ER

- ^ 7» Qui doit évidemment surpasser 3, car pour cette matière,

(*) ReoieU dé fera tpéciaux ^ publié eu 4853.

lU SBGT. I. nâSISrAMCE DBS SOLIDES.

(DU n« 118).

-=- ^ doit différer peu de l^unité. Leur adoption ne ferait trouver

d'ailleurs qu'un avantage de 1/13 & i/27 à rendre les semelles inégales. L*avantage de 1/5» manifesté par les expériences de 1851 (que desexpériences toutes récentes n'ont point confirmées) tenait probablement & des effets compliqués ; par exemple à ce que la semelle supérieure, fortement comprimée, fléchissait latéralement à la manière des pièces deboiUt surtout lorsqu'il y avait un peu de déversement (note oi-«prè6 du n** 130, $S A ^Ud) t et c'est oe que semble mtene indiquer le compte rendu des expériences^où la le* melle supérieure était « rejetée ^ droite ou ji gauche. »

Il faut bien d'ailleurs se souvenir que l'état pour lequel on pose les équations de résistance permanente est bien él<rfgDé de l'état où se trouveftt les pièces dans les expériences de rupture. L'avantage d'une plus grande superficie de la semelle supérieure, sMl est réel pour les fortes charges produisant la rupture immédiatement, est plus que douteux lorsqu'il s'agit de charges permanentes incomparablement moindres, ne déterminant dans la semelle supérieure qu'une simple compression longitudinale accompagnée des dilatations transversales ordinaires, sans atteindra la grandeur capable de déterminer le commencement de sa flexion latérale (ci-après, n* 888) t c'est-à-dire n'oflhtnt que le danger de la rupture éloignée^ qui doit dépendre des seuls écartements moléculalresL , Nous ne croyons donc pas que pour le fer fbrgé ou laminé on

doive jamais prendre -^ moindre que 1; nous peixsPQS qu'on pour-

rait adopter plutôt pour oe rapport la valeur 51»

Gela n'empèohe pas, comme on verra surtout aux Sg 17 et 18 de la note du n** lae, les sections fc semelles égales ou peu Inégales d'être avantageuses à un autre point de vue, savoir celui de la r^ êiiianoe éioftique à lajexion ou de la petitesse des flèches, et de pouvoir, par suite , résister mieux, même h la rupture éloignée, sous des charges qui ne seraient pas immobiles ni d'une intensité constante ( $ 13 de la note du n"* 3i}.

S Ou Examen de la méthode consistant à adopter une même limite . des dilatations pour les diverses qualités ou variétés d'une même mor

A&T. IT. BCPTUBE PAft FLEXION> 415

(Du H* lis ).

tihre. «- Plusieurs auteurs, après avoir déterminé la grandeur de la

limite ^' = ^ ^'^ dilatations pour une certaine matière, d'après des

constructions où elle est employée, etc. (SS iO à 13), semblent conseiller d'adopter la même grandeur i' (soit 0»0006, par exemple, pour le 1èr) pour toutes les autres variétés ou qualités de la même matière, sans avoir égard aux expériences comparatives de rupture immédiate.

Cette môtiiode revient à prendre les cohésiant permanentes l\.=: £i' proportionnelles aux coefficients ^élasticité E des diverses variétés, au lieu de les prendre proportionnelles aux cohésions inxfantanées R mesurées au moyen de la rupture par extension ou bien par flexion.

Bien qu'il soit évidemment plus naturel de proportionner I^ à R qu'à E , nous ne condamnons pas entièrement cette méthode, vu la difficulté du sujet. Mais nous pensons qu'il faut en réduire Tusageà obtenir une sécurité de plus.

Si donc il résulté, de Tadoption des cohésions permanentes R« proportionnelles aux cohésions instantanées R, quelque valeur de

i' =-^ trop au-dessus de celle qu'on aura été déterminé à adopter

pour la variété à laquelle on compare les autres, on la réduira de manière à ne pas excéder ceUe-<si du tien^ ou de moitié par exemple ; en sorte que si, pour une certaine qualité de fer forgé, on avait adopté i' = 0.0006, on ne prendra pas au delà de i' =0.0008 ou 0.0009 pour les autres qualités; car Ténervation ou la désagi*égatîon doit bien dépendre des écartements moléculaires,

S 15. Cas ou la contexture varie dans V étendue des sections. —

Supposons qu'on veuille tenir compte, comme aux $$ 7 des notes du

n* 21 et du n« 80, du défaut d'homogîénéité de la matière, pour le

El cas où nous avons posé, au lieu de M =; — » en appelant Eo le coef-

P licient d'élasticité de toute la partie centrale, e une constante relative k une couche mince d'une contexture différente sur les bords,. , et.; le moment d'inertie du périmètre (ou plutôt de la ligne moyenne

ii6 SECT. 1. RÉSISTANCE DES SOUDES.

(Du n* iiS).

de la couche dont le module d'élasticité excède celui du reste « de e divisé par soa épaisseur)

P Et bornons-nqus aux matières qui cèdeut par Textension des fibres

du côté que la flexion reAd convexe. Comme on a - = — pour la

dilatation d*une fibre quelconque dont la tension est appelée Jt,

si Ton élimine p, on obtient, au lieu de Téquation M = R - des SS précédents,

H-^(E.Ife;î.

Il faut , dans cette équation, pour qu'elle soit celle de cohésion permanente, substituer à Jf la limite des tensions non compromettantes pour la qualité de matière de la fibre quelconque à la distancer, et écrire, R désignant cette limite^

M =r ou < mmimmi de ^ (E.l 4^ e/).

Et?

Dans cette équation, -pr- n'est pas constant comme était tt- = -

dans la précédente ; il varie d'une fibre à Tautre. II faut mettre sa valeur relative à la fibre la plus exposée, ou pour laquelle ce quotient est le plus petit Si Ton a des raisons de penser que c'est la fibre la plus dilatée, comme quand la matière est homogène , ou

que la contexture hétérogène est telle que le rapport -^ varie moins

que V, réquationcera, en désignant comme à. Tordinaire par v' la grandeur de l'ordonnée de cette fibre, et par E', R' les valeurs correspondantes de E , R :

OU bien, JR et r désignant deux constantes dépendant comme E« et e de la nature de la matière et de son mode de forgeage ou de fusion :

M.= ili-fr^.

ART. IT. RtlPTURE PAR FLEXION. 117

(Da n* tiS).

Si Ton vent représenter par une équation de cette forme les expériences de rupture immédiate des barres rectangulaires par exemple, on déterminera les constantes R^ r (dont nous ôtons alors les in- ^ces 0 9 S A}» <1^ manière à rendre aussi petits que possible, en les compensant mutuellement, les écarts ou les différences entre le premier et le second membre. Gomme ce sont les écarts proportionnels plutôt que les écarts absolus qu'il s'agit d'atténuer, on écrira,

en divisant par-,,

ou, 6, c étant la largeur et la hauteur de la section, V^ d les mômes dimensions diminuées de la demi-épaisseur présumée de la coucbe d*une contexture différente du reste

Et Ton obtiendra les deux coefficients 1{, r par les méthodes dont on se sert pour déterminer les deux paramètres des formules des

eaux courantes C) , afin de remplacer ($ 7 de la note du n^ 80) le

mieux possible, par une ligne droite, la suite des points, ayant les*^

pour abscisses et les M y poor ordonnées. Cette ligne doit passer

par le ce[ntre de gravité général des points, pour que la somme des écarts en moins soit égale à la somme des écarts en plus; mais il ne sera pas toujours facile de choisir visuellement sa meilleure di^ rection. Alors on se servira soit de la méthode de Laplace qui atténue le plus possible la somme des valeurs absolues des écarts O, soit de la méthode plus connue de la moindre somme de leurs carrés, soit de la méthode d'interpolation bien plus expédltive et très suffisante de M. Gauchy ('}, souvent employée par les astro-

(1) Voyei Itecherches phiytko-mathémaiiquesy de Prooy, — ou bleo Mémoire tw des formules et des tabUs nouvelles pour Us eaux courantes^ fii-8*, 4853 , nos 3 el 6; et aussi Jnnales des mines, 4* série, t. XX, 4853, p. 487 A SOS.

(•) Mêcemique céleste, Kf parlie» liv. 3, n" 40.

(*) Journal LUmpUle, mai 4837.

lit SEGT. I. RÊSISTAUGB DBS SOUDES.

(DU ii«'ttS).

nomes ('}, et qui revient dans notre cas partioulier de deux coeffioients seulement i à joindre ensemble les centres de gramté des deux groupes de points situés Pun à gauche Vautre à droite de r ordonnée de leur centre de gravité général 0)» procédé aussi fih elle à retenir qa*& exécuter (^).

Si Ton n'applique cette équation que pour l'instant où commence le danger d'énervation , en sorte qu'elle exprime la condition de co< hésion permanente et non celle de cohésion instantanée, on l'écrira

Elle est alors exacte comme est celle M = B« - des SS précédents

relative & une matière dont les propriétés ne varient pas vers le périmètre ; et on pourra prendre pour B» et r« certaines fractions des valeurs R^ r obtenues des expériences de rupture immédiate.

Pour les pièces de bois on aurait, r^ étant comme au $ 7 de la note du n° 80, le rayon de l'arbre dont on les a extraites, r. la distance du centre de leur section rectangulaire 6 x c au centre des Qouobes ligneuses» une formule

dont on déterminerait les coefficients R, r par plusieurs expériences, comme on Tient de dire.

S 16. Possibilité de dépasser beaucoup la limite de dilatation adoptée pour les cas ordinaires^ lorsquHl y a simultanément et dans un amtre sens^ de fortes contractions. — Nous stods déjà dit à

(1) Mémoire de M. Ytod viUaroeaa inr les étoiles doubles , à la Connamance des temps, 4853.

p) h* S du Hémoire cité sor les Baox oonrantef.

(>) NousaTOOS ainsi trouTé par les 64 eipérienoes du oapi laine Henry James sur les barres de foote {Report ofthe ComtnissUmers, 4849^ p. 250-S53} ^ en regardant la couche comme trés-mince ou en supposant l/:=zbf c*=zc, une formule

représentant mien les réiuUata que celle H = R(4y48 — 0,OlD) -• proposée par

M. Loto (Mémoire sur la Résistance du fer et de la fonte^ 4852 , p. 55), et od D désigne la plus petite des deux dimeuslons transversales sans distinction de sa direction par rapport aux forces. Nous aurions eu sans doute une approximation plus grande en supposant b', c\ moindres que b, c d'un on donx millimètres.

ABT. I. «OPTUBl VAA PLEXION. 119

( Da n« tiS).

la fin du $ 8| que des fibres gurtenduês^ on dilatées Jtl8qu*à éprotl^ Ter C6B petites di^oûctions intérieares et en quelque aorte cellulaires qui constituent Ténervation protiablenient, pouvaient bien malgrô cela» et même sous un eflbrt indéfiniment Continué, ne pas rompre d\ine manière totale et patente i si les autres fibres du so^ ' llde» moins dilatées* gardaient leur contexture et leur résistance!

Il y a plus eneore. Divers faits établiasient que lorsqu'un solide est très-fortement comprimé ^ en certains points et en certains sens , il peut éprouver» aux mêmes points et dans d'autres sens, des dilatations extrêmement considérables, sans rompre ni se désagréger aucunement, comme si les compressions comblaient les vides des di^onctions produites par les dilatations.

Ainsi, dans une expérience de MM< Easton et Amos^ dont nous avons d^à parlé au { 8 de* la note du n"* 3 et sur laquelle nous reviendrons (<) le diamètre intérieur d'un cylindre creux en fonte de fer, contenu extérieurement par un cylindre plus fort (où on Tavait introduit en chauffant oelùi-K^i) a été porté de 19 à dk millimètres par une énorme oompression exercée sur de Tétain dont on Tavait rempli»oe qui a fait éprouver à la circonférence de révidemttit une

dilatation de près de ^7^ = 0,0556, ou de trente-trois fols la pro-

portion de rallongement de rupture immédiate d'une barre de fonte.

Dans une autre expérience (') où la pression exercée sur du plomb avait constamment fenda , en commençant par Tintérieur, les cylindres de fonte non contenus, un cylindre Ù6 fer forgé avait seul pu résister, en se dilatant aussi beaucoup intérieurement mais non extérieurement.

On sait d'ailleurs, pour ce dernier métal, par son étirage à froid en fils, par son martelage aussi à froid, et, pour le cuivre, par l'emboutissage presque instantané des rondelles dont on fait des capsules, etc. , que des extensions considérables peuvent être opé-

(1) The Briiannia and Conway tubular Bridgei, ly Sdwin Clarke^ 4S60, Aole d« la page 344, Cette eipteienoe est citée par M. Goocbe â ta page 445 da^^moire iotéré au t. XX daa AnndUê d«ê minei, .

(>) Mèma ournis» de lf« Clarke , p. 306^ cité par ■. Morfa i la S* édition (4857/ des Leçons sur la rénstance de» matériaux, p. 442,

(Da n* tM).

rées sans disj onctioq ou énervation lorsque les moléculéB sont fortement retenues dans un sens perpendiculaire à celui de Textension.

D*où Ton peut inférer quéde'fortes dilatations au centre des pièces solides ou dans les parties des bords qui sont serrées par d'autres solides ne doivent pas inquiéter, et qu'il n'y a lieu de les limiter que vers les surfaces libres ou en contact avec l'atmosphère r surfaces dont les points, au reste, sont ceux pour lesquels les extensions longitudinales, ou les dilatations transversales dues aux compressions^ sont ordinairement les plus fortes.

11 serait désirable que des expériences plus ou moins analogues à celles de MM. Easton et Amos pussent être faites sur d'autres matériaux, par exemple sur les pierres dures et les bois.

§ 17. Dimensions déterminées en vue de limiter la flexion^ etCm, des pièces, et non les proj}ortions des dilatations les plus grcâides de leurs parties, — Remarquons que dans quelques circonstances ce n'est pas en vue de la crainte d'une rupture qu*il faut modérer les charges ou régler les dimensions des pièces, c'est en vue de limiter des déformations qui deviendraient nuisibles.

Ainsi, une solive de plancher, un rail de chemin de fer qui, sans rompre, prendrait une flèche trop considérable, deviendrait par cela seul incapable de remplir sa destination ; il en serait de même d'un arbre tournant de machine qui se tordrait d'un angle trop considérable.

Alors les formules pratiques sont plus faciles à dresser. On les tire simplement de celles de V élasticités comme a fait M. Tredgokl qui a donné il y a longtemps, pour calculer Téquarissage des pièces

chargées au milieu, une formule i revenant à 2P == ^ Toi») ®* ^^®

table basée sur la limitation, à ^— , du rapport ^- de la flèche de

courbure à la longueur (*).

(>) TaUe I ou D* 5 de rinlroductiôn de VBuai pralipie mut la rétiêUtnee du fer coulé, trtduii en 48)6. Noui afont dit A la loui-note du $ 40 que la Table II , bafée sur lin autre principe , celui de la limitation de la teniion ou de la dilatation dei fibres , donnait des dimensions telles que la charge n'atteigne pas les trois quarts de celle qui commence i altérer, suirant M. Tredgold, la force élutiqoo.

ART. Vf. EUPTUBE PAR FLEXION. 121

114. Si la section transversale peut être partagée en deux parties symétriques par une ligne perpendiculaire à la direction de la force qui agit sur le corps. Taxe d'équilibre est placé dans cette ligne. Les deux inté|rales sont égales, et l'on a

r = — 7 \ aux dv.v*

pour l'expression du moment de rupture.

En comparant ces formules avec celles qui ont été trouvées n"" SO pour représenter le moment de flexion, on reconnaît que Pexpression du moment de rupture peut être déduite de celle du moment de flexion en écrivant R à la place de E, et en divisant par t/, c'est-à-dire par la distance à l'axe d'équilibre contenant les fibres invariables , de la fibre qui en est le plus éloignée. D'après cela y les expressions des n^ 81 et suivants donneront immédiatement les résultats ci-après.

US. La section est un rectangle ( Fig. 2) dont b et c sont la largeur et l'épaisseur, t/= -, et l'expression du moment de rupture est

116. La figure de la section étant formée de deux triangles égaux (Fig. 3) dont les côtés sont p et ;, le moment de la résistance à la rupture est

117. La figure de la section étant un rectangle dont les côtés sont iy c, et Taxe contenant les fibres invariables formant l'angle f avec le côté 6, le moment de rupture est

b*€ sîn'y + bc^ cos^y

*^ 6(6sinf4-^<50s<p) *

122 SECT. I. bAsistaugb oss soluibs.

Quand la section est un carré cette formule se rédint à

6{sînç-|-cos<p)*

et si la pièce est fléchie dans le sens d'une des diagonales du carré, Ton a

Ainsi une pièce à base carrée fléchie dans le sens des diagonales de la base résiste moins à la rupture qu'elle ne le fait

quand elle est fléchie dans le sens des cAtés de cette base, dans

le rapport de 1 à — ; (*).

(*) S 1. Erreur oU peut faire tomber la première formule du nr ii7. — La fia de ce numéroi relative au cas où la secâon est un carré, est exacte, parce que tout prisme dont la section est une figure ayant ses moments d'inertie égaux autour de toutes les droites tracées sur son plan par son centre de gravité (S 8 de la note du n* Sd), fléchit toujours dans le plan même ok il est solticité pour fléchir ( $ i de la même note } ou dans le plan du moment sollicitant M=P(a— x) ou =Pa des n** 77, 86, 121, etc.

Mais la fiMmule rmiR^'^.f^ '^"^, P f do o<wimencemtot ,

6(&8in9 + ccos<p) comme celle e=... du n* 88 (p. 62) n'est propre qu'& induire dans une erreur où Ton tombera nécessairement avec quelques auteurs si Ton pose, Comme il est indiqué au n* 121, r = M = Pa en y mettant pour r Texpression signalée.

Gela vient (comme on a déjà dit à la note du n** 88) de ce que la flexion ne S*eireetue pas dans le plan de sollicitation à fléchir^ lorsque ce plan n'est pas parallèle à l*un des deux axes prlnoipatfx d'inertie des sections.

% 2. Établissement direct de Poquation de cohésion pour une sollicitation oblique aux aixes principaux des sections. — Si ? dé-

ABT. IT. HUPTUM PAB FLEXION.

(I>a n* liV).

signe, comme à la note du n* 83, et pour une section de forme quelconque, Tangle aigu POV que fait le plan de sollicitation P|OP arec l'axe d'inertie Ov prolongé, et ^ celui vOo que fait avec le môme axe principal Ov, le plan de flexion effective FOv, ou Tangle égal uOu de la ligne des fibres invariables Ou, perpendiculaire h OF, avec Tautre axe dMnertle Ou de la section, on a (note du n* 83), pour dé-

terminer cet aoglo ^ non connu à priori^ tang ^^-p tang<p,

I', r étant les moments d'inertie de la section autour des axes principaux Ou , Ov.

Mais, plutôt que de mettre cet angle à la place de 9 dans la formule rs:... du texte relative au rectangle notant ses côtés 6, c parallèles & On, 0?, et de régaler à la composante M co8(<I'—- ^ ) du moment M ou Va autour de la ligne des fibres invariables Ou , il est bien plus simple de poser, autour des deux axes principaux 9 deux équations d'équilibre de rotation entre les fbrces extérieures et les forces intérieures qu'on peut exprimer qpmme au n* 112 (sans parler de E ni du rayon p) par

—,'Vdb).

Il en résulte , en effet , en remplaçant (comme k la note du n* 83, p. U) v par savaleur vcos^r + usin^», où vêtu sont les distances d*nne fibre quelconque m aux deux axes principaux Ou, Ov, deux équations

Mcos9 = 5rcostJ, Msin(p=SFsîntJ

qui , ajoutées ensemble après avoir multiplié la première par

p et la seconde par p donnent

„/ cos? . sînqp\ -.ucos'} + vsin^» t? M(^v-pI+u-/j=R '-^ ^ = ï^5r5

d'où, en faisant v= sa plus grande valeur v\ et R= R. limite des efforts non dangereux, cette équation de cohésion permanente :

i2h 8EGT. I. HÊSI9TA1ICE DBS SOUDES.

(Du B* tl7).

M = minimom' de **

pcostp + psin?

Elle convient k des prismes ayant des sections de tontes les formes, sollicités obliquement à leurs axes principaux.

S 3. Ap^liccUùm à la section rectangle dont les côtés sont b

et c— Gomme les plus grandes valeurs des coordonnés v et u sont

i 1 bc^ b^c

^cet j6, etcomme *'= 43 »1"=7[2 » ^J^*

MonPa= —

6 ^ . 6 , 6 ècoso + csin?*

cos9 + 5s^8in?

Cette formule est très^fférente de celle M oa Pa = ^ &«c8tn«y 4-be^co»ty

qu^on poserait diaprés ce qui est dit au texte. Nous avons remarqué ailleurs^ depuis longtemps (^)y et on peut vérifier facilement que cette dernière équation inspirerait une fausse sécurité; car si, par exemple, Tangle 9 est demi-droit, la valeur qu'elle donne pour

la charge P est . fois celle qui résulte de la formule exacte

qu'on vient de donner; et ce rapport -^ — , toujours plus grand

que Tunité, a pour valeurs. . • . l^OSS, 1,250, 1,667, etc. selon que le rapport de Tun des

deux côtés du rectangle à l'autre

côté est. d/2, 2, 3, etc.

Le sens de sollicitation le plus dangereux est celui pour lequel 6cos<p + c8in9 est le plus grand, ou pour lequel

ce qui donne le sens perpendiculaire à Tune des deux diagonales

du rectangle. Alors M on Pa = -^ .

(') 30 octobre 4 843, aux Comptet rendus de fJcadimie, t. XVII , p. 949.

ABT. IV. EOPTURE PIB rLEXION. I2d

IIM ■• tl»}.

Généralement, toutes les fois que u, v, répondant au maximum du

dénominateur -r, cos f + p sin 9, ont une valeur fixe, ce maximum

par rapport à 9 a Heu pour

ce qui donne pour condition de résistance permanente

8 A. Etablissement élémentaire de ces formules. — On l'opère en considérant (comme au S 9 de la note du n° 83) le prisme comme éproîtvani simultanément deux flexions dues^, Tune, à des forces qui ont un moment M' = M cos 7, Tautre à des forces qui ontnn moment M"=M sin 9, et produisant des déplacements qui se composent

d'après le principe de simultanéité du $ 2 de la note du n" 21. On dira donc simplement que si la fibre située à la distance v' de Taxe du premier moment et à la distance u' de Taxe du second éprouve une dilatation due à une tension R par unité de section, celle qui est située aux distances v, u des mêmes axes éprouvera une dilatation

due à la tension R -7 si le moment ou couple M' agit seul, et une

dilatation due à la tension R -; sile couple M'' agit seul pour fléchir

respectivement autour do ces deux axes supposés principaux ; et

l'oa aura , aussi respectivement, M' = R -7, M" = It —, pour l'équilibre de rotation. Si ces deux couples agissent à la fois, la fibre («prouvera une dilatation totale, somme des deux dilatations parlielleff, on due à la tension totale

l)onc, pour que cette dilatation atteigne la limite des dilatations non dangereuses , ou soit celle qui est due & la tension-limite R,, on doit avoir Téquation suivante (donnée en octobre et novembre 1843 aux articles cités des Comptes rendus) :

IIB. La figure de la section transversale étant un cercle (Fig. 4) dont r est le rayon, l'expression du moment de la résistance à la rupture est

Les moments de rupture , pour le carré et le cercle inscrit , sont entre eux dans le rapport de I à -^, le même qui a lieu pour le cas de la flexion (').

119. A l'égard d'un tuyau, r' et r" étant les rayons des deux cylindres extérieur et intérieur, remarquant que le moment de rupture du vide intérieur supposé plein est

I\„ 3= niaxiinoiD de M' j, + M" p •

d oCl M ^ tuinimain de

comme à la fin du S 2.

(*) Perle de force des arbres équarris. — Si. c'est un cercle circoîiscrii que Ton compare au carré pour la flexion, le rapport, au

, est der i à -^^y^ a= t,6661. Un arbre perd

lieu de 1 i ^ == 0»5890

ainsi considérablement de sa force lorsqu'on Téquarrit. £t cebi a lieu même lorsqu'on en tire la pièce à section rectangle ci-après (du n" 120}, dont les deux côtés sont entre eux dans lo rapport

i à v^2 (fournis par les équations 6' + c' = 1>

>^„ = Oj ou par la construction ci-contre

où Ton divise le diamètre ëlrdeux parties comme 1 est & 2 ; car le rapport des résistances du rectangle et du cercle est de 1 à -^^ =? 1,53039.

ABT. IV. HQPTOaB PAE FLEXION. 127

on a, pour le momont cberobé,

 savions transversales égales, un cylindre plein et un tuyau offrent des résistances à la rupture qui sont entre elles dans le rapport de

A résistances égales , les sections transversales du cylindre et du tuyau sont entre elles dans le rapport de

n Ces deux rapports qui sont plus simplement» le premier,

celui de W i-^ -^ ^ ^4- nst ^t lo second, Tinverse élevé à la

puissance de S/d, résultent de la division, Tuno par Tautre, des expressions qui seront données $$ 6 et 7 de la note du numéro suivant (120) : 1* en supposant vf le même pour le cylindre et pour le

tuyau; 2* eu supposant -> le même, et tirant le rapport des sections «>.

M. Ponoelet a trouvé que le premier rapport est celui de ai , tan«*

gente menée au cercle intérieur par uo

/rS<'r->w\ point a de la circonférence du cercle ex- 1 ,f-''' ! \ \ \ térieur, à oc, longueur déterminée par

«klL i — VHi^ ^ perpendlcalaire à oo, et par bc per-

y Y J j pendiculaire & a6| o étant le centre et

X/^^...-^^^^^/ ooca' un diamètre.

"^"^ Ce rapport est aussi, à peu près, la ra*

cine carrée de celui de Tépaisseur au diamètre moyen du tuyau*

128 SEGT. I. BÉSI5TANGE DES SOLIDES.

120. Connaissant l'expression du moment de rupture pour une base de fracture rectangulaire y on peut se proposer d'inscrire dans un cercle un rectangle déterminé par la condition de rendre cette expression un maximum. Le diamètre étant i,

les côtés de ce rectangle seront respectivement — et^ (*).

n (Voyez note du n* 118).

S 1. Comparaison des sections à égale superficie ou égale guan-

tité de ma^tére.—Nous allons donner Ici les valeurs de —.^ et, aussi,

les valeurs du moment d'inertie I, par complément aux n** SI à 85 (et ainsi que nous Pavons annoncé), en mettant les expressions sous une forme telle qu'on puisse comparer quant à ces valeurs, les diverses sections à égale superficie ou à égale quantité du métal dont on compose les prismes. Nous parlerons Ici déjà, pour rendre le tableau plus complet, des sections de prismes à côte ou à nervure , dont Navier ne fait mention dans son texte qu'à la Sectior IV (Gliarpente), art vii, n** A9d à A97.

Le moment d'inertie I est du quatrième degré ou est un produit

de quatre dimensions linéaires; le quotient -^ est du troisième de-

gré; la superficie co est du deuxième degré, n faudra donc, pour les comparaisons des sections sous le double rapport de la résistance à la simple flexion et à la rupture par flexion, donner respeo*

tivemeot pour forme, à I et à -i, le produit de eu* et de co* par un

nombre ou par une fonction des rapports mutuels des dimensions des diverses parties de la section.

S 2. Résistances spécifiques à la flexion et à la rupture par

flexion iou quantités remplaçant I et p 1 hf^que la sollicitation

est oblique aux axes principaux ^inertie des sections* — Alors la résistance spécifique à la flexion, au lieu d'ôtre représentée par I, le sera (note du n* 83) par

AfiT. IV. RUPTURE PAR FLEXION. 129