HISTORIQUE

formé par les deux plans osculateurs de la fibre aux extrémités de cet élément, et dont Tautre est la différence, aux deux mêmes extrémités, des déplacements angulaires qu'ont éprouvés les traces de ces plans sur les sections. Et, dans la même étendue, la flexion autour de chacun des deux axes principaux d'inertie d'une des deux sections voisines^ a pour mesure l'augmenttftion éprouvée par l'angle de contingence de la projection de la fibre moyenne sur un plan perpendiculaire à cet axe; or celt^ augmentation dépend nécessairement deTangle nouveau que fai^ le plan en question avec le pian osculateur qui contient les deux éléments .consécutifs de la fibre qu'on y projette. La flexion dépend donc aussi du déplacement angu-

fer-blaoe dont li flbro moyenne horizontale te projette en 0^ et dont les faces sont

inclinées à l'horizon, soit sollicitée, i l'eitrémité opposée à celle od elle est supposée encastrée, par une forceOP verticale et agissant par conséquent dans un sens oblique aux côtés de la section ahcd. Cette fibre fléchira, non pas dans le plan vertical de sollicitation se projetant suivaiit OP, mais dans un plan oblique se projetant suivant 00^ presque perpendiculaire aux grands côtés ab, de, d'après ce qu'on a dit page cxzj ou note du n? S3 ci -après) pour la flexion plane détnée. Or, supposons qu'au lieu d'une lame droite on ait une lame primitivement courbe dont la section encasirèe soit toujours abcd,et dont la fibre moyenne soit une courhe plane se projetant suivant la verticale OP, ayant sa tangente horizontale en 0 ; le rayon de courbure au même point O sera, après la flexion, dirigé suivant une ligne obli(|ue telle que OOi. Il aura doncéprou' Té, sur le plan de la section a5cd, un déplacement angulai^ P00| qui sera dû, dans cet exemple, non au moment M , mais à ce qne U «ec^ipp n'est pas ce que nous

appelons f sotrope, ou i la grande inégalité de ses deux moments d'inertie principaux. En général, si e est l'angle du déplacement du rayon sur une section, si I et I' sont ses deux moments d'inertie principaux, e l'angle primilif et par conséquent e+e l'angle ultérieur du rayon de courburb avec l'axe du moment 1', et E le module d'élasticité, on trouve

expression montrant bien comment lé déplacement angulaire e dépend i la fois du oionient M autour du rayon de courbure^ et de rinég^lité de I et T, qui oonsUlqe

ee que bous appelons l'hétérolropie de U section.

CXXXVJ HÊSISTANCE DES SOLIDES.

laire qu'a pu subir, sur la'section, la trace du plan osculateur; c'est-à-dire le rayon de la courbe non projetée (^).

Il en résulte qu'une tige courbe peut éprouver une flexion ou une torsion considérable sans que ses courbures ou sans que la forme de la fibre moyenne changent aucunement. 11 suffit pour cela que ses sections tournent par rapport aux plans oscula^ teurs, ou que ses rayons de courbure ne passent pas finalement par les mêmes points des sections que primitivement (').

Toute analyse dans laquelle on voudra embrasser le cas le plus général de double courbure et de sections quelconques, et

(1) Si c est le déplioement aoguUIre, ou si, « étant l'angle fait aTce un des deux

axes principaux par le rayon de courbure primitif po» e-f e est l'angle que fait

cos t ooi it 4- e) areo le même axe principal le rayon noufetu p, Von a </« et ^ <f«

pour les angles de contingence primitif et ultérieur de la projection de la fibre mojenne sur le plan passant par cet axe a'inerlie et par rélémeni tfa de la fibre ; en sorte que la flexion autour de l'autre axe principal de la section correspondante, rapportée à l'unité de distance, est

et la flexion autour du premier axe est, de même

yin(e-f-c) ^ sinf

ce qui donne

VF

4 Scose 4

P» ppT p7

pour la flexion résultante» égale i la racine de la somme de leurs carrés, et non

4 4 pas comme Tout cru d'illustres auteurs.

P Po

Et, quant i la torsion, ou i la rotation d'une section devant la précédente autour de la tangente, rapportée i Tunilé de leur distance ds, elle est, d'après ce que nous aTons dit des deux partie dont elle se compose

• 4 1 de

et non pas seulement - ; tt» et v étantlesrayonsde cambrure avant et après

de de la déformation, ou — , ~ étanties angles primitif et ultérieur des deux plans osou-

lateurs en deux points Toisins distants de d$. (*) Par exemple, si l'on fléchit une tige en arc de cercle ABC de manière à latrans-

HISTORIQUE. CX?LXVij

OÙ l'on fera entrer les rayons de première et de seconde courbure, devra donc contenir aussi le déplacement angulaire dont nous parlons.

On ne pourra se passer de sa considération pour obtenir la forme finale de la fibre moyenne que dans les cas où il sera possible de se passer aussi de la considération des courbures^ et de déterminer cumulativement ce qui vient à la fois de ces deux sortes d'éléments, à savoir les rotations, les unes relativement aux autres, des sections, ou plutôt de leurs éléments centraux puisqu'elles ne restent généralement pas planes.

C'est heureusement ce qui peut se faire dans le cas le plus usuel, celui des très-petits déplacements^ où l'état nouveau de la tige est peu difTérent de l'état ancien, si ces déplacements n'influent pas sensiblement sur les grandeurs des bras de levier des forces qui font fléchir. Nous sommes parvenu, en 1843, à la suite de longs calculs où -s'est trouvée comprise l'intégration de trois équations difiTérentielles simultanées du troisième ordre non linéaires (^], à trois formules très-simples fournissant finalement, par des quadratures, les petits déplacements des points de la fibre moyenne d'une tige de forme quel-

former en an second are A'BC' de même rayon et ayant, avec le même point mi- ^. ^ lieu B et la même tangente en ce point, sa cour-

^ ' bure dirigée en sens opposé, et si, en malmenant

la tige dans son état nouveau, on la ramène en AEG par une demi-révolution autour de la tangente, elle sera restée fléchie, car ses fibres primitives les plus V longues seront devenues les plus courtes et récipro- ^ ^ quement, et cependant sa fibre moyenne sera revenue

i sa situation première. Et le même effet de flexion aurait pu être obtenu sans changer cette situation ; il suffisait pour cela de faire tourner simultanément les deux sections extrêmes A,C d'uno demi^circonférence autour de leurs centres, en contenant les sections iniermédiaircs entre des anêts qui les empêchent de s'écarter latéralement sans les empêcher de tourner. Cette flexion tient à ce qu'il y a eu dépUtcemerU angtdairê relatif des rayons et des sections, et il s'élève dans ee cas à deux angles droits.

On obtiendra de même une torsion, aussi considérable qu'on roudra, sans aucun changement de la seconde courbure ou des inclinaisons mutuelles des plans oscuiateurs, en fixant une des deux sections extrêmes d'une tige à double conrbare ainsi contenue latéralement, et en faisant tourner, autour de son centre, l'autre section exuême, qui aura ainsi changé d'orientation ou d'aximut, comme toutes les sections intermédiaires, par rapport aux plans oscuiateurs ou aux rayons de première eourbure.

(>) Mém. da 30 octobre 4843, Complet remUui^ t. XVII, p. 953.

CXXXViiJ RÉSISTAIICB DES SOLIDES.

conque (^) ; elles ne contiennent plus ces angles et ces rayons que nous avions fait entrer dans; notre analyse pour y arriver. Elles comprennent et redonnent celles de Navier relatives aux pièces courbes planes quand on néglige les extensions et les glissements dont il ne tenait pas compte (*) ; et nous les avons appliquées à divers exemples de flexion et torsion d'un anneau par des forces perpendiculaires à son plan, et d*un ressort en hélice par des forces parallèles à son axe (').

Nous avons dit^ alors, qu'elles pouvaient être vérifiées et établies directement, en remarquant que leurs divers termes représentent de petites rotations des éléments de la tibre moyenne autour des axes coordonnés en vertu des forces extérieures. Cet établissement direct a été effectué par M. Bresse^ qui a con^ sidéré et composé ensemble les effets des rotations relatives^ non de ces éléments linéaires^ mais des sections auxquelles ils étaient primitivement normaux (^), comme il avait fait pour la flexion plane dans son ouvrage sur les pièces courbes. Ses formules reviennent aux nôtres de 1843, car on les obtient immédiatement de celles-ci si l'on fait une intégration par parties et si l'on compose ensemble en une flexion unique^ autour d'un axe à déterminer^ les deux flexions que nous préférons toujours prendre séparément autour de deux axes connuSy savoir les axes principaux d'inertie des secticms. On doit à M. Bresse d'autres formules basées sqr le même principe pour évaluer directement les rotations totales éprouvées par une quelconque des sections {^)y ce qui permet ordinairement d'exprimer les conditions d'encastrement, de raccordement^ etc.^ et de trouver la situation finale des points de la tige hors de sa fibre moyenne, d'une manière plus simple que par la considération^ toujours sûre, des deux courbures et du déplaceipent angulaire des rayons de la première sur les sections.

Mais lorsque les déplacements des points de la tige sont

(1) Hém. du 6 DOT. 4843, et note du 4" Juillet 4 844. Comptes rendue^ l. XVII, p. 4034, et XIX, p. 45.

(*) Héme mémoire de 4843, p. 4033. (>) Idem, p. 40S6 à 4034.

(^) Cours de Méc.appl. Résisl. des maiériaui. 4 859, p. 86.

(>j Idem, p. 94. Les formules de M. Bresse soni à modifier en ce qui regarde la torsion quand les sections ne sont pas circulaires; et, vu la courbure que les sections prennent, les rotations obtenues sont seulement eeHes de leurs étéments centrapx

HISTORIQUE. CXXXiX

grands^ en sorte que sa forme change considérablement, comme dans les cas de simple courbure traités par Ëuler et déjà par Jacques Bernoulli (ce qui peut avoir lieu sans altération de l'élasticité si la tige est miqce), les rotations de ses diverses tranches ou sections successives ne peuvent plus être composées ensemble par simple addition, et il faut renoncer à cette simplification et aux formules qui en résultent, qui cessent encore d'être applicables lorsque les déplacements, bien que petits, ont une grande influence sur les bras de levier, comme dans Je cas des pièces chargées debout ou très-obliquement^ et qui peuvent être en même temps sollicitées par un couple qui donne une double courbure. Le problème de la détermination des changements sensibles que peut subir ainsi la forme des tiges a été ramené aux quadratures par M. Binet, et ensuite plus simplement par M. Wautzel, mais seulement pour le cas de tiges primitivement droites à section isotrope, où nous avons dit que les trois équations différentielles se réduisent à celles de Poisson, et en supposant que les forces n'agissent qu'aux extrémités et que la section soit constante. L'intégration dépend alors des fonctions elliptiques (']. On peut aussi résoudre le problème, et d'une manière simple, quand la tige, ayant une section même non isotrope, mais constante, a pour forme une hélice primitivement et finalement {*) ; et il serait résoluble sans doute encore, en tirant parti d'une remarque de M. Kircbhoff, pour divers cas où la forme primitive serait une de celles dans lesquelles une tige droite à section constante et isotrope est changée par

(1) La note de M. Binet se trouve aux CompUi renius^ 47 juin 4844, t. XVili, p. 4445. Il exprimait les inclinaisons de la tangente par des fonctiOBi elliptiques^ et lec coordonnée! par des quadratures pius compliquées. Mais Wanizel, le 34 du même mois {idemy p. 4497), en prenant pour aie d'une des coordonnées la ré* •ulunte des forces, simplifie et ramène tout aux fonctions elliptiques, même quand il 7 a, avee la résultante, un couple perpendiculaire, qu'il a rétabli sur une observation de U. Binet. (Voir aussi la note de M. Bertrand i la nouvelle édition de la Mécanique analytique). Il serait curieux d'étudier les intégrales, réduites au besoin en série, et d'en tirer un classement des courbes élastiques à double courbure provenant d'une tige primiiivement droite et isotrope, comme a fait Eoler pour les courbes planes.

O Complet rendus^ S novembrs 4S43, t. XVII, p. 40S9, cl surtout 46 juillet 4844, t. UX, p. 486.

CXl RÉSISTANCE DES SOLIDES.

des forces qui agissent à ses extrémités (']. On ramène eocoro aux quadratures le cas d'une tige primitivement droite à section isotrope, mais variable graduellement, sollicitée seulement par des couples qui coupent sa fibre moyenne primitive sous un angle constant, ce qui embrasse le cas plus particulier d'une tige droite â section constante sollicitée par des couples â ses extrémités seulement, et pour lequel Wantzel a trouvé que la forme finale est une hélice; ce qui a également lieu si la section et le couple variables se trouvent dans un rapport tel que le moment de torsion soit constant. Ce résultat généralise celui d'Euler relatif aux tiges droites, qu'il a Reconnues prendre constamment la forme d'un arc de cercle sous l'action d'un couple quand la courbe dans laquelle il les change est plane.

Pour les cas de déformation considérable que nous venons d'énumérer, la forme définitive de la fibre moyenne peut être trouvée sans considérer l'orientation ou l'azimut des sections sur les plans osculateurs quand la tige n'est encastrée qu'en un seul endroit; mais il faut la considérer si la tige est {assujettie en un second point où la section doive observer, comme à celui d'encastrement, une certaine polarité, ainsi qu'il arriverait si une tige à section carrée devait, quelque part, passer par un trou carré de même dimension que cette section. Et il faut déterminer cette rotation des sections de toute manière pour connaître ce que deviennent les points hors de la fibre moyenne, ou avoir l'état final complet de la tige et pouvoir calculer sa résistance.

(1) M. Kirchboff remarque, en effet, qu'alori oa peut faire subir i la tige une première déformaiion qui la reclifle^ et partir de li pour arrirer i la forme

finale. (Ueber dat Gleicbgewiebt , Sur F équilibre et te mouvement d^une tige

infiniment mince f au Journal de Orelle, t. LVl, p. 308; et ▼. j4pp. compl, p. 846).

Le même illustre profeiseur, à la suite d'une analyse sur laquelle-nous refiendrons au o* XLl, qui offre plusieurs points d'analogie avec celle du problème de la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe (voir V Appendice eomptémentaire ei- après, p. 848) a remarqué que le problème statique de rèquilibre d'une tige mince se résolvait dans les' mêmes cas que le problème dynamique, en remplaçant l'élément dt du temps par l'élément de de la fibre moyenne de 11 tige, et deux des moments d'inertie principaux du corps par les moments d'inerUe principaux des sections de la tige. Comme le problème dynamique ne se résont que quand le solide est de révolution, le problème statique ne se résoudrait par cette analogie que lorsque la section a ses deox moments d'inertie égaux, c'est-à-dire dans le cas traité en 4844 par Biaet et Wantxel.

HISTORIQUE. CXlj

XXII. Mécaniqive moléevlatre. Mewton. Ba^co* Tieh. Clalravt. liAplaee. Poiflflon et Mairlcr (pour la PLAQUE iLastique d abord). — Mais à toutes ces recherches fondées sardes hypothèses dont rien n'avait justifié encore Tapproximation^ et dont plusieurs même sont entachées d'erreurs heureusement sans influence ordinairement quant aux flexions^ devait succéder un jour quelque chose de plus exact et de plus en rapport avec la manièi'e dont la mécanique s*est constituée comme science ^^om^/rti^, ou intimement liée à celle de l'étendue.

Longtemps elle ne s'est occupée que de poids ou d'efforts agissant d'une manière un peu vague sur les parties de divers appareils. Hais, plus tard, tout y fut mathématiquement déterminé : les efforts complexes furent géométriquement décom- .posés et remplacés par des forces partielles ou composantes; chaque force partielle eut une ligne unique pour direction; elle eut par conséquent un point d'application ou sur lequel elle agit; et la doctrine de l'action au seul contact venant à perdre faveur et à céder la place^ sous l'empire des faits^ à celle de l'aotion à distance que les anciens avaient déjà entrevue, chaque force eut nécessairement aussi un point dont elle émane ou dont elle tend a rapprocher ou éloigner l'autre. Les forces naturelles n'agissent en effet sur les corps que par d'autres corps. On ne juge môme que l'un d'eux commence ou cesse d'éprouver telle ou telle action qu'eu voyant d'autres corps le presser, le heurter^ le quitter, en un mot changer de position par rapport à lui ; en sorte que, dans l'ordre matériel, l'idée d'une action déterminée sur un point est pour nous inséparable de l'idée de situation relative, ou de distances à d'autres points (*).

{}) Ce n'est pas ici le lieu de dèrelopper la remarque que la loi ^inertie, aioai esprimée : « la vitesse possédée par un corps ne change que quand une cause étrangère vient produire son cbaugement,» ne fait qu'exprimer le principe de cansalitè^ ou, ce principe étant admi», que celte identité: « la vitesse ne change qne quand elle change ; i» A moins qu'on ne base consister ce que cet énoncé a d'essentiel dans la qualité d^élrangére exigée pour la cause. Or, cette cause étrangère survenue ne peut être, pour nos sens, ou hors des profondeurs de la métaphysique, qifun changemeni de iUuation éTautreê corps relativement A eelul doot MUS nous occaponi. Les changements de vitesse, ou oe qu'on appelle au- ]oard*hul les accêlération$y elTcts sensibles des forçais que la science moderne a

CXli RÉSISTANCE DES SOLIDES.

£t Newton ayant appuyé de preuves le principes de l'égalité et de ropposition directe d'une réaction à toute action, tous les phénomènes du monde physique furent désormais expliqués par des attractions et répulsions mutuelles de points matériels s'exerçani dans les directions de leurs lignes de jonction deux à deuXf avec des intensités et un sens dépendant des distances qui les séparent y car il est. bien manifeste que l'action n'a pas la même grandeur quand ils sont éloignés que quand ils sont proches, que les très-petits changements de la distance n'en produisent que de très-petits aussi dans cette grandeur ou intensité, enfin que les points très-voisins, tels que ceux qui semblent contigus, se repoussent quand on les approche davantage eu les pressant Tun vers l'autre, et s'attirent ou s'entraînent mutuellement, lorsqu'ils font partie d'un même ensemble et qu'on fait effort pour les écarter. Les liaisons mêmes des di- ' verses parties d'un corps devaient être finalement ramenées à de pareilles forces, qu'on était au reste obligé toujours de leur substituer quand il s'agissait d'exposer la mécanique des sys-* tèmes. Dès lors les abstractions purent être bannies, et l'on conçut mieux ce qu'il fallait entendre par la dureté, Timpénétrabilité, etc., et, aussi, par ces forces fictives appelées des résultantes de forces non concourantes ou appliquées à des points différents d'un même système de points.

Vainement cette grande loi des actions réciproques fonctions continues des distances est-elle contestée de temps en temps par des auteurs qui veulent repousser quelques-unes de ses conséquences. La rejeter nous semble supprimer la mécanique en tant que science mathématique, et tomber inévitablement dans des contradictions, car pour peu qu'on sorte du domaine de l'empirisme pur et qu'on présente quelque théorie, on l'invoque toujours, ail moins tacitement, qu'on s'en aperçoive ou non (voyez Appendice V) ; et, ici comme toujours, le scepticisme embrassé systématiquement conduit à un dogmatisme plus arbitraire que celui qu'on a voulu éluder.

coDiiDué de faire iDleryenir dans les calculs des effets, dépeDdent doocdes distances mutuelles des poioli des cotps; eti sorte que II loi invoquée par nous rerieùdrait i celle d'inertie, que tout le monde Invoque.

filSTORIQUE. , Cllllj

li^wton, après l'avoir merveilleusement appliquée aux mouvements des corps célestes, que de grandes distances séparent, a indiqué son cfxtension aux dernières particules situées à des distances muitielies imperceptibles, comme pouvant rendre compté des phénomènes terrestres^ tels que les combinaisons chimiques, la cohésion^ la capillarité ('), enfin la réflexion et la réfraction de la lumière ('); et, dans deux passages ('), il parle du changement des attractions en répulsions^ mais sans dire dans quelle circonstance ce changement peut av.oir lieu.

En 1743, un physicien nommé Goui*n Knight, cité par son compatriote Robisôn (*), faisant revivre cette grande idée^ tenta d'expliquer la cohésion, le magnétisme, Télectricité, etc. , par des forces d'attraction entre certains atomes en y joignant des forces de répulsion entre d'autres.

Mais^ ainsi que le même Robison le reconnaît^ ce fut le célèbre P. Boscovich qui^ en 1755, donna sa vraie forme à cette dualité de causes, prise comme base des explications (^). Il y fut conduit par ses réflexions sur la lot de continuité^ qui se trouvait mise en cause dans la dispute sur les forces vives et sur la communication du mouvement par le choc. Dès 1745^ il disait C^) que la force répulsive^ prouvée par réiasticité et les vibrations, s'oppose à la contiguïté des particules des corps, etc., et son observation intelligente des faits l'amenait à professer qu'il n'y a pas^ dans la nature, de corps rigide, ni de verge inflexible ou inextensible, ni d'appui absolument flxe, ni de force agissant instantanément, pas plus que de force simplement ré-

(') optique, Question XXXI et deroiëre.

(-] Principes, livre 1, U* section, propositions XCIV à XCVIlt.

(>) optique, ffiême Question ; p. 569 et 579-5S1 de ia traduction de Goste; in-4% deuxiènoe édition, 4723.

(^) A System ofmechanical Philoaophy. Edinburgh, 4822, n^âô^, t. I, p. 266.

(') De lege virium in nalurâ exislenlium disserta^ioy babila in coliegio i-omano a patribut Soc. iesu, 4 septembris 4765. Et ensuite : Fhiiotophia nattiralis iheoria ad unicam lefem virium in naturd existenlium reducla, V édition. Vienne, 17SS et 2«, Venise, 4763.

(S) jOe viribut vivis distertatioy au tome II" des Commentaires J)c Bononienti . êeieniiarum et artium instiiuio atque academtd, p. 289. Il l'exposa plus amplement en 4748 et eu 4754 dans ses dissertations De lumine et De continuitatis /eye et eju$ cmuectariis.

CXlVJ RÉSISTANCE DES SOLIDES,

Tient du changement du plan en une surbce courbe, parvint pourtant à une équation différeniielie indéfinie du quatrième ordre, d'une forme exacte, mais dans les coefficients de laquelle l'épaisseur de la plaque n'entre qu'au carré tandis qu'elle devrait entrer au cube.

Navier, après ses beaux travaux sur les lames ou les tigeâ conçues comme composées de fibres qui s'allongent ou s'accourcissent, devait naturellement passer à des recherches sur les plaques, où il y avait à considérer des changements de deux dimensions à la fois.

Son analyse relative à ces sortes dé solides (^) fut plus complète que cel9de Poisson, et presque exacte [voyez n* LlX), car en supposant, ce qui est très-approximativement vrai , que les lignes matérielles menées primitivement dans une direction perpendiculaire aux deux faces de la plaque restent normales à tes faces devenues courbes, il tint compte de changements de distance moléculaire bien plus considérables que ceux quV vait calculés cet illustre géomètre, savoir de ceux qui résultent de ce que les deux faces extérieures, et les }51ans intérieurs qui leur sont parallèles, s'étendent du côté devenu convexe et se contractent du côté devenu concave. Aussi l'épaisseur entret-elle au cube, comme elle doit le faire, dans les coefficients de son équation différentielle indéfinie, ainsi que dans ceux des équations définies au contoilr, qu'il donne pour la première fois [voyez idem), ce qui lui permet de présenter de remarquables solutions de plusieurs problèmes particuliers.

Ce mémoire sur les plans élastiques, du 14 août 1820^ bien que peu connu et n'ayant été Tobjet d'aucun rapport^ signale cependant une remarquable époque, car, non-seulement, par la hianière dont son auteur calcula le moment virtuel total des actions qu'exercent sur chaque molécule toutes celles qui l'environnent dans l'étendue de sa sphère d'activité, son auteur préluda à

^mtÊmmmmÊb

(<) Recherches sur la fl^on d^ plans élastiques; présentées le 44 août 4890 (et dont plusieurs membres de l'Académie reçurent des copies lithograpbiées). Il n'en a été publié qu'un extrait auSiUUtin de la Soc» phil, pour 4823, page 99.

mSTORIQfJE. CXlvIj

sa brillante découterte de l'année suivante dont nous allons par- 1^^ mais encore il fut l'occasion principale de celles de Gaucby sur b théorie des pressions dans l'intérieur des corps solides et des travaux ultérieurs de ce grand analyste sur le même sujet.

XXIII. Fondation de la théorie générale de rélastlelté. NaTler. — Ce fut. le 14 avril 1821 que Navier présenta son célèbre Mémoire sur les lois de V équilibre et du mouvement des corps solides élastiques (*), qui a fondé la Mécanique moléculaire ou la théorie générale de l'Élasticité.

En considérant qne les actions intérieures sont en équilibre^ ou se détruisent sur chacune des molécules avant les déplacements relatifs que des forces extérieures font éprouver à cellesd, Navier se bornait à calculer les augmentations et diminutions que ces actions subissent. Il leur attribuait^ par une sorte d'extension du principe de Hooke et de Mariette (n*" IV)^ des intensités proportionnelles aux petits A^angements des distances mutuelles moléculaires, et aussi à une fonction de ces distances, d'une valeur sensible seulement pour des distances imperceptibles. Entre ces actions il posait les équations de l'éqtii- . libre sur une molécule^ en exprimant son changement de distance à une quelconque de celles qui l'environnent, au moyen des trois coordonnées nouvelles de celle-ci, exprimées ellesmêmes par des développements de Taylor à trois variables, qui sont les trois projections rectangulaires de la distance primitive, et dont les puissances et produits du premier et du second ordre sont affectés par les dérivées des mêmes ordres des déplacements moléculaires par rapport aux coordonnées. Comme on peut, en formant les trois sommes de composantes rectangulaires des actions de tontes les molécules sur une seule, faire passer ces dérivées hors du signe de sommation ou d'addition 2 ou S, vu qu'elles sont sensiblement les mêmes, par * hypothèse, pour toutes les molécules comprises dans une

(«) Tome vu dM Mémovrûê et VimUtul.

CXlviij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

portion imperceptible du corps, les trois équations d'équilibre indéfinies, ou à satisfaire pour tous les points du corps, sont assez faciles à établir (*). Il ne reste plus qu'à déterminer les rapports mutuels des coefficients constants représentés par les diverses sommes 2 ou S dégagées ou débarrassées comme on vient de dire^ c'est ce que fait Navier en les (invertissant en in-

OU sphériques pour le seul cas de ces solides que Gauchy a nommés isotî^opes parce qu'ils offrent la môme élasticité en quelque sens qu'on les envisage ou qu'on les tourne autour de chacun de leurs points. Les coefficients à déterminer au moyen de l'expérience se trouvent ainsi réduits de quinze à un seul par la nullité reconnue de neuf d'entre eux et l'égalité démontrée de trois autres au triple des trois derniers, égaux entre eux comme sont ceux-ci.

Mais il falJait, en outre, obtenir les équations d'équilibre définies^ ou relatives aux limites, c'est-à-dire à la surface-enveloppe du corps élastique considéré.

Navier y arriva par une belle application^ sous une forme nouvelle^ de la méthode de la Mécanique analytique de Lagrange qui a, comme on sait, l'avantage de donner à la fois ces deux sortes d'équations, et qu'il avait déjà employée au môme usage pour le problème de la plaque; méthode qui, à peu près abandonnée depuis en France, revit avec avantage dans les travaux publiés à l'étranger, depuis trente ans. Pour cela, en posant ('] l'expression du moment ou travail virtuel de l'action de deux molécules, il en déduit ce qu'on appelle aujourd'hui le potentiel de celte action^ c'est-à-dire le travail fini dont elle est capable, ou la quantité dont la variation ou différentielle par fi donne le travail virtuel élémentaire en question; puis, après avoir composé la somme des potentiels de toutes les actions, sur une même molécule, de celles qui se trouvent dans sa sphère

{>) voyez Appendice V, § 6», p. 694.

(>) Voy. le commencemeot du § 86 à V Appendice complémentaire ri-aprèi, p. 796, où Ton a complété cl généralisé l'analyie de Nivinr.

nisTORiQUE. cxHx

d'activité, et expriné, par suite, la somme de ceux des actions intérieures pour tout le corps, il en égale la différentielle par 8 à la somme, pri^e en 3Îgne contraire, des travaux virtuels des forces extérieures motrices, en y joignant ceux des forces d'inertie s'il y a mouvement, ce qui revient à chercher les conditions du minimum de la somme des potentiels de toutes ces forces. Les intégrations par parties, suivant la méthode connve, lui redonnent, par les termes restés sous le signe d'intégration triple, les trois équations d'équilibré indéfinies déjà obtenues d'une autre manière ; et les termes sortis de ce signe, ou restant affectés seulement d'intégrations doubles, facilement transformables en inté^grations simples relatives aux éléments de la surface-envdoppe, luf fournissent les trois équations d'équilibre définies ou aux limites, à satisbire pour les points de cette surface.

Celles-ci sont particulièrement dignes de remarque, car elles comprennent implicitement, dans leurs divers groupes de termes, les formules exprimant ce qu'on a depuis appelé les preisûms ou tensions, forces élastiques. Aussi, bien que Navier n'ait point parlé de pressions dans les solides, nul n'est arrivé plus loin que lui quant aux conditions d'équilibre et aux équations du mouvement des solides élastiques isotropes ou d'égale contetture en tous sens, quand ils sont supposés se trouver avant les déplacements de leurs points dans l'état naturel (^) oii aucune force extérieure n'y agissait.

XXIV; Svite. Fresnel. — De la même époque datent les mémorables travaux, sur la lumière, de ce grand physicien, et notamment Texplication qu'il a donnée des phénomènes, de la double réfraction par le jeu des actions mutuelles des molécules du fluide éthéré, qu'il regarde, ainsi que Navier, comme proportionnelles aux changements trës«petits qu'éprouvent, à partir de l'état d'équilibre, les distances mutuelles de ces molécules, nécessairement séparées les unes des autres y car, comme il le montre très-bien, si elles se touchaient ou si elles formaient

;*) Appendice I, $ Si, p. 560, et App, complémentaire ^ $ 80, p. 771 .

cl RÊSISTANG« DES SOUDES.

f^v leur ensemble une matière contioue, elles m pourraient pas propager^ par une sorte de frottement de tranches parais lèles, leurs vibrations, qui ne sont lumineuses que lorsqu'elles ont des directions transversales ou perpendiculaires au sens de propagation (comme Tont prouvé ses expériences de non«>inter<« férence de deux rayons polarisés à angle droit). Ce qu'il y a d'étonnant, c'est que malgré plusieurs erreurs, et quoique Fresnel ne calcule que les réactions qui sont opposées en di* vers sens au déplacement d'un seul point du milieu éthéré de la part de ceux qui l'environnent, considération insuffisante, et malgré plusieurs autres défectuosités de sa théorie, il en déduit des conséquences qui sont exactes, ou du moins extrêmement approchées, et dont plAsieurs étaient imprévues, et, depuis, ont été merveilleusement vérifiées par des expériences délicates. On peut l'attribuer à la grande force d'intuition et on pourrait dire de divination de l'illustre ingénieur-physicien; %t aussi, sans doute, à ce qu'il y a entre les quantités qui varient d'une manière continue suivant les trois dimensions de l'espace, et qui sont susceptibles de ^e composer et de se décomposer géométriquement; telles que les petites réactions dont nous ve* nous de parler, et telles aussi que les pressions, les dilatations, les moments d'inertie, les courbures, etc., certaines relations gé*nérales, dont Fresnel a donné un des premiers spécimens, et qui se retrouvent à peu près sous les mêmes formes dans des recher* ches sur des sujets très-différents, au moins lorsqu'on se borne aux approximations linéaires ; d'où il suit que les résultats de raisonnements faits sur l'une d'elles peuvent convenir à d'au* très qu'il eût fallu plutêt considérer.

Nous ne pensons pas pour cela qu'on doive attribuer à Fres-* ne), non plus qu'à Ampère, qui a présenté à oe sujet quelques considérations élevées, l'invention de la théorie de Pélasticité, qui, après Navier, doit être regardée coname appartenant h Cauchy,

XXV. Suite. Théorie des pressions dans les solides. Dilatations en divers sens. Cauehy. — Ce

grand analyste, en effet, n'attendit même pas les publications du mémoire de Navieir^ d'avril 1821, et de celui de Fresnel,

HISTORIQUE. Clj

dont la première cormnuaication à rAcadémie psX du SO novembre de la même année, pour entrer dans cette carrière où il devait laisser de profondes traces de son passage. Le mémoire d'août 1820 sur les plans élastiques suffit pour éveiller son imagination inventive. Gaucby remarqua, dans une Npte lue à TAcadémie le 30 septembre 1833 (*), que Navier y ^vait cousidéré entre les points matériels deux espèces de forées, les unes développées par l'extension du plan moyen de la plaque, e^ dont il exprimait le moment ou travail virtuel comme avait fait Lagrapge pour une simple membrane, sans l'affecter d'aucun coefficient constant dépendant de la nature ou de l'élasticité 4^ la matière; les autres, développées par la flexion qui consiste dans les écartements des molécules du côté devenu ponvexe et les rapprochemeuts. du côté devenu copcave, icelle$-ci calculée^ plus rationnellement de manière que )eur expressiou ^e trouve finalement affectée d'un coefficient d*é)asticité repré-r sentant la valeur inconnue, et déterminable par l'expérience» (l'une intégrale définie comm^ on a dit. Les dernières forces étaient comme les premières, quant à Leurs i^irectiops, perpendiculaires au^ faces taillées normalement à la plaque, ce qui venait de Thypothèse permise, n^ais simplemcp^ approxjmar tive, de la conservation de la nprmalité de ces faces. Or Cauchy observa a que ces deux espèces de forces pouv^ent être réduites à upe seule, qui devait s'appeler tension ou pression, étant de même nature que«la pression d'up fluide fsn repos.. .,)> à Texception qn'elle pisut être oblique aux faces sur lesquelles elle s'exeras^ et qu'elle est, par conséquent, généralement inégale fisfis les diver§ sens ou sur les diverses faces se croisant en un même point de Tintérieur d'un corps.

Tel fut le point de départ de la théorie générale des pressions ou tensions dans des corps quelconques solides ou fluides, élastiques ou mous, en repos ou animés d'un mouvement intérieur. Leurs grandeurs sur diverses petites faces ayant leurs centres .ep un même point ont entre elles des relations régies

(*) Celle DOle, parafée parle fecrèuire perpétuel à la date ioJiquée de 4823, a été inpriBée an BulUUn de Ui SceiiU f^ionufHèùpie de)anTier 4S23, page 9.

clij résistance: des solides.

par ces deux théorèmes très-généraux dus à M. Cauchy : 1* La pression sur une face est résultante des pressions que supportent ses projections rectangulaires ou obliques sur trois plans quelconques passant par son centre. T Quand deux faces qui se coupent rectangulairement ou même obliquement ont le même centre et la même superficie, la pression sur Tune, décomposée dans un sens perpendiculaire à Tautre, est égale à la pression sur celle-ci décomposée perpendiculairement à cellelà (*); théorèmes qu*il ne faut point confondre avec ceux de même forme, presque évidents, qui ont été aperçus et employés par Fresnel, car ceux-ci ne sont, comme on a dit, relatifs qu'aux forces qui tendent à ramener à sa position d'équilibre un point unique qu'on en a écarté.

Le second réduit à six les neuf composantes, en un point quelconque, suivant les directions de trois coordonnées rectangles, des pressions sur Tunité de trois faces perpendiculaires à ces coordonnées, car il en résulte que les six composantes tangentielles sur ces faces sont égales deux à deux. Le premier permet d'exprimer, en fonction de ces six composantes, celle de la pression sur une face oblique quelconque, décomposée dans une direction aussi quelconque ( V. App. III, p. 548).

Une première conséquence est que si Ton imagine une intinité de petites faces planes de même superficie ayant leurs centres en un même point, on a des ellipsoïdes pour lieux des extrémités de droites tirées de ce "point perpendiculairement aux faces, en leur donnant pour longueurs soit les pressions que celles-ci supportent, soit les racines carrées des inverses de leurs composantes normales aux faces ('). MM. Lamé et

(*) Ilf «ont implicitement comi^ris toai deux dtnt Tindication donoèe, à It pige 40 de la Dote citée du 30 septembre 4899, d'une relation entre la preision sur un plan quelconque et les pressions sur trois autres plans, et d* une première conséquence de cette relation, au bas de la même page.

Ils se trouTent démontrés tous deux à la page 48 ûesExerciceâdemathémaiiguei, deuxième année (4827), bien que le second seul y soit énoncé en langage ordinaire. Le premier n'a été énoncé que sous forme analytique, même par Poisson qui Va démontré plus tard d'une autre manière sans citer Caucbj (Mém. du 4 4 atril 4 828, au t. vni de rinstitut).

(>) Mêmes mémoires de 4893 et 4897.

HISTORIQUE. Ctlij

Clapeyron ont composé un troisième ellipsoïde en prenant pour rayons vecteurs les pressions elles-mêmes portées dans leurs propres directions. Les axes de ces trpis ellipsoïdes ont les mêmes directions, et fournissetit ce que Cauchy a appelé les trois pressions ou tensions principales ^ qui sont perpendiculaires aux faces sur lesquelles elles s'exercent, ce qui a encore.de l'analogie avec un théorème de Fresnel (F. App. comp., p. 776).

Ces théorèmes sont des généralisations de celui de Tégalité et de la normalité des pressions en tous sens, s'observant dans les seuls fluides en repos^ pourvu encore que ce soit hors des espaces capillaires ou suffisamment loin des parois qui les con-* tiennent. Cauchy, en exprimant aussi l'équilibre d'un élément parallélipipède, adonné, sous \e\À\.TQ Relations entre les premom et les forces accélératriceSf trois équations qui de même généralisent celles de l'équilibre des fluides, et dont les premiers membres, au lieu de contenir seulement la dérivée de la pression par rapport à une des trois coordonnées rectangles, contiennent les sommes des trois dérivées, par rapport à ces coordonnées, des trois composantes, suivant une seule, des pressions sur l'unité de trois faces parallèles à^celles de l'élément, et passant par son centre (F. App. III, p.* 585).

En considérant ensuite, indépendamment de leurs causes, les proportions diverses des dilatations et condensations linéaires qui s'opèrent en tous sens autour d'un même point dans un corps que l'on déforme, Cauchy a trouvé qu'un élément primitivement sphérique prenait toujours la forme d'un ellipsoïde, et qu'on obtenait un autre ellipsoïde, remplacé quelquefois par deux hyperboloïdes conjugués, en portant sur les diverses droites tracées par un même point des longueurs égales aux racines carrées des inverses des dilatations dans leurs directions. D'où trois dilatations principales^ suivant trois droites matérielles rectangulaires entre elles. Ces droites sont en chaque point les seules qui restent perpendiculaires aux plans matériels qu'elles coupaient déjà primitivement à angle droit ; toutes les autres ^y inclinât un peu, d'où il suit que généralement deux petites faces parallèles et proches glissent plus ou moins l'une devant l'autre par l'effet des déformations intérieures du corps que Fon considère (F. App. comp., p. 780.).

CliV BÉSISTANGE DES SOLIDES.

De la distribution symétrique soit des autres pressions, soit des autres dilatations autour de celles qu'il vient de déterminer ainsi^ Gaucby conclut que dans les corps isotropes les pressions principales doivent avoir les trois mêmes directions que les dilatations linéaires principales. Il regardait^ en ISââ, celies-là comme proportionnelles à celles-ci supposées très-petites i (nais, en 1838^ il dut^ après une nouvelle tentative, modifier cette hypothèse et composer chacune des pressions principales de deux parties, Tune égale à la dilatation linéaire de même sens multipliée par un coefficient constant, l'autre égale à la dilatation cubique (la somme des trois dilatations linéaires principales) multipliée par ua deuxième coefficient, dépendant; comme le premier, de la nature du corps C) ; ce qui revient 1^ supposer (comme fait piaintenaot M. Kircbhoff) que chaque pression principale est mesurée par la somme des trois petites dilatations principales multipliées par des coefficients qui, de neuf, doivent se réduire à deux inégaux, vu la symétrie nécessaire de composition des trois formulas. A chacune des trois expressions, Cauchy ajoutait une constante représentant la pression, égale en tous sens, c|ui pouvait exister dans le corps isotrope antérieurement aux déformations qui en ont altéré l'isotrôpie. Il en déduisit analytiquement des expressions toutes semblables pour les trois composantes normales de pressions sur des faces quelconques non principales; et, pour les trois composantes tangentielles ( qui alors ont des graqdeui^ finies ), des expressions proportionnelles apx trois glissements correspondants, c'est-à-dire aux cosinus des angles légèrement aigus dans lesquels les petites déformations changent les trois angles droits des faces adjacentes d'un élément parallélipipède ; cosinus qui reviennent aux quantités dont ces angles se sont rétrécis, ou à celles dont les côtés opposés des mêmes faces ont glissé les unes devant les autres pour l'unité des distances de ces côtés.

Cette première manière d'établir les formules des pressions, applicable, coR)me le pensait Cauchy, aux masses coniinMs s'il en existe, n'est pas irréprochable. On nejoit pas en effet de

{}) Bxerciee» ^ mathématique, 3* ifmèe, p. 477. |7S, forfl^uLet (67) et (70).

HISTORIt;{UE. Clv

raison de supppser 4 priori que les pressions principales ne dé> pendent que linéairement des dilatations principales, car toute fonction n'est pas développable suivant les puissances entières et ascendantes de ses variables en commençant par la puissance 1 ; et une fonction de variables supposées être assez petites pour qu'on puisse ne conserver que leurs puissances les plus basses^ n'est pas^ ainsi, nécessairement algébrique du premiei; degré (F. App. y, p. 663). Il était plus rationnel de partir du principe physique des actions exercées par les points matériels les uns sur les autres dans les directions de leurs lignes de jonction, et avec des intensités dépendant de leurs distances, ce qui se réduit, comme on a dit, à soumettre à la géométrie les forces qui agissent et réagissent, et à admettre les lois d'inertie et de réaction appliquées à des points matériels.

XXVI. Fammlefl ^néru^ep ponr les eorp« Meiévmtwopmm. — C'est ce que fit Gaijichy dans deux admirables Mémoires insérés aux Exercices immédiatement après celui dont nous venons de parler. Dans le premier, qui a été pour la plus grande partie présenté à l'Académie le 1'' octobre i827 (^), et dont l'objet est d'établir ie$ équatiom de l'équilibre d'un sys^ tème de pointi matériels^ Caucby opère comme a fait Navier à la première partie du sien (de iSâl), mais avec cette différence essentielle qu'il fait entrer dans sou analyse les actions mutuelles totales des points^ fonctions de leurs distances nouvelles, au lieu de se borner comme Navier à ne considérer que les ac^ croissemenis subis par ces actions, en abstrayant ce qui vient de leurs valeurs primitives. Comme il a soin de tenir compte de ce que les lignes de jonction des points matériels deux à deux ont changé non-seulement de grandeur, mais aussi de direction ou d'inclinaison sur les axes fixes des coordonnées, la fonction des distances nouvelles représentant l'action ultérieure des points n'apparaît dans ses calculs que divisée par ces distances i et c'est le quotient, et^ non pas la fonction elle-même.

tma^mfmm^m

{>) Bxtreiee», 3« année (48S8), p. 300.

Civj • RÉSISTANCE DES SOLIDES.

qu'il développe suWaDt les puissances du très-petit accroisse « ment de celle-ci (*).

Par là, Gauchy fait un calcul exact (à cela près des quantités d'ordre supérieur qu'on veut négliger), et embrasse le cas général où il y avait à l'intérieur des corps, avant les déplacements opérés, des pressions absolument quelconques, égales ou inégales en divers sens. Son analyse embrasse aussi les corps hétérotropes ou de contexture inégale quelconque autour de chaque point, parce qu'il conserve, outre les six constantes qui sont les valeurs des composantes des pressions primitives, quinze coefficients distincts régissant l'élasticité, et se présentant sous la forme de sommes d'un très-grand nombre de produits de fonctions des distances d*un point matériel dans l'état primitif, par des puissances des cosinus desa1)gles que ces distances aux points environnants formaient avec4es axes coordonnés fixes. Il prouve ensuite que ces quinze coefficients se réduisent à six distincts dans le cas particulier et fréquent, considéré pour la première fois par lui, de trois plans rectangulaires de symétrie de contexture ('),et à un seul dans le cas plus particulier d'isotropie ou d'égale contexture en tous sens ('), cas où les équations se réduisent identiquement à celles de Navier quand on suppose nulle la pression antérieure aux déplacements ; et il démontre ces réductions sans avoir besoin de convertir en intégrales autour d'un point les sommes de composantes d'actions, qu'il ne cesse jamais de représenter par un signe d'addition 2 ou S d'un nombre extrêmement grand, mais fini, de termes partiels.

(*) Celle remirqae est esietiUelle. Si ^eit la earactèritUque de la foaciloD, et al r etfi aoDt lea disUDoes priaitÎTe et ultérieure, Caucbj faitainai :

ee qui donne autre chose que li Ton ae bornâitàfaire /)rj=/y -(-(r^ — v")— + •••.

ce qui aérait mettre r an lien de r^ au dénominateur du premier membre. (*) Bxercieeê^ 8*^nnée, p. 498.

# HISTORIQUE. clTij

Dans son second mémoire^ Gauchy calcule la pression ou tension de rintérienr du même système de points matériels en y faisant entrer, comme dans les équations du premier mémoire, Taction nouvelle totale de deux quelconques des points sans abstraire leur action primitive, et en supposant encore quelconque la contexture du système dans les divers sens. Il obtient ainsi des formules très -générales, affectées des mêmes* quinze coefficients (réductibles à six et à un dans les mômes cas particuliers) que les équations du mémoire précédent, non compris les six composantes des pressions primitives, pressions qu'il ne suffit pas d'ajouter à celles que les déplacements développeraient si celles-ci étaient nulles , pour avoir les pressions ultérieures totales; en effet, ces yessions antérieures aux déplacements é))rouvés entrent aussi dans les termes affectés des dérivées des déplacements des points, ce qui se conçoit sans peine si l'on considère que ceux-ci font tourner, dans l'intérieur du corps, la situation des plans menés parallèlement aux coordonnées, et changent par conséquent les grandeurs de la partie antérieure des composantes de pressions, qui étaient généralement inégalés en divers sens (^).

Dans ce mémoire, Gauchy donne de la pression sur une petite face, pour la calculer, la définition mathématique suivante : « L'action totale exercée sur un petit cylindre matériel indéfini ayant cette face pour base, par toute la matière qui est de Tautre côté du plan prolongé de celle-ci. » Il en résulte la même chose dans le calcul en question, à cela près de quantités de l'ordre de celles qu'on néglige, que lorsqu'on donne de la pression cette autre définition plus simple, et que Gauchy a depuis trouvée meilleure : « La résultante de toutes les actions c[ui

(1) En melUni dans les formules de la p. 229 de ce mémoire, numérotées (25) à (30), à la place de la dnoailé nouwlle p, la deosiié aocienoe A divisée par la dlialalion cubique, on obtient les six formules de pression sous la forme défloiiiTO qu'a dû en donner Gauchy, à la p. 138 de la 4* année (4829) des Exercices. Voyei ei-aprés Appendice III, § 23 (note) p. 564 et 571, et, surtout. Appendice comptéaentaire, $84, p. 795, les formules (212), complétées par les formules (12) et (42) des pages 556 et 594.

elTtij RÉSISTANCE DES SOUDES.^

s'exercent d^un côté à Tautre à travers la face (') ; » résnltante fecile à exprimer analytiquement, car on peut voir qu'elle est la même que « celle des actions qu'exercerait, sur chaque mole* cule m située d'un des deux côtés du plan de la face, un pareil nombre de masses concentrées au centre M de celle-ci^ et égales^ pour chaque molécule fn, à la masse du cylindre oblique taillé dans la matière du côté opposé, ayant la même face pour base^ et des arêtes égales et parallèles à la ligne de jonction Mm du centre M à la molécule m (*). d

Ces fohnules des neuf composantes de pressions, réduites à six (conformément au deuxième théorème c^i n* XXV) sur des plans perpendiculaires aux coordonnées, et d'où l'on déduit facilement (par le premier théorème] la pression sur une face oblique quelconque, donnent le moyen de construire immédiatement les équations d'équilibre tf^/fn2>5, ou relatives à la surfaceenveloppe des corps élastiques. Elles dispensent ainsi de l'emploi delaméthodedeLagrangeet de Féquation des travaux virtuels, traitée par le calcul des variations, que Navier a employée.

Elles donnent aussi, en substituant dans les relations entre les pressions et les forces accélératrices^ tirées, avons-nous dit, (n®XXV), de l'équilibre de l'élément parallèlipipède, les troiséqua^ fions indéfinies y toutes semblables à celles qui se trouvent construites directement au premier des deux mémoires cités de Gauohy, en mettant en équilibre les actions sur une molécule unique.

(1) GoBptet rendus, tS juin 4845, l. XX, p. 4765.

M. Duhamel a, le premier, proposé comme possible celte deuxième déflnitioii, mais sans s'y arrôler (1828, Journal de VÉcoU polytechnique ^ SI* cahier, p. 913). Nous avons montré (Société pbitomaihique, 30 décembre 4843, ou Jonmal Vtkslituif a*534j qu'elle permeUaii seule de remplacer idenliquement larésul- Unie des aclions moléculaires du dehors au dedans d'un élément polyédrique quelconque par la rèsullanie des pressions sur ses races. L'autre définition amène l'omission de certaines aclions, et le double ou triple emploi d'un certain nombre d'autres, (f^oy. aussi Appendice Ul, §46, p. 544, note.) Celte définition évite aussi les dlOicùUés des arêtes vives, rencontrées par Poisson à son mémoire du 42 octobre 4829 (JoKTRoZ de V École polytechnique, SO" cahier, n<>* S5, 49, 50, 53).

(*) Car le cylindre contient évidemment toutes les molécules, situées de son côté, qui agissent sur des molécules sliuées du côté opposé de la face i des distances égales et parallèles à Mm (Comptes rendus, 7 Juillet 4845, t. XXI, p. S4. Fuyez aussi Note du n* 459, $ 8, p. 497, et, surtout, Appendice III, note du S 93, p. 565).

ttl9lOfiIQtJft. dix

XXVtl. Attlte. l^ol««oii. — Aussi; en traitant le même sujet; Poisson s'est-il dispensé de construire directement les équations de Féquilibre intérieur^ et a-t-il commencé par l'établissement des formules de pression ses recherches^ communiquées en partie à l'Académie le i*' octobre 1827 ('), ou le môme jour que le premier mémoire de Cauchy^ puis réunies dans son mémoire du 14 avril 1828 ('), modifié en plusieurs points par celui du 12 octobre de l'année suivante 1829 ('). Au grand dlmoire de 1828, remarquable surtout par la partie philosophique et par de magnifiques applications^ Poisson considéré, comme faisait en hiême temps Cauchy [n* précédent)^ les actions totales, fonctions des distances moléculaires modifiées par les déplacementS; et il calcule de suite la pression produite sur une face quelconque^ oblique aux plans coordonnés, que Cauchy n'exprime qu'ultérieurement au moyen des pressions sur des faces parallèles à ceux-ei. Du reste, il est moins heureux que Cauchy, soit dans les raisonnements, soit dans les résultats obtenus ( car^ outre que les siens ne sont applicables qu'aux corps isotropes^ on peut remarquer que dans les coefficients, qui soift des sommes triples prises par rapport aux grandeurs des distances moléculaires et par rapport à deux angles qui déterminent leurs directions. Poisson convertit en intégrations les deux somma* lions relatives aux angles ; ce qui le détermine à supposer que la sphère d'activité, bien qu'imperceptible, comprend un nombre tellement immense de molécules que les actions qui s'exercent aux plus petites distances soient tout à fait négligeables devant les actions bien plus faibles, mais plus nombreuses, s'exerçant aux distances moins petites; hypothèse toute gratuite et même improbable, que Cauchy n'est point obligé de faire, car il laisse ses quinze coefiicients sous forme de sommes de produits, corn*-

(>) Un extrait en a paru att Jtm. de cH» et de pk, tuMi es 4897, puif «o Jaavtor 4S|8au BoUttin FèfOMac, t. IX, p. 37.

(*) Mènoir* lor réqniUbre tt le moaTement des corpi toUdet éltitiqvei (qii t para in txUtao l'anoée soiTtDte, au t. VIU de ceni de rinsUtut).

(*) Mémoire lor let équations générales de l'éqnilibre «t du moufement des corps élastiqaes et des flatdes (Jûttfnal de VÉcoU jp<rfy<ecAiN9M«, §0* cahier).

clX RÉSISTANCE DES SOLIDES.

posés comme on a dit tout à l'heure. On peut remarquer aussi, comme le reconnaît Poisson au mémoire de Tannée suivante (48^), où il reprend tous ses calculs (en évitant les deux conversions de sommes en intégrales dont nous venons de parler), que ses formules du mémoire de 1828 et du commencement de celui de 4829 représentent les neuf composantes, toutes inégales^ des pressions qui s'exercent, non pas sur trois ifeces d'une superficie = 1 perpendiculaires aux coordonnées fixes, mais sur trois faces qui avaient cette superficie et ces directions avant les déplacements des points ; formules qui prêtent ainsi à des erreurs (% et auxquelles il est obligé de faire subir une transformation compliquée pour en tirer les six formules vraiment utiles de composantes ('), auxquelles Cauchy arrive très-directement et pour des corps de contexture quelconque, isotrope ou non.

Poisson consacre cependant aussi, au même Mémoire de 1829, un chapitre aux corps non-isotropes, qu'il réduit à ceux qui sont régulièrement cristallisés. Mais il se borne à poser, pour les sh composantes, des expressions ayant une forme linéaire en fonction- des neuf dérivées du premier ordre des déplacements dans les sens des trois coordonnées, par rapport à ces coordonnées; forme justifiée implicitement, pour ses lecteurs, par les considérations moléculaires des autres chapitres. Puis il montre la réduction à trente-six de leurs cinquante -quatre coefficients, sans apercevoir leur réductibilité à vingt un iné gaux au plus comme Ta montré Green ('), et même à quinze comme l'avait déjà prouvé Cauchy (n* précédent), et comme Poisson Ta reconnu plus tard en lisant à TAcadémie, le 28 octobre i839, son Mémoire sur ^équilibre et le mouvement des corps cristallisés^ où il considère cependant les molécules non

(») Complet rendus, 28 juillet 1862, t. LV, p. 205.

O Méro. au 20* cahier du J. de rÉc. pol., de la page 47, od lôat reproduites les ^ form. do 4828 avec un signe difrèreot (parce qu'au contraire de 482811 attribue le signe -f aux rèpuisions et le signe — aux attractions), à la page 52 od sont les formules dëfinitiTes, conformes i celles de Cauchy du ca$ d'isotropic.

(*} Voy. 5* Appendice ci*après, {iî 70, p. 742.

HISTOAIQUE. Clxj

plus comme de simples points^ mais comme des groupes de points ou atomes pouvant tourner sur eux-mêmes (')•

Au même Mémoire du 13 octobre 1839^ Poisson s'occupe des fluides et arrive^ par un raisonnement différent, quant à la seule forme^ de celui de Navier^ aux équations trouvées en 1832 par celui-ci pour leur mouvement (') en tenant compte^ non pas^ comme il le dit, de leur viscosité ou de V adhérence de leurs parties (car les gaz n'en offrent aucune et ont cependant un frottement), mais de Tengrènement réciproque de leurs molécules ou du frottement mutuel de leurs couches; équations données aussi par Cauchy en 1838 comme pouvant représenter le mouvement intérieur des corps mous ou plastiques dénués d'élasticité (') , et pouvant encore s'obtenir par un autre moyen très-simple (*). Mais ces équations ne sont applicables que pour les mouvements extrêmement lents et réguliers que prennent les fluides dans des cas exceptionnels, par exemple lors de leur écoulement par des tubes ou des vaisseaux capillaires. ( V. App. V, p. 734.)

Poisson y prélude aussi aux recherches originales et dignes d'attention publiées en 1831, sous le titre : a Nouvelle théorie de l'action capillaire, • et qui doivent être étudiées, au moins dans leurs généralités, pour se Taire une idée des questions que soulèvent les considérations de mécanique moléculaire, applicables aux solides comme aux liquides.

XXYin. Salte. PolMon et €aachy (pour 1m — waiMçg non rempla^Ueti par des intégrales. ) —

On voit en effet à cet ouvrage, entre autres choses remarquables, que Poisson insiste (comme dans ses écrits de 18S8 et 1829) sur la nécessité de laisser sous forme de sommes d'un nombre fini quoique considérable de termes, les coefficients des formules, et, si l'on y remplace par des intégrations les sommations relatives aux angles (comme il faisait en 1838), de se bien

(1) Mém. de riBftilttl, t. XVUl.

(*) Itooire fur le moaTemeot des Qoidet en teoint compte de leur viscosilé, ete. iDftilut, I. VI.

(*) Exercieee. 3« aaoée, (^) Gonpict rendusi S7 noTembre I84:{,t. XVU, p. 4340.

Cixij RÉSISTANCE IMSS SOLIDES.

gardeir de faire de môme pour les sommations relatives aux distances; car si ces coefficients étaient convertis en intégrales définies depuis une valeur zéro de la distance^ une intégration par parties donnerait des pressions intérieures nulles après les déplacements quand elles le sont avant (^j, et l'on déduirait encore, des coefficients ainsi convertis^ d'autres conséquences tout à fait contraires aux faits, savoir que les pressions ne varieraient que comme les carrés des densités^ et qu'elles seraient toujours normales aux faces^ ou qu'elles n'auraient pas de composantes tangentielles. Ces considérations^ bien que d'une apparence purement analytique, sont d'une haute portée pour la philosophie de la science. Elles prouvent, comme Fresnel l'4ivait déjà remarqué avec une grande sagacité pour l'éther (n'XXIV) que les corps^ même fluides, avec les propriétés que tous les faits dénotent^ ne sauraient être formés d'une matière continue; conclusion qui, étendue à la constitution des dernières particules» fait disparaître même les atomes étendus et figurés, mais insécables et invariables^ de Leucippe et de Démocrite^ conservés jusqu'à nos jours, pour faire place à ceux du système dont nous avons parlé au n^ XXll ; système préconisé par divers physiciens anglais et allemands qui n'y voient nullement un idéalisme négateur de la matière, et adopté, parmi nous^ pour d'autres raisons encore^ par Ampère^ ainsi que par Cauchy qui en a

(1) Ed effet, r étant la plus petite valeur des dislsuces r entre les molécules, et r la plus grande de celles pour lesquelles leur action /^ a une grandeur sensible, rintègrailon par rtpport aux angles donne pour la pression primilive K ei pour le coefficient d'élasticilé k affeount les dérivées des déplacemtnts

K=— \ r*fr,dr, Afou e de Navler)= -—V r* —dr, 3 Jr ' "^ lôjr rfr

Or la deuiiéme eipression, intégrée par parties, donne :

Sic

Le premier terme entre parenthèses est nul puisque fr devient tout à Tait insen-* sible avant que r ne soit grand, et le deuxième est nul aussi pour la limite inférieure r= 0 i moins qu'il u'y ail des répulsions infinies du quatrième ordre au contact, et que ce ne soient ces répulsions- li qui seules déterminent la valeur de k lorsque la pression primitive K est n«lle; ce qui exclurait toute élasticité.

HIStORIQGB. Clxiij

fait le sujetd'nne de ses leçons de physique supérieure^ à Turin en 4832 C).

Gauehy avait montré en effet, aussi en iSi%, mais sans y appuyer autant que Poisson (*)^ que l'on tombe dans les conséquences signalées, si contraires aux faits (proportionnalité des pressions aux carrés des densités, et nullité des composantes tangentielles) si, sans même supposer la continuité de la matière., on admet seulement comme Poisson « qu'on puisse abstraire Taction^ sur une molécule, de celles des molécules environnantes qui en sont le plus proches, » vis-à-vis deTaction des autres, supposées en nombre immense malgré la petitesse de la sphère d'activité; opinion émise pour la première fois par Poisson dans une lettre d'octobre 4827 (*), et où l'on s'étonne de le voir persister en 4829 (*) et 4830 quand il n'en a plus besoin, puisque alors il n'intègre pas plus par rapport aux angles que par rapport aux distances.

Au reste, les calculs qui ont pour base la loi moléculaire des actions fonctions des distances ne supposent pas admis nécessairement, comme quelques auteurs anglais l'ont pensé, le système de Boscovich ou des atomes inétendus. Ces calculs n'exigent même pas que les dimensions des atomes, si on leur en attribue, soient supposées très-petites par rapport aux dis-> tances mutuelles 4e leurs centres de gravité; car ces sommes relatives aux distances d'un point à tous les points environnants (*}, qui forment les coefficients constants des formules,

(*) On écrit do treize pâgei, sur ce sujet, a été tniéré à la date dtt 90 Jsdvier 4S44 au BuUeiia de la Société philomathlque de Paris. Ub court eitrait en a paru aussi au n** 53S du jouroal Plnsliiui, du 7 février, p. 4S. •

(*} Exercices, 3* année, p. 903, 904 de son premier mémoire cité, et p. 985, 930, 934 du second.

0 Annaieê de Chimie et de Physique.

}f) Mémoire du 11 octobre 1S99, au 90* cahier du Journal, de V École polytechnique, art. 3 ou p. 7.

(•) Ccfl-à-dire ces sommet R ~- F W ços» (r, x) co»^' (r, y) ces*»'' (r, z), où p

9tl la denfilé du corps, r lOBi les dittanees d'un point à tous les atomes ou éléments d'atomea dont les masses sont m et qui se trouTent compris dans sa trèspetlla sphère d'netlTité sensible; n, n', n" sont des exposants entiers dont la est 4 pour les principaux des coefficients ainsi exprimés ; enfin F(r) est

ClxiV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

peuvent tout aussi bien être composées d'un nombre infini de termes, même pour chaque atome^ que d'un nombre total fini. Il suflit, pour pouvoir établir les équations» que les atomes ne se touchent pas, ou ne soient point fondus çn une masse ininterrompue.

Ce n'est même pas précisément dans la conversion de chaque somme 2 ou S en une intégrale que git le danger des conséquences fausses; c'est^ comme Ta très-bien remarqué M. Clausius (^); dans la supposition que la limite inférieure de Tintégration pour les distances soit zéro. Dès qu'on prend une limite inférieure finie, si petite qu'elle soit, qui sauvegarde la noncontiguïté des dernières parties, rien n*empêche d'intégrer si cela est commode pour obtenir des résultats d'une certaine forme; car si une intégrale ne peut guère être substituée à une somme particulière relative aux diverses molécules qui en entourent une seule^ elle peut très-bien l'être à une moyenne d'un très-grand nombre de pareilles sommes, vu la compensation qui s'opère alors entre les inégalités ou irrégularités individuelles; et cette moyenne est, après tout, seule à considérer dans les applications, comme dit le même savant. De là l'accord des équations trouvées par Gauchy et par Poisson avec celles auxquelles Navier était arrivé sans discuter ce qui résulterait des transformations analytiques du coefiicient qu'il trouve, et qui se présente sous forme d'intégrale définie. De là aussi la possibilité, malgré qlielques objections de Poisson, de continuer de se servir, dans ces sortes do recherches, comme font encore les géomètres anglais et allemands, des méthodes de la mécanique analytique de Lagrange, qui, d'ailleurs, permettent très-bien de laisser subsister sous forme de simple sommet ou S, les coefiicients ressortant des résultantes d'actions sur chaque point matériel, tout en faisant entrer ensuite, dans l'analyse, des inté-* grales triples prises pour toute l'étendue du système; ce qui n'a

une rôncUon qui se déduit de celle f{r) reprèscoUnt lUclion mutuelle à U dislance et dans la direction r pour l'unité de masse des points matériels qui l'eiercent Tun sur l'autre.

(i) Ceber die Veraoderungen, etc., aux Ànnaleê de Poggenderff, toI. LXXVI, p. 56*58,

HiSTOBlQUE. ClXV

pas pins dinconvénients que Fusage, fait aussi par Laplace, des intégrales dans la théorie capillaire, et que tout autre emploi du calcul différentiel et intégral pour les corps solides ou fluides qu'on sait très-bien être discontinus ou composés d'un nombre fini, quoique très-grand, de molécules isolées (^).

XXXIX. itailte. Polénalqae entre Poisson et M»* vier. Bemarqaes de M. Claosios. — Ici doit trouver place la mention de cette vive polémique soutenue en 1828 et 1829. Poisson, dans son premier mémoire, d'avril 1828, en donnant un historique du problème des corps élastiques, n'avait fait nulle mention de Navier qui, le premier, Fa rais en équation; mais, faisant cependant à son travail une allusion évidente, il avançait que des recherches où les résultantes d'actions entre molécules étaient exjjrimées pajT des intégrales, et même toute analyse où Ton opérait des intégrations, comme cdies que comporte Tusage du calcul des variations appliqué suivant les règles de la mécanique analytique de Lagrange, n'était bonne que pour les masses continues s*il en existe^ et était tout à fait impropre à donner les conditions d'équilibre des corps élastiques tels qu'ils sont dans la nature, c'est-à-dire formés de molécules disjointes (')• Dans ses répliques aux réponses de Navier qui trouvait étrange une pareille exclusion, il reprodiait encore à celui-ci d'avoir abstrait les actions primitives entre les mdlécules pour ne faire entrer dans son calcul que leurs changements de grandeur. Et Arago, rédacteur du recueil qui servait d'arène à cette discussion , la fermait par une Note (*) où il demandait à Navier comment il pouvait concevoir un corps dont tous les points matériels seraient sans action les uns sur les autres dans l'état naturel, etc.

Tous ces reproches étaient ou sans fondement ou exagérés.

(>) Vojei 6* Appeodioe, $74, p. 743, et Appendice complémentaire, $$ 84, 85.

(*) Kole aor les Tlbraliont det corps sooores, aoi Annales de Chimie et de Pkfiiqtu, 4** octobre 4817, — «ta Bulletin Ferutsac, 4828, t. IX, p. S7. ^ Bl Mènolre da 44 tn\\ 4SS8 au t. VIH de ceux de rinetitiit, art. 44, p. 400.

Vojei, poor le reete de la discuuion, les Annale$ de Chimie et de Physique^ U XXXVn, XXXVIU, XXXIX, Jafllet, août et octobre 4S18, ei JanTÎer 48S9.

(S) Méaet Jimal£$f t. XL, 48M«

clXVJ RÉSISTAHOB DBS SOLIDES.

Au dernier, Navier répondit très^bien, dans une Note réeapitu-* lative insérée uu Bulletin des êcieneei de H.dePerus8ac(^),qu'il avait regardé comme nulles, non pas les actions antérieures aux déplacements, mais leurs résultantes^ ce qui est en effet pos^ sible quand on suppose qu'il n'y avait pas primitivement de près* siens (*). Il est bien vrai (comme nous avons dit tout à l'heure) qu*on ne doit pas prendre les Intégrales figurant comme coefiielents depuis des valeurs nulles des distances, comme si la matière était continue, mais cela n'empêche pa^ d'être exactes les équations de Navier, où ces intégrales définies restent ineffectuées et donnenl des expressions qui n'auraient plus rien d'impossible en prenant une autre limite inférieure que zéro, comme nous avons vu (n'' précédent] que l'a très-bien remarqué M. Glausius$ et cela empêche encore moins, comme nous avons dit aussi, d'appliquer aux systèmes moléculaires le calcul intégral et le calcul des variations (')•

A cette discussion se trouvent mêlées des considérations des deux illustres savants sur la question des plaques élastiqueSf qui n'aurait pas dû les diviser, car Poisson y reconnaît que la méthode de son mémoire du 1" août 1814^ où il supposait la plaque sans épaisseur^ ne mettait pas en jeu les véritables forces; et celle dont il fait usage en 1828^ comme application des formules générales nouvelles, le conduit précisément aux mêmes équations que Navier avait obtenues en 1820^ sauf Tune des équations atix limites ou aux bords de la plaque. (Voyez . n- XXII et LIX.)

On y trouve aussi de lumineuses observations sur la forme possible de la fonction des distances entre deux molécules» capable d'expriiper leur action mutuelle. Si on la représente par un seul terme affecté d'une exponentielle, comme avait fait Poisson à son mémoire de 1828, on satisfera bien à la condition de la diminution rapide de l'action pour peu que la distance

(1) BulUtin ufUverâel det Sciences et de rjndutérie^ r* seclioo, ai«ri 4889. (*) Voyei ci-après, Appendice eomptéoefeUire, $ SO, p. 774. (>) Voyex idem, $$ 83, 84, 85, p. 783 à 800.

HISTORIQUE. gUvIJ

augmenta [^), mai$ elle restera toujours de même signe quelle que soit la distance, et l'équilibre naturel qu sans forces exté* rieures sera impossible; car, comme le rappelle Navier^ cet équilibre exige que les actions mutuelles soient répulsives pour certaines distances^ et attractives pour d'autres. Aussi Poisson reconnaît (') qu'il aurait dû prendre pour l'action moléculaire une différence de deux fonctions de cette forme (')•

XXX. Salie. MM. liamé et C^apeyron. — Pendant la même année 4828 fut envoyé à l'Académie, sur le même sujet, un mémoire remarquable de lucidité et de sagacité, où ces deux ingénieurs français, alors en mission en Russie^ arrivèrent aux mêmes équations indéfinies que Navier, en exprimant^ comme lui^ mais sans avoir eu connaissance de ses recherches, l'équilibre, sur une seule molécule^ des actions développées par les petits changements de distance des molécules environnantes, et supposées proportionnelles à ces changements ; en abstrayant^ comme Navier» les actions antérieures» supposées se faire équilibre naturellement ou sans forces extérieures dans Tétat qui a précédé les déplacements des points. Et les mêmes eonsidératiods les conduisirent direotament aux formates des pressùm pour les corps isotropes.

La manière dont ils. en déduisirent un grand nombre de théorèmes sur les pressions prouverait qu'ils n'avaient pas non plus pris connaissance des mémoires présentés en 18K et 1937 par Cauchy, qui était arrivé à une grande partie de ces théorèmes pour des corps d'une contexture absolument quelconque en repos ou en mouvement.

Nous reviendrons sur ce mémoire aux n*** XXin et XXV.

(') La forme que Poisson donnait comme eiemple éiail Q»0 ^ ,a6t b èlanl deux constantes, r la dislance, a le plus petit interTalle moléculaire, n ira sombre trèt-grand, et m un très-grand expount positif, afin que, conror« mémeni à son idée (n* XXVIl) l'action restât presque constante et égale i a tant que r ne comprend pas un grand nombre de fois oc, et décrût rapidement quand r devient plus grand que «a.

(*] Sotede M. Arago {jinn, de Chimie et de Physique, JauTler 48S9, p. 403); el l^emièflie mémoire de M. Poisson, 4 S oeiobre 4829, p. 6 et 45.

O Vojei ei-aprèSy 3* Appendice, $ 46 (note), p. 643 ; et 5* Appendice, p. 739*

ClXViij BÊSISTANGE DES SOLIDES.

XXX[. tialtc. M. Bohamel (Prise en eonsMératlon des lempératares). — Peu de temps après furent présentés et publiés au Journal de V École polytechnique plusieurs mémoires remarquables de mécanique moléculaire ^ approuvés par l'Académie, où M. Duhamel^ aujourd'hui membre de ce corps savant^ tenait compte des changements de température développés par les changements de volume des diverses parties des corps élastiques (^]. M. Wertheim en a tiré d«s conséquences relatives aux différences qu'on trouve constamment entre les valeurs des coefficients d'élasticité déduits du mesurage statique^ et ceux que Ton conclut de l'observation du nombre des vibrations dans l'état dynamique.

Au reste^ les effets mécaniques de la variation de température des barres soumises à un effort de traction peuvent être évalués approximativement d'une manière élémentaire dans beaucoup de cas, conime a fait M. Poncelet au n* 308 de V Introduction à la mécanique industrielle.

XXXIL Premières applicaiioiis de eetie neuTelle br^nelie de laméeanlqve, pmr Poissoin et Caiiehy.

-— La découverte ainsi faite d'une nouvelle branche de la science de l'équilibre et du mouvement eut une influence marquée sur la manière dont cette science en général fut bientôt enseignée. Le beau préambule du mémoire de Poisson de 1828 contribua sans doute pour beaucoup, avec les travaux de Navier, et avec quelques passages d'un livre de Coriolis (') , et, aussi, des premières le-

(I] Mémoire sur les équations de li propagation de la chaleur dans Icn corps solides dont la conductibilité n'est pat la même dans tous les sens; 7 avril 4828 (Joum, et l'École polyi,^ S4* câbler). — Second mémoire sur les phénomènes Ihermo-mécaniques, lu le 23 révrier 4835 {idim, SS« cahier). — Sur le calcul des actions moléculaires développées par les changements de température {Savants élrangert, U V).

(>) Dm CaJcul des effeU des machines, 4'* édition, 4899, ch. III. — A la S* édiUon (4844, posthume) de ce livre, on a ajouté, entre autres choses, la matière d'un '< Mémoire sur la manière d'établir les principes de la mécanique pour des systèmes de corps en les considérant comme des assemblages de mole-

HISTORIQUE. Cixix

çoDS de M. Poncelet aux ouvriers de Metz, à faire substituer désormais les réalités physiques, c'est-à-dire la compressibilité, rébsticité, l'action à distance et sa transmission graduelle par les tiges et les liens ^ etc.^ aux abstractions de dureté absolue dans les solides, d'inextensibilité dans les liens, d'action instantanée au seul contact, etc., en sorte que, bien que les savants dtés ici n'aient pas toujours écrit à ce point de vue, on met aujourd'hui généralement en pratique une pensée qu'avait eue Laplace dès 1825(^), d'introduire dans les démonstrations de la mécanique, pour leur donner plus de clarté et pour se rapprocher de la nature, la considération des actions réciproques k de petites distances, qui régissent les phénomènes terrestres.

Mais la mécanique moléculaire ou la théorie de Télasticité des solides eut aussi pour application, presque immédiatement, la solution de divers problèmes utiles. Pour nous borner ici à ceux d'équilibre (devant parler plus loin de ceux de mouvement), Poisson reconnut dès 1827, comme conséquence évidente des formules de composantes normales de pressions, que lorsqu'un prisme élastique est dilaté dans le sens de sa longueur par une 'force de traction parallèle à ses arêtes, distribuée uniformément sur ses bases, et que ses faces latérales sont libres, il y a, dans les sens transversaux, une contraction dont la proportion est le quart de celle 4e. la dilatation pour les corps d'égale élasticité en tous sens (*), résultat auquel arrivèrent M. Cauchy (*) et MM. Lamé et Glapeyron l'année suivante (% et qui a été aussit6t confirmé par une expérience de M. Gagniard de Latour, autant que le permettait le degré d'exactitude du mode d'observation employé.

cnict, » inséré en 1836 an Journal de V ÊcoU polytechnique (94* cahier], et où Coriotis ?eat bien citer (p«gc 94, note) un mémoire du 44 a?ril 4834, trouvé ■Ion liardi pir loi et par U. Poncelet, présenté par nous à l'Académie for cette wltm» nanièro de démontrer les théorèmes généraux du mouTemeot et de i'équi* libre des systèmes.

(1) Méemmque eilnU^ fin du chapitre 4*' dn IItto XII.

(>) Jnnalet de Chimie el de Physique, 18^.

('j Exereicet de mathématiquei, 3* annce.

(*} SûvtmU étrtmgerif t. IV» p. 608 (n* 40).

C\XX BÉSISTANGB DBS SOLIDES.

Poisioii déterminait aussi les rapports de ces deux effets à celui de oontraotîon générale produit par une pression de même intensité, appliquée sur toute la surface d'un corps isotrope de forme quelconque; et il résolvait divers problèmes élémentaires sur les sphères creuses en même temps que MM. Lamé et Glapeyron» qui en résolvaient d'analogues sur les cylindres creux (n« LVIII ci-après).

Passant aux problèmes de la torsion et de la flexion des cylindres, qu'il suppose à base circulaire^ et de dimensions finies en tous sens^ Poisson, faute de pouvoir donner, des équations différentielles de leur équilibre» des intégrales qui ne sont point encore trouvées pour tous les modes de sollicitation, même aux seules extrémités^ tente de résoudre le problème d'une manière approchée quand les dimensions transversales sont très-petites. Pour cela il fait une supposition difficile à justifier, et qui conduit à des résultats souvent justes, mais quelquefois faux, à savoir que les pressions intérieures, ainsi que les déplacements des points^ sont exprimables en séries convergentes procédant suivant les puissances entières des petites coordonnées transversales (^). Ces séries, à coefficients indéterminés, étant mises dans les équations différentielles définies et indéfinies à la place des quantités inconnues, donnent, par la comparaison des termes affectés d'une même puissance, et eu égard à la nullité supposée des pressions sur les faces latérales, une suite d'autres équations plus simples, qu'il combine de manière à en tirer les coefficients, en effaçant finalement les termes d'un degré supérieur tantôt au premier, tantôt au second degré. Il arrive ainsi aux formules connues de la flexion et de la torsion des cylindres à base ch'culaire, formules dont la démonstration ordinaire est fondée, en effet, sur des suppositions qui reviennent à celles de Poisson mais où Ton se borne à des termes du premier degré. Nous parlerons au n" LIX de la solution que le même illustre savant a donnée, au moyen d'une hypothèse analogue, du problème de' l'équilibre et du mouvement des plaques.

(^} Mémoire de 4838, n«* 34, p. 447, et 44, p. 464.

HISTORIQUE. Clixj

Yen la fin de la même année 1828, sana connaître les travaux de PoÎMon autrement que par deux courts extraits n'indiquant jMis ses procédés, Cauchy appliquait également le développe-* ment supposé possible en séries entières, à la détermination de la flexion des lame» minces, d'une largeur indéterminée ou indéfinie (en supprimant la considération de la dimeniion ou de la coordonnée dans son sens) ; et, ensuite, des tiges à section rectangulaire finie, d'une épaisseur constante ou variable, 'dont la fibre moyenne est primitivement droite ou courbe^ et dont la matière est isotrope ou hétérotrope; et il arrivait ainsi aux formules fournies par les hypothèses, un peu plus restreintes, de lâjhéorie ordinaire (S^. (Voyex n'' XLI.)

XXXIII. — Ap|aic»tioii0, par im. Iiumé et €»apeyroB. — Ils ne s'occupèrent pas de la flexion, pour laquelle Poisson et Gauc/hy n'ont trouvé que des résultats simplement approchés et discutables. Mais dans leur grand mémoire^ où rien, dans les applications, n'est donné h l'hypothèse, ils arrivèrent, sous le titre de Cas généraux^ à de belles solutions de problèmes où toutes les ressources actuelles de l'analysé aux dif* férences partielles sont mises en œuvre. L'une est relative à un solide de dimensions infinies en longueur, largeur et épaissaur, mais terminé d'un côté par un plan indéfini sur lequel agissent des pressions distribuées d'une manière absolument quelconque, continue ou discontinue ; l'autre à un solide com* pris entre deux plans parallèles indéfinis, comprenant entre eux une épaisseur finie, l'autre enfin à un cylindre droit, de longueur infinie, sollicité sur sa surface latérale par des forces quelconques. Bien que M. Lamé ne les ait pas reproduites dans ses leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité, de iSb% en disant avec modestie (') que ce n'étaient que des essais entrepris dans le but de chercher une solution générale, et ne parais-

(«) M»erehe$, V année (4S98), p. S43 à 3S8 et 366 à 868 ; et 4* année (4 899), p. 26. Hooa croyons aroir résumé ce qui s'y IrooTe de plus essenUel (sauf l'appileatton ua ribrations) au n* 43 de noire Mémoire de 1864 sar la fUxion des prismes (Joomal Uoufille, 4866).

(S) Fin de la 42* leçon, S ^^

cUxH RÉsisrAKce des solides.

sant pas placés sur la route qui doit y conduire^ elles sont remarquables et il n'est pas impossible qu'un jour elles fournissent d'utiles applications ('). ^

XXXIV. I^lotioii triiérieure^ par M. lAmé, d« problème de la «plière pleine aai ereiiae aollleitée d'une manière qneleonque. Diflleuliés penr le piVume. — Quant aux solides de dimensions finies en tous senS; c'est seulement pour une sphère pleine ou cretise qu'a été résolu le problème de l'état d'équilibre déterminé par des pressions appliquées et distribuées d'une manière quelconque sur la surface. C'est à M. Lamé qu'on doit cette belle solution^ publiée en 4853^ ou un an après ses leçons sur Télasticité ('). (Voyez n"* LVIII pour le cas particulier de pressions constantes, traité à la 16' leçon et déjà en i828.)

On peut; aux mêmes leçons, où l'illustre analyste s'est efforcé de réduire la théorie de l'élasticité à des termes simples ^ prendre une idée de la longue recherche qu'il a faite d'une so- « lution semblable pour un solide prismatique, et voir quel-point difficile (') empêche et empêchera d'y arriver longtemps encore^ et peut-être même toujours, si l'on en peut juger par l'insuccès du persévérant appel fait par l'Académie^ sur sa proposition, aux géomètres des deux mondes, en mettant au concours, depuis 1846; ce grand problème de calcul intégral aux différences partielles, qu'elle en a définitivement retiré en 1858 en désespoir de cause.

(*) Il a bien tooIq doui commuoiquer on mémoire manatcrit où le Iroarent direloppéci « en Bériet numériques et immédiatement calculables • set expret- •ions (37) dn cas de deux plans parallèles, au moyen de la décomposition des

factions sous le quadruple signe }, en fractions partielles dont chacune a pour dénominateur un des facteurs Imaginaires, en nombre infini, des dénomioateors

de la forme ±x\ de en fracUons. Il est (Icheox qu'il ait renoncé

à les publier par la raison que ces sortes de décompositions sont comprises dan* le calcul des résidas de M. Caucbj.

(t) Mémoire sor l'équilibre d'élasticité des enfeloppes sphériques. In le l*"' août 4853, et inséré au Journal de M. LiouTille, t. XIX, 4S54.

(*} Douiiéme leçon, $66, p. 456 et suivantes.

HISTOBIQDE. Clxxiij

XXXV. IVéeessIié de se contenter de solatlons qnl snppoflent an ntode partlcaller de dlstrlbntion des forées sor les bases. Méthode inverse. MM. linmé et Clapeyron. — On ne doit pas se dissimuler, à ce sujet, que si même un succès aujourd'hui inespéré venait un jour vaincre celte difiiculté si grande, c'est*à-dire si l'on parvenait k intégrer les équations d'équilibre pour des pressions quelconques agissant sur les bases et les fac^^s d'un parallélipipède, cylindre ou prisme^ une autre difficuké peutêtre plus désespérante viendrait, indépendamment de l'immense complication Oes calculs, se dresser devant ceux qui chercheraient à tirer quelque parti de la solution trouvée. Ce serait de savoir quelles sont^ dans chaque cas, ces pressions que le problème prend pour ses données. On n'agit en effet sur la surface d'un corps que par l'intermédiaire d'autres corps en contact avec lui; or on ne sait point, et l'on ne saura de longtemps comment se distribuent les pressions sur la surface de contact de deux corps élastiques, même lorsque le second de ces deux corps se réduit à un lacet enroulé autour du premier, et auquel le poids est suspendu. Le fait est que si l'on excepte les pressions exercées par un fluide en repos, on ne connaît jamais, des forces qui agissent sur la surface d'un corps, que leurs résultantes et leurs couples ou moments résultants; on ignore, hors de là, leur mode de distribution sur -les divei*s éléments de cette surface.

D'où il suit qu'en général il importe peu de savoir déterminer l'équilibre d'élasticité d'un solide plutât sous l'action des forces qui agissent réellement, que sous celle d'autres forces statiqiiement équivalentes, ou qui ont même résultante et même moment, mais un autre mode d'application et de distribution, bien qu'on ne puisse pas dire absolument que ce mode soit dénué de tonte influence sur la grandeur des déplacements des points.

Sous tous ces rapports il faut se contenter, pour l'équilibre d'élasticité et pour les conditions de résistance des pièces prismatiques, supposées sollicitées d'abord aux extrémités seulement, de solutions relatives à un mode déterminé de distribution des forces extérieures sur leurs deux bases.

Clixl? RÊSISTAlfCe DBB BOLIDES.

MM. Lamé et Clapeyronont donné, les premiers^ deux exemples simples de ce genre de solution. Il consiste à prendre pour donnée la loi des déplacements de tous les points, et à déterminer la loi correspondante de distribution des forces à la lur'face^ ce qui permet ensuite de déterminer les grandeurs de ceux-là connaissant les intensités des résultantes et des moments résultants de cellee-ci^ supposées distribuées suivant le mode trouvé.

La loi de déplacement qu'ils se donnèrent à cet effet pour le prisme à base quelconque consiste en ce que les dilatations linéaires (positives ou négatives) soient partout les mêmes dsms le sens longitudinal, et partout les mêmes aussi, mais d'une autre grandeur, dans les sens transversaux. Les équations leur montrèrent immédiatement que cette loi est possible quand on néglige les effets très-petits de la pesanteur ; et que les forces qui la donnent sont une traction ou une pression uniforme aux divers points des deux bases, et une pression normale constante (comme la pression atmosphérique) sur les faces latérales. D'où se déduisent immédiatement les résultats trouvés par Poisson (n* XXXIl) d une manière moins simple.

Celle qu'ils se donnent pour le cylindre droit, de manière qu'il soit tordu en même temps qu'étendu ou comprimé, est qu'il y ait, outre des dilatations uniformes en trois sens^ des rotations relatives des sections^ égales d^un bout à l'autre pour mêmes intervalles entre ces sections supposées rester planes et perpendiculaires à Taxe autour duquel elles tournent. Les équations indéfinies prouvent encore que ces sortes de déplacement sont possibles sans forces agissant sur la masse, et les équations définies montrent qu'outre les tractions ht pressions normales du cas précédent (et qui peuvent être toutes nulles) il faut , sur les éléments égaux de chacune des deux bases circulaires des forces dirigées dans leurs plans, perpendiculaires aux rayons vecteurs, et proportionnelles à ces rayons ou aux distauces des éléments à Taxe de torsion (^).

(1) K« 54 ou page 837 du Mémoire cité.

BISTORIQQE. ClxXF

XXXVl. Méiliode mlmte, plus étcMi«e dans mmm •pplicAtloiui* Toralon. FleiLloB Inégale avce ^lls* «emeiits. — A la méthode inverse qu'ils ont employée pour cela et qui consiste, au moyen d'une simple ditférentiation^ à déduire les forces des déplacements qu'on' se donne^ il faut^ pour des cas pluscomposés, comme ceux de flexion, ou comme ceux de torsion de prismes à base non circulaire, substituer une méthode semi-inverse ou mixte, consistant à se donner à la fois une partie des déplacements et une partie des forces, et à chercher les autres forces et les autres déplacements^ méthode qui ne dispense pas d'intégrer, mais qui permet de réduire la part de l'intégration à ce que les procédés connus de Panalyse aux différences partielles permettent d'aborder*

Cette méthode mixte a d'abord été appliquée par nous au problème de la torsion de prismes à bases non circulaires^ de formes indéfiniment variées (*).

Jusqu'au mémoire publié en 1839 par M. Cauchy $ur la tor^ iion et les vibrations tournantes dés verges rectangulaires ('), on avait cru (n* XIX) que les résistances opposées par les diverses fibres d'un prisme à cette sorte de déformation étaient, comme pour le cylindre à base circulaire, proportionnelles aux incli* naisons que ces fibi*es prennent sur l'axe de torsion en devenant des hélices, et par conséquent à leurs distances à cet axe. Hais, au lieu de la formule G(I-|-r)d du moment de réaction de torsion qui en résulte^ comme nous avons dit (même n«), l et Y étant les moments d'inertie principaux de la section autour de droites tracées sur son plan, Caucby trouva, pour le prisme

rectangle, G — =-, 6 ('), expression qui ne coïncide avec la pré- 1 + 1

(i) Mémoire «ur la iortion dea prUmes lu le 43 Juin 4833 et inséré au l. XIV (4S55) des Savants élrangert. Et rapport de M. Lamé sur ce mémoire, du S6 décembre 4853 (aux Comptée rendus, t. XXXV11, p. 984). Plusieurs des résultais a?aicot été publiés en 4847 aux numéros des 22 février, SI mars et 40 mai des Compte* rendus, U XXIV, p. 26S, 485, 847, et au BulMin de ta Société phil. SS Terrier 4853.

(*) Exerdees, 4« aoné*.

(*) Os plutôt ,car Cauchy embrassa te cas où l'élasticité do glisse-

clXXVJ RESISTANCE DBS SOLIDES.

cédente que quand I = l' ou quand la base esi carrée, mais qui est infiniment moindre lorsque le prisme tordu esi plat ou se réduit à une lame mince ; car, alors, si V est le moment autour de la grande médiane, on peut le négliger au dénominateur comme du second ordre devant le moment I autour de la petite médiane^ et il reste G.'ir.O. Nous reproduisons l'analyse de Cauchy k une note du S 39 de notre 4"^ Appendice (p» 62i), en observant qu'elle est fondée, comme celle qu'il a employée ainsi que Poisson pour la flexion, sur la supposition gratuite que les pressions intérieures sont exprimables en séries convergentes suivant les puissances entières des deux coordonnées transversales^ et sur des suppressions, non justifiées, de termes dont on ne connaît pas le rapport de grandeur avec ceux que Ton conserve; et nous avons dd même, à cette note, signaler la suppression d'un terme négatif auquel on peut assigner une valeur égale au tiers de ce qui est conservé, en sorte qu'en en tenant compte le moment de torsion se trouve réduit aux deux tiers, ce qui donnerait manifestement trop peu, tandis qu'on a trop avec la formule non réduite de cette manière (^).

Aussi Cauchy a renoncé, en 1854, à son analyse ('), pour adopter la nôtre. Si nous avons discuté celle-là, c'est à cause de l'insistance mise par un physicien à l'invoquer pour ne pas adopter celle-ci (Appendice IV, § 38, p. 619). ' Son mémoire de 1829 a néanmoins fait faire un grand pas à la théorie de la torsion, car, outre que la formule à laquelle il arrive est exacte pour les prismes plats (r négligeable devant Ij, Tanalyse qu'il y développe fait apercevoir un rapport nécessaire entre la torsion 0 et la dérivée seconde du déplacement longitudinal des points de chaque section par rapport aux deux* coordonnées transversales ('] $ dérivée dont l'existence annonce

ment i des coefflcteDls différenis G, G' dans lei scdi parallèles aux deux coUt dii^ Feclaogle de base.

(I) Voyez aussi, même Appendice, ta noie du § 45, p. 6il.

(S) Comptée rendus, SO féfrler 4854, t. XIXVIII, p. 33G.

(*) Celle relalioD est — ~ = : 6, u étanl le pelil déplacement en qurs-

^ ' dydz I 4- r

Uon s elle n*esl exacte que pour une section elliptique.

HISTOBIQUE. ClXXTij

que les dÎTers points des sections d'un prisme rectangle tordu se déplacent inégalement dans un sens parallèle aux arêtes, ou que ces sections ne restent pas planes^ mais se gauchissent pour prendre une forme analogue à celle d'un paraboloïde hyperbolique, ou d'une double aile de moulin à vent (% d'autant plus jurononcée que les deux côtés des sections sont plus inégaux.

La nécessité de cette courbure de la section primitivement

plane s'aperçoit facilement si Ton prend, pour le corps tordu

^* ^^ autour d'un axe central^ l'ensemble

j^îiiy' g'riWil de deux prismes ou cylindres parai-

nnil ^^T^HM 1^*^*^^^*^"*» ^^6°d"s solidaires par ^""^^ IUaîWWI jg|j3^ jjgjjg rigides de manière que

leurs sections o', o'' se regardent constamment par les mêmes points d, a!', astreints à rester sur une même droite passant par l'axe 0 autour desquels on les tord simultanément Les axes particuliers des deux cylindres se changeront en deux hélices, auxquelles les sections o', o" resteront sensiblement normales; en sorte que si chacune de ces deux sections partielles est supposée rester plane, leur ensemble^ ou la section totale, ne pourra faire un' seul plan. Or quelque chose de semblable doit avoir lieu, on le conçoit, pour les deux extrémités d'une section rectangle très-allongée; le plan de cette section se changera donc en une sorte de surface gauche si Ton tord le prisme auquel elle appartient.

Une section carrée elle-même ne. saurait rester plane; elle doit nécessairement s'infléchir de manière à couper normalement^ à ses quatre angles, les quatre arêtes saillantes du prisme, devenues des hélices. Remarquons en efletr généralement que lorsqu'un prisme ou cylindre tordu ou fléchi, etc., est sollicité seulement vers ses extrénntés, ses faces latérales n'éprouvent, Intermédiairément, que la pression de 1 atmosphère; et comme celle-ci, qui n'agit que normalement, ne tend nullement à faire

(') Cette iolerpréUtion gèométriqae a été doboéo pour -la première folf i an HteMire da SO MTembre «843 {Campiêi rendw^ t. XXHI, p. 4488). l\ n'j a pat liefl de Carreler â ee qoi y est df i du prisme â base losange, l'erreur recoonue y étant plne grande que pour le priame rectangle.

dXtVilj RÉSISTANCE DES SOLIDES.

glisser les éléments de ces faces extérieures devant les pedtes faces parallèles Intérieures (si la contexture est d*égale élasti* cité en tous sens], les petites lignes matérielles intérieures qui leur étaient normales leur soni enûore normales après la défor-^ nmtion. Les sections primitivement planes doivent donc affecter la fbrme de surfaces courbes^ normales aux surfaces latérales déformées, et par conséquent aux arêtes vives saillantes on rentrantes devenues des hélices, suivant lesquelles se cou^ pent deux parties adjacentes de ces faces devenues courbes.

Et toutes les autres hélices, dans lesquelles se sont transformées les arêtes non vives^ doivent se projeter, sur les éléments superficiels correspondants de la section, tangentiellement à son contouf; puisque le contour et chaque arête ont une normale commune, qui est dans le plan de cet élément

Il en résulte de suite que c'est seulement quand son contour .est circulaire que la section reste plane et perpendiculaire à l^axe de torsion, car toute hélice projetée sur un plan perpendiculaire à son axe, donne un cercle dont le centre est sur cet axe. ( V. note du n' 156, § 4, p. 244.)

C'est aussi, par conséquent, uniquement sur une section circulaire que les inclinaisons des fibres, ou les glissements et par conséquent les résistances partielles développées, sont proportionnelles aux distances des fibres à l'axe; en sorte que c'est seulement pour les cylindres à base de cerclé que G(I -f I')0 donne le moment de torsion. Pour tout autre cylindre ou prisme cette formule donne un moment trop fort, parce que les fibres, en s'inclinant sur ie plan primitif des sections^ entraînent avec elles les éléments superficiels qui leur seiTent de base, de manière que les inclinaisons mutuelles des fibres et des éléments sont généralement moins considérables que si ceux-ci étaient restés dans leur plan primitif commun. .

Les fibres et les éléments superficiels restent même toat k fait perpendiculaires les unes aux autres, comme on vient de voir, aux quatre angles des sections rectangulaires, en soile que le danger de désagrégation et de rupture est nul en ces endroits, au lieu d'y être à son maximum comme le voulait Tao^ cienne théorie, qui conserve aux sections leur forme plane

ttlSTÔBlQUE. Clxxix

primilîve, el même celle dfe Cauchy qui, àu lieu de leur vraie fbrmey reviéût à leur attribuer constamment celle d'un plan gauche ou paraboloide hyperbolique (^).

Pour irouver la forme réelle de la surface courbe affectée par \m fieotioofl» et^ par suite, les glissements et la vraie valeur du momenif la çiéthode nouvelle dont oe grand analyste a ap^ prouvé k substitution à la sienne» a consisté» comme nous avons dit, à se donnet m partie In déplacements^ en ce qu'on les prend tels que le prisme éprouve une torsion uniforme, ou que les diverses sections transversales tournent les unes devant les autres d'angles proportionnels à leurs distances mutueUes, en se déformant toutes de la môme manière, laissée d'abord inconnue, et qui est à déterminer par la condition que les faces latérales n'éprouvent aucune action dans le sens longitudinal; ce qui est, comme on voit, poser aussi pour donnée une partie dtê fùrces.

Ea introduisant dans les équations d'équilibre les données ainsi dioisiés ou établies, la première des trois équations indéfinies et ta première des trois équations définies d^équilibre sont réduites à ne plus contenir que le déplacement longitudinal, qui même n'y entre que différéntié par rapport auic deux coordonnées transversales si l'on ajoute aux données la supposition (ultérieurement justifiée) que la dilatation des fibres dans le sens de leur longueur est nulle ou constante (').

(«) Vo7«i $ 14 it IS fl6M du ii« 45S, p. fiSO.

(*) Car ûu,v,w tont l«f projeciioos 4u dépUceBcni d'an poial lur U ooof-

4oBii^ loDgilodioale x et sur les coordoDoées transverMles y, z, et si 0" est la

lonioii par.uoiié de longueur du prisme, la doonée sur les déplacemeots s'ex-

dhf ttw

^iow par ---=:— dz, -—- =:6y; expreasions quj^ [substituées dans la première dx ax

en équalkm jndAflMe, m y a]OQlaDl Ia suppôsitioa de dilatatlou — = constanle, la

dx

dHt d^ d'il.

rMolt â ta Ibrtue 6—z + tti ■-—- + C' — ^= 0, où C, C, II soat dM coefil-

dCht* Aépendtnt de ta eontextute supposée symétrique par rappott aux secttoas ; êl la dotmée sur les forces réduit la première équatiou déttole à

ClXIX RÊSI8TANGB DES SOUDES.

Non-seulement on reconnaît que de pareilles données sont compatibles entre elles, mais encore on obtient ce déplacement longitudinal au moyen d'une intégration, qui se trouve ramenée ainsi aux méthodes connues du calcul aux dérivées partielles; et comme on déduit de ce déplacement^ par difiérentiation, les glissements sur les bases, et par suite les composantes de près* sion à appliquer sur leurs divers éléments pour obtenir Téquilibre, tout ce qu'on ne s'est pas donné en fait de déplacements comme en fait de forces se trouve déterminé.

En égalant, au moment supposé connu des forces extérieures autour de Taxe de torsion, le moment des pressions extrêmes dont a ainsi trouvé l'expression analytique, on tire la valeur cherchée de la torsion 6, par unité de longueur, du cylindre ou prisme.

Cette méthode, appliquée à un cylindre elliptique, fournit

411' précisément l'expression très-simple ^fXT^ 4^® Gauchy

avait trouvée pour le prisme rectangle. Mais en employant la même méthode pour ce dernier solide, on obtient des expressions en séries convergentes de sinus circulaires et de sinus hyperboliques dont les divers termes sont faciles à calculer en s'aidant des tables dressées par M. Guderman pour ces dernières transcendantes. Le moment de torsion auquel on arrive ainsi pour le prisme rectangle s'accorde avec celui que donne la formule Cauchy quand ce prisme est très-plat; mais il n*en est que les 0,843, ou il a pour valeur 0,843 G(I-|-r)<^ quand la section est un carré. Si Ton a donc deux barres, Tune ronde^ l'autre carrée, de même matière et dont les deux sections ont le

dz . du

où --- est tiré de 1 équation du conioor d'une leetion ; car oomme — — 6r, «y df

du

-p 4- Oy eipriaMBt lea gliateaMnts longliadinaai sur des Caeei perpendleulairai

dz

aux y et aui g, les quantités entre croebeta repréaentent les compoiantei, ani- Tant les x, des pressioni sur l'unité de ces Diees. Cea équations peuvent être réduites, par un changement de coordonnées, â la même forme simple qu'elles prennent quand on a H = 0, comme nous l'aTons remarqué en 48S3 (Appendice compléoHsntalre, p. 774).

HISTORIQUB. CIXXXj

mAme moment d'inertie autour de leur centre ^ la seconde exige, au bout du même levier^ une force moindre que l'autre dans le rapport de 0,843 à 1 pour prendre la même torsion 0 ; résultat qu'avaient manifesté^ à peu de chose près, les expériences de Duleau et de Savart^ et que Navier ne savait comment expliquer, si ce n'est en l'attribuant à une différence présumée de qualité dans les fers.

De même que dans l'établissement des conditions de résistance à la rupture éloignée par flexion pure^ on doit prendre pour le point dangereux ou le plus expc^ celui où se trouve la grandeur la plus considérable de la dilatation linéaire à laquelle il s'agit d'imposer une limite^ de méme^ dans la résistance à la rupture ou à l'énervation par torsion, on doit prendre pour ce point celui où le glissement sur une section est le plus grand, c^est-à-dire où l'inclinaison d'une fibre sur l'élément correspondant de la section est le plus considérable. Ce point est toujours sur le contour de la section ; mais, tandis que dans la théorie commune, et même dans celle de iS^ de Caucby, ce point serait l'un de ceux qui se trouvent le plus éloignés de l'axe de torsion, et par conséquent serait l'un des angles de la section rectangle ou carrée, la théorie nouvelle le place au contraire à l'endroit du contour le plus proche de l'axe, c'est-à-dire aux milieux des plus grands côtés si la section* est rectangle, ou aux extrémités du petit axe si la section est elliptique, etc., ce qui s'explique en considérant que c'est en cet endroit que la normale à l'élément de la section s'incline sur Taxe de torsion dans le sens le plus directement opposé à celui où s'incline la fibre, en sorte que ces deux inclinaisons sur l'axe s'q/oti^^n/ pour composer le glissement, qui est Tinclinaison mutuelle de cette normale et de la fibre; au lieu que pour les points les plus éloignés de l'axe, les deux inclinaisons partielles, plus fortes chacune, mais de même sens, se soustraient l'une de l'autre, et donnent pour résultat le glissement minimum ; et même zéro ou une convpensation exacte et un glissement nul aux angles saillants comme on a dit.

Le même fait de la situation du plus grand glissement aux points du contour les pljps rapprochés de l'axe se reproduit

pour plusieurs sections d'une autre forme : par exemple, la sec* tioa en étoile à quatre pointes et la section en triangle équilatéral ; mais il ne saurait être général, car nous avons vu qu'aux angles rentrants j quand il y en a, le glissement est nul comnoe aux angles saillants^ et il serait faible aux endroits ofirant un creux arrondi, mais étroit. Même, dans les sections en double spatule^ comme celles des rails de chemin de fer^ les points dangereux se trouvent dans des situations intermédiaires entre les points du contour qui sont le plus rapprochés et eeux qui sont le plus éloignés du centre on de l'axe de torsiûn,

La même analyse fournit en effet toutes les circonstances de la torsion de prismes ou cylindres ayant une Infinité d'autres bases que l'ellipse et le rectangle, et Ton pourrait même, par son moyen^ avec un travail suffisant, les déterminer par approximation pour une base de forme donnée quelconque. Qu'on prenne, en effet, pour le petit déplacement longitudinal u, qui détermine la forme nouvelle de la surface primitivement plane des sections, une somme quelconque d'un nombre infini ou fini de termes, soit algébriques entiers, soit transcendants en y, z (coordonnées trunsvcrsalcs appelées u, v k la. note du n* 456), avec la seule condition de satisfaire à Téquatlon Indéfinie du second ordre, ce qui est toujours facile en déterminant une partie des oocnicients dont les termes sont afi'ectés, en fonction des autres qu'on laisse indéterminés; et qu'on substitue cette expression de u dans l'équation générale définie qui exprime la nullité des pressions sur les foces latérales, on a uue équation différentielle du premier ordre qui n'est autre chose, en y et jc, que celle des contours répondant à l'expression monôme ou polynôme choisie pour le déplacement longitudinal; et cette équation, qui sHntègre toujours décilemême (*), donne, pour le contour, une équation, ou plutôt une

(!) sq effet (do(? préc*4entç)| çn ?e bprofiit 4^ w R =;= 0, Ç ==Q', Iç premier

il ti est une des fonciloQS de y^ 2, d'une infinité de fornnes, algébriques ou trann-: ccBdaDiei, qui liUs font à — -f — = 0. (Voyemoledu n" 456, fj 40, p. «So.î

msTOBiQUE. clxzxiij

iofinité d'équatioDS non différentielles, différant entre elles par la grandeor de la constante qui occupe seule le second membre, et dont les valeurs diverses suffisent pour faire varier considérablement la forme représentée. On a donc une infinité de classes d'un nombre infini de contours de sections planes dont on peut connaître le changement en surfaces courbes^ pro* 'dult par la torsion du prisme ou cylindre auquel elles serveiit de base, ce qui fournit immédiatement le moment de torsion et les conditions de résistance à la torsion. qui leur sont relatifs.

Au nombre de ces sections est le triangle équilatéral, qui donne la formule de torsion la plus simple après le contour circulaire. Au nombre est aussi une courbe du huitième degré en forme de croix de Malte ou d'étoile à quatre pointes arrondies, donnant pour moment de torsion les 0,537 seulement de ce qu'on aurait en prenant l'expression G(I -]- 1')6 de l'ancienne tbéorie, ce qui prouve que les axes ou arbres tournants de machine dits empluniés ou à côtes saillantes, qui résistent assez bien à la flexion^ sont fort peu propres à résister à la torsion (Y. note du n* 156, § 37, p. 335-343]. Au nombre est même une section composée de deux orbes séparés, presque circulaires, bases de deux cylindres parallèles supposés tordus simultanément ou solidairement autour d'un axe intermédiaire [idem, $ 36, p. 332) ; on voit, par le résultat, qu'ils ne résistent que pour un moment égal à la somme de ceux qui se développeraient si on les tordait séparément autour d'axes inté* rieurs; et un raisonnement simple et général [idem, § 15, p. S65) vérifie que le moment de réaction de torsion d'un prisme ou cylindre a la même grandeur, quel que soit Taxe intérieur ou extérieur, parallèle à ses arêtes, autour duquel on lui fait éprouver une torsion déterminée très-petite.

La même analyse, appliquée dans un cas fort simple^ donne les OfiA de G(! + V]b pour le moment de torsion d'un prisme ayant pour base une courbe du quatrième degré, en forme de carré curviligne à angles un peu arrondis. Comme le coefficient numérique diffère extrêmement peu de 0,843462 trouvé pour le carré parfait à côtés rectilignes, mais qui a été fourni par une analyse ti*anscendante non susceptible d'éife exposée dans les cours de mécanique pratique, on voit que l'on peut dé-

CllXXir BÊSISTANGB DES 80LIDB&

montrer dans ces sortes de cours, en se bornant à des approximations, les résultats principaux de la théorie nouvdie de la torsion.

XXXVn. Tonton préMaiée éléoieiitolreaieBt.

— On peut en effet établir élémentairement, et même de plusieurs manières (entre lesquelles Texpérienoe de renseignement pourra seule fixer le choix pour chaque cours) les théorèmes exprimant les équations de cette théorie \^). Ainsi, en concevant le prisme comme partagé en fibres ou éléments parallélipipèdes rectangles dont les quatre arêtes latérales sont parallèles aux siennes ou à Taxe de torsion, on évalue, comme on verra à la note du n** 156 (§ S, p. 245), les glissements longitudinaux^ qu les petites diminutions éprouvées par les angles primitivement droits de ces arêtes avec les côtés des bases des éléments, en additionnant les diminutions que ces angles éprouveraient si les arêtes des éléments se déplaçaient seules en vertu de la torsion qui les change en hélices,' avec les diminutions qui auraient lieu si c'étaient seulement les petites bases élémentaires rectangles qui prissent une inclinaison, ou leurs quatre côtés qui changeassent légèrement de direction en vertu du gauchissement des sections planes dont ces bases font partie. Et comme les actions ou composantes de pression longitudinales sur les quatre faces latérales des éléments solides sont proportionnelles à ces glissements, dont les grandeurs ont sur les faces opposées deux à deux une partie commune qui disparaît, on* conclura, au §6 (p. 248-250), en posant simplement l'équilibre de quatre forces de même direction, la propriété générale ou indéfinie dont doivent jouir toutes les siu'faces légèrement courbes dans lesquelles se changent les sections planes des prismes tordus; propriété dont on donne au § 7 (p. 251)

(^) Noos ne parlons pis de retsai, fait par Tredgold, de ramener la tortioa d'un priime â une sorte de flexion aulour d'une diagonale Joignant un point d'une de ses bases avec un point opposé de l'autre base (section VI de VBêaai nur la rétUiance du fer couU, traduite de la %• édition, 4St6, ou n" S33 de la nouvelle édition anglaise). Cette sorte de considération ou de comparaison ne conduit à aucun résultat qu'on puisse regarder même oomoM approché.

HISTORIQUE. dXXXV

une démonstration plus directe, mais encore fondée sur le principe ou lemme général d'addition pure et simple des effets trèspetits dus aux deux causes de glissement.

Hais on peut se passer de ce lemme, ou des suppressions, et démontrer très-simplement ou directement, d'une autre manière qu'aux §§ cités de la note du n** 156, ces deux propriétés de la surface des sections, en faisant usage seulement des considérations rigoureuses et si connues de projections de lignes droites et de lignes brisées (^).

(i) Qu'on prraiM en effet pour anitè de longaenr la petite distance det deui lectîons planes traosTersalea Toisines dont faisaient partie les bases rectangolaires B, B' d'un des petits éiémenls paralléiipipèdes eontldérés. Goe rotation, d'un petit angle 1, de la deuxième section, inclinera les quatre ardtes de cet élément, de sorte que la projection de l'une d'elles, a, sur un plan perpendiculaire à l'aie de rotation ou de torsion, sera le produit de 0 par la distance de l'ardie à cet axe; et les projections de la même ardte a = 4 sur les deux côtés adjacents prU mitirs c, if de la petite base B seront, abstraction faite du signe, les produits de 0 par les distances respectlTcs, au même axe de torsion, de ces côtés e, <f prolongés; tandis que la projection de cette même arête sur une parallèle à l'axe est = 4 , à cela près d'une quantité de second ordre â négliger.

Or, supposons que le coté e de la petite base B de l'élément se soit courbé légèreosent i cause du gaucbissement possible de la section dont elle fsit partie, m appelons i la projection, sur sa tangente menée au pied de Taréte a, de l'unité de longueur portée sur l'axe de rotation, nous aurons, pour la projection de Parèla a sur cette même tangente, la somme des projections de ses trois projections rectangulaires ci-dessus ; cette somme sera simplement i plus ou moins le produit de I. par la distance du côté c i l'axe, car la troisième projection de Farête a, celle qui a été fïilte sur le deuxième côté adjacent c', donnera zéro pour quote-part. En appelant t| une projection semblable, faite sur la tangente nienée i la deuxième extiémilè du même côté c derenu courbe, la projection, sur cette deuxième tangente , de l'arête a' aussi = 4 , adjacente â cette deuxième extrémité da petit coté e, sera <| plus ou moins produit de 0 par la distance du côté e à Taxe; en sorte qu'à cause de cette dernière partie qui est commode, la différence des projections respectlTes, sur les deux tangentes, des deux arêtes a et of adjaeenies au^ deux extrémités du côté c, se réduira â i^ — t. Or les actions tangentielles qni sTexercent, parallèlement aux arêtes, sur les deux teoes latérales perpendiculaires au côté e, ont pour intensité le produit d'un coefficient d'élastidlé tangentielle G multiplié par les projections dont on vient de parler, qui mesurent les glissements estimés dans In sens longitudinal ou des arêtes. Comme ces forces longitudinales dolTCnt être tenues en équilibre par celles qui s'exereenty dans une direction parallèle, sur les deux autres Osées latérales du même élément parallélipipède dont on abstrait la pesanteur et dont on suppose que les baaes ne sont point pressées normalement, on en conclut

ehXXVJ RÊSISTilNGS MS SOLIDES.

XXXVIll. «vite de 1» méfli^de mlmte. Vlexton fféBéruleaiemt Inéi^ale et mirem ylimieiiieials. *-* Le

problème de la flexion e^i du même genre que celui de la tor* sioDy mais sa solution exacte et complète, par la môme méthode mixtej est plus compliquée, et nous ne l'avons obtenue

si G' eit 00 second coefficieot d'élasliciié de la jnalière doot on suppose la coqtellure syroélrlque dans les sens de division des éléments, el si j^j^ repréienlent la môme chose pour le deuxième c6ié c' de la baie^ aussi devenu euurbe, que t, i| pour le premier c. Comme ces quatre pelites quaniiiôs aont aussi les pentes ou inclinaisons des quatre tangentes sur le plan primitif de la s«ciioo perpendiculaire é l'axe de torsion, on voit que si la contexture est la même dans tous les aens transverstox* ou ai G=:G', les surraces légèremeni courbes affecliet par les sections primitivemeut planes sont de colles dont la pente croit dans un sens, ^ partir d'un point quelconque, autant qu'elle décroît dans un sens perpendiculaire, ou doni les rayons de courbure, mesurée dans deux plans normaux à angU droil, sont partout égaux et opposés.

Aux points du contour des sections, tu la conservation do la nornalUé des petites lignes matérielles primitivement normales à la surface latérale (qui n'éprouve que la pression normale de l'atmosphère). Il faut que les arélms do prisme ou cylindre, comme toutes les autres ligues tracées sur cette surface latérale après sa déformation, se projettent langeniieUement au contour sur le pian mené au même point tangentiellement i la surface courbe de la section, D*o<lk l'on dédoit, si y et 2 sont les deux coordonnées rectangulaires transveraalos, supposées prises parallèlement aux directions primitives des éléments solides dans lesquels on a conçu divisée la tranche mince comprise entre d«tti sections, rorigine

dz étant prise sur l'axe de torsion, que le rapport—- des projections, sur ces ooor*

données, d'un élément lieéalro du contour, doit être égal au rapport -; — ^ des

deux Tsleurs qu*on vient de trouver pour les projections d'une atétc •a=r4 sur ileox petites droites reeungulaires e, (/ qui sont, après les déformations, sur le plan tangent à la section. SI les élasticités sont différentes dans deux sens y, z regardés oomme principaux quant i la contexture, il faut multiplier respectivement par les eoefliclents G et G' le numérateur et le dénominateur de eette fTaetlon, qai repréaenteront après eette multiplication les composantes longitodlnalea de pression sur r'jnlié de petites faces perpendieolaires aux z el aux y ^ oomposantM dont les expressiona seraient plus compliquées, et produiraient Pëquatlon iléSni« de la note précédente (p. exxxviij) si la oonleiture n'étali'sy métrique qoe par rapport a«z sections.

Kous espérons que celte déneonslrallon, de plusieurs manières élémentaires, des deux principes ou des deux équations fondamentales de la théorie nouvene de la torsion, qui a été approoTée par l'Institut de France, et eonflnuée par des géonètree da TAllemagne comme seule vraie, pourra faciliter son introduction dSns i'onfHgnpmcnt des savante professeurs, nui «lauront lui Imprimer lenr cachet d'habituelle lucidité, et qui,. en opérant comme aux ^ 40 et suivants de la note ci-après du n*> 456, pourront en déduire, san* calcul différentiel, les diverses conséquences pratiques.

HiST0«iQU6> clxxxvij

qu'après de longues recherches (^]. Les secUous ue restent planes e% normales que quand la flexion est égale d'un bout à l'autre ou s'opère en aro de cercle, Dans tout autre cai les seçtiona s'inclinent sur la fibre centrale, et se gauchissent ou «e changent ep même temps en surfaces courbes. La propriété de ces surfaces, relative aux points du contour, est la mèm^ que dans la torsion, car elles coupent encore normalcnnent, en tous ces points, les faces latérales déformées du prisme ; maiSi aux points intérieurs, la somme algébrique des deux cour-^ buiies principales de la surface ( ou ce <iue nous avons appelé i, — i-^-Jt —j tt la note du n" précédent), au lieu d'être nulle partout comme dans la torsion, doit avoir une grandeur pro* portionnelle h l'une des deux coordonnées transversales, celle qui se mesure parallèlement au plan de flexion. La donnée sm les déplacements n'est autre chose que ce qui caractérise ou dé* finit t^ne flexion^ h savoir qu'à travers chaque section les dilatations des diverses fibres varient uniformément dans un certain sens transversal, ou sont proportionnelles h la même coordonnée dont on vient de parler. La donnée sur les forces consiste en ce que les faces latérales n'éprouvent aucune action longitudinale ni transversale ni normale. Et il faut, pour rendre le problème déterminé, en joindre une autre ; elle consiste à supposer qu'à l'intérieur les fibres ou éléments longitudinaux n'exercent mutuellement aucune action transversale^ ou perpendiculaire à leur longueur, tout en pouvant agir les uns sur lea autres dans le sens de celle-ci \ supposition ou donnée complémentaire dont l'analyse prouve la compatibilité avec les autres ain^ qu'avec les conditions générales de l'équilibre d'élK^ticité^ et qui S9 trouve ainsi justifiée ultérieurement.

En exprimant analytiquement les données choisies comme on vient de dircj on déduit d'abord que le moment de flexion, s'il varie, ne peut le faire que d'une manière uniforme d'un bout à l'autre du prisme ainsi sollicité sur les seules bases extrêmes, en sgrte que ce moment s'exprime' linéairement en fonction de l'abscisse comptée lopgitudinalement. Une pr4n)ière et facile

(I) uémvitP ftvr ^ IwlOQ dt» i^rUiPQi, lur k» gllsieneati, etc., lu U» 90 oo- T^bre 4S5^. loarq^l Lipitfille, ISSS.

CJliI?iij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

intégration des équations qui en résultent donne les expressions des déplacements des points dans trois sens» mais avec des fonctions arbitraires. On parvient à réduire ces fonctions à une seule; et la détermination de cette fonction des deux coordonnées transversales dépend de Tintégration d'une équation du second ordfe aux dérivées partielles, sous la condition exprimée par une équation au contour. Ces deux équations indéfinie et définie sont celles qui caractérisent, comme nous venons de le spécifier, les surfaces légèrement courbes dans lesquelles se changent les plans des sections, car la fonction inconnue représente la petite ordonnée de cette surface. L'intégration donne une série transcendante quand le contour des sections est un rectangle, mais simplement une fonction entière du troisième degré pour une multitude infinie de contours courbes, au nombre desquels se trouvent Tellipse et le cercle.

De cette analyse, parfaitement rigoureuse tant que les déformations restent extrêmement petites, et dont les conclusions générales peuvent s'étendre à tout prisme ou cylindre de matière homogène quelles que soient la forme du contour des sections et la variabilité de l'élasticité en divers sens autour de chaque point, l'on déduit que si la surface latérale n'éprouve d'un bout à l'autre qu'une action ou nulle ou normale et constante comme celle de l'atmosphère, et si ses bases sont solliciljiées : i* normalement par des forces qui varient, sur leurs divers éléments superficiels, comme une même coordonnée transversale, mais dans deux proportions qui peuvent être diflérentes sur ces dejux bases, bien qu'elles y aient des résultantes égales et opposées; â"" tangentiellement, par d'autres forces, dont les intensités et les directions, les mêmes sur les éléments homologues de ces mêmes bases, dépendent, et de la difiërence des deux proportions dont on vient de parler, et de la forme du contour; le prisme ainsi sollicité fléchira en arc de cercle quand les deux proportions en question seront les mêmes, oti les forces normales égales aux points homologues des deux bases, et quand les forces tangentielles seront nulles ; et, dans tout autre cas, il fléchira suivant les courbes que fournit la théorie ordinaire (n** X à XV ci-dessus), dont les formules sont, ainsi, exactement vraies en ce qui concerne les tractions et les dila-

HISTORIQUE. ClXXXiX

talions longitudinales des diverses fibres, ainsi que les moments de flexion {^), sous la condition du mode particulier ici supposé d'application et de distribution des forces sur les bases extrêmes, forces dont les composantes tangentielles ajoutées ensemble pour un certain sens (qui diffère quelquefois de celui de flexion^ n* XYI) donnent pour somme Veffart tranchant ou transversal, égal d'un bout à l'autre, et dont le produit par le bras de levier forme le moment de flexion en un point quelconque.

Mais la théorie nouvelle, en offrant une vérification de la théorie ancienne dans ce que celle-ci donne, et sous une condition qu'elle spécifie, révèle des faits que la théorie ancienne ne donne pas, savoir le changement léger de la forme du contour des sections, et, de plus, leur inclinaison sur les fibres, ainsi que leur incurvation, et par conséquent l'existence de glissements transversaux de ces sections les unes devant les autres, ou longitudinaux des fibres les unes coptre les autres, circonstances qui augmentent les flèches de flexion, et peuvent influer sur les grandeurs des réactions de certains ap* puis (note du n* XVil), et qui, surtout, modifient quelquefois d'une manière sensible l'établissement des conditions de résistance ('}.

Ces résultats fournis par l'analyse, mise en œuvrelégitimement au moyen de suppositions que la suite justifie, peuvent être vérifiés à posteriori, soit par un calcul, comme on verra

(*) CMl-à*dire que si, s étant une coordonnée transversale, p. et p| deui eonilaniAS linéaires, B le modale d'élasticité d'extension, les éiéments dta des deux

bases a» sont aollicités normalement par des forces ^zdiù, - zâiù, et tangenllel'

P» Pi lemeBt par dea foreea dont la somma de composantes dans le sens m est

, F=:^( — — — 1(1 étant le moment d'inertie de la section et a la longueur

dn prisme), le asoment de Omion. sera, A une dIsUnce x d'une dea extrémités,

F (a — x), et la dilatation de la libre dont. Tordonnee est r sera

« V p. Pi y

(S) Note du o* 464, p. 94S-i3S;et, aussi, $S 44, p. 3S3, et 58, p. 453, de la loiedn n" 15S.

ete RÉSISTANCE Des SOLIDES.

i r Appendice m (S§ 36, 97, p. ois, 613), soit d'ttn6 lûdntèire géométrique et élémentaire comme on verra h la note dtin* 80 (SS 3) ^f B) p. 34 à 39) en ce qui concerne la flexion proprement dite, et, à celles des n'- 152 (§§ 2, 3, 4, p. 189 il 190} et 456 (§S 4S) 46, p. 389 à 413) en ce qui regarde les glissements qui l'accompagnent, enfin sous une forme didactique et à peu près synthétique à TAppendice 11 (§ 13, p. 937). La démonstration élémentaire (*), pour la flexion, est fondée sur ce lemme, que quand des fibres traversant une même section éprouvent, suivant leur longueur, des dilatations ne variant que linéairement avec les coordonnées mesurées sur cette section, il est toujours possible de modifier leurs petites bases de manière que ces fibres, ian$ ceseer d^être cùntigués, subissent les mêmes contractions transversales, suites de leurs dilatations longitudinales (n* XXXII), que si elles formaient autant de petits prismes isolés, en sorte qu'elle ne se pressent ni ne s'attirent nullement l'une l'autre psr leurs faces latérales dans un sens perpendiculaire à leur longueur. Un lemme semblable a besoin déjà d'être invoqué, même pour démontrer la loi plus simple et généralement admise, de rallongement d'un prisme, sans flexion, quand il n'est que tiré d'une manière uniforme sur ses deux bases (note du n<» 21, § 3, p. 16).

Et l'on obtient approximativement les grandeurs des glissements, quand une pièce mince est sollicitée de champ à fléchir, lorsque sa largeur est beaucoup plus petite que son épaisseur dans le sens de sollicitation, en posant l'équilibre d'un petit élément longitudinal. On en déduit la forme de la doucine du troisième degré que les sections doivent affecter, en tenant compte des contractions transversales qui accompagnent les dilatations. On prouve d'une autre manière, aussi fort élémentaire, que les fibres d'une pareille pièce doivent adhérer ensemble et exercer les unes sur les autres, longitudinalement, des actions considérables* sans lesquelles la pièce solide ne résisterait pas plus à la flexion que plusieurs planches minces

(1) Fin du Mémoire nur la fiexi(m,àe 4854, imprimé au Joursal LiouTille 4SS6, art. 31. Voir tusii noie ct-aprés dn n<> 80, p. 3S, et Appendice II, p. 534; et auiti, Appendice complémentaire $70, 4<», p. 767.

HiâTORiQirs. eiq

mperpoiéeS; de mAme largeur et d'égale épaisseur totale, 'comme on a dH au n* XYIII^ p. cxxv. Or on en déduit la vtt^ îMon approchée des glissementsi et la nécessité de la courbort des Motions en doucine (note du m i56/§45, p. 389).

XXXIX. âor lc« «olniloiàs Indirectes en ffénéml. Remarqae d'Ampère. — Les solutions dont on vient de parler^ et même les équations particulières dont on doit Jes tirer, s'obtiennent, comme Pon voit, d'une manière plus ou moins indirecte, en prenant plusieurs données dont on reconnaît enluite Paccord mutuel, ou la compatibilité entre elles ainsi qu*avec les lois de l'olastîcitê, c'est-à-dire en faisant plusieurs suppositions dont la légitimité est ultérieurement vérifiée. Et même, le plus souvent, au lieu de déduire, de l'équation supposée donnée du contour des sections, celle des surfaces courbes dans lesquelles leurs plans se changent, on est obligé de poser celle-ci, en les astreignant à satisfaire à leur équation différentielle dite indéfinie, et d'en déduire les contours correspondants.

Cette marche ne doit pas plus étonner qu'empêcher de regarder les résultats comme exacts. En mathématiques, les solutions tout à fait directes, par dégagement des inconnues, sont extrêmement rares. On ne résout le plus souvent les problèmes que par essai et vérification. Cela se voit dès Tarithmétique par les opérations de l'extraction des racines, et même de la division numérique, et par toutes les solutions dites de fausse position, qui conduisent au résultat soit d'un seul coup soit par une suite d'approximations. Le calcul intégral n'est guère qu^une collection de résultats inverses; on peut remarquer spécialement que Vintégration des équations aux dérivées partielles, dans les problèmes analogues à ceux de la chaleur, ne s'obtiennent qu'en choisissant et vérifiant quelque solution particulière dont on part pour composer par addition la solution générale et complète en une série dont on détermine ensuite les coeflBcients, en montrant finalement que cette solution obtenue est iiBique par cela seul qu'elle satisfait à tontes les conditions du problème, vu qu'il est complètement déterminé.

CXClJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

C'est précisément ce que nous faisons poar nos solations de questions d'extension» torsion et flexion des pièces élastiqufis. * C'est ainsi qu'en physique même la découverte des lois des phénomènes s'opère par la méthode d'explication, comme disait Ampère^ ou de sytahése inverse, bien plus que par la déduction directe ou par l'induction pure que préconisait Bacon sans l'avoir jamais appliquée (^).

•XL. Problème le pta« i^énéral de ce ^enre, traité par M. Cl^tseh. — ' Ce professeur éminent^ qui de Carlsruhe vient de passer à l'Université de Giessen, a eu Tid^ d'embrasser dans une même analyse toutes les solutions d-dessus ('), en partant seulement deiios données sur les actions extérieures latérales^ et de ce que nous y ajoutions constamment, sauf vérification, pour l'intérieur; et il a bien voulu donner notre nom au problème général : a Déterminer quels sont les systèmes des forces qu'il faut appliquer aux bases extrêmes d'un prisme pour que, ses faces latérales étant fibres, les sections intérieures longitudinales (ou les faces des fibres) ne supportent rien dans le sens transversal^ ou perpendiculaire auxarêtes, et quels sont les déplacements ou les diverses petites déformations qui résultent de cette application. » Il trouve que les déplacements transversaux qui y satisfont sont exprimés par des fonctions entières du troisième degré des coordonnées, et que les déplacements longitudinaux se composent d'une pareille fonction^ plus une autre qui dépend de la solution d'une équation du second ordre aux dérivées partielles à deux variables. Et il remarque que cette dernière fonction peut être décomposée en quatre autres, qui, isolément, seraient relatives aux cas : 1"* d'extension, â* de torsion, 3* et 4* de flexions sifnples autour des deux axes principaux d'inertie des sections. Ces quatre sortes de déformations, sont les seules que puissent prendre les prismes ou cylindres.

(1) Ampère. ËUMinar ta philoêûphie des tcienees, 4 834 et 4S43.

(*) Théorie der BltutieiUU F^ster KnrperU%^^.

if) C'eti-à-dire que A x eti la coordoonée loogltudintle, «d ait, |iartoat, dani. rintèrlear du prisme, comme sur ses foceB laièrales, let compotaiiiet 4e pressioa PfV) P«s* Pv« Balles, mais non pas les composantes longitudinales |>m, py«.

HISTORIQUE. CXCiiJ

sollicités sur leurs bases de manière que, sur les faces loi)^tudinales intérieures, il n'y ait d'actions que parallèlement aux arêtes; et il faut, pour que cela ait lieu ainsi, que les forces soient appliquées et distribuées, sur les bases, des diverses manières que nous avons déterminées dans nos deux mémoires.

Hais M. Clebsch observe ensuite, comme nous, que lorsque, au lieu de ces forces, on en applique d'autres qui agiraient de la même manière sur un corps rigide, c'est-à-dire qui aient la même résultante et le même couple résultant que celles-là, mais qui soient autrement appliquées et réparties vers les extrémités des prismes , s'il en résulte quelques actions transversales sur des faces longitudinales intérieures dans de petites . étendues à partir de ces mêmes extrémités de prismes d'une certaine longueur, cela n'empêche pas les formules de donner toujours leur extension, leur torsion et leurs flexions avec toute l'approximation désirable.

De nombreuses expériences, ainsi que nous l'avons déjà dit au n* XXXV, prouvent en effet cette presque indifférence du mode d'application et de distribution des forces vers les extrémités; et cela, non-seulement pour les deux cas, cités à ce numéro, d'extension simple d'une tige et de torsion d'un cylindre circulaire, qui se résolvent exactement par la méthode purement inverse, mais aussi pour ceux de flexion, dont les formules, fournies par la méthode mixte, l'étaient déjà par les hypothèses de la théorie ancienne; théorie qui supposait tacitement (il faut le remarquer] ce que la nouvelle exige et énonce, à savoir faction, sur les bases, de forces distribuées suivant le mode assigné pour toutes les sections intermédiaires, et qui n'est jamais réalisé sur les sections extrêmes. La même presque indifférence du mode de distribution doit avoir lieu pour l'emploi des formules nouvelles qu'a fait découvre la même méthode mixte ou semi-inverse, simple instrument servant à appliquer les ipêmes principes à des cas plus complexes.

Les solutions exactes que donnent ces deux méthodes, qui n'en font réellement qu'une, fournissent pour l'extension, la torsion, les flexion^ d*un prisme, une sorte d'état-type ou limite, susceptible d'être comparé à celui qui est déterminé en