HISTORIQUE. CXV

A la fin de cet admirable mémoire^ Euler étend son analyse: 1" A une lame d'élasticité ou de grosseur inégale ; 2' A une lame égale^ mais naturellement courbe^ et il prouve qu'on doit égaler le moment des forces au produit de la con-

stante par la différence des inverses des rayons de cour-

9 Po bure ancien et nouveau pt et p ;

3^ A une lame sollicitée à la fois par des forces agissant en des points particuliers et par d'autres distribuées sur toute une partie de la pièce» telles que celles qui résultent de son poids propre;

A'' Enfin aux oscillations de la lame abandonnée à elle-même après avoir été fléchie (Yoy. ci-après, n* LUI).

Euler revient'^ dans un mémoire de 1757 (*}, sur ce qu^il a dit de la force des colonnes, et justifie l'assertion en apparence singulière qu^aucune flexion ne sera prise par un ressort droit pressé longitudinalement, tant que la pression n'excédera pas une certaine intensité dépendant de son élasticité, et qu'il trouve aussi inverse du carré de sa longueur^ comme l'avait annoncé M usschenbroeck en 1729 (*).

XIV. Suite. lia^ratti^e. Euler. (Mèees debout. Paradoxe apparent.) — Lagrange confirme ce résultat d*Euler dans un premier mémoire (*)^ où il exprime d'une manière simple les intégrales premières de l'équation deTélastique au moyen des deux variables s (l-arc) et ^ (Pangle que la

9f p Sf

JonetioD des deux extrémités serait— (n« 87 ci-iprét); d'où - =3. — . Or (même

a ft a

B* 87, p« 76), on • fars- p ( -« | r— ; d*où Q=— y , ex]nreMloii dUTérant peu

« \2 J 3EI r *

i:*EI El

deeelle — ^= 9,87 -^ d'Ealer. MM. Bernard et Dalevs eooefaiaieQt. comme Bnler»

qo'une charge produirant la plus petite flèche était capable d'en produire une grande, et de rompre, quoique proportionnelle à la seule éUuticiU et tûdépen* danle de la eohûion»

{}) Académie de Berlin, 4757.

O IiUrodHctio ad eohmreniiam cùrporum fvrmmum^ 4799.

f} Sur la foret des ressorts pUés, Académie de Berlin, 1769^

CIVJ BÉSISTAN'GE DES SOLIDES.

taDgente fait avec une droite fixe), en faisant voir que la quadrature exacte de l'expression trouvée pour l'ordonnée dépend de la rectification des sections coniques^ ou de ce qu'on appelle les fonctions elliptiques aujourd'hui. Mais il remarque qu'on peut intégrer par logarithmes ou par exponentielles réelles, dans le cas de la sixième espèce, quand la force, qui agit par traction, est dirigée presque dans le prolongement de la tangente, ou fait avec celle-ci un angle très-peu différent de deux angles droits.

A un mémoire sur la figure des colonnes ('] publié peu après dans un autre recueil, Lagrange élucide complètement la question de la courbe de première espèce, et fait disparaître toute difficulté analytique sur le résultat relatif à ce cas d'une pièce sollicitée debouty en donnant, au moyen d'une série, une intégrale exacte de l'équation différentielle sans substituer l'abscisse à l'arc; d'où une relation exacte aussi entre la flèche de courbure, la longueur développée de la pièce, et la force qui la fait fléchir. Elle montre clairement que pour toute force au-dessous de la grandeur trouvée par Euler, la flèche serait imaginaire.

C'est dans ce même Mémoire de Lagrange que se trouva faite, pour la première fois, la remarque que la pièce ainsi sollicitée est susceptible de prendre une courbure à deux, trois quatre... ventres, avec inflexions intermédiaires, ce qui a lieu en effet si quelques points sont empêchés de s'écarter latéralement, mais moyennant qu'on donne à la force 4, 9, 16... fois plus d'intensité que pour la courbure à un seul ventre sans in-? flexion.

L'analyse de Lagrange fournit la valeur de la flèche de courbure, ce que ne peut pas faire l'analyse d'Euler. Elle donne aussi, pour la longueur de l'arc fléchi, une expression exacte et différant quatre . fois plus de sa corde que celle que divers auteurs ont cru pouvoir déduire d'un raisonnement qui les fait aussi arriver à une valeur de la flèche moitié moindre que la véritable («).

{}) Académie de Turin, volume de 4*770-4773.

;*)Souscr rapport, les Tormules du d*> 385 de Tédition de 1833 de Mavier

HISTORIQUE. CIVlj

Nous ne parlons pas de la fin de ce même Mémoire, où Lagrange conclut d'un calcul incomplet qu'un renflement non«seulement des colonnes formées d'assises en pierre^ mais même de tout soutien ou poteau d'une seule pièce, n'augmente pas la résistance; ce qui n'est admis ni dans la théorie qui a prévalu, comme on verra au n« 506 (p. 325 de l'édition de 1833), ni dans la pratique, comme on peut voir par la forme des bielles en fonte de machines à vapeur.

Euler revient encore sur cet intéressant sujet en 1778^ dans trois Mémoires (^), où il examine ce qui arrive quand*la colonne n^est sollicitée que par son propre poids. Le calcul le conduit à cette conclusion : que quelque haute, pesante et faible de résistance élastique que soit la colonne , elle ne prendra aucune flexion ; tandis qu'elle fléchirait dans sa partie inférieure, si la partie supérieure y était simplement posée. Ceiinsigne paradoxe s'explique en remarquant qu'alors, à la face du contact des deux parties. Taxe de la pièce pourrait faire un angle avec la verticale, tandis que cela est impossible si la partie supérieure est liée invariablement à la partie inférieure.

Il suffît d'ailleurs que la plus petite force horizontale agisse en même temps, ou bien que la résultante des poids des parties supérieures s'écarte tant soit peu de la ligne centrale, pour déterminer la Oexion.

XV. i^alie. IVaTier. Se« «olntlons de proUèiiie« liMpIlclies. neiLion des pièces coiir1»e«. — On doit à Navier d'avoir remarqué que l'équation différentielle de la courbe élastique peut, pour toutes les espèces d'EuIer (hors la première et là neuvième qui n'en ont pas besoin), être intégrée fiicilement sous forme finie, même quand il y a une charge

sont à modifier. Les eoosidéraUoni prèscDiées i ce nujet aux d°* 89-91 de notre Coar» Ulbographié de 4837-1838 ont été données depuis, avec plus de développemeol, par M. Ernest Lamarle (Flexion du bois, 3* partie) et par M. Bresse (Coors de née. appl., 4869, n» 89, p. SOS).

(K) Académie de Saint- Pétersbourg. Detemtinntio onerwnquacolumnœ gegiare valent. — Evamen ingigniê paradoxi in theorid columnarumoccurrentia. — Ve oMtudmt coIimiiMrvm mAf/rufrio pondère eorruentimm.

CXVlij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

répartie sur la longueur totale ou partielle, même quand il .'y avait une petite courbure préalable, dans tous les cas oit la flexion est très-petite \ et, cela, sans négliger rinfluence de cette flexion sur les bras de levier définitifs des forces, ou en conservant à l'équation sa forme implicite. On y arrive avec lui en dirigeant Taxe d'une des deux coordonnées, non plus suivant la résultante des forces, comme faisait généralement Ëuler, mais suivant une des tangentes à la courbe, de manière à pouvoir remplacer l'élément de l'arc par l'élément correspondant de cette coordonnée (^). L'ordonnée obtenue s'exprime tantôt par des sinus circulaires ou ordinaires, tantôt par des exponentielles réelles ou des sinus hyperboliques. C'est dans une habile application de cette remarque aux divers problèmes qui intéressent la pratique que se trouve surtout le mérite de son beau Mémoire inédit du 29 novembre i819 sur la flexion des lames élastiques, approuvé par l'Académie le 4 septembre 1820 (*). Les diverses solutions qui s'y trouvaient comprises ont été données dès 1820, avec d'autres, dans son Cours. La solution relative à une pièce naturellement droite, mais

(>] Ed effet, li c'est l'axe dei a;, dt pouvant 6tre remplacé par dx^ ou - par

P dhf — . o« t Que équation 4o l| fvrçie

jji=/{*)+wV » ou = /(«)— ««y,

la foactioa / {x) dépeodaut à la fola do la manière dont la pièce eit charge transyerMlement, et de la petite courbure primlUve si elle eu avait une. Cette équation a pour intégrale «

ou

ftmpzzze»^ \ e-«* f{x) «te— e-i»» \ 0t^f(x)dx, ny sssiniM; V cos nx f{x) tfx— ooana: \ %imnx f{x) dx.

si la fonction f{x) dont dépend la courbure primitive est entière, les deux intégrales s'obtiennent sous forme finie. Ces deux expressions développées donnent toutes celles de Navier. M. d'àodrea, traducteur de Navier, a oonsidéré des cas oik la pièce aurait aussi une cbarge continue longitudinale.

C) Appales do chimie et de pbyiique, t. XV.

HISTOBIQUE. CXiX

déjà flêckiey et posée, la convexité en haut, entre deux appuis ou enclaves^ et chargée au milieu^ est d^un genre neuf et extrément remarquable. Les autres^ relatives à une pièce droite non fléchie préalablement^ et sollicitée à la fois dans le sens de sa longueur et dans un sens transversal^ comme les tirants, entraits, arbalétriers, soupoutres de ponts et entretoises de portes d'écluses, etc., se ramènent aux deux cas (n«* 41 3^ 41 5 de Tédition de 1833^ fig. 60^ 61), où on la suppose encastrée à un bout et sollicitée obliquement à l'autre^ et à ceux (n^'SeQ^ 592, fig. 130), où l'on tient compte^ en outre, d'une charge transversale répartie sur toute la longueur. Ces solutions sont très-utiles, bien qu'elles aient fort peu passé dans les applications jusqu'ici (^}. On doit remarquer aussi les solutions (n** 406^409, fig. 58, 59), relatives à une pièce sollicitée longitudinalement,' mais à une cer** taine distance de son axe; la première, en supposant cette distance petite^ fait cesser, dans un sens pratique, pour les pièces chargées debout ^ les difficultés de la solution abstraite d'EuIer et môme de Lagrange, car elle tient compte des déviations inévitablement dues à ce que ces pièces ont une certaine épaisseur.

Une pièce qu'on fléchit peut être naturellement courbe. Euler a montré (*) que si sa première forme est circulaire, on peut ramener aux quadratures la détermination de sa forme nouvelle tout comme quand elle est en rectiligne, quelle que soit Tampli-

{}) Toutes les formales qu'il doone i oe tqjei, malgré leur apptrenlo complieaUoD, deriendraidni usuellei au moyen depeUtM tables numériques donnant^ les unes, les cosinus naturels tant circulaires qu'bjperboliques de divers nombres depuis léro; les autres, les rapports des ungentes tant circulaires qu'byperbo- UqoBS à tours ores. Lorsque, d'après la nature des données, ces cosinus, ou ces rapports, se trouveraient peu différents de l'unité, ce serait un signe que l'équation de résisunce permanente peut être posée sans atoir égard i la flexion Inconnue, ou sans tenir compte de Paugmenlatlon qu'elle apportera aux bras de levier des

S'il nous est donné d'annoter avec quelque étendue la 4* section de ses leçons, nous BOUS proposons de comparer les soloUons de Havier avec celles que fournirait natégration exacte au moyen des fonctions elliptiques (en prenant, avec Euler, la direcUon de la force pour un des deux axes coordonnés) et de donner des Ubies oomplémenlaires si U différence est sensible.

0 Héme mémoire De cwrvit daitieU^ art. 49.

CXX RÉSISTANCE DES SOLrDES.

tude de la flexion qu'on lui fait subir C). 11 en est autrement si la forme primitive n'est pas celle d'un arc de cercle, car le rayon de courbure variable, dont l'inverse multiplié par une constante est à ajouter au second membre de Téquation différentielle, n'est généralement donné qu'en fonction des coordonnées primitives de chaque point, et non pas en fonction de ses coordonnées ultérieures ou après flexion (*).

Mais on doit à Navier d'avoir aperçu qu'on ramène encore aux quadratures le problème de la flexion plane pour une forme primitive de courbe à simple courbure absolument quelconque si la flexion opérée est très-petite, en sorte qu'on puisse prendre approximativement 9 pour bras de levier définitifs des forces quelconques qui font fléchir^ ceux qu'elles possédaient au commencement de 4a flexion.

Il obtient même les intégrales otf les quadratures très-simplement en fonction entière de l'abscisse quand la courbure est assez peu considérable pour que la dérivée de l'arc puisse être développée suivant les puissances entières de la dérivée de l'ordonnée, si la courbe primitive peut être assimilée à une parabole du second degré. Et il en serait de même en l'assimilant à une parabole d'un degré quelconque ayant une équation à un ou plusieurs termes, ce qui est toujours possible approximativement.

Et quand la forme primitive est un arc de cercle d'autant de degrés qu'on veut^ Navier a reconnu, en 1831 ('), que Tin-

EI (^) En effet, on n'a qu'i «Jouter la oonsUnte — au second membre de l'équation

^ di I

— ; = s' V^* + Y* -f C de la 6* note du n* XII ci-deisnt ; cela n'empècbe pas

la transformation de cette équation et la suite du calcul.

(*) Cependant aj, i partir d'un point d'encastrement, on divise la pièce en plusieurs portions finies assez petites pour que dans chacune le rayon primitif puisse être regardé comme constant, on peut de proche en proche, et en exprimant des conditions de raccordement^ obtenir approzimalÎTement la forme nouvelle, quelque différente qu'elle soit de l'ancienne. {Note sur le» flexiont conHdérablet d^s vergtg élastiques, au Journal de Liou ville, 4844.)

(*) T. I*' des Ann. des P. et Cb., 4834, p. 438, et n«4o3, p. 39S de rédilion de 4833 des présentes leçons. Voir aussi le n'607, où II trouve que le milieu de lare n'est pas le point où une charge exerce la plus forte action.

HISTORIQUE. CXXJ

tégration se faisait exactement et s'étendait même à une demicirconférence^ ce qui permet de calculer la flexion, les i>oussées et la résistance des grands systèmes de charpente cintrés.

XVI. Flemlon oblique on déviée. — Avant de passer à la flexion à double courbure, arrêtons-nous à considérer le cas fréquent où la flexion d'une pièce droite est déviée^ c'est-àdire où elle s'opère dans un plan plus ou moins oblique à celui de sollicitatim, qui est le plan du moment ou du couple résultant des forces faisant fléchir.

M. Persy, professeur à l'École d'artillerie et du génie de Metz, a trè^bien remarqué, en 1834 [^), que Téquation unique de moments, posée comme à l'ordinaire autour de la ligne des fibres invariables, ne suffisait pas i>our assurer Péquilibre entre les forces extérieures et les forces intérieures de tension ou pression des fibres à travers une section, à moins que cette ligne ne soittm des deux axes principaux d'inertie de celle-ci, passant par son centre de gravité.

Cette condition n'est pas toujours remplie, car elle exigerait que le plan du moment résultant des forces extérieures fût toujours perpendiculaire à un de ces deux axes de plus petit et de pins grand moment d'inertie des sections. Nous avons montré en conséquence qu'il fallait poser deux équations de moments des forces (*), et que ce qu'il y avait de plus simple pour obtenir la flexion, était de les prendre autour des deux axes d'inertie. Quand aucun de ces deux moments n'est nul, la flexion est déviée^ ou s'exécute dans un autre plan que celui de sollicitation à fléchir. Comme elle est résultante, en quelques sc^ie, de deux flexions qui auraient lieu dans des plans perpendiculaires entre eux et aux axes principaux, les équations de résistance sont très-faciles à poser. Elles donnent des résultats tout difiérents de ceux auxquels on est conduit soit pour la flexion, soit pour la rupture, quand on ne tient pas compte de cette déviation, qui s'explique aisément, du reste, en considé-

{>) coors Utbographiéà Meli, n" 49, 43, p. S4.

(«) CompUê rendue, 30 octobre el 6 novembre 1843, I. Xvn,p. 946, 949, 4084, et Mémoire mr ta tar^om de IS53-4S54 aoi SavanU étraDgen, t. XIV, art. 43.

CXXij RÉSISTANCE DES SOUDES.

rant que le plan de flexion effective tend toujours à se rapprocher du plan de plus facile flexion de toute pièce inégalement flexible en divers sens^ c^est-à-dire de toute pièce dont la section n'est pas isotrope O, ou n'a pas ses moments d'inertie tous égaux autour de droites tracées sur son plan par son centre de gravité.

Et si la pièce' est primitivement courboj ou bien si les sections d'une pièce droite n'ont pas toutes leurs axes principaux dans les deux mêmes plans passant par son axe, la pièce ainsi sollicitée est toujours toràtte en même temps que fléchie ^ et elle

prend une double courbure (Voyez n" XX, XXI).

XVIL VleiKloiiii H/^^wnpmgnéem d'eixtowitoii •■ •ompressIoBui lon^ttndlnales. lilmlte* de ee« dernières, déduites par M. Peneelet des limites des extensions. — Les pièces droites ou courbes sollicitées à fléchir éprouvent aussi, engénérai^ sous Taction des composantes longitudinales des forces extérieures, une. extension ou une contraction qui affecte leur axe ou fibre moyenne^ et qui s'additionne à celles que la flexion donne aux autres fibres* Navier, après en avoir très-bien fait la remarque^ se contente de calculer raccroisscment total de Taxe, sans déterminer la part des déplacements individuels de ses points dans les sens des coordonnées, due à cetto deuxième cause de déformation^ ce qui est nécessaire pourtant afin d'obtenir la forme nouvelle prise par les pièces^ et de pouvoir calculer complètement^ pour

celles qui sont naturellement courbes, les poussées ou les réac tiens totales des appuis ou arrêts de leurs extrémités.

Nous avons cherché^ en 1837-1838, à combler cette lacune, ou à opérer, comme on dit aujourd'hui, cette correction aux

(i) Od pourrait, ti l'on Yeul un mot spécial, appeler isostrophes (oTpe7<i>, Uraroer)^ les sections qui toarnées de toutes les maDières donnent le même moment d'inertie. Mais nous ne voyons pas de danger de confusion à leur donner Tappellation déjà connue isotrope, qui a la même signification^ bien queCauchy Tait créée pour distinguer une conlexiure particulière de corps élastique et non une classe de formes de sections.

HISTORIQUE. CXXiij

rëmiltats obtenus en ne tenant compte que des flexions qui fournissent généralement la partie principale ou la plus considérable. Nous l'avons fait (^] au moyen du principe, que nous démontrions, de superposition ou d'addition de petits effets^ ce qui nous a fourni une expression complète de la poussée horizontale d'un arc soit de parabole, soit de cercle, supposé chargé au milieu seulement; en tenant compte aussi d'un autre effet, du même ordre de grandeur que celui des contractions de l'axe courbe, savoir celui des glissements (n* suivant), dont nos recherches ultérieures modifient l'évaluation sans la diminuer ('}. Et nous indiquions même comment il faut compléter la solution quand les sections extrêmes de l'arc, au lieu de tourner librement, sont astreintes à conserver une direction déterminée, comme dans le cas d'encastrement, ce qui fait passer la résultante des réactions ailleurs qu'au point de la fibre moyenne répondant à chaque naissance.

M, Bresse a étendu l'évaluation corrigée des poussées aux cas où une charge isolée est appliquée ailleurs qu'au milieu (ce qui donne le moyen de calculer par une addition, comme il le remarque, les résultats d'un nombre quelconque de charges semblables, placées en divers points), et, aussi au cas d'une charge uniformément répartie sur toute la longueur soit de l'arc, soit de sa projection horizontale; et il a donné des tables numériques, fort étendues, de calculs tout faits des parties principales dues aux senles flexions, et des coefficients de correction, au-dessous de 4, par. lesquels il faut les multiplier pour tenir compte des contractions de la fibre moyenne, car il suppose l'effet des glissements négligeable (')•

(<) cours lithographie, n<» 4 4 , 79, SO, Si .

(*) Coffimo on peut yo{r par les yaleurs des inclinaisons prises par la flbre moyenne sur les sections, aux $$ S et 3 de la note du n"* 463^ p. S4S, el4S, 46 de Il note du n* 456 ci-après, p. 389 i 440.

O Les utiles tables et formules de M. Bresse, ingènieuseroeol dressées et disposées, sont fréquemment consultées par les ingénieurs qui ont A projeter des ponts ou Tiaducs en fonte ou en fer; d'autant plus qu'elles donnent, outre les poussées on réactions eitrémes, le moyen d'évaluer sans calcul, au moios dans le ea^ d'une charge répartie, la pression la plus considérable qu'éprouvent les fibres, et de poser par conséquent immédiatement l'équation de résistance per-

CXXiV RÉSISTANCE DES SOUDES.

Au reste^ Navier^ bien que n'évaluant pas l'effet des contractions de la fibre moyenne pour modifier plus ou moins la grandeur des poussées, y a égard, ainsi qu^à ses dilatations possibles, lorsqu'il calcule la résistance ou qu'il établit les conditions de stabilité de la cohésion^ en maintenant la plus grande extension ou contraction dans de prudentes limites.

Ces deux limites sont diflSciles à déterminer (voyez plus loin)^ celle surtout des compressions qui tendent à produire l'écrasement.

L'écrasement n'est cependant au total qu'une disjonction des parties dans un sens latéral ou perpendiculaire à la force qui comprime. Ainsi , celui du bois pressé dans le sens de ses fibres s'opère par leur séparation les unes des autres ; celui d'une rondelle de métal, par sa fente tout autour qui lui donne la forme d'une rosette ; celui d'un petit bloc de pierre, par la division latérale en espèces d'aiguilles longitudinales avant son broiement en poussière. Aussi M. Poncelet ,a-t-il ramené théoriquement, dans son cours de iSiO à la Faculté de Paris, le danger des compressions longitudinales à celui des dilatations transver-

manente. La première idée s'en troure i son mémoire de \S^9 {Études théoriques sur la résistance des arcs, Ann, des P. et Ch,y h** lemestre, p. 150). Hais A ton ouvrage de 4854 {Recherches analytiqftes sur la flexion et la résitance des pièces cottrheny 10-4"), 'el dans son Cours (f* partie)* publié en 4859, il a ajoolé les corrections numériques et il a donné i ses tables leur dernière forme. M. Bresse tient compte' aussi de éeui éléments nouYeaui, les effets des cbangements de température, et ceui du calage qu'on opère en chassant des coins sous les appuis des pièces ou i leurs Jonctions. l\ ramène, d'une manière simple, les cas de nonsymétrie 4 ceux où il y a symétrie dans Tactton des forces sur un arc solide ; et il peint aux yeux, par des courbes figuratives, la suite des grandeurs, soit des moments de flexion aux divers points^ soit des pressions supportées par la fibre moyenne et par les fibres d'intrados et à*extrados, qui en sont les plus éloignées. M. Bresse suppose que les réactions des appuis s'exercent an centre des sec« lions extrêmes, ou sur la fibre moyenne de la pièce. Mais M. Darcel, dAns un Mémoire sur divers problèmes relatifs aux arcs et fermes métalliques surbaissés (uénn, des P. et Ch.^ 4869, S* sem. p. 60) a fait servir le même mode dé calcul, pour un arc parabolique peu courbe, au cas des naissances planes^ où ces sections ne peuvent librement tourner, en sorte que la résultante des réactions passe pilleurs qu'en ce point; et il a considéré aussi, ainsi que M. Albaret (Calcul des ares métalliques, Jnn. des P. et Ch. 4864^ 4«' sem., p. 90, et 4862, 8* sem., p. 305) le cas où la section de la pièce courbie n'est pas constante.