DU H» M

en rectangles et en triangles rectangles et se servant des trois théorèmes suivants, analogues à ceux que nous avons donnés poar le calcul facile des moments dlnertie (^).

i**. ^intégrale K= /uvd», pour des axes et pour une figure quelconques , est égale à la même intégrale pour la même figure et pour des axes parallèles dont un au moins passe par son centre de gra* vite , plus le produit <*>UoVo de son aire » par les coordonnées u^f v^ de ce centre rapporté aux anciens axes (*),

2*. Cette intégrale K est nulle pour un rectangle ayant ses côtés parallèles à des axes des u, v dont un au moins passe par son centre et» plus généralement, pour toute figure symétrique par rapport à l*un des deux axes (*).

3% .Pour un triangle rectangle dont Taire est w et dont le centre de gravité est sur Tun des deux axes supposés parallèles aux côtés de Tangle droit, on a

le signe*- devant être pris quand les sens des u, v positifs sont ceux des côtés de Tangle droit pris à partir de cet angle, ou leur sont tous deux opposés, et le signe inférieur + devant être adopté quand un seul des deux demi-axes positifs a le môme sens que le côté qui lui est parallèle (^).

(1) Société pMUmàtMque, 43 déc. 4856, ou Jouroal VlnstUut, 34 décembre.

(•) ctr ti »', f^ loDi lat toordoBuées par npp»rt à en nm p«rslMs pAMtnt liHit deux par le centre de griTité, on t K = /(ti' + i«,}(v' + r.](fco qui, en tenu de /«i'ilu=0, /v'ctosO, est Men égal à /»Vtfw-fùitt^«; et on a la même chose «I uo seul des deux axes parallèles passe par le centre, puisque /«Vtfco ■e ebaage pas lorsqu'on ajmile une eonsunle, soil à »', soil à v'.

(') Car elle se compose de lermes uvéha égaux deux à deux au signe près.

(^) Car si ron prend d'abord pour origine Tun des deux angles aigus, pour axe dea u le côté adjacent tiré de là à l'angle droit, et pour axe des v une parallèle à Fauire côté tiré à partir de l'angle droit, l'intégrale K relalife au triangle est èf idemment moitié de celle relative au rectangle double, ayant l'hypoténuse pour diagonale. Or ceUe-ci , en vertu des 4«r et 2* théorèmes , aura pour

. b c fbcY* . ^ .

grandeur, 6 et c étant les côtés i ^ • ô * « = [ T j * ^^^ * ^°^ ^® triangle ,

K =s — • D'où, par le 4«r théorème, en prenant des axes parallèles dont un au

(j)* ib c cd^

moins passe par son centre, i^=-r- — ('«•-r«» = + 7^« expression dont il tkudra

changer érideinmoDt le signe quand on changera le sens d'un des deux axes.

on a

84. L6r!st|Ué la figure de la section transversale (Ifif. i) est un cercle dont r est le rayon , Peipression générale du moment t devient

On conclut de ce qui précède que les résistances à la flexion du carré et du cercle qui lui est inscrit sont entre elles dans le

rapport de 1 à t^ (*)•

lo

(*) $ i. Détermination plu* simple du moment d^inertie du cerele. -* On obtient plus facilement ce résultat en remarquant, avec fMi M. ringénieur en chef de Guiliebon (Cours lithographie, 1840- ISilil), que les moments dlnertie autour de tous les diamètres sont

égaux et qu'on a ainsi « pour le cercle, fvl^d/^ = ^ /(u* + t^)d(o = la

moitié du moment dMnertie dit polaire (M. Peray) /2*d<^ de la section autour de son centre, z étant la distance du centre à Télément dtù. or ce dernier moment, en réunissant ensemble tous les éléments pour lesquels z est lelnème et qui forment une couronna d^épaisseur dz et de superficie ^loidz , peut être mis sous la forma

^dz et est égal k 2iï ^. On a donc pour le moment autour d'un diamètre

S 2» Sa détermination élémentaire. — - Bien que l'intégrale fz^dz puisse être présentée et calculée élémentairement comme nous avons dit au S 2 de la note du n* 81, on peut aussi, et d'une manière plus complètement géométrique, appliquer à la détermination du moment d'inertie autour du centre une méthode analogue à celle qu'emploie M. Poncelet (même note) pour les moments autour de

tu

(Du B* 84).

droites. On n^a qu'à imaginer qu'en cliaque point de la section l*on ait élevé sur son plan une perpendiculaire égale à la distance de ce point au centre ; on aura ainsi formé un solide dont la coupe, par un planGOD, est cc'od'd et qui, pour le cercle, n est autre chose qu'un cylindredroité vidé par un cône c'od de même base et de même hauteur. La somme dés produits des éléments de ce solide par leurs distances \ son axe oo' sera le moment d'inertie polaire cherché ; or il est divisible en autant de pyramides Omn à base rectangulaire mnxcc'=i mn x r que la circonférence contient d'arcs élémentaires mn. La somme des produits dont on vient de parler, pour les éléments de cette petite pyramide, n'est autre chose que son moment statique par rapport à un plan mené par 0 parallèlement à sa base ; elle a donc pour valeur

le volume m» xr.^ multiplié par la distance 7 r de son centre de

o II

gravité à ce plan , ou

7 r* X mn;

et tel est le momeid ^polaire du petit secteur dont Parc est mn. Ajoutant ceux de tous les secteurs, on a pour tout le cercle

r r* X 27;r, comme ci-dessus.

S 8. HÎOTnent d^inertie^ moment statique et aire de portions

d'un cercle de rayon r. On les obtient par une intégration comme celle du texte.

V Soit la portion P'M'W'P'' comprise entre l'arc M'M" = r(x"— ar') et les deux ordonnées

M'P' = rcosx', M''F' = rcosx"

perpendiculaires au diamètre OCu par rapport auquel on prend les moments. On aura

ART. m. FUXION. 65

(Du A* 84).

rrsiii*" f«" /iîii«"coiar" a/' tiiur'eosdK it'\

Aire w = \ tf(rsiiia;).rooMr=^r* \ djp.eot^=)* 1 r 1+ -3 a ~ T I »

Jrsin«' J*» \ J a a 8/

Moment stotique Vd(r8lnx) (TÇI^^-^ ^ C dj.C0S«X =

Vonmi d*iiMrtie \ d(rsin x) È2^Z = ^ f dx.cos^x =

r^ /simf^cùa^af^ , 3 sim/'coaag'^ . 3 ^, sliug'cos V 3 sinx'coar^ 3^ A

2* M6me portion lorsque les extrémités U% M'' de Tare sont à égale distance de celles A, G da quart de cercle AG. Alors

a/' = ^ "" ^» sin a/' = cosx', cobx" ^ slna:* sîn 2x" = sin 2x'.

fi Airt«=^(5-2a:').

Moment tUtiqne = - (2— Sinx'COSi') (COSX*— sinx')» Moment d'inertie I = ^ (j-î^'- ^^^^ •

3* Portion QBAB'Q' où Tare est B AB' = 2roi qui a sa corde parallèle àTaxeOGu. Alorsjc'zs — «, a:"=a.

Aire (Il = -^ (2a 4- 8in2ac).

Moment tUtiqne •^sina(2 + COS'a) = -^-slnaCS + COS2a).

Moment d'inertie 1 =- / ^a + — ^ + -jg-J.

&* Segment BAB'D dont Tangle au centre est 2a et dont la corde e8tc=:2rsina.

En retranchant des trois expressions (3*) qu'on vient d'obtenir ce qui est relatifau rectangle QBB'Q dont Taire et les moments sont

(Du n* 84)*

« . *.-j (rcosa)' ^ . (rcosa)'

2rsin«.fcosa, 2rsin«i — s-^» ^rstniii — g— i-,

on a pour le segment

Aire u> = y (2a-.sin2a) = ^ r«a« ^1 -.- + -... j =

= r«(arcsin^-^0Z^).

Moment statique = ^ (rsinic)^ == -^ autour du diamètre parallèle à la

corde,

./a sin/ia\ 2r*a8 /, 4 ^ . 32 , \ Moment d'inertie totonr de irfem, I ^ r*( t r^ ) =""â~ ( ^""&* +TÂ5*^~"*- )

.»r»[i<irc.lii|:-^(»-^) yn^].

6* Même segment Moment d'Inertie autour du diamètre perpendiculaire à sa corde. On Tobtient en faisant x* =a ^ — a , x''=: s + ' Hans Texpression générale du i", ce qui donne

s A. Moments d^ineriie d^une ellipse autour de ses axes ou diamètres principaux b, e. — Son moment V autour de b se dédoit facilement de celui dû cercle ayant pour diamètre c; car, comme les deux figures peuvent être décomposées, par des ordonnées pa* rallèles à c, en im même nombre de rectangles élémentaires de même hauteur cbacuo à chacun, ayant des bases comme 6 est à c,

on obtiendra l' en multipliant par - le moment | (| ] du cercle autour de son diamètre, et on aura de même r, moment de Tellipse autour da second axe c, 6n multipliant par |. Donc ces moments principaux de Fellipse ont pour valeurs

AHT. m. ^r.BXioM. 67

88. Le moment de flexion d'un tuyau est la différence des moments de flexion de deux cylindres; r' et r" étant les rayons* extérieur et intérieur du tuyau, le moment sera

I l« III ■!

Les moments d'inertie d^m segment d^ellipse ayant sa corde parallèle à l*an des deux axes, aQtonr de cet axe et autour de l'autre, se

déduiraient de la môme manière, en multipliant par - ou par r» les

moments d'inertie des segments de cercle duparagraphe précédent

(*) Si. Méthode de quadrature pour le calcul approximatif des moments ^inertie défigures quelconques, — Nous renvoyons, comme iK>us avons dit, à la note du n** 120, le tableau des moments d'inertie des diverses autres figures usitées pour les pièces métalliques, etc.

Mais c'est ici le lieu d'indiquer le caltml approximatif des moments de figures quelconques par la méthode dite de quadrature^ trouvée par Thomas Simpson {MathematiçcU dissertations, i7Adj^ p. 109), et qui est plus usuelle et aussi exacte que oelle deLegeodrai rapportée par Piavier ci-après n* d5S à propos des voûtes.

5 2. Démonstration élémentaire de la formule de Simpson. ^ Élémentairement, cette méthode générale d'évaluation d^une Inté^ grale définie représentée par une aire comprise entre une portion de courbe, ses deux ordonnées extrêmes et Paxe des abscisses, peut ^tre considérée comme substituant à. cette courbe, au lieu d^ine suite de très-petites lignes droites ou de pente uniforme sur Taxe des abscisses , une suite moins nombreuse de lignes un peu plus lon«^ gués et de pente uniformément croissante ou décroissante qu'on peut aiStreindre toujours à passer, chacune, par trois points de la courbe, en disposant à la fols de la valeur initiale de leur pente et de la rapidité plus ou moins grande de sa variation.

Soit mjnim^ une pareiUe ligne , pjp^ la partie correspondante de l'axe des abscisses, p,m„ = y,, Pi^i = yi» Pî^i=" yi» les ordon« nées de ses trois points m» , nii , m, , et poPi = pj?, = A , les parties de Taxe des abscisses répondant à leurs intervalles supposés égaux. nous appelons sa pente , en un point queleonqué n , la tangente de

8ECT. I. BÉSISrANCB DES SOLIDES.

(Da n* 6ft)«

*/«' Pi

Tangle que fait avec Taxe des abscisses son élément nn', ou le rapport de raccroissement de l*ordonnée à Taccroissement de Tabscisse quand on passe de ce point à un autre très-voisin n\ rapport qui est aussi celui des projections de Télément sur les deux axes coordonnés. Cette pente de la courbe, en n, surpassera par hypo* thèse sa pente en m^, ou la pente de sa tangente m^rr'b^ d'une

quantité proportionnelle à Tabscisse p^q de n comptée depuis p^\ en sorte qu^en considérant les portions nr^ n'r des deux ordonnées voisines nq , v!q\ prises seulement jusqu'à la tangente , la seconde nV excédera la première nr d*une quantité proportionnelle à qq^ et à Tabscisse jpiÇ dont qqi est Tincrément Chaque portion semblable d'ordonnée, par exemple nr elle-même ou bien mjb^ résulte de Taccumulation, depuis m^^ de pareils excé- 'dants, proportionnels comme on voit aux produits des abscisses antérieures par leurs incréments successifs ; ces portions d'ordonnées, comprises entre la moitié de courbe m^m^ et sa tangente en m^, sont donc comme les aires des triangles rectangles qui auraient pour bases et pour hauteurs leurs abscisses respectives, et, par conséquent, sont comme les carrés de ces abscisses. De même les portions d'ordonnées de la partie de courbe m^m^, où la pente décrotta compter demi, comme croit celle de m^rn^^ seront proportlonnelles aux carrés des portions d'abscisses correspondantes, comptées en arrière depuis p^ , en sorte qu'on aura la portion extrême d'ordonnée m,a égale à celle mjb.

Ayant ainsi établi cette propriété dont jouit notre courbe de pente uniformément croissante ou décroissante , ^aixnr ses poT" lions d^ordonrUesjusqu^à une même tangente^ proportionnelles aux carrés des abscisses rectangulaires ou obliques comptées depuis le point de tangence^ nous pouvons conclure avec Simpson (qui la suppose à priori dans la courbe qu'il choisit) que les aires m|6m|, miam, seront le tiers des parallélogrammes égaux circonscrits mxbm^^ ntiom^c^ « par la même raison», dit-ll, « que la pyramide,

ART. lU. FLEXION, 69

dont les sections faites par un plan parallèle à la base sont comme les carrés de leurs distances au sommet, est le tiers de son prisme circonscrit » (voyez d^iUeurs ce qu^on a démontré des sommes de produits appelés Yv, Vv à la note du n* 81). Donc, continue Simpson^ vu que Taire du trapèze p^m^m^^ est

et que Taire du trapèze p.abp^ estp^p, x p^ml = 2Ay, , la première de ces deux quantités excède Taire curviligne cherchée p.mjm{m^p^ du double de ce dont cette aire excède la seconde ; donc « deux fois la seconde 2Ayi ajouté à une fois la première A(y. + y^) fera justement trois fois Taire, » et par conséquent on aura pour cette aire elle-même comprise entre Taxe des abscisses, les deux ordonnées extrêmes y., y, distantes de 2A, et la portion de courbe passant aux points m« , m^, m, :

pjnjn^m^^ = - (y, + UVi + yO»

% 3. Sa forme générale. — D*où Ton conclut facilement, avec le même géomètre, en partageant une aire comprise entre une courbe et trois lignes droites, ou, plus généralement, entre deux courbes quelconques et deux lignes droites parallèles de longueurs y.f yi» 9 6n un nombre pair 2n de zones par des ordonnées ou lignes équidistantes yi, y^.. parallèles à celles-ci, dont elles sont distantes de h ainsi qu'entre elles, que si Ton substitue approximativement, aux courbes, des suites de lignes ayant une pente uniformément croissante sur les droites qui coupent toutes les or-* données orthogonalement (ou des suites de paraboles ordinaires à axe parallèle aux ordonnées) , on a pour Taire, ou pour Tintégrale définie à laquelle elle revient,

ydx = 5(yo+4yi+2y,+4y,+2y^4-...+2yi»-i+4ytii.i+yH).

S lu Deux manières de remployer pour le calcul des moments â^inertie. — En appliquant cette formule d^approximation au moment dMnertie d'une aire autour d'une ligne Ou, on peut prendre à volonté Tintégrale double /r*d(D—/v*du(2v, d'abord par rapport h r, ou d'abord par rapport h u.

SëGT. I. RtelfiTAIXGfi DSS SOLIDES.

(DU n« 65).

Prlie d'abord par rapport à v, ello revient» pour la ligne comprise entre la courbe AGB et sa projection ab sur Taxe des abscisses u « en désignant par u«, U les abscisses extrêmes Oa, 06, et par y l'ordonnée pm du contour répondant à Tabsclsse quelconque Op=t<f &

M. Poncelet donne, en conséquence, en divisant la projectio^ U — Ué en 2n parties h et en appelant y. , y i . .. les coordonnées aux points de division, y compris les ordonnées extrêmes» cette for* mule d'approximation

Prise d'abord par rapport à u, l'intégrale 1, pour une figure généralement comprise entre deux courbes AC, BD et deux parallèles AB, CD à Taxe des u ( parallèles qui peuvent être nulles l'une ou l'autre ou toutes deux), en désignant par t?., V les distances de ces parallèles à cet axe , et par x une parallèle quelconque mn à la distance v :

v^xdv*

M» Bélanger donne en conséquence (Cours lithographie de Méca-

.nlque à l'Écoledas ponts et chaussées , iS4&-1849, n* SS, p. 17), en

divisant la hauteur V— r, en 2n parties k et en appelant a^, X| ... les

parallèles aux points de division, y compris celles extrêmes AB^GD »

La première de ces deux formules sera préférable à la seconde lorsque, d'après la forme du c(Atour de la âgurof les diverses parties «Ma Mfçt\p. fiyant pohf coordonnées m h % seront plus assi-

A AT. m, PI^BXION. ' 71

86. Considérons, comme dans le n" 77^ un solide prismatique droit (Fig. 5) encastré horizontalement d'une extrémité A, et chargé à l'autre extrémité d'un poids.

. Nommons :

X rabscisse Ap d'un point m de la courbe du solide comptée

sur rhorizontalê AB; y l'ordonnée pm;

p le rayon du cercle osculateur de la courbe du solide en m; P le poids placé à l'extrémité M du solide ; a la distance horizontale AB des deux extrémités du solide ; f l'ordonnée BM de l'extrémité de la courbe; s la longueur AmM du solide ; a l'angle formé avec Thorizon par la tangente de la courbe du

solide à l'extrémité M ; c la valeur du moment de la résistance à la flexion du solide,

dqnt l'expression générale est donnée n'^SO.

Uéquation d'équilibre du n^" 79 est

milables à des paraboles à axe perpendiculaire aux u, que celles de la ligne ayant pour ooordonDées v et xv* ne le seront à des paraboles à ake perpendiculaire aux v, ou quand les pentes de la première sur lesu varieront plus régulièrement que les pentes de la se- ' conde sur les v. On pfcn^ra la seconde formule dans le cas contraire.

Quand 11 y aura incertitude , ou quand on ne se sera pas donné la peine de faire une pareille comparaison, on pourra contrôler ces deux formules Tune par l'autre. Ou bien, on se contentera de contrôler le résultat de Tune des deux avec un certain nombre d'ordonnées, par celui qu*on obtient avec un nombre double.

Tout ceci se dirait également d'autres formules de quadrature que celle de Simpson , par exemple de celle que M. Pohcelet a proposée il y a peu d'années, et qui se trouve exposée au Traiié élémentaire de Mécanique de M» Sonnet 4 iSôl.

SECr. I. RtSISTANCB DBS SOLIDES.

c'est-à-dire

dx*

— = ?la—x]:

et^ dans le cas oir la flexion est très^petitQ; ce qui permet de négliger le carré de -^ , on a

. (♦) S i« Démomtration élémentaire de Pexpressùm /= -^ de la

flèche de ccmrbur e.^Menons^ à la courbe, deux tangentes infiniment

voisines mn^ m'n'. Elles Intercepteront sur cette flèche ou ordonnée MB, qui leur est sensiblement perpendiculaire, une portion

nn =^mn*

mm

puisque leur angle est égal à celui des normales en m, m'. Appelant X la projection Up de mn sur Phorizontale Bpp'Â, et x son Incrément 2>p', on aura mn=:X, mm'^x à cela près de quantités négligeables comme infiniment plus petites que mm'» nn'\ donc comme