M^^ *! ^H-36, '""~ft
50 skfaT. i. ftlftin-ANOB bfes solides»
(Du B* M)«
6i l'on appelle k la distance, à la même base b, du centre de grafité du trapèze, on a, en posant une équation de momenta statiqnea par rapport à cette base AB ,
d'où V
A» 6 + 26^ ftH-26t
Le moment dM&ertie autour d'une parallèle aux bases, menée par le centre de gravité , sera ainsi, en vertu du théorème général de la fin de la note du n"" 81 :
S A. Moment d^inertie é^un triangle AA'A'' autour d'une droite AG roc^ dan^ ^on pZan par un de ses angles, i' et li' étant les distances des deux autres angles A', A^ à cette droite AGL On aura
car si G est le point de rencontre de cette droite avec le côté A'^A'
prolongé, et si AG = 6, on a pour
2w «"» — z^ = j2 ^/^/'» expression identique
avec Tautre.
S & Moment d'inertie du même triangle kk'A," atUour d^une iigne menée dans son plan par son centre de gravitéQ, — En vertu du théorème général de la fin de la note du n"" 81, on aura le moment autour d'une parallèle à AC , menée par le centre, en retran-
/z' 4- «'A ■ chant a> ( — = — 1 , ce qui donne
À&t. iil. HEitoti. M
D'où Ton déduit, en faisant z*^=iy'--y^ 2" = y" — y, pour le moment (Tineriie cTun triangle autour d'une ligne menée par son centre de gravité parallèlement à une autre ligne quelconque qui passe dans son plan à des distances y, y', y'' des trois sommets :
^ (y'+y''+y"*-y'y"-y"y-yy')- '
5 6. Idem autour de cette ligne tirée d^une manière quelconque
dans son plan. — On l'aura en ^*outant « (^ — ^ — ^ j , ce qui donne
«xpreasion qui «e réduit &
j-Cy'+y'^ + y"*), Bi y + y'+y" = o
ou si la ligpe dont les distances aux sommets sont y, y'i f/' p vse par le centre de gravité ; et à
^h* si y = 0, y'^f/^=zh
ou si Ton prend le montent autour d*une parallèle à la teie , naaée par le sommet opposé.
S 7. Applications. — Ces formules donnent des éléments de calcul commodes pour les moments d'inertie de figures polygonales en les divisant en triangles et en parallélogrammes ou en trapèzes.
Ce serait naturellement le lieu d'en donner l'application aux direrses formes de sections h côtes ou à nervures , etc. Nouspréférons en renvoyer le tableau^ raisonné et comparé, à la note du n« i^O, art. lY, où il sera question de la résistance à la rupture parJlexioTu
83. Si la figure de la section transversale est un rectangle dont les côtés soient b, c, et si l'axe horizontal contenant les fibres invariables forme Tanglecp avec le côté b, on aura pour le moment de la résistanée à la flexion
6'csin'Y+6c'cos*<p . = E ^ .
Ainsi , une pièce à base carrée résiste également dans tous les sens à la flexion. De plus, la basé étant rectangulaire, et b étant le plus grand côté, la moindre valeur du moment a lieu lorsque la pièce fléchit dans le sens du côté c {*).
(*) S 1. Erreur où conduirait la formule du n* 83. Condition pour que le plan de flexion soit le même que le plan de sollicitation à fléchir. — Cette formule e=... du texte non-seulement est sans usage, mais même, bien qu^exprlmant exactement le produit de E par le moment d'inertie du rectangle autour d'une droite oblique à ses côtés, elle doit être regardée comme fausse si Ton entend qu'elle donne une valeur à mettre à la place de e dans les formules des n** 86 à 90 pour avoir la courbe du solide et sa flèche de flexion/.
L'erreur à laquelle elle prête et où sont tombés plusieurs auteurs consiste à penser que le plan de flexion^ auquel la ligne des fibres invariables est perpendiculaire, coïncide toujours avec le plan ok la pièce est sollicilée à fléchir ^ c'est-à-dire le plan du plus grand moment M ($ 1 de la note du n"* 80) des forces extérieures autour de droites tracées sur les sections, ou le plan qui passe par l'axe de la pièce et par celle des normales autour de laquelle le moment est nul.
C'est donc ici le lieu de montrer ce que nous avons dû énoncer d'avance à une note du n* 77 et au commencement du S 6 de la note du n* 80 , à savoir que , pour que ces deux plans deflexion effective et de sollicitation à fléchir aient la même direction , une condition est nécessaire, celle que le plan de sollicitation soit parallèle à Vun des axes principaux d^inertie des sections du prisme. En effet, pour qu'il y ait équilibre de rotation entre les forces intérieures
longitudinales Edtù ~ (note du n* 80) s'exerçant à travers la sec*
lion ^, et les forces extérieures sollicitant la partie du prisme entre
ART. lU. FLEXION.
( Du n* 6S).
cette section et une extrémité, il ne suffit pas qu'on ait l'équation 11 = - fv^dia^ exprimant que leurs moments autour de la li^e
des fibres invariables sont égaux, il faut encore, au moins, comme Ta remarqué le premier M. Persy {Cours à VÉcole ^artillerie et du génie^ lithographie à Metz eu 183/i, n** Al et 42, p. 24), une équation entre les moments autour d'une perpendiculaire à cette ligne, tracée aussi sur la section <«> , c'est-à-dire autour du rayon p prolongé. Or si le moment des forces extérieures est supposé nul autour de cette perpendiculaire ou de ce rayon, on doit avoir, u étant
les distances des élémeots dt^ à cet axe des
tJ, \ - VâAù. u =
Jp
0, d'où
woâAù =r 0 , ce qui caractérise les axes principaux d'inertie.
S 2. Détermination de la grandeur et de la direction de la flexion lorsque cette condition de parallélisme du plan de sollicitation à Vun des axes principaux d^inertie des sections n*est pas remplie, —Alors il n'y a pas lieu de chercher à poser une équation de moments autour de la ligne des fibres inaoariahles ^ qui n'est pas connue d priori. C'est (commeon l'a montré pour la première fois à un mémoire inséré aux Comptes rendus de V Académie les 30 octobre et 6 novembre 1843, t XVII, p. 946 et 1024) autour des deux axes principaux d'inertie de la section co qu'il convient d'exprimer l'équilibre de rotation pour arriver à détefkniner la grandeur du rayon de courbure p, ainsi que sa direction ou celles de la ligne des fibres invariables et dn plan de flexion, et par suite, les conditions de résistance.
Prenons pqur coordonnées u, v d'un point ou élément m quelconque de la section ses distancesOp =:u, mp =v à ces axes VOv, UOu passant par le centre de gravité 0 ; et soient
r=:/v<c{h», r'=/u*(2(d8esmomentsd*inertIe principaux^ ou autour de ces deux axes ; on supposera généralement r>r; 9 l'angle aigu POY qui fait le plan de sollicitation P|OP, avec l'axe Ov prolongé ;
5& SfiCT. I. RÉSlâXAiHGB DES SOLIDES.
(Du n« 8S).
^ celui vOu que fait aussi, avec l'axe Ov, le plan encore Inconnu de flexion t'Ob, ou l^ngle égal uOie de la ligne des fibres inrariables Ou avec Taxe principal Ou ;
i\ cemme ci-dessus, les distances mp des points ou éléments m à cette ligne Ou des fibres invariables ;
Nous avons m/)=mp cos t|> + Op sin i, d'où pour la tension de la fibr^ ayant sa base en m,
-vdtù = - (v cos '} + u sin •)*) dw, 9 P
Multipliant successivement par les bras de levier v et u, pour substituer dans les équations Mcos<p= lËvdco.v, M sin^ =>\-vd(o.u de
JP JP
l*équilibre de rotation autour des axes principaux Ou, 0/, on a, en
effectuant et ayant égard à /uv(2u>= o :
