L. Viliratioiui. WLémîmiakMkee iriwe ov résIUenee des
plèec«. Cas où l'on peut néyllyer leur inertie. Wonny. M. Poneelet. M. Clapeyron. Modale do Tredi;old. Proportionnalité an simple Tolnme. —
Biais les solides employés dans les constructions ne sont pas dans un état constant d'équilibre de leurs parties. Les pièces des machines exercent les unes sur les autres des actions variables qui changent continuellement leur état de compression ou de dilatation. Celles des ponts et autres constructions fixes reçoivent, du choc ou du passage rapide des charges, des mouvements vibratoires qui ajoutent à leurs déformations statiques et augmentent les écartements moléculaires capables de détruire leur c^bésioii.
Longtemps les questions de ce genre ont été de pures énigmes, comme celles de répartition des efforts dont nous avons
QISTOBI^US. CCIV
parlé aux n<^ XI et XLIX. On savait^ par la conaidération den quantités de mouvement^ déterminer jusqu'à un certain point les effets du choc de deux corps pour modifier les vitesses de leurs centre^ de gravité y et mettre en équilibre plusieurs chocs ou plusieurs forces dites instantanées^ en tant que capables d'imprir mer séparément à un même corps différentes vitesses. Mais le problèqae si couvent posé de I4 comparaison du choc avec la pression ne pouvait donner )ieu, quand il s'agissait surtout d'effets de rupture, qu'à des raisonnements et à des conjectures, dont on ne serait jamais sortie mêm^ en s'aidant d'expériences, si Ton avait persisté à envisager les corps abstraçtivement comme dans la statique élémentaire, C'est dans l'application de la dynamique, et, aussi, de la théorie de l'élasticité, à la détermination de ce qui se passe à l'intérieur des corps, que ce fameux problème peut trouver sa solution, variable suivant les cas divers* L'effet du choc d'uQ corpa très-résistant, tel qu^une masse spbé» rique d^ métal, cootn^ une verge ou contre un système de verges élastiques, est facile à évaluer quand ou néglige }a masse de ce système ou de cette pièce, et par conséquent l'iuertie qui r&t tarde le déplacement de ses diverses parties. Alors le système peut ôtre regardé comme prenant constamment et instantanément la forme que lui imprimeraient des actions purement statiques, d'intensités croissantes. Il réagit avec des iatensités égales contre la masse qui l'a heurté, et on peut , si la déformation n'a qu'une faible amplitude, regarder les actions et réactions comme proportionnelles aux déplacements successifs du point qui a reçu l'impulsion, déplacements qui seront par exemple les allongements ou accourcissements s'il s'agit d'une pièce heurtée lODgitudinalement, et les flèches de flexion si elle est heurtée transversalement. Le mouvement s'arrête quand le travail négatif total de ces réactions devient égal à la puissance vive (demi-force vive) initiale de la masse heurtante plus le travail dû à son poids pendant qu'elle agit sur la pièce ou le système, n en résulte immédiatement que si l'impulsion a été horizontale, de sorte que le travail du poids soit nul , le déplacement dynamique maximum du point heurté est égal au produit de la vitesse d'impulsion et de la racine carrée du quotient, par la pesanteur g » 9>*,609 , du déplacement purement statifu^
CCXVJ nÊSISTÂNCB DES SOLIDES.
qui serait produit par une force égale au poids de la masse heurtante ; théorème depuis longtemps connu (au moins pour le cas d'un simple fil élastique fixé à un bout et portant à Tautre une masse oscillant dans sa direction ). Et si l'impulsion a lieu verticalement , le déplacement maximum est égal à plus ou moins le déplacement statique ( selon que Timpulsion a lieu du haut en bas ou de bas en haut ) plus la racine carrée de la somme des carrés de celui-ci et du déplacement dynamique qui serait produit par le choc horizontal ; résultat trouvé par M. Poncelet en considérant seulement le choc longitudinal d'une barre verticale Q) y mais qui s'étend à une barre horizontale et môme à un système quelconque, et d'où Ton peut déduire comme cas particulier , lorsque la vitesse d'impulsion est nulle , ou qu'un poids est simplement posé y par exemple sur une pièce horizontale soutenue aux deux bouts , ce théorème de Young (*] y que la flèche de mise en charge est double de la flèche d'équilibre ('). On n'a pas besoin d'ajouter qu'une fois la flèche, ou l'allongement, ou plus généralement le petit déplacement^ arrivé à son maximum, le système exécute et fait faire aH corps heurtant
(1) lotrodocUoa à It lléc<olque iodustrielle, 4839^ n* 318, p. 399 et 401.
(>) A course of Lectures on natural Philoaophy and mechamcal Jrts, 4807.
(S) Soient gèDértIeraent Q etv le poids et la Titesseda corps qui Tient heurter le système dans une direction que nous supposerons faire un angle a ayee la ferticale, f le déplaoeraent statique qui serait dû A une force Q agissant sur le système dans cette direction, enfin z le déplacement effectif A un instant quelconque, et F sa plus grande Taleur, qui a lieu quand la vitesse ou la force me eal annalèe. La réaction, proportionnelle au dèplacenMnt z supposé rester trèt-
z petit, est Q' palsqu'elle doit, pour l'équilibre sUtique.ètre égaleàQ quand z=:f.
On a donc - -r + Q ©osa. F:
. Ç^Qz QF«
= \ — rf«= — , d'où
jo r «r
'=rc08a +V (^co8a)«H-V»/,
ce qui donne bien : h" quand cosa=0 (choc horisontal), F=: V y -^ , déplaco-
ment purement dynamique, que nous pouTOns appeler F^ ; S* quand cosa =d=4
(choc Tertical], Fscdr/'-f ^(^ -f F^*, expression de M. Poncelet ; 3» quand V=:0, cpsa=4 (simple mise en charge), F =3^, résolut trourè par Young.
HISTOBIQUE. CCXVij
qui y est joint, des oscillations isochrones, dont l'équation se détermine comme pour celles du pendule simple (^).
Pour assurer la stabilité de la cohésion, il faut calculer ce que M. Ponceleta appelé la résistance vive^ et Young la résilience de la pièce ou du système^ à savoir la puissance vive que doit posséder le corps heurtant, ou < le produit de son poids par la hauteur due à sa vitesse » pour être capable de produire la rupture, ou, plutôt, de faire éprouver à la partie la plus éten-
R due du système l'allongement t'= -^ regardé comme ne pouvant être dépassé sans danger (*]; ou, ce qui revient au même, il faut calculer le travail dynamique total des réactions élastiques opposées jusque-là par la pièce ou le système heurté (•).
On pourrait déduire l'expression de cette puissance vive ou de ce travail résistant, de celle que nous venons de donner du déplacement maximum du point qui reçoit le choc. Mais on peut, plus simplement, avec Young, M. Poncelet et M. Clapeyron, la calculer d'une manière directe et prouver avec facilité que la résilience est proportionnelle au volume d'une pièce heurtée, et par conséquent' indépendante du rapport mutuel de ses trois dimensions; théorème donné par Young pour le choc transversal (^) et que Tredgold a facilement étendu au*choc'Iongitudinal, en montrant aussi que cette même quantité est proportionnelle
à R«f , ou à ce quotient — qu'il a appelé module de résilience;
en sorte que la résistance au choc est comme le carré de la
cohésion permanente Ro de la matière, et conune sa flexibilité^
qui est l'inverse de la roideur ou du module d'élasticité E.
(') Avec iei DfiMi ttotaUow oo a en effet — 7^ = Q comi doDirinlégrale
^ 9 dfl f
eit
z =A»ia+V/»coi«(» + -V>,fin('lV -Y
(*) Letturti on naiural Philoiopky, roi. I, p. 443.
(S) II. Porcelet, IntrodacUoii â UMéeanlqae industrielle, n" 347, p. 394,
(*) Lecturti on fMiteral Pkilowphy, yol, II, lect.lX, n« 337.
eCXVlij RÉSISTANCE DBS SOUDES.
On peut même prouver facilement, pour un système d'un
nombre quelconque de pièces, cette proportionnalité de la ré-
R * sistance vive au quotient -^(^)^ et aussi sa proportionnalité au
volume totale si les pièces composantes résistent toutes de la même manière, et si elles ont des dimensions relatives telles qu'elles ne courent pas plus de danger de rompre Tune que l'autre. On n'a pour cela qu'à considérer et calculer, avec M. Clapeyron (*), afin de l'égaler ensuite à la puissance viye du
(A) Car N f est le dèplacemeQl du point heurté, et il P est la Taleur finale de la réaetiQii dont t'iiitensité, nulle en eopaneiiçant, est lupposèe restée dans les
limites d« sa proportionntlitd à 9, le triTtil résistant total 98t -Pf. Or P est pro-
portioonel i la tension finale R» des parties les plus tendues, et f l'est â leurs dilatations finales — . Dono le traTaii résistant total^ ou la puissance Tire consommée,
est bien en raison directe de •-—.
Si Ton veut évaluer le trarail ou la résistance Tire jusqu'à la rupture dite immédiate^ on même seulement Jusqu'à un étatod les réactions |» ont cessé d'ètro proportioopeMes am alloqgeoients ou aux déplaceqiepiSi il faut, copme il i été fait pour la résistance Tire de rupture des barres sollicitées longitudinalemcnt dans l'Introduction à la Mécanique industrielle (n* S96, p. 358), calculer Tlnté-
Cf
grale 1 pdz, où Ton suppose p connu expérimentalement en fonction de z par
une courbe ou autrement. M. Poncelet a donné un grand nombre de valeurs de cette résistance vive en calculant l'intégrale par quadrature graphique, d'après la valeur de la traction p et de l'allongement z 4o diverses pièces de fer jusqu'à rupture, et en a déduit des conséquences remarqqables.
Si Ton admet une expression empirique telle que celle qui est employée à la p. 4^6 diaprés pour calculer la résistance statique à la rupture immédiate,
tfesf^à-flirp «i Von pr^n4 |ï = pM — M--) L «tl^roufp V pd2 =
— ;— - ff, ou le produit d'un coelBeiont numérique — — - par le poids qui isit iii"4" 4 »»"4" ^
rompre statiquemcnt, et par rallongement ou la flèche à l'instant de la rupture. Ce coefficient a pour limites 4/3 (pourm=4), et 4 (pour m grand). La quan-
Cf tité \ pâz est à égaler à la demi-force vive du corps heurtant, réduite à
— , comme montre M. Poncelet, s'il frappe sur un eorps Q^ d'un poids
notable, lié au système heurté dont on supposa toujours que l'iiiertie peut être négligée. (V. n»* sulvanu.) (*) Septième leçon de M, Lamé^ de 4852,
pisrpiUQUs. ççilx
cfNPps heurtant» le travail total des actions intérieures, qui 3e réduiseBt pair ezeaiple aux résistances élastiques de toutes les fibres longitudinales (les pièces si elles ne sont qu'étendues^ comprimées ou fléchies ; et Ton peut même déterminer ainsi la fraction pmnérique doiit il faut affecter le produit du volutne du
système par le mocfu/é-rp pour avoir la résistance vive. Cette
fraction est - si les pièces sont prismatiques et toutes étendues ou
toutes comprimées; j- si elles sont encore prismatiques et à
section rectan^aire^ et toutes fléchies; enfin J/6 si ce sont de^ soUdesde largeur constante et d'épaisseur variant de manière à remplir I9 condition d'égale résistance (^). Mais le même principe
{^) Car, I* fltua )e cas où touiaa le« pitef soal étaDdoMy «QmoM on tfippote que eul antlNBeBi dans une proportion ^ , si < et «a sont la longnenr et la
section de l'nne d'elles, R«cd est sa tension finale, ou -R«cd est la moyenne des len-
sionssoceessÎTes, qui ont commencé par sèro; et comme — I est l'allongement ou
le traTail. qui est, comnie on foit. - de — mulUplié par le volume,
SB
S* S| fooiM If S pièoes sont des prismes reetang les |16chis par des forées parallèles 4 l'épaisseur, les fibres éprouTenl, à irayers une même section, des tensions variant uniformément de 0 à R«, et des dilatations Tariant de même de
0 à — dans le sens de Têpaisseur. Le trayait total, tu qu'on a . en général
\ f-j<lv=^a, ne sera, poarchaqu»élément de la longaeur, que le 4/3 de
M qo*il serait s'il y arait tension et dilatation aniforme. Pareille rédnetion 4 4/8 devra avoir lieu en raison des variations uniformes des tensions et des dilala-
4 4 4 4 tions dans le sens de |a longueur. Il en résulte bien r • r «'r = 70 du produit de
--^ par le volume.
3* 81 les pièces sont d'égale résistance, la plus grande tension est la même
pour tontes les sections ; mais comme les aires des sections son( comme l9s puis-
ne sera pas applicable si quelques pièces d'un système sont
étendues, d*autres comprimées, ou d'autres fléchies, etc.
Young se livre, à cette occasion, à diverses considérations
pratiques sur les trois qualités à rechercher dans les pièces, la
roideur (sti/fness) qui dépend du coefficient E; la résistance
{strength) du coefficient R on R,; enfin la résilience, qu'on
R * vient de voir mesurée par ~. Pour un plafond la roideur est
surtout désirable, pour un navire la résistance, pour une chaîne la résilience, pour un ressort de voiture la résilience avec la flexibilité^ c'est-à-dire peu de roideur.
En étendant^ comme nous venons de dire dans une note, ces distinctions aux charges capables d'altérer la contexture et même de rompre, M. Poncelet a conseillé remploi du fer doux et ductile plutôt que du fer fort pour les chatnes-cftbles de marine qui ont à supporter des chocs, en montrant par ses calculs (') que ces derniers fers, quoique résistant mieux à une charge morte, peuvent offrir jusqu'à cinquante fois moins de résistance vive que les premiers, qui ont aussi l'avantage d'avertir du danger par les grands allongements permanents qui précèdent la rupture.
LI. Prise en considération de la masse des pièces hevrtées, qaaot an partage de la Tltesse Initiale. Trcid^old. M. Hodyklnson. — Pour tenir compte de la masse, négligée par Young, de la pièce appuyée aux deux bouts et heurtée transversalement au milieu, M. Tredgold l'a fait entrer en partage de la quantité de mouvement de la masse heurtante, ce qui diminue la vitesse qu'on doit regarder comme initiale parce que c'est celle qty est possédée, au premier instant
