wi

CXClV RÉSISTANQB DKS SOLIDES.

physique mathématique dana beaueoiip de pbteomèim d^tin autre genre. U eat» pour lee diveraei iectiom, k une dialaftee sensible de chaque extrémité» oe qu'est Fétat permanent d*nû écoulement d'eau^ ou l'état de règlement auquel arrive le mouvement d'une machine quelques instants apiès oelai oh elle aconunencé à se mouvoir, vu que l'action des causes oonstatttes efface promptement Tefiet des causes initiales. C'est un état qui se continue de lui-*méme une fois qu'il est atteint, et vers le^ quel converge promptement jusque-là l'état réel du prisme étendu, tordu ou fléchi, quel que soit le mode d'application des forces données vers les extrémités, à mesure que l'on considàre des sections de moins en moins voisines de celles-ci; car, ioi) le règlement s^opére par Vespace et non par le tempe.

On le vérifie encore en remarquant que des forces qui se font équilibre sur une petite partie d'un prisme (en caoutchouc^ par exemple), telles que celles qui viennent des mftchoires d'une te* naille, ne produisent guère d'impression au delà de cette petite partie oA elles agissent (note du n<» 80, p. 41); d'où il suit, puisque deux systèmes de forces statiquement équivalents ne difl^at l'un de l'autre que par des forces qui se font ainsi équilibre, qu'ils doivent, appliqués vers une même extrémité d'un prisme, produire sensiblement le même effet sur toute sa longueur hors une portion extrêmement courte vers cette extrémité.

On peut donc, quel que soit le mode d'application et de distribution, vers les extrémités, de forces ayant une résultante et un moment résultant déterminés, se servir très-approxima* tivement des formules dont la rigoureuse exactitude exigerait un certain mode particulier de distribution et d'application.

Et il est heureux qu'il en soit ainsi, car, comme nous avons dit au nT XXXV, le mode réel lui-même, ou le mode censé donné, est toujours à peu près inconnu ; et si le problème des déformations dues h des pressions connues aux divers points de la surface était résolu pour les prismes, comme M. Lamé Vu résolu pour la sphère, H resterait inappliqué faute d'en connaître les doMiéee dans chaque cas. On ne connaît en effet jamais que les résultantes et les moments résultants des forces qui agissent sur uA solide par IMntemédiaire d'autres solides. Et ta solution

HISTOBIQUB. CXCT

dé c6 grand problème de calcul intégral w% dérivées partiellesi li jamais on la trouve^ s'aura probablement pas d'autre usage que de démontrer d'une autre manière, en en faisant mieux voir rapproximation, les formules ci-dessus^ connues ou nouvriiement trottvéeif d'extedaidn^ de toraion at de fllxiûft> guf ; dftna lea ippKcaiimii') serviront toujours exdUsivMMAt. ^ ^ - ^ '^ ' ^^ ^) -1 ^^

XLI. T tcc« inflniiiièiii knliiéM. M. mPeiklà^È. u^^ ' ^ ^ ^ ^

Ces formules sont d^ailleurs exactes quel dUé Soit le feoHe d'iii>' • /'^ > plîcation des forces aux extrémités des prismes, torsftte ceud^-âi ont des dimensions transversales infiniment petites par rapport à leur longueur. M. Kirchhoff l'a démontré au moyen de don&U dérations délicates appartenant, à proprement parler, plutôt % la cinématique qu'à la mécanique, car elles lui servent à exprimer analytiquement (voy. Appendice complémentaire §§ 95 et 96, p. 830 à SU) les déformations qu'un pareil solide est susceptible d^éprouver indépendamment des forces capables de les produire, en mettant pour seule condition que certaines quantités ne deviennent pas infinies Vis-à-vis d'autres, ce qui revient à ce qu'il n'y ait rien dé brusque dans les variations des diverses quantités d'un bout à l'autre de la tige dont on s'occupe.

Ces déformations ne peuvent être, comme lé prouve Son analyse^ que des combinaisons de celles des espèces qui ont été considérées ci-dessus, c'est-à-dire, pour chaque tranche ou tronçon infiniment court, une extension ou contraction loQgitudinale commune à tous les éléments du Second ordre, des extensions ou contractions transversales, aussi communes à tous, enfin des flexions en deux sens, et une torsion. Or on ' déduit de là, en y joignant toigours notre supposition, ultérieurement vérifiée, de pressions intérieures transversales nulles sur ks sections longitudinales quand les forces ne sont appliquées qu'aux extrémités, la vérification de toutes nos formules (li(»8 eàOm des glissements sans torsion, car ils sont infiniment petits du second ordre et négligeables dans un pareil solide). Nous avons déjà parlé (à une note du n** XXI) de TextensioQ possible de l'analyse de l'éminent géomètre-physicien de

CXCVj RÉSISTANCE DES SOUDES.

Heidelberg, à des tiges natiirellement un peu courbes, et un peu tordues ou torses, et, aussi^ de grosseur variable lentement et graduellement.

XLU. Anplol dm potentiel dc« forces moléev* lalre«, oa de leur travail entÊ^e Tétat naturel et nn état de torsion déterminé. IVavier. Green. eanfls. Tltonison. M, Clapeyron. — C'est, comme nous avons dit au n* XXIII, en se servant de la méthode de la mécanique analytique de Lagrange, légèrement perfectionnée au moyen du calcul préalable du potentiel ou du travail virtuel fini de toutes les forces en jeu, pratiqué par Navier dès 4821, que les savants de FAngleterre et de TAUemagne ont traité les questions de l'élasticité. Green, d'abord^ en 1837*1839, dans ses deux célèbres mémoires sur la lumière, a réduit par cette considération et en usant d'un raisonnement original (tiré de l'impossibilité du mouvement perpétuel], les coefficients des formules à vingt-un comme nous avons dit, ce qui ne préjudicie nullement à leur réduction à un nombre encore moindre par d'autres considérations qui sont toujours inéiitablement invoquées; et il a posé et ingénieusement mis en œuvre les formules exprimant jusqu'aux quantités très-petites du second ordre, ces six quantités que nous appelons dilatations et glis^ sements qui se présentent dans tous les calculs, et que le savant M. Macquorn-Rankine appelle strains ifoulures, déformations), tandis qu'il nomme stresses les six composantes de pression suivant les mêmes axes rectangulaires. On doit, sur le même sujet, à MM. Mac-Cullagb, Haughton, W. Thomson, Stokes, Maxwell^ Kirchhoff, Glausius, Charles Neumann^ Clebsch, et, antérieurement, à l'illustre Gauss, des vues nouvelles et d'utiles considérations que nous avons citées et dû discuter à l'Appendice V et à l'Appendice complémentaire. M. Rankine, surtout, a fait sur les lignes qu'il appelle axes d'élasticité j par rapport auxquelles certaines forces élastiques se distribuent symétriquement, un travail digne de r^narque, où il dasse les coefficients des formules (au point de vue où l'on en compte 21 distincts) et où il généralise, pour des axes coordonnés obliques, la considération des glissements, qu'il appelle

HISTOBIQUE. CXCVij

alors çttasi-^isiùrsians (% et celle des composantes de pressions, ce qui lui permet d'expliquer diverses formes cristallines.

Le potentiel n'est autre chose, en ce qui regarde les forces moléculaires^ que le travail qu'elles sont capables de fournir par détente jusqu'à annulation de leurs diverses résultantes ou des pressions à travers les faces des éléments, c'est-à-dire jusqu'à retour à l'état naturel ou sans pression ni tension (*). Gomme sa valeur est égale à celle du travail de déformation du corps âastique dont on s'occupe, depuis son état naturel jusquà celui où on l'envisage, elle est la moitié de cette quantité dont la considération et le calcul, par M. Clapeyron, lui ont servi à résoudre quelques questions de pratique, principalement en ce qui regarde la résistance des ressorts (voy. n* LII) (')•

(Pour l'historique du problème des surfaces, vases ou plaques élastiques, voy. n*^ LVIII, UX, LX.)

(*) n les BMSore, en eonBldirant an petit paraUëlogramne dont lei eôtée sont*

des lignes matérielles parallèles à deai des axes coordonnés obliques» par le

pem ctanineoient on gUssenent d*an des cotés devant le eoté opposé, divisé,

■OD par lenr distance, mais par la longueur d*on des autres cotés, ce qui

dv duo doBM to^oars des expressions telles que t- + -r- « y ^ ^ ^^nt les coordonnées

dz dy

obHqaas, r, w les composantes on projections obliques du déplacement d'un point

dans leurs sons. (On J»n ofXUuHcity and crystaiUne Formé. Trans. of ibe

Royal Society 4S55.)

O Sa considération donne, par exemple^ le vrai sens à ce que nous avons dit an n* XVm, que la résisUnce à un glissement équivaut ou peut être allribuée aux résistaneci i une extension et à une compression simultanées dans des sens Aoyonoittr ou obliques. (F, aussi $ 6 de la note du u* 459, p. 493, et Appen • dicecompl., p. 768.) On trouve bien en eCTet, au moyen de l'expression (499

$^ = - asciuid*« -{- ..., p. 7S8, du potentiel ou du travail par unité de volume

ponrdet déformations <)«, ..., g«y, et do la formule symbolique (396) a«^,«,y, = [(a«es«r+HCy«r) (aae«y/+SyCyy /)]* de la page 809, de transformation des coefflelenis pour de nouveaux axes cordonnés â^, y' (i'sxear restant le même), queie travail moléculaire de déformation ^^ par unité de volume» dû à des dilataUons d^s - g,

dy r= - g dans les deux directions rectangulaires anciennes x, f, est égal à celui

qui est dû an glissement gx\f=g pour les deux nouvelles a^, y', supposées faire m angle daod-droit avec celles-là.

(*) U tMoréoM do M. Clapeynm consiste, à proprement parler, en ce que le

eXCViij BÊSISTAMGB DEB BOLIDES.

XUII. JMmmàmm Hmi MieMétenii ûim fëMMd^s de

rélA0ll«lté« "^ Nous ne peproduiroDs pas ioi lliistorique^ fort détaillé à optre Appendice V) de l'opinion qui s'est fonnée de la dualité des ooeffioients dans les formules des oerps iso* tropes, et de l'indépendance des trentet^sik coefficients de celles des oorps hétérotropes^ ou au moins de vingt-un d'entre euX| sans qu'on ait jamais réfuté l'analyse par laquelle Cauchy a prouvé que ces coefficients ne sont qu'au nombre de quinze indépendants dans le cas le plus général deoontextuve, et se rédui* sent à un seul pour la contexture isotrope. Nous pe rappellerons pas que la loi des actions moléculaires, sur laquelle Cauchy et Poisson n'ont jamais cessé de se baser, et dont la mise en œuvre^ même sans calcul, conduit infailliblement à- cette ré* duotion, est inévitablemeat invoquée dans toute la mécanique, spécialement lorsqu'on pose dçs formula linéaires pour les composantes des pressions, car, sans cette invocation au moins tacite, il serait illogique d'exciper de la petitesse des variables .qui y entrent pour donner à leurs fonctions cette forme plutôt

qu'une fou|@ d'autres, Nous renvoyons donc surtout au résumé^

Uftvftil sa <|u«9Upp ffieiprimà, ht^c sou RQ^Uaofj pur

jj (P*P* + pyy^y + Pt^i + Pyitv* + F«»S« -f- f*»!*»)-

Nous meU9Di 4 /S pirce que ce traTail est produU par des forcea doni lei intebailés oommeneenl par léro el crolasent uDiforinéneDt.

Il est facile de voir que si la dislribuUoD des élasUeiléa est dlipiotiale, comme au $ 89, p. 844, de rAppeodlee complémentaire, et ainsi qu'on doftfénéralemeot le supposer dans les eorps amorphes ou à crlsialHsalioQ ooofuse, et si l*en particularise l'expreêsioB (199) p. 788 de <t>* en eonséqueneo de (2t9) p. 805, en faisant a =(a 4- t)a% b = (2 4 f)ô», c= (â + t)c«, 4 =&c, e= ca, f =iô d'=i6f , e'^tca, V =^iab, qui satisfont à ce mode de distribution (page 84 4 ), on | pour le poieniiel ^\ n meiiaai * U plaee dei dilatations et glisaepietu tearf ? 9)si«rf Ur^M des formules ds «ompotantes de pression y relativi^ •

^ Î(«4-30V a'^ b "^ cj '^ ^r^^ î^iT^'^ M '

nprfsaioR qui ^t identique arçc celle de M. Clfipejrim quand a*=:fi*==e*= |i*

i = - (7- leçon de H. |«ai»^, 485?, $ 32, p, 82), et qui woulre que rexpresjion

du travail moléculaire est aussi simple quand 11 y a dîstrlbuUon ellipsoïdale que quand U 7 a distribuUon ipbérique ou laotropie.

HJSXOBIQOE. CXCll

$m$ l'Appeiidice eité» p. 7é6-762; et si, dans dûb formules, Vf^m MUdrvaDs des eo^oienU en plut grand nombre (au moyen d'aooe&ta)» oe n'est pas que noua doutions de la réduotibiUté soutenue par nous^ o'esl afin de montrer que nos résultits ne aont point subordonnés à l'opinion controversée, et, aussi, paroe que les oalouls présentés en conservant tl ooeffi* oienta contribuent peutr^tM à avancer quelque brancbe de l'ana* lyse, un jour applicable à d'autres sujets analogues à la théorie del'éiail

WUp 1c« raïulliioiM d« la réstotiiiseo à la niptisrfi élalyn^c. jPréfércnce A donner à la llmUatf an de# dllatoiians ponlUTCH, Narlalte. M, PanceleS. Cmm an il 7 a «Imnltanément nexlon e€ taniian, eSo,

— Le problème pratique le plus important sur les solides employés comme matériaux est celui de l'établissement des con* ditions de leur résistance à la rupture prochaine ou éloignée^ et môme à une altération nuisible de la forme. C'est même, comme le remarque M. Lamé (^j, la nécessité d'établir complètement ces conditions qui a, si ce n'est donné naissance à la théorie de l'élasticité, au moins déterminé les recherches pour sa constitution la plus complète*

Galilée, Leibnitz, etc., ont imposé, pour cette stabilité de la cohésion des pièces solides» la condition que nulle part, à travers leurs faces intérieures^ les tenmm éprouvées n'excèdent une car* taine intensité qui varie, par unité superficielle, avec la matière»

presque tous leurs successeurs jusqu'à nos jourS) y oompris Coulomb, ont adopté cette manière de voir» en limitant aussi h$ pr€âH<m dans la vve de iH'évenir YécroêemerU des fibres comme leur rupture par séparation IpQgitudinalet

Cela peut suffire dans les circonstances ordinaires oh len so* lides, de Corme allongée, ne sont aue fléchis en même temp9

que tirés ou pressés dans le sens de la longueur, leurs faces latérales étant libres, en sorte que chaque fibre se comporte

(»)4"leçoo,S3.

ce BÉSISTAIiGE DES SOUDBS.

comme un prisme isolé. Et c'est de cette manière que Navierpose, dans tout son article IV, les équations de non-rupture par flexion, qu'il établit même directement sans les déduire» comme il l'aurait pu^ des équations de l'artidé III où il traite de la flexion.

C'est aussi^ par analogie, à l'article YI, en limitant l'inien» site des efforts tangentieïs sur les éléments des sections transversales, qu'il établit comme Coulomb la condition de résistance à ja rupture par pure torsicm.

Mais, dès i^% Mariotte posait un autre principe, car il remarquait que a les parties étendues ne rompent que parce que leur extension vient à dépasser une certaine proportion (^), » et ce principe est évidemment plus vrai, car les molécules ne se séparent tout à fait que parce qu'on les a écartées à un certain degré de manière à diminuer l'intensité des attractions qui les tenaient unies. Navier invoque ce même principe de limitation des dilatations ou extensions en divers endroits, par exemple au n** ii2 ci-après, où il dit que la rupture a lieu quand les fibres étendues ne peuvent plus Tétre davantage sans séparation, ce qu'il répète au n* 152 en tentant de traiter un cas nouveau; et il l'applique, même, dans la note [a] du m 167 (p. 507) comme seul capable de conduire à comparer théoriquement entre elles les deux limites (R et T) des intensités des résistances spécifiques à la flexion et à la torsion.

Ces deux principes, ou ces deux manières de poser Véqnation de cohésion ('), donnent (ainsi qu'il a été montré dès i 837-38 par des exemples à notre cours lithographie) des résultats fort différents dans plusieurs cas *, et ce ne sont pas seulement les cas où il y a simultanément flexion et glissement ou torsion, on peut en donner aussi des exemples où il n'y a que des tractions; car si l'on imagine deux cubes égaux et de même matière, dont l'un est tiré sur ses six faces normalement et également, et le second seulement sur deux faces opposées, par des forces de même intensité que celles qui sont appliquées à toutes les faces

(1) TraUé dunumvementdet eaux, 5* partie, 6* et 43* alinéa du secood discoura.

(*) Noua aTooa préféré celte dénomination à celle d*équaiion éTécarrinage employée dana dea Goura de TÉcole de Meta. Celle qui ne donne que iea fleiiona,ete. y eat appelée éptaUon ifélasticUé»

HISTORIQUE. , CCJ

du premier^ un calcul facile^ fondé sur la théorie des corps élastiques isotropes, montre que la Alatation maximum sera deux fois moindre dans le premier cube que dans le second» en sorte que celui-ci éprouvera un danger de rupture double de celui-là, bien que la tension intérieure la plus grande soit la même pour tous deux.

Aussi M. Poncelet, dans son cours de mécanique industrielle professé en i839, où il a bien voulu nous citer, a conseillé de préférer décidément la seconde manière^ celle qui impose une limite aux dilatations éprouvées. On lui doit, à cette occasion, comme nous avons déjà dit au n"" XYII , d'avoir ramené théoriquement la résistance aux compressions longitudinales à la résistance aux extensions transversales qui les accompagnent quand les faces latérales sont libres (*); et cette explication est d'accord avec les faits, car^ outre ceux que nous avonâ cités à ce numéro^ et celui de la séparation d'une sorte de coin de pièces de fonte du côté devenu concave, l'expérience des effets d'une puissante machine à courber les bois en les contenant de manière à empêcher, comme on a dit lors de son exposition en 1 854, les fibres comprimées de se boursoufler latéralement, vient bien à l'appui de la remarque de l'illustre académiden a que le rapprochement moléculaire ne peut être une cause de désagrégation. » ( F. p. 6.)

D'où il suit qu'il suflSt de limiter, en tous sens, les dilatations positives dans un sens ou transversal ou oblique, comme on fait pour les dilatations longitudinales, mais à un autre taux si la matière n'est pas isotrope, et en ayant égard à ce que les pressons sur deux bases rapprochées empêchent les dilatations transversales de s'opérer librement.

Si la pièce dont on veut assurer la cohésion permanente est d'égale contexture dans toutes les directions, fl suffit d'imposer une limite déterminée à la plus grande des dilatations qu'elle éprouve; et, pour obtenir la grandeur et le sens de celle-ci en chaque point, le moyen analytique le plus général est de construire, pour ce point, Pellipsoîde des dilatations. On peut se dispenser de cette constrhction dans les problèmes usuels de

(>)HoIm4o d* 3, s S/p. 44*49, et du 0*466, lOttf-BOto do S 43, p. 384

cclj b£sistakg£ des solides.

flexioa avec glmemeot ou torsionj où les fibres d'ua prisme a'éprouvent que des eiLteQsioQs et contractioQs loDgitudinales et traasversalesj aveo ces inclinaisons sur leurs bases qui constituent les glissements^ car la plus grande dilatation autour d'un point est fournie alors par une formule assez simple que nous avons trouvée en 1838, et dont M» Poncelet a rendu la démonstration plus élémentaire en la donnant en 4839-1B40 dans le cours cilé (^)«

C'est la dilatation que cette formule donne au point dangereî4Xf qui est celui pour lequel sa valeur est la plus grande^ ou c'est, autrement dit, le maximum maximorum des dilatations, qu'il convient d'égaler à la limite qu'on ne peut dépasser sans danger, pour avoir l'équation de cohésion permanente.

Et, une fois établie, cette formule ou équation peut généralement être débarrassée et des dilatations et des glissements, en leur substituant leurs valeurs en fonction des forces qui les produisent, Parla s'éliminent les coefficients d'élasticité (Ë et G), car on donne généralement à la dilatation-limite une désignation venant de la méthode primitive qui consistait à limiter les forces;

et cette désignation consiste à les exprimer par un quotient -^

ou 2~, en sorte que, bien que dressées avec le principe qui

a, prévalu, celui de limitation des dilatations, les équations de cohésion ne contiennent généralement que les coefficients Ro , Tu dits de cohésion et d'adhésion permanente, c'^st^^dire les limites des forces, ce qui est sans inconvénient et rend ks ap* plicâtions plus faciles.

XLV. Cm o* la limite ûem diUitetioiui n'esS pa« te même m tmnm «em. ^ Mais quand le corps est d'iné^ gale oontextura autour de chaque point, ce n'est pas la plus grande des dilatations qu'il convient d'égaler à une limite dé» twminée, car la limite des dilatations non dangereuses varie aveo la direction, dans un corps mèiAe homogène, s'il wi^éié*

(0 Mena «i«f«Dol« dn $ 63 d9 la note du n* 456, p« 3Y5.

QISXO^IQUE. cciij

rqtrùps; eUfi4oit» pur Moaiple, évidemm^at pour le boU» avoir uoe toqt m^ gr»pd9up dans la aeo$ d^ la louguei» daa fibraa que daoa im sens perpaodiculaire*

Il fi)ttt dope iiup<>«çr géaémlamapt la condition que, daoa au* çw§ diractioot la diUtatioa Q'eKoèd^ ufie iimiie relaim à nette direction. C'est du rapport de la dilatation h cette limite oorré* lative qu'il convient de rechercher le oiexiram»^ atio d^a$trmdre ce maximum à ne pca dépasser Vuniié,

Comme on ne peut guère déterminer par eipérienoe ces li* imt^a que pour quelques directions principales^ on leur suppo^ aera> pour les directions intermédiaires^ une loi de variation oontinue; celle qui se prête le mieux au calcul est que les racîoea carrées des inveries des limites soient représentées par les niyona vecteurs d'un même ellipsoïde* La conîdition de stabilité sera que cet ellipsoïde reste compris tout entier dans Pintérieur de celui qu'on a vu être formé par les racines carrées des inversea des dilatations, prises aussi pour rayons (i). L'expression de cette condition conduit à une équation du troisième degré dont une des trois racines [la plus grande) est le rapport maximum de la dilatation à sa limite de même direction pour le point que l'on considère (*)•

(^) Ces deux ellipsoTdei peuTent èire remplacés par deux aulrea plui faciles à ooDceroir (page 78S, èqualioos 496 efc 497) dont les rayoDi tecteurs oni a|oiplemeot pour sr^ndeuni l'unité plui^l^ diUUÛoDi e( Vw\/^ p}u« H lM|iite«d«BB les direrses direciions de ces rayons.

O C'est ccue équatioa du (roisiiipe degré (403 hh) qui se trouve à la 3* ooie du i %% 4fl rAppeudic9 «oi&plémeDUire, p^ 784. Ou V«b|ien| eo «ppelaul Ir U Ijoiite pour une direction r faiiauty avec les direetioes priaeipalos or, jf^ a» des «pglef flopt lea cofinua sont e*, %, e«, et Sj^ Sy, 8« les valeurs de Sr pour les directions s, y, z, en sorte que

8r =fix C** + 8v C«y + Im C*j.

Or la dilatation de mémo direction est (formule 9 de la page S53),

dr ss djB C*x + d y c'y + 1^4 t*s + gys ^y f s + fisx Cs e« + S J^ Cir Cy. La condition de cohésion sera que dr = ou > Dr partout et eu tout sens, ou ^ue la valeur maximum de --,pour laquelle on a d r- = 0^ soit au plus ^galc à l'u-

•r Or

niié. Si, dans cette équation, écrite

3r dî)r — t^rdôr ==0i

nous mettons pour dr et Dr leurs valeurs, en dillérentiant par rapp^Ct AUS (rois

CCiV BÊSISTANCE DES SOUDES.

Cette éqoation est réductible au second degré quand les rapports des dilatations à leurs limites sont les mêmes dans les directions de deux coordonnées transversales^ et encore lorsque ces rapports sont assez peu différents pour pouvoir être approximativement remplacés par une certaine moyenne^ ce qui est le cas le plus ordinaire de la pratique (^). La formule ou la conditicHi analytique à laquelle conduit alors sa résolution est aussi simple que celle du cas d'isotropie ; et comme elle relie d'une manière continue les divers cas extrêmes^ tout, comme faisait la relation entre les limites en divers sens, qu'il a fallu supposer pour établir Téquation du troisième degré, on peut l'employer avec autant de confiance que ce qu'on tirerait de celle-ci ('). Aussi en avons-nous fait, aux notes du n* 154 et du n* 156^ de nombreuses applications à des cas, qui n'ont encore

coiinoi, et il nous ëUminoDS une des troif diffireDilelleB m noyen de c» do« + Cy (fcy4 CsdCs=0, en égalant à léro ce qui aflécle les deux aulrea, nous obte- Dont la triple équition :

l^m Cx + ggy C» + gix C») Sr — g^ji »^r C< __ (SayC»-f 2<^yCy4-Sy»C»)^*">^y<^r Cy

"" Cy *"

__ (g»aC» -<- gy»Cy + SD» ç) 8r — ^8» ^r Cs

COMue la fooiBie des numërateun de cet trois fraetions, mnlUplIès respeetlremenl par cc, Oy, e*, n'est autre chose que 9dr 8r — SMr =0, et comme la somme des dénominateurs multipliés de même est = 4 , chacun des trois numérateurs est nul. Il en résulte trois équations entre lesquelles on peut éliminer finalement les rapports des cosinus comme on a fait pages 7S4, 777, 781, entre les équations M &8), (480), (494); Il reste Téquation du troisième degré dtée

(495 bis) en •-- dont la plus grande racine est le maximum de ce rapport en un Or

point donné.

(^) Car en remplaçant dans l'équation. citée (495 dû) du 3* degré, r^ > -r-par

une moyenne, qu'on peut appeler ir)| r- , en supposant gys = 0 comme dans tous

les cas de flexion et de torsion d'un prisme dont les arêtes sont parallèles aux x, on peut diviser tons les termes de cette éqoation par -^^ — ir)| r- •

Or 0«

(*) Cette équation du second degré est celle du $ 43 de la note du n* 456, p. 379ou3Si.