SOLIDE

112. Les fibres des corps^ quand on les soumet à des extao* sions OU à des accourcissements très-petits^ s'étendent ou $'accourcissent de la même quantité sous un même poids, comme on Ta dit n*« 76 et 77. Alors, si la section transversale est rectangulaire, les fibres dont la longueur ne varie pas lors de la flexion du corps sont au milieu de la hauteur de cette section. Quand' les variations de longueur des fibres sont plus considérables, ces fibres peuvent, sous le même effort, s'étendre plus ou moins qu'elles ne s'accourcissent. Alors les fibre3 invariables s^éloignent ou s'approchent de la face qui devient convexe lors de la flexion. La rupture a lieu quand les fibres étendues ne peuvent plus l'être davantage sans se séparer, ou quand les fibres corn* primées ne peuvent plus l'être davantage sans s'écraser.-

La rupture s'opère d'une manière différente selon les corps. Dans les pierres, le verre, les métaux fondus, il se fait une séparation brusque et totale sur toute la hauteur de la section. Dans les bois, les fibres sont écrasées vers la face concave, et arrachées irrégulièrement vers la face convexe. Dans les métaux forgés, la rupture n'est pas toujours accompagnée d'une séparation totale ou partielle. Les molécules, sans cesser d'être adhérentes, paraissent avoir pris près de la section de rupture de nouveUea po-

n*" 168 au complément des articles 1 à Vf , ces n** de 9/i à iil, qoq-» tenant des résultats d'expériences, auxquels on Joindra ceux fort nombreux qui ont été obtenus d^uis 1833.

Qu'il nous suflBse de dire ici , pour donner une idée générale des valeurs du nombre E, et nous mettro à même de présenter quelques «xemplej* de calcul numérique , qu'on a environ . pour le bois de ubAjae OM fie ^^p'in, F* = \ 200 OOO Oop ; fK»ur îç fe»", R ï? 20 pOO OOO poo:

pour i% fonte, F. = i 2 000 000 oeo.

^UT. |V. ^UPTURB PAi( FLEVOI9. 87

sitMm d'équiliMf ra y&^ ^esquelle^ la figure du solide a changé. 14^9 ^<mditioQ8 de la rupture dépendent de l'équilibre qui s'établit entre les forces qui tendent à rompre les corps, et le$ résistances dues aux forces développées par l'effet des extensions et oompiessions des fibres dans la section transversale où la rupture va s'opérer. Pour évaluer exactement ces résistances^ il fau« drait connaître : 4"* Taxe d'équilibre où sont placées les fibres invariables; 2* la valeur de la force produite dans une fibre par une extension ou une compression donnée. A défaut de ces connaissances^ que l'on ne pourrait acquérir que par des expériences délicates, on est obligé, pour obtenir au moins des évaluations approximatives, de recourir à des hypothèses.

113. L'hypothèse la plus simple, et généralement la moins éloignée de la vérité , consiste à admettre que les résistances des fibres , à l'instant où la rupture va s'opérer, sont encore proportionnelles aux extensions ou compressions de ces fibres, comme elles sont dans le cas d'une flexion très-petite. Alors l'état de la section transversale du cerps, à l'instant où la rupture va s'opérer, ne diffère point de l'état considéré dans les n®«77 et suivants. Seulement il faut concevoir que la fibre placée à la face convexe qui est la plus étendue , ou la fibre placée à la face concave qui est la plus accourcie, subissent le degré d'allongement ou d'accroissement qui est immédiatement suivi de la rupture.

La situation de l'axe d'équilibre, où sont placées les fibres invariables, se déterminera toujours par la même condition géométrique énoncée n*" 78. Supposons cet axe ainsi déterminé, et conservons les dénominations du n® 77, qui se rapportent à la Fig. 1 ; appelons de plus

1/ la distance à l'axe d'équilibre aa' de la fibre extrême située à la face convexe ou à la face concaye du solide, qui est

prêt0 k rompre i ^ une constante exprimant la force néce^^saire pour roiuprt; ua prisipe dont h s^^'^tîon transversale e$t Tiinité superfiriellej tiré dans le sens de lal<u>guçnr.

En remarquant que la résistance des fibres situées à la distance v' de Taxe ad est dudvJ^j et que la résistance des fibres situées

à la distance v du même axe est dudv —j , on aura pour Tex-

pression de la somme des moments de ces résistances^ pris par rapport à Taxe ad^

Nous nommerons celte expression moment de rupture du corps, et nous la désignerons par la lettre r (*).

(♦) S 1. Deuxième expression du moment de flexion, — Nous met tons ici r au lieu de p déjà employé par Navier (n** 77, 86) pour le rayon de courbure. La dénomination moment de rupture n'a pas été adoptée par ses successeurs. M. de Guillebon, Tun deux, a fait observer que la formule ci-dessus, susceptible d'être écrite, avec les simplifications de la note du n» 80

— ftj'dfo OU R-,,

n'est autre chose qu^une deuxième expression du moment de flexion

M qui a reçu à la même note une première expression M =-— ; R désignant, dans la deuxième, Teffort supporté par une fibre à la distance v' de la ligne des fibres invariables, pour l'unité superficielle de sa section ; et cette distance peut être arbitraire au lieu d'être la plus grande.

S 2. Cette deuxième expression ou équation M^=R — est tout aussi

exacte que lapremière'iA:=—'dans les mêmes limites. Son établis^

sèment direct et simple. — Elle est exacte comme l'autre, tant que les proportions des extensions et des compressions n'ont pas encore dépassé les limites de leur égalité sous des efibrts égaux et opposés et de leur proportionnalité à ces efforts , limites où Ton se tient ordinairement en définitive, comme on verra, lorsqu'on l'applique. On

peut l'établir d'une manière directe ainsi que celle V vdto = 0, don-

ART. IV. RUPTURE PAR FLEXION. 8t)

(Dim* tfS).

Dant les fibres invariables, sans Invoquer le n* 78 et sans même par*

1er du coefficient d^élasticité E ni de la courbure -, en admettant

seulement , comme on a fait au n** 77 et aux notes, que les fibres résistent à Textension comme si elles étaient isolées et que les longueurs des petites portions comprises entre deux sections voisines, senties mômes que si ces sections étaient restées des plans. En effet, sur ces deux plans très-voisins il y a une ligne, parallèle à leur lnter7 section, à travers laquelle les portions de fibre n'ont pas varié de longueur, et les dilatations éprouvées par les autres sont proportionnelles à leurs distances r, t/ à cette ligne, en sorte que R -, do»

exprime la résistance ou tension de celle qui est située à la distance v et dont la section est (fco, si les résistances sont restées dans le même rapport que ces dilatations positives ou négatives; d*où il suit que réquilibre de translation et l'équilibre de rotation de la partie du prisme comprise entre la section «o et une extrémité, ont bien pour

expressions -7/0^0)= o et-,/r"d« = le moment M, autour de la

même ligne, des forces extérieures agissant sur cette partie.

§ 3. Elle rCest pas applicable au delà de ces limites , si ce rCest en faisant varier le coefficient R qui représente alors autre chose que ce que donnent les expériences de rupture par extension ou compression longitudinale» — Cas de sections ou semblables ou ramenables les unes aux autres par augmentation des ordonnées ou des abscisses. — Mais les dilatations cessent pour Tordinaire, longtemps avant la rupture, d'être proportionnelles aux efforts qui les produisent (S 8 de la note du n' 21) , et les contractions d'être égales aux dilatations pour mêmes efforts ; aussi l'équation précédente

M=R-; qu'on peut écrire P =R — ; en appelant 2P la force transversale agissant au milieu d'une pièce de longueur 2a appuyée aux deux bouts (n"^ 90, 122), ne donne pas, même approximativement, la grandeur que doit avoir cette force 2P pour produire la rupture immédiate ou prochaine, en y mettant pour R la valeur qui résulte des expériences de rupture par traction et pour v' l'ordonnée des

90 SEÇT, I, ^)STA9|CP |)P9 aqi.iiiE4'

( Da n* ttS).

fibres les pim tendues 0u côté dôTei^tt pDiiv«it. Qo u*obtieiit p^g davantage cette |[randear au moyen de Téquation toute pareille

dans laquelle v"' est l'ordonnée des fibres qui sont les plus comprimées du côté devenu concave, et R' la force de compression produisant une contraction longitudinale qui entraîne des dilatations transversales reconnues capables de disjoindre latéralement les fibres (S 7, 8 de la note du n« 3), coefficient qui peut être fourni directement aussi ($ 9 de id) par des expériences d'écrasement, et qui, très-supérieur à l\ pour les n^^taux, lui est généralement infé* rieur pour les bois. «

On trouve bien, il est vrai, en faisant des expériences sur des pièces rectangulaires, que la force 2P rompant par flexion, est nonseulement en raison inverse de la longueur 2a (ce qui doit avoir lieu pour toutes les pièces prismatiques), mais encore, en raison directe de la largeur b et du carré c' de Tépaisseur ou hauteur des sections

bc^ c

conformément à. Téquation qui, pour ^ = tô « ^'^ ô pr^^iid la forme

bc* P= R TT- ; et Ton verra, à la note du n» 151, qu'on a la môme cbose Ça

pour toutes les sectionssemblables, ou pour toutes cellesquj, comm^ le rectangle ou TelUpse, peuvent se transforpier les unes dans les autres en amplifiant ou réduisant dans une même proportion toutes les abscisses ou toutes les coordonnées. Mais ce qu*on en tire alors pour R, après des expérieuces de rupture par flexion, est plus grand que la valeur de ce coefficient déduite d'expériences de rupture par extension et en est souvent plus que double, par exemple pour les pièces de fonte à section rectangle (ce qu'on expliquera k la note du n? 151). Et, pour des sections de diverses formes con^parées non ramenables ainsi les unes aux autres, les expériences de rupture par flexion ne sauraient même être représentées par une équ^-

f lAîi telle que P = B — , avef^ un coefficient R quelconque», * raelnj*

qu'on n« le fa«s.« varier pour mêiue Tnatâ^r^ *vec la fomie de« aei'-

liQ|i5 > S! (Pf^^ «V^î ItVi sityatiPÎ» par rapport f !» dlrecr^ioii d<^^

(Du D* ttS).

forces extérieures ; car, pour les pièces de fonte en 1\ par exemple,

il faudrait un nombre R plus grand en les retournant de manière ^

mettre en haut la plus petite nervure d'ftbord en bas (ci-après

note du q* 120).

C'est ^ulement au moyeu d'une pareille adaptation de la valeur

variable du coefficient R aux diverses former et situations des

j seelioQS quV>n peut arriver à prévoir par la formule P =s R -—^ le

poids capable de rompre les pièces d'échafaudages , barraquements et autres constructions temporaires dans lesquelles on peut approcher bien près du maximum des charges moyennant une surveillance active et des précautions journalières (voyez note du n* 151),

§ U» Elle donne cependant la résistance à Vénervaiion ou à Uk rupture éloignée, — Coefficient R^ de cette résistance permanente. — Heureusement que les calculs les plus fréquents et les plus utiles sont ceux de résistance des constructions permanentes. Or l'observation prouve que pour oellechci (ainsi qu'on a dit à la fin de la note du n* 21 et que l'exprimera Navier à la fin du n* 151 \ si Ton veut prévenir une rupture plus ou moins éloignée, due à Taltératlon (}q la eootextura ou à réservation de la matière avecle temps et le^ cirooQstances accidentelles, il faut que la plus grande dilatatioa ou Goiftraction longitudinale excède très-peu ou point celles qui varient d'une manière exactement proportiopnelle aux efforts qui les produisent. En conséquence en appelant, comme 4 la ^n des nqtes des n** 31 et 3t

R^, B'gf

les efforts (bien moindres que ceux qui sont appelés R et RO, répondant par unité de section à cette dilatation ou contraction, limite de celles que les fibres peuvent supporter indéfiniment sans danger, les équations

M=OU<R„p, M = OU<Ro';î>

^-xpriment aussi exactenieiit qu'on peut le désirer la double condirioD de non-énerv^riou on d<^ stabilité indéfinie de la cohésion de U roatière, «•4)nditio« i r^npllis partent , p#*ii» 1^ IHm^* le« plu« ét^n-

(Du ii« ttS).

dues du côté devenu convexe et pour les fibres les plus contractées du côté devenu concave.

Ainsi la recherche d*équations capables de représenter des états de flexion plus voisins de la rupture, et les changements successifs de position de Vaxe neutre ou ligne des fibres invariables n'a qu\in intérêt secondaire (ci-après note du n*" 151) ; et les expériences sur la manière dont les pièces rompent, ou plutôt dont les ruptures s'achèvent une fois commencées, ne peuvent nullement être invoquées contre la théorie qui nous a conduits à Téquation précédente dont remploi permet (et c'est là l'essentiel) de prévenir le corn" mencement de la rupture ou plutôt de l'énervation, sans s'occuper de ce qui suit, dont la considération peut seulement aider & la détermination des coefficients Rq, R o des formules.

S 5. Restriction relative à la nécessité de prendre en considération les glissements quelquefois. — Nous observerons toutefois que

l'équation M=Ro -.n'exprime complètement la condition de dila^ talions au plus égales à ,^ que quand c'est bien dans le sens des

fibres qu'a lieu la dilatation la plus grande; or, cela exige qu'il n'y ait pas de glissements transversaux ou qu'ils soient négligeables, car ils produisent des écartements moléculaires se composant avec les écartements longitudinaux pour amener un écartement résultant, légèrement oblique aux fibres. Nous apprendrons plus loin, (note des n"' 152 à 155) à calculer cette .influence des glissements, qui peut généralement être négligée lorsque le plus grand bras de levier des forces qui fléchissent excède sensiblement l'épaisseur de la pièce, ainsi que Coulomb l'avait pressenti (mémoire cité de 1773).

S 6. Équatùyn d'élasticité, Èquaiion de cohésion ou de stabilité. Section dangereuse. Point dangereux. Formes d'égale résistance,-^ L*équation

et réquation

Maximum de M = au plu R^ -7 oa R', —

(Du D« ttS).

dont les analogues sont P = £1, P=Ro<d ou R'o<0 pour le cas simple de Faction longitudinale (notes des n** 21 et 3), seront quelquefois appelées, la première» équation â^élasticité^ et la seconde, équation de €x>hésion permanente^ ou de stabilité ^ ou de résistance à la rupture éloignée.

Celle-ci (en nous bornant, pour fixer les idées, à considérer ici le côté des fibres étendues) donne

V Ro

ce qui servira à régler les dimensions transversales d*une pièce prismatique d'après le nombre Rq relatif à sa matière, et diaprés la plus grande valeur du moment variable M des forces qui la sollicitent

La section pour laquelle ce moment est le plus grand a été appelée par M. Poncelct, section dangereuse; et le point où elle est traversée par là fibre la plus tendue et le plus en danger de rompre, point dangereux. Cette section se trouve au milieu de la pièce lorsqu'elle est posée sur deux appuis et sollicitée comme aux n"** 122, 125, 126, et se trouve à Tencastrement dans le cas des n^* 121, 12/i. Le point dangereux est celui qui répond à la plus grande ordonnée tj =1/ quand on ne tient pas compte des glissements.

En efiTaçant Maximum ou en posant -=^ on a une équation

dont on tire des dimensions transversales variables avec le moment M, ou avec les distances du point d'application des forces et telles que toutes les sections seront également dangereuses ou ne fatigueront pas plus Tune que Tautre. On reviendra aux n*' /!i98 à 507, section quatrième , sur ces formes dites d'égale résistance ou de moindre volume considérées par Galilée dès l'origine de la théorie de la résistance des solides.

$ 7. Cas où. il faut poser V équation d'élasticité, ou calculer les déplacements des points j avant d'établir V équation de cohésion, — Celle-ci peut être posée directement dans les problèmes particuliers , toutes les fois que le moment M des forces sollicitantes est connu à priori^ ou déterminable directement aussi. Mais il faut se servir

9/| sect. 1. RtSlBTftNCE bËS SOUMS.

(Du n* ttt)«

é^abord de la première, ou ealcoler préalablement les flexkMui on les déplacements des^points {

1* Lorsque ces déplacements modifient sensiblement les bras de levier qui entrent dans M» comme 11 arrive notamment pour les pièces sollicitées debout ou très -obliquement

3* Lorsque tout ou partie des forces qui «itrent dans ce même moment sont des réactions de points fixes ou des actions mutuelles de pièces , ne pouvant être fournies en fonction des forces données par les seules équations d'équilibre de translation et de rotation générale de la statique élémentaire. Alors il faut (comme on verra surtout à la section quatrième), poser d'abord des expressions des déplacements en fonction des forces tant connues qu'inconnues, afin de déduire celles-ci des conditions que les déplacements doivent remplir aux points particuliers où elles agissent, par exemple de la nullité de ces déplacements aux points fixes , de leur direction obligée aux encastrements, de leur égalité pour deux pièces ou des portions d'une même pièce à leur Jonction, etc., en ne calculant, au reste, & chaque Jonction ou encastrement, que les résultantes et les moments résultants des réactions inconnues quand elles sont en nombre indéfini (ainsi qu'on Ta fait voir en 1837-1838 à des feuilles litbographiées de leçons de mécanique à l'École des ponts et chaussées, n"** li6, txlf ik8, /i9, S2, et en 18/ii3 aux Comptes rendus de l'Académie, t «YII, p^ 95& et p. 10225 à 1028).

3" Enfin, lorsqu'il y a lieu décomposer ensemble des effets simultanés de divers genres, comme une flexion avec un glissement ou une torsion. (Voyez notes des n*' 152 à 155, et de l'article V).

Il est d'ailleurs toujours utile de revenir souvent à la considération des déplacements et des dilatations, quand ce ne serait que pour ne pas se laisser éga'Ter, comme ont fait quelques auteurs anglais, par la considération exclusive des efforts intérieurs qui ne sont pas directement, comme les dilatations, ce qu'il est nécessaire de limiter, et qui n'ont pas toujours entre eux des rapports simples.

§ 8. Cas où -fOU TT, augmente en tronquant la section. — Sup-

poser alors la troncature qui donne à ce qvjotient sa plus grande valeur. —La rupture ou la disjonction des fibres les plus tendues

àiiT; IV. fttol^THkË FAft ËLbiiofi.

ftà

(Da n«iiA}.

OU les phis oompriméetf n*entratne pas toujours celle des autres fibres, et souvent la soustraction d*un certain nombre d'entre

elles ne fait qu'augmenter la grandeur de Ce quotient % ou -^ par

lequel nous estimons la résistance spécifique des diverses sections.

Soit, par exemple, un prisme à section carrée ABA'B' sollicité à

flééhlr dans le plan des diagonales BB', et dont oh suppose d'abord

que la màtièi^ (èomme les métaux fbndus), est bien plus sujette à

se désagréger ou à s'énerver par la tension que par une compression égale. Soit retranché de cette section, le triangle isocèle cBd traversé par les fibres les plus dilatées. On aperçoit de suite, silescôtésBcsBd

de ce triangle sont très-petits, que

la fraction 27 augmentera» cari en

même temps que le numérateur ne sera diminué que d'une quantité très-petite du second ordre, le dénominateur le sera d*une quantité

du premier ordre.

Pour voir Jusqu*où va une pareille augmentation de -, qui primitivement, si b est le côté du carré, avait une valeur donnée par

appelons y la proportion de la troncature des oùtés supérieurs du carré, en sorte que Bc = Bd =7.6. On obtiendra, d'abord , la position du centre de gravité G de la section tronquée, ou sa distance GO à \t diagonale AA', en diviàantpar l'aire nouvelle de la section :

son moment statique par rapport à cette diagonale. Comme le moment de la section primitive ou entière est nul, le moment (aussi statique) de la section nouvelle est égal, au signe près, à celui du triangle retranché cBd, ou à

96 SBGT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.

( Du n* lis }.

on a donc pour la distance chélrchée

d'où, pour la distance nouvelle Gt = v\ de la ligne des fibres invariables nGn parallèle à AA', à celle cd ou aux fibres les plus tendues

Pour avoir le moment dMnertie I| nouveau ou autour de nGn, prenons-le d'abord autour de la diagonale AÀ'. On aura, en partageant la figure en deux demi-carrés AB'A', \dp dont les côtés sont 6, (1 — y) b* 6^ 6Q UQ parallélogramme A!cdp dont la base est -f^ v^ et

la hauteur (1» y) -^« lavaleursuivante dece moment autour de AA':

2ï + — 2^— + tW2. 3 [(i-T) -2-J '

d'où, en retranchant (paragraphe & de la note du n* Si» p. US) , to, X GÔ* = b* ^^ . [^ . ^^'~yi* et en divisant par v\

I^__6^ 12 — A2t* 4- ASf — ISt» + r' t;\~"6v/2* 12— 12t+2t»

Le maximum de ce quotient a lieu pour r = 0,2AA0 et a pour valeur

en sorte que pour avoir théoriquement la résistance spécifique la plus grande possible, il faut retrancher, de la section , un triangle dont les côtés soient les 0,2/ii/i0 (ou presque le quart) de ceux du carré, et cette résistance est, ainsi, plus forte des 0,11 dû, ou de 1/9 À 1/S, que celle qui est offerte par le carré non tronqué.

On aurait le même résultat, mais en faisant la troncature à Tanglo opposé, si la matière était sensiblement plus si]fjette à s'énerver par

(Dan«ttS).

contraction suivie de disjonction latérale ($ 8 de la note du n" 3), que par dilatation des fibres, comme il arrive pour certains bois.

Mais si les fibres ont une égale disposition à se désagréger pour des dilatations et pour des contractions égales , il faut supposer la soustraction simultanée de deux petits triangles égaux Bç/; We'f* En appelant toujours 76 leurs côtés, on trouve pour le nouvel état

Le maximum de cette expression a lieu pour

résultat déjà signalé par Emerson {}\ mais en l'appliquant à une section triangulaire telle que ABA' et non à une section carrée, parce qu'il supposait la matière incompressible ^ ce qui revient à placer le neuiralaxis ou la ligne des fibres invariables sur la base inférieure. De cette troncature du carré du 1/9 des deux côtés il résulte

ou une augmoitation des 0,0535 ou de 77: à 7^ dans -,.

Si Ton considère comme Emerson la section triangulaire isocèle,

mais en faisant passer la ligne neutre ou des fibres invariables par le

centre de gravité du trapèze qui résulte de la troncature au som met ,

on trouve , par les dernières formules du § 3 de la note du n** 82 :

*i-^72 ï^pf t^i- 3 ^*-"TJ2T2^•

Le maximum de -f-p^pondra à 7=0,130/1 et aura pour va-

(*) Emerson* 9 Siechanict, leci. VUI , p. 4U. Ce passage esl cilé par M. Trcdgold (Force du fer coulé ^ iraducUoQ de 48S6, no 85) , et par U. Ilodgkioson ( Recherchée expérimentales, etc. 4846, p. 76 de U tr'aduclion de H. Pirel, insérée en 1855 aui Annules des ponts et chaussées, 4*' ficmestre).

(Du n* tI3).

leur ifois,09â2 celle — -= relative au triangle non tronqué.

Cette augmentation de -7 par des troncatures a lieu mâme lorsque

la section , au lieu d^oflTrir des pointes, se termine par des parties arrondies B, B'; car, si Ton en retranche deux segments cBd, dh'â! dont les cordes soient parallèles à l^axe Ou dujnoment, et dont les flèches

soient très-petites de Tordre 1, le dénominateur de -7 diminuera

d'une quanj;ité du même ordre, mais le numérateur diminuera d'une quantité bien plus petite puisqu'elle sera de Tordre 3/2, d'où il suit bien que cette troncature aura augmenté le quotient

V Par exemple soit une section circulaire

s^ pour laquelle on a, r étant le rayon, et le

moment étant pris autour du diamètre Ou

soit Y^* la flèche très-petite des segments retranchés, supposés égaux ; leur corde est 2 sixr (2r— Y^) ; Taire de chacun est à peu près