PX P

- = — » on a nn'= -— X*x. La somme de toutes ces quantités de-

PitS puis X= 0 Jusqu'à X=£ a» ou la flèche MB, sera bien /= -^-t

soit qu*on intègre, soit qu*on assimile, comme on a dit dans la note

ART. m. FLfiXlON. 7.3

(Du n* Sm).

da n* 81» la somme des X*x aa Yolume d'une pyramide ayant une base a* et une hauteur a,

$ % La courbe élcistique est une parabole du troisième degré avec if^exian enM. — En effet, en faisant dans son équation

«=a — x'cosa, y = y'+/— x'sina,

ce qui est rapporter cette courbe à sa tangente en M prise pour axe oblique des a/ et à MP pris pour axe des y', elle se réduit k

, ffx'cosoiy

La courbure est nulle au point M d'application de la force P.

S 3. Flèche et arc déterminés plus exactement. Expressions ap* plicables quand lajlexion rCestpas irès'petite, — On ramène* du reste, dans le cas général où la flexion est quelconque, la détermination de la courbe aux quadratures, ainsi que Tout remarqué depuis longtemps Jacques BernouUi (^) et Euler (*) ; et Ton peut obtenir sA équation, soit par les transcendantes elliptiques (*), soit, comme on va le voir, en série ordinairement convergente.

Remarquons pour cela qu'en appelant s la longueur de Tare de

courbe Am, on ad8*=dr'+cîy*, - = \f $ d'où, pour première intégrale de l'équation - = P(a— 2),

« dy V [ x^\

valeur qui , substituée dans

(1) Cwrvalwa laminte eUuUem, AeU eradilorom , Llpti«» 4694 , joiD, p. S69 , 00 OEunet, p. 576. El, aussi , FéritaUt hypothèse de la r^Uianee des toUdei , an HéuMires de l' Académie, 4705.

(*) MetkoduM inveniendi Uneat curvas, ele. Addllamentun de Cmrvii elasUciij

(*) NoU sur le» flexionë considérables des vergée iloitiquee , au Jonnal de M. UoiiTille, 4844.

lu SEGT. I. BÉSI8TANGI 0E8 80UDBS.

(Duno^^).

, , ds , . dm

dy = dx — - da =

donnera» si Ton intègre, les valeurs de

2^ et s en x*

Or si nous remplaçons 1 1 — (-^ j | ^ par son développement 1 (dyy i.3 (dyy. 1.3.5 (dy^

^■^2V5i; '^2M\dSj "^a^reW **"

rintégration devient facile, et les termes des séries suivent une loi simple en faisant a— xsx', d*où ;^ = â- (a*^x'*). On a ainsi

a '^ 2e U SaV'^SVStJVa 3a» "^Sa» 75^/"^ 1.3 /Pa«\ » /x' 5 x'^ . 10 x" 10 x^^ ^'^ 1 x'*»\

Zlf— .?! 1 /Pa»\ * fx' 2 x^^ lx[^\

i^/Pa*y/x'ûx;^ 6x;^4x2 ix^x

"**2./i\26; Va 3a«"'"5a» 7a'"'"9a»j'^

D*oû l'on tire , en faisant x' = a, y = o,s = 0, pour la Hèchô/ et pour la longueur totale s de l'arc de la courbe

f i Pa« 1 /Pa«\»/ 3 fPa^y . 5 /Pa*\'y ,

5"3'~ ' 5:7 v~r; "^Trôiî'V e ; "^'uiaiôv^; ^

j 1 /Pa»y 1.3 /Pa'Y 1.3.5 /Pa*y a~*"^3.5\« / "^ 5.7.9 Ve ) "*" 7.9,11.13 \ ^ / '^"*

Et comme la valeurde^pourx==aoux^=Oestsina, on a

Pa«

d'oft

* - Pa* i /Pa*\' . 1.3 /Pa»\» ^ 1.3.5 /Pa«\' . >

ART. m. FLEXION. 75

87. Quand le solide est posé horizontalement pai^ deux ap* puis (Flg. 6)^ les équations précédentes conviennent à la courbe formée par chacune des moitiés. Nommant :

f la flèche AG de la courbe du solide ; 3P le poids suspendu au milieu du solide ; 3a la distance MM' des appuis $ 2« la longueur MAM' du solide entre les appuis; a l'iadinaison de la courbe à l'extrémité M';

on a, en supposant la courbure du solide très-petite,

, = « + ^, tang« = ^.

La flèche de courbure est proportionnelle au poids 2P et au cube

de la distance des appuis (*)•

La courbe complète infléchie en M a sa tangente parallèle à Taxe des x ou x' aux points a:' = :t: a, et parallèle à Taxe des y aux points

1 + ^-5 quand -^ reste plus petit que 1. Elle présente alors une infinité de circonvolutions égales entre les deux droites que déterminent ces dernières valeurs de x\ et ofl'rant une symétrie alterne par rapport à la direction de la force P. C'est la quatrième des neuf espèces de courbes élastiques planes d'Euler.

(♦) S 1. Calcul éTune valeur plus approchée de la flèche d'une pièce po^éé.— Pour robtenir, il faut, comme quelques auteurs anglais (mais avec plus d'exactitude), avoir égard à ce que la réaction des appuis M, M' n'est pas verticale. Nous la regarderons comme normale à la pièce fléchie ; car il n'est pas nécessaire de faire entrer en considération le frottement qui agit tantôt dans un sénjt tantôt dans le sens

opposé pour peu que la pièce et le poids suspendu SP oscillent Cette

P réaction normale estj pour chaque appui , ^-^-^ puisque sa composante verticale est P; et elle a une composante horizontale

P -^sina, en sorte que l'équation complète d^ moments est

= =hay/

DU n* 97 ).

1 = P(a— x) + Ptanga(/— y). Mais on

D^a plus de terme en y au second membre et on rend Téqùation intégrable par quadratures en prenant d'autres coordonnées Qd^ y't dont les axes sont la tangente et la normale au point M» ce qai donne pour équation» s' étant Tare à partir de ce point :

dxf

cosa

af; d OÙ -fV = -rr — jr* ' ds' ecosa 3

Cette intégrale première donne une relation entre les inconnues / et « en faisant x' = acosa +/sina, qui est sa valeur au point

milieu A de la pièce posée , et ^ = sina ; on a ainsi

SsinoECOSa» - (acosoE + /sina)<;

d'où

cosa

ypa'

cosa

a sin a ' V P^* Bin a *

différence de deux quantités très-grandes. On obtient une seconde relation entre/ et a en mettant pour ^

dy'

sa valeur

2c cosa

dans la série obtenue à la note précédente

dsi;^dy' . l/^'\» i.3 /^V . 1.3.5 (d^y et intégrant de manière que y' = 0 pour x'=0 ; ce qui donne

^2.4\2ecosa/ il ^ '- '

26COsa 3

puis, en remarquant que cette équation de la courbe élastique doit être satisfaite, pour te point A, par

/sina A/2e sllTâ /i a"~co«« V^û*'cosa'\ï

x' = acosa +/sina On tire ainsi

Sin a COS a

,**y' = asîna — ^/COSo.

sin g isin'g l.Ssin^a 3 "^2 7 "^2.4 il "*'

( Do n* 89 ).

Pour aToir ce» on n*a qa*à éliminer -, ou & égaler les deux râleurs

de ce rapport , ce qui fournit :

2£Sinaco8a"~ ^1 3 ^2' 7 ^2.4 11

, 1.3 6 sin'tt .

ou, en élevant au carré :

Ptt* . fz — -î-r- / f2 TT- . 8in*a , 8in*a , 3sln«« . \«

— = 8in«Vl-8ln««.(^^^r=aK + -g-+- + -^. + ...J =

. 6 . , lô , . 223 ., -

= 8in« -^ -sin«. -gjjjsin'a-. — ggsin'a + ... ;

d^où, par la formule générale de retour des suites

qu'on tire , par coefficients indéterminés » de T == AX + GX* +

EX» + GX'+...,

. Pa« 5 /Pa«\« , 1069/Pa*\« ,

et» par conséquent,

COSa "^^ 2i ^8V2e/ ^ 63 \,2t J ^ "•

Substituons dans la seconde râleur de -» nous trouTons, tout

calcul fait, cette expression pour la flèche/ de la pièce 2a posée sur

deux appuis et chargée au milieu d'un poids 2P :

/ i Pa« , 2 /Pa*\» 3àd /Pa"\'