ARTICLE IL
DE LÀ RÉSISTAlf CE DES CORPS A UH EFFORT DIRIGÉ DANS LE SENS DE LA LOtrcnEUB t QUI TBID A PRODUIRE L'CXTERSIOE ET LA RUPTURE.
SI. En considérant un corps tiré dans le sens de la longueur, on peut se demander de connaître deux choses ! 1*" la quantité dont ce corps s'allongera pour un effort donné ; i" TefFort nécessaire pour séparer les parties et opérer la rupture. Il existe peu d'expériences directes^ faites dans la vue de déterminer la quantité dont un corps s'allonge sous un effort donné; mais, comme on le verra dans la suite, cette détermination peut être conclue des expériences faites sur la flexioni La résistance à la rupture des corps tirés dans le sens de la longueur est l'objet (Jont on s'est le plus occupé i et le seul dont il s'agira dans oet article. Les notions que nous présenterons sur oe sujet se bor* nênt encore ici à l'exposition des résultats obtenus par TexpériencQ«(*)-
les tableaux d'expériences propres à fixer les yaleurs numériques des coefficients des formules seront présentés immédiatement avant Tartiole Vli» où Navier propose les nombres à adopter pour ces ooefflclents* et les règles pratiques qui en découlent
(*)§!. Résultats généraux des expériences. — Elles ont appris que les efforts capables de rompre les prismes par traction sont sensiblement proportionnels aux superficies de leurs sections transversales pour même matière.
Elles ont aussi montré (car il en a été fait beaucoup depuis 1833, sur les allongements ou accourcisaements sans rupture) que les dilatations extrêmement faibles» ou les allongements très-petits par unité de longueur des prismes, sont constants d'un bout à Tautre et proportionnels aux forces de traction par unité superficielle des sections; qu'une méfie force , appliquée sucoessivement comme traction et comme pression, produit le même changement de longueur, pounm toiûoun qu'il soit fort petit; enfin que toute dila*
(Dan- M).
tatioD loDgitQdiûale est accompagnQée de contractions latérales d*une proportion moindre, ce qui est analogue à ce que nous avons vu pour les contractions.longitudlnales au $ 6 de la note du n"* 3.
Pour nous préparer surtout à reconnaître rationnellement une loi analogue dans un cas plus composé (celui de la flexion), et & préciser la condition sous laquelle elle est tout à fait exacte, nous allons montrer comment on peut déduire théoriquement celle-ci du seul principe (dernière note du n* 1) des actions attractives et répulsives fonctions continues des distances entre molécules très-procbes.
S 2, Proporlîonnalité des efforts avx qffets très-petits ^ obtenus également dans deux sens opposés. Théorème de superposition ou de composition géométrique correspondante des forces et des petits déplacements qu* elles engendrent. — Considérons pour cela qu'il résulte d*abord, de cette continuité des fonctions, que lorsqu'on augmente très-peu les distances, les molécules exercent les unes sur les autres, en sus de leurs actions primitives se faisant équilibre sur ciiacune , des actions nouvelles proportionnelles à ces petites augmentations^ et que d'égales diminutions des distances développent des actions égales, mais de sens opposé. Gomme les forces extérieures, dont Tapplication a modifié les distances, font équilibre aux résultantes des actions intérieures ainsi développées, il est facile de conclure immédiatement:
i*" Que les dilatations, flexions, torsions très*petites, par lesquelles se manifestent les changements des distances, sont proportionnelles aux forces extérieures qui les amènent;
2* Que des forces extérieures qui ne diffèrent que par le sens de Faction amènent des modifications égales et opposées, comme par exemple des contractions au lieu de dilatations de niôme grandeur;
3* Que ai des déplacements très-petits sont résultants géométriquea de plusieurs autres, ou ont, sur les lignes de jonction des molécules , des projections sommes algébriques des projections de ceux-ci, ils développent des actions intérieures dont chacune est aussi somme algébrique de celles que développeraient les déplacements composants» puisque ces projections donnent les petits cban-
(ihi B* ai ).
gementa de loB^eur dont dépendent les actions déTeloppéea. Par suite, réciproquement, let petit» diplacemenU du* à divertea forces extérieures te superposent, ou se composent géométriquement «nsemble lorsque ces forces s'exercent simultanément sur un corps.
S 3. DéiTumsiration de la proportionnalité des forcer de traction longitudinale aux superficies des bases des prismes ainsi qi^aux dilaiaiions, et de Fégalité de celles-ci dajis toute retendue du prisme quand les forces sont appliquées et également réparties sur les bases. Contractions transversales aussi égales partout dans chaque sens.— Soli m&lntenant un corps prismatique. Partageons-le en fibres b-ès-mlnces etégales par deux systèmes de plansortbogonaux parallèles à ses arêtes, puis ces fibres en éléments paralléllplpëdes par des plana transversaux équidistants. Si l'on étend tous ces éléments dans le sens longitudinal AB, les molécules m, m de cliacun d'eux s'éloigneront de celles m', m' des éléments qui les touchent par leurs bases, ce qui, en augmentant les attractions et diminuant les répulsions, engendrera des actions attractives totales d'un élément sur l'autre k travers ces bases. Les molécules m, m s'éloigneront aussi, mais moins, de celles n, n dos éléments latéralement contigus, ce qui dévoKq)pera !k travers les Taces latérales des actions résultantes aussi attracilvcs, mais moindres. D'où il suit immédiatement que pour que les éléments dllatéslongitadinalementD'exercent transversalement l'un sur l'autre aucune action, il faut que leurs dimensions transversales se contractent , mais moins que leur longueur n'a été dilatée. Ceci établi, supposons que tous les éléments aient éprouvé ainsi ia même déTonnatlOD ou les mêmes altérations de dimensions, dans des proportions telles que leurs actions les unes sur les autres soient nulles à travers leurs faces latérales, tandis qu'& travers leurs bases les actions mutuelles résultantes, dirigées longitudinalement, soient mesurées par les superficies très-petites de ces bases multipliées par une constante p. L'ensemble sera en équilibre si, les faces latérales du prisme n'éprouvant aucune action extérieure, ses deux bases extr&mes sont soumises & des tractions
ABT. U. BXTENSIOlfi^ 17
(DU n* M).
opposées po», également réparties sur les divers éléments de leurs superficies «a.
Or un système de points matériels ne peut se comporter que d'une seule manière sous Taction de forces qu^on y applique; et le problème de ses petits déplacements est tout à fait déterminé lorsque ces forces sont données. Donc, réciproquement, t<mt prisme homogène dont les faces latérales sont libres et dont les hases sont tirées^ en sens opposé^ par desfofbes normales^ égales et éga^ lement réparties sur leurs superficies^ éprouvera^ dans toutes ses fibres et dans toutes les parties de chacune éTelles^ des dilatations égales^ et en même temps des contractions transversales moindres et dans un rapport déterminé avec les dilatations longitudinales. Et ces dilatations seront proportionnelles aux forces par unité des bases, même lorsqu'elles changeront de signe et deviendront des contractions^ sous Taction de forces pressant les bases au lieu de les tirer.
S A. Expression de cette loi. — U eA résulte que si :
u> est Taire de la section ou base de prisme ;
L sa longueur;
/ l'augmentation positive ou négative que cette longueur a subie ;
tssf rallongement proportionnel supposé très-petit, que nous
avons aussi appelé la dilatation positive ou négative (--t étant ce qu'on appelle aussi la contraction) ;
P la force qui aura produit Textension / (ou la compression — /), et qui est supposée appliquée longitudinalement et uniformément répartie sur chacune des deux bases;
E, V], r/ des coefficients qui dépendent de la matière du prisme et
de sa contexture en divers sens ;
P L'allongement l sera proportionnel à la longueur L et à TelTort -
par unité superficielle de la section t», ce qui s'exprime par l'égalité
P=E«^ = E««, d'où t=^.
L Eb)
Et les contractions latérales, aussi positives ou négatives, pourront être représentées, dans deux sens transversaux rectangulaires, par
18 8BCT. I. BÊSISTINGE DES SOLIDES.
(Dun* M).
^t.Vi OU n^. V-;.
S f» Cœffieifnt ou module éTilasticité E. Rapporté n* V ^' con^
tracttom latéraleê aux dilataiions longitudinales ^^lA constante E»
rapport de Teffbrt ^ exercé sur Tunité âe surface des bases du
priÉme , à rallongement ou raccourcissement t == s- par unité de
longueur, est ce qu'on appelle le Coefficient ou Module d'élasticité d'extension de la matière du prisme , pour la direction où elle se trouve sollicitée (*}. On en verra, au n' 77, une autre définition qui y est équivalente. Son unité est le quotient d'une force (soit le kilogramme) par une surface (soit le mètre carré, et quelquefois le centimètre ou le millimètre carré).
Quant aux deux constantes v), y)', qui sont des fractions purement numériques , elles sont égales entre elles quand la contexture de la matière est la mémo dans tous les sens transversaux^ comme !l arrive ordinairement, par exemple, dans les barres métalliques rondes. Nous donnerons aux notes des n^* 152 et 153 les considérations théoriques qui ont porté à adopter
ri -m
quand cette contexture est égale dans tous les sens , même le sens longitudinal ou les sens obliques. Des expériences de M. Wertfaeim ont donné à peu près 1/3, mais pour des tiges de métal qui pouvaient ne pas remplir tout à fait cette condition d'égalité. En tous cas, et quelle que soit la contexture, ces coefficients t) , t)' ne sauraient atteindre 1/2 ; on peut remarquer déjà ici que le volume
(*} Thomas Young, qui a , le premier, considéré ie module d'élaslicitè (j4 courte of Lecturn on naiural Philotophy and the Utechanieal arts, London, 4807, roi. I, p. 437, et yol. II, p. 46, arU 349), le déGoii: « Uoe colonne ajant un poids qui loit au poids capable de donner une certaine compreisinn à un prisme de même matière et de môme base (prise pour unité) comme la longueur de ce dernier ,/\
prisme est à la diminution de sa longueur. > 'i
La hauteur du module reyienl éridemment, d'après cela, au quoUent de notre ooefficienl E par le poids de l'unité de rolume de la matière; quolieat qui Tarie bieo moins que le nombre B , car celui-ci , pour dÎTorseï variétés d'une même ma-
llère , augmeaie avec U dtnilté.
