RI' RI

Mcofeç=-eos^^, Msin9 = — rfn+.

Si i^on divise œs dëtit équatioUâ Tune par loutre ob obtient une âobVèlié ét}uât!oh, et Ton en a encore une en ajoutant les tttf^ àprèd lès avoir diVisÔeâ l^specttvement pnr t et i^ On tiDûVë âlniH les etpresstoiis

«wg^fcSjptaiigf, - — iY-'-ï7r + "pr»

ûtsêt la t>i^lâi^Mi ttOttne 1^ diréliliotl du plan de flexion affective dU cèilede H lit&e dééHbl^ëi invaHable^ t)erpendiculairë à ce plan ; la lifedbittlé dOBlie la DéélHMire pH«e pAf Taxe du prisme.

J à. Construction au moyen de Pellipse d'inertie» — Si Ton trace dans le plan de la section Tellipse connue dont les demi-axes,

^draSSiifOtt, Of -, iWnt ]^ft>poft!linttëM aux inverses -^=7, -^^ des racines carrées des moments d'inérUe autour de ces lignes, et dont

réquation est par conséquent Tu' + r^V^ = une constante quelconque , et

si Ton y mène une tangente par le point N où elle est rencontréo

ART. m. FiBXIOM. 55

(ihiii*n).

par le plan PPi , cette tangente sera parallèle à la ligne des fibres lATariables Ou, car Téquation de l*ell!pse donne le eoefflclent diflé-

rentiel ^= — p~ qui est égal à ^tang<|> au point N pour lequel

on a le rapport - = tangf =Y,tang ^, La ligne des Jttres invon

fiables est donc le diamètre conjugué à celui suivant lequel le plan de sollicitation coupe le plan de V ellipse; théorème qui a été trouvé en 185/i par M. Bresse à peu près en même temps que par nous, sous deux formes différentes Q).

La déviation ^ — 9 du plan de flexion , ou son angle avec le plan de sollicitation , est à son maximum quand ce dernier plan passe par Tune des diagonales du rectangle circonscrit à Vellipse d^ineriie ; et alors la ligne des fibres invariables est Tautre diagonale.

La même chose a lieu lorsque le contour de la section est le rectangle luir^même.

S /lu Détermination de la courbe dbOste ou de la^fièche de flexion {comme complément anticipé aux n"' 8ôà 89). — La courbe d^axe 8*obtieiidra, comme dans le cas simple de flexion non démée supposé tacitement aux n^^ M à 89 ci-après, soit en égalant Texpreasioa de

~ du S S à -7^» !^ ^^^^ ^^^ coordonnée transversale prise dans le

p CLX

plan de flexion qu*on a déterminé et intégrant après avoir mis pour le moment M sa valeur en fonction de la coordonnée longitudinale x; soit, plus simplement, en appelant y, z, deux coordonnées transversales perpendiculaires aux axes des moments principaux r

. .« X ^ d*z Mcosç dV Msinqp , .

et r et posant ^= ""ëF^* d?~TF^ '*^*' eourbures

ghfya «Il sif] fil

— ^, — ^ des projections de U courbe d'axe sur les plans xz^ ay

de plus difficile et de plus facile flexion ; ce qui 4 en intégrant « donnera les équations de ces projections, qui seront senbiables k celles des n»* 86 et 89, sauf les facteurs ces f et sin f dont on affectera le poids P ou p.

(<) Mecherdm sur U flexion dufièoes amrbeê, 4SS4. — BuUsUn de U SoHété pMUmtMqMe, aMIUoB à la thnee du S juillet 4851, p. U ; ou journal VïntiHut , 4ft iioTMihr».

56 SEGT. I. RÉSISTANGB DES SOLIDES.

(Du n* 8S).

lAjlèche de courbure f est résultante de celles que feraient prendre séparément, à la pièce, les charges P cos 9» P sin 9 agissant perpendiculairement aux axes principaux de la section ; c*est donc (n* 86 ci-après) , si la longueur de la pièce est a et si elle est encastrée au bout opposé à celui où la charge P est supposée a^ir transversalement, la diagonale du rectangle formé sur les flèches composantes

^__Pcosy,a' ^^Psin<p.a'

l'espectivement perpendiculaires aux axes des moments l'et r, ce qui donne :

^ iix V X Pû34 /cos'o . sin*9 a* ,

Une flèclw y=— y -pjX+ --^== , (p^étantppourx=0),

Une descente Terticale / COS 9 H-/' sin 9= ^ (^^ + ~^) ,

Une dériation hori«>nUle y^cOS9-/'sin9 = 52Î-5^^^ (~p).

On étendra facilement ces formules au cas d*une pièce posée sur deux appuis, et sollicitée à la fois comme aux n** 87 et 90.

S 5. Application à ime section rectangle. Évaluation des erreurs

auxquelles donnerait lieu Pusage de la formule c=: du texte du

bc* b*c

n* 83. -^ Pour une section rectangle 6 x c, où I' = 7^ , r == -jj» ^®

Pa' rapport de la flèche elTective/à celle qu'on aurait par la formule -^

/cos'q sin'^X / avec la valeur de £ du texte, est [—rr + — » ) v ^*cos*9 + c*sin«9 ,

(6' 4- c*) i/26* -I- 2c^ ou ' — ^ 7, , — si Tangle 9 est demi-droit Ce rapport est res*

pectivement i,267, 1,822, 8,557, lorsque Tundes côtés est i fois i/2,. 3 fois, 3 fois l'autre, en sorte que notre formule révèle des flexions contre lesquelles on ne serait point en garde d'après celles du texte.

$6. Observation pour les pièces droites non prismatiques. Double courbure et torsion prises. —OU verra àParticle VII de la section lY

(DU n« SS).

(surtout aux d*'à98-507) que Ton peut appliquer approximativement les formules fondamentales relatives aux prismes à des pièces allongées non prismatiques. Mais si les sections transversales n*ont pas leurs axes principaux tous compris dans deux plans rectan^laires passant par Taxe longitudinal de la pièce, le plan de flexion effective changera d'une section à Tautre. L*axe de la pièce , bien que supposé primitivement rectiiigne, prendra une double courbure, et il y aura, en même temps, torsion, quoique la pièce ne soit sollicitée en quelque sorte qu'à la flexion, ou par une force n*ayant de moment qu^autour de droites transversales. On* a traité ce cas général aux Comptes rendus de V Académie, 30 octobre et 6 novembre 1863 , 1*' et 15 juillet 18/i6, (t. XVII , p. 951, 1020, et XYlil, p. 60 et 185) ou à des Mémoires sur la résistance des solides, in-6*, 1866.

S 7. On peut présenter d'une manière très-élémentaire la théorie cp-dessus de la flexion oblique ou déviée. — Pour cela , une expé^ rience bien simple convaincra d'abord que la flexion ne s'opère pas toigours dans le plan de sollicitation à fléchir. Qu'une pièce trèsmince, telle qu'une lame de fer-blanc, dont l'axe horizontal se projette en O et dont les faces sont inclinées àl'horizon, soit sollicitée, & l'extrémité opposée à celle qui est encas-trée, par une force OP verticale et agissant par conséquent dans un sens oblique aux côtés de la section abcd ; l'axe O ne s'infléchira pas dans le plan OP passant par sa direction primitive et par celle de la force , mais sensiblement dans le plan 00, perpendiculaire aux grands côtés a6, de, comme si la force P avait agi dans la direction 00, perpendiculaire au plan de la lame.

La raison de ce fait se conçoit facilement en général Dans tout prisme dont la section transversale n*a pas, comme le cercle et le carré, des moments d'inertie égaux autour de toutes les droites qu'on y trace par son centre de gravité , il y a im plan de plus facile Jlexionetun plan déplus difficile flexion. Ce sont lesplans perpendiculaires respectivement aux axes autour desquels le mo<

SEGT. I. liÉSISTANGB OBft SOUDES.

(Du o« 8S).

ment d'inertie est le plus petit et le plas grand. Si le plan de sollicitation passe entre les deux« la flexion effectire s'opère aonsi dans un plan intermédiaire, mais» on le comprend, plus rapproché du plan de plus facile flexion que n'était le plan de sollicitation ; en sorte que la ligne des fibres invariables ne sera point perpendiculaire à celui-ci comme elle Test quand la pièce est sollicitée à plat ou de ehampy c'est-ànlire dans le plan de plus facile ou le plan de plus difficile flexion.

S 8. Démonstration simple des propriétés des axes principarix, — On peut prouver d'une manière facile, sans parler d'ellipse lii de lignes trigonométriques , que ces deux plans, ou les deux axes de plus grand et de plus petit moment d'inertie sont perpendiculaires entre eux et donnent /uvc2(d = 0, ou (élémentairement) une somme nulle auv +a'uY + = 0 des produits des éléments a de la section A par les coordonnées qui leur sont parallèles. En effet» si l'on prend .d'abord quelconques les deux axes rectangulaires des coordonnées n et V et si on les fait tourner autour de l'origine O, cette somme auv -t- ••• reprendra évidemment la même valeur avec signe contraire après chaque rotation d'un quart de circonférence, d'où il suit qu'elle passe par eéro pour une certaine position de ces axes rectangulaires ainsi que pour celle qui résulte de leur simple permutation dans les mêmes directions. Or si \\ 1" sont les moments d'inertie relatifs aux axes ainsi dirigés» et 1| le moment autour d'une autre droite dont une longueur r a pour projections yçXz sur ces axes particuliers des u et des v, la distance mp d'un élément

màcette droite Ott est v^4-u?; d'où, eh

faisant la somme des produits des éléments par les carrés Tv ^^a^j dévitoppés^et en ayant égard à auv + a'u'v' + .... = 0 :

(Du D« 8S).

OU I, = r* + (l — ro ^ = r— (!'— n ^qul montre bien : 1* que l' et 1"

sont nécessairement Tun le plus petit, Tautre le plus grand moment^ 2^ que dans le cas particulier où ces deux moments principaux ont la même grandeur, tous les autres leur sont aussi égaux.

S 0. Direction et grandeur de la courbure, déterminés éléjnen^ icùrement, -^ Les axes principaux étant ainsi reconnus (voir §§ 10 ,

et 11), on peut déterminer élémentairement la grandeur et la di-

rection de la courbure - en appelant M', AT les moments des forces

extërieureci autour de ces axes , ce qui donne ces deux équations d'équilibre arec les forces intérieures aE-=a-(v- + u-] s'exerçant à travers les éléments a, a'.... de la section :

M' = 5[J(av« + ay«+...) + ^(auT + a'uV + ...)],

M" =- r^ (auv + a'u'v' + ...) + ~ (au« + a'u'*+...)l p L^ r J

On fait encore mieux sentir la raison de ce qui se passe en considérant le prisme comme éprouvant simultanément deux flexions sous Tactlon des moments composants M', M'' ; Tune donnant une

ootorbve -t=sï; autour d*«ii des deut axes principaux de la sec- P Bi ,

U<«, rautre «ne courbure p? =Fp7 autour du second axe , et produisant aindi des déplacements à cottiposer géométriquement ensemble d^près le principe de superposition du § 2 de la note du

n** 21. Il est éTident ainsi que le plan de la courbure résultante - devra se rapprocher plus de celui du moment M" que ne faisait lé pian du

S£GT. J. BÊSlSTAKCe DES SOLIDES.

(Du n* 68).

moment résultant M si Ton a l" < F. On obtient cette courbure résultante et son plan en considérant qu^en général le déplacement transversal BBj de TextrémltéB d'une très-petite ligne AB qui s*est courbée en arc de cercle ABi tangent en A à sa direction primitive, s*obtlent en divisant lé carré dé sa longueur par le double AD du rayon, à cause des deux triangles rectangles semblables ABB^, AB^D; d*où il suit que si une petite longueur s de Taxe de la pièce (voyez fig. p. 5S), se projetant en O avant la flexion, s'est courbée de manière que sa deuxième extrémité se soit déplacée de

Q/*'=r-, dans le sens OV, etdeQ/"'' — — dansle sens OU, on aura

pour le déplacement résultant la diagonale 0/= ôx/ n-^i^ ^'^^* comme ci-dessus, pour la grandeur et la direction de la courbure

Cette théorie sera complétée à la note du n* 117 , en ce qui regarde rétablissement des conditions de résistance à la rupture éloignée.

S 10. Détermination des axes et des moments principaux des figures planes^ — On voit toujours qu'il importe de savoir trouver

les directions des axes principaux d'inertie d'une figure don* née. Rapportons pour cela ses éléments m ou d<o à deux axes rectangulaires coordonnés quelconques Ou, Ov, et calculons pour ces axes, /t?'dw = l, , ju^dAù = I, , /wrdw = K ; on aura, en raisonnant comme au § S, pour le moment I autour d'une droite Inclinée Ou . dont une portion On=r a pour projections Oq =y, qn^x sur ces axes,I = U © ^ — « ^j d«, ou

(Dn n« SB).

Or, si i*on prolonge nq de gn' =719, la perpendiculaire ns abaissée de n sur On' a pour longueur 2 fois la projection de 719 = 2 sur sa direction, et la distance Os de son pied à Torigine a pour longueur la proJectioD de y moins la projection de z sur O^f ; d'où Ton conclut

que

0*=y ^ — «-, n*=2«î^, ou r r r'

Oj__y* — z* «i__2y2;^ On~ r» * 5»"" r* '

en sorte que la parenthèse de Texpression de I représente la somme des projections, sur Onu, de deux longueurs st-= 'T* ' , sk=K portées respectivement sur sO et s^r sn. Cette somme est la plus grande possible quand Thypoténuse ik est parallèle à On, et sa grandeur est alors tk elle-même. On a donc, en vertu de ce raisonnement tout élémentaire (où Ton peut se passer de signe d'intégration

comme au § 8), pour déterminer la direction d'un axe principal Ou et la grandeur d'un des deux moments d'inertie principaux, qui serait ici le plus petit :

En donnant le signe + ftu radical, on a l'autre moment principal; car, pour un axe Ov perpendiculaire à Ou on aurait des rapports ^^

- égaux respectivement aux valeurs des rapports — , ^ relatifs à

OUy ce qui simplement change le signe de la parenthèse. On recon-

fis naît, an reste, dans le rapport ^ la tangente du double de l'angle

que fait soit Ou soit Ov avec l'axe primitif Ou.

S il. Théorèmes pour le calcul facile de K = fuvdfù, — Il faut, comme on voit, pour déterminer ces 'directions et grandeurs des

uvdia pour une

figure quelconque. On y parviendra facilement en la décomposant

(il Sttit. i. KÈStttÀKClK DfiS SOUbES.