Sa, El

g dl^ g da^ '

car il faut attribuer à l'action de la ebarge aur la barre une Taleor égale à aon poida

Qd'y Q augmenté, aoit de ion ffi«r(t>— - --^, aeit, ce qui roTlent au même, delà

g dt*

QV* 4 d*»

forée eenirifuge , - étant la «oarbare, aenaiblement égale à —--r quand elle

g p p dx*

est Ikibie. Cea aubatitutions donnent bien l'équation poaée, du aeeond ordre.

(') Dana un lieau mémoire Inaéré au t. Vllf, part. V, année 4849, dea Tranaae-

liona of tbe Cambridge philoaopbical Society, p. 787, intitulé : DUcussion of a

differenUai XquaUon rêlating to ihe hreaking ofJUUlway Bridge. L'intégrale de

celle équation, poaée à la note préeédenlOf eat

ga* ai M, » aont deux nombrea lela que m -f «=4, fmi= — ^ .

C)Par«iemple quand, dana l'équation différentielle de la note (3)^ réductible, en

biaant «=:î«x,y=46nr,ei^=6,àla forme y=(i-x«)«-"^ (*""**)*ï^' **

eoMianle 6 eal grande, on obtient facilement par dea approximatlona aucceaalYea eelM aérie couYergeote, où X eat éeritpour (x— x*)*

s*si(**rO~«»**»v*Âi(*») )+••"'

procédé qui a'appliquerail à dea équatlona plui compliquéea, ;où l'on tiendrait eompie de t'ineriie de la barre.

OCllQ RÉ8ISTAIIG8 MS SOLIDES.

à'appliqiiefA ï tfeut grandeurs f de ^ ^ iùj (Tuné certaine constante € {% doMient «lissi, dam d'autres colonnes, lea rB|)ports, appelés z, de IVMdonnée on de la dépureteioD dynamique en chaque fraîni, à la dépression statique que produtmt au ttêmc point la efaarge tsa éqttiKlire (*) ; enfin^ dans d'autres colonnes^ les valeuK oorrespondanies T de oe que M 8tokes appeito la f etidonce relative à la rupture, et qui est le rapport du plus grand monieni dé àéxîûh ou de la plus grande courbure dans Tétat dynamique, pourchaqne position de la charge mobUe» au plus grand moment ou à la plus grande courbure qu'on aurait dans l'ûtat statique en plaçant cette charge au milieu de la poutre ('). On recomiatt ainsi que le rapport de la dépression dynamique à la dépression statique est très-faible aux points proches du premier appui, c'est-à-dire do l'endroit où la charge arrive sur

i v* ioa ^) VXùietvb ^:=^ — . -— de eette tôtffllUitite liuteérlque (appela B à la tradueo g 3EI

tloA dû ftàjp^tfn par H. Buichd), èél égala au double dé la hauteur due & la viteiie V, niAtlQ^Uée par 4a «onrlMire -^ = ( — z-^ ) «a milteii dt la «r^iet-

toire y = '-^ — ^ éiû\ terait pïN»uroè tl Ta Vllesie àé la charge élâit fniH-

itldipn't jpetilé; en aôrïe qae 0( * + s J m^ ^ pôiX» Û ngmMkiè de riaanie

on de la forée centrifage qn'il aeqbiert 1 tM ^mMï ttliteà M p<re<iûltiit «SlB

pareille trajectoire.

(*)oa*2=Mr — ^—37 iqnl, c6mii* OD Tolt, teréftiU à - pour •=:4l

au milieu de la poutre.

(S) Ou a T = - ^ri -.. tu éSM, 4uà«d I1 m^iie àe H |K>àlrê é'sl nCgll-

^ «Ait ^ ^

geaMe', )i coiH^re i^c^ie A <fhii|an fnilURit ^eoùkSiè nofli véo tftiar^ Matiqtte (t— 7- v* ^; et cadntn U pHA trtade OMÉtlmi* 1 Se* àlon ta Iproliit oè (Éttt

charge agit, le plui grand mooMftt ett eeUe nea^ dMOfeainllIpUéeptr ^{(te-^*)*

Sel

Or ce prodidt, d'a^r^ Tèi^uatloii préoédeaté; èM égal à - ^ , . ^| ei «on

Sa* -• •• i^

rapport au plut grand moment de l'éiat atatlque •— - ett bien ce que noua veoDot d'égaler à T.

HISTOftlQDK. (Tcilnj

M ptfûtsre^ tk efst an contraire extrèrhement grahd au^ points pitMshes'dû deintième appui^ c^est4i-dire de Fendft)it où la charge <|ùilte ta pontre; et^ pour certaines vdleurs de la constante appelée S, ce rapport^ après avoir atteint Tinfini^ devient négatif^ ce i(a\ pro4v)ô que la poutre, fléchie pal* le passage de ta charge vers te milieti, rebondirait vers la deuxième extrémité, et quitterait quelquefois ràj[>pui correspondant. La tmdance à rupture, qui ea^t ptôporttbnnelle à ta courbure ptise^ acquiert sa plus grande valeur ftti deli dû milieu de ta poutre ; son rapport^ appelé T^ à telle qui a Heu au milieu dans l'étal statique^ est d'environ 3/2 qtiand )à constante dont nous avons parié est 3 ; mais elle s'élëvetaen plus baut quand cetlie constante ^ est nlotndt^ô ou quand les viteâ^ sont considérables.

Lorsque h constante S est grande, &^est4-dire la Vitesse petite ainsi que te poids fléchissant^ ou la roldeur de la \Ahce considârftblë et fa ttèche slatiqne faible, raugmentation proportionndle de lOèthé, au mAieù^ due au mouvement, est sensiblement

OMMvée par Tiaverae >ss-^ s '^^ de cette constorte^

et JTïûgmentattèA correspondante de là plus grande c6ùrl)ure, ou d'à Ynomént qni teAd à Rompre, suit la même proportion, égalé tout juste A cette Aé ta partie de l'a prèsstbh de t& charge qui est due â ^qn inertiej ou à la force c^ntrifu^ ^'eUetiMM^àernît aa milieu de la trajectoire répondant à une vitesse infiniment petite, û elle la parcourait au lieu de la trajectoire réelle (^).

(f } P'?*^'^1^^ f9® ^ flèdifi 011 U eowbiir« na^^m diotnl^e mikU §Mh9 oà à iâ oourburo maiimua tlaUque coaum 4 ei t à

^/| — ^fz jtoDÎIiil, «n âl|lig«ant— ^ éenot 4, lâ dètnmiton «uilqua

qai, refardée eomme une première approiiouitloft, et anbaiitaée dans la pareo-

4rn 6ax — Zsfl — * to* 4rv*

ihèM, éMoe < + -j^r • ^ '• ^'** * "*■ 7? •" '■"*^ ®" P^*"

GCXllV • RÉSISTANCE DES SOLIDES.

M. Willis a comparé ces résultats du calcul, rendus plus manifestes au moyen d'épurés des trajectoires, avec ceux de diverses expériences faites à Portsmouth par MM. Henri James et Douglas Galton^ et d'expériences non moins variées faites par lui à Cambridge plus en petit, mais d'une manière qui les rendait plus comparatives entre elles et qui permettait mieux d'en saisir la loi, surtout en ce qui regarde la part d'influence de l'inertie de la barre. Dans celles-ci, pour ne pas diminuer la* flexibilité dont dépendent la sensibilité et la justesse des mesurages, et qui diminue naturellement quand la masse augmente, M. Willis se sert constamment de la même barre d'acier, de i",22 de long sur 5"^,84 d'équarrissage ; et il fait varier artificiellement son inertie en suspendant, au milieu, par une bielle verticale mince^ Tune des deux extrémités d'un appareil qu'il appelle une balance d*inertiey consistant dans un simple levier horizontal à deux bras égaux, sur lequel on met des masses tantôt plus petites tantôt plus grandes, mais toujours en équilibre statique sur ce levier ; de sorte qu'elles ne résistent au mouve- ' ment vertical de la bielle qu'autant que ce mouvement est accéléré ou retardé. Comme M. Willis trouve que l'inertie de la barre doit résister à peu près de la même manière que si sa masse était concentrée à son milieu, mais réduite seulement aux

0,486 r= — de sa grandeur (^), il peut comparer facilement, en

P) Od t VQ (fia da n* U, aole] *qa6 celte nitie, réduite tuz -- eoMeDirèe

tu mfliea, a 2a même force vive que toute Ut barre ti l'on tttppoie, eomne bit M. WiUit, que les diren points m déplacent traDBYertalemeiit comme dtu l'eut «taUqae eotii TactiOD d'une charge centrale.

En partant de cette même lupposltion on peat facilement, lana remplacer les maaiei dea éléments de la barre par une masse centrale unique» calculer pour un instant quelconque les rapports approchés de leurs dWerses inerties i celle du poids roulant (ou à sa force centrifuge) et en déduire, comme deuiléme approiimatioB, par deui équations de momeou de flexion, Tétat de la barre soumise à ees diTerses forces ainsi qu'à la charge et aux réactions des appuis ; d'od, pour la trajectoire, une équation diflérentielle du second ordre, analogue à celle de la

note ci-dessus, oucoiiienaot — --, y première puissance ei diverses puissances

entières de x. En l'Intégrant en série comme nous avons dit qu'a fait M. Stokes

HISTORIQUE. CCXlv

divers points de la barre, les inerties fiictices créées par son appareil; et il trace en conséquence les trajectoires que suivrait la charge pour divers rapports du poids roulant au poids de la barre d'une roideur supposée constante.

La comparaison avec les trajectoires calculées de M. Stokes donne une concordance approchée quand le poids de la barre est très-faible ; mais quand le poids de la barre approche de celui de la charge roulante^ elle donne un écart déjà sensible qni augmente beaucoup.

En conséquence H. Stokes, dans une deuxième addition à son mémoire (où il &it un examen critique d'un article de M. Cox] (^), pose une équation complète de l'équilibre de rotation de la barre autour d'un quelconque de ses points, sous Taction de toutes les forces y compris les inerties de ses parties. Débarrassée par deux différentiations, comme on fait ordinairement, de la variable auxiliaire qu'elle contient sous deux intégrales qui y en« trent, cette équation devient exactement celle du mémoire de 1 779 d'Enter, à deux termes différentiels l'un du V ordre par rapport à l'abscisse x, l'autre du S* ordre par rapport au temps t, car pour tous les problèmes relatifs à une lame ou barre vibrant transversalement, l'équation indéfinie est la même, et ils ne diffèrent que par les conditions définies aux limites do la barre ou de chaque partie de la barre. Comme il ne parait pas qu'on puisse l'intégrer exactement avec les conditions du problème dont nous nous occupons, M. Stokes en cherche des solutions approchées, en supposant les inerties des divers éléments distribuées proportionnelleihent aux dépressions qu'ils prendraient sous l'action de poids uniformément répartis d'un bout à l'autre. Il y arrive, mais pour le second cas extrême y savoir le cas où c'est la masse mobile qui est très-petite par rapport à la masse de la barre et de sa charge permanente.

Enfin H. Phillips, et, quelques années après lui, M. Renaudot,

po«r im eu plot simple, elle ëODse dei réralUU oA l'inertie pantt comptée iTone nuBière fofflsante quaet au eateul des flèchet laeoetsiTet lerTint d*ordoBBëes à la trajectoire.

(1) Ob tbe dynanlcal DeOeetion and Strain on Rallway-Girdera (CItU Engi- Joonal» aeplember 4S4S).

ÇCXlVJ BfiSlSTANGS P^ ^LIDES.

avril i^j» appvQKivéi to tô {évrUi «(S6 et uisAvâ aiHDi il«a8<ef de« faille (^]y le «ecûttd kiaéré en 18691 aux Àf^mles^ dfi$ p^tg $t chaussées, ont cherché d'une maDière nouveUe à donner une 80luUûO complète du problème^ eu t^ant compte de la oiasse de la poutre 9àmi que de celte d'uBe ehavge pewuanettle r^ipertia «ur «aloogueuf (*)• 11. PhiU^ poae d'atbecdji pour la» deux pertîes dans lesquelles la balte ae tcouve partagéteaa i^iuit Q,^ S(U trouve la charge, supposée agir en un seul endroit à çliaqve iusta^^W^ équatkttie diÔàventîellee du quatrième orchroen #.et ^ deu^ùèpie en t oocpMie ceUe d'Suler, et les équations de ooodUioft è la joncAioB aiosi qu'aux extréoûtés, qu'il suppose aueiçesaiYeineat encastrées et simplement appuya* U di^ceba k satislbiie aia équations en exprimant l'inûanama par dea aérie& ordonnées suivant les puissanoes entières de l'abBoisso ai» et deuil ebaque coefficient indéterminé est fonction du temps jt. U trouve tei*. lement que ces eeeficîents peuvent se dédu»a tous» pt^r des différentiations d^rdre pair^ de quatre d'tantre eui^» dont deux pour chaque portion. Pour déterminer çeux^^i» qui, en vertu des eonditiona de raccordement > se trwveat engagée dans quatre équations dittrentieUes d'ordce în&ni> Uk RhUtips les regarde comme dévsk^HP^Ues eux-mêmes suivant lea pàtt-

sances entières successives d'une certaine constante ^ proportionnelle au poids de la poutre paD unité de longueur, et à sa fkxibiKté ou à Pinverse de son moment d'élasticité £1 (^)> et dont les puissauiees paires aSsctrat déià les termes suceessiii des équations en question. Chacun des coeflicîenl&des nouveaux

(<) Calcul de la résUMl^cf^ <^f R9ulc«^'droU^ if^fs U^s^fi^ f ^. c;^«^ ^ moufemeDl. Cimpt^s rendw, t. J^L, p. 951 çt XLI^ p. 325 ; et ^nn. des Mines, t. vil, IS56.

' {*) Nooi peDioDt arec M. Renaudot que celle charge permanente doit être supposée Tibrer comme la poutre elle-même. Cela n'exige, au reste, d'autre mo- «MflcatiQD 9UX équationi de M. Phillips ^ue d'annuler une constante.

(*} Cette eoMUDie r^ est, e» efel, avoeles DOtalloM préeMentes^ et « appelant P le poids de la poutre et de sa charge, égale i ^- — .

développenente m tewrt nSmi dipmdva dHinasksiidd équation difléraDltoUe 4«i Wfioiul qmIk^ mkégnbk par uae uarah» d'aj^ pfoaiBUtipas «lecosaivas» «n aéria d» tarmeaqm 9CsA des fooc- Uana a»Qaua» du tooipa» ou da l'ahscisse aoluaUa da poids vfiqragwry atfectéa dea puisaaocea d'ua produit de oe poi^ par la longueur et la flexibilité de la poutre al par lea deux tiers de

k hauteur du6 i^ 1» vites^ du mouvamaut (c'ea(-4-^ira des

puissances de ta constante 7 de H. Stokes).

^ négligeait partout lea puissanee» deuxiàiUA et supéiriettres 4a«iea dew çomrtaAtes» U^ (tutlipa obtint dea scAutiM^ qui sa- ^9iyi>dim |9« UwîtM da l'appvw^ 9m dftwrsaa cottiittpftada la v^atfioivi fo^oapté à k oûnditioB îiytîale d«t riaiw)liilil4 i» ta p^ulkra, car» d'apiès Isa forawles tmavéea» k* éléiuaitta autiMiit dé^> a^asé ta pasiaga de la ahsiga» aartaû^^ vîtaasea traiswKales. MaïaH. PlûUipa nv^otra que les fOMvwiants vtt>iatoiraaqui résultera»Bld*6t>ra»togKMftts ioitkui^ aonttspondaata tant» dauaks Uuûi^ des dooaéea de la pratiqua» faibles ak «ans i^fliimica sejdsibla sur fôvi^tkii des déplacements et des résistances.

Ifi résultat çrinç^p^ e^,^ q\jç 1«^ çûW^y,çe^ do^t d^pçjpcl h t^ndance à roiQApre^ j^xA é^^e, éyf^uéQ çopi.vi«i pQur ¥çh\ ^ ^epos sçiis b^ ^viAe açtioa d^ k ^^t!9 Pkcéç ^U V^\}}fi^ ^ d\i poids prcipre dç \^ po,i\^çç, çp auççç^^ta^t çç.tte, cç.iwrbuj^ Çtetiqi^ç Jo^ çflilie ^ans u|[^ çailaiqe pro.pprti^i\, q^i ^\ çréçiséjpeic^t celle que çlpipn^ k €ld«^l ^e 81, ^.tokes, îjelatif a^ ç^ QÙ l'inertie ^e la

utrç peut êtrç i^égl^éÇjj et q«i résulte; ^usfti, ço^WÇ PA a YU

note 2^ ^, cçi^)^ ^'une intéjjr^lJQp ep ^éç(ç^ born^ à deij:ç çu

trois termesiy dç l'éc^uatipn d[^éreQtielle d^ ^copd çrcbpç poséç

rçr}SAyUliA(>),et|eréduispL^qwnd oç §ç. tiçnt à ç^iux tçrm^, ^ pe dont VipertiQ YÇ^^içi^^Ç ^^^ tft Çl»?fP W ^ f^^Ç^ cç.9t"f"Çe i^Mgipente s$^ pjeç^oiD^ s.uç k po^tre, W[t ?W^S^ ^^ P^^? i® 9»* ^'qje poirtrç enoasjli^e *u}^ ^^ ^^ut§, ^^ çQpséSl^ÇnçÇf ana-

4 SOaV^ 4 4

(^ M <lfWlM Vvrwfi M la «cç«ad|l ^anot^Md» reipcf^iMiiS awnéx^^ (7^ anrail betoio d'être rédail de moitié, eoinme l^t remarqué M. Dreiie, en rectifiaui UM tasdfertaBee dan* le caleol final .

CCXlviiJ RÉSISTANCB DES SOLIDES.

Le calcul de M. Renaudot est imité de celui de M. Phillips^ mais relatif au cas où la charge roulante occupe^ comme un convoi, une certaine longueur de la poutre. Dans ses Résumés et conclusions (p. 497), il néglige aussi ce qui vient de la masse de la poutre en ce qui est relatif aux rapports de la tension dynamique à la tension statique.

Cette solution^ qui se distingue par la hardiesse des expédients^ mériterait qu'on poussât plus loin le calcul des termes successifs des trois ordres de séries entières dontM. Phillips acru pouvoir faire usage et qui s'y combinent, principalement celle qui procède suivant les puissances de la masse de la poutre, afin de s'assurer au moins par des exemples numériques nombreux^ de leur convergence dans les cas de la pratique. La question, dans rétat actuel, ne parait point épuisée. On a vu en effet tout à l'heure que la correction de la flèche statique, semblable à celle qui a été déduite par M. Stokes du calcul de la courbure de la trajectoire pour une inertie nulle de la poutre, donnait des résultats très-différents de ceux des expériences de M. Willis pour peu que la masse de la poutre approchât de celle de la charge roulante.

On a vu aussi, au n« XXXn, et l'on verra encore au n^ LX, que les séries entières n'ont pas toujours fourni à MM. Poisson et Cauchy, dans des problèmes d'équilibre, des résultats conformes, même par .approximation, avec ceux d'une analyse plus exacte où l'on ne faisait point usage de cette forme de développement non justiflée; et Ton a encore vu (n** LU et LUI) que dans des questions de mouvement ou de résistance vive, ces sortes de séries, tout en donnant à peu près les flèches centrales ou les allongements dynamiques totaux des barres heur- ' tées transversalement ou longitudinalement, ne fournissaient, pour les allongements individuels des parties, ou pour les courbures, que des nombres fort différents de ceux que révèlent les intégrales exactes en séries de sinus, ou de sinus et d'exponentielles. Une masse roulante, il est vrai, ne doit pas produire autant qu'une masse heurtante, ces vibrations du second et du troisième ordre qui rendent très-onduleuse et trèsdirariable la forme réelle de la pièce, et qui produisent, en cer-

HISTOBIQUE. CCXliX

tains points, des courbures très-fort au-dessus de celles qu*on a quand l'inertie est négligée^ ou la déformation supposée propagée instantanément. Mais quelque chose de semblable doit néanmoins se produire ici à un certain degré, et paratt échapper aux calculs que nous citons^ ainsi qu'aux expériences faites jus* qu'à présent, où l'on n*a guère observé que les flèches de courbure (*).

Nous pensons donc que jusqu'ici il n'y a de solutions analytiques complètes et certaines du problème de la résistance aux déformations dynamiques des pièces solides que celle qui a été donnée par Navier pour les allongements produits par un choc longitudinal^ en y joignant 6elle que nous avons donnée suivant les mêmes principes et par une marche analogue pour le choc transversal (n' précédent LVI).

LVIIL Snrfbccs élafftiqoes. Spbère ei eyllndre creox. Tuyaux, \mmem. Cliaiidières et réservoirs, Mariette. IVairier. M. liamé. — Voyons maintenant ce qui a été fait pour le calcul des déformations et des vibrations des vases et des placpies.

C'est pour arriver au calcul des épaisseurs des tuyaux cylindriques supportant des pressions dans leur intérieur, et de celles des rondelles ou platines qui les ferment, que Mariotte a entrepris et inséré dans le Traité du mouvement des eaux ses recherches théoriques et expérimentales sur la résistance des solides en général.

D'après la 'première des deux règles qui terminent son deuxième discours déjà cité (n' IV), Tépaisseur du tuyau, supposé cylindrique à section circulaire, doit être proportionnelle à la fois à la pression et au diamètre.

Ce théorème se démontre de suite en supposant le tuyau

{}) Il serait ponible d'obtenir tt suite des formes d'usé iMirre ou heurtée ou sollidiée psr une charge roulaste, eo fixent latéralement, à plusieurs de ses points, des styles qui marqueraient leur trace sur un plan Tertical enduit de noir de fUnée et entraîné rapidement dans une direction oblique à rhoriion pour ériler la eonAision des différentes Uraees. Ce serait un si^et digne de la sagacité des habiles expérimentaleun qui ont enrichi la science de tant de faits soigneusement obserrés, surtout au ConserTStoire sous la direction de N. Ilorin. •

ÇÇI RÉ$ISTANG& W& a^lDES.

ooiu>é longiiudiBatoiaeBt par un pUn méiidifiB . IV>uk l'^uiUbre d'um moitié 4tt tuyau et du fluide owteuu» la teiuian sur Tunité de longueur, dans ebacuue des deux coupea de la matière tiuivaat son épaisseur^ doH être égale à la pre$$ion intérieure de l'eau sur l'unité néper/ieielle, multipliée par l^ rayon.

De même, pour une sphère Greuse^ Navier a remarqué que la tension totale, dans une coupe annulaire diamétrale, doit être égale à la pression iatérieure par unité superficielle, multipliée par la surface d'un grand cercle intérieur, ce qui donne^^ par unité de longueur de l'arc intérieur de la coupe, une tension égale à la pression multipliée par la moitié du rayon.

Quant aux dilatations^ que les tensions font éprouver à la pa^ roi suivant les sens tangentiels transversaux, ^ auxquels û faut

imposer la limite jdésignée ordinairement par ^ pour établir

Inéquation de cohésion» elles ne sont poînl égales dans toute répaisseur de la paroi, sek cylindrique, sait sphérique; et leurs moyennes U'ont point pour mesure, même lorsque répaisseur est très-petite, les tractions divisées par la section et par le module d'élasticité E de l'allongement et de la flexion d'un prisme de même matière dont les faces sont libres. MM. Lamé et Clapeyron ont déterminé, en i 8â^ par une analyse, rigoureuse, fondée sur la théorie de l'élasticité (^), la manière dont les tensions et les dilatations varient dans l'épaisseur, soit d'un tuyau cylindrique indéfini, fermé aux deux bouts (*), soit d'une sphère creuse, dont Poisson s'est occupé là même année k peu près dans les mêmes termes ('). On en déduit que lorsque les parois sont très-minoes, leurs dilatations dans le sens tangentiel tcstnaversai sont ^)es aux tensions par unité de secti^ diainétrale, divisées, non pas par le coefficient d'élasticité ordinaire E, mais

par - E pour le cylindre, et par - E pour la sphère. On trouve,

(^) Sur réquilibre {Blérieur des solM^ honogiiiei, 4SM ($tT. élr., 1. IV), B- 45 à 48, et 57 à SO.

(*) Nouf pensODB qa'tl oosTient de supposer toujoan celte fèrmetaire, mèine daos un tuyâu de oooduile OQTert aux deux boni» s'il eel d'une, grande longueur, car In pression de reau contenue doit être à peu ppàs égale en tous sens.

(*) Jnn. de eh. et de ph,^ 48SS, f série, t. XXXVIU, p. S30.

t^tion MiPgejaUeU^ (iao$ U sphère coiQmçi (teiiak cylin^çe^ est ^ peu près deux fois plus forte du côté intérieiir ^vie du pAt4

\^ deux thçocà^Ç* ^lé»e;[^t«iise5î ci-des3^s ^^yr poujr le

itqHMieft T?:^- jMT peur la sphère creuse à parois minœs (r ek r

étant leurs rayons, p la pression intérieure^ ou plutôt son excès sur la pression extérieure de Tatmosphère, et T la* traction tangenticlle]^ peuvent se démontrer aussi sur des portions^ même infiniment petites^ de leurs parois, à savoir sur une calotte de la sphère et sur une bande longitudinale du tuyau. Mais ils exigent pour être exacts^ coipme l'observe M. Lamé ^\ que les tractions tangentielles exercées aux contours de ces portions! produisent les mêmes dilatations que si la sphère était entière et partout également pressée et que si le cylindre était aussi entier et même de longueur infinie^ ou que si la partie considérée était infiniment éloignée des deux couvercles ou platines de fermeture. Il en résulte^ continue M. Lamé^ que si une chaudière à vapeur est composée d'un cylindre term^é par deux calpttes de sphère, les tractions ne se régleront con-

f<Vrméweo.t fu^ ^eus^ théorèmes T ;;â j«r et ^|2ir qu'^utw^ (^

les épaisseiii;^ de ta paroi eylindrique et dtt fond spbérîqiie seroBi estre elles conune 7 fois le rayon r de bi partie cythÂdrique est à 3 fois le rayon r de la partie sphérique. G^est^ en ^et, la cQQdition pour que les dilatations tangentielles soient les mêmes pour toutes deux^ à leur cercle de jonction, et ponséquemment partout, et que par conséquent aussi le rayon de ce cercle s*étende autant comme faisant partie de Time qwe comme faisant partie de Pautre (*).

(1) H. Barlow; dans son chapitre Foret des presses hydrauliques, trouva que m rapport n'est que celui &e$ favertes des dUniètree tuièrteur et extérieur. On voit qu'Û est bieo plus consid^iible. C'eit que sou calcul est basé sur la supposition que Faire de ranoead est la même après qu'avant la dilatation^ et que la densité est MUée nailsme, ee qui «'est poial 9i^Q\ (A Treaiise ol Jke Streiust^, etc., é)di«todelSa7).

|9^ Ittt» tut les èpsisêeurs el les c«i»rlmfes des ^pareils, 4 ustm (QoWïi^ rendus, 48 février 4850, t. XXX, p. 457).

If y Bi\ efld si «, e iQ»t les diei» ^HftiKS fuppoifBes. pflM^i lei 4i^tatâons

CClij BÊSISTANGE DES SOLIDES.

La même règle peut servir à très-pea près pour les épaisseurs de la paroi cylindrique et du fond spbérique d'un réservoir d'eau en tôle (*).

C'est au moyen des mêmes formules du mémoire de 1828^ modifiées comme à la 16* leçon sur Télasticité en y introduisant deux coefficients, que M. Lamé a fourni à M. Regnault un calcul approximatif des dilatations de ses piézomètres de deux formes, dont nous parlons à Tappendice V^ p. 668 et 674.

Si un tuyau cylindrique a une coupe transversale d'une autre forme que le cercle, la tension en un endroit quelconque, comme le prouve Navier par un raisonnement simple, est la moitié de la pression intérieure (supposée constante) pour une surface égale à la projection de Tunité de longueur du tuyau sur un plan parallèle à ses arêtes et à la normale en cet endroit. Et; pour un vase fermée par une raison semblable^ la somme des tensions dans la portion de paroi répondant à la courbe de contact d*un cylindre qui envelopperait ce vase tangentiellement, est égale à la pression intérieure sur une surbce égale à la section droite du cylindre. .

Mais quand les coupes ne sont pas circulaires^ la pression produit généralement, avec la tension qu'elle développe» des flexions qui tendent à les rendre telles, et dont il résulte des inégalités plus ou moins considérables dans la répartition des dilatations suivant les épaisseurs : il faut calculer la plus grande pour lui imposer une limite (')•

des parois du cylindre et de la sphère seront respectlTement, comme nous Tenons

■s Pf «

pr 2 e 7r

de dire, ■ * et . Leur égalité donne bien la proportion - = -- de

~ E€ - Eff

U. Lamé.

(1) La formule i laquelle arrire M. Dupait pour ce fond (Traiié de la ooadoite

A et de la distribution des eaux, page 24S) rerlent i T=s -i^r donné ci-dessua.

L'attaque que M. LoTe dirige contre cette formule (Des diverses résistances de la fonte, du fer et de l'acier, 4859, n" 453, p. 235) n*a'nul fondement, non plaa que le raisonnement par lequel il prétend prourer qu'au centre de la calotte la tension est nulle.

(■) C'est ce qu'a fait H. Bresse (Société phiiomailiique, 28 février 4857), sur une

HISTORIQUE. CCllij

Quand la pression la plus forte vient de Textérieur de l'enveloppe sphérique ou cylindrique^ les conditions sont analogues» excepté lorsque des inégalités de courbure ou d'épaisseur déterminent des flexions qui peuvent amener un aplatissement ou écrasement.

é^vllilnre et levN vlbratloii*. Esler. JaeqHCS Berm^iillI (de 1787). S^plile Germain. lAmgrmwàge. •Poi«B#a (1814). Première rectiileaitoa, preflqae complète, et application* exactes, par IV^vier.

— Quant aux plaques, aux membranes, et aux vases ouverts, tels tiue les cloches, nous pouvons parler ici à la fois de ce qui est relatif à leurs vibrations et de ce qui r^arde leurs déformations statiques.

Il n'a été fait dans le siècle dernier, comme dit M. Poisson (^), que quelques essais infructueux sur les surfaceà Hcaiiques pliées à la fois dans deux sens différents. Ainsi Euler, après avoir

d*Ç rf*Ç rf'Ç

donné en 17 W une équation de la forme — = a* rr-; + ** ti

pour le mouvement vibratoire des tambours ou membranes parfaitement flexibles, en les considérant comme des tissus de fils élastiques se croisant rectangulairement (*), a présenté, dix-huit pages plus loin, un essai sûr le son des cloches (*), qu*il décompose, moins heureusement, en anneaux vibrant indépendamment l'un de l'autre, supposition qui conduit à des résultats en désaccord avec l'expérience comme avec le véritable état des choses.

En 1787 un jeune géomètre portant le beau nom de Jacques

fotieatioB de M. BelaDger, poor ono ehandiére dont la coupe offre un pelU degré d'eUipUeité. Voir auMi le n* 407 deli deuxième édition (4863) de la Théorie de la rétisunee et de la flexion plane des solides, par M. Bélanger.

(<) MéBioire sor les surfaces élastiques, lu le 4*' août 4844 (Mém. de la classe des sdeMSi maUiénatiques de r Institut, 4843)| déjà cité n«XXlI et xxa.

(*) Ht motu vibratorio iympanorwm, an tome X (4767) des Novi comnutUarii Aeademim Petropolitaoa, p. S43.

(*} Tenitmen de imw campanarum, {ItUm, p. 4785.)

CCliV RÉSISTANCE t>ËS ^LIDBS.

Bef noHlIi (0> présenta, à l'occasion des expériences ^ne tenait de publier le physicien allemand Chladni snr les places mnores (*), un mémoire dans lequel^ appliquant à Ime plaque rectangulaire une hypothèse analogue à celle qu'avait faite Eu- 1er sur les toiles ou membranes, il la considère comme formée de deux systèmes superposés de lames parallèles à ses deux côtés, oe qui lui donne facttemeot» stiy étant tes coordonnées cotÀptées dans les mêmes diractiottS) snr le pim ihoyisn, K nite ffim* stante et { Tcrdomiéa mmiaie dli le petit dépltMMMlt pcfpeil-' dicukire à la pteque^ vmè équatml

z ou =-m-

selon que là plaque ejst en équilibre sous une charge Z par unit^ superficielle au point {x,y) ou selon qu'elle vibre, m représentant sa massé aussi par unité. Cette équation est incomplète;

elle maimne tfMi tentai 3K ■*■ iv ; conrnië nouiï allons voir.

dx*dy*

L'auteur recohnaiâsait, Htt reste, Iqof on pontail lui objecter Kâ division également possible de la plaque en lames non droite^, ou bien non orthogonales, etc., a ce qui ne donnerait peut-être pas la même chose^ 9 mais en ajoutant qu'il ne présentait «on mémoire que comme un premier essai sur ce sujet

Cepen(iant Chladni étant venu en France vers idt)8 ^ ayant montré les curieuses lignes nodales^ de forme cour^ réfuUèrê et très-variée, qui sont dessinées par le sable^fin r^ndu sur les plaques qu'il faisait vibrer à l'aide d'un archet, rAcadémi^ sur l'indication du souverain d'alors, proposa en 1810 pour su* jet de prix de donner la théorie maikématiqtte des vibrations des surfaces élastiqueSy et de la comparer à Vexpéricnce (')• Une seule

(i) Fils du second Jean (oh pe;il-au 4a ^enkr, «t mmfm 4e ftMM)> aé cb 4759, mort en 4789 d'«n accident dans la rivière de Ke«a. E9aai théor^éUg^ nar Ut vthratUmê du flaçptet raoten^fet ei Zt&res, prèsenù le 94 arptfimhpe 478S. Tome V (4789) des Nova acta,

C) (:clle première publication â'e Chladnt parut i Leip8i|( en 4787.

('} Traité d'acoustique de Cbladni, traduction publiée par lui en 1809. p. 357.

mSTORIQtJfe. tt\f

{nèsefut envoyée, car, sente entfeleis géotnètreè du temps, mariemolaeiie Gemiàin (^) ne se laissa pas décourager par un mot de L&grange, qui avait dit qu'il faudrait, pour la solution de ecftte question, un nouveau genre d'analyse. Elle aperçut et énohiça un principe qui lui parut eiipable de iK)nduit% à réqim-

Uon véritable. Ce principe revient à ce que la somme - -f *7 <^^

eDarbores^ ou des inverses des rayons de tourbure p, p' dans deoi i^ns t^ctangnlaireS) somme qui mesuré en quelque sorte

te degré de déformation de chaque élément dé la plaque^ doit

joœr dans te flexion te même ràle q<ie la courbure r dans la

tietMm â\ine âimple .tige prlmffivement droite ; en sorte que celte Somme multipliée pat une constante mesurei'âit la force élastique teïitlant h ràtnener h fiA forme plane l'élément superfitld conrbë, A à diminuer pat conséquent là Inême somme; d*bfi B Sdîvratt qute te fhofhènt on travail virtuel de la réaction eii l[)nest!on serait égal^ pour toute la plaque, à la somme des saperftetes des éléments hmltiplïés par une constante K et par le

tMAttI /^- + - J ^ ( - + -? ) de la môme «omme plt sa f^ariù"

Uon ou différentielle par 8; en sorte que te potentiel des forces élastiques développées, ou la quantité dont te variation donne

te travail virtuel» serait ©• ( - + -) V^ ^^^^^ superÙcîelle,

Oonime elte fit^ à oe qu'il parait, um erreur <i8 cakui en p(H sant ou en développant Véquation de travaux virtuels qui en déoouley son mémoire de i 811 ne fîit pas jugé remplir les conditions du programme. Mais Lagrange, qui encourageait les travaux de cetïe personne aussi modeste qù'éminente, adopta son idée et lui niontra qti^on en tirait teçitement, par les méthodes de te mécanique analytique, l'équation

i^ net en nTï^t ^iB«rt« ea 1*S84 . taf^ét la nôtf eè eu fêle de les CànOiSraiwns iur Véiai de» aeienca et des lettres, pabliéet ea 4833. (*) El «an, «a réêubail let eoarburei atit Ttleun qu'enei prcàiftibt ^nand

CClvj nÊSISTANGË DES SOLIDES.

La question fut remise au concours une deuxième et une troisième fois, et Sophie Germain, en présentant en 1813 cette équation différentielle complète, avec un essai d'établissement, par le même principe, des conditions-limites pour les seules plaques rectangulaires, obtint d'abord une mention honorable; puis, de nouveaux développements, et l'extension à des plaques naturellement courbées en forme de surface cylindrique, sur lesquelles elle fit également des expériences, lui méritèrent le grand prix en 1816. Elle ne se détermina qu'en 1821, sur les exhortations de Fourier et de Legendre, à publier ses travaux ('), auxquels elle donna une suite en 1826 (*). Tout en soutenant son hypothèse, elle semble décliner l'invention de l'équation différentielle, en se réservant pour tout onérite de l'avoir appliquée. Ses intégrales, exprimées en sinus et exponentielles, sont particulières, et ne fournissent que le nombre de vibrations principales ou du ton le plus grave, et le nombre des lignes nodales, sans déterminer les amplitudes de celles*là ni les formes de celles-ci. On verra plus loin que le potentiel, ou la quantité à rendre un minimum pour l'équilibre, est proportionnel, non

/l 1\* pas à I - -|* "7 ) 9 ^^ ^ ^ ^^^^ plus ^^^ constante multipliée

par la somme -7+~i9 V^h traitée de même, conduit à la

P P même équation du quatrième ordre (').

Aussitôt qu'il eut connaissance de l'équation différentielle nouvelle, Poisson en chercha une démonstration exacte, et lut

elldf retient irèt-petilei^ on a, pour toute l'étendue de la plaque

qui, en intégrant par partiel deux fois, donne, pcAr le terme restant affecté du

(I) ftecberchei inr la théorie des lurfacat éUatiquei, in->4% P) Reoarqaei lar la nature» lea bornes et l'étendue de la qnestibn des surfacef éltstiqnei.

(*) En effet, les deoi rayons de courbure principaux p et p' sont donnés comme

HISTORIQUE. CClvij

à ce sujet le mémoire, déjà cité, du i** août 1814. Dans la première partie, il s'occupe des membranes, c'est-à-dire des surfaces infiniment flexibles ne résistant aux déformations, comme la corde vibrante, qu'en vertu de tensions longitudinales ou tangentielles y et il parvient, en embrassant le cas où la forme primitive est courbe, aune équation qui se réduit, lorsque cette forme est plane, à celle d'Euler (de 1766), plus générale que celle de Lagrange, car, dans la Mécanique analytique (*), la ten- — 1 — - -1^ . «Il- — — — ^^— ^— ^^^^^-^^.^^

l'on sait (quand la courbare est petite) par l'équation du second degré d'od résulte, en tirant leurs râleurs et en substituant,

HiiltipttaDl par dxdtff prenant lei \\, ditrérentiant par d et intégrant par parties, ce qui restera affecté do double ligne et de dxdy^ sera le mène trindine du quatrième ordre qui est fourni par i ~ + ~; j •

0) Edition de 4844, 4 *• parUe, section V, cb. III, $ U, n*> 44, 45.

Fourier a aussi étudié lea turfaeeê éUuiiquet, d'abord seulement^ dans un Ménoire présenté le S juin 4S48, aous le rapport de la propagation d'un mouTe-> ment qu'on y excite quelque part, lorsqu'elles sont infinies en tons sens; et il a donné à ce sujet, de leur équation différentielle

une inlégrale en série d'exponentielles réelles et imaginaii^s susceptible d'être sommée par une inlégrale défloîe. M. Poisson ayant présenté i cette occasion, à la séance sulTanle de la Société pbilomatbique, et inséré à son Bulletin, p. 97, des Bemarquet sur les rapporit qui existent entre la propagation des ondes à la surface de Veau (sujet dont II s'était déjà occupé, même Bulletin, juin 4847, p. 86) et leur propagation dans une plaque élastiquef Fourier répliqua par une IfoU relative aux vibrations des surfaces élastiques et au mouvement des ondes, od il donne de l'équation précédente une inlégrale tous forme finie contenant deux fonctions arbitraires engagées chacune sous une. inlégrale double prise de — oo â oo par rapport i des rariabies auxiliaires. La même inlégrale est donnée par Poisson quelques pages sTant, au même cahier, p. 495, sous le litre : Sur thUégrale de Véquation relative omx vibrations des êurfaees élastiques, en

f ^^ ai i /— \ dz d*z

partant de celle z=z\ e""" ®l« + ^aymtjdd de -- -=: m — - , trou-

J— oo dt dafl

▼ée par Laplace (/. de VÉc, pol,, 44* cahier). Mais M. Poisson ne fait aucun

usage de cette intégrale dans son Mémoire de 482S oà 11 ne considère qu'une

plaque de dimensions finies.

CelriU RÉSISTARGE DB9 SOLIDES.

sion est saulemeoi supposée égale en tous seas. Passant à ce qu| es\ relatif à use plaque^ o'est*à*dire k upe surface capable de résister h la Qexion^ il suppose sa résistance due à d9S forces répulsives mutuelles entre ses points matériels (n"" XXII d -dessus). Ces forces» sur lesquelles il ne fait d'autre supposition qiie celle de leur 4ctiQQ à des distances insensili)les seulementi ne se trouvent ^paiement engagées, comme dans les calculs relatifs k Tiiction capilbûre^ etc.» qu^ dans des intégrales définies se r^ dnisant à des constantes arbitraires déterminables par l'observation. Les changements de distance qui mettent ces actions en jeu ne sont, dans son analyse, que ceux des points de la surface moyenne, car, comme nous l'avons dit au n* XXII et comme il Ta reconnu, il réduisait la plaque à une série de points répandus sur cette surface plane, d'où il suit que le trinôme différentiel de Sophie Germain et de Lagrange n'est multiplié que par le carré de la masse de l'unité de surface de la plaque et par conséquent par le carré de son épaisseur tandis qu'il de^ vrait Véise par le cube. Cette équation est applicable du reste à des surfaces douées de tous les degrés de flexibilité, car selon qu'on néglige certains termes ou certains autres elle peut servif à la pluque ou à la membrane. Poisson termine son mémoire en montrant (comme nous venons de faire dans deux notes, mais en embrassant le cas de courbures plus grandes] que la surface élastique^ en appelant d^a son élément, a la propriété de rendre

un minimum non -seulement Vd«>>(-' + ^] mais encore

\ ^^ i^t + '^ ^^ P^' conséquent toutes les sommes de ces deux

intégrales multipliées par des constantes ; ce qui vient, observet-iU de ce qu'elles diffèrent entre elles d'une constante multi^

pliée par i-^ , dont la différentielle par 8 est nulle quand on

n'a égard qu'à ce qui reste sous le double signe { { après qu'on a remplacé dta par sa valeur dxdy et intégré par parties. G^ propriété généralise celle qui avait été aperçue par D. BernouUi et développée par Euler pour les simples lames (n- XIII).

HISTORIQUE. CClIX

Navier le premier envisagea les surfaces élastiques ou ]o& plaques dans leur réalité physique en tenant compte de leur épaisseur, dans un mémoire déjà cité (n* XXII)^ présenté à TAoa* demie le i4 août 1820 et imprimé par extrait en 1823 C). Il composa pour cela (comme il fit Tannée suivante pour des corps de forme quelconque) la résultante des actions a'exerçant sur chaque molécule de la part de toutes les molécules environ* nantesy en vertu de ce que leurs distances ont été augmentées ou diminuées par la courbure de la plaque^ dont il suppose que les lignes matérielles primitivement normales aux deux faces leur sont restées normales. Comme il se sert du calcul des va« nations et de la méthode de la Mécanique analytiquef les intégrations par parties lui fournissent non-seulement Féquation différentielle du quatrième ordre avec un coefficient où Képaisseur entre au cube^ mais^ encore, les équations aux limites^ ou les conditions à remplir aux bords de la plaque selon la direction et rintensité des forces extérieures qui agissent sur ces bords.

Son analyse est exacte, excepté en ce qu'il suppose que Isê

petits éléments linéaires, dans le sens de Tépaisseuri restent de

la même grandeur qu'avant la courbure de la plaque, tandis que,

z z par suite des dilatations -, -; des éléments linéaires dans les sens

9 9 parallèles à la plaque, au point à la distance z de là surfaée

moyenne, et en vertu de ce qu'on suppose nulles les pressiotiS

perpendiculaires aux deux faces, les premiers éléments auraient

dû être regardés comme se contractant dans des proportions

- (-4-^) d'ûpl*s la théorie de l'élasticité, qui ne fut cré^ que

l'année suivante par Navier lui*même, et développée ftetltoflièflt

en 1827 dans ses conséquences par Caudhy et Poisson^

De cette omission il résulte que le potentiel par tirtlté ÀÊ

surface, ou la quantité dont il faut rendre un rainimttni Id

somme des produits par les éléments superficiels, est propof*

1/1 1 \* Si tionnel, datts son mémoire, ^si--!--;) — 5^* tandis

S V P P / 3 pj)

(t) Bnlletia 4e U Société philoniithk|««, p. M.

CClx BÊSISTAMCË DES SOLIDES.

4 /i i \ * 3 4 qu'il Test réellement à -( — [--) —7—;. Cela n'empêche pas

2\p p/ 4pp

Navier d'arriver à la véritable équation indéfinie du quatrième ordre^ ce que Ton comprend d'après la remarque finale du mémoire de Poisson rapportée tout à l'heure ; l'erreur n'affecte que les équations définies à satisfaire au contour. Encore est-elle tout à fait sans influence sur les belles applications qu'il en fait à la plaque rectangulaire, en sorte qu'on doit considérer Navier comme ayant le premier montré le genre de rectification qu'il fallait faire subir à l'expression du travail virtuel de déformation adoptée par Sophie Germain et Lagrange.

Il suppose horizontale la plaque rectangulaire, et :

1* Appuyée au contour sur un cadre fixe et chargée de poids arbitrairement répartis sur sa surface; d'où il déduit comme cas particulier ce qui arrive quand la charge est ou au milieu ou également répartie, ce qui sert à démontrer analytiquement le théorème, prouvé tout autrement par Mariotte, de la constance du poids de rupture quelles que soient les dimensions.

V Appuyée seulement sur quatre angles et sollicitée à tous les points de son contour par une force constante horizontale ou parallèle à son plan primitif (comme Test une simple lame sollicitée debout ou longitudinalement).

Les Intégrales offrent une belle application des méthodes de Fourier, alors nouvelles et non encore publiées.

LX. fitalte de* plaque* et membrane*. Poàft«oii« CJaneliy. M. liamé. M. KlrcMiair. Potentiel mal^ •nlaire Téritalile de* plaqne*. IVombre de* eanditlan* anm limite*. -^ Mais la découverte des équations générales de l'équilibre d'élasticité permit bientôt à Poisson en 4828, et à Cauchy la même année, de présenter d'une autre manière celles qui sont relatives aux surfaces élastiques.

Poisson s'occupe d'abord de la membrane (*), à laquelle il attribue une courbure quelconque primitive ou acquise. Il la suppose sollicitée seulement par des forces agissant sur son

P) M4aolrt av C vm 4e rinittUit, 1St8« »- 54 et BuiTiott.

HISTORIQUE. CCUJ

contour^ ainsi que par d'autres s'exerçant sur tous les points à la manière de la pesanteur et de Tinertie^ et assez mince pour que les pressions intérieures puissent être regardées comme les mêmes dans toute l'étendue de son épaisseur. En exprimant l'équilibre d'un de ses éléments terminés par quatre faces normales^ il obtient une équation, à laquelle M. Lamé arrive d'une manière bien plus simple (^) en taillant l'élément en forme de prisme quadrangulaire tronqué, qui a ses faces latérales perpendiculaires à deux des coordonnées. De cette équation il déduit^ quand la membrane est primitivement plane^ deux équations différentielles du second ordre donnant les déplacements que ses points peuvent éprouver dans deux sens parallèles à son plan, et^ aussi^ réquatioQ du second ordre, semblable à celle d'EuIer (1766) donnant les vibrations perpendiculaires au même plan. M. Lamé Ta intégrée pour des cas remarquables où les diverses lignes nodales doivent se déterminer par des considérations tirées de la théorie des nombres.

Pour la plaque susceptible de résister à la flexion^ Poisson et Cauchy ('), à défaut d'une intégration complète des équations de l'élasticité, jusqu'à présent ineffectuée pour les corps finis non sphériques^ regardent les déplacements à l'intérieur comme exprimables en séries convergentes procédant suivant les puissances entières de la très-petite ordonnée z qui est la distance de chaque point à la surface moyenne divisant l'épaisseur en deux parties égales. En supposant qu'aucune pression ne s'exerce sur les deux faces^ et en ne conservant qu'un certain nombre de termes des développements, ils arrivent à l'équation différentielle du 4* ordre ci-dessus, où Z doit être, comme l'on voit, une force agissant sur toutes les molécules à la manière de la pesanteur ou de l'inertie, et, du reste, distribuée d'une manière quelconque aux divers points ('). Hais on peut en étendre

{>) HeuTième leçon sur l'éUiUeité, 4863.

(S) Ménolre de M. Poiiioa du 44 arril 48S8 au t« vm de llottitut, n* 65, p. 593 et tofr. ; et Mémoire du 6 octobre 4838 (préseoié araut la pablictUon de eeloi de Poisaon), aux Exercices de ma ibéma tiques, 3** année, p. 8S8-356.

O Pour le faire comprendre nous croyooa dcToir rapporter ici, sous une forme simple, oe qu'il y a de plut essentiel dans leur analyse. Soient z la coordonnée normale, comptée depuis le plan moyen de la plaque, a; et ff les deux anUea coor-

OCllij R&SISTANCB DES SOUDES.

apprûximativement remploi, dans les problèmes d'équilibre, au cas où Z repFéseûterait une pareille force augmentée d'une charge étrangère distribuée aussi suivant une loi quelconque

dÔRD^ef recUQgles, Se rôpaUseur trèi-peiiie de U plaque, sur \f$ deui faces de laquelle oa suppose qu'aucuDo pression ne s'exerce, eo sorte qu'arec les noutlions du troisième Appendice, p. 547^ on doit arolr pxs = 0, pyz =. 0, p» = 0

pour 2=z±ti coQn soit ~- Tiatensité de la force, parallèle aux z, qui agit

sur l'unité de volume à la manière de la pesanteur ou de l'inertie, ^u point {x, y, z), ou soit Z cette force rapportée i TuDiiè de surface. Posons les équations d'équilibre intérieor (même Appendice, p. 585} *.

^ dpxx . dpxy dpzx . dpx^i dpyy d/)y, Z dpxg dpyz , dpt» ax dy dz <ix dy dz Se dx dy dz

Qlfférçnttoui-les respectivement par rapport i c, à y, à z; puiç diftérealioiis fiar rapport à z ce qui en résulte, et ajoutons^ à ta troisième équation non diffùrenlicc, les trois résultats de eette double différentraiioo, multipliés respectivement eS eS c» e« e« e»

^" ?' 3 ' s"' °*^"* *^^"* ▼" quo ^ + g- = j î

leV "*■ 6 dzV ^ dz\ dc^ "^ dardy "*" dy* J "^

Si l'on fait 2 = 0, les trois dernières parenthèses du second membre s'annuleront, car si Ton s'arrête aux quatre premiers termes du développement fuivani, supposé convergent et appliqué à pzx, Pyx, Pss, QÛ les indices zéro marquent ce que deviennent, pour s = Oj les quantités qui en sont affectées

ceito «konu^tioft des trois binômes entre parenthèses est nécessaire pour que ços trois composantes de pression pxx, Py*» p*i deviennent nulles pour z=sàzt comme on le suppose.

L'équaiioo préoédente se réduit done, en effaçant, dans la parentbèM du prt» mier membre, te terme en e* vis-à-vis du terme qui n'en est pas affecté, i

3 IKdzday , "^ \dzdxdyJo \dzdy*J^] *

Or si noni meltona dans le second membre, qui est affecté de %\ i la fUao*de pxxy pmyy Pyy l^urs valeMve (35) du $ M, p. à84 du 3« Appendice, es fonction des dépUcements u, v, w des points dans les sens x, y, z pour une matière isotrope, BQtts pouvons y remplacer^ au même degré d'approximation, les dérivées des déplacements parallèles n, v par leurs valeurs en foncdon des dérivées

HISTORIQUE. CCllliJ

sur h face supérieure^ car il devra en résulter sensiblement la même flexion, sauf à changer très- légèrement là valeur de la constante affectant le trinôme différentiel.

Bi des forces agissent non- seulement dans le sens normal mais encore dans deux sens tangentiels rectangulaires^ on arrive de la même manière à une équation qui se sépare en deux autres et dont Tune donne les déplacements tangentiels comme dans le cas de la membrane susceptible de dilatations et de contractions, l'autre les déplacements normaux.

Mais il faut avoir aussi les équations d'équilibre définies, à satisfaire aux limites, c*est-à-dlre aux bords ou an contour d'une portion quelconque de plaque dont nous supposons les faces borizont^es pour fixer les idées. Poisson en pose trois, savoir : i* une pour la somme des forces verticales^ ou, comme on dit, des efforts tranchants qui peuvent agir sur l'unité de longueur de ce contour; 2* et 3* deux pour les sommes de moments, autour de parallèles aux deux coordonnées horizontales, des forces tant horizontales que verticales s'exerçant sur la même unité de longueur du bord ou cylindre contournant. Les forces verticales sont tenues en équilibre de transli^tion par les réactioios transversales, c'est-à-dire par les composantes de pression iaiérienré, de même direction^ agissant à travers une section aussi verticale, rendue légèrement inclinée et courbe par les petits glissements qui les développent. Ces composantes sont nulles sur les

i^>— ^■w^<^'^> — p— pii»»*.^!»»

dw dw

— , — do déptaoemMit noriMl «p, tirées de It supposition qaoD a j»sa=r 0,

PyicsS, Pa^wt^ 4»m I9III* ripaftssMr foaoM •■ r» s»r !•■ dow Aeit

d« Il plique: c'eitrà-dire od peut faire •t- = — t"i^ — ■"^~» •*

az QX tfz dy

îb S" ^ " îeT7 dz\dx'^lly)''%t-\-e Vite» ^ dyV* • **

résulte

c'est-à-dire rèqottioD du quatrième ordre qui èull I éftbiif el qut, èUèt toté* grée, doDtten le dépl«ceoieDt normal «;« dn ptao moien, et oi^ Z« est li forée i||sMat, à fendfoti («» y)^ lur wm poitlon d« l« plaqM rdpéndati 4 Tnatté de surfaee.

Celziv BÊSISTANCE DBS SOUDES.

faces supérieure et inférieure, et Poisson a pu les négliger, sur toute l'épaisseur, dans le calcul qui a conduit à l'équation différentielle indéfinie; mais, ici, il faut en tenir compte, et Poisson conserve, dans la série entière par laquelle il les représente, le terme affecté du carré de la coordonnée verticale (').

Quant aux réactions ou composantes de pression horizontales s'exerçant à travers la même section verticale, comme leurs sommes, pour toute l'épaisseur, sont nulles quand la plaque horizontale n'est sollicitée que par des forces verticales, les développements de ces forces manquent du premier terme; et M. Poisson les réduit au second terme, ce qui revient à les supposer (comme dans la théorie de la flexion des simples tiges ou lames) proportionnels à la petite ordonnée z, distance de chaque

(') L'annulalioQ oécetsaire, pour z=d:,e, de cet compounlea pm* et py», représentées ipproiimatlvemeol par

donne [ -^ j ^ ^> '''> ^ *" T ( Jl ) ^^ ^^'^ ^^^^* eipreMlons i la forme

p=f— ^j . — M— ---j analogue i celle qu'on a trouvée,' en ce qui est rela*

tir à une simple tige, pages 944, 39S^ 394, pour le glissement qui leur est proportionnel, ce qui fournit

pour lea sommes de ces réactions sur l'unité de longoeor de sections perpendiculaires aux X et aux y respecUTemeni. Et comme les deux premières des trois équations d'équilibre intérieur, rapportées tout à Theore dans une note, donnant

\dz'^ ). ""VdidarA \dzdy j J \ dz^ J . \dzdxj^ \dzdyJo*

on peut, au moyen des relationa entre les déplacements u, v, w données à la fin de cette même note, exprimer ficilement ces deux sommes de forces en fonction du seul déplacement to«, et arriver, pour celle qui agit sur l'unité de longueur horiiontale d'une section verticale dont la normale fait l'angle a aveo l'axe dea 9, à l'expreasioQ de M. Poisson

îe» ^[e -^ 9') r rdiwo ^ dhff.\ rdho. ^ dhv^\ , 1

HISTORIQUE. CClXV

point au plan moyen^ dont les dimensions restent invariables; et il détermine facilement^ en fonction des dérivées des déplacements verticaux u;. des points de ce plan, l'expression de leurs moments, qu'il égale aux moments des forces extérieures agissant sur le contour^ ces moments étant pris comme les autres autour de parallèles aux coordonnées horizontales x et y (^].

Poisson en fait une belle application aux vibrations d'une plaque circulaire sollicitée d'une manière égale à égale distance de son centre^ et détermine, lorsqu'elle est libre, ses vibrations et ses lignes nodales circulaires concentriques.

Mais M. Kirchhoff a montré qu'au lieu de ces trois équations de condition aux limites il n'en fallait que deux^ dans un mémoire des plus dignes d'attention, dont un extrait a paru d'abord aux Comptes rendus en 1848 (*), et qui a été imprimé in

(') Oo a ainsi (même ooUtiont]

donnant ponr moments, sur l'unité de longueur des sections Terticales, ces mêmes eipressions multipliées par zdz cosa ou xdz sina et intégrées de— *eà e, c'esl-

l-dire --- multiplié par les mêmes trois dériTées i j et par cosa ou sina.

du

Mettant dans ces dérivées, pour p«s, pyy, p^y leurs râleurs (Se +e') -r- + ,

dx

2e» /^ rfH* \

etc.» en fonction des déplacements ti, v, tp, on a -^--(Se + e'K r-r- ) + «

3 \diM2 J o

etc., od les dériTées des déplacements seront, comme ans deux autres notes,

exprimées bcilemeat au moyen de celles de w^ seul. D'où facilement aussi, les

expressions suivantes (se confondant avec celles de M. Poisson quand on fait

e = e'] des moments, autour de parallèles aux x et aux y, des forces s'exerçaot i

travers l'unité de longueur de la face dont la normale Uii avec les x Tangle a :

H'= - -—-7 e' -^ + 2 e+e') -— î sin a+ (2e+ t') — -- 3 2e + e'IL dx^ dy^ J ^ ' dxdy

4 es* ( . ^ dhûa r , «P«^o . d'tPol

cosa

cosa >•

(s) 16 octobre. NoU relative à la théorie de réquiUbre et du numvement d^une plaque élaeiique^ t. XXVil, p. 394. l\ est essentiel, à la page 396, au lieu

CClXVJ RÉSISTANCK DES SOLIDES.

exienso en 1880 au journal de Crelle (*). Ces deux équations sont s

V Celle qu'on peut tirer des deux dernières de Poisson, par le principe de la composition des moments de rotation^ en égalant entre eux les moments des forces extérieures et des forces intérieures autour d'une tangente au contour.

2' La première de Poisson, relative aux forces verticales, mais additionnée, comme cela paraît nécessaire à M. Kirchho£f, avec

des deux équations n + (N) = 0, G + -- + (F) + -j^ = 0, d'écrire G-|-(G)=0,

dN dis)

y 4. ^ + (F) -f -^ = 0 ; el, à U 4« ligne en remonlint, de meiue F ot N, N, N as as

an Heu de 0,C,G.

(<) 40«folame, 4" HvralsoDi p. 54. Vthtt dos Gteickfewicht «fid Béwêgung einer elasiischen scheibe»

Il commence par prouyer, dans ce mémoire, que le principe de Mademoiselle

Germain, qui donne une équation diCTérentielie indèfloie exacte, conduit à des

conséquences faqsses quant aux conditions aux limites. En effet, en faisant

dK d^ ce

T-j + Jl = ^» l*»nl*Sration par partie de l V dardytôU, dont on a parlé A une

note ci-dessufl, p. cclvj, donne, poar les inlégralei amples qu'elle détache, en

désignant par T 1 de« différences entre lei faleura de Uttri Umitea qui lont

relatÏTCs aux points oii le contour est percé par une parallèle aux x ou par une parallèle aux y

[j.f*]>[j.f^:-a£H:-[ssH:.

réductibles, par une transformation connue (Appendice complémentaire, p. 793- 794) à cette somme plus simple de deux intégrales relatives A tout le contour dont nous appelons ds Télément et l la longueur, et oà les diflérenticilet sur da sont ce dont it él V augmenteraient en cheminant sur me BOrBâle n tu contour

Cl dfH: ^ (IdV ^ ^

-yi^'"^ydn^'''

Or^ dii-il, si le contour est libre, il y aurait ainsi A remplir, pour ses divers

du points^ deux eonditions 0 =: 0, •-- =0. Comme la première suf&t poQr déter-

an

miner conptétement ta aolution de réquatiot indéfinie, qui peul être écrite

(d*U d*C \ — 4- j^ 1 == 9, U deuxième condition ne pomrat^ être remplie en général, et le problème de Téquilibre de la plaque serait ians soIntiOB poMible.

HISTOBIQUE. CClXVtj

ce qui résulte de la djfférentiation^ par rapport à Tare « du contour, de celle qu'on déduirait eucore des deux dernières de Mf Poisson pour l'égalité des moments de rotation des forces intérieures et extérieures autour d'un$ normale au même are, et qui laadraient à produire^ au contour, des espèces de tor^ sioos (').

Q regarde, au reste, comme exacte l'application, faite par Poisson, de ses équations à une plaque circulaire, sollicitée d'une manière égale aux points à égale distance du centre; mais c'est parce qu'alors une de ses trois conditions-limite devient identique* M» Kirchhoff donne une magnifique solution du pro^ blême des vibrations de la même plaque dans le cas où cette égalité de sollicitation n'existe pas, et où les lignes nodales sont à la (ois des cercles concentriques et des rayons (*). Ses réaul* tuia s'accordent avec des expériences de M. Strehlke.

Dana ce beau mémoire de 1848-1850, M. Kirchhoff déduit l'équation indéfinie du quatrième ordre, et sea deux équations définies, de la supposition, sufiisamment approchéCi que les lignes matérielles primitivement normales aux faces delà plaque leur restent normales, de même que dans la théorie de la flexion des tiges, et pour le cas ordinaire où les glissements sont négligeables, on déduit les formules de la supposition que les sections restent planes et normales aux arêtes. Mais, dans une noie (l'un mémoire ultérieur, non moins remarquable^ relatif aux tiges infiniment minces, et dont nous donnons un extrait à la fin de notre Appendice complémentaire (p. 830 à 848), il annonce qu'une analyse semblable à celle dont il fait usage pour les tiges, et qui est exempte de toute hypothèse de ce genre, peut être employée pour une plaque aussi infiniment mince. Cette analyse a été donnée par un de ses élèves, M. Gebring, dans

(>) Le m^me reproche n'aUeiet pas Gaucby, qui n'a coDsidéré que le cai où les bords ou conioara de la plaque feraient sollicités normalement au cylipdre conlournant, en sorte que la force appelée F par Poisson et qui agit dans le sens des aréles de ce cylindre, soit nulle. H Tait lui-même (Exercices, 3* année, 4SM, p. 846) une objeciioa eoQtr« une des équalio«s «io PQiuoo quand U plaque a «M autre forme que le cercku

0 Comptes rendus, 47 décembre 4S49, t. XXlX, p. 753. Ou même ttdmolrcy au t. 40 de Crelle.

CClXViij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

une thèse (^) de doctorat, où il Fétend à une plaque dont la matière n^est pas isotrope : elle est fondée sur un artifice consistant à diviser la plaque^ comme on a fait pour la tige, en éléments rectangulaires infiniment petits, dans chacun desquels on imagine une origine et trois axes de coordonnées pour leurs seuls points, et à égaler la dérivée des coordonnées dans l'espace^ d*un point quelconque, par rapport à l'une de ces coordonnées infiniment petites parallèles à la plaque, à la dérivée par rapport à la coordonnée finie, de même direction, de l'origine particulière des petites coordonnées en question. Un des points de doctrine que soutient le jeune savant contre les argumentateurs qu'on lui oppose, est que la théorie des corps élastiques ne peut être traitée convenablement que par le calcul des variations ; il le fonde surtout sur ce que son maître n'a réduit et rectifié les équations aux limites de Poisson, qu'en posant l'équation d'équilibre au moyen du potentiel des forces tant intérieures qu'extérieures, et en faisant par conséquent usage, suivant la méthode de Lagrange, de cette sorte de calcul; méthode qui seule conduirait pour chaque question au nombre justement nécessaire et suffisant de conditions à remplir (').

(^) i>0 jSquationibut differeniiùlibu* quihuê aquiUhrwm et motui lamina criitallinœ definiuntur^ diuertatio inauguralU. M. Glebsch a reproduit cette analyse dam son beau livre Théorie der éUuUeiUit fetter KÔrper. Il 7 considère, ailleurs, une plaque dont rëpaisseur n'est pas infiniment petite.

(*) En attendant la publication des Notes à l'article XII du présent ourrage, on nous saura gré d'indiquer ici succinctement en quoi consiste l'analyse de H. Kirchhoff, de 4S4S, fondée sur la conservation , tonjours très-approchée, de la normalité des petites lignes primitivement normales aux faces de la plaque.

Le potentiel des forces intérieures, que nous appelons ^* i l'Appendice oomplémenisire et dont nous donnons l'expression générale (499) à la p. 788, se réduit, quand la matière est isotrope .($ 96 p. 584 de l'Appendice III) et en appelant d', d", d'" les trois dilatations prineipalet (App. compl. $ 8S, p. 784) on dans les direetions suivant lesquelles il n'y a pas de glissements, i

Or, en supposant que toute normale matérielle reste normale i la surface qui divise en deux parties égales Tépaisseur de la plaque, et que cette surface mofenne ne change pas de grandeur en ae courbant, les dilatations, i une distance z de cette même surface, dans les sens des deux courbures principales

HISTORIQUE. CClxi

Ce sujet est délicat. Nous ne doutons pas que les équations aux limites de M. Kirchhoff ne soient les véritables; mais en

~ , — et dtos le sens Dormal, ool les râleurs suivantes, dont la |troisième ds P P ^

se déduit des deux premières en égalant à léro la valeur (35) pM»=:^t^^m4-

+ e'()y+ (Se+e'j d* de la page 584 après aroir mis cellei-ci pour ha, dy :

SobititiUDl i d', d", 9"' 4ant ^, puii multipliiat par dxdydz et iDtègrtot pour toola la plaque, ou • en eUBctuaot l'intigratioo d« — a i c par rapport à *

xB"'[^r.-4-.(^f)']

On voit de suite, en différeniiant par 6 le trinôme entre crochets, quelle est la Traie (orme du moment Tirtael des réactions élastiques par unité superficielle

de la plaque, et qu'il n'est pas proportionnel à(~ + -]8(— , + — ) résul-

vp py vp' pv

tant de l'hypothèse on de l'Intuition de Sophie Germain, qui a pourtant si bien

fait découTTir la véritable équation difléreniielle indéfinie du 4' ordre.

Or on sait que les deux valeurs principales ~, -, de la courbure — sont don-

nées par les racines de l'équation do second degré suivantes, où v> représente

U peUte ordonnée de la surface moyenne devenue courbe

/4 d«io\ /4 ^\ (dho\ \p d««jVp dy«j~'^torpj"

Substituant, et appelant n le potentiel des forces extérieures, on a pour l'équa*tion d'équilibre ou des travaux virtuels

ElTectnant la différenUation par 6 du crochet, puis les intégrations par parties ; puis, en appelant a l'angle que fait avec les x la normale u i l'élément d$ du contour, mettons, dans les intégrales simples détachées, ±i ds sioo^ db d9 cosa pour dx et dy de manière i transformer les différences de ces intégrales en des

intégrales \ ds pour tout le contour dont nous appelons I la longueur déve*

loppée ; enfin remplaçons

d&r ddz dtz d&r d^z . dàz .

— par — sin o + -— eos «, et -— par — -— cos a -f- -T- «lo a ; dx ds tfn dy dt du

et, en appelant, avec M. Kirchhoff, p la force agissant verticalement sur la plaqoe par unité de la superficie, F la force agisunt aussi verticalement par unité

quoi celles de Poisson sont^elles fausses? C'est ce que nous n'avons ))as encore eu le loisir d'étudier à fond. Est-ce, comme

de longueur du contour^ G el N les moments de roiation, autour de la tangente el autour de la normale n, de toutes les forces qui agissent sur la même unité de longueur, remplaçons 6Q par sa râleur, qu'il est facile de reconnaître égale i

nous trourerons, en faisant en outre^ pour abréger, avec M. Kirchhoff

3 [^\dx* dy*J dxdy J ^ "

l'équation d'équilibre suirante

4- y^ d*[f + (F)J8z - J' ds [N -f (N)] ^ + {[ ds [G + (G)l g .

En égalant i zéro le premier polynôme entre crochets on a l'équation différentielle indéfinie connue.

En égalant séparément à zéro les trois binômes contenus dans les autres crochets, le premier donnerait la première équation définie de Poisson, qui rerient à F + (F) ss 0 (noie ci desios p. coIxIt), et les derniers donneraient les dent autres par une transformation facile, en déduisant les moments autour de parallèles aux X et aux y des moments aotonr de la normale et de la tangente.

Mais on n'est point aotorisé i opérer ainsi, car le second V peut être Intégré

par parties et peut fournir on terme en \ A? qui «e rénnlra au premier. La paN

lie détachée oa mise hors du V est nulle puitque, sur le contour , lè$ limites « := 0

t!ts=tl se confondent; on a ainsi, lu lieu des trois dernières intégrale^ l :

* Égalant à zéro les deux quantités entre crochets, on a les deux équationslimite de M. Rirchboff, i substituer aax trois équations de M. Poisson.

HISTORIQUE. CClXX]

parait le penser M. Kirchhoff, parce que les séries entières dont il a fait usage sont divergentes? Nous avons de la peine à le croire ; car, de même qu'il arrive pour les simples tiges ou lames dont une des deux courbures reste nulle, il doit. arriver pour une plaque que les pressions normales à travers le bord varient à peu près linéairement d'une face à Tautre, et les pressions tangentielles, qui sont nulles à la rencontre de ces deux faces, doivent varier à peu près paraboliquement de chacune d'elles à la surface moyenne; et, d'ailleurs, les deux équations de M. Kirchhoff contiennent précisément les expressions (F)^ (G), (S), dont M. Poisson a fondé le csAcvl sur l'emploi de ces seriesj emploi qui revient jusqu'il un certain point à la supposition qui a été faite de la normalité conservée par les petites lignes matérielles primitivement nortnates, et qui doit se retrouver sous une autre forme dans l'analyse de M. Gebring relative à une plaque d'une épaisseur supposée infîniment petite. La matière demande donc un examen approfondi, et c'est pour y convier les géomètres que nous en avons développé ici les éléments avec quelque détail.

LXI. Expérieneeii et observations sur la réslstanee et l'élasticité des eorps solides. — Outre les calculs théoriques, la résistance et l'élasticité des solides ont été, dès le premier moment où on les a fait entrer dans le domaine scientifique^ l'objet de nombreuses recherches expérimentales.

Les premières que l'on mentionne (sans indiquer où l'on en trouve le détail) sont celles du physicien suédois Wurtius, cité au n* m ci-dessus.

Robert Hooke, peu d'années après^ appuya de quelques expériences, principalement sur les ressorts en hélice, son prin-

M, Kircbboff justifie ceUe rédoclion des conditions limitet à deux de cette forme par un raisODoemeut direct, tneutioaué i rtrticle cité du Compte rendu de 1818, mais non développé.

Oo reconoatt par là rmilité de remploi, dans les questions de rélasliciié, de \x méthode de Lagrange, perrectionnée par Tusage du potentiel, et par cette substitution des dérivées sur s et sur d aux dérivées sur xeiy pour le contour, qui pa* ralt duei Poissoifcomme fournie implicitement par son Mémoire sur le calcul de$ variationi dn 40 novembre 4831 (tome XH de Flnstitut); bien qu'il ne soit pas eoeore pàîtaiteiMBi pronré qu'on ne peul pas se passer dé cctie méthode.

CClXXij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

cipe de proportionnalité des efforts exercés aux allongements et aux flexions qui en résultent (^].

Vers le même temps, Mariotte ayant étudié les lois du choc des corps et observé la flexibilité dont il les regarde comme tous doués avec ou sans ressort (') , fut conduit, comme nous avons dit (n* IV), à baser la théorie de leur rupture sur la considération des modifications qui la précèdent. Il fit sur de petites tiges de bois, de métal, de verre, des expériences qui infirment une des conclusions de Galilée, en vérifiant les autres (*). Il areconnu le premier, sur une lame de verre, qu'un solide horizontal était capable de supporter, au milieu, une charge deux fois plus grande lorsque ses deux extrémités sont encastrées que lorsqu'elles sont simplement posées, et qu'il pouvait rompre alors aussi bien vers les encastrements qu'au point où la charge est suspendue. Il a aussi montré qu'un prisme, ou bien un ressort en hélice, éprouvait toujours longitudinalement, sous le même poids, la même extension proportionnelle quelle que fut sa longueur; et il a fait aussi, sur la résistance des tuyaux aux pressions intérieures, quelques expériences, mais dans des conditions qui les rendent peu concluantes.

Au commencement du siècle suivant, Parent fit sur la rupture de barreaux de bois de chêne et de sapin, tant soutenus qu'encastrés des deux côtés, diverses expériences qui lui servirent à dresser les premières tables destinées à la pratique (*). Musschenbroek, en 1729, en publia de plus précises et de bien plus variées ('),

(') PhHosophIcat Tncls and GolleciioDS, 4676 ei 4678.

(*) De U percuislon ou du choc des corps; dont U troisième édition est de 4 679 (aris en tèie de set œuvres complètes) ,- p. 4 .

0 Traité du mouvement des eaux, deuxième Discours,

(*) Actdémie des Sciences, 4707, el 4708, p. 546. Il paraît que de la Hire, Couplet, Pilot, ont fait aussi quelques expériences yers le même temps.

(>) Introductio ad cokarentiatn corporutn firmorum, faisant partie de 8C8 Dissertattonesphysica experimenUdis et geomelrica^ Lugduni Batàvorum (Lejde) 4789, in-4*. Il les a reproduites en partie, avec quelques autres, i son ouvrage Intro'^ duciioad phUosophittm naturalem, traduit en hollandais; puis du hollandais en français en 4739, sous le titre Essais de physique par Pierre Massueti traduction où ailes occupent le chap. XIX intitulé De la cohésion ou de Vadh^ence des corps. Elles occupent le chap. XXI de la traduction faite en 4769 par Sigaud de la Fond ious le titre Traité de physique. Les premières expérieoeei sur les plaques de verre sont an Compendium physiem experimentaliSf 476S cap. XVIH, $ 369.

HISTORIQUE. CClXliij

qui comprennent la rupture par extension, par flexion et par compression^ des bois d'un grand nombre d'essenœs, pris dans diverses parties des arbres ; du fer de diverses provenances^ de la fonte et de divers autres métaux, ainsi que de leurs alliages; et du ▼erre, même en plaques rondes et carrées. Il reconnut un fait slon nouveau^ à savoir que les pièces d'une certaine longueur, pressées debout ou longitudinaiement, offrent une résistance en raison inverse du carré de cette longueur, ce qu'expliquèrent et confirmèrent en 1747 les recherches théoriques d'Ëuler (n* XIII).

C'est aussi dans la première moitié du xviii* siècle que furent faiti^, avant d'entourer de cercles de fer. le dôme de Saint-Pierre de Rome, les expériences sur la résistance de ce métal à la traction , du marquis Poleni (plus connu comme hydraulicien célèbre) appelé vers 1742 pour donner son avis sur les crevasses qui s'étaient manifestées dans cet édifice et sur les moyens de prévenir la chute de sa coupole (').

Belidor publia vers le même temps ('), sur des barreaux de bois de 27 et de 54 millimètres d'écarrissage, sollicités transversalement, ses essais destinés à dresser des tables de résistance qui le satisfissent mieux que celles de Parent.

Mais bientôt furent faites par Buffon les premières expé-* riences en grand sur la rupture des bois par effort transversal (']. Il put observer plus complètement que Musschenbroek les différences de force résultant de l'âge des arbres, de la densité de leur bois, de leur croissance lente ou tardive, du choix des échantillons depuis le cœur jusqu'à l'aubier, depuis le tronc jusqu'à la cime. Et comme le degré de dessication lui parut avoir aussi une grande influence sur la résistance, et être du reste diflicile à constater, il se décida, pour rendre ses principales expériences comparables, à rie les exécuter que sur des arbres qu'on venait d'abattre et d'équarrir. 11 se contenta d'essayer des pièces simplement posées, en remarquant très-bien

(*) Hemorie iiloricb« délit graa eapola del (empio Valicioo.

(*) Seieoce des Ingéo leurs, 47S9, li?. IV. eh. III pour leibolf, el IV pour les Ter».

^) Publiées d'alK»rd aux volumes de 4740 el 4744 des Mémoires de l'Académie, poit iisèrées an i. vni de ses œarres, sons ce titre Partie txpérimeniale ; oniième Mémoire; Expérûneêt sur la forcé det bois.

flf^f!? RÉSISTAI^ Oi^ j^LIDES.

iWMPQ«^rJMi(M^i«ajrftt, il m fuil^ guère «tompter, duo» te» M*^ Umfiit^yfluc i-wgaieiMio& 4^ ^isûtauioe qu'ils ootiioQOiiAdaw 1«§ ^jtp^RP^ d^ M^piott^ ^ ^ Niwcfo6iit»r<^fc. Après gwaiv

ftf(> çofOfDp f^ pr^^4;€89eurs, qf»Mqim evpéiiemiis SOT d« 9ifH|49^ bpvMw^qui le cm^iinqowoet de Ji grand» frgmliiiM

4» tewfo^^f}|] peud^iOQ^gsa6^ qwmiïi^wiUiêaaml^mm

ipi'âp Mr^ d(9 A^ (Wi teu^ ^ relatif, il si» dé^î4^ è op^«r pur dis

pièpiss qMWAiabteff k (Cultes qii*QA «mploif i^m Ias ^mrtniar

ti^w^ ayant 4ss ^iJl^rrisssg^s dcpwi» O^^U siiF 0?,{{ juiqfi'à Q?,3» aw ^,»2| rt' des longueur» d^ »-,3Q ^ 9i"i0 (gn-il M« 4ins 1^ ca(cu1s, dimipuer 4'uo dpMzièfo^ piour «vpîjr leiir/)tfrMf fptiw les tf^tefwx où oa }^ pos^t). tf obseiry^f le prei]ni^, Mi Widm 4e tfepon, jooikis seuleflDefM w m^vm^i (^ les piè0^ î^dti^if Le résultat principal 4^ «es $i e^pi^enoei 0St la presque-proportionnalité des charges cie rupture immédiat» ( Voj/0^ R* i$i Pi-après, et g i de sa Uoie, p. 173) im^ torgeiii's, 9mi mr^ dw épaif$(ws et apx if^veraeii des longueivs, pu la pmqu^rcooatj^np» du nombre appelé fi (du § i% d^ la note du n* ii3» p. ^07) ; vnw, comme le remarque JiBv'm, eu aySM^ soin io\fb4m de ^ve» &wl formules dont ou tire ce nombre, le^ .Qqfg^im$ indiquées au n"" iSS pour pnepdre m çopsid^#r

tîQi) )|(glj)l48 propre de la pièce et rinclip^isap de ee9 extréputés, x)i^uU^ 4e $i9i fl^e 0pale, jt)ien qu'où S9(^ ^pi§ la iorimle 9> UMrt 4 fiiii ceMe forme que dans les lipoitos de la prQpoptipQr Qalité de^ eOm^ %m ei^ets produit* («),

^)f9m olMirv» a^ rac490Û««(n^pt |H!ogri^f, en <{uelquei v^i^, et quelquefois jusqu'à niptuEe* dêi flexions des pièo^

4^^ f<yteKam^ iohewées.

f^ àt m» quelqMes «périçuoes sur lei feri(')» et observ» m i^IBRP4 69iwdér«Ue> 4e 10 ou iS ii^ i, enta le tengoiié dM 91

(^) A lertit poiiible de tenir compte de eei ilémenti d*iiDe maniera plot approchée, an moyen dei f^mvl^ U), P. i^tf* ia S a ^f U WMS 4» a? <M, mn^i

atec mi = 4 , ou en rempU^pt |f lecoi^dp p«ir g^ =» P^ ? cQmn^ |i| j ^,

(I) OBiiTrot, t. VII, Jmêtêdueiim à fJUtlo^ df» iii<fi^«Mr, pwUe eipMmoataie, 4* Mémoire. Les rèinluti aoni rapportée an t. n deCanthey, p. 463.

HISTQIlIQUp, P^IWr

4^ fer et jcelle ^ bffucles de gfos ^cbgQtiJlQn^ pour mépoe s^r ]^r6pie de ;5ieptM^p*

Duhamel du Moi)ceau fît au^i, sur la ré$ist^ce tn^Q9V0iinip de? l)pi§ {*), diverse;? e^pérjppce^ où tn\ p^auri^ pour 1|| pr^^ fni^fe fpis )ii Qèche de fle^pp ay^flt la rupti^^^ 4e wslj^^ ^ pouvoir évaluer leur ^lastiçit^; et d'iEnit^ea par)[pî lei^iieUi^ W do^t i^parqper (') celles des tr^ts de jsci^ tpj||^syer$§|i^, ppj^tiqué; 4n jcOté dev^papt cgnci^ve, ef, qpi proj^y^i^, e» i|0 j}i|iÂT i)i|,ant pojfl^ li» résjM^nAe, qi|e Ijèg fîbre^ ppipprirpé^ $i^( pl|^^ nombreuses au moment de la rupture que les fibres ^fiaa^iW ( Ypirm^i »• XXIff, 15^ S *§ <}fi >a pote dp p- 4^, p. .39»).

Vipjren^ ensuivie trcris séries 4'e^périppç^ç d^ M^ Anjjiy, mr isp^cteur jgépjé^^ des pant3 et chaussées ('), ^p to flexions 4e trpjs pièjcpg de <^jlp§ sou^ di.ve^ç^§ i^aige^,

Ç'fi^t yfit^ ce p(i.êiiie (eipp^ qp'i^ rQcpa$ii9q 40s Aouf^ ékyés sur la suffisante solidité des piliers destiné^ ^ ^ojiteoir le d4me de l'église de S^ipie-lGrepeviève, furent entreprises psp /Situthey^ sin moyep dt'ope n^^cl^ipe j^ leviep, les ppeaû/^e^ expériep^ mv U fyfç^ (m^ le§ pierre pf^uvept sop^ni^ sans ftÉne éec»sri^' (0- SoulQpt, ^cbi^pte 4l$ cpt ^difipe^ ^p g|; 4p gfa«4,noiEn))i^ i!^^T très ep .c^pipiun .^yec Pepropef;, en ppéir^pt de p^éim Viwmr- PN^t 4e pi^^ (&pI)4nti))op§ paraUélîpipMeg. Mais» upe doMble et grave défectposi^ ^yapt é^ recpniMjfe daps la vmdvm k çbarp}^ ^plpyée, Popdelet (') fit icoArt^ttif» Wd «Mdiinc

(t) Kèoi^ire 4b Tic^Miie, pour i769 (ou «'Vli»)^ et, w#aii« : dMfiltn m ia Traité du tr^WDfirt ll« U copt^riaUon at de la force dea bois, 478d.

(*) Même Traité, livre V, p. 446.

(') Ifénolre «w: /iifférentei i|iiefliiOf s de la acioace daa «MitriiolioBi pobli* qnea et éôooomiqoes. Lyon, 4790, p. 55 et 66. H, AoJNpy a firit aoeri oiM eipérience tor me pièce i^ppiéa de pluiicurs partiel asa^jétiei entre ellef par des armatares en for»

(^) Pabliées en novembre 4774 dans le Journal 4o pbyafiiae de Pabbé Itoiler.

(*) Ar^ de bâ^, tofve I di» 1» 4F? Mi^oa» p. JiaS; reproduite à la p. 840 de la 6* édition.

Cesi en comparant le résultat d'une expérience sur la 'pierre des deus eolonnes jiff l'église da 7ou8sa|p^ d'éMers* ff m le poids des vo*lies ^uTeUes supportfi^t, fVe Rondelet a donné pour régie d^ fâir^ porter aux aouliens le dixièmt de la ebarge capfble do ls9 .écf|is9r P9iur mk"^ secijpn en les ré4uisaB4 en eubes 4e 5 oent^tref ^p cO|,é. Ce^ /^iSce bli:.di, flu» gpiarlmtil aulrefois vn fiénoréiites, n'est plus qu'dne ruine magnifique^ serrant de musée d'f^iiiBilds m |ri«iii «ir.

ÇClXXVJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

oà le levier était à couteaux et à appui mobile, et à l'aide de laquelle il écrasa un très -grand nombre d'échantillons de pierres ; en sorte qu*il donna, de leur résistance, des mesures qui sont encore adoptées, et dont plusieurs ne s'élevèrent qu'aux deux tiers ou à la moitié de celles que la première sorte de machine avait fournies à ses prédécesseurs (*).

Rondelet a fait d'autres expériences sur la résistance des mortiers et du plfttre ('), et aussi, sur la diminution notable de résistance qui lui parait résulter de la superposition de plusieurs cubes.

Depuis, on a eu sur les pierres et les briques une expérience de White (*), et un grand nombre de M. Georges Réunie (^). Hais M. Yicat pense que les résultats de ces dernières, comme ceux des expériences de Gauthey et de Soufflet, auraient besoin d'être réduites de plus d'un tiers à cause des dispositions de la machine employée (*).

M. Yicat lui-même en a fait un certain nombre, sur les mortiers d'abord ('), puis sur diverses pierres, celles-ci dans le but surtout de mieux déterminer qu'on n'avait fait, les lois de ce qu'il appelle leur force portante. Il a prouvé, en prévenant les p<Mrte-à-&ux ou l'inégale répartition des charges, au moyen de rondelles de carton interposées, que les échantillons les plus minces étaient ceux qui résistaient le mieux, etc., etc. (^).

D'autres expériences du même genre ont été faites dans ces

Oa a cosMiré qnekiaoi ironçoot de ses deui colomot, de 4 4 poace« (enviroa 0^,30) de dltnètre, retirés da milieu des décombres par M. Godard -Faultrier, conserfateur du musée d'Aogers.

Lee piliers de SaiDle-Geoerlére sont plus hardis. Ils supportent Jusqu'à uo huitième ou un neuvième.

(1) Boudelet, Mémoire historique sur le Panthéon français.

(•) Art de btUr, 1. 1, 4'* éait., p. 309, ou 6« édit., p. S4 8 i ns.

(^ Phlloeophleal Hagaiine, april 4S33.

(^) Pbllosophical Transactions, 4 84 S. Traduit et inséré la même année en septembre au Anualea de chimie et de physique.

(I) Mêmes Annales, t. UL, 48I8«

(f) Kecfaercbes eipérimenules aur le cbaui de construction, les bétons et les mortiers, 4 84 8. Et Résumé des connaissances posiiiTos sur \e9 mortiers, etc., 4898.

Ç) Bacberebes expérimentales sur les phénomènes qui précédent et accompalOMt la raptore d'nne certaine daste de solides (Annales des l^nu et Cbansiéei,483S»rieaMitre).

H I S'rORlQ0£ . cclxxvij

derniers temps en Angleterre; elles sont disséminées dans divers recueils.

Pour terminer ici ce que nous avons à dire sur les charges que les pierres sont capables de porter, nous citerons les expériences récentes, très- variées et très-bien ^faites, de M. Pingénieur en chef Paul Michelot. Leur but et la haute utilité des recherches statistiques dont elles font partie, ont été caractérisés en 1855 dans un lumineux rapport de M. Belgrand ('); et un premier résumé de plus de trois mille expériences syr les pierres de taille non-seulement du bassin dit de Paris^ mais de toutes les carrières dont les produits sont employés aux constructions dans cette capitale» a été récemment publié (*). La machine^ exécutée sur les dessins de M. Michelot, se compose principalement d'un grand levier gradué à couteaux, à une extrémité duquel on suspend un poids plus petit que celui que l'échantillon pourra supporter, et Téciiisement est déterminé par un second poids soutenu par un plateau mobile à roulettes, qu'on éloigne graduellement du point d'appui. Toutes les précautions sont prises pour éviter les porte-à-faux et pour obtenir des résultats justes et comparables. Ces expériences se continuent de manière à pouvoir résoudre plusieurs des questions soulevées par Rondelet^ sur Tinfluence de la hauteur, de la superposition de plusieurs assises, etc.

D'autres expériences de Rondelet (même ouvrage)^ de Réunie (mémoire cité), de Reynolds ('),. de MM. Minard e^De^ sonnes (*) antérieures à i833, ont été faites sur l'écrasement de petits cubes de bois, de fer, de fonte et d'autres métaux. On a eu aussi, sur la résistance de pièces de bois, de fer et de fonte d'une certaine longueur à la rupture par compression ou plutôt par la flexion que détermine un effort longitudinal, les expériences de MM. Aubry (ouvrage cité)^ Girard (faites au Havre avec une machine que Lamblardie avait destinée à cet usage) ('),

(t) Aoailea dei pools el ehausséef, 4S66, 2* lemetlre, p. 4S9.

{>) Idem, 4S63, l« lemeitre, p. 485.

(*) Tredgold. A praciieal Eisay on tho Strength of eut Iroo, p. 438.

f) Éditioo do 4833 dot Leçons do Havlor.

(^ Traité do la rèsiBlanee dos solides, p. 438 ei Tables.

CCliifiij RÉSISTANCE DES SOUDES.

LàttiaUdA (6HéS à Pbdea^cM de Petabli^idëtt dëi èiritfeé; du pontd'Iéna) ('], Rondelet (Art de bâtir), Reynolds (']. Celles de Gii'âfd suriotH sont noiflb^etisèâ ; tnais il est ditflrïle d'en tirer fltlcdfié tkf^ë ittè, cAt on n'a pas assez dé délails sul^ les condltioifft AatiÈ lèsqtièUes elles oUt été éitéciitées pour savoir si là fë^ltâiltë des ëfrcMs èxëf'cés «dx èltfêmités pdssali ail niilieu m toèâ bvt plus bû ihoïhs fi^èâ des bords, et ki teé bàséâ ftaient, ou Hàh^ aisset bien posées et appliquée^ pàixi! {{dé léiir M&iëttè m Pèfiït ffuâ encâ^i^nlént, drctitsfàncé^ qUÎ ont M les résultats une infiuebeë feonsidëf dble. Âusâi, des expéHèilcëi pltiâ récèhtes^ dont ndhÈ parlei'ons, pardteSênt dëttHr tëtn^cét Èiec àviiAA^é lès eipérièntlès anciëtidéè sdi^ H ëodlt)i''e^dfi teil^tudiiiàle dès (tièce^ dé bdis et de fëi^.

Oh k aussi uiië èxpétieilce dé Gbytôii de Sltirvëâti ktit fâ té- IJàéite tf uii fil de fef de (f ,0025 de dîatfiètre (»).

0H/ë^^ ëxpéHénbë^ fdtent faites ëtisSi à là fid du Slëëlë tfë»iiîêr et dû commelidenietit dé celui-ci stir \i rësistàhce 8 lit riip- Um pdlt exiéMi&n des f^iei^^ë^, dé là briqdè, db |)]fttrë, dë^ fntirtici%, du bdië é( du fer, ^àr ftobdelet ({^^772), Vtéat [')-, d'àiiires m là flëiidii^ que nbiis ëitérOiis plus IdiU (">).

Olf dttit àtisSi & M. Pictet, de Gehèvè^ t>^ysi^leU tf4s-côtinu, (|tieltiuè^ ei|)ërieticès sur l'àlltib^enlëfit deé Uar^eS dé fef* dans les limites de sa proportidtitialitg âtii cbà^gë^ ({ûi lé ptbdtrtôèntn.

iÛh m lirëmlë^ës expéf iéh^s st(^ là flexiôh, dlH^éëS ddiis Uri ès^ifit fëëlleilieDt scietitifl^tie et dé riiafiière à pouvoir en déiëfirtinël* les 16i^, stot celles ^di ont été fdltes sUr les bdis dans l'île de Cbrcyté en I8ll pdr M. Charles Dùplii, ft la sdltë d'ùde fdlssion ëdnidie ingénieur de U mûtmë frabtiaisë C); et, pour

(1) Gautber,^ Uli, p. 48.

(*) îfeiUM on îhe Power oikiciilneê, hj Jodn Èàiiks keodâll, 4 $03, p. fo.

(>) Mémoire la les 29 mai ei 49 Juin 4 809, aux llém. de riosUiuu

(^) Recberchei lur les chaux, etc, 4848, ou Résumé dei connaissaocei, elc. 48S8.

(6) Young lui-mdme en a faii quelques-unes sur le cuivre jaune afin de déterminer son module d'éïaslicilé. (Nalural Phiiôsopby» roi. H, p. 86.)

(<) Bibliolhéque universelle de Genéye, U I, p. 474 i SOO.

(f) Expériences sur la flexibililé^ la force et l'élasticilé des bois, faites dans l'arsenal de la marine à Gorcyre en 4814. Premier mémoire, présenté le 4 S avril 4843. (Journal de Tècole Polytechnique, Hh),

ÉiaMftiQtrÊ: ctHilx

ttê AM| i^ GaMfld m 1818 psf Ui Doléfltt {*)f MMM ingéiiteM' dltfgé %ii #8» â« Tétridé éii t)r(i}et d'ftif {foui §tf kl Bdf-L

«fiil0f^0É il «eut dil pertft d'Aasiéf )Hz éê Pmftêi mk de ife» Mfé el Mtfi^oêé^ 4f bttll bârréft M â€r d^Udtlbii!!: ' Siiis#mpl«iDi6rMétoOfa«,MjDa(>itiêt|K)4ëqt('l^ ft deM dhîèMèà dé fhiUlniètrë ptë$ lëè kfifiimiàiioÛÉ Éatté^ Mtèi (kè dèche» de cOtifbdf e pt'lseé par dei {AëtieÉ UdUMAUd^s 8M8 dè^ «bftpgès tiroissanteâ flgi&âftrït àti nlUiën> tl 1«9 « Ihititée^ pro|fortîdnnelleâ aux charges tant qu'elles sont l^'ètées dans ûtaMnèB linlftés. Il a trouvé que la même ebai'ge tépdftiè fat^ ftdt ptméte ifldjennëtnéàt une flèehe des 2/3 =s 0^66 éutlroti de ee (|ii'ellë produirait étaQt ooncentrée au tidlieti, té qui se lÂpproèhe suflBsamment du rapport théorique S/8 = 0^895 ('}; que^ jpotir fflêuieâ largeur el longueur, leé flèchéA éttfieiit en HdsM interne des eObeé des épaisseurs, et (|ue^ pmt thèmes dimensions transversales, elles étaient comme les cubëft des longueurs^ ou plutôt des portées ou des distanees des appuis. Toutes ie9 conclusions de la théorie de la flexion sont dono eoâ» firmées, pour les bois, par ces expériences de M. Dopin, qui a vénbé aussi les fondements de cette tbéorie en constatant que la ^ace devenant concave s'accourcissait autant quela^ace devenant convexe s'allongeait; que les libres qu'il appelle invariables restaient au milieu de l'épdisseur dans ses expériences sur de petites âexions éloignées de celle de ru()ture, en6n que tes secfions transversales des pièces fléchies circulairement restaieitl ndrinates aux faces et aux fibres. U. tiupin remarq&e auisi (jue [es coiiésions n'ont âiicuhe relation nécessaire avee lesélasticitérf,

Duieafa teumit à la flexion, sous diverses charges, clés pièces

m m^^*^ «»A «^ ^> »^«« « ^»** A^ «V^lA^^ ' ■»« V* •>«

(i) RMlwMieft Uiè0rii|uèii et «p6rineBUl«i rar to réiltUMS éû tté f0r|è^ ptê»feaitef an Conseil général des ponts et obtussées en 4 84 â^ et imprimées en 4830| lî-iT

A i; Ux(0 i ^mixinUi ritâs U^n mai H ttècidi^OS def Jtf tl ri tJhef I. 4lr ftfMrjé'ifltrH ëlpèriéaeeii Urtee put ior èlr 4f43, l Toiflurt SI fo tSfH^ 1 Dunkerque. Les résultats , dont il ne rapporte pas le deuil » conflrmenl eem 2é 4^44, et joonent même 4il/30, bien plus rapproché du rapport théo-

CClXIX BÊSISTAMCfi DES SOLIDES.

droites à section soit rectangulaire, soit circulaire^ encastrées à un bout et sollicitées transversalement au bout opposé ; d^aatres, qui étaient posées sur deux appuis et chaînées soit au milieu soit uniformément sur toute la longueur, soit encastrées aux deux bouts, ou bien à un bout et appuyées à l'autre, enfin chargées debout ou parallèlement à leur longueur, avec extré-* mités tantôt libres, tantôt encastrées ou astreintes à rester dans leur direction primitive ; puis des cylindres creux, des tuyaux carrés ou ronds, puis une pièce composée de deux autres séparées et rendues solidaires, et une pièce cintrée en arc invariablement retenu aux extrémités. Il mesura, aussi, comparativement, les flexions d'une pièce carrée posée successivement à plat et sur une arête, et, aussi, celles d'une pièce ayant une section en forme de triangle équilatéral, en tournant successivement en haut la base et le sommet de ce triangle. Il soumit ensuite à la torsion diverses barres rondes, carrées et rectan* gulaires.

Il reconnaît avoir été aidé des conseils de M. Bernard, {llus ancien que lui d'un ou deux ans, et alors ingénieur à Bordeaux.

Duleau résume ses résultats en vingt-cinq lois. Les neuf premières sont relatives à la flexion' de pièces pleines, et la 17* à la flexion d'un tuyau sous un effort transversal : elles sont exactement'en rapport avec ce qu'indique la théorie. Les lois 40* à iS* sont relatives aux pièces sollicitées debout, dont les longueurs ont excédé presque constamment cent fois l'épaisseur ou le plus petit côté de la base; elles montrent que la charge qui détermine la flexion est bien, conformément à la formule d'Ëuler (n* XIII), modifiée par Lagrange (n^ XIV) quand la flexion a lieu avec une ou deux inflexions, proportionnelle au. moment d'inertie de la base et à l'inverse du carré des longueurs, mais qu*elle est moyennement plus forte d'un septième ou d'un huitième que ce qu'on aurait en substituant, dans cette formule, le coeflScient d^élasticité déterminé par les expériences de flexion des mêmes pièces par un effort transversal ; ce que Duleau attribue à un frottement considérable de son appareil, car il manquait de ressources pour en faire construire de hiieux constitués. La pièce cintrée et la pièce en deux parties sépa-

HISTORIQUE. CCIXXXJ

rées (lois 16^ et 18 à 21) ont donné aussi des flexions qu^il serait facile de faire rentrer dans la théorie. Enfin la torsion comparative des pierres rondes^ carrées et rectangulaires (lois 22 à 25) ont donné des résultats qui ont étonné Navier (comme nous avons dit n"* XXXYI^ p. clxxxj)^ mais qui rentrent, avec toute l'approximation désirable, dans les formules que nous avons données depuis lui pour ce genre de déformation des prismes ayant des sections de diverses formes (*).

On voit que Duleau s'est proposé surtout de déterminer les lois de l'élasticité, et n'a poussé jusqu'à rupture ou forte flexion que les pièces debout, ce qui était la chose importante pour le genre de construction auquel ses fers étaient destinés.

Vers le même temps furent faites au Greusot, par M. Ramus, quelques expériences destinées à comparer entre elles diverses espèces de fonte (*). Elles avaient été précédées de quelques autres faites en petit à Saint-Gervais en Dauphiné (*).

Des expériences remarquables de traction ou d'extension furent faites peu de temps après (1815) à Yerbery, par M. Minard, depuis inspecteur général des ponts et chaussées, et par M. Desormes, connu comme physicien et manufacturier distingué (*). Les unes eurent pour objet la cohésion longitudinale ou transversale du chêne et du tremble, les autres l'allongement progressif, sous des charges croissantes, d'un barreau de chêne, qui est revenu à sa longueur primitive tant que cet allongement n'a pas dépassé une proportion de 1/629; d'autres, enfin, en grand nombre, sur la rupture par extension de barres et de fils de fer ou de cuivre, de diverses qualités et contexturés, et sur rallongement progressif d'autres barres sous des charges qu'on augmentait. Cet allongement, passé une certaine charge^ et surtout lorsqu'on approche de celle qui produit la rupture.

(^) Mémoire sur la torsion des prismes. Savaiili étrangers, t. XIV, art. 78.

{*) Publiées aaz Aonalei de chimie, t. VII, loui le Dom de Gazeran (alors directeur de l'UBine du Creusot). Oo peut Toir aussi Sidérotechnie d'Uassenflratz, 1. 1, p. 47.

(') Rapportées dans les Recherches sur V Artillerie de Tessier de Norbeck.

(^] Elles ont été communiquées i Kavier et insérées par extrait i Tédltion 4833 de ses Leçons, D'autres, encore inédites, feront insérées i une autre partie de oeile*ei.

tielliiij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

dévient relatHrefméM foft cMâidéirablé, cofrinië tel t)i-o)ife!it sussi d'tftttres expérience^ que nous dHéfoils plti^ loîà. l)es hUttdÈ d6 tOMe tatëni égdeinent rompue^ pB^ ë^niioU.

MA\È la piibticâtion, en i8i7^ dé l^oiitragè de M. te ptofèsr- Sètif Peler Bârlow, intitulé î ^^5ai ««r FélasttcUè et là fbfcé dèi bàiéy fondé Éur lès expériences etécutéëè à VAcadéfnië Hytde miliiairè âVed éë^ pièces prises d^n§ l'arsetàl inaritline dé IV&dlwich (^), fit connaître ùii grand nombre d'autres expérRnees non-seulement sur les bois^ mais encore Sur les métatrx.

Celles qui sont particulières à Tauteut* furent ehtfëprisiès mxt Fintitation du colonel Mudge, sous-gouverneur de cette Académie^ destinée stirtotit k Finstruetioti des officiers de Pàrtill.érie 6t du gétiie de l'Angleterre.

Barlôw en fait connaître diverses autres i d'abord d'Emël'smi sur la résistance de diverses espèces dé bois à là rupture par traction, et qui paraîtraient avoir été faites 11 if a enviroil tin mèGie(*)'; puis celles du docteur Robison ('); puis celles qui Venaient d'être exécutées à l'arsenal de marine de Deptfotd^ prèfc Londres^ par lé colonel Beaufoy C"), et qtii donnent une suite de mesures exactes des flèches de courbure prises sous diverse^ charges par des pièces de chêne et de pin^ de 5 cefatiiAètres d'équarrissagé environ; puis Celles de MMx Peake et'BâraUler shr des pièces encastrées à un bodt et sollicitées transvei^dement à l'autre, et sous l'encastrement desquelles ils avaient filé un corps saillant semi-cylindrique pOùr éviter t'attâration que le bord tranchant Inférieur de l'enclave fait subir Mux pièces ; puis èelles de M. Benjamin Gouch, itiaHre de tnftift dans Farsenal de Plymouth, sttr des pièces auséii encastrée^ itmtAt à une extrémttéj tantôt aux deux^ nyant des Sections m forooe de triangle et dé trapèze^ qu'il ployait, comme Duleaui eU touN nant en haut tantôt la grande base, tantôt lé sommet ou la petite base, et, aussi, sur de longues perches rondes de sapin, d'iné-

(>) Jn Eêsay on the Slrefigih of Timberj etc., LondoD, 4817. p) ÈmersoD*8 Mechanics. (Nous D'avons pii nous [)focuref cet oûvrirge.; ^ âes articles on( ét£ Réunis après sa mori ioui ie titré A System o/ mécka" nicat Pkitosophy, ^

(*) Publiées vers 4846 dans les JnnaU of Philosophy du D' ThomsÔD, vol. IX.

HlSTOftlQtÈ. CctxXXtIj

^àle gi^ôàsëuf ou èb itittdë de tronc ûe cbtie, sdtliâtées au bout le |>lu$ iniiiœ.

Celles de U. BàrloV lui-même ont eu d'abord ^ùr bbjet li cohésion, ôii le poidà ca{)àblè de l*ompr6, pàf trûcifbA iaùtôt ^Zr rallèle, tantôt perpendiculaire aux fibl*es naiùi'elles du boid^ deâ biocs longs de 30 ceD(ifiièl(i*ès dont le tniliéu, suf i à 5 centimèires de longueur, éUtJi réduit, âtir le tour, k un diamètre dé È tbîllimëti^és ehViroh. Ensuite il rbmplt par flexion des barreaux dé is fnillimëtres d'équàrrissage^ eti notant leâ flëcliesy tantôt seulement à l'inâiailt qliî précède la rupture^ tantôt graduellement S mesure qu'on leâ cliargëait dé poids croissante, t'iiiâ il éniàillà deâ pièces, comme autrefois tfubamel, dand le l)ilt dé déterminer^ à l'instant de la rùptU^e^ la j)osition dé Vaxe neutre (qu'il trouva en gétiéral placé aux 5/S de Tépaiâséurj; puis il encastra èks barres & nh seul bout sous dibèrséè incltriaisohSy etc.

tllé âeS observations des flèches de courbure, il déduisit (comme ritfléaa ètcoiiitileM.Dupin) (|u'elleâ suivaient indubitableineht la raison inverse des cubes des épaisseiirs, et lion celle deâ carrés cOmiiië l'aVsiit dit Girard (n^ Vltl), dont lès ei^reurs et lès cofatradictions^ tion afièrOdës par Patiteùr du Rapport ap|)r6batif de son ouvrage, furent en gùailde partie Toccasion dés expériences du savant professeur de WoolwJch, que l^bstitut a Inâèrit depuis àu iiOhibre dé ses èOrrèstiiondants. On liii doit d^àutres séries d'ëxt)ériences sur le poiiit où les iléxlons commencéiit à deveflir |)ermanentes, et le mesuragè, après là rùptiii'è, des partiel de la section où les fibres se sont séparées. D'aùtreâ expériences soilt relatives ëùx bois tendus [berii timbe*J, c^e^t^à-diré courtéà par une itiachine (*), ou bien ployés apr^ ùù sciage longitudinal éùivi de l'introduction de clefs, et^ aussî^ à des pièces juxtaposées^ fortement unies par des cordes.

Deux autres sont intitulées on the Momentum^ c'est-à-dire sur la force vive ou le choc que des fils déjà tendus peuvent

(1) De M. Hoskey, décrite su U XXXH des Transactions de la, Société iés àrîs, et doni l'emploi 6lait précédé d'une iinmérsioo «lé plusieurs heures dans l'eau boailUnle, que Itarlow reconnaît ne point (ilminuer la Tôfce des bois.

CClXXXlV BÊSISTANCE DES SOLIDES.

supporter sans se rompre. Elles ont été faites sur un long til de fer tendu horizontalement, au milieu duquel était attachée une corde verticale de â*,20% portant un poids. En élevant ce poids et en le laissant retomber, tantôt il n'endommageait pas le fil de fer, tantôt il le rompait (^).

Dans un appendice, M. Barlow rapporte les expériences de Telforty de Banks (*) et de Sickingen sur la ténacité du fil de fer et sur la résistance des barres de fonte à la rupture par flexion.

Dans la 3* édition de son ouvrage, publiée en 1837 sous le titre Traité de la force des boiSy du fer coulé et autres matières, etc (*)y il ajoute des expériences de M. Hodgkinson dont nous parlerons tout à Theure^ celles qui ont été faites à l'arsenal de Woolwich par ordre de l'amirauté, sur le cuivre, par M. Kingston avec une machine à levier construite par M. Bramahy et, aussi, par le capitaine Brown, le célèbre inventeur des câbles en chaînes de fer pour la marine, et le premier constructeur de ponts suspendus en Angleterre ; enfin des expériences faites par lui-même en 1805 sur l'allongement progressif et la flexion graduelle des barres de fer forgé et les limites de leur élasticité si l'on entend par là leur faculté de retour à la longueur ou à la forme primitive; mais les conclusions qu'il en ' tire quant à la position de Taxe neutre à l'instant qu'il caractérise par Elasticity injuried ou destroyed n'ont rien d'assuré.

Cette nouvelle édition se termine par la relation de plusieurs séries d'expériences sur la flexion de rails de diverses formes, tant au repos que sous l'action d'une charge roulante.

Une partie de ces expériences se trouve citée également aux Principes de charpente publiés vers 1817 par M. Tredgold (*), qui contiennent aussi celles de Fincham C^) pour la résistance des bois à la rupture par traction et par fleidon, de Rumford

(*) celte expérieoce, comne platieun sutret, est eilée à l'ouTrage de Nafier sur les poDts sutpcDdus.

(*) John BaDki Keodall. Treaiise on the Power of Machines^ 4803.

(*) TreatÎMe on ihe Strength, eie., by Peler Barlow» menber or InsUUite of Fraooe, etc. (Makogani Hispaniola doU dire Iraduil par Ac«0ou do SaûU" Domingtie] .

(^) SUmêutary Prineiplet of Citrpentry,

(*) Paper» on naval JrchUecture, publithed by UnrgaD aod CreuM, vol. I.

HISTORIQUE. CCIXXXV

pour li^ traction du fer.* Une seconde édition^ de 18^8, en contient d'autres^ de M. Bevan (^), sur- la rupture des bois par traction et par flexion, et aussi par detrmion ou glissement des partie»^ genre de rupture qui s'opère^ par exemple, lors de l'arrachage des vis à bois.

Mais un grand nombre d^autres expériences furent bientôt entreprises sur les métaux, à l'occasion de rétablissement des ponts suspendus^ ou de la substitution des chaînes de fer au chanvre dans le gréement des navires, ou à la suite de Télan que la paix de 1814 imprima à la métallurgie et aux constructions. L'usage de la fonte {cast iron, fer coulé] attira surtout l'attention. Employée depuis longtemps pour divers ustensiles^ et aussi pour l'artillerie^ eUe paraît avoir été introduite dans les bâtiments seulement en i755 par Smeaton, dont la hardiesse h cet égard fut Tobjet d'un étonnemçnt général (*). M. Tredgold^ par son traité spécial sur la force de cette matière {*), et M. Duveme par la traduction française qu il en fit en 1826 sur la 2* édition^ contribuèrent beaucoup à en étendre l'usage. Après avoir rapporté les expériences de Banks (% d'Ebbels^ etc.^ il donne les siennes^ faites sur des solives ayant une forme longitudinale parabolique comme celles d'égale résistance^ et une section transversale en double T ; puis sur des barreaux de fonte de diverses provenances^ de 25 millimètres d'écarrissage. Il remarqua que malgré la dureté et Taigreur qu'on attribue à la fonte elle prend comme le fer^ passé certaines charges, des flexions permanentes. Il fit aussi quelques expériences d'extension et de compression sans rupture. Il cite aussi celles de résilience de M. Bevan^ de pénétration du bois debout dans le bois à plat, et celles de l'auteur de l'article Bridge du Supplément à V Encyclopédie britannique de Napier^ qui a observé la compression d'un prisme rectangle suivant une de ses diagonales^ etc.

(*) Thé pkQotephical Magazine, october 4837^ toK I. (^ Smtalomt ReporU, vol. I, p. 41 0-44 4 .

0 Praciical Bttay upon Slrengih of cast Iron and otiùri Metals, Cet efioi iTiitèlé précédé d'an mémoire inséré aux PhilosopMcal Transactions^ 4824, i. II. (*) Ouvnfe eiié. Cee expérience! ont été faites dans une fonderie de Wakefleld.

CClXXXyj .RÉSISTANCE DES SOUDES.

Des exp|ifi^aces oop moins intéressanties étaiept faites en France..

M. Seguipy qui y construisit^ en 1824, le premier pont S|]spenclU| sur ^e Rhône eiitre Tain et T^urnon^ après avoir établi avec une étonnante économie une passerelle devant ^n établissement d'^nnonay^ en fit un p^nd nombre sur r^lQngefîfiei^t et la ténacité du fil de fer (*)^ et (}uel<}ues- ^pe$ aussi s^r f}es t)arjreç de fonte (*]. L'allongement^ d'abord pirc^ortionne^ ^ la charge, augmente en^uitç d^^ i|n bijep plus ^and rapport^ et devient en partie pisrsjstant ('). Le reppit dji ^1 diçîiwue ))/5fiucQjjp l^ Jéoaçilé en ajjgijjeï^t^pt la 4uctilitér

D'a^Ures ejtpériences gur Je fil 4.e f/er f^r^pt fajlpç k pQpèye par M. Diifour, cplonel ,di| génie (^}, I) rjaqopnut eif éprpuv^ijti comme ¥M. l^in^d et Peçoripe^, .<iBs 6\^ d^ cpivr/^ et .415 \^i{f)jï (dopt il ^vait été qm^stiop 4,6 faipe le pont de Qf^i^Fe)^ (jpie le recuit diminuait aussi beaucoup leiir téoapité^

Oq dpit h M. Lamé^ ^Ipfs ingéniei^f' at| §eryipe 4^ U Bu^» qiîfî}qu,e§ /expépieupes s^v la force dij fij 4ie fer 4^ ppjte conîriée ; j^}j3 paraît consiciér^bleC^). I) en fit aiossi sur (}ps barrpç (^)f

M; Lagerhjelm, ingénipjjr des inin.es ,de S.uède, youl^^t rér jduir^ à sa just$ yaleur l'opii^ion qui fait pré^per, à^f^ pju^ieurç PWf Jfi^ fep^ Jaminés apgiais aux fe^^ forgés çwéffpiç, ^l»tr.çp4!t ^ StocKholfn en J836 u» très-graijd noïï^\}ip^ d'jçxpép^pçes avep up» a>(ïpbin/e d^ l'invention d^ M, pammiïrpc>ii,œ|4, 9P popippr ;^ant d'i^ne pi^ssi^ bydray}iicpie qui tirait, par up ))jDu{;^|[|p3 lucres horizontales, dp^t J'aytr^ bout était Mt^ché pi pgtit jip)^ 4'pp

P) pes poDU en f^\ de fer, fÇâ^, ^>8«. El dçi^jèjs^e é4iUon in-V» 4.810-

(*) M. Seguin rapporte aussi un fail obser?é par If. de MontgolQier fils; c'^t 4e peu de durée du fer exposé, dana une presse à papier, à un effort de tràoUoa modéré, mais iniermiUent. Les pièces sont hors de senrijs ^^t^ ffiHDV 99 ^^ mille de ces alternatiTes.

JL^ C§t f)]lpn£ement persUtant, nommé Set par les Anglais, était signalé dès 4845 â l'article Strengîh of Materials de rEncyciopédïe briunniqae.

(*) Description d'un pont suspendu construit à Genève en 482f. Oç 4nn(iUs des Ponts et Chaussées, 4833, pour une yn^iyse de cet ouvrage et de celui q%e le môme officier a publjé en 4 834 sur les ponts siuspç^djiB (çn gé^ép^.

(») journal d^y voiçs et comgiunicaiions, 4828.

(«) fL^tre i M. Baillât, Anpales des ^inei, t. ^, p. 339.

to€i hmr coudé que l'on chargent de poi^f» As minière h maloMoir 30P grand bra» bor^ontal, et qui «cciisaît ainri le* ti^Aj^iops^ lues résultats ont' été consignés en i827 aux 4wn(ile$ du bfirefff* des min$$ de fer (Je Suède {Jev^-KontoreU Awaler) e| pi|))4é$ ^ part (*). Il a remarqué, cofpme 4*aptrief .ei^i? n^ptaieurs, que la çfection «e rétrécit consMér^blenoent à 1'^.* droit de la rupture. L'ouvrage a été traduit^ ^{einand ^ ijl^30 par )p D' Pf^ff j(*) ; il e$t regrettable qu'op ne Je connaisse en pjqinç^ qpe p^r we courte aualyse ('), indiquât les prppp^t^ général^e^ con^tatés^^ sans donner a^cun chiffr^

Nf«|er 4t aussi, spr la traction de I9 tdle^ du cuivre rouge et do ploipb I^wini^f quelques expérjiepces ^i 00 trouye tes ^msA^ an¥ n" 59, 70, 7S de Véditiop iS33 de sa» Leçim, m il g TffggpiF^ eussi le résultat inoye^ de répreuve des barres de»tinéçy» m pont des Invalides^ ^ dont on trouve la détail k h t édition de $on ouvrage si^r I^ ponts suspendu^^ avee diverâ^^ expéri^npe$ qiui lui ont été ponwuniqi^ées pj^r le capitaine 3roivn j^ par M. Prunel.

il. Vipat» 4près avoir f(^it vers i897 quelques expériences d'tJlongegient des fil$ de fe^? de 3 3/3 ji 3 miHimètres employés au p^ suspendu d'Argentat (% donna en 4831, à la suite du coffipte rendu d'un ^xainen de c^iix du Rfaôiie \f)y d'autiies expériencen où il ooxnpstra les allongements permanents des fiU non necjujts et recuits ('). Depuis, l'illustre ingénieur a fait plu • sieim eipépenoes remarquables, où quatre brins de Qi de fer ont snpiiprté des poidbi pendwt plusieurs années, et où il a noté reccngi^seiRent que le temp$ apporte à l'alloBgement passé le 1/4

(1) fçTiôk (U beêianmq, etc. Essai pour détenniDer If i^e^si^é» |t 4ffc^Ul^| If BillèâbÙité, l'élasticité du fer en barre passé au cylindre et forgé, 2 toI. iii-8» e( allêi.

(*) Soos le Utre Peter Lagerhjelm verntch zut BeeUmmmg der DkMkeit^ GÙkkartigkeit, eie.

(*) Bolletia technologique (Férassac), 4839, t. XI, n<> 46^ p. 44. Voirausii

t. «u, ri^, »<. 9on

(*) DetcripUon du p<mt syyawrfti conêtniU mr <« JDord9fue à Jf$tmUi, ISSê. . (') #W*l^<f ^' MV AbimUm 4#s p9fit8 et fihaussèes^ 4S34, 4v seiaestre^ p. «44,

(•) V . vicat a proposé de préférer lo U 4» f er tu liarrei à 4a anUt «wlna rcmarquei.

cclxxiyiij résistance des solides.

ou le 1/3 de la charge capable de rompre (^) ; effet qu'il compare à celui qu'offrent certaines matières bitumineuses qui se brisent en éclats lorsqu'on les frappe^ mais qui^ abandonnées à leur propre poids, s'affaissent peu à peu sur elles-mêmes ; et d'où il conclut que pour employer des matériaux quelconques avec sécurité il conviendrait de les soumettre à des épreuves de plusieurs mois au moins.

C'est une des conclusions que le même H. Yicat avait tirées, en 1833; d'expériences relatives à de tout autres matériaux (les pierres, les briques, le plâtre, le mortieiO dans un mémoire célèbre (*] dont nous avons déjà plusieurs fois parlé (n'' XViU, et note du 152, S ^ ^^ ^^) ^^ ^ù il fyit une distinction des forces tirante, portante ou transverse instantanées et des mêmes forces permanentes. Nous avons dit (V. ci-après, p. ^173) que la manière dont il mesure la force iransverse ou la résistance au glissement ou dsaillement, était propre à la faire évaluer beaucoup trop haut, et qu'il valait mieux, pour comparer cette force à la force tirante, s'en rapporter à des expériences récentes (§ 9 de la note du n» 152, p. 203; Voir aussi p. ccxcviij). Dans ce mémoire il se trouve, du reste, bien des choses précieuses à enregistrer^ entre autres ce qu'il dit sur les encastrements parfaits et imparfaits (ci-après notes des n**' 152^ 15^1, 156) etc.^ etc. Mais le but en étant surtout polémique, il convient d'étudier comme réponse le Rapport de MM. de Prony et Girard {*), qui suffit, même après la réplique de M. Vicat^ pour venger la théorie de ses attaques, portant d'ailleurs sur d'autres points que ceux où elle pose des affirmations, puisqu'elle ne prétend pas que ses formules s'appliquent jusqu'à l'instant où il y a rupture*

Pour en revenir aux fers, l'augmentation de leur allongement, dans une plus forte proportion. que la charge par unité de section passé une certaine tension, fut encore plus mise en lumière

(*) Note nar Tallongement progressif du fil de fer soumis à diverses ieiuions. Annales des ponts el cbaossëes, 4834, l** semestre, p. 40. •

(*) Mectierches expérimentales sur les phénomènes phytiqnet qui précédait etaccompagnent la rupture ou l'affaissement d'une ceruine classe de solides. Ann« dei ponts et chaussées, 4833, 2* semestre.

[*) Annales dat ponta et chaussées, 4834, 4*' semestre, p. 393.

mSTQBIQUE. . cclxxxix

par des-expëriences de H. Bornet faites à la presse hydraulique aux folies de la marine à Guérigny (Nièvre) (^). La ligne dont les abscisses sont les forces et dont les ordonnées sont les allon* gements, après être restée droite jusqu'à une certaine charge, se relève tout d'un coup avec rapidité, surtout pour les fers doux et ductiles; mais, alors, les allongements sont pour la plus grande partie persistants.

Do reste^ en retranchant la partie persistante, on trouve que les parties ilastiques ou qui disparaissent quand on soustrait les charges^ restent assez sensiblement proportionnelles à celles-ci, rapportées à l'unité superficielle de la section en ayant égard au besoin à la petite diminution progressive qu'éprouve celle-ci, ou que le coefficient é^ élasticité reste à peu près conttant.

Cest ce qu'on appelle la loi de M. de Gerstner (*), déduite par ce ctièbre ingénieur allemand d'expériences sur des fils de fer très-fins. Elle a été remarquée aussi par le physicien Leslie (') sur des barres. Mais on pourrait l'appeler aussi la loi de Coulomb, car le physicien français a remarqué, dans ses expériences sur la torsion des fils de métal et la flexion des lames [voir d-après), le même fait^ qui prouve que l'élasticité reste enr tiire dans le nouvel état que déterminent les torsions, extensions ou flexions permanentes. ( Voir S 8 de la Note du n« SI, p.».)

Cette loi, au reste, n'est qu'approchée, et ne s'observe pas d'une manière tout à fait exacte, comme on voit par les expériences sur le fer recuit ou non recuit, et l'acier, faites par M. Ardant; et il y a, à cet égards des effets un peu diflérents selon qu'on laisse ou non le filen repos un certain temps sous sa dernière charge, car il en résulte un écrouissage (voir p. 4 et p. 22)

(I) Dm fer damé Uê jNmte nupêndÊU^ par M. Emile Martio, br. io 4*, 808 ; ou ABDitot dof poaU et cbaïuièeSy 4834, S* lemeetre, p. 457.

(>) Mammêl de Méetmiqiie, t. I, p. 980. Oa Mémoire (ailemaDd) wir la forcé de» matériaux^ par M. Adaoi Barg, 4838. Oa Extrait da Jmtnèa. de rintUiut prfflidbii'giie de rietme, t. XIX. — Oa uvnre auni un cerUln nombre d'expértoMas de VSùb Gentatr au Jwmikê der Phyeik tmd Chemie von Poggendorff, 4838, t. XXVI.

(*) UaUe. MlemeiUi ofnaiitral PAOoiopfty. Edinbarg, 4893.

aigé^ BÊSlSTAfifiB M^ MtIDES.

longue <:lmtP #IP In^ l'ét^

w cor]»» dp c«pk« 4'Mte^ ^e^iimoe^ mnp V^ tf» 4s )«fa«ii

de plomb, etc., et un grand nombre àê m»mipêê jffémmiÊ^

f^ toi p9t mui^é^ i^iv« .]#uMai« mm^i^-

^OM» 99<miAi¥^ m ¥<>ficm^ ^m^ ^HM^ fu)to» «nj)4^ i)#r Ji^ /cte i»ef ^^iv^^te m^ k^s9istà^ikfim9imiê (^» te y

expériences, sur une constitution bien homogène d^ Wl^tê, Sups ]^lf^ .<jie^ hfii&, 4iii offrant à ^t ^égn^d Aes îq^aiit^ proaoiiq^ iv^ plus ]j(^), )^^ngeaxe;3t sojus ^we teo^ioa 49m^ p'^4 {)#^ k>W>^^ 1« n»^ 4^s i^ 4ifféi?e^s partîeç 4'U9 #< xl/ç f^, itîçjgttwe l'ii ,F9^]Uiu 1^ mfim^ M- A*4aitf. JE* fo suist^, Vépidfirpif, ^QiQ^e 4it M. ^^d, ^$jt é)^)demn^t d'Wie §ifi^^ cfiï^^te qu^ le centjne. Say^, par 4/3s ^Kpi^rj^e^ |]^

^Uf iwi )W Beuye# /B'^jLpIiqv^ (m Wf ^ 4^imm 0^ contexture non-seulement dans les divers sens mais au^ agif

fMWfis, c» /*#Rip d^vjïif ^ pwour« 1^1 j^$ j^ysipi^Of , m ^^vYfiifP 4e plu^ |)p^ fi^ f^ ^ »oj/^ jffpém tel râr^ 9^pq^S; dans [e but 4'pf) 4é(^i;ee .4p$ }Qi^ 4pnt J^ sqm)f pmtf s'enrichir.

Déjà, comme nous avons dit (n* LIX), vers 1785, CSiladui, en Allemagne, avait non-seulement observé les vibrations lon^iu-

grande portée. Metz, in-4% 4840.

(S) JnnaUi de ckfgiie et de phyfHPf9, é§ IM3 à iS37.

tàm^ H lMimemk9 de$ vargei» élastiques^ 4^ msA, l0im vibrulia^ n^nmle$ 0^ }0i^wibvfAm^ iaurrumt(f$, sur ImsmVtiB^

il a le premier appelé Vati0n\ion, ipaîs^ ^notm^ fait de^ etqp4ri^c#s oopibr^u/sas ^|; curjei^se^ i51|f )^i| vibratipps à^ plaques et mf Ifif^ siegiiliè^eft lignes poclal^s^ (^). S^ayi^t çqqIIwm #t IWif» coii8i4éF»^l«i»eBt fj^ e^péri^nqes, /ç» réyébpt iiusçi (to Cedts Douveaux et importants sur les vibration^ Ippgil^4ÎMJ^» $i]s.ceptibl6s par a^pap^ple 4'étre éBergiqueo^^j^t l^voqn^ far m SMopte frpttem.e»t s'il est AQBt|opé qu reftopvpïé,

Uo 4^ «éifli^jts les pb^ ppiQ^rquablen d^8 reeberobds de cet habile expérimentateur fut la vérificatiqn dfi frittsieurs ]m de rib^tian dépojuvert^s ^paly)iquem/spt p^f Af • Pwcky> et, ao^î, de sa {Qm^i^ 4?^ jnpipeot dç^ tof^oa pptfp las pi^^Ojuef f^çt^figijil^esi quand i^ sont. plaU ou fninces, cas où ]fL fopfn^f comme m^s avo^s dit (r)' P^^VI), ^st exacte; et se$ ^w pxp/^ieAC/^ s»^ 4^ prisfn^s où |e «apport des deux ^qfgoûi^qn^ tjransyers^s était 4^ ^ ^ 3)3 ^t de i ^ 3,9, vér|0f9p^ oof^e formule, dont C^uchy ^ approifv^ la substitution è I9 /^we.

Ç'^ d«n9 cet esprit ^i^ntifiqqe qu'Qpt étfi fMtes les nombreuses et fxst^îe^àfgis^ f&^pén^pces 4^ W^theim^ exécutées eu obsenvant ^v^ w c^hétoinètre tF^s-90Qsib)e lea aUoiigen)ept« pu l^s ^xipp^ (e$ plu^.îfpp^ceptibl^Sj at Ctfi cevaptant P9r 4A9 H^^ïI^ 9u#s^ tf ès^xact^ t§^ Q^nihrea dfi vibrationa* On h)î d^t àê^ Jfeçli^chçs mr Vilq^tidti ci l^ oç/mi^^ i^ méu^ (?) (platk^e^ 01, /urgent^ plomb» cuivre, :iinc^ fer, acier, eto.)^ étirés, ifim^}^9 m^i^i ^rétel pur Q» légèrement ^Hié^ k diveis^a iempéniti}jres àé^TTi^kr\' 900' {% U$ modulas d'ébrtieité futeat mef qrés pa^ lui tant par TextausiQU ^tdtiqufii que pa» la yitesse du son dans les tiges, ou bien par les vibrations transversales. D a vérifié la loi de Gertsner. Il a cru trouver que la partie persis-

(>) Traité d^aeousUque.

^ Prétenté leS juiUei h%i% jâtmàUi de dk» ti^pK 3^ liHf, Il XD.

(*)0a Mltqoe MV. Tremery et Poirier Sainl-Brie» ont liit ausiirAM expérieneet tendant à évaluer rinflaence dea tentes tempèfatarea pov modlAv le» coeffleienta é'étastkité (Ann. des Minea, 9« aérie» t. 3).

CCXdi RÊSISTANGB DBS SOLIDES.

taote des allongeaieats se manifestait dès le commenoemeDt de rextension : c'est la seule oondusion qu'oD puisse lui contester. [Voir S iO de la Note du n* 2i, p. 23.)

Wertheim présenta bientôt une suite à ce travail, intitulé Becherches iur Pélasticitéy où il examine d'abord (2* mémoire) les alliages (') ; puis, dans un troisième ^lémoirey Tinfluence d'un courant électrique.

Le même physicien, dont les premières études avai^t porté sur l'anatomie, a présenta un nouveau mémoire, le 28 décembre 4846, sur l'élasticité et la cohésion des principaux tissus du corps humain (').

Vers le même temps, les Annales de chimie et de physique donnèrent un mémoire fait en commun par lui et par H. Ghevandier sur l'élasticité et la cohésion des différentes espèces de verre (*}. Ils remarquèrent que, comme pour les métaux, le coefficient d'élasticité c&lculé par les allongements statiques est constamment moindre que celui qu'on déduit des vibrations.

Mais le travail le plus considérable, le plus complet et le plus entouré de toutes les précautions propres à garantir l'exactitude des résultats est celui qui a été présenté encore en commun le 5 octobre 1846 par MM. Chevandier et Wertheim sous le titre Mémoire sur les propriiiés mécaniques des bois (*). Il est précédé d'un historique qui fiût connaître encore quelques expérimentateurs, savoir M. Wheastone ('), qui a taôlé des plaques de bois de forme rectangulaire, en réglant le grand côté, parallèle aux fibres, et le petit côté, de telle sorte qu'en les mettant en vibration on ait des lignes nodales diagonales, ce qui permet de déduire le rapport des élasticités dans les deux sens; ïf . Hagen (*), dont il est question à TAppendice complânentaire $9%;

(>} s mal 4S43, nèine tome.

(*) Hoos iTont eitéy an % 74 do 5" Appendiee, les expériences de M.- Weber (Ann. de Pogiendorfl; u UV) sur les fils de sole, le comportant d'une manière analogae.

(>) S Juin 4S45, 8* série, t. XIX.

(^) In-8% 4S4S, chei BacheUer.

O PkOoêtpkiaa Dfmmêoetiom», 4SS8, p. SOS.

n JmaUê de Pcggendorg, U LVUI, p. 196.

et MM. Fadnotti et Péri (^) dont les expàriences de flexion ont été feites en posant les barres de bois tantôt sur deux appuis à faces horizontales et verticales^ tantôt sur des rouleaux^ tantôt sur des poulies. Ces derniers auteurs ont trouvé qu'en défalquant les parties persistantes, les extensions et flexions restaient proportionnelles aux charges^ même en approchant du point de rupture (loi de Gertsner), et que le coeflScient d'élasticité E est presque proportionnel à la densité dans les diverses variétés d'un même bois, ce qui rendrait sensiblement constante la Aau- Hur du module de Young. Les expériences de MM. Chevandier et Wertheim, faites dans les Vosges, ont porté sur des échantillons de dix-sept espèces de bois, tirés de quatre-vingt-quatorze arbres. Les barreaux ont été extraits dans diverses orientations, ils ont été éprouvés à divers degrés de dessiccation ] on a déterminé les allongements, les flexions statiques^ les cohésions ou chaqies de rupture, le nombre des vibrations; et on a comparé les résultats des expériences sur les tringles et les barreaux avec -celles qui ont été faites sur les pièces entières débitées dans les dimensions ordinaires du commerce et des constructions. On a noté les densités^ la nature du sol. On a mesuré les allongements élastiques et les allongements persistants. On a éprouvé des tringles taillées dans le sens des fibres, dans le sens des rayons des couches concentriques et dans le sens de leurs tangentes. Ce grand et beau travail sera toujours consulté avec fruit.

On doit aussi à M. Wertheim des expériences sur la vitesse du son dans le fer, faites en commun avec M. Breguet (*) ; et une dernière note (') présentée à l'occasion d'expériences de M. Kirchhoff sur la comparaison de la flexion avec la torsion dans les verges rondes d'ader trempé et de cuivre (^).

M. Wertheim a inséré aussi aux AnnaUê de chimie et de phy^ rique[y série^ t. XXV) une Note sur la torsion des verges homo^

(i) n CimemU^Z* année, 4S45.

O Complet rendas, t. XXXn.

f) Comptée reiidne, t. Ll, p. 969.

(*) ABulee de PoggendorfT; on l'oiirtii poMié par M. Verdet an Ann. de eh. et de ph.» 3* idrie, t. LIX.

eejltft RÉSISTANCE DES SOLIDES.

et «m t\Éte {pèé&éÈÈtêe le iOdêtemtlteiSi^ èot la propagation iU fkouvemefit Hmè Ie$ corps solides et dans te^ Rqtf dei^. ht pëtlAfit dt cé^ ti^is mémoires avait pour Irat dé jokilléir, par I* tëttipsnélion des réstiHats de flexion avec cetr* de toi^itm^ iêi tiiodifleatkMi èùx tonÈmlts que nous avons longnetfienf d?»èatôes h îtdM AppehâicB Y. Le mériioi^ snr FëqniHbve dès Sonéei homogènes^ présenté le 10 février 1948 (^, o3 il pttypose cette iflodification pen htèiïfeiise, contient trrt asse« gràfiïd ttëttÈhre d'expériences stif des tubes en verre et en hiitoVr^ mais qui petivem^ comme nous a^ons dit (motte Apfién^ce) être terterprétées ftdtreffîent qu'il ne fait (*}.

Un des travaux les plus considérables dé Wéft^eîitL est son mémoire de 1$55 sur la torsion ('].

Ce sujet a été, comme nous l'avons dit, traité pour la première fois par Coulomb (^) avec sa supériorité ordinaire. Son mémoire contient, avec une théorie saine mais s'appliquant uniquement aux fils ou aux cylindres à section circulaire^ des expériences à Tappui) dans une partie desquelles la résistance est évaluée en comptant le nombre des vibrations tournantes. On y trouve (XX à XXY, seconde section] la première remarque qui ait été faite des parties persistantes n'empêchant pas, quand on les défalque, l'élasticité de se conserver, ou lés parties non-persistantes de rester proportionnelles aux efforts. Depuis, M. Banks ('],

(i| IM. âé thiiait éi de ^by^'qtie, 3* féHe, t. XXIU.

(>) An il6iftbr6 dei tiifaéx 4e |)%yrfci«iil myué iM detèn» p»é ^Vtkr et aténilunner cdai de M< Perso» (ConpleB readat, 4 scplembre k%k% t. XXVll, p. S58), dms lequel 11 trouve pour la chaleur lalenle l de fusion de divers métaux delnl E réprèieiKe le èeeSdeif d'él4ëticlt6, M D M pfA&É i^ûidë (eéfui du

Aèlrt.cobè Hùi éodiè), àne fardinle i = Kfi M + - — I . Le côefficlèol ft est

ifottfè le même pour le zinc» le plomb, le btsmntb, l'argent, etc. l\ se sert des ezpèrieoces de U. Wertheim sur les élasticités.

(>} Présenté le 4 9 féf rier 4 855. Annales de cb. et de pli. Juin 4M8, p. 495.

(^) Recherches théoriques et expérimentales sur la force de tortkm «I wmr fêlasticUé des fiU de métal, Mém. de l'Académitt pour 47S4... OlMervtUOQt silf les lois de rélasticilé et de la cohérence.

(*) TreaUse on the Power of Machines^

M. thsÉktf (»>, m Rfeûinte {*)^ M. Bf ama» (*) et ». Bevan (♦), oM Mt Af éèsès 63epÉf}«fio6âr/ «ttrtMt ée ^âq^re ^ torsim. Nous avons parlé de celles de Duleau et de Savart pote )«

ÉkH ^ plu^tëërs' j^as^ges êh ïriéitt6\ré Ae ^ertHèîiii $xit W kfhion àïëm été rê&f^eé dWné ttù esf^tît évî'd^t âe poKHft^; eC fATAi tfé pmHè tei Accoi^der Ai te retotïr S- uYièr fei^MMè flé Cauohy à laquelle ce géomèt^' avait rénoï^v ta Fé^aHraMto tftf c(fMetéYâ éPéia^fieité' tfe forsîèW, èft te dijdôfsiffity f^ï» ses fMMMéR^ tt«6#l^ièS mméëiy Al èiMffictent réUftVtlcM &€jéfénéio^/ iÉbf ftieSHM^/ 1^ èx^et^<ées' èOnsèieft^leiMêlMfeht e! soigneusement faites, comme toutes celles &f ^ ié}gtéffê f^^ sicien^ et qui ont porté sur des prismes ou cylindres circulaires, téciàti%ûmtédy èmpliques, éù Verre, crîstaF, fer, scîéf foWdu^ faitôn, tôYé; É^bis dé ch^è et âé ^apfn, Hé âàïiùUi pWfàbîàs une suite' die' résultats précîeu)^

Des expériences récentes sûr ii torsion rfes Éois onï été faîtes aussi par M. Èouniceau^ ingéhïeuf eh ciïét des ponfs élt chaussées ("> les (orsions sont proportionnelles aux eâbrts tant qtié ceux-ci ne d^épassenf pas une certaine limite ; Tes' angTes de iorsibn sont bien en raison inverse d^es quatrièmes puissances des côtes de îa ^se supposée carrée ; et les e£lbr& qui rom^ehï soât cbnhiàie Tes cubes.

D'autses expériences sur la torsion, qui paraissent très-pré* cises^ avaient été publiées en Ï842 par M. 6iulio (^). il déduit la torsion des fils métaïliaties de rallongement des ressorts en hélice que 1 on en compose^ car^ lorsque le pks de l'oélice est Wès-peu (SoBsïdérable, ta tovsiense tifouve seule en jeuV et peu

(ly IF ITioSuoi^t JnniJ^ f. XUr, p. STKT.

(9 Fhiioêofkical JrAiwscliaiu^ 4848;- ou j^miii^ (iec^t ettf#|iA;y4848.-

(^ PracUeal Éatay on ihe Stt^nptlk of e^ Iwn^y T|[edgold^

(^). Eœpefritkmkiê 0f ihë iMutUâ- of Tonion by Mfnjamm Sevan*' Tnci.

pbiL^ 4899; faites snr 47 espècet;d9be{f.elv4^es]|èoe«<ie»éUu«. (f > jànmakê âm-poHt» eP aJ^ufet^^f t664 ». 4^ wmwvre^ \n JÉcaéémiédo Turin^ 4a4^;«liKl».i4 jMlll6t.48U.. Deus^MMi^s mémoire» du

nème eipéiimeaUtair, la» le S Jaille(.€t: le 90 déotmbra 4840/ flgureni-au tome

de 4844. L'un eet' relatif i û fleiion dei fenyliaulr* eei folatÂtiUeiieoûoa dei

flle de fer.

CCXCVJ BÊSISTANGE DES SOLIDES.

oa point la flexion. Ses expériences sur le fer^ le cuivre. Tangent, rétain» le plomb, lui paraissent confirmer la loi de Gertsner (*).

On trouve aussi dan3 la Bibliothèque tmivenelle de Genève j t. y, n* 20, SO août 4889 (Archives, p. 394) l'extrait d'un mémoire de M. G. Wiedeman sur la torsion des fils (*)• Elles ont rapport surtout aux lois des torsions et détorsions permanentes, successivement imprimées.

Enfin, en 4862, le numéro de mars du Civil Engineer and Arehiteefs Journal contient, p. 85, quelques expériences fiiites à Glasgow par H. Rankine sur la résistance d^ barres à la rupture par torsion.

La résistance à la torsion dérive, comme nous avons vu, de la risistanee au glissement. Mais celle-ci peut être mise aussi enjeu sans qu'il y ait torsion, à savoir lorsque l'action extérieure contre laquelle elle réagit s'exerce dans un sens transversal aux {ûèces, ou dans une direction tangentielle aux sections ou faces de rupture, qui soit sensiblement la même sur tous leurs éléments, en .sorte que cette action tende à trancher, cisailler, détruire l'adhérence; tendance qui a plus ou moins lieu dans toute flexion qui ne s'opère pas d'une manière égale d'un bout à l'autre ou en arc de cercle. Avant que M. Vicat ^t appelé l'attention sur cette force transverse^ et basé sur son omission la principale accusation qu'il porte contre la théorie ordinaire de la résistance des pièces solides aux efforts perpendiculaires à leur longueur ('), cette espèce de force ou de résistance avait été l'objet de diverses expériences. On peut en effet y rattacher celles de M. fioitard (^), sur l'adhérence des mortiers et sur la résistance que leur interposition entre les pierres de taille op-

(^) Le gtifseiiMDt trtDneruI doit aroir aaiii une influence (Mémoire du 6 no- Tembre 4S4S aux Complet retÊâui, W XVII, p. 4030).

(*) Le mémoire complet se troufe dans lee rerJumdhmffen der tfaharfon^ ekanden GetelUchaffl in Bûiel, H* Hefl., S, 4869.

(*) Ce reproche de M. vicat se tronve formulé pour la première foie à ta JDt»cription ^um poni êuipendu cotuùruU tw la Dordogne à Argmiai, in.4*, 4S30, p. S et S. U cite les eùrbeaux^ lei lourtUoiw, let got^oiu et antret pièeet eoorl4pi, comme te tootrayant à cette théorie.

(*) Elles sont décrites au 1. 1 du Traiié éUê pouis^ deGautbej» p. S63,

HISTORIQUE. CCievi]

pose au glissement de oelles-d riitie devant Tantre. Perronet avait fiiit anssi diverses expériences sur le frottement mutuel des pierres. On en doit aussi k M. Horin (^) sur l'adhérence des pierres avec mibrtier interposé, indépendamment de leur frot^ Ument qui ne résiste que lorsqu'il y a mouvement commencé ou que Vadhérenee est déjà vaincue. Enfin nous avons déjà parlé (p. 473) de celles de cisaillement da tringles de fer^ qui ont été faites par MM. Gouin et C*^ et d'autres plus récentes, sur des rivets d'acier^ faites par MM. Combes, Lorieux et Coudie (*), qui ont montré que cette sorte de résistance, au lieu de s'élever^ comme pensait M. Vicat^ à cinq ou six fois la résistance à la rupture par extension^ restait un peu au-dessous de ceile-d et pouvait être regardée comme en étant les quatre cinquième, conformément k la théorie, qui^ cependant^ est donnée comme ne s'appliquant à la rigueur que pour des corps non-seulement isotropes^ mais encore restant dans les limites de la conservation intacte de leur contexture moIéQuhiire.

A mesure que nous avançons les expériences se multiplent, surtout au point de vue d'une application pratique immédiate ('). Presque aucun pont suspendu ou autre ouvrage de fer, fil de fer ou fonte, ne s'exécute sans éprouver préalablement les pièces, indépendamment de l'épreuve totale à laquelle ces ouvrages sont finalement soumis (*). Toutes les usines, tous les entrepôts de pièces de fer, essayent leurs produits.

Ainsi, les fils de 3 millimètres de diamètre du pont de Fribourg, d'une portée de 300 mètres, l'ouvrage le plus hardi qui ait été construit, ont été reconnus par l'ingénieur, M. C3ialey,

(^ iVoiiveBe« expérteneatur f adhérence de» pterree et de» brique» po»ée» à bain 4ê wurtier, elc,^ 48S8, et, aoul» Leçon» mit la rèeUtance de» nuOériaux,

(*) Uèmeê Leçons de M. Morin, 3* édit, (486S), U I, n* 70.

(*) M. Wletbteh (Lekrbnek der Ingénieur and Maehinen Meehanik) cite encore a*aotrefl eipèrioMntatean tant anciens que récents : S' Graresande, Brir, Moselej, Voil, Bomenann, Ettelireln ; pois H. KaoMrcb, arec ona commission qommée •n Hanorre; et, anssi, M. Ernest Lamarle, dont nous aronsea occasion de parler illlenrs, el qui a eonflrmé les formnles de flexion, comme Dnleiu, en j soumettant des règles i seetlon Iriangnlairef posées allemathenent sur leur plat et sur leur aréfe.

(*) La plus ancienne épreore peut-être est celle du Pani de» Art»^ k Paris : on en toit la reUtlon au BvXMh^ de la SociiU phOomaauqae^ 4S03, p. 454.

eCXCVttj BÉSXSTANGB DSS SOLIDES.

supporter» avant de roupie; 8â lûtegrananie» pat fHilUaiëlr& eaxfé. lift fiôBt aoiiiiHS à un afibrt penBaB«»4 de* iT'fi^i^ el^ lar» dfi la charge nraxkmuxi; à un efbrt de 96^yW.r Le poni a^ lésislé à tOHtas k& épreuves^ méffied^pa^eadeBeés^ aiiso»âakm»sîque miUtair^;! ai aialgré de fortes escUtatieiia f^).

Aprèf anToir présenté, en 1835 (*)y drrei^e^ c^mrtétlièmi com^ pitréttme» sur Kempkn* desi fils et des barrer et k!p, M. LM^n^y (ftfî avait ooKielQ èi l'adoption dés ffis^ tf j^éseiit^, è» 4999, pilG^sieur^ série» (fexpértenfces,* aceompiifgaéss' d^iinfmtantes' remarqnes sur eenx qu'it a êfAiployés aiÉf grantf powi d^ toBOêke-» Bernard ("*) ; et, ensuite, il en a pnMié te «^oiri^lémiuk {^)y irtr il rensar^ae qoe h» aUengetnents ail^knentent' avecr rapidité a^èa une tenskm de» dem tier» de* ceHs' de te nipieQirej ttaia^ (f&e, somsie p^dairt eent jours à; tKh efert eensid^life&y ïês fÊè' eût effsrlenaaîte nne résîstanee plutôt sopéviem^e qtfinfétfkwe'à ta résistaÉce pntmitive,» ete.'

On trouve aus!^ êhli$ts^ empMeiitëê sW l«â Mi^ré!^ éi ^' Fês ffl^ flfttt pttgé^ 995 èl ^tS^-Z39 d'une néflceF stfl^ le' j^iif Ètf^ffebdn dé 9ânlM»fri6«epl)fe, prèsLoiHent, paV lHlW; LécIei^b^l^jWf n^-

DâfnsïeniÂtoérecuéîl (^nna/éi? de$ poMs etthàu^^e^'ôn frbùvte; jusqu'à répoqfné acfuèffe, les résûMs d*uiï cerfato n'éttifere d'autres eipârîenées sùi^ là force ou fa ffexïoh d'es nSàférlaux. — ^ E'û i8'l2 {{** semestre, p. 336) un mémoire de M. thcUiei Petiet sur les potttssuâpendfùs avec cSïAtsexirùèan^Jèfertaminéy eïïi^loyés & la passerelle rf^Abaînvîlïè étaïïpontdeè^ùreshes'. ( Voir alissf p. 3â:i, leraplffortdeM.6àudesùrïeisépï*euveé.y--Erfrê'é6 (<•*" semestre, p. âés), des recherches expérîitie&teles dfejrf. Chevallier sur la construction des grandes portes d'écluses^sea expériences vérifient la théorie connue et le coiyluisent à établir, sur te MpairtMiôiï tfé^ôhaï-ges, quelques pttûéî^es ^atfrWieflf Èesoiu

(*) Armâtes éte$ j^U e^chaOuïes, fS35', l" sémesire, p. 4.

(*). Idaur 3* iemMlre,,9» 345. *

(S) Mem, «S39,)»mmilnvp. 3^

(^) DetcriptUm du pont tutpmdu de la Roche-Bernard^ 4B44 .

(^ ^ftn. (/e« p. << cA., 4é50, 4*' semestre.

put M. Féterier^ d«s épf^teâ (f nue énMtoéèe dettîBée aux portas é» la ipaode édme de Saîal'Malo. ^^En i^fô^i** se^ mestre^ p. 78), une note de M. Brème sur Fcpj^icalkiti de ht %ùi% h giidqiies pmks du dtmmn de lar de esmifire de Pafis; œ méiDOM i^Rtnrfne ki relMkiA de fàvttmas épreuve» mxqaeUee ees po«t$ e» tôle osl été soumis^ et de Ifciriqadd expéfieBces iaédite» fuies aux fotges d'Imphy^ prèe Nevers, sur les tôles, par MM. Gouin et C\ — En 1854 {ï" semertpe^ p^ 257), un vapfwl, par MM. GûMei-Meygret eè Dctepteeesy sm les épreuve» faîlea à roecasioft de la péeeptie» du viadMc eta fcMe eoBMrail aur lô-RMaa à Tanneoii, ei eer tedf iDOMemenle des archee pnr riafluenee de la teœpérakve et des dnr^esy ele. A la aaiie du ecMni(^ r^odu dâs çlbserTatioiiâ préeisai deat ce& mouvements e&t été Fobjet, scf tr^NJvenl les péetihàt9 d'un aesea (rand nombre d'expérieMes svr dea baitee dè^ fe«te de 3 mètree de long, de S( el 10 centimètre^ de eôié, faîlèe a0x ateliers du chemin de fe« à Arlee. -^ Ea 1855 (!*' 8ein.y p^i9^), dea expériences de M. Pirel» sur la fletioa dea avoa et peulres en fonte de Lormont et de Chauvin au atoBaent du passage des convois, et sur les mouvements que kffr font épiteiiter kx» variations de température. — Même volume, p. 225, desexpériefiêes sur le eœflkient d'étaslicité de la toiM par M. ^ttingàtlett. — ËQ i8&1 (V seni.> p^ 2S7), «n méilioire de M. D^eomMe srar la taeiOeure bmub h donoev awt poutres droMéfs eu Um^ i oeé y trouve plusieurs éxpàrîeneesy et u» grand nombre (t'a (i tes eonsidérationst basée» sur des fait» de la pratique der coulage des pièces. — En i88d (f sem., p. 139), u» mémoîre de M. Ploeq sur les épreuve» d^tm pont tontiiattt en tôléf de I>ORkef^é. -^ Même année (V sem. , p. 326), les expériences faites jMtMJf. Noyon sur les fils des e&blea du pont de la ftoehe-Bevnafrd, aprèsf Tàccident causé eu ittiâpar des oseiDalâons hopïzontales pendant une violente tempête. — En 1860 (2*' sen».yp. ii3), fcâf rtrtfàftpies de M. te eokwel russe* Jourafskr sor te$ pouivee m îtéïlfk et les poulrea pleifice en tôloy sui'vîs» ié quelques* épreuves et expéneuees. --^Eu iS&ê (2* senr., p. l)v no rapport dte MM. Cbiïibes, Lanieus el GanaliÉi auv Isa coaditieiiB dl'épaMSéuT' pour te^ tôles imi» fmimemfkoFfè^ dana 1» eouslmctien de» cfaaudrëres à

OCC BÊSISTANGE DES SOUDES.

Tapeur. On y trouve un certain nomt>re d'essais d'ettension et de rupture de la tAle à froid et à chaud^ et les avis de divers ingénieurs 9 offrant comme le résumé de ce que leur expérience leur a appris à ce sujet.

Cette commission avait exprimé l'avis que de nouvelles expériences étaient nécessaires. Elles furent faites (même volume de 4860) par H. Tresca, sous- directeur du Conservatoire des arts et métiers; son procès-verbal en contient aussi sur diverses barres d'acier vif.

Les Annales des mines (où Ton trouve déjà, en 1826, un article de M. d'Aubuisson sur les limites d'élastidté) ont enregistré également diverses expériences qui sont consignées, entre autres, dans des mémoires de M. Couche, de 1852 et 1854, principalement sur les rails de différentes formes. On y trouve aussi (1852), k la suite du Mémoire sur les ressorts en acier employés dans le matériel du chemin de fer, par M. Phillips, un certain nombre d'expériences sur l'élasticité de l'ader.

M. Ferdinand Zorès, dans une notice jointe à son Recudl de

fers spéciaux, dont il était entrepositaire (quai Jemmapes, 212], '

a donné les résultats d'un certain nombre d'expériences sur la

flexion et la rupture de ses échantillons à double T (p. 113 ciaprès).

Depuis 1852, il se fait à Saint-Pétersbourg, dans l'Observatobe de physique central, des expériences dont il est rendu on compte annuel au ministre des finances. Les comptes ainsi ran-dus de 1852, 1853, 1855 en contiennent sur l'élasticité des métaux, déterminée tant par leurs flexions ou torsions statiques que par leurs vibrations transversales ou tournantes. Le compte de 1856 en contient qui sont relatives à l'influence de la chaleur sur l'élasticité.

Mais les principales expériences du milieu du siècle où nous sommes ont été faites en Angleterre, et quelques-unes sur une échelle presque gigantesque.

Depuis longtemps, le célèbre M. Fairbahn (aiqourd'hui correspondant de l'Institut de France) qui, le premier, a construit pour la marine anglaise des navires de grande dimension tout en fer, avait entrepris dans son bel établissement de Manchester une suite d'expériences sur la résistance des matériaux»

HISTOKIQUE. CCCJ

et il avait, pour en étendre le cadre, mis à la disposition de son savant ami M. Eatob Hodgkinson, profi^sseur de physique, les moyens dont il disposait. Dès 1830, M. Hodgkinson s'était fait avantageusement connaître par divers beaux mémoires, dont dnq insérés au volume de 1831 de ceux de la Société littéraire tt philoiophique de Manchester; quatre d'entre eux étaient relatifs aux ponts suspendus; Tautre, qui doit axer davantage notre attention, était intitulé : Recherches théoriques et expérimentales pour déterminer la force et la meilleure forme des poutres en fer (^). Devenu collaborateur de M. Fairbairn, il entreprit d'abord avec lui diverses séries d'expériences ayant surtout pour objet la comparaison des fontes fabriquées à tair froid et à Pair chaud; et ces deux habiles expérimentateurs publièrent, dans deux mémoires séparés, au môme volume de l'Association britannique pour l'avancement des sciences (*), les résultats que chacun avait plus particulièrement recueillis. Ces expériences furent suivies d'autres non moins précieuses, dues à H. Hodgkinson, sur la résistance des colonnes (pillars) de fonte, et qui donnèrent lieu à la présentation d'un mémoire du 22 avril, lu le 14 mai 1840 devant la Société royale de Londres, et inséré au volume de la même année 1840 des PhUosophical Transactions (*), p. 385.

Les divers mémoires dont nous venons de parler furent réunis de manière k former la matière d'un supplément à une nouvelle édition du Casi Iran de Tredgold, supplément publié k part en 1846.

Cet ouvrage plein de faits, dont M. Combe avait donné quelque idée dès 1844 en publiant le premier volume de son

(1) Hem&in ofUOn»^ and plUlMcphkal SocUly of ManekegUr^ toi. V, 4SS4, p. 407. 544.

(*) M^cri of Ikê êevenih tmeeHng of UU Britith at9oeiaiian for ikê advanee^ mmi ofSekneo^ kOd ai lÀverpooi^ wpl. 4837^ roi. VI. Page 337, On thertlatiTa •irengUi and oUier ■«eanteal FroperUM of eait Iron oblalnml bj bot and cold blait bj Xaum Bogdklnaoo. Pag* 377, On Ibe ttrenglb and oUier Properiiet from Ibn bol and oold blati, bj W. Pairbairn.

if) MmptHmtaiai reêÊafeha of tko ttrmfth of PUImr$ of ea$i ironandoiker wuUirioli.

CCeij BÉSISTASGE KS SOLIDES.

Traité de raifilaitalioA des VioM, a élé taêMi pvwqiie entière» amn^ «1 teapaît van 48M et inaéré «ik AiuHdes 4ds ponts el chswiséet «wiiflinflBt en l8Sft ('), par M. Pwd^ i qui il afait élé ftèé i Boirieaox {MUT un iogéttiattr soédsia.

Las aspérisBcea de M. Bodgkinsoa sur la fimta ttriquée tant à l'air ckaad qt^k Tair froid, portent d'abord sur la réns» tanoe i Faxtensioa de pièces de fonte à sfsetion en croix d'équem, et en opérant quelquefois la traction dans une direction qui n'était pas suivant l'axe mais suivant une arête; dans oe dernier cas la résistance était réduite au tiers. U en a Ant beaucoup aussi sur la résistance à la flenion et à la rupture par flexion des poutres ep fonte.

(Celles de M« Fairbaini (même ouvrage traduit, et tirées du même volume VI de VAModaiion bmtanmqMt) sont relatives en grande partie à des presêtonê longtemps ooniimtée$y transversalement et au milieu, et voisines de celles de rupture, faites sur des l^res de fonte. Trois de ces neuf barres furent trouvées rompues au bout de cinq ans. I^auti^s expériences de M. Fttrbairn sont rdatives aux âèches non permanentes ou permanentes, etc., et ont porté sur des fontes de tous les fouvasaux de la fiffand&rBretagne. Beaucoup forent faites sur des peutres à section transversales en T et à section iengt|tudioale double* ïoeU paraboliqua comme œlle des pièces qui sont d'égale résistance pour upe largeur cMstftnte. La sépsr^ion d'une sorte de coip du cùté^^yenn cfmwQ « été plusieurs fois observée lors de la rupture.

I^pon^Feu«ss e¥pérp)Bnpf^(2Vfmjtiré9s 4^ TraHUrSkii- 1840]

(}) Mechercheê tur la rétistance et le$ diverses propriétés de la fonte de fer, ptr Etton HodgkiDfOD, traduites par H. Pirel (4*' semestre, page 4).

l^^ fleures 53 et ,64 4ç la plaochi? 74 dps AQnajej^; jointes ^ cefte traduction de H. Pirel, ont été copiées sûr des figures dans le texte avec traits épa^s, quf put fait juger à tort au dessinateur qu'elles ireprésentaient des.plècçs creuses^ taodia que ce sont des pièces pleines, ayant même d'autres proportions.

H. Pirel n'a pis traduit le dernier article (sûr la torsion) qui, en effet, n'offre pas d'intérêt, e( i'afant-dernier intitulé Theorefical inqulries wùh regard U^ ihe strength of BeaimSf où 11 m'a paru qu'il y avait une idée propre î résoudre approsimatiTement le problème de la résistance à la rupture immédiate. C'est celta idée que S'al dé? doppée, en la modiSant d'âne manière eistnlielle, à U note du n* 464 ei<-tprèi.

nsTOBiQin- ceeffj

fûtct DM M» Hfldriiyiiin mv iw rémfttfiots à la 4MXMwesâoD. fOtlàtÊgd 4fabûid mm Â$g ffifmeg «Mpto <ée bois, piik de fonte) qui cédaient par écraseoieot, en b^ dJqoigPMBt laténfeïBesd djç $yer^ maoiè^/sç^ pui^ 4^ f^^lopneê (pitiai») ffii céàfff^efA 4'}lf^e W^W^ întBrméK^aiijs eotr/e f^elle qvf, o^fmt^ à s'écraser et celle aui consiste à fléchir latéraleiBeni conuxie les pièce? 4f te)f ^ei/»i/^ 1^, ftodgjtipsop r^iî^septo eiiypjri/Wffweff^ lesrésuljt^ par j^ne fîi^rawle pQi^mp cé^ i'Eulpfj f^^e k celles-ci ( ^? ^l ) exp^pté (f^'m Û^V d^ >& pwiss^ffjRft J^ 4i^ iliauiètf e j) y a ajui ;ii^ér;i)^ui^ we puis^ce 3,j$^ ^ ^*ao lieu de la puissance 2 de la longueur il y a aj^ dr^i>piBin/j|^fff la puissance !^7 {*)•

Enfi^ le^ expérience^ d^e lg30 die Jfi. ^pdg^in^n, pqfir détermineor }a n^eiileure C^rme à dqiijqyer h 1^ section diès ^.Q^itres en fonjtjè^ fiOfiJL fort nopibreuses. Ce|.te for^pe ^ double T eçt, sttiwit liii, .cejl/e où Ja semelle îi^férieurfB a une si^perftcie qui est à .celle de la semelle sypérieure dan? If^ f^ppQvi 4e .Ç à f des résisJUinces à l'écr^sen^ent des' pièces coufies, età^a rupture par extension. En $upp9$ant cette (^OQclpsiop fi^^f^ pour la rupture immédiate, rien ne dit qu'on doive l'adopter pour la rupture éloignée; aussi les constructeurs s'accordent-ils généraient ^ préfiépep les sepji.elles ^jb$. / Voyez ^ id^sqKssions aux^ i^ ,et 17, i» dés ^Qt^ 4ee n*' 113 ^ 120, p, Iffjifii 146.)

{*) V. LoTe^ qae nooi citeront de nouTeaa loot & l'heure, a représenté les Uteirs.MKfÂricpeni pir uae Normale plus Caeile à fsàciiler et qnl donne on mêoie tempe des résultaif nli:\^ r|i^ro,cb^, pu J^ 4* po^^saoce dja f^a^n&Urp «»f laissée au numérateur, mais où il y a, au dénominateur, ,deux termes, sayoir un afleclê de la puissance ;! de la lonf «eur, et Jin afléclô de la puissance v du diamètre.

où je fcyce gui /ail romore est simpleqaent ^rp^o;ti9^%ç^e aji cafpé ^u diam'ètré et à peu près IndépeDdantê de la longueur, èi de pièces ayant des longueurs pottrkiqucttcal^aUau a rMWBnn qn« ia lormulo d'fiuler ^observait. One Tor»

BMlo leHo ^'^•("f =\5r- j + (-iTj)* *"^**^ l'mnuge de donner,

poor la force qui fait rompre, P = la formule d'écrasement K'ta ( cd étant Ivllfy if fà secUo») i|«w<l Aa iongufur l ^ esirémem#n( peM^f, ^ P s^rexpression d'Euler <yuand la loogneux est exirè^en^nt £ra,udQ. U n'^ ayrfit fiu'f déterminer rezposant ii de manière i ' satisfaire le mieux possible aux intermédiairea.

CCdV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

M. Hodgkiliscm reovoie^ pour les résistances au choe et a^x vibrations^ à son cinquième rapport, inséré aux Mémoires de Tassociation britannique en 183S.

Il dte aussi des expériences inédites d'autres auteurs, entre autres de H. ^ramah et de M..Thomas'Cubbitt, que nous allons retrouver membre d'une commission célèbre; expériences dont qudques-unes avaient été faites en commun avec M. Henri de la Bêché pour s'acquitter d'une mission du gouvernement ayant pour objet de rechercher les causes de la chute de deux bâtiments d'usines; elles portent sur diverses longues poutres en double T.

On trouve aussi, dans un ouvrage plus récent de M. Fairbairn^ intitulé De Vapplicaiioa de la fonte, du fer et de la tôle dam les constructions, traduit en 1857 par E. Perret-Porta, et réuni en un même volume avec la traduction ci-dessus de M. Pirel, quelques expériences sur les poutres en T et à double T, et, aussi, sur les poutres en treillis; mais, surtout, un grand nombre de conseils et d'indications pour leur emploi dans des planchers, et la construction « d'entrepôts incombustibles. »

LXn. Suite dM expéricneM. -7 Mais, en 1845, Tillustre ingénieur Stephenson, chargé de la construction du che<min de fer qui aujourd'hui longe la côte nord du pays de Galles en se prolongeant à travers 111e d'Anglesey jusqu'au port le plus rapproché de l'Irlande, s'étant décidé, afin de satisfaire aux exigences de l'amirauté, à construire sur de très-hautes culées, pour la traversée du détroit de Menai et pour celle de la baie de l'embouchure de la rivière de Conv^ay, des ponts composés de poutres droites et creuses d'une grande portée, dans T intérieur desquelles les trains pussent passer, pria M. Fairbairn d'entreprendre une suite d'expériences sur la force de la tôle, matière dont il se proposait de construire ces ponts iubulaires, A'\xù genre aussi harcp que nouveau.

Les expériences à ce sujet ont été publiées, ainsi que tout ce qui se rapporte à la construction de ces deux grands ponts, et aux incidents instructifs qui s'y sont passés, dans

IHSTORIQUE. CCCV

un ouvrage de son collaborateur M. Edwin Clarke (^j, qui a été traduit en partie par M. Yvert (').

Les expériences consistèrent d'abord à soumettre à la rupture par flexion» au- moyen d'un poids suspendu an milieu, divers tuyaux de tôle rivée^ posés horizontalemeht sur deux appuis. On reconnut qu'une section elliptique posée de champ était préférable à une section circulaire, et qu'une section rectangulaire» plus haute que large, valait encore mieux. Et comme on aperçut que la rupture avait presque toujours lieu par Fécrasement ou plutôt le ploiement ou le soulèvement de la partie devenue concave, c'est-à-dire de la partie supérieure, sous l'effort de compression longitudinale qu'elle avait à supporter, on se décida à donner à cette partie supérieure une coupe transversale eellulaire, ou à la composer, dans un premier essai, de deux tuyaux ovoïdes, puis ensuite d^un plus grand nombre de tuyaux, à section rectangle et juxtaposés. On fit quelques expériences sur la résistance, à la compression longitudinale» d'un tuyau de cette forme rectangle; puis les expériences portèrent sur un modèle, au sixième, du grand tube projeté en tôle. Ce modèle avait environ 23 mètres de portée» et sa partie supérieure était» en coupe transversale, divisée ensix cellules rectangles. Chaque fois qu'il a été rompu, ce qui a eu lieu désormais par déchirement de la partie inférieure» on le réparait en renforçant cette partie; on a reconnu aussi par expérience le rapport à donner aux forces respectives des deux parties. Puis» comme le pont devait être un grand ouvrage de chaudronnerie» on s'est livré à plusieurs séries d'expériences sur la résistance, à la traction, des tôles simples ou assemblées, et de leurs rivets d'assemblages» placés de diverses manières et unissant deux, trois» quatre feuilles, et sur la part

(*) Tke Britannia and Conway tubular Bridge^ with gênerai Inquiriet of BÙm» and «n the Propertiet of mater ial uscd in Conêtruciion. LondoD, 4 850, pubiitbed wiih tbe laociion aod uoder ihe.ftuporYision of Robert Siepheoson. 2 TOI. io-S" and Allas in-8«.

On peut consalicr auasi : On Aceowti of the Conslruetûm of ike Briiannia and CoHway Bridge, by Slepbenson.

p) Notice 9ur les ponts avec poutres tutntlaires en télé, par t. Yrerl, ayec une ioiroduclioB par E. Flaebal, et un atlat trés*dètaillé.

CCCVJ RÉSISTANCE DES SOUDES.

d'influence du frottement mutuel des feuilles dans les résistances.

Dans les dernières expériences on mesura les flèches ou flexions prises sous diverses charges graduées.

La mise au levage des immenses tubes^ la liaison ensemble des quatre de Menai» au-dessus de trois piles (dont Tune était fondée sur le rocher BaiTANNu qui se trouve à peu près au mi* lieu du détroit), de manière à ne former qu'une seule poutre, donnèrent lieu à d'autres observations curieuses; et un accident, qui heureusement n'eut pas de suites fâcheuses^ donna lieu à d'autres remarques sur les forts cylindres de presses hydrauliques et sur ce qu'il y a de mieux à observer en les fabriquant.

Mais une autre circonstance^ vers le môme temps et dans le même royaume, fut l'occasion d'expériences précises, plus nombreuses et plus variées, et de la réunion d'un grand nombre de documents et d'avis, résumant le savoir pratique de ses constructeurs les plus distingués. Un accident grave étant survenu, en 1847, par la rupture d'une poutre en fonte d'un pont de chemin de fer, une commission fut nommée par la Reine, le 27 août de cette même année, pour faire une enquête sur l'emploi du fer et de la fonte dans les constructions dépendant des chemins de fer, surtout dans les parties exposées à des secousses et à des vibrations. Le rapport de la commission, du 26 juillet 1849, a été imprimé avec des Appendix étendus contenant tout le détail des expériences, et les procès-verbaux de l'audition des personnes appelées à lui donner des renseignements, ainsi que les calculs qui ont été faits par M. Wiilis, de l'université de Cambridge, l'un des membres de la commission , secondé par M. Stokes, membre éminent du Collège de Pembroke de la môme ville (*).

(^) Report of ihe Commisskmnert appointed to inquire into the Application of Iron to Railways structures; signé : lord Wroteflicy, WllIis, llenri James, KoDDie, CubbiU, Hodfklnson, Doaglas Galion (lieutenant du génie, secrétaire j,

Ce rapport, sans les appendices ni les planches, a été traduit par M. Busclie, et inséré aux jénnalet des ponts et chauuéesy 185f , 4"^ semestre, p. 493.

HISTORIQUE. CCCVij

Les dépositions, quoique pas toujours concordantes, de divers constructeurs, ont paru cependant établir que les pièces de fer exposées à des vibrations se rompent souvent après un long usage et présentent alors une structure cristalline. C'est aussi Tétat auquel le filetage amène souvent le fer fibreux, au moins dans la partie filetée, à cause de Tébranlement qui accompagne toujours cette opération.

Les expériences sur les barres de fonte ont été de divers genres. Les unes ont été soumises jusqu'à 4,000 fois au choc horizontal d'un boulet suspendu au bout d'un fil comme un pendule; les autres jusqu'à iOO,000 fois à la flexion intermittente produite par une came tournante; d'autres barres horizontales ont été heurtées verticalement. Elles ne se brisaient que lorsque la flexion, répétée ainsi un grand nombre de fois, excédait sensiblement le tiers de celle de rupture sous une charge statique.

D'autres barres ont été soumises à l'action lente et continue d'un poids presque égal à celui de rupture statique, promené d'un bout à l'autre alternativement en avant et en arrière jusqu'à 96000 mille fois.

Ces expériences ont confirmé divers résultats de la théorie ; elles ont montré par exemple, que la flèche dynamique est à peu près proportionnelle à la vitesse d'impulsion (n*" L, LI, LVI) ; qu^il faut un choc de même force pour rompre une barre rectangulaire et môme plate soit qu'on la frappe sur le plus grand côté ou sur le plus petit, et qu'une barre carrée de même volume rompt sous le même choc (idem) ; que des poids additionnels, également répartis sur une barre, de manière à augmenter la masse à mouvoir sans augmenter la résistance statique, la rendent capable de résister à des chocs plus forts [idem). Les flèches sont alors assez exactement représentées par la formule où l'on tient compte (idem) du partage de la vitesse entre la masse hei|ptante et la masse heurtée réduite aux 17/35 environ*

A Portsmouth, des chariots ont été abandonnés à leur poids au sommet de plans inclinés de manière à passer, avec diverses vitesses acquises, sur des barres faisant rails au bas : on mesu* rait les flèches dynamiques, etc. ; et, comme nous avons déjà eu

CCCviij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

occasion de le dire (n<* LYIl), on disposait,' dans des expériences plus en petiti un appareil pour augmenter artificiellement à volonté Tinertic de la barre.

Deux expériences de charge voyageuse en grand ont été aussi exécutées en faisant passer rapidement une locomotive et son tender sur les ponts d'Ewel et de Godstone, et les flexions ou dépressions en divers points des poutres ont été observées au moyen de styles faisant leurs traces sur une planchette fixe^ appuyée de part et d'autre sur les culées.

Enfin^ des expériences d'efiets statiques ont été faites avec précision et en grand pour connaître les allongements et les accourcissements de longues barres, de fonte ou de fer tirées ou pressées longitudinalement. Les effets, passé une certaine grandeur^ ont crû plus rapidement que les causes ^ en sorte que M. Hodgkinson, auteur de ces expériences, les représente en égalant la charge à une expression binôme dont le premier terme^ positif, est proportionnel à la dilatation ou à la contraction^ et le second; négatif, est proportionnel à son carré. M. Hodgkinson fait le coefficient du premier terme moindre d'un quatorzième dans la formule des pressions que dans la formule des tractions; mais les chilTres même fournis par les expériences prouvent pour le principe dk Tégalité des extensions et des compressions produites par des charges égales suffisamment petites, surtout si l'on défalque les petits effets permanents, attribuables à un léger écrouissage.

Le même expérimentateur a fait à cette occasion de nouvelles expériences d'écrasement des prismes courts.

Des barres ont été aussi soumises, à Portsmouth, en grand nombre, à des flexions transversales statiques.

Les jéppendix du même ouvrage reproduisent, en en faisant connaître de nouvelles, des résultats d'expériences précédemment exécutées ; celles par exemple qui l'ont été sous la direction de M. Stephenson sur la résistance des poteaux creux en tôle; des détails nouveaux sur les ponts de Conway et de Menai (ou Britannia); celles de M. Fairbaim, etc. Parmi le grand nombre d'ingénieurs dont les interrogatoires détaillés figurent à Tenquéte, plusieurs ont inséré des tableaux d'expériences qui

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leur sont propres : ce sont MM. Barlow» Rastrick, Stepbenson et Hoskingy W. Fairbaim^ Hawkskaw^ Goocb, Moris Stirling : elles portent principalenoent sur des fontes et sur les divers mélanges qu'on en opère pour compenser mutuellement leurs défauts ou augmenter leurs qualités.

D'utiles et intelligents extraits ont été faits des résultats de ces diverses expériences par M. Love^ dont l'écrit de 1852 [% réédité avec des additions considérables en i859^ contient^ avec quelques accusations non fondées contre la tbéorie^ un grand nombre de vues utiles. La deuxième édition (*) relate un grand nombre d'expériences encore peu connues. Telles sont celles de M. Brottier, de M. Faure,.de M. Houlbrat, sur la traction des fontes ; de MM. Ernest Gouin et Lavalley sur la tôle d'acier fondUy sur les fers spéciaux de la Moselle^ etc. ; du même M. Lavalley sur des fontes de mélange, sur les tôles dlmpby et de la Moselle, et sur le cisaillement des rivets-, de M. Tenbrink (chef des ateliers de Montigny-Iès-Metz, chemin de fer de VEst) sur rallongement des barreaux du même métal, etc. ; de M. Delaportc sur les fontes de Mazières (Cher); de M. Laine sur les fontes de Torteron (au bois et au coke] ; de M. Faure sur les fers dont on fait les boulons et les rivets^ etc. Plusieurs des faits nouveaux cités par M. Love paraissent de nature à amener des économies notables dans les poids de métal à donner aux conduites d'eau et aux chaudières à vapeur.

Ces résultats divers se trouvent aussi résumés dans ce qu'ils ont déplus propre à éclairer la pratique, et discutés de manière à fournir les coefficients numériques de ses formules, dans les Leçons sur la résistance des matériaux de M. le général Morin, où l'on trouve aussi des expériences récentes et nombreuses de M. Fairbaini sur l'écrasement des tubes en tôle par pression

(1) Mémûire sur la résistance du fer et de la fonte, 4852, in-8*.

(*) Des divenes résistances et autr/s proprictès de la fonte y du fer et de V acier, 4859, ln-8\

extérieure sur leur surface latérale; une expérience analogue faite à Montluçon; des expériences inédites de M. Pronier sur les bandages en fer et en acier, de M. Guettier suc des poutres en fonte à T^ de MM. Hick sur la résistance au découpage; de M. Garillion et de la Société de l'Expansion de Mulhouse sur la torsion des cylindres de fonte. Mais la dernière édition (') contient en outre les résultats d'un grand nombre d'expériences nouvelles faites par lui ou bien sous ses yeux au Conservatoire des Arts et Métiers, surtout par M. Tresca, sous-directeur, ancien élève de l'école polytechnique et de l'école des ponts et chaussées. Ces diverses expériences^ comparables à celles des constructeurs quant à l'échelle, ou à la dimension des pièces sur lesquelles elles portent, le sont à celles des physiciens quant aux précautions dont elles sont entourées, et à la précision des résultats, obtenus avec des cathétomètres très-sensibles. Plusieurs ont eu pour objet, et ont aussi eu pour conséquences, de confirmer les formules de la théorie , attaquées par divers expérimentateurs , parmi lesquels se sont trouvés quelquefois des savants qui ne s'étaient pas suffisamment pénétrés de leur vrai sens. Ainsi, elles ont prouvé que les allongements et accourcisseraents permanents qui empêchaient M. Hodgkinson de souscrire au principe de proportionnalité des petits effets aux efforts, étaient extrêmement faibles, comparables aux changements de longueur produits par de petits changements de température, et attribuables d'ailleurs à des circonstances de l'opération, etc. ; que la proportionnalité et les autres lois admises s'observaient aussi dans les flexions, etc. D'autres, dont nous parlons ailleurs (Appendice complémentaire, n** 78, p. 766), ont eu rapport aux poutres en fer à double T des planchers, et à leurs assemblages. D'autres ont été faites sur des barreaux de bronze, sur des rails de chemin de fer de diverses formes et provenances ; d'autres Tout été sur des fermes en fer et ont confirmé à peu près les formules établies comme nous avons dit au n" XLIX, p. ccx, ccxj. D'autres,

(») Cours de Mécanique pratique. Résistance des matériaur. 3* édil., 2 vol.

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en grand nombre, l'ont été sur l'acier et sur ses tôles, qui fixent (le plus en plus l'attention depuis que la métallurgie est ^ parvenue à les donner à un plus bas prix, etc.

Espérons que grâce à ces observations multipliées, faites dans un esprit à la fois scientifique et pratique^ les points encore incertains pourront s'éclaircir, et que, la théorie ne restant point en arrière de l'expérience, mais, au contraire, fournissant des formules pour des problèmes qui se sont longtemps soustraits à ses calculs^ on pourra un jour donner des règles et des cbifTres plus sûrs et plus propres à faire remplir aux constructions la double condition de solidité et d'économie, surtout si des expériences prolongées, ou dans les résultats desquels le temps entre comme élément, permettent d'arriver à ces nombres et à ces proportions de réduction des résultats de rupture immédiate, que jusqu'à présent on ne fait presque que conjecturer. (I.n-XLIX.)

Fi:f DE l'dï^^toriqi'e.