partie* en sorte que son bras de levier est -^ ' et, en égalant leur
moment à celui des forces intérieures, on a - ou e -y^ «p {a^x) ^
S 3. Flèche f'^'^ déterminée d'une manière élémentaire, -^011
80 SEGT. I. BÉSISTANCB DES SOLIDES.
90. Lorsqu'un solide, posé horizontalement sur deux appuis (Fig. 8), est chargé par des poids distribués uniformément sur sa longueur, chaque moitié est dans le même cas que si ^ étant encastrée horizontalement à une extrémité, elle était fléchie à la fois par des poids distribués uniformément sur sa longueur, et par une force égale à la somme de ces poids, et agissant en sens contraire à l'autre extrémité. On a donc
(ax* a^\ /ii*a^ ax^ , x*\
Diaprés le n"" 87, si le poids ipa était suspendu au milieu du so-
y arrive comme au S i de la note du n* 86» en mettant pX ^ aulleu
de PX» d*où rélément rm* de la flèche ^ |-X*k dont la somme, de
X«0 à X=(X, est bien (SS 2 et 3 de la note du n*81)-^.
S A. Expression analytique plus approchée de cette Jlèche î et de V angle ou — On les obtient, principalement pour le cas où la flexion n*est pas très-petite, en posant, comme à la note du n"" 86,
. W p(iL=^, cequi, enfaisanta-x=:ï', f = J(a»-»^;.
«.bstituant dans dy = dx [^^ + \ (|)[V ^^ (|)V ....] . et
intégrant, donne une expression def—y en série ; sa valeur pour a;'=a ou x= 0, y = 0, est, en divisant par a :
Et Ton a sina égal à la valeur de ^ pour x'=0, d^où
lide au lieu d'être répartie uniformément sur toute sa longueur, la flèche serait plus grande dans le rapport de S à 5. Ces résultais sont confirmés par Texpérience (*).
{*) $ i. V équation de la courbe s* étend à ses deux moitiés dans ce cas, mais non lorsqiCil y a un poids 2P suspendu au milieu. —
(a*x* X* \ -r rr )
donne des râleurs de y égales lorsqu^on change x en— x. Mais il
-X — — j du n* 86; les
deux moitiés, quand il y a un poids suspendu au milieu , sont deux courbes différentes , qui ne font que se raccorder ou qui ont iipe tangente commune et le même rayon de courbure à leur jonction.
S 2. Raccordements à tous les points où il y a des forces isolées^ ou discontinuité d'action. Petits angles résultant des glissements à ces points, — La même chose s'observera constamment par la suite. En tous les points des prismes fléchis où il y a des forces extérieures isolées, comme en tous ceux où les forces réparties changent dMntensité par unité de longueur, la courbe change aussi. Il n^est pas nécessaire, pour avoir la suite de ces changements, de recourir aux formules de discontinuité , employées par Poisson , principalement au n* 32Zi de la deuxième édition (1833) de son Traité de mécanique ; on peut établir successivement les équations des diverses parties, en déterminant les constantes de manière qu^à leurs jonctions elles aient, avec le môme rayon de courbure, une tangente commune, à moins qu'on ne tienne compte des glissements , car alors (voyez notes des n*" 152 à 155} les deux tangentes doivent faire entre elles un petit angle.
S 3. Approximation un peu plus grande de la flèche de couf^ bure î et de V angle a des inclinaisons extrêmes pour la pièce posée et chargée uniformément 9 avec un poids additioîinel au milieu, -^ En raisonnant comme au $ 1 de la note du n** 87, et en supposant que ia pièce supporte, outre la charge 2P au milieu, le poids 2pa réparti uniformément sur sa longueur, on peut poser une équation d'équilibre (dont le dernier terme n'est qu'approché).
•2 &£GT. 1. HÊSlStÂMCÈ tm SOUDÉS.
91. Pour appliquer les résultats précédents à un ôorps donné, 11 faudra substituer à la place de t Tetpresslon du moment de flexion qui convient à la figure de la section transversale de te corps^ conformément aux n"^ 80 et suivants. On attribuera à la constante E (n** 77) la valeur qui convient à la nature du corps et qui doit être déterminée par l'observation.
Les expériences les plus propres à déterminer cette valeur consistent à placer horizontalement un solide prismatique aur deux appuis^ à le charger au milieu d'un poids et à observer la flèche de la courbure produite par ce poids. Si la section transversale du solide est un rectangle (t<*ig. 2] dont les côtés soient
bc^ op (2a)^
6 et c, on a (n** 81), e=E — -, et (n* 87) f=— ^-^ : donc
tt^ «■-,«■
daf CCS a '^ 2cosa
et en tirer, de même, deux équations entre les ineonnoaa « et -.
Elles sont compliquées et ne peuvent se résoudre que par t&tonne-
Pet' Dûl'
ment en attribuant des valeurs numériques à — et ^-— . Mais
hous pouvons nous contenter, pour avoir une formule générale donnant une approximation, de retrancher les valeurs
a-2 Ae +35 U^y ®^ ^°*" ~ 6e + 2 V 6^ )
obtenues, à la fin du $ û de la note du n** 89, pour une pièce encastrée et uniformément chargée, des valeurs des mêmes quantités obtenues à la fin du $ 1 de la note du n*" 87, en mettant, dans celles-ci , P +pa au lieu de P, réaction verticale de chaque appui ; ce qui donne
/ 8P + ^pa a}
3P + 2pa tang a = g-^-
ii+Ë(p+î'«)'-iâ-o(p«)'](sy
ABT. Ht. rL£XlON. 81
în étant l'intervalle des appuis et 2P le poids placé au milieu de la longueur du solide.
Si la section transversale est un cercle, on a
r désignant le rayon du cercle.
92. On doit quelquefois tenir compte de l'action du poids du solide. On y parviendra,- d'après le n" 90^ en ajoutant à !2P les 5/8 de ce poids. Ainsi, en le désignant par 211, on a pour le cas d'une teetion rectangulaire
et pour le cas d'une section circulaire
/■= -^^, E ^2P + g . ânj ^^-ï-^ ( ).
(*] $ i. Géiièralisaiion et approximation plus grande, — Quelle que soit la section dont nous appellerons 1 le moment dMnertie, et qu'on suppose sollicitée parallèlement à Vun de ses aoces principaux (note du n"" 83} , on a
Plus approximativement, en se servant de la valeur développée de
"^ en ^ de la fin du S 3 de la note du n« 90, et en se fondant sur ce a El
qu'en général, par le retour des restes suivi d^une division :
isprettion Y=r AX 4- CX» + donne v == y 1 * + J (x) + j
El
on tirera la valeur de -,, d*où
Sk SEGT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
95. On remarquera enfin qu'il n'est pas nécessaire de connaître les valeurs absolues du poids placé au milieu du solide et de la flèche de courbure correspondante^ mais seulement l'accroissement de la flèche de courbure correspondant à un accroissement donné de ce poids. En efiet, nommant P'^P'' deux valeurs successives de F, et f, f les deux valeurs correspondantes de /*, l'une ou l'autre des équations précédentes donne pour une section rectangulaire
Nous allons maintenant exposer les résultats des expériences connues j d'après lesquelles on peut déterminer les valeurs de la constante E qui conviennent à divers corps. Ces valeurs ne peuvent être données exactement qu'au moyen d'expériences
S 2. Emploi de lajlexion circulaire. — M. Ernest Lamarle a fait, àGand (*), des expériences sur lesquelles nous reviendrons, où des pièces horizontales étaient fléchies par deux poids éjçaux P suspendus à des distances égales A* des extrémités soutenues ; en sorte que le
El
momept de flexion — , entre les deux points de suspension des
poids, était constant et égal à celui PA; de chacun des couples qui agissaient de part et d*autre. En appelant 2a la distance de ces points,/ la flèche au-dessous de leur niveau, on a a" +/* = ap/,
d'où l'expression E = PA;—^J>''- qui est exacte et non pas simple-
ment approximative. M. Lamarle observe que puisque toute la partie 2a de la pièce a une égale courbure, ce mode d'expérimentation est plus propre à donnei; la valeur moyenne du coefficient E pour toute la pièce, ainsi que celle de la limite des dilatations sans
(1) Premier mémoire nir la flexion du bois. Draxellei, 4844. Ezirall d«9 Jn-» noies des travaux publics de la Belgique,
dans lesquelles la flexion est fort petite. Quand l'extension ou la compression des fibres approchent du terme où la rupture doit avoir lieu, la résistance de ces fibres cesse ordinairement d'être exactement proportionnelle à' l'extension ou à la compression, comme on Ta supposé n»* 76 et 77 ; ce que l'on exprime en disant que l'élasticité est altérée (*).
94 à III (**).
partie permanente, que les expériences ordinaires où le poids 2P est au milieu et où la courbure est nulle aux extrémités.
(*)$!. Observation relative à rélasticité*^~fio\iB avons dit au $ 8 de la note du n* 21, que cette propriété subsistait entière après que la contexture a été modifiée, et que si Ton défalquait, après chaque mesure , les parties permanentes ou persistantes des extensions, compressions, flexions ou torsions, le reste était encore trouvé proportionnel aux efforts, avec des coefficients de proportionnalité ou d^élasticité généralement peu ou point différents de ce qu'ils étaient primitivement.
S 3. Approximation plus grande pour E. — De la différence de
/// ff f
deux expressions*^, — comme celle de - de la fin du S 3 de la
note du n' 90 on tirera, en opérant comme au S i de celle du n''92. (2P"— 2P') (2a)» r. , 72(2P"+2pa)«— (2P'+2pa)« //'— J
m^a^r. , 72(2P^^+2pa)»— (2P^+2pa)»//-/\'l '— /) L 7 (2P"— 2P')» \ 2a ; J
Par exemples! le rapport '^-s-^ delà flèche additionnelle à la
longueur est 1/30, et si F = 0, la quantité entre crochets, par laquelle il faut multiplier la formule du texte, est
i + ou
1,037 si ^ = 1/2, et 1,027 si ?p«l/3.
(**) Par la même raison qu'aux notes des n** /i à 20 et des n** 22 à 75, relatives à la compression et à Textension, on renvoie après le
86 SECr. J. R&8ISTAIICE PfiS SOLIDES.
