Q2(Q + AP
donnée A la page 448 (note) de la traduction citée de ronvrage de M. Fairhairn.
Et si le poids Q heurte Terllcalemeot la barre eo tombant de la hauteur H, on a (noie du numéro précèdent] pour la flèche dynamique prise en lus de la flèche
statique que la barre prenait déjà sous son profTt pcidSf eo faisant A = ^,
4SB1 ^ V V48Eiy ^ S4EI ' 47 P*
O'P Q' 4 / 96iï H \
d'oé, eomme F= ^, reipression ^ « 4 + y 4 + ^ jy^, V^h
4*7 P < -î i /. . ^9ÎEI
■«ne en négligeant -g - derant 4, diflère de oelle â + S V ~ô?" "
a été donnée par M. Lemoine dans une nete inêéré«f ant ^fMMlei tfes PonU 0t Ckauêâin en 4869, 4*^ temeslre, page 399. (f) A Couru of LedtÊrea, etc., Toi. I, p. 444.
CCXXiV BÊSISTANGE DES SOLIDES.
du module d'élasticité de ia matière de la pièce heurtée, dans un plus grand rapport que l'extension ou kt compression susceptible d'être supportée par un prisme de cette matière, est à sa longueur totale, sa résilience sera vaincue, et le corps heurtant, quelque petit que soit son volume, le brisera^ ou bien y fera quelque impressiqn permanente exigeant que sa contexture soit altérée, au moins à Tendroit soumis au choc.
On voit qu'il ne suflSt pas, pour assurer la résistance à une impulsion (en supposant même que les petites impressions purement locales soient sans danger) de calculer et de limiter l'allongement maximum totale ou la plus grande dilatation moyenne d'une pièce droite quand elle est heurtée longitudinalement (comme les tiges de ponts suspendus) ni saplus grande flèche et la plus grande courbure statique correspondante si elle est heurtée transversalement comme une poutre dé pont). Il faut encore savoir calculer, afin de les limiter de même, les dilatations individuelles des diverses parties de la première, et les courbures prises successivement aux différents points de la seconde (et qui déterminent les extensions des fibres du côté convexe), vu que ces dilatations et ces courbures peuvent être, en quelques endroits et à quelques instants, considérablement au-dessus des autres, d'où il suit qu'on n'a aucune sécurité en établissant les conditions de résistance par les calculs du n^ précédent, pour peu que la masse de la pièce heurtée approche ou surpasse la masse du corps heurtant.
LUI. Oalcal da moiiTeiiieiii des diverses parties. Cordes et lames. Taylor. D. Bentoalll. Enler. D'Alembert. — Le calcul des modifications successives d'une pièce Vibrante, ou la mise en compte complète de l'inertie de ses parties, dépend de travaux qui ont occupé les plus grands géomètres depuis un siècle et demi, et des intégrations qu'ils ont appris à opérer des équations au& dérivées partielles linéaires du second et du quatrième ordre avec conditions définies aux limites, dans la vue surtout de déterminer les lois de la production et de la propagation du son par les cordes, les lames et les colonnes d'air vibrantes.
Sauveur, élu en i696 membre de l'Académie des sciences.
HISTORIQUE. CCXXV
avait déterminé analyiiquement, en se fondant sur la théorie du pendule et des centres d'oscillation^ les rapports mutuels des nombres de vibrations fournis par des cordes tendues de différentes longueurs et de différents poids (^].
Mais ce fut Taylor qui mit sur la voie de déterminer la forme affectée par une corde pendant qu'elle oscille, en prouvant [*) que si elle a initialement, c'est-à-dire au moment où on la l&che, la forme de la compagne de la cycloïde, appelée aussi trochoïde ou êinusoide parce que ses diverses ordonnées sont proportionnelles aux sinus de mêmes multiples des abscisses correspondantes^ elle conservera pendant ses vibrations constamment cette même forme, en sorte qu'elle redeviendra périodiquement reC' tiligne. Il avança, au reste^ l'opinion hasardée que quel qiie fût l'état initial, cette forme de trochoïde serait prise au bout de peu de temps et était nécessaire à la régularité des vibrations.
Jean Benioulli arriva analytiquement au résultat principal de Taylor (') en commençant par considérer une corde sans masse, mais chargée, à des distances égales, de diverses masses étrangères qu'il finit par multiplier à l'infini en les atténuant.
Peu après Daniel Beruoulii s'occupa des lames élastiques, et proposa a Euier, sur les petites oscillations de celles qui sont en- Cttstrées à une extrémité, un problème dont celui-ci donna une solution en i 734 (^J.
D. Bemoulli lui adressa alors de nouvelles lettres, offrant des vues neuves C'], et publia en 1741-1743, sur le même sujet, deux mémohres où il l'envisage analytiquement d'une manière plus générale, avec deux séries d'expériences confirmatives (')• U ne posa pas encore l'équation aux dérivées partielles
(*) Mémoiref de l'Académie, 4743. U rappelle qa'aiu tomes de 4700, 4704, 4701, 4707, 4714, U a éubll lei foodemeoisde FAcouitique.
(*} SâetkoUuê ùuremenUiTum direcia et inverta, Loodini, 4747; page 89, propoMUo XXJI, problema XVU. Vejinire motum nervi ienti,
(*)0Euvres, u lU, a* CXL. Meditatûmesée chordië vibrantiàut.
{*) De minèmU oêcUlaUonUna carporum tam riçidorum quam flexibiUum nu* tkoduê noqa et facUit. Tome VU des Anciens Gommenlaires de l*Acad. de Saioit*diersbourg. Vojei aussi t. VIII.
(*) Tome Xlli des môme CommenUireSy page 4. SsQcerpta ex Utteris à Danieie BernoutU ad Leonardwn BuUrvm.
(<} Mdme lome, p. 405. J>e vi^<UkmibuM et êono laminanim eUutiearum DU"
tertaUo, — Et plus loio, De tono tommamm experientiœ. — Eofln, De sonU
mulUfariii quoe lantina eUutieœdweramodé eduiU, experimeniU UUuirata. I. • o
CeXXVj RÉSISTANCE DES SOLIDES.
dont Pune des variables principales 6sUq temps, Tautve Taboissa comptée suivant la longueur de la lame ; mais, assimilant le mouvement transversal oscillatoire de chaque élément à celui d'un pendule simple, il. rechercha quelle courbe devait, pour la lame oscillante, remplacer la sinusoïde donnée par Taylor pour la corde, ou donner lieu au retour périodique à Tétat rectiiigne et conserver, la même forme sauf l'amplitude des écarts. Il trouva que l'ordonnée de cettQ courbe dépendait d'une équation simplement différentielle du quatrième ordre; et, se servant d'une intégrale de ces ftortes d'équations, due à Ëuler (*), il donna pour les écarts transversaux deis points de la lame, en * fonction des distances à une extrémité, une expression composée de quatre teripes, savoir : i"* depx semblables à ceux qui satis** font à récpiation du second opdre relative à la corde tendue par^ faitement flexible, et où l'abscisse est engagée dans d^s exponen*tielles imaginaires à exposants égai}x au signe près, ou, ce qui revient au môme, deux termes où elle entre dans la ^inuii et dans le cosinus circulaire d'un même arc ^ â* deux termes où Tabscisse est engagée dans des exponentielles à (sxposant^ réels, aussi égaux et de signe contraire, et qui peuvent être remplacés par deux termes affectés de ce qu'on nomme aujourd'hui un sinus et un cosinus hyperbolique.
Dans son dernier mémoire, D. Bernoulli suppose succasfiive«r ment la lame encastrée k un bout; libre (ou suspendue à un fil suffisamment long); encastrée aux depx bouts; enfin simpldr ment attachée, c^ekUh-àirB posée et soutenue aux deux extré^ mités, autour desquelles ella peut pivoter librement. L'expér rienœ confirme, quant aux son^ rendus, les résultats comparatifs de calculs pour des lames de diflërentes longueurs et de différents poids, attachées des différentes manières considérées.
Euler y ajouta beaucoup à la fia de son célèbre mémoire De curvis elastids ('), toujours en regardant comme <( absolument nécessaire b (a'' 65 de ce aiéipoire) de connaître préalablement a la courbe que la lame prend pendant qu'elle oscille; x> connaissance quil croit lui être fournie par Tintégration de l'équa-
(<) Académie de Berlin, t. vu.
(*) Aflditameniwm au grand ouyrai^e Btethodus invenieiidi, etc,, i^*" 63à&)S.
tioD simplemeai différentielle t-^ = ^ . U y montre que le calcul
des inuUîp|ic$teur$ dopt l'abspiss^ x e^ affectée d^p^ )e^ p^ppr oenflelles et (|ans les sinus, ^t p^r conséquent la f}^t|3^|p^t(9{) dp non^l^re 4es osc|Ilatiqp9 selon les dfy^F^ fpiipjères dqnt ^ Iftme pst attac)iép pu souf^nqe^ dépend de 1^ so}qtipn d^ ^vfsr^s ^uaMons tr^scpndanteg ('); fpais |1 p'ei) pi(}cu|^ qpel« p)p« petite Tffimy la ^{{fg gii^jj ÇFPJe utjlp de pqpnaltrp.
Mais, dfHïs \f^ q}êq)e f^pnée j747, 4'A}pfpl)Prt mpntR^t (?) qp^ la fjéterpiiq^tjpp pppipl^te et gén^i^le dp» ipouveipept^ 4'une cpr^ yi^p(nt0y ou de |a suitf^ in4étinie fl^s petits ép^fife t9»B4venauf de s^ ppints, jjéppndait dp ia sq)ptiop 4'upft f^q»UQ9 aux (diffpFPpces partielles du sepond or^re ^pnt ('une deç 40li<lf^ yar|fii>l^ indépepjf^^nt^; ps^ le /em^i, T^ptrp l^absci^; pt \\
donnait de cette équation j-i+« -y^ =^ l'intégrale gépérale
cppppe, cQpt^papt |lei}x fi[>nptipns arbitraires. D'où il confiluait^ coipm^ eU^ peut rjspréi^qter ume infinité de pourbes, que la corde pept affffpter tppte sorte de fqrm^ dans sa vibration.
L'année suivante, Euler, après avoir rectifié l'analyse de d'Al^nfbeft ea ce qu| reg^r4e la déterp^ioatÎQp de^ fopctiQn« ar- Jntr^ir^ ppujrup ^^t initial doppé, pppqyala p9^ipecbPS|Bd*upe ^utrp manièrp, ,ep piontpant (') que l'écart op Tqrdpppée de la corde, ^ lieu (l'^tpe pu ^ ^pvenir, ^p bpp^ 4e ppu 4e tpmp«; comme Tavait soutenu Taylor, ][yropprtipppplle ap sinus 4'up ipultiple déterminé de l'abscisse^ pORV^ft bien être représentée par la sopupe d'un ppfpb)^ qpelcopgpe, m^iie infini, de tenpi^ aféctés 4^ s|p^3 4'une suite de n^ultîples ay^plt ei)tr^ pux pour rapports peiuj: 4es noFpbres naturels }; 2»^, 4-, ...... icp qpî
doqne ppe variété infinie de cpurbes.
Étonné de ces résultats et disposé d'abord à les nier, parce
fJ) TpMemv* iîo»i»:55±l, Uof m^ -*- .
(*) RMherchM sur la courb« qoe forme ose opr/to Undne nûse en Tibr^tlpo. Académie de Berlin, 4747, p. %ik et 220. (•) Aead. de Berlin, 474S. p. S9. Snrlna vil>raUon9 dea eordea.!
CCXXViij RÉSISTANCE DES SOLIDES.
qu'il ne reconndssait qu'à la sinusoïde de Taylor la propriété de donner des vibrations a régulières^ simples et isochrones malgré l'inégalité des petites ekcursions^ d Daniel Bemoullî aperçut bientôt (*) qu'on pouvait tout concilier en c faisant un examen synthétique de la question posée^ b examen sans lequel on est en général sujet, dit-il, à se laisser surprendre plutôt qu'éclairer par les résultats d'une analyse abstraite. 11 montra donc que les vibrations nouvelles de d'Alembert et d'Ëuler pouvaient être admises^ mais dans un sens nouveau aussi^ et en quelque sorte impropre ; qu'une corde tendue pouvait exécuter de plusieurs manières des vibrations simples et isochrones; savoir en oscillant dans son entier^ ou partagée en deux» trois»
quatre parties égales offrant autant de ventres avec nœuds
immobiles intermédiaires; qu'on pouvait^ en mêlant ces vibrations de divers ordres dans des proportions quelconques^ déterminées à volonté par les grandeurs des coefficients dont on affecte les divers sinus^ produire des formes aussi quelconques^ et que les courbes nouvelles de MM. d'Alembert et Ëuler n'étaient absolument que de pareils mélanges de vibrations tayloriennes.
Ce fut à cette occasion que le célèbre géomètre révéla le Cameux principe physique de la coexistence dans les corps^ dans les systèmes et jusque dans Tair, des petites oscillations qui se produisent, se continuent et se propagent indépendamment les unes des autres, tout en se superposant (*).
Ëuler n'admit pas de suite (*) qu'un mélange de sinusoïdes, en nombre môme infini, pût produire toutes les courbes possibles. Et d'Alembert, après avoir tenté de prouver le contraire^), le niait encore huit ans après {^)y alléguant le cas où la figure initiale de la corde sevaii discontinue ^ telle qu'une ligne brisée ou
('} Acid. de Berlin. Réflexions et éclaircissements sur les nouyelles ?ibraUons des corps exposes dans les Mémoires de rAcadémie de 4747 ei 474S.
(*) Même Académie 4763. Sur le mélange de plusieurs espèces de vibratioas simples et isochrones qui peuvent coexister dans un système de corps ; p. 473.
(S) Même Tolnme de 4753^ p. 496.
{^} Article Fondamental (en musique] de l'Encyclopédie.
(*) Opuscules, t. 1, 4764, p. 4 et 66. Idem, supplément; et, ensuite^ t. IV, 4768.
HISTORIQUE. CCXXiX
anguleuiey et ajoutant que D. BernouUî Ini-mème avait senti la difficulté (*). * ^
LIV. Solntioii eomplète poar la eorde d'abord, pals poar les lames, ete. lia^ranse; sa formale de rédaetloa en série de slnas. Formales d'^a- 1er, de Foarler. Relations de Polssoo, de Caaeliy. — La difficulté fut levée (ainsi que d'Alembert parut bientôt le reconnaître) par le célèbre mémoire de Lagrange^ de 1759 ('), où il jette les fondements du calcul aux différences partielles^ constitué de nos jours par Fourier et ses émules; mémoire dans lequel^ en partageant d'abord la corde en un nombre fini de parties, Lagrange apprit à déterminer, par un genre nouveau d'élimination, les coefficients de la série de pareil nombre de sinus qui est capable de représenter, en fonction de Tabscisse, toutes les ordonnées des points de division quelles que soient leurs grandeurs diverses (*). La chose parut plus daiie après les développements, et les considérations plus directes, d'un mémoire de 1762 (^], où Lagrange remplace de suite par une intégration, entre les deux extrémités de la corde, l'addition qu*il opérait d'un nombre très-grand de séries, suivie de la supposition que ce nombre était infini ; et où il donna en conséquence une formule très-générale de développement de toute fonction considérée entre deux limites données de sa variable ('}•
Alors on comprit que les lignes brisées ne faisaient pas exception, et l'on posséda une méthode sûre et facile pour déter-
(^) lovnal des Savants ; jwirf 4758.
(*) MèBOiras (niiaedianea), de Taris, t« I. Recberebes «ar la natore pi la pro» pafatioa do bod.
(*) On peut voir ee caleal ao Réramé dea leçons d'analyse de l'£cole polytechnique, de Varier, n* 494 .
(*) Mémoires de Turin. I. III* Solution de diCTérents problèmes de calcul intégral, et applications aux eordes sonores.
(») C'est la formule 9 {x) =- 2 I \ ® K) •'■ — <**' !*•" — , oii • re-
« j^l L.lo • « J a
présente tous les nombres entiers do 4 à IMnflni; et 0, a sont les deux limites entre lesquelles on teut représenter par une série de sinus la fonettoo quel-
CbXXX RÉSISTANCE DES SOUDES.
tfaioef par Ate$ iËid^ftles d^fintei^ câlculéeè idit atial jtiquemènt^ soit au besoin par des quadratures, la suite des côeiiiciëtltiî Ah séries de sinus multiples, toujours convergentes, capables de représenter toute espèce de fonctiod continue ou discontinue^ bu même des parités aé fonctions ayant des valeurs données èntire cerlaihes liinltes^ et s^annuiant au delà comme en deçà.
bn pût trouver en conséquence^ jpoiir lin état initial quelconque d'uiie corde vibrante^ la suite des formes par lesquelles elle doit passer^ et par un procédé ayant sur celui de d'Âlembert l'avantagé dé distinguer les vibrations des divers ordres qui se ^upei*posenl et qui rendent des sons différents^ se faisant simultanément entendre avec dés degrés très-divers d'intensité.
Mais d'autres jprbblë'mes dé physique inaihémâiiqùépeuveiit se présenter que celui dé là cordé vibrànlé. Lés équations aiix différences partielles qui expriment, ëomihé le. remarqué Nàviéir (^), les lois générales dés principaux pliénomëhés dont i^'étudè est l'objet de là phiiôsbpnié hàiùt'elie, peuvent être d'ùiié autre ifoi'mé et d'uii autre ordre, ainsi que les cohdilîoiis défimes que doivent remplir certaines valeurs particulières de^ l'inconnue qui y est engagée. Eiiler, lé pressentant sans doute, a donné en \llii déns un dé ses derniers mémoires (^j, plusieurs JTormûles de développement où les sinus sont remplacés pair dés cobinus d'aires prbcéâàni d*ùné manière ùii peli diËéren^, mais toujoûî*s par progression arithmétique. Et ces sortes de solutions ont été, comme on sait, considérablement èteiidbes par t^'oûrier dans son immortelle î%èorîe àe ïa chaleur ('), où l'on trouvé des sériés dans lesquelles, au lied de nombres équidifférents-, les arcs successifs ont pour multiplicateurs les racines, en nombre infini > de diverses équations transtoendantes comnve loéllés qui ^e sont ^réMitées à E^liier
(>) Leçons d'inalyie de l'École polytechnique, n* 487.
(<) Methoâus facUU iuveniendi certes per Htuu cosinusve angtdorum mulHpUnwn procedénteit. Et, sartôat : DUquiaiHo uUerior tuper wridku seciMdùm tmUHpla éjutdem angtai projrredtenlt&tM ; littprlinéB feulement en 1798 au t. XI tfet Nova aeià de Saint-Pèlersbovrg, p. 9.4 et 444.
^ publia en 4S<a, mais préeédée de divers teémolres intérêt à eeai de ttttstitut et au Journal de l'École polytechnique.
filStOHlQUK. CCX&Xj
dtttts s0é tftiviiUx oitél ëUIf leé vibrations des lames (&* LIII)^ Mais dont il ne pyenAit, avons-noii» dit, que lu plus petite ta*' cine, parce qu'il ne considérait, comme Dt Bernoalli, que les TibrationB principales donnant le son le plus grave^ sdns s'ôccupei^ des vibrations secondaires qui les accompagnent éd nombre infini. Enfin le tnéme illustre géomètre de notre siècle, en ràpplrochant indéfidlmeut l'une de Fautive leë grandeurs des termes consécuUfs deâ séries^ remplaçait celles«-cî par des in^^ tégrales de séi^o à rittfini, et attachait son nom à une formule dont MM. Liouville et Bturni, Lebesgùe^ etc.^ oàt prouvé que toutes les auti^ pouvaient être déduites (^), mais dont remploi tlirect ne convient généralement qu'à des problèmes t*eiatife à des ébrps ou à deé espaces de dimensions indéfiniest
Poisson > presque en même temps que Fourièr, donnait ll'Uutlres solutions du même genre, où les exponentielles réelles se trouvent mêlées aux lignes trigonométriques, et, ensuite> une méthdde générale propre à y conduire dans- des cas vafiés ; et bientôt GàUchy^ ^^ l'invention de 60n Cistieikt des rési-
tttt^, \éi ptéÈémii âôus uné (bftne jplud géfiéralG eli les rattA«> iAthX à dék tiôttsltiéhttit)ns unalytit|ue8 ifiipoi^nteâ dnnt on lui
»t ^iehiêht i^devabte.
Dè!s lors on put, pour les laïUes ou les tiges vibrantes, traiter réquation aux déHvéés partielles du quatrième ordre donnée par Ettlei^ en ifl^ [^)^ comme Lagrange avait traité en 4)59 Téquàtiton du second oMre relative à la oorde, et déterminer non-^eulemehl le nomth^ des oscillations^ dont s'étaient occupés Bernoulli et EUler, mai^ encore leui^ mmpliutde^ qui est ta «fto^ î^po^téMè à ieùnna(ti/t dans les questions de Msistanœ, et résoudre complètement le problème des états successifs du
if^^
(') Premiers Tolumet du Journal de mathèmaUques pures et appliquées. {^ InvuUgatw nwtuum qmbuê Uanmœ 4t virgm elatticm cotilremiscunt, aux SOTi aeu Petrop. 4779.
Eb faisant dans l'équation, de la Miité o^ — 4- *^ =^i V=VilnM%,on la
rMtfl A WM ê<|iiatlèn timplPiKni diiférentieile qu'E«ler considérait dans «es pr6eèd«Éli éerilSv Bt il ne vt pas plus ioin dans celui de 4770^ si ce n'est en con- MMHtai MttVis ntuTeaux d'nne iaae eftcatlrée i «n bout et siBRi»lement pivo^ tante A l'autre, enfin pivotante à un bout et libre i l'autre.
CCXXXij RÉSISTANCE DES SOLIDES.
corps vibrant , quand on oonnatt initialement les écarts de ses points de l'état d'équilibre, et les vitesses dont ils peuvent être animés en commençant de vibrer.
Pour les vibrations longittidinales des tiges élastiques, le pro« bième, si ces tiges vibrent seules^ se trouvait déjà résolu depuis 1759, car elles dépendent de la même équation que les vibrations transversales de la corde infiniment flexible, ainsi que l'a montré Lagrange, qui applique le même calcul à une colonne d'air; en sorte que son mémoire, ainsi que le titre l'indique, résout le problème de la propagation du son , dont la solution n'avait été indiquée par Newton que dans des termes obscurs (^).
Pour les vibrations transversales des mêmes tiges, lames ou poutres, le problème fut résolu complètement et en même temps en 4828 par Poisson (') et par Cauchy (*}, aussi quand elles vibrent setdesy et pour un état initial quelconque supposé connu (^).
LV. Partieipatloiâ, nécessaire à considérer, des masses iieortantes an mouTemeni Tibrataire da système liearté* Salatlon de IVaTler poar le chfM longitudinal. Complément par M. Poncelet. —
Mais ces solutions restent inutiles aux calculs de résistance des pièces tant qu'on suppose que celles-ci vibrent seules.
Leur mise en état de vibration est en effet détenninée généralement par le choc de quelque masse étrangère (telle qu'une voiture dont une roue retombe après avoir monté sur quelque corps ou quelque aspérité). Or, en supposant même que cette masse rebondisse, elle est restée unie d la pièce pendant au
' (1) Uplace, au Bulletin de la Société phllomatique, Wt, p. 490, a déduit fadlement, d'une intégrale comme celle de d'Alembert, la titesae de propagation longitudinale du ion dans une barre solide.
(>) Mémoire cité du tome Vin de Tlostitut n«* 46, 47, 48 ; et, aosii. Traité de mécaniqae, édition de 4833, n** 649 à 639.
(>) Bxereices de maihématiques, 3* année.
(^) Cette solution se trouye reproduite en partie.au chapitre inlilulé Poutres vtfrrantef du court de H. Bresse (4869), qui lijoute nn terme pour les petites oscillations tonmantes dés diterseï tranches ou sections autour de la ligne des fibres InTarlables, mais qui ne considère de même que les poutres Tibrant •eolos.
HISTORIQUE. CCXXXilj
moÎDs le temps d'une demi-oscillatioQ principale» et c'est dans cette durée que se produisent les écarts moléculaires capables de mettre la cohésion en danger.
D faut donc savoir déterminer les oscillaticms cPune tige unie à une masse étrangère.
lifais ce n'est pas tout : U faut encore savoir quelles vitesses initiales on attribuera à la masse étrangère et aux diverses parties ou sections de la pièce; puis exécuter le calcul avec ces données.
Sous tous ces rapports, Navier est le premier qui ait résolu complètement et dans son vrai sens un problème de résistance vive.
La solution qu'il a donnée est relative à un choc longitudinal produisant extension, c'est-à-dire, pour fixer les idées, à l'impulsion, tout auprès de l'extrémité libre d'une barre attachée à l'autre extrémité d'une masse qui y serait enfilée, et qui viendrait heurter brusquement un petit arrêt formé par un bourrelet saillant dont l'extrémité mobile serait armée. Pour abstraire la pesanteur, on -peut supposer d'abord la barre horizontale.
Navier trouve, par un procédé remarquable, fondé sur l'emploi d'une des séries à cosinus d'Ëuler, que le déplacement d'un point quelconque de la barre unie à la masse étrangère qui se trouve au bout libre, est donné à chaque instant par une série de produits de deux sinus d'arcs proportionnels respectivement au temps et à la distance du point à l'extrémité fixe, mais où les multiplicateurs des arcs, au lieu de procéder par èquidifférences comme quand la barre est seule, sont proportionnels à toutes les racines positives, faciles à calculer, d'une équation transcendante dans laquelle entre le rapport du poids de la barre au poids étranger (^]. Le temps écoulé se trouve multiplié par le rapport de ces racines au temps très-court de la propagation du son d'une extrémité à l'autre de la barre.
Pour appliquer au résultat du choc du corps étranger l'expression ainsi obtenue, Navier fait sur l'état initial^ ou relatif à
(') CetU éqatiioDy oà m désigne Tinoonaoe, eit m Uogm ==■ ce rapport ~.
tSCXtXiV RfiSISTAdCE bfeS SOLIDES.
l'instaitt qui sUii itiimédiâtëthent rimpulsiôfl, uHë âuppositioii qiii Mtnble hnnlie, à savoir qu'à cet îtistaDt led vitesses de lu barre sont nulles partout^ excepté dans la sectibki heurtée, qUl aurait tout jUste alors la vitesse du c^k'ps heurtant Mais on peut, pour se conformer mieux à Tétat physique des choses^ partir d'un instant non immédiat^ où lés sections^ sur une longueur très-petite de la barre proche de i'extréit^ité heurtée^ ont acquis déjà des vitesses croissantes suivant une loi quelconque depuis zéro jusqu'à celle du corps heurtant , celle-ci légère-» ment diminuée par le partage qili s*en est fait avec la petite partie i^rrespondante de la masse de la biUrre^ déjà mise en mouvement. En continuant le calcul, la longueur indéterminée Hé cette pcJrtioh excessivement petite disparaît, et l'oil obtient, absblùment le même résultat que l^avier, qui supposait bette longueur nulle.
Ifavier né développé cette belle solution que pour le cas o& p
le rapport ~ du poids P de la barre bu du fiï au }poiàs heurtant
Q est négligeable devant Tûnité. Il trouve ainsi, comme cela devait étihe, Texpressiob depuis Ibngtemps connue , dont nous bvous parlé ali n" L, relative à un poids osbillant hu bout d'un fil sans masse> s'allobgeattt unlforfcnémiBnt d'un bout à l'autre à tous le& instants de sob mouvetnent oscillatoire.
Il aurait obtehu, poiit* l'allongement maximum total de la bàite^ une ékpressiob aussi simple et inbomparablement plus
approchée bh dévt^bppant l'expression transcendante suivant
les puissances du rapport rr en question et en ne négligeant
t^ub les lelrhies aBèbtés de son carré et de ses puissances supé-
i^ibUreb, cak" cbmmé le carré sùppritûé trèit pour cbeflSdeùt
là petite fraction rzrrf la série réduite à ses deux premiers
teî'mei dotohé encore Une valéUr approbbée, ttiéknb qiiaud le |)Olds P dé la bart*e excède lé double du poids heurtant Q. It est digne de remarque que la valeuj* de rallongement, ainsi trouvée, est exactement celle qu'on obtient par le procédé dont nous avons parlé au n* LI^ dont Tredgold a eu it première
ittte eu bë ({tti Obriicetnb le chiOb ti'ftllslrèjrdAi; iB^ët^à^tUre (|ii*«ll6 est ce qtt'ôb Obtlèiit ëA âUt^pbèattt tôUjoli» t]Ûë Itt bftîM s'Hih>tlg% tthifortHéiiiënt cbkhbié dahd t*étâi Statique^ mhi& ^uë U vitesse da isbrpd heurtadt de trouve t^ùitë, ihlnlédiftteisiéllt àft^ le bhdbs tomtne fti ià quâfatité de tHdûvéïllént s'était f^^ lAgée avec la bartë hleiirlëé i^édùite à une fracttoti db bâ tlltese c)ui est, peut* le bhbb lotlgltudinaîj du i.
Mais, aindi que nous aVons dit au cbmmëncenleiit du ttti-imârù préèédebt Lll, lëb &lloiigëmétits, dont déjpénd le dangeL* dé rupture^ lié àbbi t^ibt UUifôrines bôtnkné dftbs i'étal statique ; et ils fté trouvent, à bértâins ihstants surtout^ tlrèâ*inégàlemetlt l*é|[)Afe*tià d'un bout ft l'âuti*e de la barre^ ëll k^ison des vibratSittift sëeôhdairës (cbhipàrilbléë àuic ViUi^tibbk de là bdlndé à deUx> tHoi^.:.. Ventres) > l^ûi se mêlent à là vibl^lioh pritidpble, et lq[ui kbbt dbhhééë par lé Second^ lé trôidiëme téi^thé.... de là ëérie, dbht lés àuti^ tërttieé dttliiiiUébt ràttfdéittéttt.
Nôiis hôiA sbmtheè donc livré; siir là fok^mule etattê de Navier, à un lonj^ travail d'àt))[)libation nùktiéH^bé^ en nbàHàidàbt dé tottëtructibbs gràt^hiquës à ^[bànde ééhëllé afin de telier en^ semble lés Valeurs des déplacéihénts^ calculées pobr cinit} j^ointb dé là bahSé. En appelàbt tôdjôtirs P : Q le iNippori de là massé de là bàlre à celle du poid^ faeurtabt, et t„ : t^ le rapport ébtré là dllà^tibh maxinium et là 'diîàtàtm mi/eÀfiè (quotient dé l'àtrougenlént tblal par la longueur dé la barllé), nous avions Wûvé iqde, i^bbi^
on
at.:tm=l,48 , i,5l9 , iM y 5,67 . SA
D'où l'ba voit bien «tù^on se trompek*a dans une proportidb eatre 1 à i ^, et 1 à 3 I (et môme plus si le poids comparatif de la barre excède A) en regardant la barre comme s^allougeant uniformément où àé là niênle manièk*e qde dàbs l'état ^tàtit^ué. La formule indiquée au n^LI^ analogue à celle qui a etè dressée ))àr MM. tkiedgold et Hodgkinson pôHr bti autre {Moblème (celui du choc transversal) ne peut donc pas suffire, bien que dOBlMMat «nec appnnimativement les allongements totaux > et
par suite les aHongements moyens ; et il faut, pour déterminer les conditions de résistance, ou de limitation de la plus grande dilatation produite par un choc longitudinal^ se servir de la formule en série transcendante de Navier, ou d'une table de correction de calculs, telle que celle que nous venons de rapporter. Quand la barre est dans une situation verticale, il faut tenir compte de rallongement produit par son propre poids^ et de l'excédant de travail moteur résultant de la chute du poids heurtant, qui continue après son choc. Navier n'avait fait ce calcul qu'en supposant la barre déjà tendue statiquement par l'action de celui-ci. Mais cela ne doit guère arriver. Aussi M. Poncelet a-t-il cherché à résoudre le problème pour le cas bien plus ordinaire où le poids n'a pas agi sur la barre verticale avant de la heurter. Il y est parvenu en ajoutant à la série trigonométrique de Navier une deuxième série du même genre, mais où le temps se trouve engagé dans des cosinus au lieu de sinus ('). H a même, dans une seconde note (*), embrassé le cas où il se trouverait déjà, à l'extrémité inférieure de la barre, une certaine masse que la masse tombante vient heurter, et avec laquelle on peut supposer approximativement, avec lui ('), qu'elle partage sa quantité de mouvement préalablement à toute action sur la barre; et il est facile de voir que son anafyse s'appliquerait encore si chacune de ces deux masses était sollicitée, en outre, par une force autre que son poids, telle que la pression qu'exerce un gaz ou un liquide sur un piston de machine ou de pompe (^).
LVL ftolntlon analogue par le «hoe traïunrerflal. Expériences À l'appai. — Un calcul complet du même genre, en tenant aussi compte de l'inertie de la barre, était désirable pour le cas, bien plus fréquent, de son choc transversal. Nous l'avons entrepris ('). Les vibrations d'une barre, ap'puyée
(>) IntroduetioD A la mécanique induitrieUe, 4S39, p. 440, note du n* 3S9.
(S) Idem, p. 434, note du n« 395.
(>) Idem. p. 445, n«3S3.
(^) Ainsi que Ta supposé H. Bélanger (Cours lithographie, 1848-49), nais en ^en tenant au calcul qui suppose négligeables la masse de la lige' et Tinertie de ses parties.
(*) Société phllomatbique, 5 notembre1853 et S4 Janyier 4854, on Journal
HISTORIQUE. CCXXXVij
aux deux extrémités, et unie à une masse étrangère placée à 8<m milieu, dépendent d'une équation aux différences partielles du quatrième ordre. L'intégrale générale est une somme d'une infinité d'intégrales particulières où le sinus circulaire d'un multiple du temps se trouve multiplié par un sinus aussi circulaire ainsi que par un sinus hyperbolique d'un multiple de l'abscisse ; et les nombres donnant ces divers multiples sont toutes les racines réelles et positives, en nombre infini, d'une équation transcendante où les sinus des deux espèces se trouvent mêlés ('). Les coefiicients de la série se déterminent, pour des vitesses initiales données, par un procédé d'élimination analogue à ceux de Lagrange, Euler Fourier et Poisson, mais modifié parce que tous les termes de la série qui exprime ces vitesses ne disparaissent pas hors un en intégrant les deux membres de réquation entre les limites de la longueur de la barre, après l'avoir multipliée par un certain facteur.
Quant au choix des vitesses initiales, nous les faisons, comme dans le problème de la barre heurtée longitudinalement, nulles partout excepté dans une étendue fort petite où elles croissent de part et d'autre depuis zéro jusqu'à leur valeur au milieu de la barre, où elles ont la grandeur de celle du corps heurtant, légèrement diminuée en raison du partage déjà fait de sa quantité de nibuvement avec cette petite partie. Gomme la longueur de celle-ci s'élimine, on a la même chose que si l'on avait supposé toutes les vitesses nulles hors celle de la section heurtée.
On tient compte du travail de la pesanteur de la barre et de celle du corps heurtant depuis que le choc est opéré en ajoutant une deuxième série, ou en faisant ce qu'a fait M. Poncelet pour le choc longitudinal.
Quand le rapport du poids de la barre au poids heurtant est très-petit, l'expression ainsi déterminée pour la flèche dynamique se réduit à ce qu'a trouvé Young (n*" L). Quand il n'ex- -.
YInsUttU, 45 fèTrier,n* 406; et Cooptes reodus de PAcadéotie, 40 août 4857, t. XLV, p. S04.
(sio m e** — e-*»\ P ; J = J - , P et Q étant les poids
de la barre et du corps benrtam.
pG$|^9Yiij RÉSIST4I9C6 08$ JIOLIDBS.
iMe pfts 3 et rodine 4, elle se cécluit au preiaier temie ()e I4 s^fi^ traDsoeadanie} ou à ce qui résulte 4p la vibrf^tion partielle ppiqcipala; et j eo développ^ii^t l'expression de la flèqbe suivant )^$ puissances 4i| rapport du poids de )a^9rr^ au ppid^ heur^n^^ oq peut négliger son carré, qui est affecté d'une trj^s-petite friicr tion numérique ; et Ton trouve précisén^ept ce qpe fpurqit 1^ mode de ca)ou( éléi^entaire du n*" 14, c'est-à-dire c^ qu'op auT rait en palpnl&nt cette (lècbe comme si la barre epn^rvi^t ]^
forme qu'elle prend sou^ une diavge ep repos, après aypjr
réduit la vitesse du corps heurtant par un partage avec les ^
de la masse du corps heurté ; en sorte que les résultats de aette analyse se trouvent confirmés par de nombreuses expérienp^s de M. Podgkinsan, méma en soumettant dii^ectement les résultats au ealoul au lieu de pirendr0 la formule empirique qni les résume.
Mais les deuxième, troisième et quatrième termes de la série sont très-influents quant aux diver^s pourbureç prises par la barref et qui déterminent la plus grande dilatation d^s fibres du icâté devenu convexe. On les manifeste très-bien par un modèle en pl&tre représen^nt )^ surfis^ très-ondMlée déprite par la bmi^ supposée emportée d'un monvement rapide perpendipul^irp k son plan pendant qu'elle yibre. Aussi, pour calculer sa H&\^ tance, il faut, sous peine de comuïettre de graves erreurs qiii inspireraient une fausse sécurité, se livrer (»u long calcul de )a formule ppnvelle et p^^c^. Ce calcul, ,^jdé de constructions grapbiqpes, a été fajt pour ijes rapports
P:Q = ^, i et 3
du poids P de la bacre au poids Q du corps heurtant; il en résulte que les résistances calculées à la manière du n* li sonl trop faibles dans des proportions respectives de 1 à
qui différeraient encore plus de l'unité ponr fyi^ biirres ^]F«nt plus de masse par rapport au corps qui les heurte.
HisTOHiQUe. ccxxzix
LVn, ||é«|«|iHi0iD ¥lve MMts éhmm. WiaiM ^t l»ii9ler#. Wf Ti^^il«oli|. Cliar^» irwyMTepm. M* n^il* U«. !!• tttfifceff* m. PMUIpv. -n }^ lésistaoee vive peut être vfim m jeu et dç^ o^oill^tions peuvent 6tpe engendrées par r^ption mptuelle des pièces d'une nijinbine qui s'arrête brus^ quenient, ooimwe le fi^it observer M. Tredgold au n^ 357 de son Trmfé de la résistance du f^r couié.
Mais, comme l'observe le même auteur, la œémfi chose peut ^voir \m h m certain dfsgré sans impulsion brusque et par ^eff^( de l'action yapi^ble, quoique ^ntinue^ d'un piston sur un balancier, d'une bielle sur une manivelle, etc. Les ealouls et les règles pratiques qu'il donne au^ n«< 266 à i04 du même our vrage auraient besoin d'être analytiquement discutés, conme nous avons f^H ppur ses évaluations des eifets du pboc. Ce genre de r^cherphe^, où )p$ forces qui étendent, cornpriipent ou fléchissent ^Qt variables et se trouvent augnientées et «ém^ remplacée^ p^ d^s produites de niasses et d'accélératiâns, mé^ ritent d'occuper les ingénieurs non moin^ que les analystes (^).
Oq peut regarder CQpin^e du même genre le problème du pQid$ voyageur, p'esi^àrdire de l'action, sur une poutre hoiizom taie, d'une pbarge en mouv0nient, qui ia pareourt unifiormémeot avec assez d^ rapidité (pompe une locomotive sup un pont) pour qu'il faille tenir compte dps inertie^ dues mx mouvements veto
(1) SI U loi du déplacement d'une exlrémlti d'une pièce élastique est connue ci coflpne oUi^iatoire, la décermiDallAo àeë dépUceoteDU des «utrea parties dé« pend d'une méthode qui a été donnée par H. Duhamel le S3 STril 4832 sous le litre Mémoire sur les vibrations d^un systètjïe de poinU rmtérifl4 (lonrn. d.e TËc» pol., t^i* cahier). Elle consiste à déterminer d'abord l'expression des déplacements successifs que prendra un quelconque des points de la pièce paf suil^ 4'un déplacement invariable, infiniment petjl, de rexlrémité jdpnnée, pu^ à ajouter ensembfe les grandeurs de ceux qui résulleront de même, pour le point' qi^el~ conque, d'une suite connue d'autres déplacements infiniment petits imprimés encore i rextrémité. Cette méthode serait applicable aux elTets des Qe^ionf fariables, comme celles que la Gomioiasion anglaise qui ta être citée a opérées au mojfcn d'un exg»ntrl4|i|e pressant et lâchant allernaiimient le milieu d'une barr*.
En appliquant cette même méthode i la résistance qu'éprouyerait une Yoilure roulant sur «• ajatène de ressorts Tertieaux juxtaposés, nous avons trouTé une expression du frottement de roulement sur un ^ol élastique, assez CQnf9rip.e | quelques expériences (Soc. phil., 34 ju|j9 1845^ 911 n" 60f dja journfj yinsUft^, Mole sur le Crotteineni de rouleqnent ou .^e àpf^éjf^e eapéçio). l|l. Phillips a aussi appliqué cette méthode (Comptes Tf^fo^, 46 pjffpfir f 864, ^* l.yiM, 9. ^47).
CCll BÉSISTANGE D£S SOUDES.
ticaux qu'elle prend en faisant fléchir la poutre, 0U| ce qui revient au même, des forces centrifuges engendrées ; et, aussi^ de rinertie mise en jeu par les mouvements des dkerses parties de la poutre en ayant égard à ce qu'elles n'ont pas le temps de prendre d'un bout à l'autre les mêmes flexions et les mêmes situations à chaque instant que dans l'état produit statiquement par une force verticale agissant dans chacune des situatious occupées par la charge.
Cette question a été l'objet de V Appendice B, fort étendu, du célèbre rapport déposé le 26 juillet 1849 par la commission que le gouvernement anglais avait chargée en 4847, de recherches sur la force des rails et des poutres métalliques des chemins de fer C).
Après plusieurs séries d'expériences, où MM. Willis, James et Douglas Galton relevèrent exactement la suite des formes prises par des barres sur lesquelles ils faisaient rouler des cylindres de fonte avec différentes vitesses en augmentant à volonté, par une disposition ingénieuse^ l'effet de l'inertie de la barre sans la rendre plus grosse ni moins flexible, M. le professeur Willis s'est livré à des recherche^ analytiques ayant pour objet la détermination théorique de la trajectoire du poids mobile (!]. En tenant compte de l'inertie de ce poids, mais en négligeant celle de la barre, ou en supposant que celle-ci prend la même forme à chaque instant que si la pression qui s'y exerce, due au poids et à la force centrifuge, agissait sur elle statiquement, il a posé facilement une équation différentielle de cette trajectoire (') .
(1) Report of ih* Committioners appointed io inquire into the Application of Iron io Bailway Struciurea, Nous reviendrons sur tes imporUnts trtTauz. (*) MAme Report, p. 497. Theoretical inçuiry of the Trt^'ctory,
(») celle èqutUoa est— =- [^^ }' (to?-ryj^ *" ***"' ** longueur
de U barre enlre les deux appuis, y étanl la dépressioo teriicale à une
Oa' dlsUnoe x du premier appui, V la Titesse horizonlale de la cliarge Qtf= •-^•
