La quantité

\Jo . Jo Jo Jo /

a, pour chaque corps, une valeur qui dépend de la nature de ce corps et de la figure de la section transversale. Cette quantité est le moment de la résistance à la flexion, ou plus simplement le moment de flexion du corps. Nous la représenterons ci -après par la lettre e. Quand la figure de la section peut être partagée par une ligne horizontale en deux parties symétriques, cette ligne est Taxe d'équilibre qui contient les fibres invariables, et à partir de laquelle il faut prendre la valeur de l'intégrale

E[^du{f'''dv.v\

{*) Ces forces verticales dont la somme, comme on a dit, égale le poids P, se compensent d'ailleurs, quant au moment, comme tendant à faire tourner également dans les deux sens. Il n*en faudra pas moins tenir compte (voyez notes des n** 152 à 155), soit dans le calcul complet de la flèche ou ordonnée extrême, soit dans Téquation exprimant la condition de non-rupture , des glissements qui engendrent ces forces.

dont le double est alors la valeur du moment de résistance à la flexion. Dans le cas contraire, il faut déterminer d*abord la position de l'axe d'équilibre, au moyen de la condition exprimée n"" 78, et calculer ensuite séparément- les valeurs des deux intégrales qui entrent dans l'expression de ce moment {*).

(♦) $ 1. Notations et âhn&nstrations plus simples. Moments ff inertie des sections. — La quantité entre parenthèses des n?* 77, 79 et 80, ou celle e dégagée du facteur E, n'est autre chose que le moment (Tinertie de la section ma'na (supposée avoir TuDîté de masse par unité superficielle) autour de la lign£ des fibres invariables aa\ ainsi que Ta remarqué le premier M. Persy, dans son cours de stabilité des constructions, lithographie en 1831 à TÉcole de Metz. Aussi, dans les cours faits à TÉcole des ponts et chaussées depuis novembre 1837, on a simplifié les notations en

mettant l v^dAù ou bien une seule lettre pour ce moment d'inertie

\ du V dv.v* + 1 dw Y ■ dt>.tj*; V désignant une Intégrale re-

lative à toute la section «d. En appelant donc» comme M. Poncelet, I ce moment dMnertie /i?*dû>,

M le moment, autour de la même ligne des fibres invariables tracée sur la section quelconque (o, de la force ou des forces extérieures en nombre quelconque qui sollicitent le prisme entre cette section w et la deuxième extrémité du solide ;

L'équation d'équilibre de rotation entre les forces extérieures et intérieures autour de cette même ligne, s'écrit simplement

PJ, P

et celle d'équilibre de traosUtien longitudinale du n* 78

où les V sont les distances positives ou négatives des diverses fibres à cette ligne.

On a, ainsi, renoncé à appeler moment d'élasticité^ conune faisait

32 SLGT. I. BÊSISTANCE DES SOLIDES.

(Da B* 60).

Navier en 1826, ce produit El qu'il désigne par e et quMl propose»

en 1833, d'appeler momerd de flexion; et Ton applique plutôt cette

El dernière dénomination au moment M = — des forces qui produisent

la flexion ou des forces qui Tarrétent, de même que nous appellerons plus loin moment de torsion le moment des forces extérieures qui produisent la torsion , ou le moment égal des forces intérieures qui résistent à ce qu'elle augmente.

On appelle aussi maintenant, d'une manière plus précise, p le rayon de courbure, non pas de la courbe du solide ou d'une quelconque de ses fibres, mais de son axe^ ou de la fibre qui passe par les centres de gravité de ses sections, et qui est aussi , dans le présent exemple^ Tune de celles dont la longueur rCa pas varié. On peut dire, ainsi, très-simplement et élémentairement (sans par]er do

dx l'apgle infinitésimal — de deux normales consécutives) que l'arc de

fibre invariable et Tare de fibre quelconque, compris entre deux sections très-voisines, sont entre eux comme leurs rayons p et p + v, ce qui montre de suite que la proportion de l'excès du second arc

sur le premier, ou la dilatation de la fibre, a pour mesure -.

Ou bien , pour représenter aux yeux ce qui se passe, on figure comme ci-contre, dans les cours d'Arts et métiers, la coupe longitudinale de laportion du prisme comprise entre deux sections dmoe^ d*m'o*e\ par un plan qui contient la fibre quelconque mkm' et qui est perpendiculaire à la ligne o des fibres invariables; car si C est le point de rencontre des coupes de, d'e' des deux sections, on a Co==Co'a-p, om=:o'm' =Vf en sorte que, o'k étant une parallèle menée à od, comme la longueur primitive de la fibre était oo' = mk^

la dilatation qu'elle a éprouvée est — j , égal àTrr = - d'après la

00 \jO p

similitude des triangles isocèles m'o% oCo*. S 2. Hypothèses tacitement invoquées. Elles ne sont point nêces»

AttT. m. FLEXION. T/S

( Da B* 9#).

jotref. — Hais cette démoDstration, comme celle du texte, se fond . sur deux hypothèses, savoir :

1* Que les sections primitivement planes et normales aux fibre rectilignes du prisme sont encore planes après la flexion, et normales à ces fibres devenues courbes ;

2* Que les fibres se comportent comme feraient de petits prismes isolés» ou comme si elles étaient sans action les unes sur les autres.

Or, malgré quelques expériences qui paraissent favorables à la première» on peut tenir pour certain et nous montrerons qu^elles sont toutes deux fausses, excepté dans le cas très-particulier de la flexion égale ou en arc de cercle^ qui est celui où les forces agissant aux extrémités n^ont pas de composante totale transversale. Dans tout autre. cas, les sections planes se changent en surfaces légèrement courbes, sur lesquelles toutes les fibres, hors celles des faces latérales, prennent une petite inclinaison, et ces fibres en glissant uo peu Tune devant Fautre se sollicitent alors mutuellement dans le sens de la longueur par une sorte de frottement.

Heureusement qu^on peut obtenir les formula sans ces deux hypothèses, au moins pour les prismes dont là matière a une contexture qrmétrique par rapport aux sections perpendiculaires à leurs arêtes ; cela tient à ce qu*alors le glissement relatif des fibres n*influe pas sur les tensions longitudinales de chacune d'elles, et à ce que toutes l68 sections planes se changent, comme on verra, en une même

surface courbe , de sorte que les portions de fibre nn' qu'interceptent ces sections figurées par les coupes infléchies/o5r,/o'5r' ont les mômes longueurs et par conséquent se sont di-

latées dans les mêmes proportions -que si les

sections étaient restées planes et normales aux fibres. D'où nous pourrons conclure que les formules ci-dessus, bien qu'incomplètes ou ne donnant pas tout, sont toujours exactes dans ce qu'elles donnent ,

sons la condition, toutefois, comme pour la formule P:=E(i>|- d ex-

SECT. I. RtSISTANCB DBS SOLIDBS.

(Du n

teaslon simple (S C de la nota du n* 3i}, que lea foreet Mrilioltantw soieDt appliquées et distribuées d'une eertijH nuLBiire wf Im bases extrêmes du prisme.

S 3' Démonsiratùm des/ormvier de lajlexion dam h cas o4 elle a lieu iTum manière égale ou en arc de cercle. Modtjlcattona tiaïuverialea. — Pour le faire voir, et démoatrer alaai eiactement ces rormules en même temp* queee qui devra le» compléter, proavoas d'abord qu'elles sont vraies dans le cas le plus simple, celui où un prisme AOB, d'égale contexture daus les sens transversaux, a été flécbl comme nous avons dit d'une manière égale , toutes les fibres s'ëtant courbées en arcs de cercle dont nous supposerons les centres sur une mfime droite G, Intersection commune des sections restées

normales It ces fibres dont chacune a éprouva d'un bout i l'uitri une même dilatation ou contraction, nulle pour celle AOB qui passe par les centres de gravité. II noue suffira degénéraliser la démonstration à posti-riori donnée de la formule de l'extansion au $ 3 de la note du n' 31, eu montrant que les fibres peuvent encore ici , sans perdre leur contignïté, éprouver toutes ensemble des contractions latérales positives ou négatives qui soient à leurs diverses dilatatlonalODgitudinales dans le rapport constanti (soit 1/4), qui est tel qu'elles ne se pressent pas l'une l'autre normalement (S 5 de la note du n* 31}. Or cela est facile. En effet , al la fibre centrale AOB est restée de mâme longueur, celles situées au-deasus et au-dessous, dans le même plan cok, et dont les rayons excèdent celui p de quantités positives on négatives r, se sont trouvées dilatées loaslttidlna-

(Do H* M).

lement 4d -; or contricto.DA-les d'abord traDaversalemeot dans le«

proportions Y} -, suiraot ces rayons p+v ; puis obangeons la ligna P

(tob tiréo ^ur 1^ W>U()n par son centre de gravité parallèlement à h droita Q ou ççç^ en un arc d9 cercle a^ob^ de même longueur,

ayant 60B rayon oA égal à ^ (soit Ap si 11=3 1/4), dans le prolonge'

.nxeiit du .rayon de oourbure 00 s p, et obangeons enfin, sur la sec^ tion, toutes les lignes matérielles parallèles à aob en arcs concentri*ques dont les lignes perpendiculaires sont devenues les rayons. I en résultera (quelle que soit la forme du contour des sections, quo nous avons figuré rectangulaire pour fixer les idées) que les fibres

aoroot été contractées, dans le sens parallèle h ccc^ do -^jï-

eomme elloi le sont d^à dans le sens perpendiculaire. Comme leun dilatationa toagitudinales positives ou négatives sent représentées

par -, pn voit ($ 6 de la note du n* 3 et S 3 de la note du n* 21)

qu'elles nese presseront ai ne s'attireront Tune l'autre normalement

et que leurs tensions longitudinales seront bien 6 - par unité de

l#oni sectipos ôm^ com7n$ si elles étaient isolées,

pppc le prisine fléchi « dont los pojpts ont éprouvé les déplacemeots longitudinaux et transversaux ain$i supposés, qui sont, comme 00 voit, possibles çt compatibles s^ns disjonction, est en équilibre si , SOS faces latérales ne supportant rien , Ton applique aux di-

vers Mmetktsdta des deux bases des traotions longitudinales £ - d«».

Béciproquementi comme un système de points matériels dérangés très-peu de leurs positions ne peut prendre qu*un seul état d*équilibre^ sous Taction de forces données ; ou comme le problème des petits déplacements des points d'un corps élastique est complètement déterminé quand on donne les forces extérieures qui les produisent, on voit que : Lorsqu'un prisme dont les faces latérales ne supportent aucune action aura ses bases extrêmes «ii sollicitées nor-

( Du n« 80).

malement par des tractions Ed^- (tant positives que négatives)

proportionnelles aux'distances v des éléments cba àdes droites tracées de la même manière sur les deux bases par leurs centres de gravité, il éprouvera précisément les déplacements tant longitudinaux que transversaux que nous venons de supposer, c*estr4-dire une incurvation en arc de cercle dans un plan parallèle aux arêtes

et à la coordonnée v, avec des dilatations longitudinales- partout ,

des contractions latérales r^ -, et, aussi partout dans Tintérieur, les

mêmes tractions longitudinales - véUù que si les fibres étaient isolées .

S A. Cas général de lajlexion inégale ou nori, circulaire. Glissements qui raccompagnent nécessairement, Iriflexion des sections primitivement planes. — Passons au cas plus général, et le plus ordinaire, de la flexion non circulaire, dans laquelle Tinégalité de la courbure d'un bout à Tautre du prisme est déterminée par des forces transversales dont nous désignerons, comme dans le texte, par P la

composante totale dans un sens parallèle à celui de flexion ou à la coordonnée que nous avons appelée v, en supposant comme Navier (uniquement pour fixer les idées), que le prisme d'une longueur AB=a est encastré à Textrémité A opposée à celle où agissent les forces qui produisent ainsi un moment M=P(a*a;) autour de la ligne v=0 tracée sur la section quelconque <i> dont Tabscisse est Afa = x. Observons d'abord (comme nous avons avancé) que si la ma* tière du prisme a une contexture symétrique par rapport aux diverses sections co perpendiculaires à ses arêtes avant la flexion, le petit glissement relatif qui peut avoir lieu entre les files longitudinales de molécules n'influe aucunement sur la tension aussi longitudinale des fibres : car si la file comprenant les molécules g, q' a glissé de qq^ = q*q\^ devant la file comprenant celles p,p' supposées symétriquement placées, comme les premières^ par rapport au plan

jnn d*ttiie section transversale w, il en résultera, dans la composante lon^tudlnaie de Faction de p sur q', une petite augmentation ou diminution exactement compensée par la diminution ou l'augmentation de la composante de Taction, sorp\ de g devenu q^; d'où il suit que la résultante des actions des molécules de la gauche sur lesmoléculesdela droite de lafacem/t, ou la tension de la fibre dont rélément mn= do» est la base, ne dépendra toujours que des dilatations ou contractions longitudinales et transversales de cette fibre, et nullement des glissements.

Or supposons, aux points du prisme, les mêmes déplacements que 8*11 avait d'abord été fléchi comme tout à Theure (S 3), ou que ses sections fussent restées planes et normales aux fibres étendues

longitudinalement dans des proportions - et contractées latéra-

lement dans des proportions >] - , mais avec une courbure unifor-

méniefU vcariable -= ■ J7 * P^^^» ensuite, que les fibres inva-

P Ëi

riables ou jrépondant & v=:o étant restées à la même place, on

eût fait glisser très-peu toutes les autres fibres les unes contre

les autres sans en changer la longueur, en transformant ainsi

les sections planes en surfaces doe^ dVe' légèrement courbes, mais

coupant toujours normalement les faces latérales du prisme. Ces

surfaces auront toutes sensiblement la même forme ainsi que la

même inclinaison sur une même fibre quelconque^ car les diflTô-

renées qui existent dans les contractions latérales successives i]-

de cette fibre, en raison de la variabilité de -, n'exerceront sur ces

inclinaisons qu'une influence négligeable. Or les inclinaisons, sur les sections, des fibres ou files de molécules qui leur étaient primitivement normales, ou ce qui revient au même, les glissements des sections les unes devant les autres, engendrent des actions tangentidles (note du n* 3 ou notes ci-après des n** 152 à 155); ces actions auront donc, pour toutes les sections, les mêmes grandeurs et la mèmesomme de composantes dans le sens v. Gomme la formecourbe des sections, qui détermine lagrandeur des glissements, est du reste

38 SBGT. I. RÉSISTANCE DBS SOLIDES.

(Du n« 8#).

arbitraire, choisissons-la telle : i* que cette somme des compôsailtés d'actions dans le sens transversal v sôit égale & la force P qui, ainsi, ne produira pas de translation latérale, dans ce sens, de la portion quelconque coB du prisme ; portion dont Téquilibre de rotation est déjà assuré autour de la ligne v =: 0 tracée sur co par la supposition

- /t7*d<i»3sP (a— x), faite sur le mode de variation de la courbure-

puisque la traction ou tension d*une fibre quelconque à travers la

section ta a pour valeur EdUa -, vu la dilatation - et les contrac*

tiens 7) - qu^on lui suppose (S précédent) ; 2" que la différence des ac-

P tiens longitudinales des fibres environnantes sur les diverses faces

latérales 77im\ nu' d'un même élément de fibre mm*p!n^ compris entre deux sections voisines, en raison de ce que les inclinaisons des arêtes sur les bases ne sont pas les mêmes en m qu'en n, en m' qu'en n', se trouve Justement contre-balancée par la différence, due

I la variation de -, des actions aussi longitudinales et opposées

R(i(i>-, s'exerçant sur les deux bases mn = m'n'sr dm du môme élé-

ment ; ce qui assure l'équilibre de détail ou l'équilibre des divers éléments, chacun en particulier (\\

Des déplacements ainsi supposés, il résultera, comme au paragraphe précédent, que les faces latérales du prisme ne supporteront aucune pression ou traction normale. Elles ne supporteront, non plus, aucune action extérieure, analogue à des frottements longitudinaux, puisque les sections, en se courbant, leur sont restées normales. Enfin ses bases, ou plus généralement deux sections quelconques , situées à une distance arbitraire L Tune de l'autre, supporteront, sur leurs éléments dcu^ avec des actions tangentiellesou transversales ayant P pour composante totale dans le sens v, des tractions longi-

(>) Ud eiemple simple prouvera, si l'on en doute , aui noies des n»* 452 i 455, sans aroir besoin de recourir i la solution analytique de notre Mémoire sur la ntilon (Journal Liouville, 4856), que ce problème de la lèrmeâ taiigMr ataial i la iorteoe courbe dea aeetions pour chaque figure 4u ooilOBr, n'impose pas plus de conditions qu'il n'est possible d'en remplir.

ART. III. rUtlON. 3^

( Du ■• 9#).

(udinales £(2(i>--, EcIcd-, - et ~ étant les valeurs particulières

U Pi Po Pi ^

correspondantes de la courbure -=:P-pp relative à ces sections,

en sorte qu^on a leur différence =^77.

Po Pi El

D^où Ton conclura réciproquement, comme au $ 3 précédent, qu'un prisme dont les faces latérales ne sont soumises à aucune action et dont lee deux bases u>, situées à une distance L, supportent à la fois : i* dans le sens longitudinal, des tractions qui varient comme une

coordonnée transversale v ou qui sont exprimables par Edm — , Edta - ;

Po Pi

2* dans le sens transversal OU tangentiel, des actions qui ont les mômes grandeurs et directions aux points homologues de ces bases, et une

El / 1 i\

composante totale P= — f — * j, dans le sens i\ avec un mode

de distribution qui dépend de la forme du contour des sections ; ce prisme, dis-je, fléchira en prenant dans toutes ses parties des dila-

tatlOM longitudinales- (positives ou négatives avec v\ avec deseon-

tractions transversales n -» - variant uniformément ou linéaire-

i i ment d'un bouta Tautre entre ses valeurs extrêmes —, -etrepré-

Po Pi

sentant la courbure de Taxe; et les éléments dui de chaque section intérieure supporteront des actions normales ou longitudinales

ïdto - , aveô les mêmes actions tangentiel les que ceux hojnolôgues

iêê bas€s. Ce qui est 06 qu'on voulait démontrer.

9 5. Cas â^une contexture inégale transversalement* Nous ne n<)tis arrêterons pas à fkire voir que la conclusion sera la même si la ooDtexture^ au lieu d^être la môme dans tous les sens transversaux» est simplement symétrique dans deux sens rectangulaires, suivant lesquels il faudra en conséquence contraeter les fibres dans

des rapports différents v) -, V -; ou si, plus généralement^ il n> a

dt symétrie de eontêxture que de part et d*autre des sections trans-

(Du D« 8#}.

vénales, en sorte que» comme on a dit à la fin dn $ 6 de la noie du n' 2i, les sections dco des fibres doivent éprouver de petites déformations transversales outre les contractions pour qu'elles ne se pressent pas Tune Tautre, ce qui est encore possible sans qa*elles cessent de se toucher. (Mémoire cité sur la flexion.)

$ 6. Observation sur le mode d'application et de distribution des forces quifont/lvchir. Cette démonstration des expressions connues :

- de la dilatation (positive ou négative avec v) d'une fibre ,

E - de sa tension par unité de section , d'où - fvd*^ = M ou P (a — x)

pour l'équation de moments autour de la ligne t; = 0, (équation à

poser seulement lorsque cette ligne est axe principal et à remplacer

par deux autres dans tout autre cas comme on le verra à la note

du n* 83) ,

Ne convient, comme l'on voit, que pour un mode particulier d'application et de distribution, aux extrémités du prisme, des forces extérieures qui ont un moment M, avec une composante transversale P= — -.- (qui est zéro dans le cas du $ 3 ou de la flexion circulaire).

C'est qu'elle iie démontre que ce qui est^ et que ces expressions ne sont exactes que pour le mode d'application et de distribution supposé au paragraphe précédent.

Mais, par les motifs déduits au S 6 de la note du n* 21, elles peuvent être employées avec toute l'approximation désirable dans la pratique, pour tout autre mode d'application et de distribution, aux* extrémités, des forces dont il n'y a ainsi à considérer que la résultante et le moment résultapt. Des expériences spéciales prouvent même, à défaut du calcul, que les systèmes de forces se faisant équilibre par Tintermédiaire d'une petite portion d^un priflme, ne produisent de déplacements sensibles que sur une très-faible étendue en deçà et au delà, comme tout le monde peut voir en pihçant avec des tenailles un prisme de caoutchouc P, ou en dilatant transversalement une lanière mince L de même matière.

ART. 111, rUXlON.

ai

(Du B" M).

car on remarquera que Timpression ou rélargissement ne se fera point sentir à des distances excédant la profondeur ou Tarn-

plitude. Aussi les constructeurs ne tiennent aucun compte de ces systèmes de forces en équilibre, lorsqu'ils règlent les dimensions à donner aux pièces, et ils se bornent à prendre quelques précautions, telles que Tlnterposition k , de coins ou de fourrures, contre les impressions que pourrait produire leur application trop directe et trop concentrée. D'où il résulte bien que des forces quelconques agissant vers les extrémités des pièces peuvent être remplacées très-approximativement, quant à leur effet sur tout le reste, par des systèmes de forces équivalentes^ ou ayant même moment et même résultante, appliquées et distribuées comme on a dit aux S§ 3 et /i.

On ne doit pas s'étonner, au reste» ni trouver regrettable que cette démonstration soit plus longue que la démonstration or*dinaire des formules dé la flexion ; car, indépendamment de l'exactitude, et de l'abstention de toute hypothèse fausse ou gratuite, elle oblige à reconnaître des circonstances ordinairement omises, à savoir, les contractions et dilatations transversales qu'il est bon quelquefois de prendre en considération (voy. S i3 de la note du n* 113), et aussi l'inclinaison nécessaire des fibres sur les sections quand les forces sollicitantes ont une composante transversale, ce qui produit les glissements des sections les unes devant les autres ou des fibres les unes contre les autres; circonstances dont l'influence n'est pas toi^ours négligeable, comme nous verrons, quand il s'agit soit de calculer les flèches de courbure, soit de passer des équations â^ élasticité aux équations de cohésion fournissant les conditions de résistance à la rupture prochaine ou éloignée des solides soumis à des forces extérieures données (voyea notes des n«* 152 à 155 et déjà $ 5 de la note du n« 113).

S 7. Cas ok Von swpfose que V élasticité varie dans retendue d^une mèmesectioTU Condition sous laquelle on peut alors 'poser des expressions analogues. Pièces de métal. Pièces de bois non homo"

42 SEGT. I. RÉSlSTâNCK DES SOUDES.

(Dun-S#).

gènes,^ La démonstrution des SS 9 et â s'àppllqiid su caK, considéré par M. Bresse (S 7 delà note du n* 21), de variation de réiasticité d'une fibre à Tautre, mais sous la condition que nous avons déjà énoncée à propos de ^extension ou traction longitudinale simple, à savoir que, pour toutes les fibres du solide On ait les mêmes rapporta Y), r/ entre les contractions transversales et les dilatations longitudinales correspondantes ; car sans cela les fibres agiraient

normalement Tune sur Tautre et Ton n'aurait pas E -d^ pour la

tension de celle dont la dilatation est-, E étant le coefficient d*é-

lasticité de cette fibre supposée isolée ou extraite de la masse.

Si cette condition de t] et r/ constants est remplie, Téquation d'équilibre de translation propre à la détermination de la ligne des fibres^invarlables est /£t?d(o = 0 au lieu de /t-(ia> = o, et Téquation

d'équilibre de rotation autour de cette ligne est >- /EvMoi =a M au

lieu de ~ /t?*dco= M* Cette ligne passe toujours « comme Tobserve

M. Bresse^ par le cenire de gravité de la section u, et /Et'do» est encore le moment d^inertiede celle-ci, mais moyennant qu*07i attribue aits divers éléments dw des densités B 7)ariant de VUn à Vautre,

M. Bresse donne un exemple {Eecherches sur lajlexion. des pièces courbes^ chap. i", n* 26, p. 89) de calcul de /Et?*d«o, où il suppose, pour une section rectangle, que B varie /«n^arremertf entre une valeur centrale E^ et une valeur E^ sur les bords, en conservant la même valeur E« sur une partie de la grande médiane égale à la différence des côtés. Mais il en résulterait^ que ce moment d'inertie /Et?*doi serait égal au moment d'inertie ordinaire /v'dco multiplié par une certaine valeur moyenne deE, entre E^ etEj» qui ne dépendrait que du rapport des deux côtés, et non pas de leur grandeur absolue comme cela doit être d'après les expériences ($ 7 de la note du n* 21), qui montrent que les pièces métalliques à petite section ont une résistance relative "très-sensiblement différente de celle des grosses pièces. Nous avons donc modifié son calcul en supposant que lazone dont la résistance élastique E diffère de celle du centre (et peut être supposée varier paraboliquement dans cette sone), a une épais-

ART. III. riBXION. ki

( Da n« S9).

seur absolue constante et non pas proportionnelle à Tune des deux dimensions. On simplifie quand on suppose cette épaisseur petite, car alors on peut prendre sensiblement, I étant le moment d'inertie ordinaire de la surface de la section, j' celui de son contour, ou plutôt de la ligne moyenne de la zone dont l'élasticité est différente du reste (ligne qu'on peut placer à 1 ou à 2 millimètres à l'^intérieur),

/Eî?«d<u=EçI + ^; d'où M = ?5L±J/,

où E, et e sont des coefficients à déterminer par plusieurs expériences de flexion de pièces de môme matière, mais de formes ou de dimensions transversales sensiblement différentes 0).

Cette expression peut convenir pour les pièces en métal.

ftJais, pour les pièces de bois, l'augmentation ou la diminution de force élastique ne se fait pas sentir seulement auprès du contour, elle commence au centre de l'arbre d*après les belles expériences de MM. Wertheim et Chevandîer (Mémoire sur les propriétés mécaniques des bois^ Ann. de ch, et dephys,^ £868, tableaux VIII et Xli). Si, alors, on suppose empiriquement (comme nous avions fait dans une lettre écrite en 18A5 À l'un de de ces deux savants expérimentateurs) une loi de variation parabolique ou comme les carrés des rayons des couches ligneuses, on obtient des expressions simples ; car si E, et E| sont les valeurs de E au centre de l'arbre et h sa circonférence dont on appelle r^ le rayon » l'on a, u^ et v^ étant les coordonnées u, v de ce centre des couches par rapport à des axes passant par le centre de gravité de la pièce qui en est extraite,

(1) Pour cela on tirera de celte équation , f étant la flèche de courbure d'une pièce horizontale de longueur Sa, chargée au milieu d'un poids 2P (n** 87 ciaprèa),

ConstraiMnt la suite des points ayint pour abscisses les taleors de - ei pour

Pa' ordonnées celles de —, la ligne droite qui s'en rapprochera le plus donnera

£• et e. On peut déterminer cette droite soit par tâtonnement Tisuel , soit par les méthodes dont nous parlerons au $ 45 de la note du n* 413 pour la rupture pir ttexlon.

f\k S£CT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

(Du n* M).

d'Où

/Edcu.c» = [e, - (E,-Ei) ÎÎsJIEîlJ /r«(ico-

Quand la section est un rectangle dont les côtés sont b dans le sens u, et c dans le sens v, les deux derniers termes entre paren*

tbèses sont nuls, et les deux autres se réduisent à -rn + ^^r » ce

iUti 80

qui donne, vu que 7ô'=^It et en faisant la distance y/tt^ 4- r * = r.

formule qui pourra rendre compte des différences offertes par les élasticités moyennes de pièces extraites d'un même arbre dans diverses positionspar rapport à Taxe des couches ligneuses. On pourra déterminer Eo , et E^ — E] ou E^ — E^ » par plusieurs expériences de flexion, comme nous venons de dire dans une sous-note pour E^ et e.

S 8. Les momeTvts peuvent être pris aidour de lignes ne passant pas par le centre de gravité. Ccu <m les farces ont une comp(H santé longitudiiiale totale. — Observons encore (en revenant au cas d'homogénéité) que l'équation des moments est la même en prenant ceux-ci autour d^une ligne quelconque tracée sur la section (D parallèlement à celle des fibres invariables ; car soit d la

distance de ces deux lignes, on aM = /£-(v=hd}ckt>, qui, eu

égard à la propriété ivàtù =s 0 du centre de gravité , se réduit bien à

Et l'on a encore la même équation lorsque les forces extérieures ont une somme Q de composantes longitudinales ; car, soit toujours appelé M le moment du couple qui résulte du transport de ces forces eitérieures au centre de gravité de la section «o, il faudra i^fouter

ART. lU. FLEXION. Uïi

81. Si ia figure de la section est un rectangle ( Fig. 12), dont 6 et c soient la largeur et la hauteur^ la valeur du moment de résistance à la fleiion est

= 9E^du^dv.v* = E^^.

Ainsi la résistance à la flexion est proportionnelle à la largeur et au cube de la hauteur da solide (*].

(note du n* 31) une dilatation générale ^ des fibres à leurs dilïitationslndiTldWles -, ce qui donnera pour Téquilibre de rotation réquation >'±Q^=/b(~ + ^) (v=t:d)<lb> se réduisant toujours à

(*) S i. Démonstraiion élémentaire. Méthode de M. Pôncelet qui ramène les moments d^inertie à des moments statiques.—- La théorie de la résistance des solides a une telle Importance pratique qa^elle est ai^ourd^hul enseignée dans les cours destinés à des ouvriers intelligents ayant seulement des notions de géométrie et de statique.

Aussi M. Ponoelet a rendu élémentaire la détermination du moment d'inertie d'une portion quelconque ABDG d'une section d'un solide , en remarquant que si , par l'axe AB du moment , supposé se projeter en a sur un plan qui lui est perpendiculaire, on fait passer un plan ae incliné à àb degrés smr odui ac de la figure ABDG, le moment d'inertie de celle-ci autour de AB ne sera autre ^hose que le moment ordinaire ou statique de Vonglet ou prisme tronqué ace que ces deux plans séparent du inisme droit élevé sur ABDC» ce moment statique étant pris par rapport au plan a/ perpendiculaire à la même figure et passant piu* 1^6 AB ou a. En effet , le moment statique de chaque fibre mn = a X V ayant pour base l'élément a de la section et pour hauteur nmsomssv, sera axtyxam = av*« et leur somme est bien,

U^ SEGT. I. RtSIfiTAlfCB DBS SOLIDES.

( Do n* M ).

si les accents désignent les autres éléments et leurs ordonntes» av' + a'o'' +••• ou le moment d'inertie I que désigne aussi, dans le langage de Tanalyse, Tlntégrule fv^cka^ On n'a donc, pour obtenir le moment â^ inertie I , gw'à multiplier le volume de V onglet acepo^ Ui distance Gp de son centre de granité au plan af m^tw par Pa^ perpendiculairement à la figure.

Cest aussi le double moment statique du même onglet par rapport au plan ac de la figure ABGD elle-même; car celui de la ^bre m:ti

est son volume av multiplié par la distance ^ de son centre de gra»

vite au plan en question.

Or, quand la figure est un parallélogramme ayant une base 6 et

une hauteur A, Tonglet ace est un prisme triangulaire aysot p^r.

volume -ft- 6, et la distance Gp est = ^ A. On a donc bien, pour

le moment I d'un parallélogramme bxh autour de son côté b :

d*où , pour l9 rectangle 6 x c ««tour de sa médiSQQ, I "^ g ( {) -H Y^ comme au texte.

Corollaire, Toute figure Ann'M termloée 4 Ï9M ABu du QP-

ment, et par conséquent divisible par des parallèles très-rapprochées en petits trapèzes qnn'q' qu'on peut prendre pour des

A u 99* B t« parallélogrammes duxh' dont A' est la

'^'^ hauteur perpendiculaire répondant à Tab-

SA'* du-^,

% 2« j4utrfi n^thode, ^ On peut encore, d'aue manière teès^ élémentaire, sans iavoquer les théorèmes de la statique, et en sp^ pelant, comme fait le môme savant 4«ns d'autres parties de les cours, V l'élément ou accroissement infiniment petit de l'ordoaoéet qu'il désigne alors (au lieu de v) par une grande lettre V» dira que le momeut d*iaertie autour du côté AB ac 6 ( i'^ figure du $ précédent) du parallélogramme ABGD supposé partagé eu zooes

kl

(Du a* M).

étroites b x y^arallèles à ce c6tô^ sera b multiplié par la somm^,

des produits V*v depuis V = o jusqu'à V = A ; puis remarquer qu'une pareille somme n'est autre chose que celle des tranches ou le volume total d'une pyramide Sabcd ayant h pour hauteur Sa et pour base un carré dont le côté

ad==ab est aussi h. Ce volume est ^ h*.h^ ce

qui donne bien b ^ pour le moment d'inertie.

- Lorsqu'on a à déterminer une sommf de produits Vy au lieu d« Y ' v, on peut prendre la somme des moments «U^que^ V'y.Y des trancbefi de la même pyramide par rapport & un pl%n mené a» sommet parai*

lèlement à la base, somme qui est égale au volume r Vh. de la pyra-

mide multiplié par la distance r A du centre da gravité à ce plan ,

A* ce qui donne y.

S t. Bechêrchê élémentaire de ta tomme des produite des puis*' eanceê d^une quantité variable par les aeeroiseemente tuceesêifs qu^elle prend entre deux valeurs extrêmes, — Le secoum des théo* rèmes de géométrie ou de statique fait défaut lorsqu*on a ^ déterminer (comme nous serons dans le cas de faire pour des questious de torsion) une somme de produits V"-'v où l'exposant n—1 excède S. Mais on peut démontrer, d^une manière toujours assez élémentaire pour être donnée dans des cours d'arts et métiers, que

cette somme est -^ ^, V, et Vi étant les valeurs initiale et

finale de la quantité Y : car, si l'on multiplie successivement (V + v)'~V» = 2Yv A -f I ^) , qui se réduit à =2Yv en négligeant ^ - devant 1, par V + v, on a, en faisant de semblables suppreaeions, (Y + v)» — Y» s= 3Y'y, «t ainsi déduite, en sorte que,

généFal«iiMDt, raceroisaMnept de --« quand Y s'aeoroît de v, est

82. Si cette figure (Fig.3) est formée de deux triangles égaux « dont les côtés soient p et g, la valeur du moment dont il s*agit est

gu

Jo Jo 6

Yifiv; et la aomme de semblables accroiss^nents successifs, lorsque V crott de Y. à Y^ , ne peut-être que Texcès de la valeur

y n y n yn

finale -^ sur la valeur initiale -^ de cette quantité — . n n ^ n

S &• Théorème général donnant le moment ^inertie I| dune figure quelconque «> autour â^une droite quand on conivaît le moment I autour de sa parallèle menée par le centre de gramté , ou réciproquement. — Soit d la distance à laquelle la première droite passe du centre de gravité dans le plan de la figure dont Taire est m, on a , comme on sait, la relation

1^ = 1 + codS

qui n^est autre chose que Tégalité SivdLd)*dbi == /v*d(o ±: âd. /t-dcu-f ui. d*, eu égard à ce qu'on a /odo> ==0 si les ordonnées v sont les distances positives et négatives des éléments dti à la droite passant par le centre.

(*) S i. Moment d^inertie d^un triangle quelconque ABC dune hauteur h autour de sa base b. — Ce sera, en

"7 faisant A'=^ t dans Texpression fdu -g-

\ yy du corollaire du Si de la note précédente,

X/ r *' C* »^ » àh* *•

ou le produit de Taire «» par le sixième du

carré de la hauteur A; expression qui pouvait être trouvée sans parler

d'intégration, d'après ce qu'on a dit aux $$ 2 et 3 de la môme note.

On l'obtient encore, à la manière de M. Poncelet, en remarquant

que l'on^^^ du S i de cette note du n* Si est alors une pyramide

eABG d'une hauteur eB = A, ou d'un volume «o ^ , dont le centre de

ART. III. rLBXlON. k^

(Oa n« M).

gravité, situé, comme on sait, au milieu de la droite qui Joint les milieux de l*arète Be et de son opposée AG, est à une hauteur ^

au-dessus du plan mené par AG perpendiculairement au plan du

h triangle ABG , ou à une distance r de ce dernier plan, ce qui , en

prenant les moments statiques des deux manières que nous avons dites , donne également uôXâ ou 2.t»~X7=(o-x- pour ie

O J ou D -

moment dMnertie cherché.

S 2. Moment ^inertie â^un trapèze ABDG autour d^un de ses

côtés non parallèles , les distances des jhs. deux sommets opposées B, D à cé? côté AG

/j \^ ^ étani A', hT :

Istt

/. ! J.-l — ^ En clTet , en prolongeant le c6té BO

jusqu*à sa rencontre en 0 avec celui AC aussi prolongé , et désignant par »', ^' les aires des triangles

OAB, OGD, on a w = w' — «"etl=ti> — — Cl/'-— ; or la similitude de ces deux triangles donne

Cl) A'* — A''* d*oû , en substituant • I = j j^^ /^//i <^^ l'expression qu'on a

écrite ci-dessus»

S 3. Idem du même trapèze autour d'un de ses côtés parallèles AB= 6, l'autre CD étant = 6} , et leur distance = A. ^Idem autour dune parallèle passant par le centre de gravité, — Gomme on peut le décomposer en un parallélogramme 6| x A et en un triangle