une théorie saine prouve n'être point généraux et qui ne peuvent s'observer que dans certaines limites avec une approximation plus ou moins grossière, si jamais ils s'observent, ce qui est bien douteux vu la dernière condition (celle de l'égalité de résistance aux augmentations et aux diminutions de volume de* Tordre de grandeur des dilatations et glissements ' sensibles qu'on veut faire entrer dans les formules).

Et, encore, il ne faut pas se dissimuler que faire une pareille . concession c'est accorder que les rapports mutuels des coefficients des formulés linéaires sont autres pour les déplacements simplement petits qu'on veut y mettre que pour dés déplacements encore plus petits^ puisque, s'ils étaient infiniment petits, les coefficients devraient avoir entre eux les rapports fournis par les formules déduites du calcul des actions moléculaires. Ces coefficients ne seraient donc plus constants, ils changeraient avec les grandeurs de ce qu'ils affectent Or ce serait la condamnation de la forme linéaire donnée aux expressions. On ne pourrait espérer représenter

758 SEGT. I. RËaiSTABGE DES SOUDES.

suffisamment les faits qu'en renonçant k cette formet comme a fait M* Eaton Hogdkinson qui a proposé, pour les forces capables de donner aux barres de fer ou de fonte des allongements détenninés, des expressions empiriques du second degré. Il y aura toujours iiea de se défler de formules linéaires en contradiction avec la loi des actions entre points matériels, dépendant de leurs cHstances et dirigées suivant leurs lignes de Jonction» môme quand dles paraîtraient satisfaire très-approximativement à tout un ordre de faits observés dans des limites plus ou moins étendues.

On peut bien cependant, pour les recherches analytiques^ quand ce ne serait qu'aûn de rendre les conclusions générales indépeo* dantes de points controversés» conserver detix coefficients dans les formules du cas d'isotropie* comme a fait M. Lamé et comme nous avons fait nous-môme et ferons volontiers encore, et, d^près le môme principe, vingt et un coefficients (mais pas plus, outre les six composantes de pression antérieure p* si elles ne sont pas nulles) dans le cas général de distribution quelconque de la oontexture an tour de chaque point. On sait que Ton se sert môme quelquefois avec avantage, en analyse pure, de cette désignation, par deux lettres différentes, de deux quantités qu'on sait ôtre égales, et qui entrent àun double titre dans des formules, pour mieux faire comprendre et ressortir la raison et la loi des résultats obtenus. Et puis on reoonnatt que le plus souvent les calculs, les intégrations môme, ont autant de simplicité, et que les mômes résultats généraux sont aussi facilement obtenus avec 31 coefficients qu'avec 15; et la conservation de 21 ne peut, on le conçoit encore, que lUre avancer > davantage. la branche d'analyse à laquelle est liée Ih théorie de rélasticité, et qui pourra avoir par la suite, des applications à d'autres suiets pour lesquels les six égalités complémentaires (150), entre les coefficients, n'auraient pas lieu.

Nous effkcerons donc à Tavenfr, des formules théoriques servant de base à ces i^herches générales, une partie seulement des accents dont nous avons affecté, dans les formules des SS lA à 26, appendice lll, les lettres représentant les coefficients qui doivent ôtre égaux selon nous, ce qui donnera :

Pour le cas où le plan yt est un plan de symétrie de contexture

j)^=aD, +fOv +eO,+hg,„

(17Û). p..=eO.+d'J,+cD.+lg... ( ,9(rtducUW..à».«éu.i

«alleu de (34) Jp„=h3. +ka, +K. +dg,.. | ,„ ,^„ ,„, ^^,)

,p,^=h'gMi+fg*»i Pour le cas où n y a trola plans de symétrie de contexture

Ip^c^ada+ft^y +eO« l'y»=dgy, j à 0 eoeffldeDU au Hea p„=«.+W, +dO. etp„=eg.. te « (réaaciibh. i P„=e'a.+d'D,+cD, p^=ftx») «•»4u«Hm««wiu).

Pour le cas où II y a un 93» de symétrie parallèle aux x

I an lieu de 6

p,.=eO.+(2d+dTD,+d'3.etp„=eg„ |rMa«ibi«u p„=e'Dai+d'Dy+(2d+d')^« P«f=eg«») aceenii).

Enfin , pour Fisotrople :

Lei romules (35) i 9 coefOcieDU e, e'(r6dncUblei à un leul en ÔUntles aocenli).

Observons aussi qu*on peut se dispenser de prendre un parti lorsqu'il n'y a à calculer qu'une flexion simple (en négligeant les effets de glissement qui raccompagnent ordinairement), ou bien une torsion simple; car le calcul se fait, pour la flexion, au moyeu du module E, fonction des coefficients m des formules, mais donné directement par des expériences; et, pour la torsion, par d'autres coefficients déterminables aussi expérimentalement, savoir G quand il y a un axe de symétrie parallèle aux arêtes; G' et G" quand il y a trois plans de symétrie ($ 39 delà note du n* 156) ; enfin G\ G'' et H (vu l'égalité, prouvée au % 70 des appendices, de n^' et B'^ du % 35, form. 65, 75 etc., p. 605, 609) quand il n'y â* qu'un plan de sfymétrie, perpendiculaire aux arêtes.

Mais dans les autres cas où Ton passe à la pratique et où il faut, pour en venir à des résultats particuliers, attribuer forcément des valeurs déterminées aux coefficients; c'est-à-dire dans les cas où il y

160 SECr. I. EÉSISTANGE DES SOUDES.

a liea de calculer des effets slmnltaiiôs de flexion, tocsloa» extansleii, glissement, ou d'évaluer des contractions latérales, des compicssiens cubiques, etc. , etoùils^agitblendecorps réeUement solides et élastiques, excessivement peu comprimés ou déformés, oonme le sont les matériaux dans les limites des charges auxqueDes on les soumet d*une manière permanente dans les constructions, et esL supposant môme que, jusqu^à écrovûsage dans le sens des déformations il y ait quelques parties persistantes très-petites, il faut réduire les coefficients au moindre nombre, on effacer tons les accents des formules qu'on vient ^'écrire. Aucune considération, même de prudente abstention, ou de conformité plus grande aux résultats de quelques expériences, ne doit déterminer à faire numériquement, dans le cas d'isotropie par exemple, e' différent de e, ou k différent de 2K. Les formules ne représentendent absolument rien, et, loin d'offï'ir de la sécurité, elles n'offriraient qn^lm expédient fâcheux et trompeur, propre à ajourner indéfiniment la découverte de la vraie explication d'un fait, ou bien elles donneraient le change en empêchant de recourir à remploi des vraies formules relatives au cas* qui serait à traiter; car lorsque les résul^ tats des expériences diffèrent trop sensiblement de ceux, par exem*

pie, des formules d'isotropie à un seul coefficient e = e' ou - £: = K,

ou lorsque le corps est fibreux comme les bois, les fers laminés on étirés, etc., c'est des formules de non-isotropie (176}, (175), (£74) sans accents à 3, 6, 9 coefficients, ou autres pouvant en avoir jusqu'à 15, qu'il faut se servir, ainsi qu'il a été fait déjà aux notes des n*' ihk et 156 ($ 62) lorsque nous avons donné et appliqué à divers exemples numériques des formules relatives à des cas oom* plexes.

Ces coefficients des formules d^hétérotropie ou d'élasticité inégale en divers sens devront, au reste, être pris dans des rapporte mutuels tels que, pour les diverses directions autour d*un même point, la suite des valeurs des modules d'élasticité £ et même des valeurs que prendraient les coefiicients m eux-mêmes avec de nouveaux axes x', y\ z', n'offre pas une loi de variation compliquée et improbable, et qu'ils n*aient, ainsi, qu'un petit nombre dedirections de maximum et de minimum; que, par exemple, lorsqu'il y a trois plans de symétrie do contexture, il n'y ait de maxîma et minima

floit de E soit de a«y«V que dans les trois directions principales x^ y, Zf rectangolalrês entre elles, déterminées par les intersections de ces plans, sansquMl s'en trouve d*autres intermédialrement Cela exige, comme on verra à V Appendice complémenlaire^ S 88, en ce qui regarde la variation de a/AV dans lès plans yx, zx, xy

que 3d reste compris. entre b et c, 3e entre c et a,

df entre a et b.

et, pour qu*il n*7 ait pas non plus de maximum ou de minimum de a» xV« dans Tintérieur des huit angles trièdres, que les trois quantités :

« n*alent Jamais trois valeurs de même signe; et que cependant,

pour que les variations soient régulières, on ait d<e<fsia>b>c;

enfin qu'on ait des relations analogues en ce qui regarde les variations de E en divers sens.

Toutes ces conditions sont remplies lorsque Ton a

(177) 3d=v^, 3c=v/cir. 3f=v^;

et nous verrons, au même Appendice, que pour les corps amorphes ou à cristallisation conAise, comme sont les matériaux de construction, surtout lorsqu'ils offrent, dans les divers sens, ainsi que les métaux, les pierres etc. des élasticités ne variant pas dans un rapport de plus de i 1/2 ou 2 ai, les trois conditions (177) que nous venons d'écrire et que nous appellerons conditions de dùiri^ buiion ellipsolidale des élasticités, doivent, pour d'autres raisons encore, être remplies à très-peu près; ce qui réduit à irois les coefficients indépendants du cas des formules (175) et à deux ceux des formules (176).

C'est avec les formules ainsi réduites à trois coefficients indépen-

762 SECr. I. RËSISTANGB DES SOUDES.

dants quand il y a trois plans de symétrie de contextore et à deox quand il y a un axe de symétrie, qn'on essayera généralement de représenter les résultats des expérienœs, et qu*il coQ^fendrm de calculer les résistanoes des corps non isotropea

Et si Ton n*a aucune donnée sur les différences des élasticités ou des résistances, en divers sens, d^un corps dont on s^occupe, on risquera toujours moins de se tromper en lui appliquant les

formules d'isotropie à un seul coefficient, ou avec e'=er -^ /?=K»

ainsi que le conseille M. Glapeyron pour le fer (fin du S 59;, qu^ayec toute autre supposition et toute autre formule.

fixpérleiftees eonUmiAirlees. — Convldérallons sur des points préeédemnieiftC irallés. — EllIpiioVdefi des pressions et des dllAtdtlons. — VsAse du potentiel des «étions noléeulalres. — Dlstrlbntlon des élasticités en divers sens. — Leur distribntlon elllpsoVdale dans les eorps amorplies. — Vravnnx de M. Clel^seli. — Béinonstration nonTelle, par M. Klreblioir^ des formules de la torsion et de la aexion*

S 77. Objet de cet appendice. -* Nous noas proposons, surtout, d'y rendre compte des travaux récents et remarquables d'illustres géomètres allemands et anglais déj& cités & la dernière partie du 5* appendice.

Mais nous y rapporterons d'abord (S 78) quelques faits nouvellement observés en France, et tous confirmatlfs de ce qui précède ; quelques développements (79, 80) sur des points susceptibles d'être éclaircis ou traités un peu autrement que ci-dessus; puis (81,82), deux théorèmes importants et depuis longtemps connus, mais dont nous nous étions passés Jusqu'au 5? appendice, sur la distribution des pressions et sur celle des dilatations en divers sens autour d'un même point, ainsi que sur leurs trois sens dits pnnctpat^ Nous nous livrerons ensuite (SS ^3, 84, 85), à une considération, plus particulière qu'au 6* appendice, de ce potentiel des actions moléculaires, mis en usage par Navier dès 1821, dont les dilTérences donnent leur travail intérieur, et des moyens qu'offre son expression d'établir d'un seul coup les diverses équations d'équilibre etc., en se servant des méthodes de la Mécanique analytique de Lagrange, qui, comme l'ont remarqué Green et M. Kirchhoff, conduisent comme par la main & poser les conditions Justement nécessaires et suffisantes dans chaque question. Nous y démontrerons ($86) une

fdmittle symbolique, Invoquée au S 72 ci-dessos, qui foamit les ▼aleure des divers coeflkients des fonnoles de l'élasticité poar des axes coordonnés nouveaux en fonction de ces mêmes coeffideots pour des axes pris précédemment.

Nous y examinerons (S$ 87 à 93) la distribution des élasticités autonr de chaque point en divers sens, et nous condnrons de cet examen, ainsi que du calcul des eiTets des compressions permanentes et inégales opérées dans un corps primitivement isotrope, qnel est (comme nous avons déjà dit au $ 76) le genre de distribution le plus probable dans les corps solides amorphes ou à cristallisation confuse comme ceux qu^on emploie dans les constructions.

Enfin, après une courte mention (S 9&) des beaux travaux de M. debsch, qui présente et démontre d^une manière très-analytique et très-^nérale, en y lijoutant de précieuses observations» . nos formules sur la torsion, la flexion en daux sens, etc. , de prismes de dimensions finies, sollicités d*une manière particulière sur leurs bases» nous reproduirons succinctement ($$ 95,96) une analyse bien remarquable de M. KirchhoflT, basée sur de tout autres considérations, aussi délicates que fécondes, confirmant pleinement, en les généralisant^ nos mêmes formules des notes des n** 15â et 156, (

ainsi que du 2* appendice, et qui, en supposant infiniment petites les dimensions transversales des solides considérés, Justifie remploi approximatif (S 6 de la note du n* 83) de ces formules pour des pièces prismatiques ou non prismatiques, et même courbes, tordues non uniformément et sollicitées d*une autre manière, c'est-à-dire par desforcesautremenkdistribuéesetappliquées, vers leurs extrémités, que ne Texige (SS 6 des notes des n**2i et 80, et 9 de celle du n** 156} Texactitude rigoureuse des formules quand ces dimensions transversales sont finies et dans un rapport quelconque avec la longueur.

S 78. Expériences récentes confirmant la loi de proportionna" lité des petites extensions aux efforts qui les produisent^ etdere^ tour complet à Vétat primitif après que les efforts ont cessé de s'^exercer etc. *— Nous avons dit, au $ 10 de la note du n* 21, p. 23^ que cette loi fondamentale de la théorie de Télasticité et de la résistance des solides avait été contestée, et que plusieurs expérimentateurs d'unhaut mérite, entre autres M. HodgkinsonetM. Wertiieim, avaient pensé que toute extension ou contraction d*un fil ou d'une

APPENDICE COMPLÊMENTAIBE. 765

barre métallique ou même d^an prisme de verre» avait ane partie persistante.

A cette assertion nous avons répondu (S 10 de la note n* 21) par une observation bien simple de M. le général Poncelet, relative à la stabilité et à la permanence de la forme d'une foule d'œuvres de l'art ou de la nature qui s'affaisseraient sur elles-mêmes comme du bitume ou de la poix, indépendamment de toute décomposition chimique de leur superficie, si les charges considérables qu^elles supportent depuis des siècles ne cessaient jamais d'y produire des compressions ou des extensions ; d'où il suit» qu'en supposant même (ce qui est improbable d'après le jeu des actions molécu* laires) que tout corps solide éprouve une petite déformation permanente lorsqu'il est sollicité pour la première fois dans un certain sens» il cesse nécessairement de se déformer dès que les efforts l'ont écroui dans ce sens.

M. le général d'artillerie Morin» de l'Institut» dans la 3* édition (1862) de ses utiles Leçons sur la résistance des matériauXy rapporte, ainsi qu'aux Comptes rendus de V Académie (*) des expé* riences très-précises» faites sous sa direction» en 1861, au Conservatoire des arts et métiers, et qui ont confirmé pleinement le principe énoncé. Les unes ontécé exécutées sur deux fils de cuivre de deux millimètres et demi de diamètre, et sur un fil de fer fin» ayant jusqu'à 21 mètres de longueur (<). Les allongements élas-tiques ou non persistants ont été proportionnels aux charges, et les allongements persistants observés ont été extrêmement minimes» et comparables aux dilatations que produit une augmentation de température d'un ou deux degrés, et» d'ailleurs» rapidement décroissants à mesure que les fils, primitivement roulés en paquets» étaient mieux redressés par les expériences successives. D'où l'on peut déduire que les petits allongements permanents que les expériences de 1861 semblent donner, ne sont que l'effet de ce redressement» et que ceux qui ont été observés en 1848, par M. Hodgkinson, sur des barres de fer assemblées bout à bout au moyen de parties filetées, étaient attribuables (") à des tassements

(<) 40 firricr 486S, t. 64, p. S3d.

(*) RéiisUDce det malérUuz, n«* 37 et 43, t. 4, p. 46 el 52.

(S) litm n«*49, p. Il»el7i, p.SS.

766 SEGT. 1. RÊ81STAMGE DBS SOLIDES.

de points d*appui ou d^assemblages, comme M. Moria FaTaît d^ présumé, et peut-être aussi à un écrouissage qui n'était pas encore complet. De cette même série d'expériences il résulte bien, txmi au moins pour les solides d^ écrouis dans le sens des efforts auxquels on les soumet ultérieurement, que la loi de proportioiinallté de Uooke doit être considérée comme s^obserrant exactement pour tous les allongements et accourcissements très-petits, conformément aux déductions théoriques de la loi des actions moléculaires.

Les autres expériences ont été faites. sur des poutres en fonte, à double T (') ; elles n*ont pas moins confirmé cette loi de proportionnalité, ainsi que celle de Tégalitédes contractions et des extcnsions pour même effort, dans des limites étendues, dépassant c^Ies des charges permanentes qu'on peut faire supporter aux pièces avec sécurité.

Elle a été également confirmée par les expériences (*} survie fer forgé.

Et d'autres expériences (s) ont confirmé l'avantage des semelles égales quant & la petitesse des flexions des poutres à double T.

D'autres expériences ou observations de M. Morin ont eu pour objet la qualité des fers et ses modifications. Il a remarqué (^) de grandes différences soit dans les élasticités soit dans les cohésions de fontes de fer de hi même provenance et de la môme coulée ; même parmi celles de deuxième fusion, différences que n'offre pas le fer forgé et qui prouveraient, ainsi que nous Tavons dit plusieurs fois, que les circonstances de la solidification n'ont pas moins d'influence que le forgeage pour rendre inégale la contexture mécanique. Il rapporte un fait prouvant qu'un recuit nio~ déré, mais prolongé, suffît pour détruire l'état fibreux ou nerveux produit parle forgeage, et finit par redonner au fer l'état cristallin à larges facettes, ce qui lui fait perdre de sa force, comme nous avons dit de Teffetdes actions intermittentes répétées [S 12 de la note ci-dessus du n? 21)« Mais, d'un autre côté, les fers bien travaillés

(<) RôsisUnce des matériaux, d<^ 346 i 851, t. 4, p. 398-408.

(>) Idem n» 3564361 ,i. \ p. 4S2 à 433, et a*** 4S2i434 t. S p. SS à 75.

(S) Idem n" 4)5, 435, t. S p» 62 à 75.

(*) Idem n" 72 à 7T, l. I p. 81 i 87.

APPENDICE COMPLtMBNTAIRE. 767

peuvent supporter sans altération de leur contexture des charges bien plus considérables qu'on ne pensait. ,

Enfin, diverses expériences sur des essieux (*) ont prouvé, ainsi que nous avons dit (S 8 de la note du n*21) que des déformations permanentes, même- considérables, non seulement ne font pas perdre Télasticité, mais n'altèrent son coefficient que dans une proportion peu considérable, malgré une énervation non douteuse (*)•

S 79. Obsert(Uio7is diverses sur ce qui précède, — !• Inclinaison des diverses fibres sur la fibre centrale dans la flexion inégale ou non circulaire. Nous disions, $ 5 de la note du n* 80, p. 87, que les différences qui existent dans les contractions latérales succès-

sives 7} - d'une même fibre quelconque en raison de la variabilité

du rayon de courbure p d'un bout à l'autre de la pièce, n'exercent sur les inclinaisons dont nous parlons qu'une influence négligeable. Des considérations plus exactes, présentées au 2* appendice, théo-

0) aéfiftUnce des oMiériaux, ii«* 465-467, t. 9 p. 430-433. (') On Toit dtns le oiémo oarrage (lu n° 341, t. 4, p. 389) nppori6e une formule pratique

tùh

mise en usage par les ingénieurs anglais pour déterminer les relations entra la looguenr oa portée l d'une plèee posée sur deux appuis , sa sectioo m et sa hauteur h au milieu, et le poids Q qu'on peut lui faite porter aussi au milieu* Elle

n'est qu'une forme de l'oxpreMloa générale M=:R0 -7 de la noie du n* 443, car

(n«4M d-deH«s)ona M = Pa a - Q . - 1, oi -; = -r qwnd la section est

a a tr o

tùli on rectangle» et gënéralemenl sr — n èunt un diviteurTariable atac sa forme,

et dont les B** 443 à 4i6, et surtout leurs notes, apprennent i calculer les di-

Terses dateurs. Voà

Qrrm— si m = — î = *R.— 7-7.

Cette formule suppose que le point dangereux est au milieu, qu'on peut négliger les effets du gUësement, que la matière est homogène, et que la section co a un dé ées deux axes principaux d'inertie dirigé verticalement. *

SEGT. I. bêsistauce des soudes.

rème IV, p. 537, prouvent que cette influence, bien que petite, produit des quantités de l*ordrede celles dont on tient compte dans le reste du raisonnement Mats cette légère rectification ne duuiige rien à la conclusion.

2* Jpproximaiion un peu plus grande de la flècJie de oawr^ hvare^ eic.^ d'une* pièce quand il y a un poids 2pa réparât sur sa longueur^ outre le poids 2P suspendu au milieu, — An $ 3 de la note du n* 90, p. 82, pour obtenir une formule qui di^^eose de longs tâtonnements numériques, tout en tenant compte des quantités du second ordre , nous avons admis qu'on pouvait combiner par voie de simple addition ou soustraction deux formules précédemment obtenues pour des cas où les eflTorts supposés simultaoés se trouvaient isolés. — Nous ne prétendons pas pour celji que cette sorte de combinaison soit toujours légitime : car ce n*est que lorsqu'on 8*en tiept aux quantités très-petites du premier ardre que l'analyse la Justifie.

S' Un glissement éqjdoaut à une dilatation et à une contraction simultanées moitié moindres, etc. — ^ La démonstration que noos en avons donnée, p. 19A, au S 6 de la note du n** 152, et qui est déjà plus simple que celle que qous avions communiquée en 1857 à M. Morin [ResisL des mat. 2* édlt, p. lilil^ et 3% t. 2, p. 305] peut être rendue plus simple encore, en la rapprochant de celle que M. Poncelet a trouvée pour un cas plus composé (p. 375 ci-dessue,

sous-note du $ /i3 de la note du n* 156). En eiïet^n^qi étant tom'ours la situation que le glisâement

pq

a donnée à ng, et ml = mq^ étant encore la nouvelle grandeur prise en conséquence par la diagonale mq du petit rectangle mnqp, si, de Tangle droit / du petit triangle sensiblement rectangle qlq^ on abaisse une perpendiculaire Is sur son hypoténuse 9^1 Ton a pour la dilatation i de cette diagonale mg, en vertu de la similitude des triangles mpg, qsl :

♦ ^ '^ mq" pq'^ ^ qq^*

Is Or le maximum du rapport — a lieu quand Tangle Iqq^^qmp est

demi^droit, et sa valeur est i/2* Donc la plus grande dilatation de mq^ et, par suite, la plus grande contraction depn, a lieu lorsque

les diagonales sont à A5 degrés, et la proportion en est |.

h* Les arêtes rentrantes des prismes sont^ tout comme les arêtes saillantes, coupées normalemerU parles surfaces courbes dans les^ quelles se changent leurs sections transversales. En effet (S i de la note du n* 153, 3*, p. 207) ces surfaces sont toujours normales aux deux faces latérales contigues se coupant suiyant les arêtes.

6* Généralisation et dévnonstration plus simple du théorème de réciprocité des composantes de pression sur deux Jaces. ^ Nous . avons démontré p. 3à6 (S 39, note n* 156} et p. 5A6 (S 16 du 3* appendice) que si deux petites faces d^égale superficie se croisent rectangulairement en un point d*un corps solide ou fluide en repos ou en mouvement, « la pression sur la première estimée dans un sens « perpendiculaire à la seconde est égale à la pression sur la seconde « estimée dans un sens perpendiculaire à la première. » M. Caucby à qui Ton doit ce théorème, en a déduit analytiquement un théorème idenliquement semblable pour le cas oii les deux faces ne sont pas rectangulaires Vune à Vautre* On peut démontrer géométriquement et directement ce théorème général, sous une forme plus simple même que nous n'avons fait pour le cas particulier des paragraphes cités«Gonsidérons un élément prismatique dont la base soit un lozangCf ayant ses faces latérales A, A', B, B' et Taxe O perpendiculairesauplande la figure. On peut regarder comme appliquées

aux centres de ses six faces les pressions qui s'y

exercent, et qui sont supposées d'abord les

seules forces en jeu. L'équilibre de translation

exige que les pressions sur les faces opposées

deux à deux soient égales et parallèles. Quant.

à l'équilibre de rotation, exprimons-le autour de

Taxe O, et, pour cela, décomposons les pres«

sions qui s'exercent sur les faces latérales : 1* Suivant des parallèles

à cet axe; 2* suivant les médianes ou lignes de Jonction A A', BB'

des centres A et A', B et B' de ces faces ; 3* suivant les perpendi-

770 SECT. I. RÉSISTANCE QB8 fiOLlBES.

culaires Aa, A' a', fi6, B'b* menées à ces mêmes médianes parallèlement aux plans des bases. Les premières composantes ne donoeot aucun moment puisqu'elles sont parallèles à Taxe ; les seconds n'en donnent pas non plus puisqu'elles le coupent; et il en est et même des pressions sur les deux bases 0^ Resteatles quatre composantes Aa, A'a\ B6, B'b' dont chacune est perpendiculaire à la face adjacente k, oelje où e)!^ s'exerce. Celles Af», AV §oQt égaies et tepd^t 4 fair^ tpurper dsos le môme mnh ^^ QPrte qm laqr iqomept tQlA) est dqi^ble de pelui de Aa; le moment total des deai autres est çiQuble cje ce|^| çie 96| leurs br^ de levier OA, OB sont égaux. Dopp, pour Téquilibre, il faut que I4 composante 447, p^pendiculaire à la face B, de la pression sur la face A, soit égale à la composante B6, perpendiculaire à A, de la pression sur B, ce qu'il fallait démontrer. — Et ce théorèn)^ est encore vrai lorsque la matière de Télément est soumise ^ des forces affectant toutes ses molécules, comme la pesanteur, ou comme Vinertie^ ce qui comprend le cas du mouvement varié ; car ces diverses forces, dont la somme totale est très-petite du troisième ordre comme le volume de réléinent, et dont deux parties sensiblement égales tendent à faire tourner l'élément autour de O dans deux sens opposés, ne donnent, multipliées par des bras de levier sensiblement égaux.et du premier ordre, qu*un moment total du cinquième ordre, négligeable devant celui des pressions, qui est du troisième. Il se trouve ainsi démontré, comme nous avons fait p, 5/i5 à une note du $ 16 du S* appendice pour le théorème do projection de plans de pression^ jusqu'à des quantités d*uo ordre ^q petitesse supérieur de deux unités à celui des quantités dont il établit r^galité.

0« Ce p'est pas seulement quand |e çQntiour des sections d'un prisme tordu çst i^lUptique, qu'il est utile de faire le changement de coordonnées tr^qaversales indiqué au ^35 (p. 611); c'est au^i pour des con tours dé toutes autres formes, si seuleipent la contexture de la matière est symétrique par rapport aux plans des sections. Gomme i| y ft égalité, ainsi que Green Ta mis hors de doute ($ 70) entre les coelïicients h'^ et h'" (ou aj««y et a^y»)* on pourra réduire tonjours les formules citées de composantes t^ngentielles qui peuvent ôtrp écrites (comme les deux dernières (174))

p.'v = fgry + h'g^„ p„ = eg« -f h'g.,,

APPENDICE OOMPttMBNTAIBE. 771

à la forma monôme

en faisant faire aux nonyelles coordonnées f/\ z\ sur les anciennes y, Zy un angle 6 = {y, y') = [z, zf) déterminé par

tang26 = >^^,

et prenant | ^^ ^1 1 = ^^ ± 1=3 o0836 sfc h' sin 26;

comme on voit fadilement si Ton exprime p«y( eip„,ùn p^n 6t Pm* au moyen dea foripulea {k)^ puis g«y et g^ en g.,, et g», au moyen des formules (li) \ ou bien epcore si Ton se sert de 1» formole gé^ nérale symbolique ci-après (V26), pour avoir a«yiMf à égaler à léro» puis a^nfy; et aM^m à égaler ^ G' et à G",

Le calcul de la torsion, ramené ainsi à la solution d'équation^ différentielles indéfinie et définie de même forme en u que quand il y a irw plana de aymétriet sera ordinairement plus simple qu'en se servant des expressions binômes de p«y et px, et des équations non transformées (73) et (7A) des p. 607, 608; et il se prêtera, aur^ tout, bien mieux à rétablissement des conditions de résùiance^ on de Véquatûyii de cohésion^ comme on a vu $ 85 (p. 611).

Le résultat sera le même, car en mettant ^ la plaoe de y', z\ G',G\ dans les équations suivantes relatives aux nouveaux axes

G' ^*4 + G" ^ = 0 p.ru)ui. et G' {^, «Oz') dz'-G" (jp + Oy') dy'=0 au eonto«r,

leurs valeurs en y, z^ f, e, on retrouvé les équations, aussi réso* lubies, mais plus composées, (73) et (7Zi) avec h' pour h'' = h*".

S 80. Sur rétai dit naturel ou primitif et wr sa condition, — Quelques auteurs Pont défini Té^at où se trouve un corps avant tout déplacement relatif de ses parties ; mais c'est pqpposer oofiou rétat à partir duquel les déplacements se comptent, c'est-^-dire précisément celui qu'on veut définir. Aussi nou^ avops préféré dire, au commencement du $ 20, p. 65A, que c'est « Tétat où w^ « cune pression ne s'exerce encore sur les faces extérieures ni M intérieures d*un corps* » c'est-à-dire où« à travers chacune (d'après la définition des pressions, S 46), les attractions et les répulsions moléculaires agissant d'un côté à l'autre se détruisent ou se

772 8ECT. I. IIÊSI8TA1ICB DES SOLIDES.

font équilibre comme fouraissant deux résultantes égales et o|iposées quand on compose ces actioas après les aroir transportées parallèlement à elles-mêmes sur un point.

Il reste à prouver que cet étaient toinjoun posâible qortles que soient les intensités des actions exercées k des distances innii* sibles, et que, lorsqu'on abstrait la pesanteur comme toute astre force émanant de points à des distances sensibles, il a lieu» comme nous Tavons avancé au % 22, p. 561, lorsque seulement les pressions extérieures ou sur la surface^enoeloppe sont toutes nuUes; an moins pour les corps homogènes^ car les exemples des Testes gonflées où la pression peut être considérable à rintérienr quoique nulle à la surface, et des larmes bataviques où il peut y avvirà l'intérieur une tension qui à la surface n'existe pas, nous ont montré qu'il n*en était pas toujours de môme dans les corps hélé* rogènes.

Il sagit, disons-nous, de justifier ici cette assertion de possibilité de rétat naturel^ qui a servi de base à rétablissement élémentaire des formules générales (12) j)«« = aoBMD« + etc., et, par suite, des formules particulières (29) à (35), car elles supposent nulles les pressions antérieures aux déplacements u, v, u^ ou aux déformations <)„«.. gys... affectant leurs termes.

On ne peut pas le faire au moyen de Fanalyse du S 33» p. MO» &l disant que si la pression — q qu'on y supposait agir uniformément sur la surface-enveloppe, est nulle, les résultats p^=ppy^=pu^-^t pys = Pj« = Pxy = 0 satisfaisant aux équations difiérentielles ainsi qu'aux conditions de compatibilité, prouvent que les pressions intérieures sont nulles aussi; car cette analyse repose sur les for* mules (12) des pressions en fonction des' dilatations et des glissements comptés à partir de cet état dit naturel dont il faut d*abord établir la possibilité dans les corps homogènes.

Mais nous pouvons prouver commeii soit cette possibilité, en nous bornant au genre d'homogénéité que nous avons appelé parallèle (même $22), où chaque élément de matière, d'élasticités généralement inégales en divers sens, est identique à tout élément de même volume et de même forme pris dans une autre partie quelconque do même corps s'il est orienté de la même manière«ou si l'un des deux peut être amené k remplacer exactement l'autre en le transportant parallèlement k lui-même.

APPENDICE GOMPLÊMENTAIRfi. 775

Soient, dans rintèrieur d*an corps sans pesanteur. Jouissant de cette iKunogénéité, des jn-essions quelconques ayant» parallèlement aux X, y, z^ et sur des faces perpendiculaires à ces coordonnées, les six composantes ]9««, py,, p», p^», p,«, p^y, supposées les mêmes en tous les points.

Que Ton &ase éprouver partout, à ce corps, trois dilatations d«*dy, d« et trois glissements gy„ g^* g»y il est évident, avant Téta* bliesemeot de toute formule, que les six composantes p changeront, et que leurs grandeurs nouvelles seront fonctions de leurs grandeurs primitives et de ces six déformations, puisque celies-^i produisent dans les divers sens des changements (% 19, form. (9)) dans les distances moléculaires dont Taugmentation ou la diminution fait varier Tintenslté des actions entre molécules ; et ces grandeurs pourront devenir de positives négatives ou de négatives positiiies, puisque les changements de distance peuvent convertir les répulsions en attractions, ou les attractions en répulsionr. Vu donc que Ton dispose d*autant de déformations élémentairesd^,,.. g«y qu'il y a decomposautespcxf • M P«y« ^^ P^^^ toqjours rendre celles-là telles que cellesHîi soient toutes nulles. Il en résultera, en vertu des formules de transformation (A) p«V=PmC*xx' + *.*» etc.. p^V ==" PMCx«'Ccy' + ••• que, sur tous les autres plans y'z\ 7!x\ afy' susceptibles d*étre imaginés dans Tintérieur, les pressions p seront nulles aussi.

Mais il faut pour cela qu*aucuue force à c^entre d'action éloigné, telle que la pesanteur, n'agisse sur les molécules, ou que les effets de pareilles forces puissent être négligés ; car on peut voir que les termes des premiers membres des trois équations d'équilibre (88)

^ 4- ^ + ^ = X, ... = Y, ... = Z ne peuvent pas être tous

nuls si les seconds membres ne le sont point Cette remarque s'applique même à la gravitation mutuelle des parties d'un même corps de grandes dimensions tel qu'une planète; l'état que nous appelons naturel ou primitif suppose abstraite cette gravitation, et conser^ vées seulement les actions mutuelles qui s'exercent & des distances insensibles.

Sous cette condition on peut donc, pour tout corps parallèlement Junnogèney quelle que soit d'ailleurs la variabilité de sa contexture dans les diverses directions, et en conservant Thomogénéité, rendre

nu SEGT. t. itSItrAMGB DES 80LIDBS.

loi éoartttnenti iilolécalalres tels» en divers tBenB^que iêtprenùmi intérieureê êoiefd ttmiM nulles ; œ qui exige éTideminen t^ pour mbslster, que iea presiions extérteares soient ùulies àosëi, car, autrementi les éléments auprès de la surAu^e-enveloppe ne pourraient se tenir en équilibre.

Oti rétat d*équiUbre d'un oorpi élastique est parfkltémeiit déte-miné quand on donne les foroes à centre d'action éloi^é, stl 7 ea a^ qui sollicitent ses divers points, et les pressions qui peuvent agir sur sa BurfkLCè ; et cela S*ét6iid an cas où ces Ibrees eitérietures sont tontes nulles*

Donc, réeiproqtiémenti lorsqu'un corps homogène n'éproate sar sa surfaoe^nveloppe aucune pression, et que sa pesanteur est abstraite, il n'y a aucune pression à son intérieur, et il se troure dans l'état appelé nùiutêlf dont la pdssIbUité et la condition se tronvent ainsi établies.

D'où résulte aussi la ooncordAnoe entre notre définition oinles- •os et ce qa*ont dit Ganohy (*) et Poisson (*)» qui appâtent état naturel* l'état d'un corps qui est placé dans le vide etqoi n'est soumis à aucune force extérieure*

En restituant la pesanteur» les formules donnent une preSuèrs série ou un premier système de déplacements ou de déformations à partir de l'état naturel, provenant de cette foroct ainsi que les pressions intérieures qui en résultent; puis, les pressions exté* rieures appliquées en produisent d'autres, qu'on peut le plus souvent calculer directementi si Ton ne part que de l'état où la pesanteur agissant seule avait mis préalablement le corps élàstiqUe«

$ 81. Pressions principales, et Ellipsoïdes des pressicms» — Nous aVôns parlé des tfûii pressions principales, dans la discussion du 5* appendioCf aux gS 51 p. 651 et 73 p. 7dili« à propos de certaines manières d'établir les formules de rélastioité4 Bien que nous ayons pu préoédemmenti dans rétablissement de toutes les formules de résistance, nous passer de leur oonsidération^ il est bon d*en démontrer ici l'existence et les propriétés, découvertes en 1832 par Gauchy, et ensuite en 1828 sous une autre forme par MM« liamé et Glapeyron«

(i) KHrtt. 4« BaUi,« 3" âOBéo^ 1898. p. 41^7. ^t) Mém. de l'IopMiat, t. VUl, p. 366,

âPPBNDiClî: GOMPLÊMBNTAIBEi 775

Elles résultent presque imàiédjatemeht dû théarëmd (S iû) de projection de plans de pression et de Ift formule (3) du § 17, p^g = pi-x cos (n,x) cos(jr, x) 4- <:»• qu'on en déduit jpour une composante Ue pressioui dans une direction quelconque ê^ sii^ une face plane dont la normale à une direction n* Eu eff^t, en prenant pour s là direction n elle-même on a^ (Jour la ttympo^anfis nùrmate de pression sur ce plan^ en désignant pour abréger comttie nous avons déjà fait, par Cn«i Cn^, Ou les eosinns des ahglès de n avea les èoordonnées

(177) pnu =PxxC*nx +PyyG\y +l?MC*n, + '2py;iQnyCax + 2p„Cn,Cnaj + ^P^yCn^iCn^.

Si, sur la normale Mn, de dlrecUon n» élevée au centre M de la petite face, on porte à partir de ce centre une longueur

(178) Mm = r = V dz — selon que pna est ( ^'"^'^

'aa

j négatif,

et si Ton transporte rorigîne en M, on aura^ x^ y^ x étant les coor données nouvelles de in^

Chi, C,Jy, Ces = *^''" = (Ji y, 2) y ± J^flù.

Substituant dans (177) et divisant par db pob il vient

(179) p,xx* + py^y * + p«s* + 2p„.2/2 + Ip^ax + "Ip^iJ^y = ± 1.

Donc : Ort a uh ellipsoïde pour là surface formée par les extrémités des normales à toutes les petites faces â^ égale sûperfitie se croisant en un mê?ne point d*un corps quelconque^ en leur donnant* à partir de ce point des longueurs égales ou proportionnelles aux racines carrées des valeurs numériques des composantes pi, h, sui- ' tant ces noinnales îi, des pressions s' exerçant sur les faces, lorsque les Pan sont ou toutes positives ou toutes négatives {*). El Vellip-

(1) L*équatioQ (479) ne reprétenie eo effet qu'une seule lurfaco du second degré »i, pour (ous les sistëmes de Yaleurs des coordounée^a;, y, zdu point r/t, le premier membre resie ou confiamment posiUf ou cooslamment négalir, et c'est alors nécessairement un ellipsoïde, parce que le double signe sous le radical de (478)

:i: — ' = r assure la réalité do tous les rayons vecteurs r« Pua

776 SECT. 1. Il£SISTAIIC£ DES SOUDES.

scïde se change en deux hyperbolcSdee conjuguée lortque ia pre^ sion normale pu est positive pour certaines Jàoee ei mégaiàx pour d^ autres (*). Elle est nulle peur les faces qui sont perpendiculafres aux génératrices du cône asymptotique commun* que M. Lamé appelle cône de glissement (5* leçon, S ^)f ^^ l*on D*a sur ces faces que des pressions taogentielles.

Or, si Ton prend de nouveaux axes coordonnés, des af^ y', 2*, se confondant avec les trois axes orthogonaux de figure de cette surface du second d^ré simple ou double, Téquation (179) nuuHiaera, comme on sait, des termes en y'/, z'x\ x'y'y en sorte qu^oa derra avoir

et les pressions sur trois petites faces perpendiculaires à x*, y\ z* se réduiront & leurs composantes normales^

Pxae y Fnif » F* » •

Donc : En tout pohtt d^un corps quelconque il y a trois/aces perpendiculaires Pune à Vautre y sur lesquelles les pressions n^ agissent que normalement. Deux d*entre celles-ci sont la plus grande et la plus petite des pressions qui s'exercent aatour de ce point donné, et la troisième offre (comme Taxe moyen d'un ellipsoïde) un maximum parmi celles dont les directions sont dans le plan qu'elle forme avec Tune des deux autres et un minimum parmi celles qui sont dans le plan qu'elle fait avec la troisième. Toutes les autres pressions ou tensions sont distribuées symétriquement autour de ces trois pressions ou tensions, appelées principales (*)•

{*) On a en effet deux surfices si, pour cerUini sytlèmes de rileim d« x, y, r, le premier membre a- la râleur -{-i, et, pour d'autres, li valeur — 4 ; ce ne peut 6tre deux ellipsoïdes, ou un ellipsoïde et un hyperboloïde, pulsqWj^ dtos ebâqne direction, le rayon vecteur r a une valeur unique; ce sont donc deux lijperbolofdes. Et ils sont conjugués, car, en faisant z=0 par exemple, on obtient

équation de deux hyperboles suivant lesquelles ces deux surfaoei sont coupées par

le planxy; or, en Taisant x infini, ce qui annule le second membre, on a ponr ces

y deux courbes les mêmes valeurs de -ou les mêmes asymptotes.

(*) Si l'on demande quelles sont, de même, la plus grande et la plus petite des

On obtient leurs directions et leurs grandeurs en égalant à zéro la différentielle complète de (177) pm par rapport aux trois cosinus et en éliminant un des trois au moyen de

Cnj^dCns -f CpydCn» + Cn,<:?Cn, = 0 déduft dO C'n, + C*b^ + c'n* = 1 ;

ce qui donne, en égalant à zéro les coefficients des deux autres, réquatlon multiple suivante, dont le à* membre pm s'obtient si Ton compose une quatrième fraction égale à celles des trois premiers en prenant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs après avoir multiplié haut et bas la première par Cbc> la deuxième par Coy, la troisième par Cq. :

/4AA\ PxxCniB "T~ PxyCny H" P«gCn- PgyCo^ + PyyCny -r Py»Cni

C]ic Coy

__ PssCox + PysCny + PssCbi

— ' ;; — Pb«»

En multipliant entre elles ces équations, écrites

(Pon — P«b) Cn£=PsyCny + PscCm, (Pbd Pyy; Coy = PysCox "r Pxy^nxy (Pnn — P%z) Cm = PmCb^ + PyiCny,

et remplaçant ensuite, dans les termes du second membre tels que p'yiCoyCns (pcyCny+p^sCiu) OÙ uno composantc tangentielle entre au carré, la parentbè^, qui n'est autre chose qu'un des trois seconds membres facteurs, par le premier membre correspondant, les cosinus s'éliminent, et on a pour déterminer les grandeurs des trois pressions principales Téquation du troisième degré enpna:

(181) (Pnn—Pzz) (Pd« -- Pyy) (poii — P«) — C)

— P V {P«in ~ P«*) — P**« (Pnn — P»») — P%(Pnn — p«)— 2py.p,xPxy = 0.

composantes tangentieUes dépression, TeiprMsioo telle que pyrw/f=:- {p*rsr-pytyt)

IroQTée au $ 25 moolre qu'elles ont lieu pour des directions ±:y", dti z" bissec- Irices des deui angles droiis formés par la pression principale maximum et It pression principale minimum. La plus grande de ces composantes langenUeUes esicelle qui est positive : la plus petite lui est opposée et égale au signe prés.

(I) M. Clebseh, daas un livre que nous citerons au $ 94, a déduit aussi de (180} qu*en faisant

(I8Ï) (Pyy— rna) (/'s*— p«n)+(p«— Pon) (p*«— Pnii) +(/>««— 'iHia) (Pyy— /'na'—

— P*yx - P*»^— P«*ï = W,

778 SEOT. L lltSlSTAMQE DES MLlt>ES.

La même oonclusion peut se tirer de la considération, aussi présentée par M. Gauchy,d*une deuxième surface qui est tot^ours un ellipsoïde et qui se construit en portant» sur les normales n au petites faces, des longueurs

Mm = 7* = -, P

égales (ou p^oportionoelles] aux inverses des intensités des pressions effectives ou non décomposées

car en composant Pnct j>a«» pat d*après ia formule générale (3t Pb. = ...., ajoutant les carrés et appelant encore x, ^, z les coordonnées des extrémités m des rayons r, d'où Cn« = p.x* Cn^ = P^y* Cns = p • 3;, on a

(185) (p^yr^ + p^y + p,^)* -f (pxvX + py„y -h p,.^)' +

+ (p»*a: +p,»y -^-paz)^ = 1.

Les axes de la surface que cette équation représente ont nécessairement les mêmes directions que ceux de la surface (179), car le plus grand et le plus petit répondent comme ceux-ci à la pression maximum et à la pression minimum (^).

cV8t-à^i^À efi appelaht m U dèrWèe, pa^ rapikn't i pnut du premier niMabre de (181), on a pour obtenir les grandeura des trois cosinus « après ar^ir dèier> miné chacune de celles de pan «

i iMc'nj? =^ (pnn — Pf/y) (pon — P»») — p'ys» (4 83) I mc'nj/ = (Pnn — p*») (pnn — Pxx) — p*sx,

( mchx = (pon — Px.-J (pnn — Pyy) — P*x» ;

et, pour déterminer sans équivoque leurs signes,

imCnyCnr = Pxxpzy + Pysfpnn — pxxh mCuxCnx = PjryPyx 4* Ps- (Pnn — Pyy), WCnxCoy = Py:pj;t; + Piy(PiiH — Pss).

|i) M. Lamé obtient (Leçoiis de 4-857, § 91) Un tfoliième élltpsoTde ayant pour ses rayons vecteurs Mm les pressions p eUes-mémes, portées h partir du point centrai H sur leun propres directions^ Comme la race=1 sur laquelle p agit a pour proirctions ortliogonales cnjTi CQy,Caz sur les trois plans perpendiculaires aux x^ y, z, si

pn py, px

lont les pressions sur i*unitè de ces trois derniers plans, p est rèsuitaoie, d'après le théorème des projections de plan de pression (-I*' du § 16). des trois forccspxCax) PyCoy-, PsCbx qui sont* généralement obliques l'une à l'autre. D'od 11 soft que si Ton appelle a^i • Vi ^ ^i le* trois coordonnées obliques de m par rapport à des axei

APPfiMDldlS OOttPLftMfiMTAiRB. 779

S 82« Dilatations principales, et Ellipstndes des dilatatioîu. — Reprenons la fèfmtilë (9) du $ 19, p, 553, ddhnaiit les âllAtattoUë dans une direction r quelconque en fonction des dilatations et glis-' sements dans les directions des coordonnées rectangles x^y^zi

(187) î)r=2).C%,+î),C»rf+2),CV,-hgy.Cr,Cr,+g«C„Crx + g^CrxCry (*).

liréft de II parallèlemeDl aux directions des trois forces Pxy Pytpxt on t a;| = Donc comme c*n« + e'oy + c*b» == 4 > l'équition de la surface est

'"" . ©■HS)"Hï:)'='-

C'est UD ellipsoïde ayant pour demi-diamètres conjugués ces pressions px, Py, * Pu dont les grandeurs et les directions sontrCadles i obtenir, car elles sont résultantes, la première de pxry Pxyi Pkji la seconde de py^, pyy, pyx, la troisième deps«, pxy, ps%^ dirigées suivant les a:, y y z,

(*) Cette expression (9) de la dllalatlon en up sens quelconque , et l'expression

(^0) gr« = Sd^rxCfs + de la p. 653, qui donne les glissements, peuvent

être dénlootrées plus simplement qu'on n'a fait au {{ 46, en se lervant de ce ihèorème, dont on fait souvent usage en mécanique ( travail d'une résultante pour un espace résiITtant) : Que* si Von a deux ligne» dont chacune est réeultanie ou somme géométrique de plusieurs autres [ou deux chemins directs dont cTiacun Joint ensemble deux points unis auM par un éhemin polygonal), le produit d^une de ces deux résultantes par la pro§ection de Pauire sur sa direction est égale à la somme algébrique de tous les produite des composantes de Vune par Us projectionst sur leurs directions, des composantes de Vautre , ou que si R est résultante de Xt Y, Z, ete....i et R' de V,Y^ Z', ctG«, on a

(idS) RR'cO8(R,R') = XX'00s(X,X')+iT'C08(X,Y')+....+X'te08(X',Y)+X'Y'cos(X',Y')-f....

Ce théorème connu se prouve géométriquement en remarquant que puisque R' osi un chemin direct unissant les'deux mêmes points que le chemin polygonal X'-}-Y'+ Z'-l- ..., la projection de R' sur R est égale à la somme de celles de X', Y', Z' sur R, d'od R'cos(R, rO = X'co»(r, X') 4- Y'cos[R,Y') 4- ... ; mais, de même, la projection de R sur X' est égale à la somme de celles de X, Y, 2, ... ausM sur X', d'où Rcos(R, X') = Xeos(X , X') + Yco8(Y, X') + ... ; ce qui donne hien (488), en i^ubsiiiuant dans Fèqualion R'cos(R, R') =.... multipliée par R,et faisant des substitutions semblables pourRcos(R, Y'), Rcos(R, Z'),

Or deux lignes r, s, diagonales, avant le« déformations, de deux parallélipipédes rectangles ayant pour côtés adjacents parallèles aux x, y, z

tcrx, TCry, rcrx et sc$x, *Cty, «Cfjf,

le sont, après, de deux parallélipipédes obliquangles ayant pour côtés adjacents

rcrj,(4-f4),),rcr»(4+i)y),rcr»(<-f<^»), et JCMr(1-fD,), ac,y(4+i)y), «c«{i-|-D,).

78i0 ftfiCT. 1. BfiSISXAMCX DES BOUDES.

Si 1*00 porte sur toutes les droites dont nous appelons r les directiODs, tirées eu tous seos autour d*uii même point M d*Bn corps, des longueurs

(191) Mm = r = y/^ selon queD. \^^^

••1.1 ( dUititioa

ou qu'jl y a dans le sens r | ^^^^

et si l*on place en M Torigine des coordonnées z, y, z des extrémités m, on a

(192) Crx = - = a:v^=tOr» Cr, = yv±^\, Cr, = «V^^»".

ou, en déTeloppaot et négligeanl les carrés et les produits de quaaUtés irèf-pelites,

(«90) 0+^r + î^f)oos{ri,«j) — eos(r,») = i?^r«CM?+î^ifCfyC*y -l-S^rfrxCM-*- + {CrfCêx + CrzC«y)gyx + (^rxC*» + CrxC«s)gxx -f (cr«Cty + CrfeM)Scv ;

ce qui donne successif ement (9) dr =s ... cl (10) gra = ... en falsanl : I* r et • de nème direction et diTîsani par t; S* r et ^ pertKndiculaires l'un à Tautre, d'on Co%{r, ê) = 0, coi(r, , i,) = gri.

d^où, substituant dans (187),

(193) ^^ + d»y* + ^a* + Ey,yz + g„rx + g^^xy = i !•

Les extrémités m des longueurs ainsi portées forment donc (comme au $ 81) 1" Un ellipsoïde s^il y a en tous sens ou dilatation ou contraction autour du poijit M, 2* Deux hyperboloides conjugués /i7 y a dilatation dans certaines directions et condensation dans é^autres. Alors il n'y a ni condensation ni dilatation dans les directions des droites formant par leur ensemble le cône asympto- J tique.

Les diverses dilatations se distribuent symétriquement autoar des axes de figure de cette surface du second degré simple ou

Comme une diagonale eat résultante des trois e^tès on pent, en appelaiit

ce que sont derenues r, s, tes substituer dans (48S) à R, K', et les eôlès rrrx(4+i)s)« etc., à X, etcj d'où, en difisaot tout par ra, et en remarquant que les cosinus des trois angles formés par les côtés deui à deux sont pour l'un conme pour l'autre paraUétipipéde ce que nous aTOos appelé gys, gxzt gxyf

(<S9)(4+dr)(<+<>«)COS(ri.H,)=:(l + d^)«Cr»C.x+