KI
Substituons cette valeur de r^ — r dans (217) en ayant é^ard ù ce que
dû
/r . id/r r r
et remarquons que Ton déduit de eette expression (217) le petontiel (|> — <!»« (S. 83) des actions moléculaires mutuelles de Tunité de volume 2|u point (x, y, z) entre Tétat primitif où les distances sont r et Tétai ultérieur où elles sont r^ en la multipliant par la densité p après avoir divisé par demfoU la masse de la molécule m, parce que la même force fr çst relative à deu^ molécules qui Texercent l'une sur Tautre; ik>us evone ainsi
iJPFEPlOiClà GOëPLfiMBKTàlRE. 799
(213) ^=^^' + l^rn^yr,dr,^ Mettant maintenant pour
Au, ÀV, AIT
leurs valeurs (138) p. 69&, bornte» au premier et au aeoond ordre, savoir '
,«-«x du du du . r« /d*tt , , , „ <^m \
effectuant les multjpljcationa et faisant paaaer lioni dea stgoea §
lès dérivées de t/, tf, tr et leurs produits du second degré seulement, les termes affectés des dérivées du second ordre doivent être effacés
comme affectés de ces coefficients! de la forma iç|§mr/^r«,
5 §mr/rc'r. Cr», etc. qui offrent une réunion de termes é^ux deux
à deux et de signe contraire comme nous avons dit au g 65 p. 69kf et roQ a« avec les notations (iO) et (10) de la note du S 23, p. 568 et 670i c'est-à-dire arec
fi
gwr^cV,=:pV, ••••♦ ISwt/rCrfCriSipVi
é^ àt
et 2S»nr»-^cV, = a^« * IS"*^'^*^*'^''* **•»»»•♦ ^^
00 a» dlH®* précuément V^xpTÉê^on génératè (201) du potentiel <I>,
avec (199) 2 a«*«î>V+etCi au lieu de *S et substitution, d la place ae vxy ••••• gys ) î
i* de gj, ^ + SZ^ ^^^^ l®* termeô de ♦> affaotés des
coefficients at^ara^t •••* ^vy« S
800 SËGT. I. RÊSIS^TANGE DBS SOIiDKS.
c.. ^ au , i/duY , i/dv\* , ifdwY do , dw . dada , , ' ^^S + ïUj+âUj+âU). di+-d^+d^é^+''''
dans les termes affectés des p*".
Il est remarquable qu'on arrive ainsi, par des considérations si différentes, précisément aux mêmes expressions (&0), (41), des dilatations et glissements poussés jusqu'aux quantités du second ordre, qu'au $ 29 du 3* app** (p. 589), expressions dont nous avons reconnu que remploi était nécessaire ($ précédent) pour obtenir, en appliquant celle du potentiel, les termes en p" complets dans les équations définies (207) ou dans les formules (212) des composantes de pression pour le cas général où il y a des pressions pV, etc. antérieurement aux déplacements u, v, w des points.
Ainsi, en laissant de côté la question du choix du moyen le plus prompt et le plus direct à mettre en œuvre pour établir facUement les équations et formules de l'élasticité, et celle de savoir si remploi du potentiel ne pourrait pas être dégagé un Jour de ce qu'il a Jusqu'ici de trop analytique et être amené, dans ces sortes de question, à une forme à peu près aussi élémentaire que celle à laquelle on a amené de notre temps remploi des puissances vives et du travail dans d'autres parties de la mécanique, nous voyons que ces considérations donnent d*une manière large^ comme corollaires d'un même principe et sans ambiguïté, tout ce dont on à besoin, en sorte qu'elles doivent être tout à fait dans la nature de la question.
% 86* Formule générale symbolique donnant les coefflcients des équations de V élasticité pour un système quelconque (Taxes coordonnés xff y', z', oonnaissant ces coefficients pour un premier système x, y, 2. — Les six constantes pV*/* P%fv'» ••••t qui affectent comme coefficients un certain nombre de termes de ces équations quand il y a des pressions antérieurement aux déformations considérées, s'obtiennent pour les nouveaux axesx', y\ z\ en fonction des six constantes analogues p"*»», p*yy • • . • pour les axes anciens x, y^ z, par les formules déjà trouvées (t\) du S 17, p. 5&8.
Pour obtenir aussi les 21 coefficients nouveaux
en fonction des 21 anciens a^cxc* a^^yy .... et des 9 cosinus
C^-/:f j CyjT/ j (^Sd-fJ C«;jf » .«•«• Cssr)
APPENDICE COMPLÉMKNTAIRE. 801
et même, plus généralement, ceux qui doivent affecter les dilatations et glissements D,,, D^,, ... g,,^, parallèles aux nouveaux axes, dans l'expression d'une composante *
parallèlement à une ligne quelconque s^ de la pression sur une face oblique à s^ dont la normale n a aussi une direction quelconque, généralement oblique elle-même à x', y\ z\ convenons que
&SX9 Ayv* •••• ^y9 et ^% dy, Bs, a^/, an, a«
sont de purs symboles qui ne représentent aucune quantité, mais dont les produits, algébriquement foAnés avec des symboles de même espèce lorsqu'on développe les produits de polynômes où ils entrent, représentent les coefficients a«cx«» axaw v— a,«,,,„„ etc., en mettant à la suite les quatre soqs-letlres des facteurs, dans Tordre où les produits sont indiqués, en sorte que
Il en résulte que les formules (12) des composantes de pression quand il n'y en avait pas d'antérieures aux déformations d, g, peuvent être écrites
Pyyf P*3in PyMt P»x% Pmy = Ayy^ ^xs» Stys» &sj;* a^y multipliés par le même sextinôme symbolique eutre parenthèse^
Substituant dans la formule de changement de plan de pression (3) p. M8 qui est
(222) Pu = Px«Cn«Ci« +PyfCB»Cfy +P«CMCs,+Py»(Cn»C„+Cn,Cty)+
+Pj« (CiwCte + CiixCtt) +P<c» (CûT^Cgy -f- CnyCgJ,
{*) Lci symboles i deux aous^letirea sont analogues i ceux que H. Rankine (On Aies of Elasticlty aod crysUlUoe Forms, read S4 Juno4866, to ttie Royal Society of London) nomme ombres sylvestrienne», ou quantités ambraUtf parce que M. Syl- Tester, qai les a employés avec soccés, dit que ce sont des ombres (shadows]' de quantités (On ihe Principles of Calcnlus of Forma in Cambridge and Dublin mathetbematieal Journal., foU VII; on XI of Cambridge Journal, 4858, p. 76).
M. Caocby et d'autres analystes s*étaient déjà servis de symboles de ce genre , auxquels on pourrait rattacher même les imaginaires.
802 SECT. I. BÊSI8TANGB DES SOLIDES
on a le même settinôme oontenn entre parenthèses dans (221), moitipljé par celui dans lequel se change (233) quand on met des a pour des p; c'est-à-dire qu'on a Texpression suivante parce que celuiMïi est décomposable en deux trinômes:
(223) pnM = (a,Cn« + a^c«y + a^Cn.) (ajcC.» + a^c, + a,c„) x X (a,«D* + a^,^, + a.,^, + ayjgy, 4- a^xg»* + a^»g»f).
Remplaçons, dans le dernier facteur, d«, dy, .... gxy par leurs expressions en De;, dy,, ..., gM,y,, qu'on obtient des formules de transformation (14), p. 55â, en mettant x, y, z pour x', f/\ z* et réciproquement ; il est facile de^voir, en réunissant les terines en 3«^, que cette dilatation sera affectée d*un sextfnôme revenant à
{BigCjerx "f" ayCx/y t" ^tOxis) 5
et, en réunissant les termes en gy^ji^, que ce glissement sera allbcté d'un polynôme revenant à
(axCyfX + ayCy/y "f* a^Cy/x) (axCj/jf "+• ayC|,y + ^xCx/s) i
en sorte que si Vdti pose, par analogie avec les formules (12) pmx = BLxmxJ^m + ctc. dé la p. 556,
OU si Ton appelle aos,,«, . : . . . an«x/y/ les coefficients de d^,, .... g.^, dans Texpression de pw en fonction de ces six dilatations et glissements, et si Ton désigne par
ani as, hiBn ^/> ft«'f
lies cinq trinômes contenus respectivement dans (223|^ dans les deux expressions qui suivent, on a
^liêztxt ^^ ^B^tfi'xi^xt i aii«y'«/ ^^ ana»ayfa»/»
D'où cette formule générale , *
aosM = a»a,apaq si a, = a:rCOs(i,x)4-ayCos(t,y)-|-a,cos(l,z);
Pf q éURl dea directions priset parmi ceUes de coordonsées recUnglci
(226) / »»witolles ttf, y', i*,
n et » éuât, 00 del directioUk pHwft ptriDi eMIei de sr'i p'^xf^9têtâî
autres directioDS abtolumeDt quelconques, t étant Tune quelconque de ces quatre direclioos.
APPENDICE COMPLÊMENTAIBE. 803
Le produit ft^Mpd^ des quatre tPJnMnes symboUquei doit être effectué dans Tordre indiqué, 0&d8 poutoir ftdre d*«utre Intenrer»sdon que celle des deux premierft facteurs totre eoi et celle des deux deroiers facteurs entre eux« si les directioDs d, ^ ne sont pas prises comme p, q parmi celles de trois ates rectangulaires.
Mais Tinterversion des deux premiers à la fois avec les deux der^ niers à la fois est possible si n et j sont prises parmi celles-ci.
Et alors riiiterversiou d'uu des (premiers facteurs avec un ûÊi derniers, et par conséquent de tous entre, eux, sera permise si Ton admet le principe des actions moléculaires conduisant aux six égalités complémentaires (150) a^y» = ay«yg, etc.
On peut aussi démontrer la formule de transformation (225) (au moins quand n, s sont pris comme p, q parmi les nouveaux axes ^t y\ ^ P&ir la considératioti du potentiel 4»^ exprimable toi^ours par la formule (199) quand on change d'axes, en mettant o^, y\ 2f à la place des sous-lettres x, y^ z.
S 87. Surface qui donne la distribution des élasticités directes autour d'un même point. Cas de trois plans de symétrie. Condition pour que ces élasticités niaient que trois maxima ou minima, — On ' a, comme application de (225), en y remplaçant n, s^ p, q par x'
(226) a,«««, = [(a,c«rf 4- a^c,., + a,Cs„)*]\
ou, en développant, et mettant pour simplifier
Ov, Cy, C^ ta Itott dt 0(fcr,t <V"» ^««'1
227) 2^,Mt»m, =^ aMMiO^+a9yy»c\+a«i.sO\+
+2(2a^y,+a,,^,)c%c«,+2(2a,«,+a,«B)c^c«,+2(2aaT,„,+a,xw)c«:^%+ +û(a,,f.+2a,^a!»)c'»CyCji-f4(a^,r+2axvyi)c%c,Caj+4(aM«»+2ay„,)c',cCy+
Tdie ëât rëxpfôsslon, pour diie direetien x' queloouqoe, de Vélas^ ticité directe ou longitudinale, car les coefficients tels que a«»Bxi ayyyy, otc, sout aîusî appelés par. M. Rankine et d'autres auteurs, qui nomment a^yi», aM,«, a^yy les élasticités latérales , et a^iys, a»s«, a«yjry les élosticttés langcntielles^ qu'ils appellent aussi de rûfiditéi
80& SEGT. I. RÊSISTANCB DES SOUDES.
en les regardant comme distinctlves des corps solides. Les doue autares coefficients sont appelés élasticités asymétriques. Si, dans Téquation (227), on fait
Cap — X \^txtxtxt 9 Cy -— yy^jT'jfrfxt y ^s — S\ ^txmrxi f
on a Péquation suivante, appelée tasinomique par M. Rankine (228) 1 = le second nombre de (227) arec x^y^ z an lien de C», Cy, C..
Elle représente une surface da quatrième degré ayant son centre à Toriglne, et qui fournit la loi de distribution Ù6»élcLsticU.és directes t^nmmf autour d'un point quelconque, car ses rayons vecteurs dans les diverses directions z' mesurent les inverses
mmtxf
des racines quatrièmes de ces élasticités.
MM. Haughton, Rankine, etc., ont remarqué depuis longtemps l'analogie de Texpression (227) de s^^mmixi avec celle (199) du potentiel 4»\ et la propriété que possède la surface (228) de donner, par sa forme, toutes les circonstances de Télasticité, car ses quinze coefficients, les uns tels qu'ils y entrent, les autres divisés par 6, par 12, par ft, sont ceux ;ixxxxf ayyyy, etc.« des diverses élasticités, ffiais pourvu qu^on admette les six égalités complémentaires
(150) aysys = ^ynt ajeaty» ^ as^xy* ©tC..
Quand les yz, zx, xy sont trois plans de symétrie de contexture, tous les coefficients des deux dernières lignes de Texpression (227) disparaissent, comme on a vu au $ 2û ('), et elle se réduit, en fai-
(>) La formate générale de transformation (SS5) ou respresafon symbolique a< = a«c^x + *«c<y+asCti le montre d'nne manière fort aimple, car li Ton prend x' directement opposé à ar, en laissant y', z* dans les directions de y et de 2, comme on a alors Cm/=— 4, Cyyix=4, Cssf=4 et les six antres eosânns nuls, cette eipression donne
• Sx/ =r — a* , ay/ = ay , asi =r a^ ;
donc, d'après Bnwpq = ana«a^4 , tous les a qui ont x comme soui-leltre onc ou trois fois doivent s^annulor, ce qui donne les formules (S9)pM= a) x + ^^y+ etc. et par suite celles (30), dé la page 677.
APPENDICB GOMPtÉIIENTAUlE. 805
sàùt comme à ce S
( ftf «fj^^Uf ftjjEur^e» ftjpy*v^^M ^Jf3*^û I ftxsfx=^6 9 ft^xyy^r,
ax,,«,«=ac*.+bc*»+cc*,+2(2d+d')c%c«.+2(2e+e')c«,c^+2(2f4-r)c«,c«„(«)
en sorte que réquation de la surface (228) se réduit à
(231) i=ïix*+by*+C2*+2(2d+d')yV+2(2e+e')«V+2(2f+f)a^».
Les maxima et mlnima du rayon vecteur s'obtiennent en égalant à zéro la différentielle de (230) par' rapport aux trois cosinus et éliminant Tun d^entre eux au moyen de Ca4c«+CydCy+Csdc«=0 (tiré dec*«+c\+c*,=l), d*où, en égalant séparément à zéro ce qui affecte les différentielles des deux autres, deux équations contenues dans les trois premiers membres de l'égalité multiple suivante, dont le dernier membre s^obtient en composant une quatrième fraction avec un numérateur égal à la somme des numérateurs et un dénomina-
(^) Si X est UD axe de symétrie, on a d'abord b=c, Se+e' = Sf + l'^ ee qui, va 4^y+<^«=4^<^< ^'^^ e*y+<^«=(4 — e^)'^ScyMs, réduit cette eipression A
a,,.r/*,r / = ac*, + b{4 — d«,)« 4 «(M + d' - b)c»,^, + «(«e + e'jc»^! - è«,) .
Conmie eUe doit être indépendante de ey, on doit avoir
b=stld+d',
relation que nous afons démontrée au $ S5, p. 680, d'une manière moins simple. Green (Refleetion and ReflraeUon^ p. 7) la démontre aussi en remplaçant dans l'expression (499) du potentiel ^, réduite i ses deux premières lignes, d», dy et gxy pn les valeurs qu'ils prennent lorsqu'on fait tourner d'un angle infiniment petit a les axes y, z autour de l'axe x resté immobile , c'est-à-dire par (expression 4 4 particularisée pour Csy; = — tysi = e , éc.)
Dy, = Dy4-egy«,S«^<^«— egy,, gy«»=gy« + e(î),— i)y),
g»/*=g»«— «gïW» «*»»=Saîy4-«S»»;
car pour que cette expression reste la même, il faut
ce qui donne d'un seul coup toutes les conditions nécessaires et suttaanles de la symétrie de eontexture autour de x. Cette rotation infiniment petite est préférable à la rotation d'un demi-angle droit, opérée au $ S5, p. 580.
B06 asGT. I. ilsiafrAiiCB dis soudes.
teur égal à la somme des dénominateurs après a^nrtr multiplié haut
et bas par les dénominateurs Cr» Cy, c, respectivement
[ac^+ (2f +f ')c«v + (2e+e')c«,lc, ^ [(2f+f)c^+bc%+(2d-|-d^)c«,]c,
e« Cy.
(232) { I(a»-|.e')c»,-f-(ad4-d')o«,+coMo. .
V à cofliblMT avM c'«H-0\+0'«^ i-
Les fMteurs communs aux numérateurs et aux dénominateurs, qu'à dessein nous n*avons pas supprimés, montrent qu*on a déjà trois maxima et mlnima
IPOUr Oy = 0, Cs = 0, C*« = 1, d'où 9kxmrstmt = a, e, = 0, c, = 0, 6",==1, =b,
Ca, = 0, Cy = 0, C", = 4, =C,
c^esUàHliM dans les dlreotlons des trois axes esordonnét.
On en obtient deux autres en combinant c« = 0 avec ce qui résulte du second et du troisième membre égalés après avoir été
débarra^^ de9 faateurs ^, r i ^^ ^'^i *>»ne bc% + (2d + d')c*, =
Cy c,
= (2d+d')c%+cc*s, d*oû les deux premiers des six maxima ou minima suivants, dont les quatre autres s^obtiennent de même, et qui ont lieu suivant les direotlpna eompriaes dans les angles plans yz^ 2x, xy et leurs opposés :
(234) (C| = 0 »TW 4of ¥«leuri •n^logu^» <iQ r^ «l ^mi^i\
C, = 0 id. id. -^ ^id.
Enfin, il peut y avoir quatre autres solutions ou diroctiona de maximum ou de ipinimum, compri^es 4ans Tintérieur des huit angles trièdres des axes principaux x, y^z, et qu^on obtient en combinant c'a.+c'y+c*,=l avec ce qui résulte des trois trinômes entre crochets de (232) égalés eotre eux, ce qui donne
APPENDICE COVPUlfBNTAlRE. 807
(235) { SI N,= (b-2f-^r) (0— 2ô— e') ^ (2f+f '— Sd-'-d') (2e+e'— 2d-cl').
Ny =(c-.2d-d') (a— 2f— f) — (2d+d'— 2e-.e') (2f-f r-2e-~e')* N, = (a— 2e-e') (b— 2d— d') — (2e4-e'— 2f-~f') (2d-*-d'— 2f--f').
he six maxima et minima (286), corpprje dans lee vigies plans yzt zx^ xy, maoqqçnt, vu IMmaginavité de« rapporta entre las cosinus, lorsque
I' 2d + d' est compris entre b cl C, 2e + e' enlre C et a, . *
2f + f ' entre a et b. •
Ce sont les conditions^ probablement toujours remplies dans la nature^ pour que les élasticités directes varient graduellement dans les trois plans principaux ou de symétrie, ou ne croissent pas d'abord pour décroître ensuite en allant de Time 4 Tautre de leurs valeurs principales b et c, c et a, a et b.
Alors, pour que les maxima et minima (235), de Tintérieur des angles trièdres, manquent aussi, ou bien se confondent avec ceux a, b, c dirigés suivant les arêtes de ces angles, il faut, ou qu'une OU plusieurs des quantités N», Ny, N, s'annulent, ou,querùnedes trois ait un ^g^e différent des d^nx autres, afin qu'un ou deux des
Ct* c
rapports -^, -^ soient imaginaires. C'est bien oe qui a lieu, par
Ci c» I
exemple, si, les oonditions (286) étant remplies, et a, b, c étant rangés par ordre de grandeur en sorte que a>b>c, 2e +e' est ou plus petit que 2d+d' ou plus grand que 2f+r, c'est-à-dire tombe hors de rintervalle de 2d+d' à 2f+f'. Mais une pareille relation entre les grandeurs serait bizarre et ne saurait guère dtre non plQ0 dans la nature, car, très-^robablement :
( Ouaiid les conditions (236) sont rempliet, ^^^^^ ( ii a>b>c, on a 2d + d'<2e+e'<2f+f'.
Or on peut encore, avec cette dernière relation ou condition (237), remplir la suivante, que :
(238) N7, Ny, N, ne soient pas tous trois de même signe.
Il faudra, dans chaque cas, s*eD assurer nvmèriquement si Ton veut être certain que les nombres adoptés pour les six coefficients a, b, c, d = d\ e = e\ f = f\ que l'expérience ne pourra jamais fournir tous, donnent aux élasticités une loi de variation simple et naturelle en divers sens.
S 88. Surface donnant la,distribuiiony autour d'un même points des coejîcienis ou modules d^élasiicité B de Young et de Navier, — Si, dans un corps élastique, on prend une petite portion ayant son milieu au point (x, y, z] et si Ton en extrait un prisme trèsmince dont les arêtes aient la direction arbitraire 2', on aura (n<^ 2i« 77) pour le module d^élastlcité en ce point et dans cette direction .
(239) £ = ^ 1 p étani U iraetioii qui exercée lar raolté de ses bases ' «?»
dilate le prisme dans la proportion dcr.
Gomme les faces latérales de ce prisme, qu'on peut supposer rectangle, n'éprouvent aucune action extérieure, si y" et z' désignent les directions de leurs normales, on a
pxtxt = P^ pyryi = 0, p»nt = 0, p,,»/ = 0, p„xi = 0, pxt^ = 0 ;
d'où, d'après les formules (U) de changements de plans de pression avec ac', y', z''pour x, y, z et réciproquement, et, ensuite, pour simplifier, c«, Cy, c, au lieu de c«c/i Cy^,, Cmm, :
(2&0) jr«=pc*a„ Pn=po\, p«=pc«„ py,=pcyc„ p,,=pc,c„ psry=pc^,.
Égalant les seconds membres aux expressions générales (12) des mêmes composantes p^, etc., nous aurons les six équations
pC m — aarTgc^'ag~raaMgyy<)yT"«>«««"ragggygey
ayy«a<)»-n s etc., pC9Cy=ajcyc«()sii'i'«*>**'f*a«yxyga|f,
dont on pourra, en les résolvant, tirer les valeurs des six inconnues
Ùg^ Uy, O,, gys, g««, gsy.
Substituant celles-ci dans la première (il)
(242) ^»fOVL f = î>,C»,+DyC*y+D,CS + g,sCyC, + g«rC,C,+ g;ryC^,
on obtiendra, en divisant parp
»^. ». i I Une expmiloD à 45 termes eo C^«, c\, c\, c'yC'j ..... c'yC«
S ( aUbeléé de foneiloDS dei S4 eoeffleienU a«M«9 ..... a.yxy.
C'est la formule donnant la distribution des modules E en tous sens autour d*un point. • Si à partir de ce point on.porte sur chaque droite de direction x'
une longueur
