I .Yr. 2 v/Y^.2r = | r^ sj

le moment d'inertie nouveau est environ ^i ^ "r **''*• 3 ^^ V^» et comme la nouvelle valeur de v* est t?'i =r (1 — ► y). 1*oû a , à cela près de quantités d'ordre supérieur, ^ = -5- U+Y 3^ T*) ♦

dont le maximum, répondant à y = gj^ =<>»0i03, est

TÇTJ f

On obtient la solution exacte en appelant 2a l'angle au centre de chacun des deux segments retranchés, et en se servant de la quatrième formule du § 3 de la note du n* 8&, qui donne

(Du n* 118}.

eu sorte que le maximum de -f i répondant à a = o,taA3 5 , ou à T=: 0,0222, est

et donne ainsi une résistance surpassant des 0,00693 = i-r-, environ

laa celle qu on avait avant la troncature.

I^ur une section rectangle, sollicitée parallèlement à deux côtés,

le quotient -, n'augmente pas en diminuant ainsi la bauteur. Mais

b il en peut être autrement d'une section composée

■7^11-16' deplusieurs rectangles, telle que lacroixd'équerre

ayant latéralement deux parties de largeur.^' et

' de hauteur c', et au milieu une partie de lar- -^— b+ b'— > geur b et de hauteur c'^c\ ce qui fait deux 71er-

vures de largeur b et de saillie -(c—c') sur un rectangle de largeur 6 + 6' et de hauteur &. On a pour cette section

cl 6c5 + b'c'^

Si Ton réduit à c^ la hauteur c du rectangle comprenant la ncrvure, et si Ton appelle -r la nouvelle valeur de -;; qui on résulte, on a la différence

1, I b'&^^bccac + c,)

Cette différence sera positive pour toute valeur de c, plus petite

que csi l'on » "J^ + 4> U + 2] * ^^

6'c'»>2.6c» ; alors toute diminution de la hauteur des nervures augmentera lu

(Dun* 118}.

quotient p par lequel nous mesurons la résistance à la rupture. Et

si cette condition &'c''> 2.(»c*, n'est pas remplie, ou si -, diminue

d'abord quand on réduit très-peu la hauteur c, on rendra toujours ce quotient plus grand qu'il n*était primitivement en prenant C| suffisamment petit ; mais comme c^ ne saurait être au-dessous de d il faudra qu*on ait pour cela

t'c'»> hcd {c^d), ou 6'c'*> 6c* (l + ^^ •

Toutes les fois que cette dernière condition sera satisfaite, ou que la résistance à la rupture offerte par la partie 6' x c', excédera

1 + — ) fois (moins de deux fois) la résistance à la rupture offerte par la partie 6 x c, on augmentera -> en supprimant les deux 7ier^

vures ou saillies h x

L'existence de fibres inutiles, qui rompent ou s'énervent d'abord sans le reste, ne saurait diminuer en rien la résistance d'un solide à la rupture. Il faudra donc, toutes les fois que cette circonstance

se présentera, c'est-à-dire lorsque le quotient - augmentera en

tronquant la section comme on vient de voir, prendre pour valeur définitive de ce quotient sa plus grande valeur, résultant d'une troncature convenable, faite soit du côté des fibres étendues, soit du côté des fibres comprimées, soit des deux côtés à la fois suivant la nature de la matière.

Ainsi , pour la section carrée sollicitée diagonalement, si la cohésion résiste sensiblement plus aux compressions qu'aux extensions

ou réciproquement, on prendra lfws,li34 la valeur ^-r^ de -, relative à la section entière ou non tronquée, et l'on prendra 1^1^,0535 seulement si la cohésion s*altère autant par des compressions que par des extensions égales y dépassant une certaine limite, et après le même temps d'action.

Dans cette dernière supposition , quHl faudra toi^jours faire par

ART. IV. RUFTUBE PAB FtEXION, iOl

(Du n* tlS).

prudence s'il y a incertitude (va qu'elle est la plus défavorable) , si la section est circulaire, on prendra - égal à 1 ^0^^00693 la valeur -T- relative à une troncature nulle.

Et si la section est un rectangle avec nervure faisant saillie sur ses bases, on calculera -7 en supprimant les ner\'urcs lorsqu'on aura

(figure d'autre part) b'c^ 6c« Tl + - ) . Et ainsi des autres.

On sera même assuré d'une résistance un peu supérieure à celles

qui seront mesurées par les valeurs de -7 ainsi augmentées ; car les

fibres surtendues ou surpressées que nous regardons comme Inutiles parce que leur soustraction ne fait qu'accroître ce quotient, ne laissent pas, tout en éprouvant un commencement de désagrégation, d'apporter une quote part à la résistance totale. Elles ne rompent pas d'une manière patente et complète si le reste ne rompt pas ; tout au plus subissent-elles ces petites disjonctions intérieures et invisibles que nous avons dit constituer, probablement, l'énervation de la matière (fin du § 9 de la note du n* 21), et qui ne font que diminuer la section effectivement résistante de chacune des fibres sans l'annuler. (Voyez aussi § 16 ci après).

Aussi , dans une expérience comparative de rupture immédiate faite par M. Ilodgkinson, un prisme triangulaire a offert plus de résistance avant qu'après la troncature du sommet de la section (*).

On peut donc avec sécurité adopter, pour les sections entières,

les valeurs les plus grandes de - relatives aux sections tronquées ,

c'est-à-dire 1,0535 ^-j^ pour le carré sollicité diagonalement,

1,0069 -^ pour le cercle, etc.

On voit au reste que les coefficients numériques ajoutent peu aux

(>) Recherchet, etc., citées tout i l'heure. Les figures 53, 54 de la traduction inférée aui j4fin, de» ponts et ch.^ en 4855, ne sont pas en rapport avec les pages 73 (expériences 42 et 13) et 76 du texie, où l'on ne parle que de sections pleines et ayant d'autres proportions.

SEGT. I. BÊSISTANGE DES SOLIDES.

(Du n" IIS}.

valeurs de -;7 calculées pour les sections entières. Aussi, tout en

appelant l'attention sur les considérations qui précèdent afin d'y avoir égard dans quelques occasions, nous calculerons presque toujours parla suite les résistances sans supposer de troncatures.

S 9. Moyen commode de poser une équation de cohésion approchée dans certains cas. — On a remarqué, à Ja fin de la note du n* 80, quo> réquation d'équilibre de rotation peut être posée autour de toute ligne tracée sur une section bi à une distance quelconque ±:d de celle

des fibres invariables, et cette équation M =^ / >- r(vdbd) du se ré-

duit toujours à M = -r »

vu que fvdui = 0. Il est commode de

prendre, ainsi .Taxe des moments des forces successivement autour de deux lignes Vm\ V'm" tracées vers le haut et vers le bas d'une sec-

e6(é comprimé

Cùlé

étendu

tion lorsqu'elle se compose de deux parties w', w" sépaéres par un intervalle beaucoup plus grand que leurs hauteurs, et liées entre elles par une ou deux plaques minces évidées, dont «on puisse négliger la résistance et le moment d'inertie. En effet, c étant la distance des milieux de ces parties, ou des lignes lm\ l"m" suppasécs parallèles à l'axe neutre Im que traversent les fibres invariables , pour que la partie w' supporte par unité superficielle la limite R des tractions non dangereuses et celle ^" la limite R' des pressions aussi sans danger ou ne donnant pas lieu à des dilatations transversales dangereuses ( S 3 et $ 13) , on aura deux équations de moments très-simples :

M" = R Vc autour de Vm\ W = Rw'c autour de V'm'\

où nous avons mis, aux premiers membres, des moments différents M", M' afin d'embrasser le cas où les forces extérieures ont une composante longitudinale totale comme celle Q du $ 8 de la note du

ART. IV. RUPTURE PAR FLEXION. iOS

(DU n« ttS).

n* 80. On peut vérifier an resté que lea seconds membres sont identiques à

r", v' étant respectivement les distances de l"m'\ l'm' h la ligne Im ou au centre de gravité de la section » car on a

eu' ta" . toV

CO + 10 tù -f- tu Cl) 4" w

Ces deux équations de m'oments autour de l'm' , VW montrent

qu'on doit, lorsque M'=M^'^M ou lorsqu'il n'y a pas de pression

ou traction longitudinale totale, proportionner les parties », ca'' de la

section aux inverses des résistances R , R' à la rupture par traction

et à la rupture par pression , et elles donnent les superficies à leur

attribuer pour qu'elles fatiguent également ou que Tune ne coure

pas plus de risque de rompre que Tautre. C'est par cette métiiode

approximative que M. Edwin Clark et d'autres ingénieurs anglais

calculent les dimensions des pièces de fer laminé des ponts tuba-

lairês quMls projettent , et dont la base ta et le toit u'' sont composéB

de cellules rectangulaires (*). Nous verrons toutefois qu'elle peut

donner des résultats fautifs; (voy. $g 16 à 18 de la note du n"" 120),

et que si on se dispense de tenir compte de la partie verticale

et des hauteurs des parties horizontales des sections & double T,

on risque de se tromper quelquefois du simple au double dans

v' l'évaluation du rapport ^p des distancer du centre de gravité aux

deux bases.

S 10. Détermination directe des cœjfficienis R, et R', de résis-* tance permanente, — La difficulté principale qui se rencontre dans l'application des équations de cohésion permanente telles que

celle M ou Pa = R.-, ou R'.p; du cas de flexion (SS 3 à 6), et celles

(note du n* 21, S 12, et du n* 3, $ 9) P=R,m , P = R> des cas d'extension et de compression simple par des forces longitudinales,

(I) The BriUinnia <md Cmway lubular Bridget^ 1850, on Notice tur Ut ponts itihuUires, par M. YTcrt, 4851.

lOa SECT. I. RÊSISTANCB DES SOLIDES.

(Du n* 118).

réside dans la détermination, pour chaque espèce de matière, de la

constante

R„ ou R'„,

ou (comme le coefficient d'élasticité E est toujours facile & obtenir) dans la détermination de la dilatation ou contraction

., Ro R'o

limite de celles qui n'offrent aucun danger, même à la longue, même avec intermittence et petites augmentations périodiques dues aux vibrations , et eu égard aussi aux autres circonstances accidentelles dont on a parlé $ 12 de 1a note du n*" 21.

On détermine i' ou B, , R'o « lorsqu'on le peut, comme on a déjà dit alors ainsi qu'à la note du n** 3, par Texamen de constructions existantes et déjà anciennes, soumises. aux mêmes causes de fatigue et de destruction, et réputées hardies^ ou n'ayant, au jugement de constructeurs expérimentés qui en ont vu s'écrouler d'autres plus légères, que tout juste les dimensions nécessaires pour résister* Comme on n'a pas souvent à sa disposition ce moyen de détermination , l'on s'est quelquefois servi , conformément à un conseil de Young (sous-note du $ 10 de la note du n* 21) d'expériences d'extension ou plutôt de flexion, en observant la dilatation ou la flèche qui commence à avoir une ^^xixQ persistante sensible (ce que les Anglais .appellent set ou defect of elasticy) (*) en se tenant en deçà (*).

(t) If. HodgkinsoD. Expérimental researehes on the Strength and aiher propertieg ofeast iron, London, 4846, n« 99 (ou Iraducllon de M. Pirel].

(«) C'est ainsi quo M. Tredgold a adopté, pour constroire la Ubie n* de Tlolro-

dactioD de son Practical Euay on the Strength of casi iron (page 26, article 6 de

la traduction, Euai sur la force du fer coulé, faite en 4S26 par N. Duverne sur la

3* édition], une râleur de Ro résultant d'une expérience (art. 45, p. 87) où une

barre de bonne fonte , de 34 pouces anglais de longueur entre les deux appuis, et

de 4 pouce d'équarrissage, a commencé é prendre une flèche permanente sous une

charité de 440 liTres (pounds) au milieu, ce qui , en réduisant la charge é 300 llTrei

(art. 406, p. 493 de la même traduction], ou en faisant 9P=r300, 2a = 34, b=.c=\

I ÏP.Ja ôc» .

dans la formule ll=Ro -, ou -— — =Rp— -, donne R« = 46300/^ paV pouce

carré ou 40753 000 kilogrammes par mètre carré; ce qui répond, d'après la

flèche obsenrée qui était OP<niM,46 et d'après les expressions t" =~ , E = , ^ "^

E kbtr.f

(Dtt n* ifS).

Mais , comme nous Tavons observé i%% 9 et 10 de la note du n* 21) , cette partie persistante, qui se manifeste quelquefois avec les dilata-» Uons les plus faibles , n*est pas un signe de perte d*élasQcité ni de coliésion; et il conviendrait, en donnant une très-longue durée aux expériences, d^observer plutôt le point où la matière cesse de s^écrouir et commence à s^énerver (notes des n*" i et 21), sauf à se tenir fortement en deçà dans Tadoption de la charge dont on déduira par les formules (exactes ordinairement jusqu*à cette valeur réduite) la limite des dilatations, ou celle des tendions, afin de laisser une large part aux circonstances accidentelles qu'on vient de rappeler et que le calcul ne peut embrasser.

Il convient aussi, comme a fait la -commission d*enquéte anglaise instituée le 27 août 1847 (*], de soumettre les pièces à une longue série de chocs ou bien d'alternatives de fatigue et de relâchement , afin d'apprécier TefiTet désorgânisateur de ces mouvements répétés, dont chacun peut modifier la contexture un peu autrement que les précédents ($ 12 de la note du n* 21).

S 11. Usage éT expériences de rupture immédiate^ par traction ou par compression , pour des comparaisoTis de valeurs des coefficients R, ou R'o relatives aux diverses va7Hétés d'une même matière. — Mais les expériences dont nous venons de parler $ 10 sont dispendieuses

SoY ou siroplemeol d'après oeUo <=—— (Ad do la itoteda n* 87 ci-defsns), eo rai-

ianla=n, r=0,46, v'= s = s, à t= ?J^ = -i- =0,00083045 qae

M. Trcdgold propose d'adopter oommo Umite de la dilatatioo non dangereuse de

la ton le de fer.

Mais II. Hodgktnson ( Expérimental reaearches, etc., ou traduction flrançalse de M. r ingénieur Pire!, aux AnnaU$ des ponU et ehausêée», 4855, 4 •' semestre, p. 58\ oppose d'autres expériences qui paraissent prouter que la charge de 300 Ibs, s'éle- Tant à plus du Uers de celle qui est capable de rompre la barre de M.Tredgold , donnait probablement déjA une flèche permanente, qui eût été manifestée par une plus longue action ou par des moyens de mesurage plus délicats. U pense aussi que sous eette même charge les dilatations et les contractions des fibres dcTaient être inégales pour mêmes efforts et non proportionnelles A ces efforts , en sorte que la ligne neutre ne derait pas passer par le centre de gratité comme le suppose la formule dont Tredgold a tiré les taleurs de il. et de t*, que H. Rodgkinson trouve en conséquence trop fbrtes (royei Complément ci-après des art. I A VI).

(*) Heport of the Comminionen appomied to inquire inlo the application of iron to Raiiwaf êlructures, London, 48i9.

106 SECT. I. BÊ8I8TANGE DES SOtIDISv

(Dun^iiS).

et difficiles ; celles qui sont relatives, notamment , au point de séparation de récrouissage et de rénerration sont délicates et ont be« soin d'être extrêmement longues pour qu^on puisse en tirer des con« clusions applicables. On ne peut espérer qu'elles seront entreprises pour toutes les matières et leurs diverses variétés et qualités. En attendant , les expériences promptes et infiniment plus faciles de rupture immédiate peuvent très-bien , comme Tobserve M. Poncelet (^) (et comme nous avons déjà énoncé aux $$ 9 de la note du n*" S et 12 de celle du n"* 21), fournir au moins des rapports approchés entre les nombres R. ou R'. relatifs aux diverses variétés d'une même espèce de matériaux, comme le bois, la pierre dure ou tendre , le fer, la fonte. Connaissant donc par les constructions anciennes, etc., R. ou R', pour une variété et sachant qu'il est, par exemple, le 1/8 du

coefficient de cohésion instantanée R ou R' = - ou de la force P

qui fait rompre immédiatement par traction longitudinale ou par écrasement, divisée par Taire » de la section, on adoptera, pour les autres variétés ou provenances, aussi le 1/8 de cette charge de prompte rupture.

On n'aura pas pour cela la dilatation limite t' = -=? ou -=îî égale

au 1/8 de la dilatation finale positive ou négative, puisque lapropor* tionnalité des efforts aux effets cesse longtemps avant Mais on aura un coTtain rapport aussi à peu près constant entre ces deux dilatations.

S 12. Usage {pour les mêmes comparaisons) d^expérieifices de rupture immédiate par Jleocion. Cet usage n'implique nullement la supposition fausse d'un rapport constant entre les ejfbrts et les dilatations ou contractions jusqu'à la fin. — On peut même, pour les comparaisons dont on vient de parler, se servir également des expériences de rupture par flexion y ordinairement plus faciles que celles de rupture par extension et même par écrasement, et qui, d^ailleurs, mettent les pièces dans des circonstances plus analogues à celles où on veut les employer. Rleo donc n'empêche de prendre pour les coefficients R. ou R'. relatifs à chaque matière, une fraction

(*) iDiroduclion à la Mécanique induêtriêlle, n^ 353.

ABT. IV. BUPTURE PAB FLEXION. 107

CDU n« itS}.

constante de ceux R ou R' tirés de Téquation 2P = R . — ; ou

r/ . - -^ , dans laquelle 2P représente le poids rompant immédiativ

ment par flexion des barres de chacune des Variétés de cette matière. En effet» supposons d*abord que la rupture ne se fasse que du côté étendu ou devenu convexe. 11 est bien ?rai que les R ainsi obtenus ne représentent nullement (ainsi qu*on Ta montré au $ 3) la tension de la fibre la plus dilatée à Tinstant de la rupture ; mais si Ton a trouvé pour une variété, au sujet de laquelle on est fixé sur R», quMl est le 1/6 du R obtenu par flexion, on peut approximativement prendre aussi le 1/6 pour les autres variétés. Gela n^implique nullement la supposition fausse de la proportionnalité constante des efforts aux dilaiations des fibres Jusqu^à rupture, comme le prétendent les adversaires de la théorie. Gela consiste simplement à ad-

mettre que la charge transversale 2P, = R. — > , susceptible d'être

portée indéfiniment sans danger par une pièce d'une certaine forme, soumise en outre aux chances accidentelles de destruction ,

est, pour les diverses variétés, une même fractiondeceUe2P=R — ,

qui la ferait rompre au bout de peu d'Instants ; ce qui est tout aussi plausible, comme approximation, que la supposition analogue faite dans le cas de la traction longitudinale dont la formule simple n'e^st l'objet d'aucune attaque. Seulement , pour la flexion , cette fraction numérique devrait être un peu différente , selon qu'on ferait les expériences de rupture avec des barres ayant des sections rectangles ou des sections d'une autre forme (ci-après, n** 151 et sa note).

Aussi, comme Font proposé en même temps M. Gouche, ingénieur en chef professeur À l'École des mines et M. Love, ingénieur civil, il conviendrait de faire toutes les expériences de rupture sur un même échantillon, pour lequel le second de ces deux auteurs propose une barre carrée de 0",50 de longueur sur 0",Û25 de côté, afin d'établir déjà des comparaisons avec des expériences nombreuses faites en Angleterre sur les fontes.

Les mêmes choses peuvent être dites pour le côté concave ou

108 SECT. I. BËSISTANCe DES SOUDES.

(Dttii« tiS).

pour les fibres comprimées , si Von est certain que la rupture cam^ mence par V écrasement de ce côté ($ 8 de la note da n* 3) ou par la disjonction transversale suivie, dans les bois, de la flexion en détail des fibres désunies. Adopter, pour le coeflScient R'.* une frac-

tlon constante de R' déterminé par la formule 2P = R' -~^ appliquée

aux expériences de rupture, c'est simplement supposer que la charge permanente non dangereuse est proportionnelle à la charge de prompte rupture pour les pièces de même forme et de diverses variétés d*une même matière, ce qui est très-plausible évidemment. Cette distinction du côté concave ou convexe, par lequel peut commencer la rupture ou son danger éloigné, est même inutile pour les pièces rectangulaires et généralement pour toutes celles qui ont une section symétrique par rapport à une ligne perpendiculaire au plan de flexion; car, pour ces sections, on a v'c= v", et

on peut se servir d'une seule formule M = R. -7, dans laquelle le

coefficient R., une fois fixé pour une variété de matière, se déter-* minera pour toutes les autres au moyen d'expériences de rupture sans s'embarrasser de savoir s'il représente une tension-limite ou une pression-limite.

S 13. Suite, Détermination du rapport des deux coefficients R', , Ro de maximum des pressions et du maximum des tensions longi^ tudinales non dangereuses des fibres. — Mais , pour les pièces à section non symétrique par rapport à cette ligne passant par le centre de gravité des sections, il est nécessaire, afin d'assurer la stabilité de la cohésion, de satisfaire à deux conditions

M =-. ou < Ro -7 , M = ou < R'. -;;, V V

et par conséquent de connattre les valeurs à donner aux deux coef-

ficients R., R', ou aux deux limites -^, -^ qu'il faut imposer h la

dilatation et à la contraction longitudinale des fibres.

Si leur rapport rp était connu, l'observation de constructions

éprouvées, et, easuite,des expériences de rupture par flexion (S 12)

ABT. IV. RUPTURE PAR FLEXION. i09

(Dan» iiS}.

faites sur des pièces à section rectangle on autre symétrique de diverses variétés de la même matière, donneraient la valeur du plus petit de ces deux coefficients, et Tautre 8*en déduirait. Mais il s'agît d'obtenir ce rapport.

Pour pouvoir y arriver, rappelons que, d'après le principe général de résistance énoncé au $ A de la note du n* 3 et appliqué déjà , S 7, aux matières d'égale contexture en tous sens, c'est par les dilatations latérales qu'elles provoquent que les contractions longitudinales amènent un danger ou un commencement de désagrégation. Appelons donc El le coefficient d'élasticité de la matière d'un prisme» dans un

sens transversal ou perpendiculaire aux arêtes ; Rt9 Ktj pour ce même sens, les valeurs des quantités qui sont appelées R, Ro pour le sens longitudinal, c'est-à-dire Rt la cohésion transverside instantanée ou la force qui séparerait immédiatement la matière dans le sens transversal, sur l'unité superficielle de section parallèle aux fibres, et R,i la cohésion transversale permanente ou la force de traction, limite de celles qui peuvent être supportées sans danger un temps indéfini; ou appelons

Et

la limite des dilatations non dangereuses dans le même sens transversal.

Si n représente, comme aux notes des n""* 21 et 80, le rapport des dilatations transversales aux contractions longitudinales qui

les provoquent, la dilatation transversale limite -=^ répondra à

1 R t une contraction longitudinale - -^ , ou à la contraction que pro-

1 R * duit une force de compression longitudinale E. - tt- par unité de

la section w du prisme. Ce sera la valeur de la limite R « à Imposer à ces compressions ; on a donc , en divisant par R, ,

ir. 1 JE R.I R. ■" ^ Et R„*

110 SLGT. I. RÊSISTANCB DES SOUDES.

(Du n« 118).

Dans le second membre de cette égalité, £ est connu; le coefficient Et de réiasticité transversale peut être tiré d'observations, ainsi que le rapport t), qui peut d*aillenrs être regardé comme ne variant qu'entre 1/5 et 1/2 (fin du $ 5 de la note du n" 21).

Quant à la limite Kt des tractions transt>e)'sales non dangereui^s, on ne voit pas par quel moyen elle pourrait se déterminer.

Mais nous pouvons, comme au S il, prendre à peu près pour

valeur du rapport -^ de deux cohésions permanentes, celui -^ des

deux cohésions instantanées, dont la seconde est connue, et dont la première, Bi, peut être trouvée par une expérience facile de rupture par traction d'un petit prisme taillé dans un sens perpendiculaire aux fibres. On peut donc poser approximativement

Ro 7] E( R

Cette expression se réduit à - lorsqu'il y a égalité de contexturc

dans les deux sens, et par conséquent , comme nous avons déjà dit, si l'égalité a lieu dans tous, à

puisque l'analyse donne alors >] = t*

Pour exemple d'un cas d'inégale contexture prenons le bols*de chêne. Gomme on a, d*après les expériences de Mlf. Wertheim et Ghevandier(*).

Banc le sens du rayon da raii)fe E| =i 188 700 000 , R^ = 582 000 ,

/d. de la tangente aux couches 129 800 000 , /|06 000 ,

Et , pour lo sens longitudinal (moyenne de 2 espèces de cliène) 949 800 000 , 6 075 000 ,

on ti'ouvera

— — == / ^'^^^ ^^^^ ^® ®®^^ ^^ rayon , £< U '^ \ 0,489 pour le sens des couchesi

(«) Mémoire préseolé lo 5 octobre 4846 cl inséré aux Annaleê de chim'it il dt physique CD 1848, quatrième partie.

(Du D« 119).

Qaant au rapport r^ des dilatations transversales aux contractions longitudinales, aucune expérience ne Ta fait connaître pour les bois, et il n'est lié par aucune relation théorique avec le rapport des élasticités E, E|. Mais en le regardant comme = l//i pour les matières d'égale contexture en tous sens, et en considérant que M. Wertheim a trouvé y) = 1/3 pour le verre et pour le laiton, matières qui sont à coup sûr d'une élasticité moins inégale que le bois, prenonfi, pour celui-ci, y) = 0,4 ou 0,/ii5| nous aurons pour le chêne

îé=(o-^''".ôT6)*''^''' = *'''"" *•*''•

Pour les pièces de fonte de fer, comme les coefficients d'élasticité dans les deux sens doivent différer assez peu, ainsi que les cohésions, bien quMl y ait une certaine différence de contextare, si nous

réduisons -^ à - et si nous adoptons la valeur v) = 1/3 trouvée

pour d'autres matières fondues, nous aurons

La recherche de v) et de Et* exige des expériences délicates. On

pourrait, afin de s'en dispenser, être porté à prendre pour -=p

le rapport jr des forces qu'on trouve dans les expériences ordl-

naires de rupture immédiate par écrasement et par extension. 11 en résulterait moins de 1 pour le bois, 8 à 10 pour la pierre, et environ 6 pour la fonte ('). Mais l'adoption de ce dernier nombre serait évidemment contraire au conseil de prudence et même de simple logique qui doit, comme on a dit ($ 9 de la note du n« 3), faire limiter les écartements moléculaires transversaux du côté des fibres comprimées, comme leurs écartements du côté des fibres dilatées. Sans nier donc tout à fait qu'on puisse

(*) RecherdteSf etc., de M. Uodgklnson , p. 16 de la (raduclion de M. Pirel, oft l'on trouve une moyenne de 6,6. Les eipérieoces plus récentes du Report ofthe commisëionerê, etc., ont donné moyennement moins de 6.

(Du n* itS).

tirer quelques lumières des valeurs du rapport -^, il paraîtra clair

R' qu'on ne doit pas Tadopter pour -rp quand il a des valeurs aussi

difTérentes de celles que peut probablement avoir - »- ir- ^^

peut bien avec quelque probabUité substituer approximativement au rapport de deux tractions-limites celui des deux tractions produisant la rupture immédiate, mais il n'y a pas de raison de faire de même quand il s'agit du rapport d'une traction à une pression. L'évaluation expérimentale de la résistance R' à la rupture par compression est d'ailleurs toujours fort incertaine, car tantôt le prisme comprimé fléchit un peu , ce qui donne une résistance trop faible , tantôt on en obtient une beaucoup trop forte parce que le frottement sur ses bases s'oppose à sa dilatation latérale , comme on a dit au S 8 de la note du n* 3.

Un moyen plus rationnel , mais qui prête encore à erreur, consiste à soumettre à la rupture immédiate par flexion des pièces dont la section offre la forme d'un double T, ou est composée de deux parties ou semelles horizontales reliées par un corp^ vertical mince ($ 9, ou ci-après $ 16 de la note du n* 120), et de faire varier le rapport des aires des deux semelles sans changer l'aire totale, ni la hauteur ni l'épaisseur du corps vertical qui les unit, Jusqu'à ce qu'on arrive à la section qui exige la plus grande charge pour être rompue, et qui donne même des signes de rupture à la fois des deux côtés, savoir par arrachement du côté étendu, et par séparation du coin ($ 8 note du n** 3 page 10) du côté comprimé. C'est ce qu*a fait M. Hodgicinson pour la fonte de fer (*). La forme de plus grande résistance à laquelle il est arrivé ainsi , et qu'il regarde comme la meilleure, est figurée au % 18 de la note du n*" 120, où elle est l'objet d'un calcul. Le rapport des aires de la semelle dilatée à la semelle contractée est de 5,8 à 1; c'est, dit l'auteur, « à peu près le rapport des résistances moyennes de la

(1) Recherches, etc., déjà cilccs, ou traduclion de M. Pird, pages 87 à 101.

ART. IV. BUPTURB PAB FLEXION. 113

(Du n* 118).

fonte à récrasement et à la rupture par extension. » Mais ce n'est pas une raison de Tadopter pour ^ ; car le calcul exact, fait en

tenant compte du corps vertical, prouve quMl n!y a cependant qu'un rapport de 2,859 (ci-après le $ 18 cité) enire la plus grande compression et la plus grande extension des fibres. Si Ton

adopte pour -^ ce dernier rapport, donné par celQi des distances

du centre de gravité aux deux bases, on a, comme on voit, un nombre différant p^ de 3, que nous avons été déterminé à adopter pour la fonte en faisant des suppositions plausibles sur les

éléments de la formule - rr V» fondée sur la considération d*un

^ fil n

état fort éloigné de la rupture.

U a été fait en 1860 et 1861 sur des fers laminés, par M. Ferdinand Zorès, alors entrepositaire de produits d'usines (<), des expériences qu'on peut regarder comme ayant quelque analogie avec celles de M. Hodgkinson sur la fonte. Mais leurs résultats sont loin d'offrir la même concordance avec la théorie ; car l'expérimentateur ayant remarqué que la rupture par flexion des fers à double T symétriques ou à semelles égales s'opérait toujours par la semelle supérieure « refoulée sur elle-même, rejetée à droite ou à gauche^ pans que la semelle inférieure (ou dilatée) éprouve d'altération, » a adopté un profil dans lequel cette semelle supérieure ou comprimée a une aire double à peu près de l'autre, ce qui a produit une augmenta^ tion de plus d'un cinquième dans les résistances à la rupture, à poids égal et à hauteur égale des pièces.

En calculant la position du centre de gravité de quelques-unes des sections ainsi constituées, on trouve que le rapport des plus grandes contractions aux plus grandes dilatations des fibres dans la flexion , est 0,84 au minimum et 0,91 au maximum. Mais nous ne voyons pas de raison d'adopter de pareils nombres pour valeurs

de -^ relatives au fer forgé ou laminé; ils sont trop éloignés de «•