AVERTISSEMENT DE NAVIER

SDK U DBDUin iDITlON (US). .

La première édition de ce Résumé, qui a paru en 1896, étant épuisée depuis longtemps, on a dû le réimprimer, et Ton s'est efforcé de le rendre moins imparfait.

Nous avons rapporté les résultats des expériences sur la résistance des matériaux publiés depuis i826, et plusieurs résultats inédits que M. Minard, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a bien voulu nous communiquer.

Les inexactitudes ou erreurs qui avaient été reconnues, et

DE NATIER. lUXXÏX

dont plusieurs nous ont été signalées par M. CorioKs^ ont été rectifiées, et Ton a complété la solution de quelques questions.

On a évité toutefois d'augmenter beaucoup l'étendue de l'ouvrage (ce qu'il eût été facile de faire sans sortir du sujet), n a paru conyenaUe de se borner aux questions les plus importantes, et dont la solution pouvait servir d'exemple dans les nouveaux cas qui viendraient à se présenter. Comme il existe d'ailleurs un écrit dans lequel la théorie mécanique des ponts en chaînes de fer est exposée avec détail^ il eût été superflu de s'en occuper ici.

Nous avons indiqué les auteurs des résultats les plus remarquables qui ont été donnés dans ces derniers temps. Les personnes qui voudraient connaître en détail l'histoire des travaux dont cette partie de la mécanique a été le sujet, pourront recourir à divers ouvrages, parmi lesquels nous citerons principalement le Traité analytique de la résistance des solides et des solides d'égale résistance, par M. Girard^ membre de l'Institut; le recueil des articles de Robison, publié après sa mort sous le titre de A System ofmechanicalPhilosophy; l'ouvrage anglais de M. Barlow, intitulé : An Essay on the Strength and Stress of Timber; le Traité de la poussée des terres y par M. Mayniel; les Mémoires sur la poussée des terres et sur les voûtes, donnés par MM. Français et Audoy, dans le n* 4 du Mémorial du génie. On pourra juger^ en consultant les ouvrages dont il s*agit, du point auquel ce genre de recherches avait été portée et des efforts qui ont été faits pour les étendre et les perfectionner.

On reconnaîtra principalement que les conditions d'équilibre d'un massif de terres^ qui forment le sujet de l'article i*' de la II* section^ n'avaient point été données^ et qu'il en est de môme à l'égard des résultats présentés dans l'article 3 de la même section, et des notions relatives à l'usage des tirants ou des ceintures de fer destinées à consolider les constructions en maçonnerie.

Quant aux questions relatives à la résistance des corps solides et à l'établissement des constructions en charpente, on

n'avait traité que les cas les plus simples de Téquilibre d^ne pièce droite, c'est-à-dire les questions élémentaires exposées dans la première section de cet ouvrage, et le premier des cas d'équilibre d'une pièce chargée verticalement, qui forment le sujet de l'article 2 delà W section. Toutes les autres questions relatives à l'équilibre d'une pièce droite ou courbe, chargée horizontalement, verticalement ou dans une direction oblique, ont été considérées et résolues pour la première fois par l'auteur. Il en est de même des questions relatives à la flexion et à la rupture des plans. Les applications qui ont été faites de ces diverses solutions à rétablissement des principales constructions en charpente semblent mériter Tattention des ingénieurs.

N. B. Gomme eette préface et cet avertissement de Navier offrent h peu près les seuls passages (le son (iyr^ où il parle des repherches antérieures sur la matière qu'il doit traiter, nous pendus qu'on noifs saura gré de dqpner, sur ce ^ujet intéressant» f)es détails en grandis partie peu connus, et que nous étendrons à peu près jusqu'à l'époque où nous sommes.

HISTORIQUE ABRÉGÉ DES RECHERCHES SUR LA RÉSISTANCE ET SUR L'ÉLASTICITÉ DES CORPS SOLIDES.

I. Moyen Ag^e. — Les architectes de cette remarquable période ne nous ont initiés par aucun écrit dans le secret de la manière dont ils déterminaient les proportions de leurs constructions si légères et si hardies (^). « Us cherchaient sans

(*) on De troure à peu près rien lur ce sujet dans VJlJbum ou le Calepin de Villard de HooD«eouri, arcblteele du iiii* siècle, publié en ISISS» avec l|ixe, k rimprimerle i|Bpéria)e, ç» siil|^ d« Dot«s f^o f^fi If. UfSMf ,

Hr8T0BIQCB XCJ

cesse, » ditM. Viollet-Leduc(*), «et la routine n^avaitpas de prise sur eux; en cherchant, ils trouvaient; ils allaient toujours

en avant, et ne disaient jamais : Nous sommes arrivés

Tous leurs eiForts tendaient à équilibrer les forces et à ne plus considérer les points d'appui que comme des quilles maintenues dans la verticale, non pap leur propre assiette, mais par la neutralisation de toutes les actions obliques..... Ils connaissaient le principe du levier droit ou coudé^ et probablement n'ignoraient pas celui de la composition des forces con* courantes, qui peut s'en déduire si naturellement quand les forces sont rectangulaires, bien qu'on en attribue la découverte à Stevin, qui le premier Va, formulé dans sa Statique en 1586. » Ik avaient une sorte de passion pour la diminution du cube des appuis ; ils se livraient probablement à quelques essais comparatifs, à l'aide de leviers, avant d'employer quelque pierre non encore connue.

Quant aux charpentes, ils en connaissaient et raisonnaient les assemblages ('); mais le bas prix des bois .permettait de donner de fortes dimensions aux pièces. On peut cependant présumer qu'ils savaient qu'une piôce4>rismatique chargée transversalement résiste en proportion bien plus forte par son épais<seur que par sa largeur, car Galilée semble avoir pour but principal, en cherchant le premier la loi théorique de cette résistance, de déterminer au juste la proportion en question, ainsi que le rapport entre la résistance dite absolue qui s'exerce quand on tire une pièce dans le sens de sa longueur, et sa résistance dite respective ou relative, qui entre en jeu quand on veut la rompre par un eflRort dirigé perpendiculairement. Il y avait été amené, après une visite à l'Arsenal de Venise, en réfléchissant 8ur les causes de la non-réussite eâ grand des machines qui ont réussi en petit (').

(1) DfctiooDalre raitonné de rArchlIeetare française du xi^ au xri* li^eU, t. IV^ article Construction.

(*) On trouve dans Villard de Honoecourt la description du plancher Tormè par qnatre pièces d'une portée moindre que le côl6 de la salle carrée qu'il est destiné à recooTrir, celle d'une roue hydraulique dont les quatre rail principaux enibrataent Faiiire mm ranianaer, etc.

(*) Acadénledei tcienceii, 4702, partie biffloriqiM, p, 40^,

XCij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

II. Chaînée. — L'auteur des immortels Dialogubs, considérant donc d'abord un parallélipipède ou un cylindre horizontal encastré dans un mur (^) à une de ses extrémités, et sollicité à l'autre par un poids, et supposant égales toutes les résistances à la disjonction aux divers points de la base ou section située dans le plan du mur, en sgrte que leur résultante horizontale passe au centre de cette base, met en équilibre cette résultante avec le poids en les faisant agir aux deux extrémités d'un levier coudé à angle droit, dont il place le point d'appui ou Taxe de rotation à la partie inférieure de la même base ou section de rupture. Lés forces étant réciproques à leurs bras de levier, il conclut que la résistance absolue est à la résistance relative comme le bras horizontal, qui est la longueur ou la saillie du solide^ est au bras vertical, qui est sa demi-épaisseur ou hauteur.

De là Galilée déduit facilement qu'une pièce rectangulairesollicitée de champ résiste plus que la même pièce sollicitée à plat dans le rapport de la plus grande à la plus petite dimension transversale ; que les poids capables d'être supportés par des pièces soit encastrées à un bout, soit posées sur deux appuis, sont comme leurs laideurs, comme les carrés de leurs épaisseurs, et en raison inverse de leurs longueurs; que les cylindres creux, tels que les os, les plumes, les cannes ou tiges de graminées, etc., résistent bien plus aux efforts transversaux, à égal volume, que les cylindres pleins, dans une proportion qu'il détermine ; ce qui lui donne lieu de se livrer, sur les œuvres de la création, à des considérations d'un ordre élevé. Enfin, fondant du même jet la théorie des solides d'égale résistance dont l'application procure la plus grande économie de matière, Galilée montre qu'une pièce encastrée, de largeur constante, et dont la face inférieure est un plan horizontal, remplira la con* dition de résister autant partout d'un bout à l'autre si la face supérieure a pour coupe verticale longitudinale une para-

(1) Dialogo Mcundo, GioniiU tant, 4638. —Opéra di GalHeo GtlUei, t. lU» p. 63, article 656 de l^ilion de 4744.

mSTOBIQOB iciij

bole dont le sommet est à l'extrémité où le poids se trouve suspendu.

ni. Suite de CMUlée. Blondcl. MarebcOl. — Tous ces théorèmes de Galilée sont justes et ont été confirmés par les recherches faites ultérieurement, sauf toutefois celui qui donne le rapport entre les résistances à la* rupture par eifort longitudinal et par effort transversal, car c*est le seul point sur lequel influe Terreur de sa double hypothèse consistant à faire toutes égales les tractions aux divers points de la section de rupture,

et à placer au bas de cette section l'appui du levier fictif.

On lui a bien plus reproché, pendant quelque temps, la conséquence suivante qu'il tire de son théorème de la forme parabolique d'^ale résistance d'une pièce encastrée : a D'où l'on voit, 9 dît-il (p. 8i), a comment avec une diminution de plus de 33 p. 400 on pourra faire des poutres sans rien diminuer de leur force, ce qui en particulier dans les grands navires peut être très-utile pour régler leurs couvertures; car dans de pareils édifices la légèreté importe infiniment. » Cette assertion a fourni l'occasion de contestations très-vives sar la priorité de la découverte et de la rectification de l'erreur qu'on y croyait renfermée. Cependant le principe, posé par lui, de l'économie d'un tiers sur la matière, est par&itement j uste et applicable aux pièces posées sur deux appuis tout comme aux pièces encastrées, si ces pièces ne sont chargées qu'en un seul point, car leur section longitudinale d'égale résistance doit offrir alors deux paraboles ayant leurs sommets sur les appuis et se rencontrant en ce point (^). On ne doit prendre une coupe elliptique^ comme l'ont conseillé le célèbre aôrchitecte François Blondel dans sa deuxième lettre au physicien suédois P. Wurtius ('), et ensuite Alexandre Mar-

(1) Sout-noted« la p. 30 du t. II du Traité de U Goatlruction des ponts de Cauibey; et, aussi, n* 3S3 (p. 503) de rèJilion 1833 des préseoles Leçons.

(*) F. B. Sphiola ad P. W. in qud famosa GalHœ't proposUio dl*euWur circà naiurum Uneœ qud Iniftci êeeari debeant ut sint œqualU ubiquè ruisUnUœy et in qud lineam tilam non quidem parabolicam ut ipse GulilœuM arbUratuê est, stsd eUiptkamesu demonsirtUur. {Data ParisUt, 1661.) Dans celle lettre, Blondel dit qu'il afait composé, dès 1649, un opascule sur la RèsisUoce des solides, intilal« GalUseuê promoiui. Si première teliro, d« 1 667, èult relallTe aux espèrieneei entrepriseï par le iiièdoii Wurtiut sor le même sujet.

XCiv RÉSISTANCE DES SOLIDES.

chettiy professeur à Pise (')i que lorsque la pièce doit résister à une charge qpel que soit le point où celle-ci agisse (ce qui peut être en effet le cas des poutres des ponts des vaisseaux) ; et alors, conltîle Ta remarcjiié Navier (■), la poutre n'est d'égale résistance pour aucune position de la chal*ge^ car elle a un excédent d'épaisseur partout excepté en un seul endroit; la coupe en demi-ellipse ne lui donne cette propriété que lorsque la charge est également répartie sur toute la longueur^ comme Pa remarqué également Navier ('); itiais il y a toujours une économie de matière en Tadoptant dans Tauire cas (*)•

IV. Hooke et Mfàrlotte. Éîtabllsseineiit dn principe tondamental. — Pendant que les principes de Galilée étaient commentés aussi et appliqués par le P. Fabri (lYaité de physique, Lyon, 1669)^ par Vincent Viviani, et surtout par son c<>ntinuateur le P. Grandi (Guido), camaldule^ dont le traité, très-remarquable au point de vue géométrique ['), a été inséré à l'édition de 1744 des OEuvres complètes de Galilée, deux des plus illustres physiciens dont s'honorent l'Angleterre et la France posaient les bases de la vraie théorie de la rupture des solides, ou plutôt, et ce qui iniporte plus comme on va voir, des modifications qu*ils subissent longtemps avant qu'elle se déclare, et qui sont susceptibles de l'amener.

En 1678, Robert Hooke, à la suite d'une étude des ressorU d'acier (^) (surtout de montre} , donnait son fameux principe ut tensio sic vis^ trouvé par lui, dit-il, dès 1660, mais annoncé seulement en 1676 sous l'anagramme ceiiinosssttuuC), et

(^) De RetUtentid solidorum fin-A", Florence^ 4669.— Ad leclorem. — Propoiillo 39. — Appendix. — Et, auBsi, Lettera nella qttaU êi ribaWmo Vingiuite accuse date dal P. D. G, G., 4714 , pages 48 et 27.

(>) Page 3â3 (n» 503) de Téditloa de 4833 des présentes Leçons.

(S) Idem, n» 334, p. 504.

4 — ic (^) SeuleBoentelle n'est alors que des ^—r — = 0,346 au lieu des 0,333.

(■] Geometrica demontiraiio Fivianorum proUematum, in-4*>, 4^99. (B) LeçiureêDe potentiâ restitulirâor of Springs, explaining the Power ofspriûg» ingsBodies ; inséré A ses Philatophical TracU ana Collections, (^ A la suite de sa description of Heliotcopes and some other instruments.

HISTORIQUES ICV

éûonçflttl comme basé delà théorie de Vélasticiié, la proporiim* nûiiié dek extensions ou contractions aux efforts qui les amènent où qu'elles développent. Il explique par là les mouvanents vibratoires des corps; et s*il ne tire du même principe aucun calcul de résistance à la flexion, il fait déjà cette remarque iéeonde^ que la matière des barres élastiques fléchies oppose une réaction (springing) de traction du côté qui devient convexe et «ne réaction égale de pression du côté qui devient concave.

Vers le même temps (en 1680) notre Mariotte, ayant aperçu par plusfeitrs expériences sur des tiges de bois et de verre que le rapport entre les poids qui produisent la rupture par traction longitudinale et par efibrt transversal était plus grand que celui qui résulte du calcul de Galilée, constatait aussi (^)que les parties des corps ntème les plus durs (tels que le verre, Tâcier) a s'étendent plus ou moins sous Faction de différents poids» » à peu près proportionnellement à ces poids, « et retournent ensuite d'elles-mêmes à leur première étendue^ d et qu'elles se com* priment aussi, en sorte a qu'un bâton qu'on plie se resserre vers la concavité de la courbure et s'étend vers la convexité avant que de rompre^ d et il ajoutait a qu'il est très-vraisemblable que ces prtssemenis résistent autant que les extensions, et qu'il faut une même force pour les faire ; » enfin, que les parties étendues ne rompent que parce que leur extension vient à dépasser une certaine proportion qu'elles ne peuvent plus souffrir.

Il montre donc d'abord que si l'on met, comme Galilée, Taxe fixe de rotation au bas de la section, en sorte que les fibres longitudinales dans lesquelles on peut concevoir le solide divisé ne soient qu'étendues, l'inégalité de leurs tensions diverses qui va* rient uniformément depuis zéro pour la fibre inférieure jusqu'à celle qui est capable de rompre la fibre supérieure, place leur

(*) Traité du mooTeiDMii dei eiux (qui ne Tut publié qu'en 1786 par les soinft de Pb. de la Uire après la mort de Mariotte, arrivée le 42 mai 1784), 1 volume in-43, et eniuite bEuvres comj^lèteê, 6* partie, deuxième dlicoara, od il eherclilB la force i donner aux tu^ux de conduite et à leurs plaUtoes, relâtiteoieat à 11 hauteur d'eau qu'ils supportent.

résultante aux deux tiers de la hauteur (^); et comme cette ré^ sultante,à Tinstant de la rupture de la fibre la plus tendue^ n'est que la moitié de la force qu'il faudrait pour les' rompre toutes à la fois par traction longitudinale^ on a entre cette dernière force (résistance absolue) et celle qui fait rompre par flexion (résistance dite relative) le même rapport qu'entre la longueur du solide et le tiers de son épaisseur (au lieu de la moitié qu'avait trouvée Galilée en supposant tacitement toutes les tensions égales).

Et, ensuite^ vu les compressions d'une paHie des libres, dont ce premier calcul ne tenait pas compte, Mariette place définitivement au milieu de la hauteur du solide Taxe d'équilibre sur lequel elles ne sont ni étendues ni comprimées ( c'est-à-dire cette ligne que M. Gh. Dupin a appelée des fibres invariables, et M. Tredgoid ligne neutre ), et il considère à la fois les résistances développées par les compressions en dessous et par les extensions en dessus.

^ Il se trompe, il est vrai, par une singulière inadvertance, du simple au double dans la supputaition du résultat (') , ce qui lui fait trouver la même chose que «si toutes les parties s'étendaient, • ou que si la rotation se faisait autour du bas de la section et non pas autour du milieu, et lui donne le rapport de la longueur du solide au tiers de son épaisseur pour celui des résistances absolue et relative, ou les deux tiers du résultat de Galilée, quand il aurait dû n'en trouver que le tiers d'après son point de départ. On ne doit pas moins considérer Mariette comme ayant posé d'une manière à peu près complète, au moins pour les prismes ayant des sections de forme symétrique dans deux sens rectangulaires dont Tun est celui de la force'sollicitante, les principes sur lesquels on se base encore aujourd'hui pour calculer les flexions, et aussi la résistance des solides dans les limites en deçà desquelles on se tient toujours, et où les extensions et compressions

(*) FoDienelle obserre, dans les .Mémoires de rAcadémie pour 470S, que c'est tttbsUlaer, pour le poiol d'application de la résultante, \9 centre de percussion ou d'oscillation au centre do grariié de la section,

P) Idem, 43* alinéa du Discours,

HISTORIQUE. XCVIJ

des fibres restent sensiblement proportionnelles aux efforts qui

les sollicitent.

V. Jacques Bcmoiilll. *- C'est donc à tort C) qu'on a à peu près généralement regardé Jacques BemoulU comme ayant le premier, ainsi qu'il le prétend, tenu compte des compressions, et comme ayant donné, conformément au titre de son écrit de 1705 (*), la véritable hypothèse à adopter pour calculer ce genre de résistance des solides. L'illustre géomètre de Basle n'avait aucunement parié de compressions dans son précédent écrite contenant la découverte de la courbe élastique (') (vojf. n^'XU) et qui est d'ailleurs postérieur de neuf ans à la publication du Traité du mouvement des eaux. Il ne fait même, à la théorie de Mariotte, qu'un seul changement peu heureux, consistant à regarder les extensions et contractions comme augmentant dans un rapport moindre que les forces qui les produisent ; il prétend le démontrer d'une manière mathématique en disant que si les compressions étaient proportionnelles aux poids qui les causent, la fibre finirait par « se comprimer de plus que toute sa longueur; » il ajoute qu'il en doit être de même des extensions, a parce qu'elles ne sont que des compressions négatives, i> et il croit le confirmer, en ce qui regarde les pièces solides, par des expériences sur des cordes à hoyauxj qui en effet suivent cette loi (^), toute contraire à ce qu'on a récemment trouvé pour le fer et pour les bois étendus au delà

(1) Kavier en fait déji la remarque k une note du Traita de la constniciioa dei pools de Gaulhey, i. H (4813), chap. 1*% p. 30.

(^ Véritable hypothèse de la résistance des solides aYec la démonstration de là conrbare des corps qui font ressort; lettre du 12 mars 4705^ insérée aux Mé-^ moires de TAcadémie pour la même année ; ou Jacobi BemoulUi opéra omnta, U n, p. 976.

(*) Jacobi fiemooUiiCarTatura lamine elaslics. AciaerudiiorumLipsi«JuDii469é p. S63, ou Opéra omnia, p. 576.

(*) Uoe corde i bojau de 3 pieds, chargée successif ement de 9, 4, 6, 8 livres, sMleodil de 9^ 47, 23, 27 lignes, tandis qu'elle se serait étendue de 9, 48, 27 et 36 lignes si elle arait suÎTi la loi de proportionnalité.

L'historien de l'Académie pour 4705 i^ouie cette raison peu concluante : « que ai les extensions étaient proportionnelles aux forces, comme les forces peuvent aagiMoter à rinflni, il faudrait que les fibres pussent s'étendre aussi à rinfloif ee qui est absurde.*

XCVitJ BÉSISTAJNGE DES SOLIDES.

de la Hmite de eonservation de leor ooniexturo. De plus Bei^ noulli, se trompant du simple au double comme Marioile, dans son lemiQe IV, affirme que a la force transversale capable de rompre, Qst la même que si les fibres étaient ou toutesî étendues ou toutes comprimées^ d et avance que la position qu'on adopte ppur l'axe fixe autour duquel se font les rotations est tout à fait indifférente^ soit qu'on le mette en bas de la section ou en haut ou en tout endroit intermédiaire. Cest que, n'apercevant pas le principe de l'égalité nécessaire des deux sommes des forces tendant à accourcir les fibres et des forces tendant à les allonger (voy. n"" Vil), principe qui est seul propre à fixer la position de cet axe^ il cherche à échapper^ par un raisonnement singulier, à la nécessité de déterminer cette position préalablement. La compensation partielle de cette seconde erreur par la |pre-

mière est cause de la conformité approchée de ses résultats avec ceux de quelques expériences de rupture faites précédemment par Mariotte. *

C'est ce qu'observe très-bien, en citant Parent et Bflfin^er (voy. n^ VI), l'auteur d'une note mise au bas du Lemme IV à l'édition complète des œuvres de Jacques BemouUi.

Mais voyons d'abord ce qui avait été dit auparavant tou* ehani la loi des allongements des fibres sous diverses tractions.

Vi. liOiliiiito, Vartsnon^ IParent. — Leibniz, en uillel 1684, c'es^-à-dire deux mois après la mort de Mariotte (^), dont il cite les recherches, mais comme ne coninaissaut que par ouï-dire ses seuls résultats expérimentaux, admettait comme Mariotte et comme Hooke la loi de proportionAalité des tractions aux allongements^ en plaçant, du veste, eomme Galilée, l'axe de rotation au bas de la section.

Varignon^ considérant que cette hypothèse de proportionnalité de Mariotte, quoique très- vraisemblable, «pouvait n'être pas au gré de tout le monde », présentait, en i702, un Mémoire 9ur la résistance des solides pour tout ce qu'on peut faire d'hypoihèses

(>) Deiiions4raUeoe§ dot» de resislenliâ soHiïorum. (Acia eraditoram, Ltpiiae, Julii 4 684, p. 319.)

HISTORIQUE. XClX

touchant laforeeoula ténacitédes fiàres dueorp9â rompre (^);danfl . leqnel (en plaçant toujours Taxe fixe au bas de la sc^ption on en ne tenant pas compte des compressions) il donnait nne formule générale où la résistance opposée pnr les fibres restait une fonction indéterminée de leur extension , fonction sur laquelte on peut faire beaucoup d'hypothèses sans que le rapport des résistances pour diverses sections soit antre, an moins pour celles qui sont rectangulaires, elliptiques etc.,que cequ^a trouvé Galilée, à savoir le rapport des largeurs multipliées par les carrés des épaisseurs. Il but, on le conçoit, supposer une autre loi que celle de proportionnalité aux premières puissances des exten* sions, si Ton veut que les formules donnent bien les cbaiffes ea^ pables de produire la rupture immédiate^ au lieu de ne donner, comme les formules dont on fait aujourd'hui usage, que les charges au delà desquelles la contexture commence à s'altérer, carcetteloi simple ne s'observe pas jusqu'à ce que la rupture s'opère(*). C'est pour appliquer cette idée de Varignon que Jacques Bernootti fit sa tentative, peu heureuse disons-nous, de 1705.

Mais les erreurs de supputation de Bemoulli et de Mariotte furent très-bien remarquées et rectifiées par un autre géomètre, trop peu cité, l'académicien Parent, qui, après avoir publié divers mémoires relatifs à la théorie géométrique de la résistance des solides et à la détermination « d'autant qu'on veut de figures d'égale résistance » pour des modes quelconques d'application des forces ('), où il mettait encore, comme ses devanciers, l'axe de rotation au bord inférieur de la section, remarqua enfin très-joiUdeusement , dans un dernier travail (*) (comme fit Coulomb aussi quelque temps après) q^ttn point ou une ligne indivisible, comme est ce bord j ne saurait avoir assez de résistance

(t> ifémif«i éê Tâcadteie pov 470S.

(^ V0ir el-api4t Mlie aolo en ■• I54« p. I7S à 485.

(») 9tfril 4704y iJilB 4707 «1 ...«. 4708, ei n rérrier 4740, ao recueil dei ■taMiref i» fâeitiÉMie. G*eet 4mn eelai de 470S gue Parent donne le moyen de iher #m troM d'arkre ta posire qui offre ta plua grande réiitUnoe. (Voy. ciiprtf,a«490,p. 4M.)

(*} Esialf et aeeherehee de BatUiMtiqiiee et de phyilqae,3*Toluoie, XIV* md* BOfra : D» to wérUtMê Méeumquê dei rénttmmeeê rHatmet dt§ êfUétê, ti ré' figxhM mtr U ê^êUme de M. BemotOU de BàU, 4743.

pour servir d'appui, en sorte qu'il faut une portion finie de la pai-tie inférieure de la section du solide pour résister aux compressions. Il prouva que la somme des résistances des fibres comprimées doit être égale à la somme des résistances de^ fibres étendues, ce qui est, dit- il , une propriété dont on n'avait pas encore parlé. Cette propriété fournit , comme on sait actuellement, réquation servant à déterminer la position de Taxe de rotation, appelé maintenant ligne neutre ou des fibres invariables (^ j. En ajoutant les moments, autour de cette ligne, des deux espèces de résistance; pour en égaler la somme au moment du poids qui tend à rompre par flexion, il trouve facilement que les résultats de Mariotte et de BernouUi sont deux fois trop considérables; et le même raisonnement lui sert à montrer que leurs transformations en quelque sorte graphiques des deux moments en un seul étaient illégitimes et affectées d'un double emploi, ou, ce qui revient au même, de Tomission d'une défalcation qu'il fallait opérer.

Bilfinger, peu d'années après ('), fit la même remarque critique, et, en restituant à Mariotte l'idée première de prendre en considération les compressions , aussi nécessaires pour Téquilibre que les extensions , rectifia comme Parent la conclusion qu'il en tirait mal.

VIL Coalomb. — Occupés bientôt des q.uestions mathématiques relatives à la flexion des tiges ou aux courbes élastiques

(^) Le raisonnement de Parent est remarquable. Si P est le poids suspendu A une cxirémité de la pièce horizontale encastrée OM, et si L, l, sur la section d'encastrement, sont les points d'application des ré-

^ , sultaotes des tractions desflbres i travers la partie

supérieure et de leurs pressions à travers la partie inférieure, ce raisonnement revient i observer qu'en représentant la première résultante par la longueur LN de la pièce, il faut que le poids P le soit par Nn = L2, afin que ces deui forces, en se composant ensemble, en produisent une Kl qui ^ passe par 2, condition pour que la somme des moments de P et des deux résuluntes horizontales soit nulle autour de ce point l. Or il faut pour cela que la deuzième résultante soii représentée par ;n=:LK ; elle est donc égale à celle des tractions.

(') Académie de Saint-Pétersbourg, 47S9, t. IV, p. 478. De tolidorum re-tistentiâ specmen.

HISTORIQUE. CJ

qu'elles aSectent {voy. n* Xlïl ), les savants cessèrent de s'occuper de leur résistance à la rupture jusqu'en 1773^ époque où Coulomb présenta son célèbre Mémoire composé, dit-il^ pour son usage particulier dans ses travaux d'ingénieur militaire à la Martinique» et où se trouvent posées presque toutes les bases de la théorie de la stabilité des constructions (^] ; mémoire où il montre que les questions d'équilibre y relatives peuvent se traiter comme des questions de maximum ou de mininmm, ce qui préludait» en même temps que les recherches théoriques d'Euler et de Lagrange» à cette méthode de l'emploi du poten-tiel ou du travail mécanique qui est suivie aujourd'hui avec succès par des géomètres éminents (') [voy, n» XLÏI).

Sans avoir eu probablement connaissance du Mémoire de Parent» de 1713, Coulomb se place de suite au vrai point de vue. D'un lemme de statique générale, encore peu connu alors malgré son évidence» et consistant en ce que l'équilibre d*un système sollicité par des forces quelconques exige la nullité de la somme algébrique de leurs composantes suivant trois directions rectangulaires» il déduit que dans la pièce horizontale sollicitée verticalement, il doit y avoir» à travers toute section transversale» égalité entre la somme des tractions horizontales des fibres étendues» et la somme des pressions aussi horizontales des fibres contractées, ce qui lui donne, sur la section d'encastrement par exemple» la position de la ligne de séparation, ou des fibres qui ne varient pas de longueur. En égalant le moment du poids suspendu» c'est-à-dire son produit par la longueur du prisme ou par la distance entre l'encastrement et la suspension» à la somme du moment des tractions et du moment des pressions des fibres^ il obtient immédiatement le rapport» à ce poids» de la

(>) Ss$ai nir tiii« application des règle» de MaximU et Minimit à quelques proÙémeê de statique relatif%à f Architecture. (SavanlB étrangers, aocée 4773, t. TII, publié en 4776.)

Ce mémoire a été réimprimé dans notre siécte arec celui de 4784 sur la torstoo dei filt et celui que le même Coulomb a publié lur les macbines.

(*) Aucuoe cause naturelle, dit Euler (développant une idi^de D. Bernoulli), ne prodolt d'effet, qui, enviiagée souiun certain rapport^ ne soit an maximunf ou un minimum.

Cij RÉSISTANCiv DES SOLIDES.

force de iractian qui tendrait 'toutes les fibres autant que la plus tendue de toutes.

Ce rapport^ quand la section a une forme rectangulaire à côtés boriKontaux et verticaux, est celui de la longueur de la pièce au sixième de sa hauteur, ce qui fait deux fois plus que suivant le calcul de Mariotte^ moins exact que ses principes^ et trois fois plus que suivant le calcul de Galilée.

Coulomb; au reste, tout en rejetant la roideur parfaite supposée parGftliléei ou la rupture simultanée de toutes les fibres sans extension préalable, remarque très-bien que si la matière du prisme ne suit pas jusqu'au dernier instant la loi de proportionnalité des efforts aux dilatations et compressions', l'axe final de rotation pourra se trouver ailleurs qu'au milieu de la section, et que le rapport en question pourra être moindre (^). Mais il repousse l'opinion que cet axe puisse être au bais, par cette raison péremptoire, déjà aperçue par Parent, qu'une ligne sans épaisseur ne saurait supporter à elle seule une pression finie.

YIII. diriird, Barlow^ TreAgoU. — Le Mémoire de Coulomb comprend tant de choses dans peu de pages, que, pendant plus de quarante ans, Tattention des ingénieurs et des savants ne s'était fixée sur aucune, ainsi que M. Poncelet l'a remarqué pour ce qui est relatif à la théorie des voûtes (*).

Ainsi Girard, en 1798, tout en le citant, n'en avait tenu nul compte; et croyant, sur l'assertion de BernouUi, que la position attribuée à l'axe des fibres invariables est indifférente, plaçait cet axe au bas de la section comme Leibnitz ('). Les principes si

(1) On peat Yoir à ce sujet la note que nous avons mise au § 454 ci-après, p. 473 i 485. »

(*] Examen critique et hUiorique des principales ihéaries ou tolutions concer^ nant Véquilibre des voûtes» (Comptes rendus des séances de l'Académie, t. XXXV. 486i, p. 497, 634, B77.)

(S) Trallé analytique de la résistance des solides^ et dis solides tfégale rénstance. Cet ouvrage est écrit avec une clarté élégante, et les nombreux cakuls y iont asseï bien faits. Mais leurs bases, et les conclusions, sont souvent fausses; par exemple, pour les solides encastré» aux deux bouts» quand la charge n'est pas à égale distance des encastrements eto. Aussi, son utilité se réduit-elle A celle des résultats des expériences de la section 9* sur la force et Vélasticiti spécifique du chêne et du sapin.

HISTORIQUE. dg

siuiplei poftés par (fOiilomb ne furent étudiée «i compris que dans Botre siècle. Encore ne le furent- ils que peu à peu, car» tout en donnant une expression exacte du moment total des forces qu i s'exercent à travers toute section symétrique^ buleau (*), sans faire attention à la 3^ firopoêiiicn préliminaire de Coulomb et à oe que signi§ent deux petits triangles dont il égale les aires entre elles pour exprimer l'équilibre des forces horizontales ou régalité de la somme des tensions à la somme des pressions des fibres^ croyait voir que, d'après ce savant 9 la ligne de passage des tensions aux pressions devait se déterminer en égalant la ^mme des moments des premières à la somme des moments des secM>ndes( principe bux qui assignerait à cette ligne ou axe des fibres invariables une situation très-différente de la véritable^ pour les sections qu'elle ne partagerait pas en deux portions symétriques.

Plusieurs autres auteurs éminents^ entre autres M. Barlovi^ ('), faisaient la méitie confusion, avouée ingénument et rectifiée par cet illustre correspondant de linstitut dans son dernier ouvrage sur la force des matériaux ('), en citant M. Eaton Hodgkinson comme la lui ayant judicieusement signalée (*). Leur habile et savant compatriote, M. Tredgold, en mettant comme eux, et comme Coulomb et Young, l'axe neutre à sa vraie place pour les sections rectangulaires, imaginait un principe siaguliar (*) pour en déterminer la position dans les sections d'une autre forme, sans comprendre encore le principe si simple et si rationnel de Parent et de Coulomb.

«nti , ■

{}) Stiai théorique et expérimental twr la réiistance du fer forgé; ménoire préfeniè an 4S43, et imprimé en 4S20; pages 2 et 3.

(>) Jn Eêêa^ OH ihe Strenfth and Stress of Timber, 4S47, art. 490.

(*) A Treatise on the Strength of 7tm6er, cast Iron, malléable Iron^ etc. k 837 , arUlO.

(*) an TnlnoM n des Mémolrei 4e Mancbester, noaTelle lérie.

(>) Sssay on the Strength of cast Jron, art. 86*; et Elementary Prmciples of Catpêntrgw Ce principe qa'il lubftilue, dit-il, i plutieure reflet faunes données ptr Idi anciens aniaars, était qu^en doublant ebacune des deux parties dans lesquelles raxe neutre divise la section donnée, les deux sections de forme sjméirlqaa q«i aft rétnlteni soient celles de deux pièces de même résistance l'une qna l'antra; Il raflent A la condition que, pour les deux parties, le moment #lMnle antonr de ott axa cberché, divisé par la hanteur ou plus grande ordonnée, donne le même quotient; ce qui n'atteint point le but réel et véritable.

CiV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

IX IVaTter. Premiers emtukim, etleor recttflcMtoM.

— Navier aussi, dans les premiers écrits de sa jeunesse^ se laissa tromper par Tassertion de Jacques Bernoulli et de Mariotte, relative à l'indifférence prétendue de la situation adoptée pour la ligne des fibres invariables; il chercha même à l'appuyer d'un raisonnement (^], qui prouve seulement que^ soit qu'on la place au bas ou au milieu d'une section rectangle, le moment des résistances est comme le cube de l'épaisseur pour une flexion déterminée (et non comme le carrée ainsi que l'avaient cru Girard et beaucoup d'autres) {•). De plus, quelques résultats d'expériences lui faisant soupçonner a un vice caché dans la composition des formules , » il entreprit d'en donner de nouvelles : il supposait pour cela que chaque fibre, bien qu'infiniment mince, opposait à la flexion (comme les lames envisagées par Bernoulli et qui venaient de faire l'objet de son étude), une certaine résistance proportionnelle à sa courbure, et que, vu sa liaison avec les autres, elle opposait à l'extension une seconde résistance, supposée à la fois proportionnelle au degré de son allongement, et à sa longueur absolue ('); ce qui lui donnait pour la somme des moments des résistances des fibres une expression composée de deux termes {*).

Mais Navier ne pouvait rester dans cette singulière erreur^ que nous avons dû mentionner parce qu'elle se trouve dans un volume non réédité d'un grand ouvrage. 11 la rectifia dans son premier cours de l'école des ponts et chaussées en i 819. On y voit qu'il donna alors ("), pour le moment total des résistances des fibres, une expression exacte, la ligne des fibres invariables étant

(^)Tome n (1813) du Traiié de la constraciioii des ponts de GauUiey, note après le chapitre 1*', page 30.

0 Et lai-mâme i ce qu'il paraît, avant d'ayoir été détrompé i ce sujet par M. Bernard, aujourd'hui correspondant de l'Institut, alors élève hors de concours (4813).

(*) Idem, sous-note, page 33.

(^) Jdemy page 34. Il est évident qu'en écrivant la sous-note de cette page, il oubliait de tenir compte, en déduction, des actions et réactions mutuelles des parties dans lesquelles il divise une tige ou une fibre qu'on étend.

(*) Sommaire (lithographie) des leçons de mécanique appliquée données à l'École des ponu et chaussées» 18i9-1820. Première partie, n" 60 (De la ré sistance à la fleiion des cerps prismatiques suivant la âgure de leur section transversale).