ARTICLE III
DE LA RiSISTANGB I>^N CORPS FRISUATIQUE A LA FLEXION PRODUITE PAR Uir EFFORT DIRIGE PERPSrfDIGULAIREMElfT A LA LONGUEUR DE CE CORPS.
76. Quand un corps prismatique est tiré dans le sens de la longueur, tous les éléments longitudinaux^ ou fibres^ s'allongent. Si le même corps est comprimé^ et qu'il ne puisse céder en pliant^ les fibres s'accourcissent. Lorsque les allongements ou accourcissements sont très-petits, ils sont proportionnels à l'effort qui les produit. La variation de longueur d'un corps > pour un effort dcmné, est d'ailleurs évidemment proportionnelle à la longueur de ce corps {*).
77. Quand un corps prismatique est fléchi^ les fibres situées du côté de la face convexe sont allongées; les fibres situées du cAté de la face concave sont accourcies; certaines fibres, situées dans l'intérieur du corps , conservent une longueur invariable. En admettant^ conformément à ce qui a été dit ci-dessus , que les fibres opposent à l'allongement et à raccourcissement des résistances proportionnelles aux quantités dont les longueurs de ces fibres varient , on peut se rendre compte de la manière dont un corps résiste à la flexion.
Soit un solide prismatique droit (fig. 1 des planches à la fin du volume) encastré horizontalement à l'extrémité A^ et fléchi par l'action d'un poids P suspendu à Tautre extrémité B. Considérons une section transversale quelconque mana'. Soit aa' la ligne horizontale qui est la section des fibres dont la longueur n'a pas varié (**). Il est nécessaire, pour l'équilibre de la partie
(*) Ces principes ont été Réduits mathématiquement^ à la note du n* 21, de celui des actioqs Qioléculaîres fonctiona continues des distances.
(**) L*auteur suppose cette ligne aa' perpendiculaire au plan
28 SECT. I. RÊSISTAMGB DBS SOLIDES.
du corps située à droite de mono' : 1* que les extensions et compressions des fibres aient fait naître^ dans cette section^ des forces verticales dont la somme ^ale le poids P (*) ; 2* que la somme des forces horizontales produites par ces extensions et compressions soit nulle; 3* que la somme des moments des ferces verticales et horizontales dont il s'agit, et du poids P^ pris par rapport à Taxe fixe aol^ smt nuOe.
On nommera
E la force nécessaire pour allonger ou pour accourcir un prisme dont la section transversale est l'unité superficielle « d'ime quantité égale à la longueur de ce prisme.
p le rayon du oerde oscillateur de la courbe du solide^ au point où osi fiiite la section transversale mana\
M Tabsdsse d'un point quelconque de la section ama'n, comptée sur acf.
p Tordonnée d'un point quelconque de cette section, prise perpendiculairement à aol.
h la plus grande valeur de u.
fiU l'ordonnée pm de la courbe qui termine la partie de la • section transversale où les fibres s'allongent
f^u l'ordonnée pn de la courbe qui termine là partie où les fibres s'accourcissent.
X la distance de la section transversale anutn h Textrémité encastrée.
a la distance du point d'application du poids P à rextrémité
vertical de êollicUation ABP. Gela n'a pas toujours lieu. (Voyez ci* après la note du n* 83).
(*} oh montrera , aux notes des n*' 152 à 155, que ce ne sont pas les extensions et compressions des fibres longitudinales, mais Tinclinalson qu'elles prennent sur la section, ou ce qu'on a déjà appelé le glissement (note du n* 8) qui fait naître les forces transversales gu verticales dont la soiqiQe égale Iç poids P«
ART. m. FLEXION. 20
encastrée, qui ne diffère pas sensiblement de la longueur AB du solide.
Dans rétat naturel du corps, dx est la longueur de la portion infiniment petite de la fibre dont les coordonnées sont u, v.
Après la flexion, cette longueur a augmenté de — v, parce que
dx Tangle des deux normales consécutives est — . La proportion
suivant laquelle cette fibre s'est allongée est donc
dx
L'aire de la section transversale de la fibre étant dudv^ la résistance qu'elle oppose à l'allongement est
E . dudv . - ;
et le moment de cette résistance, pris par rapport à l'axe oa', est
E . dudv . — .
Par conséquent les sommes des résistances des fibres étendues et comprimées sont respectivement
pjo Jo PJo Jo
et la somme des moments de ces résistances^ pris par rapport à l'axe aa\ est
78. On aura donc pour exprimer l'équilibre des forces horizontales^ condition qui détermine la situation de l'axe <ul,
Jo Jo Jo Jo
50 SEGT. I. BÉ8ISTANGE DES SOLIDES.
Uaxe od passe par l6 centre de gravité de la section transversale tMKOXi,
79. On aura ensuite, pour exprimer Féquilibre de rotation autour de cet axe,
On néglige les moments des forces verticales, ce qui est permis quand Tépaisseur du corps est petite par rapport à sa longueur (*). n est nécessaire d'ailleurs que l'épaisseur du corps soit petite par rapport à sa longueur pour que les allongements .et accourcissements des fibres, et les forces intérieures qui en résultent, soient telles qu'on le suppose ici; et les résultats suivants ne peuvent être appliqués lorsque cette condition n'est pas satisfaite.
