cryCg,+CrxC*,)(4+<),)(4+^,)g
APPENDICE COMPLÊMBNTAIBE. 781
double. Et comme, en les prenant pour axes coordonnés, Téquation manquera des termes en yz, zx^ xy de sorte que les glissements g parallèles à ces axes nouveaux seront nuls, on voit que :
£n tout point d'un corps qui a subi de petites déformations à partir dun état antérieur quelconque^ on peut toujours tirer trois droites rectangulaires dans les directions desquelles il n'y a pas eu de glissements lorsqu^on les considère deux à deuXj ou dont les trois angles étaient droits et sont restés droits.
On appelle dilatations (ou condensations) principales celles qui ont lieu suivant leurs directions. Deux d'entre elles sont la plus grande et la plus petite de toutes les dilatations autour du point considéré M.
Elles se déterminent en grandeur et en direction comme on a fait pour les pressions principales au $ précédent, en égalant &
zéro la différentielle complète de (187) ^r« par rapport aux
cosinus, çn sorte qu'elles satisfont à
d*où, en Dr seul
(195) 4 Qr-à^) (Dr-;)^) (D,-D.) -
et d*où on déduirait, mais pour le seul cas particulier dune contexture égala en tous sens^ les conditions de* limitation des dilatations ou de résistance permanente, établies aux %% i de la note du n- ibii p. 219^ et /|3 de celle du n» 156 p. d7A à 383 (^.
(^) Au Mémoire mut la tor$ioH (4854), arl. i4 , nous lYoni démonlri, pour te cai d'une conlexlure à trois pUni de » yméirie , cette équation plui générale , od àx, 8y, dy, et 8r= 8xc'r« + ^yc'ry + dacVx représentent les limites i imposer aux dilatations poiUiveê dans les sens x, y, z e%r :
"4a,ô,V3r àj 4M^VÔr «»; 4«^A«r «J 4My8^ "" *
dont la plus grande racine donne le rapport le| plus grand f et par conséquent le plus dangereux de ^^ A ^r*
182 SEGT. I. EtSttTAKB DES 80LWES.
Une autre surfooe da seooad ctogré iotéressaote à ooosàéhw aacai ei qui sera iaujoi^rê un ellipsQï<ie est celle dans laquelle les déformations du corps changent un élément «pbériqne ayant aon centre en M.
Soit 1 la loqgueur primitive des rayons de cet élément Si. Tongine étant placée en M, a;, y, z sont les coordonnées de Textréaiité de celui'de ces rayons dont la direction est r et dont 1+dr désigne ainsi la longueur actuelle, le rayon primitif = i était la diagonale du paralléliplpède obliquangle dont les côtés, devenus reotangnluires et égaux à x, y, z, avaient, auparavant, des longueurs
i + ^x' rn7' îTT/
et dont les trois angles adjacents qui sont deveuus droits en ne rétrécissant de gy,, gs/r, g«v avalent pour coaiuus
g|f»i "~~ giar» "~ gi
xy<
On a donc, d'après Texpression connue du carré de la diagonale d'un parallélipipède, qui a été prouvée p. /i50 et qui est d^ailleurs un cas particulier de la formule générale (188) de projection de deux résultantes Tune sur Tautre,
(^^^> (i + D,)« "^ W-fW "^ (1 + ^,y ~
2g»,yg 2g,x2£ '2g^ay
La sphère se change ainsi en un ellipsoïde, dont les axes de figure ont nécessairement les mêmes directions que ceux de la surface du second degré (193), car ces trois directions doivent être toiyours celles des maxima et minima absolus et relatifs des dilatations, pour lesquelles les trois glissements g,,, g„, g^ sont nuls quand on les prend pour axes des x, y^ z.
Au reste Téquation (196), qui peut s'écrire ainsi en négligeant les
produits de quantités très-petites
(197) (1 — 2^«) !» + (!- 2\) y» + (1 - iè,)z* —
— 2g,.ya5 — 2g,a:2x — 2ga^ay = 1,
aurait pu être déduite, comme (193), de Texpreasioa (187) ir =
APPEQIOICR GplIPUlfBlITAIRE. 788
^ifi\9 + f . . • . écrite c«r, + c'r» -f cV, — (dem fola le 3* membre) =r i — 2i),., en y faisant Cr,, (Vy, Cr» = 7^-f^ et chassant les dénominateurs, cçir (1 — 2Dr) (1 + <Jr)' = i.
S 83. Potentiel des forces moléculaires ou intérieures ^ et son usage, — Dès 1821, Navier, en fondant la branche importante de la mécanique dont nous nous occupons ('}, y avait appliqué la méthode de Lagrange consistant à poser une seule équation d*équilibre pour tous les points d'un système, par le principe des travaux virtuels, en représentant les petits espaces hypothétlquement ou virtuellement parcourus, par des variations ou différentielles par B de,s coordonnées actuelles (ce + w, y -}- r, 2: + ir) de ces points, et à en déduire* au moyen des plus simples règles du calcul des variatiops, les équations ipdéfinies qui conviennent à tout l'intérieur du corps ou du système, et du môme coup les équations définies qui spnt relatives seulement à ses limites ou à sa surface-enveloppe.
A cet effet Navier composait tout d'abord, pour les actions intérieures ou moléculaires d'un corp« élastique, une expression de cette quantité ou de ççtte fonction de toutes )es forces en Jeu et des situations relatives de leurs points d'application, désignée dans la Mécanique analytique par H = / (Pdp + Qdq +....) (')» qui doit être un minimum dans l'état d'équilibre stable, et dont la différentielle par ^ donne le travail virtuel total de ces forces diverses.
Pendant que la méthode de Lagrange devenait, chez nous, l'objet d'un abandon à peu près général (') et d'objections non suffisamment réfléchies (^}, provoquées en partie sans doute par Tabus qui avait
{}) LoU de Véquilibre et du momtemeai des êolides éla*iiqu«s, lu le 44 mti 1894 . Tome VII de riosiltul.
(*) \^ partie, teclioa III, de «4 à S7.
(S) Pointol (Théorie nouveUe de Ut rotation des corps, 4834, p. 83, ou SIcttique, 8* édition, p. 509) semble n'apprécier, dans l'œuf re de Lagrange, que les courts passages où il rapproche les méthodes, et « les admirables préfaces historiques placées à la léte des différents livres. »
(*) Hoi|son STançait, en 48i7-l838, dans uoeiVoteftir leg vibnUtone, Insérée au t.XXXVI des Jnn.dech. et deph,^ p. 86, linsi qu'au Mémoire du tome VIII de l'Iostitui, art. 44, p. 400, que le calcul des yariaiioas n'était pas propre aui recherches sur les corps tels qu'ils sont dans la nature, e'est-à-dire formel de molécules disjointes. C'était une conséquence Q:|#|érée de sa Juste remarque qpe les résultantes ou les sommes de composantes d'acUont de cei molécules ne eont
78& SECT. I. fttSISTAHCE DBS SOLIDES.
pu ôtre fait des sappositions de liaisons abstraite? ou purement mathématiques, qui ne sont nullement esseatidles à son emploi (*), Green et Gauss rappliquaient avec un grand succès, Tnn en 1828 aux lois de rélectricité statique (*), Taucre en 1829 à celles des phénomènes capillaires (') en posant dès Tabord, comme Navier, Texpression de cette même quantité n que Green appelait fonction potentielle (^}, et que Gauss a simplement, plus tard, nommée le Poieniiel (*); méthode que Green, en remployant ensuite pour la détermination des lois de Télasticité de Téther lumineux et de.ses vibrations,. regarde comme spécialement applicable à ce qui regarde les systèmes d'un nombre immense de particules agissant les unes sur les autres (sans autres liaisons que ces actions mu-
poê det iniégralet; car, ouire que leur convenioD en intègralet déflaiet D'à pu lei ioGonfèDleots qu'il signale quand on ne prend pai séro pour limite inféiieiire d'iniëgration comme Ta obserTé M. Clauaiui (noie du $ 74 ci-dettui, p. 743), on va voir que ce calcul peut lrè*-bien être appliqué en oonaerraDt les aornBies 8 ou £ d'un nombre irès-grand, mais Qoi de termes, sans avoir besoin de les convcrlir en intégrales triples JJJ, ou sans opérer pour tout le corps des intégrations teiUiples ; en sorte que les intégrations triples conservées pour embrasser tout son volume ne sont nullement celles qui portent sur les actions, et que Poisson signale comme prêtant à de fausses conséquences ; aussi II est permis de croire que son opinion s'était modifiée lorsqu'il lisait, en novembre 4831, un beau Mémoire dans lequel II perfectionne le calcul des variations (Institut , t. XII) en disant que ee calcul comprend dans ses applications la mécanique entière, et où il s'en sert pour la plaque éiasiique.
Quelques lucertiludes peuvent cependant rester encore an sujet des conditions aux limites des corps, dans certains problèmes où la rapide variation de leur eoatexture à ces limitet peut exercer une influence capitale. Cet Ineertitudet, qui se présentent également quand on ne Esit pas usage de la métbode des varlationt, ne cesseront que quand on aura complètement résolu les questions délicates soulevées à cet égard par Poisson pour la théorie de la capillarité, et par Caucby pour la théorie de la réfraction et do la réOexion de la lumière. (C*^ rendus, t. XV, p. 650, etc.)
(i) Poisson (il/ém. «»^ leg corpi éUuUquet, 4818, au t. VUI de l'institut, p. 364) opposait en quelque sorte la Mécamque phy tique à la Mécamiqm cna/yfititf, qu'il regardait apparemment alors comme liée i la substitution d'équations de condition aux forces réciproques unissant entre eux les poinls d'un même sjsièmn.
(*) G. Green. An E$my of ihe ApplitMUon af mtOhmaudleal jinalytis io the Theorieê of EleclricUy and SfagnetUm» Nottlngham , 48S8. .RélmpriBé aux tomesXXXlX(4850), XLIV (485S),XLVII (4854) du JourNat de Crel/e.
C) Gauss. PrtHcipia generalia theoria figune fiuiâwum in Mtatn aquHibfn; iradUtt 98 septembre 48S9, Gottingue, 4830, in-4*. — Ou Mémoire mria théone de» phinomènti capillairt», par M. Bertrand, t. XIII (4848) du Jimmal lÂotmlUe.
if) Green. Préface et Observations introductrices.
(*) Gauss et Weber. ReeuWte au» den J{é»HUat» de» expériences de r Union
mapUiique pour Vannée 4839, p. 4.
àPPiiNI>l<.K GOMPJLÈIIË^TAIRK. 785
tueUes) p&rce que, dit-il, un de ses avantages, d'une grande importance, est de conduire nécessairement et presque sans soin (witli little care on our part) à toutes les équations de condition justement nécessaires et suffisantes pour la complète solution des problèmes (*) ; ce qui se trouve remarquablement Justifié par les recherches de M. KirchholT sur les plaques élastiques (*).
La considération du potentiel (>) des forces moléculaires a été employée, depuis Green, par la plupart des Savants de TAngleterre et de l'Âllemagae qui ont écrit comme lui sur la théorie de Télas*ticité (% Si elle semble compliquer quelques solutions ou démonstrations particulières, elle simplifie 1 ensemble de celles qui se rapportent à un même sujet On a vu d^ailleurs avec quelle facilité Ton tire, de cette seule considération, 15 égalités entre les 36 coeflScients des formules des corps élastiques, car O était, au $ 70, précisément la quantité ou fonction dont il s*agit
On peut, en efl'et, regarder le Potentiel d'une ou plusieurs forces, comme leur pouvoir moteur totale ou le travail qu^elles sont ca-
(1) On the LawM of ReflecUon and RefracHon^ 4837. Traos. Cambridge, vol. VII, (4839) , p. 2.
(t) Vther das GleichgewichL», «tnet Sckeihe. S^r Véquilibre et le mouvement d*im disque ou d'une plaque {Journal de Crelle, 40' volume» 4^* IWr., 4850, |>. d9). Et CompUê rendus, 46 oclobre 4848, l. 37, p. 396 (où il faut lire G + (G) = 0 , •
F -f- -i- -{- ?F) + -^ rr 0 pour les deux dernières équations). M. Kircbboff d» di
arrlTe, par celle mélhode , à d'aulrei équationê au contour que M. PolsaoD, qui en avaii dooné iroia, landli que deux lufllseot.
(S) On sait, au reste, que eetie dénomination est de Daniel BernoolH, qui, eo 4738, dans son immoTitWt hydrodynamique^ où le principe d'Huygeos, appelé depuis deê force» viveg par son frère Jean Bernoulli, se trouve pour la première (ois largement app|lqué, revient, dit-il, à renoncé de son premier auteur (art. 48), et appelle constamment DeteenU actuelle et Jscenêion poteniieUe ce qu'on nomme aujourd'hui travail et acquisition de demi^force vive; et qui, peu de temps après. Indiqua à Enler que la courbe élastique devait, comme toutes les autres courbes qui résolvent des problèmes de physique, rendre un minimum une certaine Fobci fotvrtibllb. (Euler, Methodus inveniendi, etc., Additamentum de curviê eiaêticiM, n** 4 et 9.)
{^) M. Rirchhoff, même Mémoire sur la plaque; et, aussi, GMcA^etPJcAl... eines Stàb€$; ÉquiUbre et mouvement d'une tige élastique infiniment mince {Journal de CrelUf 56* volume). — MM. Haugbien et Neuraann, Mémoires cités ci-dessus. — M. Gehriog , IHssertatio inauffuralis de aquiUbrio et molû lamina cristallinœ. Ce jeune savant a même soutenu, dans son argumentation, que la théorie des corps élastiques ne pouvait être convenablement présentée que par le calcul des variations.
786 SEGT. I. RÉSISXAMCE DBS SOLIDES.
pMe» de fourair depuis la situation actuelle des mobiles sur lesquels elles agîf«eot jusqu*à la situatioo pour laquelle elles s^aulent ou se coutre^balancenti travail qui dépend nen^enlement de leurs intensités moyennes respectives» mais encore de retendue plus ou moins limitée de leurs cAamp^d'aolton ou des espaces que leurs points d*application peuvent parcourir Jusqu*à ce que ces forces variables avec les distances cessent de s^exercer sensiblement.
C'est la mémo quantité que Jean Bernoulli appelait Iêl faculté d'agir (*), Ampère la force vwe implicite (*), et M. William Thomson rénergie potentielle qui, ajoutée à Vénergie OôtuêlU ou puissance vive (demi-force vive) forme ce quML nomme Ténergle mécaolque totale d'un système dto corps (') ; énei^e dont les réservoirs sont, d'une part, un poids élevé, un ressort tendu (Bernoulli), une quantité de combustible (Lagrange) (% de fourrage, etc., et, de Tautre, une masse eo mouvement (le même Bernoulli), animée d'une vitesse plus ou moins grande (*)•
. Cette signification philosophique du potentiel explique son rôle important, et Ton conçoit que sa considération puisse avoir, dans des questions compliquées, le même avantage qu'offre celle du simple travail dans les questions élémentaires. Et comme les résul* tats obtenus sont généralement les mêmes quand on l'augmente ou diminue d'une constantCi on peut le mesurer par le travail entre la situation actuelle et une situation fixe arbitraire, antérieure ou postérieure, des points exerçant des actions les uns sur les autres* On rappelle aussi, dans beaucoup de mémoires réoents de œéoa^ nique rationnelle, fonction de forces, parce que les dérivées, par rapport k «, y, z, de sa Valeur / (Xdx -f Hdy -|-Z(fe) relative à une
(^) AeU «rodlloràm Liptisi mai 4735, oa CËuvrti^ t, III, d° CXLV, p. 239, lèO.
(*) AnnaU» de chimie et de phygique, tvrll 4 835,
(>) Sur les iDlécèdeDtS mécaniques du iQOnysmeplj fts 1« fhilmr si é0 la lumière. Comptes rendus, S8 mai 4S55, t. XL, p. 1497,
(^} Dernier artidQ du TraUé de$ foncfitmt emalyiigu^»
(f) Nous l*aTiopi aonm^, dioi us Mémoire préaentd !• 44 avr4l 4SS4, êapUtl dynamique laktUf eu «ppeUot capital paient la demi-force tife, ei en remirquaai que c'est de U somme tolnl» 4^ cei deiu quanlilés, i^tefaaogea«i «a^UoneHemMi Tune dans l'autre, qu'on peut dire avec Descutss que la quaoUté 4u OMNifemeiii reste consumment la m^me dsas Vuniferi.
APPËNDiCe COMPLËMfiKTAIRE. 187
seale force, sont les composantes respeetives X, T, Z de oette força suivant ces coordonnées ; et si, comina M. Hamllton, S désignant une somme relative à un nombre indéfini de points matériels, ou prend la dérivée de sa valeur S / [Xdx + Ydy -j- Zdz) pour tout^ les forces qui les sollicitent, par rapport à une des coordonnées éPun seul de ces points, Qn regardant toutes les autres coordonnées comme constantes, on a la composante de la force sollicitant ce point particulier suivant la coordonnée choisie. Il est môme facile de voir (^)'que la dérivée par rapport à la ligne de jonction d'un ' des points mobiles avec un point fixe est la composante* suivant cette ligne, de la force particulière k ce point (*)«
On conçoit aussi que Tusage du pot^tlel n'exige paa toujours et inévitablement remploi du calcul des variations, car, quand oneit parvenu à en construire l'expression, son if)lnimum peut quelquefois être déterminé sans recourir à cette sorte de calcul (").
Pour les forces intérieures ou moléculaires d*un corps élastique, le potentiel sera ainsi, par unité de volume, en un point (x, y^ z\
si, ^ur l'élément parallélipipède dont il occupe Iç ceptre et dont X, y^ z sont les dimensions parallèles ^nx coordonnées, le produit
4>«xjrs
est 1$ travail que ces forcer ou actions mutuelles produiraient jusqu^an retour à Vétat naturel ok il n'y avait encore {%% 20, 22, 80) aucune pression à Tintérieur ni sur les faces de Télément.
Gomme le travail *total des forces intérieures est égal à la somme 468 travaux des pressions p^m •«•• Pcy qui leur font équilibre sur les
(1) JHe PôtêtOial/iiHciioH und ioê Potenzial, Uipiig, 4859, Id-S*, $ t, p. 4, pir M. CUusius, qui coQierve te iM>in de fonction potênUêUe lu -potentiel par tfm'tf de quantiU ou de mtMe [Id.^ <^ 44 , p. 4 03).
(*) Aufit M 6>urood-i), lorsque le» foreei sont en raison fnterfc des carrés des
disUDces r des points, aTec ce poienliel analytique V ««• ffif mtiWàr» 4«t» lli
théorie des attractions soit planétaires soit électriques, et qui, se composant d'une
somflae de niasses dititée» p«r les prayniéiM puisMunes dâa dlsUnces r, satisfaii
. <f«V d*v rf>V ,
à une équation dilKrèniielle -—^ + t-t 4- -rr = 0. ( Laplace, liée, céleste, 1,
oaf* dy* dz* m
Ut. n, n» 44, et UI^ n» 8; et Uvé, 6' leçon, p, 70.)
(>) C'est ce qu'a fait N. Bertrand dans le Mémoire cité, relatif aux phciiomôncf
tapillalffet.
788 SECT. l. RÊSISTAHGB DES SOLIDES.
six faces de Télément xyz, on aura, comme an $ 70, pour raocroiasement du potentiel dû aux accroissements d^«» «... dg«y des six déformations D, g :
Si nous le distinguons par l'indice i quand les six déformations ge comptent à partir de tétat naturel (codame nous avons fait pour les composantes de pression), ou si nous rappelons alors
** devra être nul pour D,. = o, î), = 0 g^^^ = 0 et donner pour
dérivées partielles, par rapport à ces six déformations, chacune des six expressions (12) des composantes p*Mi •— p'ity. On aura donc la formule
(199) ^•=Ja««J)V+ia,,,V^\+}a.„;)«,+
+ îS»I»«g%.+ ïa«fxg*«c+ îa4:y;fyg%+ay»,,D^,+a„«^.5,+a«^^y+
"{■ SffcysVjBgyi + ajfy»4fC ygxj; '\'^MiX}fi t&XJI + ascxygsjcgjsy + Sxy ysg«ygy( 4~ayaugyxgM+ +ayyys<)ygyS + a«ssydsgys + at»s«d«gM + a4wadflgM+a«rry()^Cy+ayyy«dygsy;
expression homogène du second degré, et par conséquent à 21 termes, que Green s'est cru autorisé, comme dous avons dit au S 69, à poser à priarù Elle peut aussi être écrite, d'après les mêmes formules (12) p»«, = a««^. + etc.
(200) a>« = y^^, + |p'y;)y + |p»J). + \p*^^ + |p*s*.+ |p»*,fo.
Sous cette forme elle donne toujours p*«», p^y^^ •••• p'cy quaod on la dilTérentie par rapport à d^, dy ... g«y, car on trouve, par exemple, comme pour Texpression (iàB) de la note du S 70 (p. 716),
Si les déformations d, g se comptent k partir d'un état où il y avait déjà des pressions
P*«« P W» P Uf P wtt P*««7 P*jpy»
et si,
désigne, par unité de volume, le potentiel, quel qu'il fût, dans cet état initial qui n'est pas l'état naturel^ celui qu'on aura après les
déformations i"^, g sera exprimé, 4>^ étant (199) ou (200), par
La partie en p*r«,.. . • p*«v de cette expression est double de ce que celle (200) de 4»' est en p^M, .... p^«y ; cela vient de ce que les pressions p* antérieures aux D, g avaient déjà acquis toute leur valeur au commencement de ces déformations, et restent constantes pendant qu*elles s*opèrent, au lieu de commencer par zéro comme les p^ (note du $ 70, p. 716). i
$ 8A. L^expression du potentiel des forces intérieures conduit aux équations d'équilibre indéfinies et définies^ et aux expressions complètes des composantes de pression. — fin effet nommons, comme aux $$ 27 et 28 :
X, Y, Z les composantes parallèles aux x, y, z des forces extérieures telles que la pesanteur» qui agissent sur Tunlté de volume du corps au point dont les coordonnées x, y, z sont devenues
X, = X 4- w, yi = y + »• «1 = X + «> ;
rsf' les pressions extérieures agissant sur Tunité superficielle de
rélément
dQ
de la surface-enveloppe que nous appelons Û ; n la direction de la normale k cet élément, tirée extérieurement Comme les projections
sur les axes, de Tespace infiniment petit quelconque que Ton fait parcourir virtuellement au point ayant les coordonnées actuelles ^1» ^i* ^1 ^ réduisent, vu que les coordonnées primitives x, y, z n*ont pas de variations, k
$u, ^, Up,
Ton a, pour Téquation d*équilibre, ou de nullité de la somme totale des travaux virtuels pour tout le corps
(203) ${J (2xdydr (X$ti + T^ + 2^) +
+ JdÛ['®'COs(/®», x)5u H- '2D'C0s(<©', y)îi? + ^C08('t8', a?)8M>] =
^^^dxdydz^.
790 SECT. I. niMSTANCB DES tOLmBS.
En pranaDft pour 4» sa valeur (Mtaiplète (201) ^ + p*m^* + « « • + p**»g«y + **f le terme *• différentié par S donnera Eéro. Le dénier terme *» donnera l'expression (198) pxm^g + ... de d^ avec des S pour 1m d et les p^gjtf •«. pottf Itt p**, «•• • en aorte qnViit aora
Mettons y à lÉK plaee dM (!», g leurs valeurs en u, t, u? en «opposant ces déplacements très-petits; cas atquel o'n ramène^ eomme nous avons dit/celui de déplacements quelconques ne produisant toutefois que de très-petites déformations. Il suffira pour les six derniers iertiies, affectés des p^ de prendre les expressions (42)
'^ dbc^^^ • ^*' "" dâ 5y '
Mftis eomttie céar termes seroht du second degré eti u, t, tr, puisque les )»' eôQtiéâttetit Aussi les dérivées de ces déplacements, il conviendra, pour que ceux de la première ligne de (204), affectés des constantes p*", offrent la même approximation, d'y mettre pour léS S, gf, (5oiiii!bè t^à remarqué Green pour un cas particulier, leurs valeurs plus exactes (60), (41), savoir
do , dw du du dv dv , dw dto
«»•= 55 + 7^ + dy di + dy ifa "^ *^ ^' **''"
Substituant, différentiant par B et changeant les M en dS suivant le i^rittcipd dd cAlôUl ded Variations, les termes en u, qu'il suffit d'éerirè seuls parce qu'il sera facile d*en déduire par analogie les termes en t?, t^, !burki)h)iit dans lô second membre /// dxdydx^* de (203),
Avant d'intégrer par partie^ de manière à détachée Mis inté-
▲PPfiJIDiai COMPtÊMBirrAIRE. 791
graies doubles et 4 ne cooflerrer ions leeiignes / que 9u wm différentiô, U fjuit remarquer aveo IL Gh« Meumaiia (qui a donné une analyse de oe genre pour le oaa particulier de risotropie où on a' P*Mi =Pn^ P"» ot les autres p* nuls) 0) quMl convient de changef , hors des accolades, les variables indépendantes x, 'y , z en Xi^ y^^ z^, coordonnées actuelles des points. Gela exige qu^on remplace
^par^^-L^ î^j^^ ^( AA^^a^^^iUju^^- Demème^par^5îî^^ + ^^('l + ^)+^^, • dy *'*'^ d*, dy T dy, V ^ dyj^W^dy'
doc dfX djc
U* Dans dxdydz^ dx par ^ da:^ + ^— dy^ + 57 ^^Jj en tirant dy,
et dz^ de la supposition de y et s constants ou de dy s: O9 ds = 0,
c'est-à-dire en les tirant de
(puisque, dàfiB toute intégrale triple, IMntégration par rapport à une première variable se fait en supposant constantes les délit
autres) ; et, ensuite, dy par -^ dx^ + -^ dy^ + ^^ ^t ^^ ^*^"
sant dxj = 0, et dt = 6, c^est-à-dlre par ^ dy^ -{"^dz^^tïViTzxït^
ay^ az^
dZiûe 0 = ^ dy 1 + 2^ da:,; enfin, dif par ^da;,+ ^ ^y« "*"
dz d"*
-y dzi en faisant di, = 0, dy, = 0, c'est-à-dire par -7^ dr, (•) ; ce
quirevientàremplacer d:cdydzpar dx^ dy^dz^ multipliée par le déterminant sextinôme -r— -^ j etc., composé rtVec les neuf dérivées
dx, dy^ dz^ . '^
' -^i -r^, -r-9 s^, etc., ou par le dénominateur commun dès valeurs dx, dyi dZi dx,
.«aifcfci^*! Il» I ÉO— -J*»*AM<*y^**.
(M Zor théorie der Elasiicllfl, § 2, p. 386-287, du S'?* volume de Crelle. (*) LMTOtt. Cat«r diir. et inl., I. 9, p. 907, n* 534,
792 SEGT. 1. BÉSI8TANC£ DBS SOLIDES.
de trois inconnues tirées de trois éqaatioos du premier degré dont les coefficients sont ces neuf dérivées; déterminant ou dénominateur qui n*est autre chose que le rapport du volume ancien au volume nouveau d'un même élément, et qu^on peut réduire k son
premier terme -3— ^ ,— , en sorte qu'il faut remplacer
aX^ ay^ cLt^
dxdydx par dx,dy,dz, (l- Q (i- ^^ (l-.^^
qui revient, en négligeant les produits de du^ efo, dw^ à
dx,dy,dz, [i ~ ^ - ^ - ^y
En faisant ces quatre substitutions, eiTectuant les multiplications des polynômes entre accolades par les dix facteurs
/ du dv dw\ 1 1 ^^ ^^
et négligeant encore les produits de du^ dv^ dw entre eux, la partie (205) du second membre \\\ dxdydzW de (203) devient
en ftisant
- f m . du do dw\ . ^ . du , ^ ^ du , ,
« . /- dw\ . dv ^ ^ du , ^ du , ^ dv , .
• /^ ^^\ . a du , ^ dw , ^ dw , ^ du ^ ,
c=p-„ {i- 5^ j +r- ^ +p-„^ +p-^ ^ +pv^ +p'„
Intégrant par parties de manière k ne conserver les $u que non différentiés, et désignant par les accents ' et '' les valeors de $u et de A, ou B, ou G relatives aux points où TenvQloppe du corps est traversée par des droites respectivement parallèles aux x, aux y, aux z, cette partie en u du tranfail virtuel intérieur se change en
APPENDICE COIIPLÊUENTAIRE. 793
(207) \\dy^dz^{^'^u"- X'hi') + {\dz^dx^{B'^u^^B^u') + ÇÇdX|dy j(C"8w"— C'^uO—
Gomme réquatioD d^équilibre (203) doit être vérifiée pour tous les mouvements virtuels possibles* ou quelles que soient les valeurs de ^, Bv, St/7, on peut déjà égaler, dans les deux membres, ce qui
sous les signes \ ^ \ d'intégration triple est affecté de Bu. Il en
résulte, en remplaçant les dérivées par rapport à x^, y,, Zp par les dérivées par rapport & x, y, z (ce qui peut se faire vu qu*on ne néglige ainsi que des produits d'ordre supérieur), la première des trois équations suivantes dont les deux antres s'obtiennent de même par les Bo et par les Bit :
'^ "^ dy dz *
(208) ( w* wy t**
y-DO — +«• — + +2î)* -^ + ^lf»4.^îtt4.^V5 ^-^"dx«+^»*dy«+ ^^^'^dxdy^ dx ^ dy ^^T*
c'est-à-dire, si les p* sont nuls, les trois équations (38) indéfinies d'équilibre, et, si les p* ne sont pas nuls, les trois équations plus complètes (iô4) de la note du $ 72, p. 723 avec X, Y, Z au lieu des inerties.
Quant aux trois intégrales doubles de (207), si pour la première, par exemple, n' et n'^ sont les directions de la normale extérieure n à Tenveloppe Û en deux des points correspondants dont on a parlé, situés sur une même parallèle aux x, et dû', dOf' les éléments correspondants de Û, ayant pour projections dy^dz^ sur un plan perpendiculaire aux x, on aura
dy,d2r, = dU" cos (n", x) = — dû' cos (n', z).
79& SECT. i, BiftlSTANCI DIS aOLIWS.
D*où il résulte que Udy,c{2|(A''^''— A'Bu'} eut la môme ohOM que
Çdû"cos(ii",a;)A"ôtt^+fdÛ'oos(il',ï)AW, ou que
rintégrale C sétendftnt maiotenaDt à toute retiTélOppe Q 0).
La première ligue de (207) est ainsi la même chose que
(1109) utÛ|;A C08 (0, x)+fi 66â (n, y) +CCOS (n, z)]Ziu
Comparant à la partie du 1*' membre de Téquation d'équilibre (203) qui est affecté de dûdt^ Ton obtient
(210) ^ ces (^, x) = A cos(n, x) + Bcos(n,y) -\- Gcos(n» z).
Or, en faisant coïncider iueoessilremeilfe Taxe des 0, Taxe des y» Taxe des $ avec la normale Di le second membre se réduit
à A, à B, à â ; et le premier membre est
ptutt Pyx* P«*«
On a donc la première des trois éqttaitôns suivantes, dont les deux autres se démontrent de même par les termes affectés de dt; et de S2i> :
1^ 00s (Br,a;) =p«« dos (n,x) + p,y cos (tt^y) +p,* oos (n,z) 'Wcos (a,y) = pi^ cas {n,x) + p^ cos (û ,y) + py» cos (n^), ^ cos («r,a;) = p^g cos (n,«;) -fp^ cos (n,y) -h p,* oos (n,«),
o'est^àHlIra les équations définies (89) du S 27; et par cela seul se trûuYo démontré le théorème de prqJeeUdas de plans de pfessions du S 16.
fit 00 a aussl^ vu les Slgoifiôations (206) dé A, B, G, la pretnière, la sixième et la oinquièihe des fbnhules suivantes; doût les autres se prouvent de même :
(1) Cette iransformalioD connue , à liqueUe nous »TOBt d^i Stt rseours à li noie da $ 70^ est employée A U Méi^nique analytique^ ], VII, 39 et 30^ et à li depiièmo Leçon de M, Umé» S 40, p» %%,
âpnifoiGi GOMPUnaiTAiaE. 798.
^ A dit di? , dw\ , n . dw', ft^* dir , ,
p^=pv. (i— ^j +p «ai +p »»dy +P^»' di +P "di +P «»•
Ce sont les expressions complètes des six composantes de pression, daes à M. Gaucby {% que nous avons Indiquées comme aéduttos (note du % 23, p. 572) du calcul des actions moléculaires fonctions des distances. On volt qu*elles peuvent être déduites aussi, et iden« tiquement, de Texpression du potentiel, au moyen du calcul des variations, sans poser la valeur de ces actions ni invoquer explici^ temmU leur loi. Ctla n*empéche paa qtt« la forme liniaifo (iS) des parties f^êti p*t«t ••*** P^«v ds ces composantes p, admise o priort par un si grand nombre d'suteurs, ne nous paraisse dépendre ton» Jours de cette loi invoquée au moins implicitesMOlel taeilemsati comme onii vu au $ 20 et dans tout TAppendice V.
Il est remarquable, aussi, que les trois quadrinômes entre accolades de Texpression non encore transformée (205) donnent les composantes, suivant leâ t^ des pressions sui" les trots fliceâ lé^rement obliquàngles et de superficies
dans lesquelles les déplacements ont changé trois petites faces primitivement rectangulaires et =1, et qui ont été données par Poisson à la page A7 (n* 92) du 20* eahler du Journal de PÉoolê poli/ieûh-' nique^ pour le cas particulier de Tisotropie. On peut en déduire, comme il a fait, au moyen du théorème de projections de plans de
(1) Page 43S de la 4' âDoéê (ht%V) des Exercices.
796 SBCT. I. RÊSISTAMGB DES S0UDB8.
pression ou des fonniiles de changement de plan (4)» et des expressions (27), p. 571, de six des neuf cosinos des angles des intersections mutuelles de ces trois faces avec les x, y, z (les trois antres cosinus étant = i sensiblement), les expressions (212) que nous venons d'écrire, donnant les pressions sur les trois faces qui sont rectangulaires et = 1 après les déplacements, il est encore remarquable que les neuf expressions des composantes obliques, substituées dans les équations indéfinies générales (38), donneraient, tout comme les expressions (212|, les équations indéfinies dévelop-
pées*(207) X =p*xj; "^H- ^^ ' ^^ qu'on aurait aussi ces équations
(207) en intégrant par parties (205) sans le transformer en (206) par un changement des variables indépendantes x, y, z en ^i, y^, z,.
Cela vient de ce que les équations- (38) ^ + ^ + ^= ^» ®^-'
expriment aussi bien Téquilibre d'un élément parallélipipède obliquangle que de l'élément parallélipipède rectangle considéré % 27.
S 85. Expression du 'potentiel des actions intérieures^ composé en les regardant comme fonctions des distances moléculaires. <— Navier, qui prenait pour Taction de deux molécules m et m, à une distance r devenue r^, le produit
(213) mm(rj— r)/'r
de leurs masses par une fonction f de leur distance et par la petite augmentation rj — r de celle-ci, posait pour le travail du moment virtuel de cette action •
mm(r, — r)fr.^^ = mm(r, — r) frMXx — »•) — v^n^r.l ^^^7*^^*;
en sorte que le potentiel de celles qui sont exercées sur m par toutes les molécules m environnantes était mS^m/r.^-^^^, d*où poiir celui de toute la masse, p désignant la densité
(214) gJpd«lyd^Smr«Ç(îî^)';
APPENDICE GOMPLÊMBirrAIRE. 797
expression où il remplaçait -î — par sa valeur (9) ^ cosVi^:) + ■^Vd""'" s) ^5^ (^»^) cos (r,y), et quMl développait en faisant
passer les carrés et produits des dérivées ^ , etc. , hors des signes |§
des sommes qu'il convertissait ensuite en intégrales autour d^un point par coordonnées sphériques.
Puis, en différentiant par S et faisant varier u, o« w (sans x, y y z), intégrant par parties etc. il obtenait, de Téquation générale d'équilibre posée par le principe des travaux virtuels, les trois équations indéfinies, et aussi les trois équations définies donnant implicitement les formules des pressions pour les corps d*égale élasticité en tous sens.
On arrive à des formules s'étendant aux contextures non-isotropes en conservant, sans les convertir en intégrales (ce qui n'est nécessaire dans aucun cas), les coefficients § qui afl*ectent, au nombre
du de quinze distincts, les carrés et les produits des dérivées y- etc. ;
et Ton tient compte de Tétat qui précède les déformations ^, g ou les déplacements u, r, w en prenant, avec Gaucfay et Poisson, au lieu de (213), et comme nous avons fait à la note du $ 23 (sauf R que noua écrivions au lieu de/r) :
(216) mm/[ri)
pour Taction des molécules m et m quand leur distance est r^ , et en opérant ainsi qu'il suit, comme ont fait à peu près MM. Haughton (*) et Neumann (*) d'une manière moins générale. Si nous faisons pour un instant
(216) jj]*.^,dr,=9(r,),
nous avons, ft désignant une sonune relative à toutes les molé-
{}) On Um Eqoillbrium and MoUon^ etc. Jrish Acadeny^ fol. XXI» p. 465-468. (*) Zor ThroHe der KlaftMilt, $ 4*', p. 9S8-M6 du 57* rolnme de Crelle.
7M sEcr. 1. ttoiaT4KCti ob» solides.
cules m dani la sphère d'activité «ensIMe de m et à leurs distances r ou r,
^m<f{r,) = m S m |o(r) + (r,-ry(r)+ ^-^^ 9'^(r)+ j
ou, ce qui est la môme chose vu que f{r) = 0, ^'(r) =/(r), etc» (»17) mSmÇVridr,==inS«* j{r,--rl/'r+ ^^xZJl* ^ + ..,.,
Appelons comme au $ 66 (p. 695) et déjà en partie à la nota da $ 93 (p. 669), avant et i^irès les déplacements
j, y, 2, et x + w, y + c, r + ir les coordonnées de m»
a;+rcr*, y+rcr^f a;+^r» et x+rc^^+w+lM, y+rcr^+tJ+^r, z + rCr. + «7 + Ait les coordonnées de m,
nous ayons, en nous tenant aux deux premiers ordres,
ri—r^Z'-r-h [(rCr, + Au)* + (rCr, + Ac)» + (rc, + Au?)*] • =
1 arOrjStf 4- 2rCnAo H> arCwAtg + (Atf)« + (Ae)« -t- (A»)*
