HISTORIQUE. CV

supposée connue; maisque^ comme Duleau, il déterminait encore cette ligne en posant une équation fausse entre le moment total des résistances des fibres allongées et le moment total des fibres accourcies, moments qui sont bien loin d'être égaux dans les pièces à base de triangle, de trapèze, de T simple^ etc.

Ce n'est que dans son cours de 4824, imprimé et distribué par feuilles la même année, et publié en 1826, c'est-à-dire dans la première édition de l'ouvrage que nous rééditons, que toute erreur de ce genre fut corrigée, et que Navier, seul entre tous les auteurs, détermina la ligne que traversent les fibres invariables sur des sections de toute forme, en égalant entre elles^ non plus les deux sommes des moments^ mais les sommes des résistances elles-mêmes des fibres tendues et des fibres pressées.

D'où il déduisit, le premier aussi, le principe si simple du passage de cette ligne par le centre de gravité de la iection lorsque la matière est d'égale contexture dans toute son étendue, et qu'on se tient dans les limites de la con^ servation de la contexture, ou, comme on dit, de Vélasti" cité, ou plutôt tant que les efiforts restent proportionnels aux effets.

X. !Va¥ler(0«ite]. Y«mis. — Dans ce même remarquable cours de 4824, dont nous avons été un des auditeurs, et qui fit faire à cette branche de la Mécanique un pas considérable, NaVier rattacha plus franchement et complètement que n'avaient fait ses prédécesseurs, la théorie de la résistance des solides à celle de leur élasticité, ou celle de la rupture par flexion à celle de simple flexion sans rupture (*), dont l'illustre physicien Thomas Young avait, en 1807, donné les formules exactes en y faisant entrer, le premier, un module d'élasticité, mays en ne s'occupant que des sections divisibles en deux parties symé-

(*] Dès 4849, daot un article (au n" 71) de iod cours lithographie, lelitulé : De la rupture considérée comme Ve/fet de la êéparation des fibres allongées ou de Vécrasement de» fibrei accourcies^ li exprimait que la théorie do la résistance à la rupture exposée dans les autres articles au point de vue de ses devanciers éuii eo quelque sorte arliflcielle et qu'il fallait y renoncer.

triques par une ligne horizontale qui est alors évidemment celle des fibres invariables (^).

Il put ainsi résoudre une multitude de questions non encore abordées ; car ce sont les petites déformations subies par une pièce solide qui déterminent la distribution des efforts, non» seulement entre les diverses fibres à leur passage à travers une uiéttie section^ mais aussi entre les diverses parties de «cette pièce et entre les diverses pièces d'un même système.

Navier fit à la fin de l'art* lY (2« remarque du $ 151 ci-après), une distinction essentielle entre la résistance à la rupture immédiate ou prochaine dont il est presque impossible et heureusement peu utile d'assigner les lois, et la résistance à une rupture éloignée^ ou à une énervation qui amènerait la rupture au bout d'un temps plus ou moins long (*), et il montra (ce que Young avait indiqué en passant comme nous venons de dire) le vrai parti qu'on peut tirer des formules de flexion pour en prévenir les chances, en limitant convenablement les dilatations ou extensions, ce qui convient mieux et produit souvent d'autres résultats que de limiter les efforts ou tensions ; et ce qui n'empêche cependant pas , si on le trouve commode; d'éliminer ensuite les dilatations-limites, ainsi que les^coefScients d'élasticité, des

(^) A CouTH of Lectures tm naUtrat PhUosophy and the nucankal ArU» Le D*. Youog 7 dll, vol. I*', p. 4 41 , que l'aliéralion permaneflie de ft>rme limita It force des matériaux presque autant que la fracture, puisque l'effort qui est capable de produire cet effet est suffisant pour l'accrotlre julqu'à ce que la fr&cture kit tfeu; i>ien qu*ll r6conntiftse(p. 44fi) que cette alléraUon de forme ne faêse patperéfe Véloêikiié (¥074 ci-après p. tS) j et voli II, art. 335, que la résistance est limitée par l'extension ou la compression que la substance peut supporter sans manquer (failing) ou ^'affaiblir.

son Modide est (d^aprèl, p. 48) la bautear en pouces que donie le qioiiéht de la ebarge d'un prisme d'un pouce carré de base par rallongement ou le raccourcissement qu'elle produit pour chaque pouce de hauteur, et aussi parle poids du pouce bube ; ce qui fait, en subsiiluani le tnèlre au pouce angtaii, le poids £ de Navier divisé par le poids du mètre cube, ou exprimé en hauteur d'un prisme de môme matière ayant le mètre carré pour section.

(') M. de Guillebon (lithographie du cours qu'il a fait en 4839) dit i cette occasion que la désignition, moment de rupture ^ elt donnée A tort A l'expression qu*on égale au moment des forces extérieures pour poser la ctfndiifon de ftiabiiilé; car, vu que la proportionnalité des forces aux dilatations et comprHiiOlis ne le conserve pas, l'équaUon qui en résulte est fausse si on l'Applique â fétit où te trouve la pièce i l'instant qui précède celui où elle rompt.

HIS1X>RIQUE. CVij

équations dt cokéMn ou de non-ruptofe ; en sorte que œs expressions des conditions de la stabilité de la conteiture des pièces peuvent ne contenir que des efforts^limites ('), dont les valeurs sont fournies par diverses expériences ou observations. ( Vûg^ n' XLIV.)

XL ISnlte de IVavIer. Cas où le caleal des ré- •Istanees d«lt être préeédé de eelal des fleiLlons.

— Si d'ailleurs on peut, dans quelques cas^ poser les équations de stabilité d'une manière directe, sans parler ni des flexions éprouvées ni du coefficient de Télasticité qui y résistait^ il est absolument nécessaire, dans une foule d'autres^ d'opérer préalablement le calcul analytique de ces flexions^ et plus généralement des déplacements des points des pièces. Ce sont , par exemple (voir ci-après, § 7 de la note du n** 113)^ les cas où les flexions qui seront prises augmenteront sensiblement certaines composantes des forces extérieures, et surtout leurs bras de levier^ comme quand les pièces sont sollicitées dans une direction parallèle ou presque parallèle à la leur. Ce sont aussi ceux où il y a lieu de combiner ensemble une flexion et une torsion. Mais ce sont surtout les cas nombreux oii une partie des forces est inconnue parce qu'elles consistent en des réactions d'appuis où d'encastrements^ des actions mutuelles de diverses pièces assemblées , etc. , qui ne sont point données à priori y et pour la détermination desquelles les théorèmes de la statique élémentaire, exprimés entre les seules forces extérieures ou noawrécîproques agissant sur un corps^ ne fournissent qu'un nombre insuflSsant d'équations.

Ces sortes de problèmes» d'une nature implicite, peuvent être résolus, comme nous verrons au n' XLIX, par un procédé général, consistant à construire analytiquement les expressions des déplacements des points en fonction des forces tant connues

(1) V. el-après $$7 de U noie da n* 413, p. 93; 44 du n* 456, p, S3 , et note [t) de la p. 829, Appendice complémentaire, $ 94. Une erreur du u' 365 do la section IV de Rafier relative à la siiuaUon de la section dangereuse ou de rupture dans une pièce horizontale chargée do diren poids, a été corrigée dans an coars lithographie de 4837*4838. M. d'Andréa, dans sa traduction Italienne de 4836, araii fait la même correction.

CViij BÉSISTAKGE DES SOLIDES.

qu'inconnues, celles-ci représentées par des lettres , et de s'en servir pour exprimer les conditons définies que les déplacements doivent remplir aux points particuliers où ces forces agissent, par exemple leur nullité aux points fixes, leur égalité et les raccordements qu'ils doivent observer aux jonctions des pièces ou des diverses parties dans lesquelles il faut partager une même pièce parce que les déplacements y sont donnés par des équations différentes (*). De cette manière on parvient constamment à poser autant d'équations qu'on a d'inconnues à déterminer; car il n'y a, dans les questions de mécanique physique, évidemment aucune indétermination.

Navier a posé et résolu le premier, dans son Cours de 4824 (et même déjà dans celui de 48i9j, un certain nombre de ces sortes de questions, celle par exemple de la pièce encastrée aux deux bouts et sollicitée ailleurs qu'au milieu de sa longueur (de sorte qu'on ne puisse pas obtenir, comme Girard, la solution par une assimilation à un cas plus simple) ; celles de pièces droites posées sur plus de deux appuis, ou de pièces courbes arrêtées aux extrémités ; enfin, le fameux problème de décomposition d'une force suivant des droites matérielles concourantes au nombre de plus de deux dans un même plan ou de trois dans des plans différents ('). S'il n'a pas indiqué la méthode générale dont l'application à tous les cas réaliserait l'espérance de sa préface de 4826 (p. Ixxxvij), si même, pour diverses

(i) Navier a appris i poser ainsi des équalions dislioclos pour les flexions do ces diyerses parties, qui sont séparées par des points où agissent des forces isolées, et autres où la loi de sollicitation change. Il n'a pas eu besoin ainsi de recourir, comme a Tait Poisson, à l'emploi difficile des fonctions discontinues, (Traité de mécanique, 2" édition, 4833, n<* 323.)

Nous avons eu lieu d'apercevoir qu'une division de ce genre doit encore être opérée, même quand il y a parfaite continuité ou aucun changement de forme des expressions, lorsqu'il s'agit de déterminer par exemple la flexion d'un anneau ou d'un ressort de dynamomètre fermée car une pareille pièce n'a pas d'extrémité; il faut donc poser l'équation d'équilibre, non pas, comme à l'ordinaire, de toute la partie au deli d'une section qnelconque, mais d'une portion comprise entre deux sections* en remplaçant la portion au delà de la seconde par une force et un moment, dont on détermine ultérieurement les intensités en posant les conditions do raccordement. (Cours lithographie, 1837-4838 n"* 49, 82; ou comptes rendus 4843, 6 novembre, t. XVII, p. 4025.)

(*) N* 533, page 345 deTéditionde 4833.

HISTORIQUE. CiX

sortes de charpente, il est revenu aux décompositions arbitraires ou hypothétiques, fondées sur des suppressions, dont on se servait vaguement avant lui, on doit toujours lui attribuer le principe de ces solutions de questions qui ont été longtemps pour les géomètres une énigme désespérante, restant en effet sans mot tant qu'on attribue aux corps une parfaite rigidité (*) qui ne se trouve réellement dans aucune de leurs parties, ni même probablement de leurs dernières particules (') et qui rendrait tout indéterminé dans la répartition intérieure des efforts auxquels elles sont soumises.

Au reste, à la môme époque, dans une note (•) intitulée Sur les questions de statique dans lesquelles on considère un corps supporté par un nombre de points d'appui surpassant trois, Navier, en rapportant les résultats de ses belles solutions relatives à la pièce élastique droite ainsi supportée, observait très-bien que rindétermination apparente cessait en tenant compte de l'élasticité ou du corps, ou des appuis, ou de l'un et des autres à la fois.

Le même cours de 1824 contient la solution de beaucoup d'autres problèmes sur lesquels nous reviendrons au n® XV.

XII. Courbes élastiques planes. Jacques Beruoulll. — Parlons auparavant des courbes élastiques^ et d'abord de celles qui sont comprises dans un plan.

Leur recherche, plus géométrique que physique, a pu être fort avancée avant que les travaux de Coulomb, de Young et de Navier eussent fait connaître les vraies valeurs du nombre constant (e ou El ci-après, au n^ 80 et à sa note, p. 30, 31 ) qui * figure dans leur équation.

Galilée avait pensé que la courbe affectée par un ressort droit que l'on ploie pouvait être une parabole, les PP. Pardies et de

(1) V07. OpuêcuUs deéCAlemberty t. Vllt, p. 36. Sur quelques quetlioDS de dynaisiqne. — Et, t. xvni des Mémoires de SaiDUPétersbourg, un esstf d'Euler. (*) Vo)ex ci-après, ii« XXU.

if) Société pbilomaUque, 48S3, p. 3â.

ex RÉSISTANCE DES SOUDES.

Lanis une fuDÎcuIaire. Mais Jacques Bernoulli (et ce fut là sa véritable découverte) en indiqua la vraie nature^ d'abord en 1691 SOUS forme d'énigme (^), puis explicitement dans Tannée 1694 (') en basant sa détermination sur cette propriété fondamentale a qu'en un point quelconque le rayon de courbure est en raison inverse du moment, autour de ce point» de la force qui produit la flexion, x> propriété dont il donna une démonstration dans Tannée 1695 ('}, en attribuant une épaisseur à la lame ou au fit élastique, et en supposant, comme ^Leibnitz» qu'une quelconque de ses sections acquiert une petite inclinai* son sur une section voisine et primitivement parallèle en lournafit aatour d'une de ses bases ou de ses tangentes, qu'il prend, avec Galilée^ pour l'axe d'appui d'un levier coudé. Mais il traita plus amplement ce sujet de la courbure des ressorts en 1705, à la suite de sa lettre Vétitable hypothèse, etc., citée ci-dessus (*), et où il a été, avons-nous dit, moins heureux quant à la détermination du coefficient de cette proportionnalité.

En égalant, avec lui, pour un fil élastique primitivement rectiligne, le produit de ce coefficient ou de cette constante par l'inverse du rayon de courbure du fil en un point quelconque, à la somme des moments, autour de ce point, des forces qui sont supposées le solliciter dans un seul et même plan depuis là jusqu^à une de ses extrémités (*), on a, pour la courbe qu^l affectera, une équation difiérentielle du second ordre, dont on obtient toujours une intégrale première quand on peut prendre des axes coordonnés par rapport auxquels on connaisse la direction et ta situation de la résultante de ces forces sollicitantes;

(^ AeU traditoram Ltpoia, pàf» SSS, ou Œuvc. compL n» XUI.

(*) IderUf juin 1694, p. S6S, ou Œuvres n» LVllI.

(^ Idem, décembre, p. 637. Explications el notes ; Œuvres, n° LXVI.

(^) Mém. del'Ac. 4705; ou Œuvres, t. n, p. 976. Une question du infime genre a été traitée par son frère Jean Bernoulli; Œuvres, t. IV, n" CLXXIV.

(>) Nous verrons (n* XVI) que cette égaKté n'a lieu qu'avtaat que te tige est droite ou plane, et que son pfan, ou celui qui passe par sa fibre moyeane et par la résultante des forces, comprend aussi Vhb des deux axes principaux d'inertie de ses sections transversales.

HISTORIQUE. CXJ

et une seconde intégration ramène le problème aux quadratures {').

Ces quadratures^ quand on n'y emploie pas les transcendantes elliptiques, ne peuvent s'obtenir qu'en développant la fonction sous le signe J en série, comme ont fait BernouUi, Euler et Lagrange^ ou en faisant usage de diverses méthodes d'approxi-

(*) n Mt cMr, eo efll»t, que si roa pote l'éqotUon^ qui «§l de la ft»riM

oè p «tlle rtjon d» courbuf e, El e»l uno ooaiusle, et a, è mqI Im

«èM X, y 4tt poi«t 4,'«pplicttioa de U rësullaoïe dont X» T soai les frqjeo-

tioAt sar les x et les y, et si l'on change ces coordonnées, en Taisant

«=3:' cosa — /sina, y=fl:'»îna-f-y'fo*a

«a d'tntres.s'» y' telles qu'il ne reste après sniMtitution que la coordonnée x' dans le seeottd membre, ce qui revient â prendre / pirallèle i la résultante

R= ^x*+Y*, TéquatioB, qni se réduira, s èunt Taie et C une constante, â

— = EÏ-— - =0/ ^x«4-Y*+C', aai« pMr iwMgraln première, C" étant une autre eonsunte,

d*oà Ton tire, en o^ et dir' seuls, la valeur de d», et par suite celle de dy* =

-4- A. On Mirait la même chose en prenant les axes coordonnés nonveani, ou 4a

leur angle a avec les anciens, de maniérée n'avoir diM [fi smoimA Membre qoe y', et

en remplaçant •par = — y- . On y arrive aussi avec Lagrange (Ac. de Ber-

lia, il^9. Sur la force desreêsorts fixés, ou Mécanique analytique, i" ^^ltiIq, aactiOB V, art. 50), sans changer d'axes coordonnés, en introduisant pour variable anxilIniTO Kaiigle f qne Cûl avec oelui des ap la tangente à la courbe élastique au point

4 d9 /• fi

{x, y); car -=~^, x^\ cos» <2s^ y =: l sin «p ds; d'où, subsUluant et diffé-

rentiant, £1--^ =Xsinç— Ycos ^i qui multipliée par 2<29 et intégrée donne

El(~J = — ÎXcos© — 2Ysin(p + C"'; d'où l'on peut tirer da et par suite da; en ç et d9 seuls.

CXij RÉSISTAKCI- DES SOriDES.

mation numérique ou ^apbique dans les cas pour lesquels ces séries, après l'intégration ^ ne sont pas convergentes^ comme Ta remarqué M. Poncelet (<).

XUl. Classlflcatton des courbes élastiques planes par finler. — Euler fit, en 1744, une énumération complète des courbes élastiques planes^ dans un mémoire (*) où il prend, d'après ce que nous venons de dire, l'ordonnée y parallèle à la résultante, quand il y en a une, et où il déduit leurs formes et les lois diverses de leurs circonvolutions, tantôt de l'intégration de leur équation en série, tantôt de Téquation différentielle ellemême , car la série n'est pas toujours convergente. Il y cherche d'abord, à la suite de considérations métaphysiques sur le double moyen d'investigation qu'offrent, d'une part, les causes finales, et, dé l'autre, le calcul des effets des causes efficientes, quelle doit être la courbe rendant un minimum une certaine quantité appelée force potentielle par Daniel Bernoulli, qui lui avait conseillé celte recherche; quantité qui est, ici, V intégrale de Vêlément de l'arc divisé par le carré du rayon de courbure^ pour une longueur donnée de l'arc entre deux points où les directions de sa tangente sont aussi données ('). Euler trouve que ce sont bien

(^) Dans son Cours de mécanique iDdustriclle (4840, inédit) àlaFacnllé des sciences de Paris, 44* leçon,

(*) Additamentum De cutvit elaiticis i la suite de son bel ouvrage Methodus ittveniendi lineas curvas maximi minimive proprietaU gaudenUs, dont les méthodes ont été remplacées par celle des variations.

(*) Celle quantité, appelée aujourd'hui simplement lepo/efi<tW(Vo7.App, compl. p. 783, 796), n'est autre chose que le travail de flexion. On a en effeU, comme aux

n" 77 et 80 (note), p. 39, 31, p étant le rayon de courbure, ds- pour Talion-

P gement subi par un élément de fibre, d'une longueur primitive da, si v est sa

distance i celles qui ont conservé cette longueur entre deux sections voisines <o;

d'où pour cette fibre une tension dont l'inlensilé, nulle quand la flexion commence,

a maintenant pour grandeur Edtù-, Il en résulte que le travail de son allongo-

P 4 V v Eds «

ment est-Edw — . d»-jcequî donne- — \vVo> pour toutes les fibres sur la

longueur de ; ou, 1 étant le moment d'inertie de la section, -r- J -= POur le travail de fleiion sur une longueur quelconque l de la tige.

HISTORIQUE. GXilj

en effet les courbes élastiques de Jacques Bernoulti, définies par la proportionnalité de la courbure^ en un point quelconque^ au moment des forces autour de ce point.

Il les classe en neuf espèces, dont les six premières sont relatives aux cas où les forces ont une résultante qui coupe la courbe, et se distinguent par les grandeurs plus ou moins con- . sidérables de l'angle de cette résultante et de la tangente au même point, qui ne peut être qu'un point d'inflexion^ même lorsqu'il se trouve à une extrémité libre, puisque le moment et par conséquent la courbure y est zéro.

La courbe élastique est de première espèce, quand cet angle de la résultante et de la tangente est infiniment petit;

De deuxième, quand il est fini et aigu;

De troisième, quand il est droit;

De quatrième^ quand il est obtus, mais moindre que i3i''41';

De cinquième, quand il a tout juste cette grandeur, pour lar quelle la court^e prolongée se replie sur elle-même, et a un nœud au point où la résultante la coupe ;

De sixième, quand l'angle est plus grand, sans excéder deux droits.

La septième et la huitième espèce, qui sont sans poini d'inflexion, ne peuvent être produites que par des forces dont la résultante agit par Tintermédiaire d'un bras de levier, sur un point hors de la lame primitivement droite qui a été fléchie.

Et la neuvième espèce, fort remarquable, est relative au cas où les forces, situées toujours dans un plan, n'ont pas de résultante, c'estrà-dire où elles se réduisent àun couple. Euler montre que la courbe est alors un cercle.

Dans le cas de la quatrième espèce, si l'angle de la tangente et de la force est supposé très-peu au-dessus de l'angle droit, on peut, en mettant approximativement l'élément de l'abscisse pour l'élément de l'arc, intégrer l'équation en termes entiers, ce qui donne simplement une courbe parabolique du troisième degré. C'est le cas très-connu d'une pièce horizontale peu flexible encastrée à un bout et sollicitée à l'autre par un poids, et c'est de la réunion de deux des courbes de cette quatrième espèce, se

CXiV RÉSISTANCE DBS SOLIDES.

raccordant au point de suspension du poids^ que se compose la ligne affectée par Taxe d'une pièce posée sur deux appuis et sollicitée transversalement dans l'intervalle; et alors les véritables points d'application des forces» ou les points pour lesquels leur moment est nul^ sont aux extrémités^ vu les réactions des appuis. Euler remarque le premier qu'en observant la petite flèche de flexion on peut déteji^miner par l'expérience la constante qui mesure l'élasticité de la lame; mais il se trompe en regardant cette constante comme proportionneUe au carré et non au cube de l'épaisseur.

La première espèce n'est pas moins importante. Elle se distingue par une singularité qui a étonné les géomètres, et donné lieu à de nombreuses discussions. Elle est relative au cas où la force fait un angle excessivement aigu avec la tangente. C'est le cas des pièces dites sollicitées debout^ c'est-à-dire pressées dans une direction sensiblement parallèle à leur longueur. Ëuler^ substituant encore approximativement à l'élément de Tare celui d'une coordonnée^ qui est alors prise parallèle à la force, intègre complètement l'équation par sinus sous forme finie. 11 en déduit une grandeur que la force est obligée d'atteindre pour pouvoir opérer un commencement de flexion^ et qui, une fois Surpassée, suflSt par cela seul pour que la force détermine la rupture, car la courbure acquise lui donne un bras de levier sans cesse croissant.

C^est ce qu'il a appelé la force des colonnes. Le coefficient d*élasticité y entre seul, et non le coeflicient de cohésion, parce que quelque grand que soit celui-ci, la pièce ne pourra résister à une flexion qui, une fois commencée, devient rapidement et indéfiniment croissante (^).

(^) Dttleaa et H. Bernvd (aujourd'hui oorreipondant deriosUiul) saos avoir pu consulter, i Cubzac, le mémoire d'Euler, ont aperçu ce principe d'une antre manière, i tavoir en supposant approximatlTement que la courbure de la pièce, d'une lottfueur a, presiée debout par un poids Q, prend la même courbure que si, étant appuyée à ses extrémités, elle était sollicitée transversalement au milieu par une force p résultante des deux forces Q supposées agir suivant ses tangentes extrêmes. Alors, en effet, f désignant la flèehe de eoarbare, rinclinaisoii de ces deux tangentes sur la ligne de