PREMIÈRE SECTION

De I» jréffiiitMaae des corps ••llfles.

I. Un corps solide oppose de la résistance à un effort qui tend à le fléchir oi^ à le rompre. En recherchant les lois auxquelles cette propriété est assujettie^ on peut se proposer deux objets principaux : i*" étant donnés la figure d'un corps et les efforts quMi doit supporter, reconnaître si ce corps doit fléchir {*) y

et de quelle quantité , ou s'il doit rompre; ^ déterminer la

(*} Dans raccepUoo générale que Navier donne ici au mot fléchir^ on peut dire que le corps^^cAiï toigours; car, dans la nature, tout corps, quelle qu'en soit la rigidité, cède ou change un peu de figure sous tout effort, même minime.

2 SEGT. I. RÊSISTAnCB DBS 80UDB8.

figure d'un corps de manière qu'il présente sous le moindre volume la plus grande résistance possible à un effort donné.

Les corps paraissent être composés de parties ou molécules, maintenues à certaines distances les unes des autres par des forces opposées qui se font mutuellement équilibre. L'une de ces forces est une attraction propre aux molécules des corps ; l'autre est une force de répulsion due au principe de la chaleur {*). Le jeu de ces forces d'attraction et de répulsion rend raison des principaux phénomènes qui ont lieu quand on entreprend de changer la figure d'un corps. C'est évidemment dans la considération des forces dont il s'agit qu^il faut chercher la solution directe des problèmes relatifs à la résistance des solides.

Les recherches générales^ fondées sur ces notions, sont trop compliquées pour qu'on puisse les présenter dans un cours élémentaire. On se b(H*nera à déduire des résultats simples et applicables, d'hypothèses dont la justesse ait été vérifiée par des comparaisons nombreuses avec les efiets naturels (**).

{*) Ampère objecte (Bibliot univ. de Genève^ 1832, p. 225] que si toute répulsion était due à la chaleur^ il faudrait renoncer à expliquer la chaleur par des vibrations , comme on explique si bien la lumière, car les vibrations supposent des actions répulsives. La répulsion mutuelle est une propriété probablement aussi primitive et inhérente aux molécules, si ce n'est plus, que Tattraction.

(•*) S i« Recherches générales dont parle PaïUeur, — Ces recherche» de mécanique dite moléculaire^ dont la première idée lui appartient 0), se trouvent résumées d'une manière élémentaire dans les premières Leçons sur la théorie mathématique de V élasticité , de M. Lamé, 1852, et aussi au commencement de deux mémoires que nous avons publiés, Fun sur la Torsion des prismes (1855, in-Zi'', ou Savants étrangers, t XIY), l'autre sur leur Flexion (Journal de mathématiques de M. Lioumlle^ 1856). ^

S 2. Hypothèses citées. Possibilité de s'en passer. — * Quant aux

(t) Mémêirê sur VéqfitiUkn et le mmivemeni Vei «oInTm ilaHipM^ lu à FAcadémit le 4 4 nui 4 834 , U VU (4 837} des If énoires de nutiiut,' i

PBiUMIMAIBfiS.

(DU B* t).

hypothèses auxquelles Navier fait aussi allusion, et qui consistent principalement à admettre que les sections transyersales des prismes restent planes après la flexion , Textension ou la torsion de oeux-cl , et que leurs fibres longitudinales résistent tout à fait Indépendamment les unes des autres, elles ont été reconnues In* exactes et conduisant à plusieurs résultats ou foux ou incomplets. Nous montrerons dans les notes qu'on peut s*en passer sans cesser de raisonner d'une manière élémentaire.

S 3. Principe des actions attractives et répulstves, fonctions con^ tinues des distances moléculaires, — C'est uniquement sur ce principe que nous nous appuierons pour ceU* Il consiste en ce que les actions mutuelles entre molécules, ou entre points matériels, dépendent de leurs distances; qu'elles en sont fonctions continues, en sorte que leurs variations très-petites sont proportionnelles aux variations des distances supposées très-petites aussi ; et que ces actions, répulsives pour les distances les moindres, et indéfioiment croissantes à mesure que celles-ci diminuent (ce qui remplace Vimpénétrabiliié des anciens), changent de signe et deviennent attractives pour des distances plus grandes, en croissant d'abord avec ces distances, mais pour décroître bientôt en sorte qu'elles n'ont plus qu'une intensité relativement insensible dès que les distances deviennent perceptibles.

S U* Premières conséquences. Elasticité, — Il en jrésulte immédiatement que les molécules d'un corps solide se maintiennent naturellement les unes relativement aux autres dans un état d'équilibre stable; que lorsqu'une action extérieure les en dérange très-pôu, le changement des distances fait naître des actions nouvelles qui s^opposent plus ou moins énergîquement à la continuation des déplacements commencés, et qui font revenir les molécules à leurs premières positions relatives lorsque la force extérieure a cessé d^agir; ce qui constitue le ressort ou V élasticité.

% 5. Vibrations. Ébranlements, Effets de Vinertie, — Lorsque le retour est prompt, Jl est aussitôt outre-passé en vertu des vitesses acquises, et c'est après plusieurs oscillations et l'extinction de ces vitesses par communication aux corps environnants que ré<)utlibre se

h SEGT. I. BÊSISTANGE DiS SOUDES.

S. Nous considérerons, pour fixer les idées , un corps prismatique. Ce corps peut être soumis à divers efforts, parmi lesquels on distingue principalement :

i* Un effort dirigé dans le sens de la longueur du solide, de manière à le comprimer. Le solide peut céder en s'écrasant, ou bieii en pliant et en se rompant^ si la longueur est suffisanunent grande par rapport aux dimensions de la section transversale.

^ Un effort dirigé dans le sens de la longueur du solide, de manière à retendre. Le corps peut céder en s'allongeant et en se rompant, par la séparation des parties dans une des sections transversales.

Z^ Un effort dirigé perpendiculairement à la longueur du corps. Le corps cède en pliant, de manière que les parties voisines de la face convexe sont étendues et les parties voisines de la &ce concave comprimées. La rupture a lieu si l'extension ou la compression est assez grande pour déterminer la séparation ou récrasement des parties.

rétablit Toute action intermittente ou seulement variable engendre aussi des oscillations ; tout choc ou ébranlement , en donnant de la vitesse à certains points du corps relativement à d^autres, produit des flexions ou autres déformations comme les efforts statiques ou pressions; ce qu*on exprime en mettant Vinertie au nombre des forces capables de déformer un système moléculaire.

S 6. Écrouissage. Énervatian, Rupture.-— Si les écartements ou rapprochements moléculaires produits par Faction constante ou variable des forces ont été Jusqu'à franchir les limites de stabilité des arrangements primitifs, le corps ne peut plus revenir de lui-même à son premier état, et les molécules prennent d'autres arrangements» persiHanis comme les premiers. Ces arrangements nouveaux sont d*abord ordinairement plus stables que les arrangements primitifs, ce qui constitue Yécrouissage. Mais si les efforts croissent, les arrangements deviennent moins stables, ce qui produit YénertatUm qui est suivie finalement d'une désagrégation et d*une rupture. On y reviendra aux notes des n** 3, "21, 118.

ART« I* GOMPRBSSION.

4* Un effort qui tend à Uwdre le corps (*).

ARTICLE PREBOER.

DB LA RÉ8I8TARGB DES CORPS A UN IPTORT QUI TIHD A PRODUIRI

L'éCRASEMERT.

5. Les notions que Ton peut présenter sur cette matière consistent principalement dans l'exposition des résultats des expériences faites sur divers corpsl Les résultats suivants conviennent seulement aux corps dont la longueur est trop petite^ par rapport

aux dimensions de la section transversale , pour qu'ils puissent céder enpUant^**).

n On considère aujourd'hui (voyez notes des n** 152 & 156) une cinquième sorte d'effort, qui tend à faire glisser les parties les unes devant les autres. Ce glissement est à la torsion ce que Textension est au ploiement; mais le glissement a quelquefois lieu sans torsion, par exemple dans le cisaillement d'une pièce solide sous Taotion d'une force transversale s'exerçant parallèlement au plan où la séparation s'opéra

(•*) S 4. Théorie de Vécrasement ou de la rupture des prismes courts par compression,-^ Les recherches faites depuis 1833 permettent d'en établir une qui peut être utile dans plusieurs circonstances. En général une théorie, si eUe est judicieuse* sert tout au moins à combler les lacunes des expériences, qui ne peuvent jamais embrasser tous les cas.

GeUe qu'on va donner est très-simple» puisqu'elle se réduit, comme on verra, à ramener en définitive la rupture par compression longitudinale à la rupture par extension transversale^ supposée d^à étudiée expérimentalement (note du n« 21 ci-après). Mais nous devrons montrer d'abord comment cette extension est une suite nécessaire de la compression quand les faces latérales sont 11** bres ; indiquer déjà la méthode générale d'établissement des conditions de fum^Tvpture ou de stabilité de la cohésion des solides, et

A SEGT. I. HËSlftTAliGB DBS SOLIDES.

(Da n* S).

anticiper un pen sur ce que nous aurons à dire plus tard de la rupture par glissement (aux notes des n** 152 à 155), afin de discuter ici une théorie de Coulomb « admise encore par quelques ingénieurs, et par laquelle il a essayé de ramener Técrasement à ce dernier genre de rupture.

$ 2. La compression toute seule rCest pas une cause de désagré* galion, — Lorsqu^un corps est comprimé, on ne voit pas au premier abord comment il se fait que ses parties puissent être disjointes; et, ainsi que le fait remarquer M. le capitaine du génie Michon dans une excellente Instruction sur la résistance des matériaux ^ rédigée en partie sur des notes de M. Poncelet et lithographiée en 18/i8 à récole de TArtillerie et du Génie de Metz, «le rapprochement des molécules ne peut être une cause d'instabilité, et il est bien évident que si un prisme était comprimé de toute part avec une égale force il ne se romprait Jamais. »

A Tappui de cette assertion du savant officier, on peut citer les effets delà machine si remarquable de M. Blanchard, de Boston, dont un modèle a figuré à Paris, à Texposition universelle de 1855, et qui ploie en quart de cercle d*un petit rayon des pièces de bois d*un fortéquarrissage, sans rien faire perdre de leur résistance, en empêchant de s'étendre longitudinalement les fibres du côté devenant convexe» et de se séparer transversalement les fibres fortement comprimées du côté devenant concave {Moniteur du 13 Juin 1866 , et rapport de M. Mangon aux Annaki des ponts et c?wufséu, novembre et décembre 1856, p. 388).

Aussi « dès le conmîencement du siècle dernier, Moschenbroek avançait qu'un pilier serait capable de supporter tous les fardeaux sHl M se courbait pas (^),

S 3. Essai de théorie de Coulomb, ^ Coulomb a combattu cette assertion de Muschembroek dans ce qu'elle avait d^absolu (*) , et tenté dVxpliquer l'écrasement des massifs de maçonnerie (cfaprès, 2* section, n* 197) et aussi celui des prismes solides trop

i<) Stêoi dephff$iquê , ( W, PH^ 358 de la IradncUon françaiw do liMsuel. (*) S$9ai sur VapflkaUon iet règUi de maxinis et minimis à quelques pro^ bùmet reMif» àTanhiteeture. 'Sannts étringer», 1773, volnnie puMid eo 4 776.

ART. I. CXUIPBBS8I0N.

(Du n* 8).

courts pour fléchir, en disant que lenr partie supérieore peut glisser obliquement sur leur partie inférieure, ce qui est ramener la résistance à Técrasement à cette résistance à la rupture par glissement transversal dont nous nous occuperons particulièrement plus loin (notes des n"* 152 à 155}. Soit, par unité superficielle, T la grandeur de cette dernière résistance supposée déjà connue par des expériences spéciales et s'exerçant ici parallèlement à une face de séparation AG; et soit a Tangle Inconnu de cette face avec la base ou la section droite AB=(i> du prisme dont

la tôte est chargée d*un poids P. Gomme

Taire de AG est •~^, et comme la compo-

cosa' '^

santé de P suivant cette face inclinée est

Psina^ Goulomb pose, pour Tinstant de la

raptore^ Téquation P8inci = T

COStt

d'où

2Ta>

. ^ , expression dont le minimum, répondant à a demi-droit, est P=i2Tw. D'où rillustre physicien-Ingénieur concluait qu'une pression longitudinale P disjoindrait le prisme par glissement oblique si elle était seulement double de la force Q = Tw capable de le disjoindre suivant BA par glissement perpendiculaire à ses arêtes, ou de la force capable de le rompre par extension, car quelques expériences lui faisaient juger ces deux dernières forces & peu près égales. Et Ton aurait, aujourd'hui, seulement V^^fi au lieu de 2 fols la force Rw rompant par extension en mettant pour T, dans P=2Tw, la valeur comparative plus approchée 0,8R qui lui sera assignée aux notes des n°* 152 à 155.

A l'appui de cette théorie ingénieuse on a cité quelquefois diverses expériences où des prismes soit de pierre, soit de fonte de fer, d'une hauteur comprise entre 1 et 8 fois la largeur, se sont partagés par la compression en pyramides ou en coins qui s'écartaient mutuellement en glissant Tun contre l'autre.

Mais les résultats qu^elle fournit sont beaucoup trop faibles, oar leê expériénoes sur l'éorasement de la fonte, par exemple, ont

s SECT. I. BfiSUTANCB DES SOUDES.

(Do n* S).

donné de /i à 9 fols la force Ru qui rompt par extension « et non pas i'«"»,6.

On peut aijjoard^hal reconnaître en qnoi elle pèche, et en substitaer une autre à la fois plus simple et plus proche des faits.

S A« Cause générale assignable aux ruptures ou aux énervationsm Dilatations^ et limites à leur imposer, — Disons d'abord ici, en général , que lorsque des forces appliquées à un corps et y produisant de petits écartementB moléculaires viennent à le rompre, ou seulement à énerver sa contexture de manière à préparer une rupture prochaine ou éloignée, c^est (dernière note du n* i) parce que les dilatations ou les rapports des écartements aux distances primitives entre molécules sont arrivés à excéder, dans un sens ou dans un autre, un certain taux qui est relatif au mode de coptexture du corps dans ce sens (voyez le S 8 ci-après et le $ 16 de la note du n* 113)« C*est ce que Ton conçoit de suite lorsque les forces agissent par traction longitudinale sur un prisme ou un fil solide. On peut le concevoir encore facilement lorsqu'une force Q agit transversalement très-près d'une de ses sections droites, telle que BA(mème figure) , pour faire glisser devant elle une section B'A' très-voisine; car cette force change eu losanges les petits carrés mnop ayant leurs côtés parallèles et perpendiculaires à sa direction, ce qui dilate nécessairement les diagonales np; et c'est à ces dilatations k &5 degrés qu'on doit attribuer la rupture par glissement sur BA lorsqu'elles viennent à excéder une certaine proportion, ou lorsque la force Q qui les produit vient à dépasser la valeur T x &> pour laquelle cette proportion des dilatations obliques est atteinte.

S 5. Effets contraires des deux composantes obliques du poids comprimant , et nécessité de renoncer au raisonnement du $ 3. — D'après cela, si la composante Psina du poids supérieur P existait seule t et agissait directement contre la face AG de rupture hypotiiétique, on comprend qu'il faudrait l'égaler, avec Coulomb, au

produit T X AG = T pour exprimer la condition de juste résistance à la rupture par glissement le long de cette têce; cela reviendrait à Imposer aux dilatations des diagonales n'p' de petits carrés

ART. L GOMPBBMION, 9

(Dtt ■• S).

m'n'oy^ produites par on commeDcement de glissement, de ne pas dépasser la limite reconnue dangereuse. Mais il y a^ en outre ^ une composante Fcosa perpendiculaire à AC, dont Coulomb ne tient

pas compte ; son action diminue (si môme elle ne Tannule) la dilatation des petites lignes n'p\ due à la composante Psina. On conçoit donc que le poids comprimant P ait besoin d^ôtre beaucoup plus fort, pour amener une disjonction, que s*il était réduit à une de ses deux composantes comme dans le raisonnement du $ 3.

Il convient donc d*abandonner la considération des glissements obliques, et d'imposer directement une limite aux dilatations qui peuvent accompagner la compression exercée par la force P tendant k écraser le prisme.

S 6. Dilatations ou contractions transversales qui accompa' gnent les contractions ou dilatations longitudinales des prismes lorsque leurs faces latérales sont libres. — Ces effets transversaux résultent nécessairement du Jeu des actions moléculaires répulsives et attractives, fonctions des distances, dont il a été parlé au n* i et à sa dernière note; car tout rapprochement de deux molécules m, m, situées 9ur une môme parallèle aux arêtes du prisme, tend à écarter Tune de Tautre deux molécules telles que 9ï,n, situées sur une même perpendiculaire, puisque, comme les distances de celles m à celles n diminuent, elles les repoussent plus ou les attirent moins ensuite qu*elles ne faisaient avant. Et si toutes se rapprochent longitudinalement, tontes aussi s'écarteront transversalement , en supposant que les faces latérales du prisme soient libres ou que rien ne les contienne ou ne les comprime elles-mêmes.

n y a donc une dilatation transversale par suite de la contraction longitudinale^ dont elle est une certaine fraction ; Araction que nous supposerons moyennement égale à

comme nous dirons au S 5 de la note du n* 21. De même toute dilatafi<m loogltodinale très-petite produira une contraction transversale , aus^ d*un quart pour le même prisme»

10 SEGT. 1. BtSISTARGE DBS SOUDES.

(Du n* 8).

S 7. Condition théorique de la résistance à la rupture par cornpression , en supposant connue la résistance à la rupture par ex^ tension, — Un prisme courra ainsi le danger de rompre par compression longitudinale lorsque sa contraction^ ou le quotient, par sa longueur, de son accourclssement supposé uniformément réparti (fun bout à Vautre (voyez à cet égard la démonstration du S 3 de la note du n"" 21) , sera arrivé au quadruple de la dilatation reconnue dangereuse, ou sous laquelle il romprait par extension sMl est de nfème contexture longitudinalement et transversalement.

Donc, si les contractions et les dilatations ont un même rapport constant avec les charges qui les déterminent (môme paragraphe de la note du n" 21), on voit quVn prisme d'égale contexture en tous sens, et dont les faces latérales sont libres ^ rompra par compression longitudinale , ou éprouvera ce commencement de désagrégation qui amène la séparation et Técrasement, sous une charge quatre fois plus grande que celle qui le romprait par extension*

S 8. Modifications à y apporter. Diminution des dilatations latérales par suite de ce que les bases pressées ne peuvent s'étendre. Influence possible de la dilatation ou contraction cubique ou de volume. Corps ^breux.— dette théorie fort simple, due à M. Michon, est ce qui a été proposé de plus satisfaisant sur la résistance à récrasement .

Un grand nombre d'expériences y sont favorables, car (voyez, après le n** 168, le complément de Tarticle I] les pierres dures et compactes se divisent en lames ou aiguilles verticales avant de se réduire en poussière par la compression ; les fibres longitudinales des bois se désunissent, et les pièces de fonte très-courtes se gercent sur les bords de manière à prendre en s'aplatissant la forme d'une rosette; faits annonçant bien des séparations transversales, qui se manifestent aussi dans les pièces de fonte fléchies , puisqu'il s'en détache latéralement, comme on verra (complément de l'art IV) une sorte de coin du côté concave qui est comprimé longitudinalement

Les forces qui écrasent la fonte de fer et les mortiers ont été trouvées, il est vrai, moyenne mmit 6 fois et demie et 8 ou IQ fois (au