XX. €oarl»e0 éla«tt4|acs à double céiirliiire^ «t

^iraateel^ cie< — Nous pouvons exposer maintenant ce qui a été fait pour déterminer les couriei élastiqueê à doMe couràure.

Lagrauge en a donné des équations différentielles du second ordre [^)y thais incomplètes parce que^ se bornant à généraliser Tapplication du principe de Jacques Bernoulii, il a basé l'établissement de ees équations sur la supposition implicite que les forces ne s'exerçaient que dans les plans osculateurs à la fibre ttioyenne de la tige fléchie, ou qu'elles n'avaient de moments qu'autour des normales à ces plans.

Binet a signalé, en 181^ (*), Poniission du moment, qui existe généralement aussi, autour de la tangente h cette fibre, c'est-àdire du moment ou du couple composant qui fait tordre et qui développe une réaction de torsion, dont est capable toute tige élastique capable de résister à la flexion; et Poisson, en 1810, dans la Correspondance de l'École polytechnique (•) et ensuite dans rédition de 1833 de son traité de Mécanique (^], a ajouté pour y avoir égard, à chacune des trois .équations de Lagrange, un terme égal à ce moment de torsion multiplié par le cosinus d'un des angles que la tangente à la fibre moyenne fait avec les trois coordonnées (note page suivante).

Mais, bien que présentées cotnme applicables au cas le plus général, les trois équations différentielles ainsi construites ne conviennent réellement qu^à celui où la tige fléchie était primiti-

(^) Mécanique analytique^ 4'" partie, teciion V, $ UI, article 4S et sur tout 50.

(') Sur Vexpression analytique de Velasticité et de la roideuv des courbes à double courbure; mémoire lu le 22 août 4844, et Inséré au Journal de l'École polytechnique, tome X ou 40* cahier, 4845, p. 448. Il y donne des équatloni où entrent des forces s'opposant aux changementg respectifs de la longueur, de la courbure des tiges, et de TinclinaisoD mulueUe de leurs plans osculateurs. Il y fait, le premier, la remarque que l'analyse de Lagrange ne saurait s'appliquer à un ressort en hélice, car la torsion est autant eu jeu que la flexion dans sa résistance élastique i une force qui l'allonge ou raccourcit.

(') Sur les lignes élastiques à double courbure; tome lU, n° III, de Jaoyier 1846, p. 355-360.

(*) Tomel, n"346 à 348.

HISTORIQUE. CXXXJ

vement redilîgne^ etoù saseclion a utiejforiiieMo/rope(n«XVf]oti dont tous les liiometiU d' inertie sont principaux et égaux autoul* de droites tracées dans son plan par son centre (conime les sections circulaires, Carrées^ eto.)\ Dans tout autre cas, c'est-à-dire quand la tige était primitivement courbe^ ou bien quand ses sections sont hétérotropes (comme le rectangle^ Tellipse etc.)^ les forces oht nécessairement, lorsque Téquilibre est établi^ un troisième moment ou couple composant, s'exerçant autour de la droite qui est perpendiculaire à la fois à la tangente à l'axe et à la normale à son plan dsculateur, c'est*^-dire aui(rtxr du rayon de courbure de Taxe ou fibre moyenne courbe de la tige fléchie et tordue (^) }

(^) En effet, quand une tige naturellement droite a une section de l'une des Formes Uôtropes^ t}ul sont les sëulet k>our lesquelles le plan de fleiion coïncide t?ee le plan dn niometat des foreet qui tendent â fléchir (a* XVI oi-dessus), si l'ôii décompose le moment de toutes les forces autour d'un point quelconque de l'aie de la tige, en deux autres, dont l'un s'exerce autour de cet axe, l'autre moment, qni sera le plus grand autour de droites perpendiëdlairea ati diéiiie aie, opérera ooe flexion dmu ion plan même, et ce plan se trouvera être ainsi, en cet endroit, le plan oscillateur de la courbe de l'axe fléchi. Mais il en sera autrement si l'axe do la tige avait primitivement une courbure, car elle se composera en chaque point avec la courbure nouvelle imprimée dans un plan généralement différent; ou bien ai, d'après la forme hélérotrope*de la section, la courbure imprimée Test dans un autre plan que celui de ce deuxième moment qui la produit. Si nous représentons par Hx, My, Mg les moments, autour des parallèles aux coordonnées s, y, z menées après la flexion par un point {x, y, z) de l'axe ou de la fibre moyenne, des foreet qui aglHent depuis ce point Jusqu'à une des deux extrémités de la ijge* par Mu, HpfHt, les moments des mêmes forces 4* autour de la normale n au plan osculateur, 3" autour au rajon de courbure p, 3* autour de l'élément d* de rare t de la courbe, nous aurons, en appelant X, îr, Z les projections, sur les plans yz, zx, xy, du parallélogramme de contingence formé sur deux éléments eonaéeolifs ds, de + d*s, c'est-à-dire en faisant

dydfe — dzéPy = X, dzd^x — dxd^z = Y, dxd^y — dyé^x = Z,

et d'après les valeurs connues des cosinus des angles faits avec les trois coordonnées par fi, p et <if :

dX p dx dx

(f«3 ds ds r de

pZ P dz dz

ds^ ds ds 9 ds

Quand la tige élastique est pHiiiiUlfemetit droite et quand sa «eeliott est Iso-

CXXxij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

et rillustre géomètre omet de tenir compte de ce moment. Poisson arrive en conséquence à ce résultat, donné comme un théorème général : a Que le moment de torsion est constant d'un bout à Tautre de la tige en équilibre b , ou, plutôt, de chaque portion de cette tige où il n'y a que des forces pouvant être censées appliquées à son axe ou fibre moyenne (comme la pe* sauteur), ou, autrement dit, de chaque portion comprise entre des sections où peuvent s'exercer des forces dont la résultante est appliquée* à une distance finie de cet axe par l'intermédiaire d'un bras de levier. Mais ce théorème n'est vrai que dans le même cas particulier de tige primitivement droite et de section isotrope ou d'égale inertie en tous sens, pour lequel les équations de Poisson sont complètes et le moment autour du rayon de courbure est nul à l'état d'équilibre définitif. Pour tout autre cas, le moment de torsion est variable; sa dérivée, par rapport à Parc de la courbe d^axe, est égale au quotient, par le rayon de cour" bure après la flexion, du moment des forces autour de ce rayon ; théorème aperçu par Wantzel en lisant une de nos notes, et qui doit remplacer celui de Poisson, pour chaque portion de tige définie et limitée comme on vient de dire ('}•

tropeou d'égale inertie, la flexion n*a liev, comme on Tient dédire, que dans le plan du plus grand moment des forcofi autour des diTerses perpendiculaires â son aie ou i sa fibre moyenne; en sorte que Mp=o ; et il faut effacer les seconds termes des premiers membres de ces trois équations, qui ne sont alors autre cbose, aux notations près, que les trois équations de Poisson, numérotées (4) i l'article de la Correspondance, et (6) i la fin du n" 347 du Traité de Mécanique , car &|« est bien ce qu'il appelle le moment de torsion. Mais les termes en Mp subsistent daus tous les autres cas, et devraient figurer dans les équations que nous citonsi présentées par Poisson comme générales.

dx du dz

(') Ed eBèt, on a le moment de torsion M, = M^; -- -f My 37 -j- M» — • (notations comme tout k Tbeure)^ d'od

dx dy dz

du. = Ji^ -- -f- Myd — H- M,d ~ + ds ds ds

dx dy , dz

ds ds d»

p Lq premier trinôme du second membre, multiplié par ~, est égal à M , car

HISTORIQUE. . CXXXiij

XXI. Salte* Mtee en eampie du trolflième montent. Déplacement angulaire dm Fayon de couriMire. — Pour établir des équations générales et complètes de l'équilibre des tiges élastiques sur lesquelles agissent des forces extérieures, et qui affectaient avant cette action ou qui affectent maintenant une forme courbe non plane, il faut tenir compte de ce que les forces peuvent avoir, après la déformation éprouvée, le troisième moment dont on a parlé, qui tend à faire tourner une portion de la tige par rapport à l'autre portion autour du rayon de courbure de sa fibre moyenne au point où elles se joignent; moment dont Texistence peut provenir, avons-nous dit^ ou de la courbure primitive cette fibre, ou de l'inégale flexibilité de la tige autour de ses diverses lignes normales, qui tient elle-même à la forme non isotrope ou d'inégale inertie des sections transversales.

Alors les trois équations d'équilibre de rotation qu'il convient de poser comme les plus simples, sont celles où Ton exprime les moments des forces autour de la tangente à la fibre moyenne en un point quelconque et autour, des deux axes principaux d'inertie de la section »u même point. Gomm^ les rayons de courbure font généralement avec les axes d'inertie, après la déformation de la tige, des angles un. peu différents de ceux qu'ils faisaient primitivement, ces rayons ont éprouvé, sur le plan des sections, un déplacement angulaire, ou, ce qui revient

p -j- — repreienle tes iroff coiious des aoglcf faits par le rsyoD p avec

(S Ils

l«s ap, y, 2; et le second trinôme est nol^ cooise on le reconnaît facilement arec

H)isson par l'aoaljse (Mécanique, 4833, n* 348) on avee M. Bertrand par on rai-

•oooemenl synthétique (note lli de la nouvelle édition de Lagrange), pour chacune

des portions de tige limitées comme on a dit, ou qui ne sont sollicitées qu'à

leurs eitrémités par des forces autres que celles dont les résultantes partielles

eoupent Paie courbe. Donc

reUliOB donnée pour la première fois aui Comptes rendtês, 45 Juillet 4844« u xn, p 48S, dans une Note dont nous avions communiqué le contenu i Wantiel, qui, lé Jour même, y a ajouté ce théorème nouveau.

ci^xxiv

a^ ipéma, to§ «aplioas OQt ebangé d^orienUlion ou d'azimut P4F pappprt aux plaqs oseulateurs qui les coupent suivant ces mêmes rayons. Ga déplacement angulaire est même lié aux deux autres éléments sur lesquels nous venons d'appeler Tattpn* tion, car il a toujours lieu quand les forces ont un moment autour du rayon de courbure et quand la tige de forme non plane 4 qn^ section non isotrope (%

Ce même déplacement angulaire relatif des sections et des rayons de courbure correspondants a autant d'influence sur la flexion d'une tige que le changement de sa première courbure, seul élément considéré par Lagrange^ et sur la torsion que le changement de sa cambrure ou secoi|de courbure, ou des indipaisous mutuelles de ses plans osculateurs, introduit par Binet.

La torsion, en efTet, dans l'étendue 4'un élément de la fibre moyenne, ou la rotation relative» autour de cet élément, des dew%. sections qu'il sépare^ se cpnipo^ de deux parties, cjont Tuue est i'augmeutatiop qu'a éprouvée l'angle de cambrure

C)Qa t'en rf)Q4 compte dair^a|0Qi par deux «zemplet. Soft d'abord ud demianneau borizpntal Qu une ti^e èlastiquia mince dont la fihT9 noy^fine e^t un

demi-cercle ABA', encastrée et serrée solidement i ses extrémités A, A', et tolllcjié^ A «00 milieu B par u^ poids p. u courbe k double courbure AB|A' dans laquelle se change celte fibre moyenne aura, auprès de l'encastrement A ou A', pour projection horisontale le demi-cercle lui-mêqnef el pour projection fur un plan vertical perpendiculaire au diamètre AOA', la courbe suifant laquelle fléchlriit une lige droite hori son taie de même section et d'une longueur OB, sollicitée au bout par la moitié du poids P. Son centre de courbure, pour le point A, sera O'', pied de la perpendiculaire abaissée de A sur la lif ne de jonction 00' des centres de courbure de ses deux projections, car le carré de IMuTerse de AO" est égal i la somme des carrés des inverses de AO et AO'. li y a donc eu un déplacement angulaire CAO" du rayon dp courbure, et 11 est dA à ce que la forcop a un momejf^ autour de ce rayon AO devenu A0", indépendampieot, dans ce cas, de la forme de la section, qui pouvait être circulaire aussi biep) que rectangulaire. En second lieu, supposoi^s qu'une pièce droite très-mince, telle qu'une lame de