HISTORIQUE. CCV

été traités nulle part, de corps à la fois fléchis et tordus, comme les arbres de machines sollicités à la fois par deux engrenages et deux courroies, ou en même temps étendus^ comprimés et tordus, du même étendus et cisaillés ou éprouvant des glissements intérieurs autres que ceux qui sont dus à la torsion, comme les rivets, les boulons, etc. La pratique de ces sortes de calculs nous a fait reconnaître que la recherche des points dangereux, ou du maximum absolu du rapport dont le maximum relatif à un seul point est donné par la formule dont nous parlons, doit se faire numériquement, avec emploi final d'une méthode particulière d'approximations successives (^), et non pas par larègle analytique tirée du calcul difiérentiel, car celle-ci, dans les cas rares où la complication des calculs ne la rend pas impraticable, se trouve en défaut, ou bien conduit à des points hors du contour ou de Fenveloppe, qui ne sauraient convenir. Nous donnons assez d'exemples pour montrer comment cette recherche peut se faire. Cette formule, fondée sur la limitation des dilatations dans tous les .sens, devait fournir et fournit en efifet, comme un de ses cas particuliers/ la limite des compressions longitudinales, déduite, comme a fait M. Poncelet, de celle des dilatations transversales. Au reste elle se prête facilement à ce qu'on y introduise , sans en altérer la forme, comme on a dit aux n** X et XLIV, les constantes tirées directement des expériences et observations relatives à chaque genre de rupture, et qui représentent des forces, limites des efforts normaux ou tangentiels que la même matière peut supporter d'une manière permanente dans des circonstances déterminées.

XLVI. Bxcepti#flui apparentes. — Nous ne prétendons pas, au^reste^ qu'une théorie subordonnant uniquement le danger de rupture d'un solide à la grandeur qu'atteint une dilatation linéaire nlmporte dans quelle de ses parties , et indépendamment des autres drconstances où il se trouve en même temps, soit le dernier mot de la science et de l'art. Une expérience remarquable, dtée au S i6 àe la note du n* 113 (p. 119), a mon-

(M SS 34, S6 de ta note do n* 456, p. 34S, 397.

OCVJ RÉSISTANCft DES SOLÏDES.

tré qtt*ttne dilatâtioti énorme, produite dans tili sètts (atigénilel à la BUifttce ititéhettre du cylindi^ ûteut eu fottte d'une forte pre«i6 hydraulique, mais accompagnée d'une contraction considérable dans un ^ns perpendiculaire , n'amenait aucune gerçure ni autre désagrégation. Gela peut tenii* uniquement, il est vnd, à cé que le cylindre en fonte était contenu et serré dans un fort cylindre en fer, en sorte que les circonstances de l'épreuve s'opposaient k toute disjonction et qu'il n'en pouvait résulter qu'Un emboutissage ou forgeage à froid. Néanmoins nous ne saurions assurer d'une manière absolument certaine que ce qu1l convient de limiter ne soit pas une fonction, encore inconnue, des trois dilatations linéaires principales (n' XXY), au lieu d'être uniquement la plus grande des trois {*). Nous dirons seulement que, quoi qu'il en puisse être, cela ne changera rien aut coiidlf ions dnlessus indiquées dé non-rupture, toutes les fols qu'un prisme ou cylindre, dont les fbces latérales sont libres comme à l'ordinaire, n'éprouvera que des eitensions ou compressions longitudinales aveo des flexions, puisque les deux contractions transversales, pour chaque fibre, sont fonctions de son extension à laquelle on impose une limite, et que lorsqu^il y aura en même temps des glissements et des torsions, une formule comme celle du § tô de la note du nM96 (p. 379 au bas), qui- satisfait aux divers cas extrêmes conformément aux expériences, en les reliant entre eux d'une manière continue, est dans toutes les conditions requises pour satisfaire aux cas intermédiaires avec l'approximation qu'on peut désirer.

n peut aussi y avoir rupture de certaines fibres, oU désagrégation de quelques petites parties d'une pièce solide, sans que la stabilité soit compromise m que la ré^stanee du reste de la masse solt diminuée. Depuis longtemps Emerson (*) i^nvancé qu'en faisant subir à une section transversale de forme carrée certaines troncatures revenant à abattre en chanfrein deux arêtes vives de la pièoe prismatique à laquelle elle appartient^ ad lieu

. {}) Ed toag cas, cette foocUon ne peut ëYtdemmenl pas être leur somme, oo la ditatalion enhique^ car un gtlssemeot, ou ane torsion, n'en produit pas^ et peut cependant amener la nipUire.

(>) Smerton's Meéhtmkt (sonvent cité par Tredgold).

0TSTOA1QÛC. CMi

d'affaiblir Cette pièce stippcséé solHdiée k fotnpre pif flexloa dafis xxù plan eontcnatit une diagonale des sëçtUms^ on aug" mente sa iréslsianee ju^'à la propœiion d'im neuvième* On ▼erra ani §§ 8 de la note dn n* 143 (p. 94) et 9 de celle du n* 110 (p. 435)^ que cette aMertion n'a rien de pamdoxali et qu'elle «'étend même à une section circulaire ou à une section en croix, ete., si l'on veut parler de laT résistence telle que la donne la formule; c'est une raison, si ce n'esl pouf retrancher effectivement les fibres qui théoriquement ne sont point utiles et qui pratiquement le sont fort peu , au moins pour calculer la résistence comme si elles n'existeient pas.

XLYII. Matière hétéroyène. Matière qui n'est que mjl%méHÊgmmÊÊàemê mi flpliéHqflte-

ity eie. — La matière peut être non^seulement hétéeotrope, mais encore hétérogène^ ou d'une contexture variable d'un point à l'autre* On peut alors poser facilement des formules de flexioUi comme M. Bresse^ en faisant varier> dans l'étendue de chaque section de la pièce, le coefficient E^ qui, alors> comme nous ver** rons (S 7 de la note du n* 94, p« SO], ne représente que sous une certeine condition le module d'élasticité des diverses fibres. On pentt pour les bois, faire varier ce coefficient suivant une loi parabolique ( plutôt que suivant la loi linéaire qu'il suppose), à partir du centre des couches ligneuses ; mais, pour les fersi c'est seulement auprès du contour des sectiiws que le changement de nature est sensible, et il convient que les formules i soit d'élasticitéi soit de cohésion permanente, se composent de deux termfs dont l'un est affecté du moment d'inertie de la section, l'autre

de celui du périmètre (SS '^ ^^ '^ ^^^^ ^^ ^° ^ ^^ ^^ ^^ ^"^ du n*" 4 13, pages 43 et 446); on a donc deux constentes k déterminer par plusieurs expériences, en compensant leurs écarts par les méthodes graphiques ou analytiques connues (p. 43 et 447-448).

Une matière non isotrope, mais homogène, ne l'est pas toujours rectiltgnement ou parallèlement comme les corps cristallisés ou comme les plaques de tôle dont l'élasticite est constante mais de trois grandeurs différentes dans les trois sens rectengùlaires de sa longueur, de sa largeur et de son épaisseur. En effet ^

CCViij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

qu'on enroule en tuyau cylindrique cette plaque homogène non isotrope supposée mince, elle ne cessera pas d'être homogène, mais Fégalité d'âiasticité aux divers points aura lieu suivant les rayons qui convergent sur Taxe du tuyau ^ et aussi suivant les tangentes à leurs cercles» et non plus suivant des directions parallèles entre elles. Ce tuyau jouit d'une homogéoéîté qu'on peut appeler semi-polaire ou cylindrique* On conçoit qu'il y a de même une homogénéité polaire ou sphérique, etc. ' Les formules d'élasticité relatives à ces genres d'homogénéité se déduisent 4e celles du cas de l'homogénéité ordinaire ou parallèle en changeant de système de coordonnées , et Ton peut en déduire diverses conséquences (^).

XLYin. Baptape Inunédlfite ov proeliaiiie. — M. Hod^kiiuMMi , ete. — Les équations de cohésion permanente dont on vient de parler n'expriment que les conditions de résistance à la rupture éloignée , ou de stabilité indéfinie de la contexture, vuja petitesse des déformations; et ces équations ont pu être établies (n*" X) à l'aide des équations d'élasti-^ dtéqai ne s'obsorvent que dans les limites de la proportionnalité des petits e£Fets aux intensités de leurs causes.

Mais lorsqu^on est dans le cas de dresser des projets d'échafaudages, de barraquements , de ponts de service et autres constructions purement temporaires et surveillées d'une manière assez continue pour qu'on soit aveiii à temps de leur chute^ il peut être utile de savoir calculer les justes résistances, à une rupture immédiate ou prochaine , des matériaux dont on se propose de les composer économiquement.

On ne pourrait faire ce calcul exactement que si l'on connais^ sait la loi plus ou moins compliquée des extensions et compressions en fonction des efforts jusqu'à l'instant des disjonctions , et par conséquent la situation, à cet instant^ de la Ugne dite neutre ou des fibres invariables. Mais on démontre quelques formules générales qui sont indépendantes de cette loi (comme

(>) Uéraoire sur let direri genres d'homogèDèilé mécanique {Ccmptet rendus U mii 4860, t. L, p. 980).

HISTORIQUE. CCiX

par exemple celle qui donne la proportionnalité des charges aux largeurs, aux carrés des épaisseurs et aux inverses des longueurs des pièces) et qui permettent d'appliquer aux pièces de toute dimension et d'une certaine forme les résultats d'expériences relatifs à des pièces de même forme et de certaines dimensions. On doit aussi au savant M. Eaton Hodgkinson la tentative d'un calcul plus général, fondé sur la substitution, à la loi inconnue, d'une loi qui s'en rapproche probablement On peut voir aux ^ 2 et 3 de la note du n* 154 , p. 175, et 60, 61 de la note du n"" 156 , p. 461, des calculs de rupture immédiate par flexion et par torsion que nous avons faits en modifiant et généralisant sa supposition, et les conséquences pratiques qui peuvent en être tirées.

XLIX. Pièces posées et sollleltées de dUveraes ■lanières. Réactions ineonimes. Systèmes de charpente. Serrage et calage. IVa^ier. M. Miclion. M. Clapeyron , etc. — Ce qui a été dit depuis le n" XU est relatif à une seule pièce sollicitée par des forces supposées toutes connues y et, même, à une seule des parties dans lesquelles on doit souvent diviser une pièce (comme nous avons dit au n** XI, note p. cviij ].

Pour passer aux systèmes^ ou aux ensembles dont sont for* mées les constructions y et calculer les résistances de leurs diverses parties, il faut, avons-nous dit aussi , déterminer préalablement les forces inconnues ou qui ne sont pas données à priori, à savoir les réactions des points fixes et les actions mutuelles des diverses pièces ou portions de pièces aux endroits où elles se joignent soit avec articulation libre^ soit avec sujétion de conserver certaines directions relativement les unes aux autres, et calculer aussi les inclinaisons nouvelles et surtout les bras de levier définitifs dont dépendent les grandeurs des composantes et des moments des forces dans l'état d'équilibre final du système déformé.

Ces réactions ou actions mutuelles peuvent se déterminer dans un certain nombre de cas en se servant seulement du principe de l'équilibre autour d'un point, et des équations de composantes et de moments que la statique élémentaire établit entre

CCX RÊSISTilNCE DÈS SOLIDES.

les seules forces extérieures ou non récipto^Iueà qui SOlIiôitént un eorps ou tin sydtème de corps , les forces intérieures ou réciproques se trouvant éliminées par les additions d'équations partielles posées pour les établir. C'est ce qui a lieu quand chaque pièce est supportée seulement par deux points autour desquels elle peut tourner^ et quand les diverses pièces né s'articulent pas au nombre de plus de trois au même point si leurs directions sont dans un mhme plan j ou de quatre si elles sont dans des plans différents. Cela se peut encore dans quelques cas où les pièces se joignent aii même point en plus grand nombre, quand par exemple elles forment deux groupes symétriques , et , encore , lorsque deux d'entre elles sont directement oppo« sées y car alors on peut établir une relation entre les forces qui agissent suivant les autres pièces en posant , pour Téquilibre , la nullité de la somme des projections de celles-ci suivant une normale à la direction commune de celles-là; et, ensuite, une nouvelle relation où les premières forces sont comprises , en faisant les projections sur leur direction même (^); et un pareil artifice pourrait être généralisé pour des cas où certaines pièces concourantes seraient dirigées dans un plan et d'autres dans un plan perpendiculaire, etc. Ces sortes de calcul ne demandent que quelque attention afin d'éviter les fausses décompositions.

On peut encore ramener la détermination des actions inconnues aux principes de la statique des forces non réciproques quand certaines pièces» en métal ou en bois, doivent être serrées, tendues ou calées, après leur pose, au point qu'il faudra pour que plusieurs réactions s'annulent, par exemple les poussées horizontales d'une ferme de comble, ou bien pour que certains points n'éprouvent aucun déplacement ou restent en ligne droite, ce qu'on peut chercher à obtenir^ par exemple, des appuis multiples d'un albalétrier, etc. Alors les grandeurs et les directions d'une partie des réactions se trouvant connues, les équations de la statique élémentaire peuvent fournir assez de relations pour déterminer les autres. C'est par cet artifice, ou

(1) C'eit le cas et eerlaiMi poutres en treillis iimpUf eonpoièe» de trfteglei Juitapofiés.

HISTOBIQUB; ècij

en conséquence de celte remarque sur les conditions dans lesquelles se mettent en place certaines constructions, qiie M. Micbon^ capitaine du génie en 1848 et chargé alors d'un cours h l'École d'application de Metz, a donnée pour les résistances des diverses fermes de charpente à grande portée et à tirants métalliques horizontaux et inclinés dont on recouvre les larges hangars ou les gares^ des calculs cooit)lets^ fait^.avec soin et talent, qui ont été reproduits à peu de (;hose près dans les ou* vrages récents de H. Horin et de M. Bresse.

MaiSy comme Fobserve très*bien Taù de ces auteurs, il est difficile de réaliser et surtout de maintenir poui* les tirants^ eUi. le degré de serrage qui rend exacts les résultats dé ce procédé de calcul, en sorte qu'il en laisse déslrei^ u£i autre où les tensions pourraient avoir diverses valeurs^ au nombre desquellesf il faudrait considérer celles qui s'établissent d'elles-mêmes sous Faction de charges données Ô).

Et il y a aussi, comme nous avons Vu (n» XI), inéme pour une seule pièce, ou potir des assetdblages fort simples, des cM nombreux où les th^rëmes élémentaires de Id statiq[ue ne suffisent pas à la détermination de la répartition des efforts. Enfin les déformations changent les bras de levier et les inclinaisons, sur les tangentes aux fibtes moyennes, des farces même patentes ou connues d priori, et ce sont les inclinaisons et les bras de levier définitifs qui doivent entrer dans les composantes et dans les moments dont il faut tenir comipte pour assurer la stabilité, en sorte que l'établissement des équations de résistance demande, à double titre, la détermination préalable on simultanée des déformations des pièces ou des déplacements de leurs points.

(1) M. PODCdety dam son rapport du 6 août 4S39, qui se tronye aux Compièi . rendus, t. IX, p. 900, et aussi en tète des utiles Étude$ tJiéoriqites et expérimentales sur V établissement des- charpentes à grande portée (in-4*, 4840), de feu le général ArdaDt, remarque que l'on pourrait^ même par flexion^ en employant def moyens de force^ annuler, au moment de la pose, la poussée horizontale de beaucoup d'autres fermes retroussées; mais il observe aussi que les calculs ineooipleti 00 simplifiés par ùa certain nombre de suppositions plus ou moins arbitraiief olErent det cbancef considérables d'incertitude.

CCXij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

On a dit (même n» XI) ce que Navier a fait pour surmonter cette' difficulté dans des cas simples, mais importants, et pour montrer qu'il doit être possible, dans tous les autres^ de faire de même ou de compléter toujours un nombre d'équations égal à celui des inconnues^ mais qu'ensuite, pour divers systèmes, il a fait usage d'expédients non justifiés, afin de suppléer à une méthode générale qu'il n'a peut-être pas bien aperçue, préoccupé comme il l'était de donner, par des intégrations d'équations iipplicites, les expressions les plus rigoureuses des flexions de chacune des pièces en 'particulier, etc. Nous croyons avoir formulé cette méthode ('), qui consiste à poser toutes les conditions d'appui et de raccordement après avoir exprimé analytiquement, pour chaque pièce ou portion de pièce, les déplacements, dans les trois sens des coordonnées, des points de la fibre moyenne, en fonction des intensités, des directions et des bras de levier tant connus qu'inconnus des forces qui les produisent; et, comme celles de réaction sont souvent en nombre infini (par exemple dans les parois des encastrements ou sur les surfaces de contact mutuel), de faire entrer seulement dans les équations les trois sommes de composantes et les trois sommes de moments de toutes celles qui agissent en un même endroit. Les conditions définies à poser seront la nullité des déplacements aux points fixes, leur égalité pour deux pièces ou deux parties de pièces aux points qui leur sont communs, et la conservation des directions de Taxe des pièces aux encastrements et de leurs inclinaisons mutuelles aux endroits où elles s'assemblent d'une manière stable, sauf les petits angles de glissement transversal et de jeu dans les encastrements s'ils sont assez influents pour qu'il faille en tenir compte : ce sera aussi, pour les cas de torsion et de double courbure (n* XXI), la conservation des azimuts de sections assujetties à ne point tourner autour de la fibre moyenne qui leur est perpendiculaire, etc. Tout étant exprimé, on aura autant d'équations algébriques que d'inconnues, et il restera à les résoudre pour en tirer la connaissance des forces

(<) Cours Ulbographié, 1837-4838, u»' 39 biê^ 46, 47, 48; ei Comptes rendus de V Académie j Némoirc du 30 pclobrc 1843, n* 48, au t. XVU, p. 953-954,

HISTORIQUE. CCXilj

cadiées^ ce qui sera long quelquefois, mais possible^ vu que les équations sont toutes du premier degré (comme il a été dit en iM3), au moins en se tenant à une première approximation^ qui sert au besoin de point de départ pour une seconde quand on se trouve^ pour quelques pièces, dans les cas (n** XV] où les moments et les composantes sont changés d'une manière sensible par les déplacements.

€ette méthode a été appliquée en 4838 et en 1843 à quelques exemples^ comme à celui d'une pièce horizontale chargée d'un poids et portée sur trois pièces verticales, et les cas singuliers de ressorts fermés et d'anneaux fléchis à simple et à double courbure, qu'il faut, comme nous avons dit, diviser en plusieurs parties qui se raccordent. On a aussi commencé à l'appliquer à des ponts à contre-fiches dans un travail qui est à compléter, mais qui a manifesté divers particularités (^).

Depuis, M. Clapeyron (*) a simplifié considérablement la solution donnée par Navier du problème de la poutre horizontale reposant sur plusieurs appuis, et il a pu l'étendre à un nombre indéfini de ceux-ci en découvrant une relation générale et simple entre les grandeurs des moments fléchissants (ou des moments totaux des forces s'exerçant à travers une section) au-dessus de trois appuis consécutifs.

Enfin M. Bre^e a fait, en 4854 ('], une application complète de cette méthode à une travée de pont , dite du système Vergniais , composée d'un arc circulaire en fonte à gi'ande portée , ayant une fièche du sixième de la corde, surmonté latéralement de deux demi-arcs de même rayon ayant leurs centres sous les naissances du premier et leurs sommets au même niveau que celui-ci sur les reins duquel ils s'appuient. Il est à désirer que d'autres ingénieurs ne se laissent pas plus rebuter que lui par les calculs de ce genre , et qu'ils les appliquent à un

(<} 11 a été présenté en commun arec M. Paul Michelot, le 4 décembre 4S43. CompUê rettduê, l. XVII, p. 4375.

(*) Dans un Mémoire wr le etUeul d^une poutre élaetique repoêatU Ubremeni nw dt9 ûpfpmi» inégaUnÊent eêpacie, lithographie le 7 octobre 4857.

p) Beeherebet analytiques inr la flexion et la résiitanco des pièces courbes, eh. m, S VI, 67 à 74.

CCXiy RÊSISTi^NGB DES SOLIDES.

perf;^ nombre de constnictioQ^ existantes bien stables , mais réputées hardie^ i^u dire de constracteurs jexpérjmentés qui ppi^vent fin avoir vu tomber 4'siutres plus légères; car tant qu'on n'aura pas ^it up pareil travail, on ne possédera, sur les valeurs 4es coefficients de cohésion permanente (R,, R'.), qu'il faut faire entrer dai)$ les éqji^ations, que des données tout à fait vagues ^t fournissant des valeurs diflërant peut-être considérablement de jcelles qu'il faudrait leur dpnper pour obtenir à la fois solidité fit économie. L'jinfitation des bonnes constructions 9 sans ces palcnls, sera toujours avepgle et non raisonner

Et quant aux /constructions où les diverses pièces résistent surtout par tension et pression longitudinale, ce sera seulement 69 y appliquant ce calcul compLstf fondé sur la prise an considération, qui n'a presque point encore été faite, des petits dér. placements causés par leurs allongements et accourcissements , dans des hypothèses extrêmes de serrage et de calage, que l'on pourra être complètement assuré que les répartitions des chaînes entre les diverses pièces du système resteront aussi entre des limites déterminées, et que l'on pourra proportionner leurs résistances aux efforts, de manière à satisfaire le mieux possible à ('économie de matière conupe à la stalHlité.